MC.Rosy Ilda Basave Torres 1
MC. Rosy Ilda Basave Torres
Skype rosybasave
Siguiente
Matemticas Discretas
MC.Rosy Ilda Basave Torres 2
Unidad I Sistemas numricos
Siguiente Anterior
1 Sistemas numricos.
1.1 Sistemas numricos (Decimal, Binario, Octal, Hexadecimal).
1.2 Conversiones entre sistemas numricos.
1.3 Operaciones bsicas (Suma, Resta, Multiplicacin, Divisin).
1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicacin y divisin en binario.
1.5 Aplicacin de los sistemas numricos en la computacin.
Unidad I
MC.Rosy Ilda Basave Torres 3
Matemticas Discretas
MC. Rosy Ilda Basave Torres
El objetivo de la materia es conocer y comprender los conceptos bsicos de lgica matemtica, relaciones, grafos y rboles para aplicarlos a modelos que resuelvan problemas de computacin.
Siguiente Anterior
4
Sistemas numricos
Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten representar datos numricos.
Los sistemas de numeracin actuales son sistemas posicinales, que se caracterizan porque un smbolo tiene distinto valor segn la posicin que ocupa en la cifra. Los sistemas que abarcaremos son los siguientes:
Sistema Decimal Sistema Binario Sistema Octal Sistema Hexadecimal
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
5
Sistema Decimal
Al utilizar estos smbolos como dgitos de un nmero podemos expresar cualquier cantidad.
Sistema decimal
1
2
3
4
5
6 7 8 9
Smbolos
0
Smbolos
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
6
Sistema Decimal
Conocido como sistema de base 10.
Evolucion en forma natural a partir del hecho de que el ser humano tiene 10 dedos
Sistema decimal
1
2
3
4
5
6 7 8 9
Smbolos
0
Smbolos
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
7
Sistema Decimal
La palabra dgito significa dedo en latn.
Sistema decimal
1
2
3
4
5
6 7 8 9
Smbolos
0
Smbolos
Es un sistema de valor posicional en el cual el valor de un dgito depende de su posicin.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
8
Sistema Decimal
MSD; most significant digit
Ejemplo:
4 5 6
centenas decenas unidades
MSD LSD
LSD; least significant digit
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
9
Sistema decimal
2745.214 = (2X10+3)+(7X10+2)+(4X101)+(5X100)+(2X10-1)+(1X10-2)+(4X10-3)
2 7 4 5 . 2 1 4
Punto decimal MSD LSD
103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 Valores posicionales
(valores relativos)
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
10
Sistema decimal
2705.214 = (2X10+3)+(7X10+2)+(0X101)+(5X100)+(2X10-1)+(1X10-2)+(4X10-3)
2 7 0 5 . 2 1 4
Punto decimal MSD LSD
103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 Valores posicionales
(valores relativos)
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
11
Sistema Decimal
30
...
40
99
100
999
1000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
102=100 nmeros diferentes (de 0 a 99).
103=1000 nmeros diferentes (de 0 a 999).
10N= 10N nmeros diferentes (de 0 a 10N 1
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
12
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
13
Sistema Binario
El sistema numrico decimal no se presta para una instrumentacin conveniente en los sistemas digitales.
Resulta muy difcil disear equipo electrnico que pueda funcionar con 10 diferentes niveles de voltaje
Es muy fcil disear circuitos electrnicos sencillos y precisos que operen con slo dos niveles de voltaje.
Por esta razn, casi todos los sistemas digitales utilizan el sistema binario (base 2) de sus operaciones, aunque con frecuencia se emplean otros sistemas conjuntamente con el binario.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
14
Sistema Binario
Al utilizar estos smbolos como dgitos de un nmero podemos expresar cualquier cantidad.
Sistema binario 1
Smbolos
0
Smbolos
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
15
Sistema Binario
Conocido como sistema de base 2.
Es muy fcil disear circuitos electrnicos sencillos y precisos que operen con slo dos niveles de voltaje.
Sistema binario 1
Smbolos
0
Smbolos
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
16
Sistema Binario
Casi todos los sistemas digitales utilizan el sistema binario, aunque con frecuencia se emplean otros sistemas conjuntamente con el binario.
Es un sistema de valor posicional en el cual el valor de un dgito depende de su posicin.
Sistema binario 1
Smbolos
0
Smbolos
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
17
Sistema Binario
1011.1002=(1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)+(0X2-1)+(0X2-2)
+(0X2-3) = 8+0+2+1+0.5+0+0= 11.510
1 0 1 1 . 1 0 0
Punto binario MSD LSD
23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
18
Sistema Binario
1002=(1X22)+(0X21)+(0X20)=4+0+0 = 410
1 0 0
MSD LSD
22 21 20 Valores posicionales
(valores relativos)
El termino dgito binario se abrevia a menudo como bit
LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
19
Sistema Binario
10112= (1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)=8+0+2+1 = 1110
1 0 1 1
MSD LSD
23 22 21 20 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
20
Sistema binario
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
21=2 nmeros diferentes (0 y 1).
22=4 nmeros diferentes (de 0 a 3).
23=8 nmeros diferentes (de 0 a 7).
24=16 nmeros diferentes (de 0 a 15).
2N=2N nmeros diferentes (de 0 a 2N 1
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
21
Conteo en Sistema Binario
23=8 22=4
21=2
20=1
Dec.
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 2
0 0 1 1 3
0 1 0 0 4
0 1 0 1 5
0 1 1 0 6
0 1 1 1 7
23=8 22=4
21=2
20=1
Dec.
1 0 0 0 8
1 0 0 1 9
1 0 1 0 10
1 0 1 1 11
1 1 0 0 12
1 1 0 1 13
1 1 1 0 14
1 1 1 1 15
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
22
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
23
Sistema Octal
Al utilizar estos smbolos como dgitos de un nmero podemos expresar cualquier cantidad.
Sistema Octal
1
2
3
4
5
6 7
Smbolos
0
Smbolos
Conocido como sistema de base 8.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
24
Sistema Octal
7021.7058=(7X83)+(0X82)+(2X81)+(1X80)+(7X8-1)+(0X8-
2)+(5X8-3) = 3584+0+16+1+0.875+0+0.009 = 3601.88410
7 0 2 1 . 7 0 5
Punto Octal MSD LSD
83 82 81 80 8-1 8-2 8-3 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
25
Sistema Octal
4308=(4X82)+(3X81)+(0X80)=256+24+0 = 28010
4 3 0
MSD LSD
82 81 80 Valores posicionales
(valores relativos)
LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
26
Sistema Octal
11118= (1X83)+(1X82)+(1X81)+(1X80)=512+64+8+1 = 58510
1 1 1 1
MSD LSD
83 82 81 80 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
27
Conteo Sistema Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
27
30
77
100
777
1000
81=8 nmeros diferentes (0 al 7).
82=16 nmeros diferentes (de 0 a 15).
83=512 nmeros diferentes (de 0 a 511).
84=4096 nmeros diferentes (de 0 a 4095).
8N = 8N nmeros diferentes (de 0 a 8N 1
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
28
Sistema Hexadecimal
Al utilizar estos smbolos como dgitos de un nmero podemos expresar cualquier cantidad.
Sistema Hexadecimal
Smbolos
0
1
2
3
Smbolos
Conocido como sistema de base 16.
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
29
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
30
Sistema Hexadecimal
FA21.B0516=(15X163)+(10X162)+(2X161)+(1X160)+
(11X16-1)+(0X16-2)+(5X16-3) = 61440+2560+32+1+0.6875+0+0.001 = 64033.68810
F A 2 1 . B 0 5
Punto Octal MSD LSD
163 162 161 160 16-1 16-2 16-3 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
31
Sistema Hexadecimal
43016=(4X162)+(3X161)+(0X160)=1024+48+0 = 107210
4 3 0
MSD LSD
162 161 160 Valores posicionales
(valores relativos)
LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
MSD; most significant digit
32
Sistema Hexadecimal
111116= (1X163)+(1X162)+(1X161)+(1X160)=4096+256+16+1= 436910
1 1 1 1
MSD LSD
163 162 161 160 Valores posicionales
(valores relativos)
LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
MSD; most significant digit
33
Conteo Sistema Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E
1F
20
21
2F
30
FF
100
FFF
1000
161=16 nmeros diferentes (0 al 15).
162=256 nmeros diferentes (de 0 a 255).
163=4096 nmeros diferentes (de 0 a 4095).
164=65536 nmeros diferentes (de 0 a 65535).
16N = 16N nmeros diferentes (de 0 a 16N 1
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
34
Actividad 1
1. Convierta los nmeros del sistema dado al sistema faltante detalle el procedimiento
Binario Hexadecimal
Octal Decimal
101102
100011012
1001000010012
11110101112
101111112
3710
1410
18910
20510
231310
7438
368
37778
2578
12048
8918
51110
Binario Hexadecimal Octal Decimal
9216
1A616
37FD16
2C016
7FF16
Cul es el mayor valor decimal que se puede representar con un nmero binario de 8 bits?
Liste los nmeros octales en secuencia del 165 al 200
Liste los nmeros hexadecimales 280 al 2A0
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
35
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
36
Conversin entre sistemas Conversin de Decimal a Binario Conversin de Decimal a Octal Conversin de Decimal a Hexadecimal
Conversin de Binario a Decimal Conversin de Binario a Octal Conversin de Binario a Hexadecimal
Conversin de Octal a Decimal Conversin de Octal a Binario Conversin de Octal a Hexadecimal
Conversin de Hexadecimal a Decimal Conversin de Hexadecimal a Binario Conversin de Hexadecimal a Octal
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
37
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
38
Conversin de Decimal a Binario
El mtodo ms usado para convertir de decimal a binario es la
divisin repetida por 2.
La conversin, que se ilustra a continuacin para 2510,
LSB
MSB
Divisin Residuo
25/2=12 1
12/2=6 0
6/2=3 0
3/2=1 1
1/2=0 1
2510=110012
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
39
Conversin de decimal a octal
El mtodo ms usado es la divisin repetida por 8. La
conversin, que se ilustra a continuacin para 26610,
LSB
MSB
Divisin Residuo
266/8=33 2
33/8=4 1
4/8=0 4
26610=4128
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
40
Conversin de decimal a Hexadecimal
El mtodo ms usado es la divisin repetida por 16. La
conversin, que se ilustra a continuacin para 42310,
LSB
MSB
Divisin Residuo
423/16=26 7
26/16=1 10
1/16=0 1
42310=1A716
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
41
Conversin de decimal a Hexadecimal
El mtodo ms usado es la divisin repetida por 16. La
conversin, que se ilustra a continuacin para 21410,
LSB
MSB
Divisin Residuo
214/16=13 6
13/16=0 13 21410= D616
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
42
Conversin de Binario a Decimal
110012=(1X24)+(1X23)+(0X22)+(0X21)+(1X20)= 16+8+0+0+1
= 2510
1 1 0 0 1
MSD LSD
23 22 21 20 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo: 2510=110012
24
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
43
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
44
Conversin de Binario a Decimal
1011.1002=(1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)+(1X2-1)+(0X2-2)
+(0X2-3) = 8+0+2+1+0.5+0+0 = 11.510
1 0 1 1 . 1 0 0
Punto binario MSD LSD
23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
45
Conversin de Binario a Decimal
1002=(1X22)+(0X21)+(0X20)=4+0+0 = 410
1 0 0
MSD LSD
22 21 20 Valores posicionales
(valores relativos)
El termino dgito binario se abrevia a menudo como bit
LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
MSD; most significant digit
46
Conversin de Binario a Decimal
10112= (1X23)+(0X22)+(1X21)+(1X20)=8+0+2+1 = 1110
1 0 1 1
MSD LSD
23 22 21 20 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
47
Conversin de binario a octal
La conversin de enteros binarios a octales es simplemente la operacin inversa a la conversin octal a binario.
Nmero binario 100 111 010
Nmero octal 4 7 2
Algunas veces el nmero binario no tendr grupos de 3 bits. En esos
casos, podemos agregar uno o dos ceros a la izquierda del MSB del
nmero binario a fin de completar el ltimo grupo.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
48
Conversin de binario a hexadecimal
La conversin de enteros binarios a hexadecimales es simplemente la operacin inversa a la conversin hexadecimal a binario. 11101001102
Nmero binario 0011 1010 0110
Nmero Hex. 3 A 6
Algunas veces el nmero binario no tendr grupos de 4 bits. En esos
casos, podemos agregar uno, dos o tres ceros a la izquierda del
MSB del nmero binario a fin de completar el ltimo grupo.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
49
Conversin de octal a decimal
7021.7058=(7X83)+(0X82)+(2X81)+(1X80)+(7X8-1)+(0X8-
2)+(5X8-3) = 3584+0+16+1+0.875+0+0.009 = 3601.88410
7 0 2 1 . 7 0 5
Punto Octal MSD LSD
83 82 81 80 8-1 8-2 8-3 Valores posicionales
(valores relativos)
Ejemplo:
Un nmero octal puede convertirse a su equivalente decimal multiplicando cada dgito octal por su valor posicional.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
50
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
51
Conversin de octal a decimal
4308=(4X82)+(3X81)+(0X80)=256+24+0 = 28010
4 3 0
MSD LSD
82 81 80 Valores posicionales
(valores relativos)
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
52
Conversin de octal a decimal
11118= (1X83)+(1X82)+(1X81)+(1X80)=512+64+8+1 = 58510
1 1 1 1
MSD LSD
83 82 81 80 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
53
Conversin de octal a binario
La conversin de enteros octales a binarios es simplemente la operacin inversa a la conversin binario a octal. Los ocho dgitos posibles se convierten como si indica en la tabla
Nmero octal 4 7 2
Nmero binario 100 111 010
Dgito Octal 0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente binario 000 001 010 011 100 101 110 111
Por medio de estas conversiones, cualquier nmero octal se convierte a binario
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
54
Conversin de octal a hexadecimal
La conversin de enteros octales a hexadecimales se hace convirtiendo primero el numero octal a binario y posteriormente de binario a hexadecimal.
Nmero octal 4 7 2
Nmero binario 100 111 010
Nmero binario 0001 0011 1010
Nmero Hex. 1 3 A
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
55
Conversin de hexadecimal a decimal
FA21.B0516=(15X163)+(10X162)+(2X161)+(1X160)+
(11X16-1)+(0X16-2)+(5X16-3) = 61440+2560+32+1+0.6875+0+0.001 = 64033.68810
F A 2 1 . B 0 5
Punto MSD LSD
163 162 161 160 16-1 16-2 16-3 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
56
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
57
Conversin de hexadecimal a decimal
43016=(4X162)+(3X161)+(0X160)=1024+48+0 = 107210
4 3 0
MSD LSD
162 161 160 Valores posicionales
(valores relativos)
LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
58
Conversin de hexadecimal a decimal
111116= (1X163)+(1X162)+(1X161)+(1X160)=4096+256+16+1= 436910
1 1 1 1
MSD LSD
163 162 161 160 Valores posicionales
(valores relativos)
MSD; most significant digit LSD; least significant digit
Ejemplo:
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
59
Conversin de hexadecimal a binario
Al igual que el sistema de numeracin octal, el sistema hexadecimal se usa principalmente como mtodo taquigrafico en la representacin de nmeros binarios. Cada dgito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits. Esto se ilustra a contunuacin para el nmero 9F216=1001111100102
9 F 2
1001 1111 0010
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
60
Conversin de hexadecimal a octal
Es una tarea relativamente simple la de convertir un nmero hexadecimal en binario. Cada dgito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits, y posteriormente en grupos de tres binarios para finalmente hacer la conversin de binario a octal.
Esto se ilustra a contunuacin para el nmero 9F216=1001111100102 =47628
9 F 2
1001 1111 0010
100 111 110 010
4 7 6 2
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
61
Actividad 1
1. Convierta los nmeros del sistema dado al sistema faltante detalle el procedimiento
Binario Hexadecimal
Octal Decimal
101102
100011012
1001000010012
11110101112
101111112
3710
1410
18910
20510
231310
7438
368
37778
2578
12048
8918
51110
Binario Hexadecimal Octal Decimal
9216
1A616
37FD16
2C016
7FF16
Cul es el mayor valor decimal que se puede representar con un nmero binario de 8 bits?
Liste los nmeros octales en secuencia del 165 al 200
Liste los nmeros hexadecimales 280 al 2A0
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
62
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
63
Operaciones bsicas en los sistemas
Adicin Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.
Resta Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.
Divisin Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.
Multiplicacin Decimal, Binaria, Octal y Hexadecimal.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
64
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
65
Adicin Decimal
LSD
376 + 461 ________ 837
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
66
Adicin Binaria
011 (3)
110 (6)
1001 (9)
+
1001 (9)
1111 (15)
11000 (24)
+
11.011 (3.375)
10.110 (2.750)
110.001 (6.125)
+
0+0=0 1+0=1 1+1=10=0+ acarreo de 1 ala siguiente posicin 1+1+1=11=1+ acarreo de 1 ala siguiente posicin.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
67
Adicin Octal
071
123
214
+
7
7
16
+
23.01
12.17
35.20
+
777
777
1776
+
745
737
1704
+
203.71
172.77
376.70
+
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
68
Adicin Hexadecimal
071
1A3
214
+
7
A
11
+
23.01
12.17
35.28
+
FFF
FFF
1FFE
+
C45
7D7
141C
+
203.71
172.77
375.E8
+
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Los nmeros hexadecimales se utilizan ampliamente en la programacin de computadoras, en lenguajes de mquina y en conjuncin con la memoria de la computadora (es decir, direcciones). Cuando se trabaje en estas reas, habr sustituciones donde los nmeros hexadecimales tengan que restarse y sumarse.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
69
Resta Decimal
LSD
476 - 361 ________ 115
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
70
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
71
Resta Binaria
101101
010010
+ 1
010011
111101
1010000
10000
0 1 0 1 1 0 1 Num. Bin.
Comp. A 1.
1 0 1 0 0 1 1
=+4510
=-4510
Bit del signo Nmero binario
Bit del signo Complemento a 2
Suma 1.
Comp. A 2.
Reste 1011012 a 1111012
Suma el minuendo.
Se descarta.
Resultado.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
72
Resta Octal
1 2 3
001 010 011
110 101 100
+ 1
110 101 101
6 5 5
Reste 1238 de 1718
Solucin: Primero, convierta el sustraendo (123) a su forma complemento a 2 utilizando cualquiera de los mtodos. El resultado smelo al esto al minuendo (171).
7 7 7
1 2 3
6 5 4
+ 1
6 5 5
171
655
1046
Num. Oc.
Conv. Bin.
Comp. a 1.
Comp. A 2.
Conv. Oct.
Reste cada digito de 7
Sume 1
+
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
73
Resta Hexadecimal
7 3 A
0111 0011 1010
1000 1100 0101
1000 1100 0110
8 C 6
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Reste 73A16 de 99216
Solucin: Primero, convierta el sustraendo (73A) a su forma complemento a 2 utilizando cualquiera de los mtodos. El resultado es 8C6. Luego sume esto al minuendo (992).
F F F
7 3 A
8 C 5
+ 1
8 C 6
992
8C6
1258
Num. Hex.
Conv. Bin.
Comp. a 1.
Comp. A 2.
Conv. Hex.
Reste cada digito de F
Sume 1
+
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
74
Multiplicacin Decimal
376 X 11 ________ 376 376 4136
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
75
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
76
Multiplicacin Binaria
1001 X 1011 ________ 1001 1001 0000 1001 1100011
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
77
Multiplicacin Octal
77 X 12 ________ 176 77 1166
2X0=0
2X1=2
2x2=4
2X3=6
2X4=10
2X5=12
2X6=14
2x7=16
1X0=0
1X1=1
1x2=2
1X3=3
1X4=4
1X5=5
1X6=6
1x7=7
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
78
Multiplicacin Hexadecimal
FF X 12 ________ 1FE FF 11EE
2X0=0
2X1=2
2x2=4
2X3=6
2X4=8
2X5=A
2X6=C
2x7=E
2X8=10
2X9=12
2XA=14
2XB=16
2XC=18
2XD=1A
2XE=1C
2XF=1E
1X0=0
1X1=1
1x2=2
1X3=3
1X4=4
1X5=5
1X6=6
1x7=7
1X8=8
1X9=9
1XA=A
1XB=B
1XC=C
1XD=D
1XE=E
1XF=F
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
79
Divisin decimal
18 6
03
00
18
18
00
-
-
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
80
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
81
Divisin binaria
1001 11
0011
011
0011
11
0
-
-
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
82
Divisin octal
2347 21
011
21
024
21
3
-
-
2X0=0
2X1=2
2x2=4
2X3=6
2X4=10
2X5=12
2X6=14
2x7=16
1X0=0
1X1=1
1x2=2
1X3=3
1X4=4
1X5=5
1X6=6
1x7=7
1176 12
0077
106
0116
106
010
-
-
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
83
Divisin Hexadecimal
11DD 12
00FE
10E
00FD
FC
001
-
-
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
2X0=0
2X1=2
2x2=4
2X3=6
2X4=8
2X5=A
2X6=C
2x7=E
2X8=10
2X9=12
2XA=14
2XB=16
2XC=18
2XD=1A
2XE=1C
2XF=1E
1X0=0
1X1=1
1x2=2
1X3=3
1X4=4
1X5=5
1X6=6
1x7=7
1X8=8
1X9=9
1XA=A
1XB=B
1XC=C
1XD=D
1XE=E
1XF=F
84
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
85
Actividad 2
Realiza las siguientes operaciones bsicas en los sistemas detallando procedimiento.
Ejercicio 1 Realiza las siguientes operaciones de nmeros binarios
10001010 + 10101010 10001010 -10101010 10001010 / 10101010 10001010 * 10101010
101+1101+110 101-1101-110 101 / 1101 101 * 1101
001+0111+1110 001-0111-1110 001 / 0111 001 * 0111
Ejercicio 2 Realiza las operaciones de los siguientes nmeros decimales
178 + 35 178 35 178 / 35 178 * 35
205 + 31 205 31 205 / 31 205 * 31
270 + 17 270 - 17 270 / 17 270 * 17
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
86
Actividad 2
Realiza las siguientes operaciones bsicas en los sistemas detallando procedimiento.
Ejercicio 3 Realiza las siguientes operaciones de nmeros octales:
365 + 23 365 - 23 365 / 23 365 * 23
2732 + 1265 2732 -1265 2732 / 1265 2732 * 1265
65 + 1773 65 -1773 65 / 1773 65 * 1773
Ejercicio 4 Realiza la suma los siguientes nmeros hexadecimales
17A + 3C 17A -3C 17A / 3C 17A* 3C
20F5 + 31B 20F5 - 31B 20F5 / 31B 20F5 * 31B
2E70C + 1AA7F 2E70C - 1AA7F 2E70C / 1AA7F 2E70C * 1AA7F
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
87
Actividad 3
Investigar el tema Algoritmos de Booth para la multiplicacin y divisin en binario.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
88
Actividad 4
Investigar el tema Aplicacin de los sistemas numricos en la computacin.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
89
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad I
Matemticas Discretas
Unidad II Conjuntos
90 MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2 Conjuntos
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1 Caractersticas de los conjuntos.
2.1.2 Nmeros naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios.
2.1.1 Conjunto universo, vaco.
2.1.3 Subconjuntos.
2.1.4 Conjunto potencia.
2.2 Operaciones con conjuntos (Unin, Interseccin, Complemento, Diferencia y diferencia simtrica).
2.3 Propiedades de los conjuntos.
2.4 Aplicaciones de conjuntos.
2 Conjuntos
Un conjunto es una coleccin o listado de objetos con caractersticas bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado.
Un conjunto se representa con letras maysculas y sus elementos con letras minsculas
X={a,e,i,o,u}
a X
X
a e
i
o u
U
Elementos o miembros
Conjunto X
Universo
Diagrama de Venn
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2 Conjuntos
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
94
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1 Caractersticas de los conjuntos.
Un conjunto no distingue la repeticin de objetos. A={a, b, c, d}, B={a, b, c, d, a}. Estos conjuntos son
iguales
El orden entre los elementos de un conjunto, matemticamente es irrelevante (nicamente es conveniente el orden por comodidad de lectura). A={a, b, c, d}, B={b, a, d,c}. Estos conjuntos son
iguales
Los elementos de un conjunto no requieren tener relacin que la de pertenecer al mismo conjunto.
Un conjunto con un nmero infinito de elementos se dice que es infinito y la notacin utilizada para representarlo es la elipsis .
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.1 Conjunto universo, vaco
Conjunto vacio no contiene elemento alguno
Se denota
Ejemplo: {}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.1 Conjunto universo, vaco
Conjunto unitario contiene solo un elemento Se denota X={1} 1
Ejemplo: Dado X={1} 1 X 2 X X
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.1 Conjunto universo, vaco
Conjunto universo contiene todos los elemento bajo estudio
1
3
4 2
5 6
7 8 9 a e
i
o u
U
B A
b
c
U={1,2,39,a,e,i,o,u,b,c}
A={1,2,39}
B={a,e,i,o,u,b,c} El conjunto universo se denota con la letra mayscula U
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.2 Nmeros naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios
N = {x: x es un nmero natural}={0,1,2,3,4,5,6,} Z = {x: x es un nmero entero} ={,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,} Z+ = {x: x es un nmero entero positivo} ={1,2,3,4,5,6,} Z- = {x: x es un nmero entero negativo} ={,-3,-2,-1}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.2 Nmeros naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios
Q = {x: x es un nmero racional} ={x:m/n,m Z,n Z,n0} R = {x: x es un nmero real} ={,-2,,-1,,-0.9,,-0.009,,0,0.9,1,2,} C={x:x es un nmero imaginario} ={x2+1=0, sen(x)+ cos(x2)=0,}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2 Tipos de conjuntos
Conjunto finito.- Este tipo de conjunto se caracteriza por que tiene un nmero finito de elementos, por ejemplo:
X ={a, e, i, o, u} B ={1,2,3,4} C={Jos, Juan, Maria}
Conjunto infinito.- Este tipo de conjuntos se caracterizan por que tienen un nmero infinito de elementos.
Por ejemplo: el conjunto de los nmeros enteros, racionales, naturales, imaginarios.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Principios de conjuntos
Principio de extensin
Definir un conjunto completamente por sus elementos
Principio de intencin
Definir un conjunto por sus caractersticas o a travs de una proposicin
X={1,2,3,4,.} X={2,4,6,8,} X={a,e,i,o,u}
X={x: x es positivo} X={x: x es positivo y par} X={x: x es vocal}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Ejemplo: Exprese en smbolos (intencional) el conjunto de los nmeros naturales pares mayores a diez y menores a cien.
Solucin X={x: x N,x >10,x10, x
2.1.3 Subconjuntos
Subconjunto. Un conjunto A se dice que es un subconjunto B, si cada elemento de A es tambin elementos de B, la notacin matemtica es la siguiente: A B
Subconjunto propio. Un conjunto A se dice que es un subconjunto propio de B, si cada elemento de A es tambin elementos de B, y A B, la notacin es la siguiente
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.3 Subconjuntos
Un conjunto A se dice que es un subconjunto B, si cada elemento de A es tambin elementos de B, la notacin matemtica es A B. Ejemplo:
a
b 1 2
B={1,2} E={1}
D={a,b} F={a,b}
E F D
B
E B F D D F
U
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.3 Subconjuntos
Un conjunto es disjunto si no tienen elementos en comn, esto es, ningn elemento de A esta en B, esto se denota AB= . Ejemplo: el conjunto vaco es un subconjunto de cualquier conjunto.
B={1,2} E={1} D={a,b} F={a,b}
a
b 1 2
E F D
B
U
F D D F E D
ED= BF= BD= EF=
D F E
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.3 Subconjuntos
Segn la variada bibliografa existente sobre el tema, las siguientes expresiones son consideradas equivalentes:
A est incluido en B.
A est contenido en B.
A es un subconjunto de B.
B incluye a A.
B contiene a A.
B es un superconjunto de A.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.3 Subconjuntos
Conjuntos como objetos.
Los conjuntos tambin son objetos y por ello pueden ser elementos de otros conjuntos. Por ejemplo
B={{1,2},{1,3},{1}} tiene 3 elementos.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.4 Conjunto potencia
Al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A se denomina conjunto potencia de A y se representa por 2A
Ejemplos:
Dado el siguiente conjunto X={a, e, i} calcule 2X
2X ={,{a},{e},{i}{a,e},{a,i},{e,i},{a,e,i}}
Dado el siguiente conjunto A={1, 2, 3} calcule 2A
2A ={,{1},{2},{3}{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.4 Conjunto potencia
Particin de un conjunto. Una particin de un conjunto A (no vacio) es un nuevo conjunto formado por subconjuntos definidos por 2A tal que:
Cada elemento de es un conjunto no vaco.
Los elemento de son disjuntos entre si.
La unin de la misma particin son los mismos elementos de A.
Ejemplo A={1,2,a,b} algunas particiones posibles de A son:
A =[{1},{2},{a},{b}]
A =[{1,2,a},{b}]
A =[{1,2},{a,b}]
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.1.4 Conjunto potencia
Cardinalidad. De manera intuitiva la cardinalidad de un conjunto es el nmero de elementos que tiene. Por ejemplo:
Conjunto Cardinalidad
A={} A|=0
B={a} B|=1
C={a,d,f,g,d} C|=5
D={{},{},{}} D|=3
E={1,2,3,4,} No es posible establecer la cardinalidad de conjuntos infinitos o simplemente su cardinalidad es infinita
La cardinalidad se denota con el smbolo barra
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
112
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Actividad I
1.- Cul de estos conjuntos son iguales?
A={a, b, c, d}, B={b, a, d,c}, C={d, c, b, a, d}, D={a, d, c, b, a, b},
2.- N = {1,2,3,...} hacer una lista de los elementos de los seguintes conjuntos.
a) A={x: x N, x>3, x
Actividad I
3.- Determine si los conjuntos se encuentran en forma extensional o intencional.
{1, 2, 3, 4, ...}
A={x N: x es un nmero par}
4.- Representar intencionalmente el conjunto {2} de dos maneras distintas.
5.- Genere el conjunto potencia de A={Juan, Pedro, Sonia}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Actividad I
6.- Considerar los siguientes conjuntos , A={1}, B={1, 4}, C={1,4,7}, D={1,3,5,6,9},
U={1,2,3,,9} Insertar el smbolo correcto , en cada par de
conjuntos. a) ,A b)A,B c)B,D d)C,D e)D,U 7.- Indicar si son verdaderas o falsas las
siguientes afirmaciones, justificar las respuestas. a) {} b) {} c)
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Actividad I
8.-Considere el conjunto A={{1,2,3},{4,5},{6,7,8}}
a) Cules son los elementos de A? b) Indicar si son verdaderas o falsas las
siguientes afirmaciones. i) 1 A ii){1,2,3} A iii){6,7,8} A
iv){{4,5}} A v) A vi) A 9.- Determinar la cardinalidad de los siguientes
conjuntos a) A={x:x Z, x
Actividad I
10.-Insertar el smbolo correcto , , entre cada par de conjuntos.
a)2,{1,2,3} b){2},{1,2,3} c){2},{{1},{2},{3}} d) ,{1,2,3}
11.- dado A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Determinar cuales de las siguientes particiones son validas.
a)[{1,3,5},{2,4},{7,8,9}] b)[{1,2,3,4},{2,5,6,7,8,9}] c) [{1,2},{4,5},{3},{6,9},{7,8}]
12.- Es verdad que los conjuntos se expresan con letras minsculas?.
13.- Es verdad que los elementos de un conjunto se representan con letras maysculas?
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.2 Operaciones con conjuntos (Unin, Interseccin, Complemento, Diferencia y diferencia simtrica)
Unin
La unin de dos A y B es un tercer conjunto cuyos elementos son tambin elementos de A y B, se denotan de la siguiente manera AB={x:x A x B}
A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
AB={1,2,3,4,5,6}
Interseccin
La interseccin de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son comunes a A y B, se denota de la siguiente manera A B={x:x A y x B}
A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A B={3,4}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.2 Operaciones con conjuntos (Unin, Interseccin, Complemento, Diferencia y diferencia simtrica)
Diferencia o complemento relativo
La diferencia de un conjunto A con respecto a B, es el conjunto cuyos elementos estn en A pero no estn en B, se denota de la siguiente manera A-B={x:xA y x B}
A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A-B={1,2}
B-A={5,6}
Complemento absoluto
El complemento absoluto o simplemente complemento, es simplemente los elementos que pertenecen a U pero no pertenecen a A. se denota de la siguiente manera. Ac={x:xU y x A}
Ejemplo:
A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Ac={5,6,7,8,9}
Bc={1,2,7,8,9}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.2 Operaciones con conjuntos (Unin, Interseccin, Complemento, Diferencia y diferencia simtrica)
Diferencia simtrica.
La diferencia simtrica entre A y B, es el conjunto que contiene exactamente todos los elementos que estn en A o en B, pero no en ambos.
.
Dado los siguiente conjuntos A={1,2,3,4} B={3,4,5,6} calcular su diferencia simtrica Primero calculo AB={1,2,3,4,5,6} Segundo calculo A B={3,4} Tercero calculo (AB)-(AB)={1,2,5,6}
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
2.2 Operaciones con conjuntos (Unin, Interseccin, Complemento, Diferencia y diferencia simtrica)
Procedencia en las operaciones de conjuntos no existe el concepto, las operaciones se van realizando de izquierda a derecha. nicamente las expresiones que estn entre parntesis se resuelven primero.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Representacin de las operaciones a travs de diagramas de Venn
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
123
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Actividad II
Dado los siguientes conjuntos dibuje el diagrama de Venn
A={a,b,c,d,e}
B={b,d,g}
C={,7,8,9}
D={5,6,9}
E={4,5,6}
U={1,2,3,,9}
Y calcule la siguiente operaciones
Calcular a) AB b) AB c)C D d)C D e)DE f)DE g)A-B h)B-A i)C-D j)D-C k)D-E l)E-D m)AC n)BC
o)CC
p) (AB) (CD) q) (AB) (CD) r) (A B) (C D) s) (A B) (C D) t)A B C D E u) A ((B C) D E) v)(A-B) (C-D) w)(AC-B) (C-DC)
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Actividad II
Dado los siguientes conjuntos
A={1,2,3,4,5}
B={2,4,6}
C={1,3,7,8,9}
D={5,6,7,8,9}
E={4,5,6}
U={1,2,3,,9}
Calcular a) AB b) AB c)C D d)C D e)DE f)DE g)A-B h)B-A i)C-D j)D-C k)D-E l)E-D m)AC n)BC
o)CC
p) (AB) (CD) q) (AB) (CD) r) (A B) (C D) s) (A B) (C D) t)A B C D E u) A ((B C) D E) v)(A-B) (C-D) w)(AC-B) (C-DC)
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Actividad III
Haga un anlisis de las propiedades y aplicaciones de conjuntos.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
127
Gracias por su atencin
Skype rosybasave
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad II
Unidad III 3 Lgica matemtica
3.1 Lgica proposicional. 3.1.1 Concepto de una proposicin 3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin,
Negacin, Condicional, Bicondicional) 3.1.3 Tablas de verdad 3.1.4 Tautologas, contradiccin y contingencia. 3.1.5 Equivalencias Lgicas 3.1.6 Reglas de inferencia 3.1.7 Argumentos vlidos y no vlidos 3.1.8 Demostracin formal (Directa, Por contradiccin)
3.2 Lgica de predicados. 3.2.1 Cuantificadores 3.2.2 Representacin y evaluacin de Predicados
3.3 Algebra declarativa 3.4 Induccin matemtica 3.5 Aplicacin de la lgica matemtica en la computacin
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 128
3.1.1 Concepto de una proposicin
Una proposicin simple se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bien es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposicin se le llama su valor de verdad .
Se denotan por las letras : p, q, r, s...etc.
Ejemplo Proposicin simple
Valor de verdad
p: 7 es un nmero par; Falso
q: 2 + 2 = 4; Verdadero
r: 2 es un nmero impar; Falso
s: Cmo estas? No se puede asignar un valor de verdad, no es una proposicin
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 129
3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)
Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones compuestas.
Para unir dos o ms proposiciones simples es necesario usar la Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional y Bicondicional.
Podemos denotar a una proposicin compuesta, como P(p,q,r,....), donde P es la proposicin compuesta en s, y p,q,r,...sus
componentes.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 130
3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)
La Conjuncin se da cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra y , se denota con el smbolo lgico ^. De esta manera, se tiene que la nueva proposicin p ^ q se llama conjuncin de p y q . Ahora p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q , es falso.
Ejemplo : Valor de verdad
P:(r , q) //Expresin compuesta r:(2 es un nmero par) //Proposicin simple verdadera q:(7 es un nmero impar);//Proposicin simple verdadera
p: r ^q Verdadero
r:(3 es un nmero par) ^(7 es un nmero impar); Falso
s:(7 es un nmero par) ^(2 es un nmero impar); Falso
q: (2 + 2 = 4) ^(2 - 2 = 0) ^(5 + 2 = 4); Falso MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III
131
3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)
La Disyuncin se da cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra o y se denota con el smbolo v , p v q , y se lee p o q o disyuncin de p y q.
Ejemplo : Valor de verdad
p: (2 es un nmero par) v (7 es un nmero impar);
Verdadero
q: (2 es un nmero par) v (4 es un nmero impar);
Verdadero
r:(3 es un nmero par) v (7 es un nmero impar);
Verdadero
s:(7 es un nmero par) v (2 es un nmero impar);
Falso
q: (2 + 2 = 4) v(2 - 2 = 7) v (5 + 2 = 4); Verdadero
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 132
3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)
La Negacin de una proposicin es cambiar el valor de verdad de dicha proposicin y se denota con el smbolo ~, ~p, y se lee Es falso que
Ejemplo : Valor de verdad
p: ~ (2 es un nmero par) Falso
q: ~ (4 es un nmero impar); Verdadero
~~p Verdadero
~~q Falso
q: ~ (2 + 2 = 4) v(2 - 2 = 7) v (5 + 2 = 4); Falso
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 133
3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)
La Condicional es utilizada para condicionar una proposicin con otra proposicin, se denota con el smbolo --> , p --> q, y se lee Si p, entonces q.
Ejemplo: Condicional
a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automvil funciona.
Si p, entonces q.
b) Mi automvil slo funciona si hay gasolina en el tanque.
p solamente si q.
c) Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automvil funcione
p es suficiente par q.
d) Para que mi automvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.
q es necesario para q.
e) Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.
p implica q.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 134
3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)
La Condicional es utilizada para condicionar una proposicin con otra proposicin, se denota con el smbolo --> , p --> q, y se lee Si p, entonces q.
Ejemplo : Valor de verdad
p: (2 es un nmero par) --> (7 es un nmero impar);
Verdadero
q: (2 es un nmero par) --> (4 es un nmero impar);
Falso
r:(3 es un nmero par) --> (7 es un nmero impar);
Verdadero
s:(7 es un nmero par) --> (2 es un nmero impar);
Verdadero
q: (2 + 2 = 4) -->((2 - 2 = 4) v (5 + 2 = 4)); Verdadero
q: (2 + 2 = 4) -->(~((2 - 2 = 4) v (5 + 2 = 4))); Falsa
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 135
3.1.2 Proposiciones compuestas (Disyuncin, Conjuncin, Negacin, Condicional, Bicondicional)
La Bicondicional es llamada condicional doble, se denota con el smbolo ,
p q, y se lee p si, y solamente si, q.
La bicondicional es equivalente a (p --> q) ^ (q --> p).
Ejemplo : Valor de
verdad
r: (2 es un nmero par) (7 es un nmero impar); p:(2 es un nmero par) --> (7 es un nmero impar); q:(2 es un nmero par) (4 es un nmero impar); q: (2 es un nmero par) (7 es un nmero impar); q:(3 es un nmero par) (2 es un nmero impar); q:(7 es un nmero par)
3.1.3 Tablas de verdad
Tabla de verdad para ~p
p ~p
V F
F V
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 137
3.1.3 Tablas de verdad
Tabla de verdad para p v q
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 138
3.1.3 Tablas de verdad
Tabla de verdad para p ^ q.
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 139
3.1.3 Tablas de verdad
Tabla de verdad para p --> q.
p q p --> q
V V V
V F F
F V V
F F V
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 140
3.1.3 Tablas de verdad
Tabla de verdad para p q.
p q p q
V V V
V F F
F V F
F F V
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 141
3.1.3 Tablas de verdad
Tabla de verdad para [(p v q) ^ r] --> ~q ^ p.
p q r p v q p v q ^ r ~q ~q ^ p [(p v q ^ r] --> ~q ^ r
V V V V V F F F
V V F V F F F V
V F V V V V V V
V F F V F V V V
F V V V V F F F
F V F v F F F V
F F V F F V F V
F F F F F V F V
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 142
3.1.4 Tautologas, contradiccin y contingencia.
Una tautologa es un caso especial de proposiciones, las cuales se caracterizan por tener slo el valor de verdad V en la ltima columna de sus tablas de verdad, independientemente de el valor de las dems proposiciones.
Algunas de estas tautologas son muy comunes y tiles, es por eso que llaman leyes.
Ejemplo: Construyamos la tabla de verdad para la proposicin: p v ~p.
p ~p p v ~p
V F V
F V V
Se observa que el valor de verdad de esta proposicin p v ~p es V, independientemente de el valor de p. Por tanto se trata de una tautologa. A dicha tautologa se le llama ley del tercio excludo.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 143
p q r [(p -->
q) ^ (q -->
r)] -->
(p -->
r)
V V V V V V V V V V V V V V
V V F V V V F V F F V V F F
V F V V F F F F V V V V V V
V F F V F F F F V F V V F F
F V V F V V V V V V V F V V
F V F F V V F V F F V F V F
F F V F V F V F V V V F V V
F F F F V F V F V F V F V F
3.1.4 Tautologas, contradiccin y contingencia.
Tabla de verdad para: [(p --> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r)
A esta proposicin se le conoce con el nombre de La ley del silogismo, la cual es un principio fundamental del razonamiento lgico.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 144
3.1.4 Tautologas, contradiccin y contingencia.
La contradiccin es una proposicin compuesta: P(q,r,s...) que se caracteriza por tener slo el valor de verdad F en la ltima columna de sus tablas de verdad, independientemente del valor de las dems proposiciones: q,r,s...
Si una proposicin no es una tautologa ni una contradiccin (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia.
Veamos la proposicin p ^ ~ p y verificaremos que se trata de una contradiccin
p ~p p ^ ~p
V F F
F V F
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 145
3.1.5 Equivalencias Lgicas
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idnticas. De ser as se denota:
p q p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
p q ~ p q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
: Sea p: p q q: ~ p q
(p q) = (~ p q)
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 146
Qu es una implicacin lgica?
Sean r y s dos proposiciones compuestas. Decimos que r implica lgicamente a s cuando r s es una tautologa y lo denotamos por r s. Ejemplo: Comprueba que [(p q) p] q. En este caso, r es [(p q) p] y s es q
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 147
Qu es una implicacin lgica? Para comprobar [(p q) p] q usamos la
definicin.
p q p q [(pq) p] [(p q) p] q.
V V V V V
V F F F V
F V V F V
F F V F V
Esta es una implicacin lgica llamada: Modus Ponens o Modo Positivo.
Est relacionada con un modo de razonamiento: Si tengo dinero, voy al cine. Y tengo dinero. Por lo tanto, voy al cine!
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 148
Qu es un argumento?
Un argumento es una proposicin compuesta del tipo Si (p1 p2 p3 ..... pk) entonces q Premisas Conclusin Ejemplo Si Juan se gana la beca, viaja a Pars. Y Juan se gan la beca. Por lo tanto, viajar a Pars.
Este argumento tiene dos premisas.
Las premisas son: Si Juan gana la beca entonces viaja a Pars y Juan se gan la beca.
La conclusin es: Juan viaja a Pars.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 149
Si Juan se gana la beca, viaja a Pars. Y Juan se gan la beca. Por lo tanto, viajar a Pars. Este argumento puede representarse como una tabla o como una implicacin. Sean las proposiciones: p: Juan gana la beca q: Juan viaja a Pars.
Tabla: p q
p
q
Implicacin:
[(p q) p] q
Qu es un argumento?
Un argumento es vlido si cada vez que las premisas son verdaderas, la conclusin es verdadera.
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 150
Ejercicio
Fue Elisa o fue Carlos quien cometi el fraude. Pero Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido. Si ella estuvo fuera de la ciudad, no pudo cometer el crimen. Eso nos conduce, lgicamente, a Carlos. l es el culpable.
a) Cules son las premisas en este argumento?
b) Cul es la conclusin?
Proposiciones simples
p : Elisa cometi el fraude.
q : Carlos cometi el fraude.
r : Elisa estaba fuera de la ciudad cuando el crimen fue cometido.
Hay varias premisas y la conclusin es una proposicin simple.
Premisa 1: p q Premisa 2: r Premisa 3: r p
Conclusin: q
Argumento
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 151
Son reglas que permiten establecer la veracidad de un argumento sin tener que realizar una gran tabla de verdad.
Las reglas estn asociadas a formas de razonamiento.
Las reglas de inferencia tienen asociadas implicaciones lgicas.
Algunas de las ms usadas son: el Modus Ponens y el Modus Tollens. Otras son: Silogismo, Silogismo disyuntivo, Simplificacin, Amplificacin, Demostracin por casos.
Reglas de Inferencia
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 152
Reglas de inferencia
Silogismo hipottico [(p q) (q r)] (p r)
Silogismo disyuntivo [( p q) p)] q
Nombre de la Regla Implicacin lgica
Simplificacin ( p q ) p
Amplificacin p ( p q )
Modus Ponens [ p ( p q)] q
Modus Tollens [( p q) q ] p
MC.Rosy Ilda Basave Torres Siguiente Anterior Unidad III 153
Unidad IV
4 Algebra booleana 4.1 Teoremas y postulados. 4.2 Optimizacin de expresiones
booleanas. 4.3 Aplicacin del algebra booleana
(Compuertas lgicas) 4.3.1 Mini y maxi trminos. 4.3.2 Representacin de
expresiones booleanas con circuitos lgicos.
Unidad V
5 Relaciones 5.1 Conceptos bsicos. 5.1.1 Producto cartesiano 5.1.2 Relacin binaria 5.1.3 Representacin de relaciones
(matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
5.2 Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Antisimtrica, Transitiva).
5.3 Relaciones de equivalencia (Cerraduras, Clases de equivalencia, Particiones)
5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva, Biyectiva). 5.5 Aplicaciones de las relaciones y las
5.1 Conceptos bsicos.
Una relacin es una correspondencia entre dos conjuntos denominados dominio y rango
Una relacin se define mediante la definicin del dominio, el rango y una regla de asignacin
Juan Mara Pedro Luis
$2000 $4000 $6000 $8000
Dominio Rango
Regla de asignacin
5.1 Conceptos bsicos.
5.1.1 Producto cartesiano
5.1.1 Producto cartesiano
5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
5.1.3 Representacin de relaciones (matrices, conjuntos, grafos, diagrama de flechas)
5.2 Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Antisimtrica, Transitiva).
5.2 Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Antisimtrica, Transitiva).
5.2 Propiedades de las relaciones (Reflexiva, Irreflexiva, Simtrica, Asimtrica, Antisimtrica, Transitiva).
5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva, Biyectiva).
5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva, Biyectiva).
5.4 Funciones (Inyectiva, Suprayectiva, Biyectiva).
Matemticas Discretas Unidad VI 6 Teora de Grafos
6.1 Elementos y caractersticas de los grafos. 6.1.1 Componentes de un grafo (vrtices, aristas, lazos, valencia) 6.1.2 Tipos de grafos (Simples, completos, bipartidos, planos, conexos,
ponderados) 6.2 Representacin de los grafos.
6.2.1 Matemtica 6.2.2.Computacional
6.3 Algoritmos de recorrido y bsqueda. 6.3.1 El camino ms corto 6.3.2. A lo ancho 6.3.3 En profundidad
6.4 Arboles. 6.4.1 Componentes (raz, hoja, padre, hijo, descendientes, ancestros) 6.4.2 Propiedades 6.4.3 Clasificacin (altura, nmero de nodos) 6.4.4 rboles con peso 6.4.5 Recorrido de un rbol: Preorden, Inorden, Postorden,
6.5 Redes.(teorema de flujo mximo, teorema de flujo mnimo, pareos y redes de Petri)
6.6 Aplicaciones de grafos y rboles.
Top Related