D-1
DERIVADAS PARCIALES
DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Si z = f(x,y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y
son las funciones fx y fy definidas por
Para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para calcular fy, se considera x constante y se deriva con respecto a y.
DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES
Si w = f(x,y,z), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x, y y z
son las funciones fx, fy y fz definidas por
D-2
Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.
Es importante tener presente que las derivadas parciales de una función de dos variables, z =f(x,y) tienen una interpretación geométrica útil. Informalmente,
los valores y en un punto (x0,y0,z0) denotan las pendientes de la
superficie en las direcciones de x y y, respectivamente. Ver las siguientes figuras:
z
D-3
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc. Derivadas parciales de una función de varias variables. Por ejemplo:
1) Derivar dos veces con respecto a x:
2) Derivar dos veces con respecto a y:
3) Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
4) Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:
Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas.
IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS
Si f es una función de x y y y tal que fxy y fyx son continuas, entonces, para todo (x,y)
D-4
fxy(x,y) = fyx(x,y)
Ejemplo 1
Aplique la definición de derivada parcial para calcular fx(x,y) y fy(x,y) si:
f(x,y) = 3x2 – 2xy + y2
Solución
=
=
Ejemplo 2
Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y.
Solución
D-5
f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y
fx(x,y) = 3 - 2xy2 + 6x2y
f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y
fy(x,y) = -2x2y + 2x3
Ejemplo 3
Dada f(x,y) = hallar fx y fy, y evaluar cada una en el punto (1,ln2).
Solución
f(x,y) =
fx(x,y) =
fx(1,ln2) =
f(x,y) =
fy(x,y) =
fy(1,ln2) =
D-6
Ejemplo 4
Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por
f(x,y) = - en el punto (1/2,1,2).
Solución
f(x,y) = -
fx(x,y) = -x
Pendiente en la dirección de x es:
fx(1/2,1) = -
f(x,y) = -
fy(x,y) = -2y
Pendiente en la dirección de y es:
fy(1/2,1) = -2(1) = -2
Ejemplo 5
Hallar la derivada parcial de f(x,y,z) = xy + yz2 + xz con respecto a z.
Solución
fz(x,y,z) = 2yz +x
D-7
Ejemplo 6
Dada f(x,y,z) = z.sen(xy2 + 2z), hallar fz(x,y,z).
Solución
fz(x,y,z) = z.cos(xy2 + 2z) + sen(xy2 + 2z) = 2z. cos(xy2 + 2z) + sen(xy2 + 2z)
Ejemplo 7
Dada f(x,y,z,w) = , hallar fw(x,y,z,w).
Solución
fw(x,y,z,w) =
Ejemplo 8
Dada f(x,y) = 3xy2 – 2y + 5x2y2, hallar fxx(x,y), fyy(x,y), fxy(x,y) y fyx(x,y).
Solución
fx(x,y) = 3y2 + 10xy2
D-8
fxx = 10y2
fy(x,y) = 6xy – 2 + 10x2y
fyy= 6x + 10x2
fxy(x,y) = 6y + 20xy
fyx(x,y) = 6y + 20xy
Ejemplo 9
Demostrar que fxz = fzx y fxzz = fzxz = fzzx para la función dada por:
f(x,y,z) = y
Solución
fx(x,y,z) = y.
fz(x,y,z) =
fxz(x,y,z) =
D-9
fxz(x,y,z) = fzx(x,y,z)
fzx(x,y,z) =
fxzz(x,y,z) =
fzxz(x,y,z) = fxzz(x,y,z) = fzxz(x,y,z) = fzzx(x,y,z)
fzzx(x,y,z) =
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Encuentre fx(x,y) y fy(x,y) dadas:
a) z =
b) z =
c) z =
d) z =
e) z = sen(3x).cos(3y)
2) Empleando la definición de derivadas, calcule fx(x,y) y fy(x,y) dada:
D-10
f(x,y) =
3) Encuentre fx(x,y,z), fy(x,y,z) y fz(x,y,z), dada:
a)
b) w =
4) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observe que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales
a) z = arctg
b) z =
D-11
REGLA DE LA CADENA
REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Sea w = f(x,y), donde f es una función derivable de x y y. Si x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y
w
x y
t t
D-12
Regla de la cadena: una variable dependiente w, es función de x y y, lasque a su vez son funciones de t. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a t.
Ejemplo 1
Hallar dw/dt cuando t = 0, aplicando la regla de la cadena, dada w = x2y – y2, donde x = sent y y = et.
Solución
w
x y
t t
=
=
Cuando t = 0
REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES
D-13
Sea w = f(x,y), f es una función diferenciable de x y y. Si x = g(s,t) y
y = h(s,t), son tales que las derivadas parciales de primer orden
y , existen, entonces y existen y están dadas por:
w
x y
t s t s
Regla de la cadena: una variable dependiente w, es función de x y y las que a su vez son funciones de s y t. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a t y s.
Ejemplo 2
Encuentre , dada w = 2xy, x = s2 + t2 y y = s/t
Solución
w
D-14
x y
t s t s
=
La regla de la cadena puede extenderse a cualquier numero de variables.
Ejemplo 3
Dada w = xy + yz + xz, x = s.cost, y = s.sent y z = t, para s=1 y t=2 . Hallar
Solución
D-15
w
x y z
s t s t t
Entonces, para s=1 y t=2π, tenemos que:
=
= 2 + 2
REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLICITA
Si la ecuación F(x,y) = 0 define a y implícitamente como función derivable
de x, entonces:
D-16
Si la ecuación F(x,y,z) = 0 define a z implícitamente como una función dife-
renciable de x y y, entonces:
Ejemplo 4
Dada y3 + y2 – 5y – x2 + 4 = 0, hallar
Solución
Definiendo: F(x,y) = y3 + y2 – 5y – x2 + 4
Fx(x,y) = -2x
Fy(x,y) = 3y2 + 2y – 5
Luego:
Ejemplo 5
Dada la ecuación: 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5 = 0, hallar .
Solución
Definiendo: F(x,y,z) = 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5
D-17
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Sean u = x2 + y3, x = r.es y y = r.e-s, aplicar la regla de la cadena para
calcular . Resp.
2) Sean y = 2wz + z2, w = ex y z = cosx, calcule la derivada total ,
aplicando la regla de la cadena. Resp.
3) Sean u = x2+ yz, x = r.sent, y = r.cost y z = r.sen2t; calcule
Resp. .
4) Calcule , si x.cosy + y.cosx – 1 = 0. Resp. .
5) Calcule si 4z3 + 3xz2 – xy2 – 2x2y + 7= 0.
Resp.
D-18
6) Calcule si u = ey/r, x = 2r.cost y y = 4r.sent.
Resp.
7) Calcule si u = arcsen(3x+y), x = r2.ex, y = sen(rs).
Resp.
8) Calcule si u = x2 + y2 + z2, x = r.sen .cos , y = r. sen .sen y
Z = r.cos . Resp. cos + 2ysen sen + 2zcos
cos + 2y.rcos sen - 2z.rsen
sen .sen + 2y.rsen cos
9) Calcule si w = sen(2x+3y), x = s + t y y = s – t; evalue para
s=0, t=
10) Calcule aplicando la regla de la cadena la dada w = ln(x2+y2+z2),
X = u.ev.senu, y = u.ev.cosu, z = u.ev. Evaluar para (u,v) = (-2,0). (PARA EL TRABAJO)
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