Matemática Básica (Ing.) 2
Consideraciones previas: La litotriciaEs un procedimiento médico que utiliza ondas de choque de alta frecuencia para romper cálculos (piedras) que se forman en el riñón, la vejiga, los uréteres o la vesícula biliar.
Note la utilidadde la elipse enaplicacionesen la medicina.
Matemática Básica (Ing.) 3
La elipse
Es el conjunto de puntos (x; y) del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2
(focos) es una constante.
Eje focal
CentroFocos
Vérticesd1 + d2 = constante
d1
d2
Matemática Básica (Ing.) 4
Ecuación de la elipse
d1d2
2 2 2 2( ) ( 0) ( ) ( 0) 2x c y x c y a
12
2
2
2
by
ax
d1 + d2 = 2a
222 cba
Del triángulo
Matemática Básica (Ing.) 5
Ecuación de la elipseLas elipses están centradas en el origen con focosen el eje x (a) y en el eje y (b)
y
x
(0, b)
(0, -b)
(-c, 0)(-a, 0) (c, 0) (a, 0)
ab
c
Semieje mayor: a
12
2
2
2
by
ax
12
2
2
2
bx
ay
y
x
Sem
ieje
mayor:
a
(0, a)
(0, -a)
(b, 0)(-b, 0)
ac
b
(0, -c)
(0, c)(a) (b)
Matemática Básica (Ing.) 6
Ejemplos
Determine los vértices y los focos de la elipse
2 216 25 400x y
3649 22 yx
a)
b)
Matemática Básica (Ing.) 7
Elipses con centro (0; 0)
Ecuación estándar
Eje focal
Focos
Vértices
Semieje mayor
Semieje menor
Relación pitagórica
Eje x
(c; 0)
(a; 0)
a
b
12
2
2
2
by
ax
222 cba
Eje y
(0; c)
(0; a)
a
b
12
2
2
2
bx
ay
222 cba
Matemática Básica (Ing.) 8
Para trazar una elipse
EjercicioDetermine la ecuación de la elipse con focos (0; -3) y(0; 3), cuya longitud del eje menor es 4. Bosqueje la elipse.
1. Dibuje los segmentos de recta en x = a y en y = b y complete el rectángulo que queda determinado por lossegmentos.
2. Inscriba una elipse que sea tangente al rectángulo en(a; 0) y en (0; b).
x
y
a-a
b
-b
12
2
2
2
by
ax
Matemática Básica (Ing.) 9
Traslación de elipses
Si la elipse tiene centro (h, k)
1)()(
2
2
2
2
bky
ahx
1)()(
2
2
2
2
bhx
aky
y
x
(h, k+b)
(h, k–b)
(h–c, k)
(h–a, k)
(h+c, k) (h+a, k)
Semieje mayor: a
(h, k)
Sem
ieje
mayor:
a
y
x
(h, k+a)
(h, k–a)
(h+b, k)(h–b, k)
(h, k–c)
(h, k)
y(h, k+c)
(h, k)
Matemática Básica (Ing.) 10
Ejercicios
1. Grafique la elipse
19
)2(4
)1( 22
yx
2. Determine la forma estándar de la ecuación de la elipse cuyo eje mayor tiene sus puntos extremos en (-2; -1) y (8; -1), y cuya longitud del eje menor es 8.
Matemática Básica (Ing.) 11
Excentricidad de una elipse
La excentricidad de una elipse es
aba
ac
e22
En donde a es el semieje mayor, b es el semiejemenor y c es la distancia del centro de la elipse acualquiera de los focos.
10, e
Matemática Básica (Ing.) 12
Modelación
Un carpintero desea construir una mesa con cubierta elíptica a partir de una plancha de madera de 4 pies por 9 pies. El trazará una elipse por medio del método de “tachuelas y cuerda”. ¿Qué longitud de cuerda debe usar y que tan apartadas deben estar las tachuelas si la elipse será la más grande posible que se pueda cortar con la hoja de madera?
Trazo de una elipse en una plancha contraplacada
Matemática Básica (Ing.) 13
1. Para una elipse que genera el elipsoide de un litotriptor el eje mayor tiene extremos (-8; 0) y (8; 0). Un punto final del eje menor es (0; 3,5). Determine las coordenadas de los focos.
2. La elipse para generar el elipsoide de un litrotriptor tiene un eje mayor de 12 pies y un eje menor de 5 pies. ¿Qué tan lejos del centro están los focos?
Modelación
Top Related