MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 1
MAT4 EJERCICIOS DE MODELADO 1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez
proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en cinco años, ¿en cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?
i) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o
general de éste.
ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.
Datos: Población inicial: 0P
Población para 0=t es: ( ) 00 PP =
Población se duplico en cinco años: ( ) 025 PP =
Interrogantes: (a) ¿en cuánto tiempo se triplicara? ( ) 03PtP =
(b) ¿en cuánto tiempo se cuadruplicara? ( ) 04PtP =
iii) Escoger el modelo matemático a utilizar o construir la ecuación
diferencial, basados en el enunciado del problema. Debido a que el problema plantea aumento en la población el modelo matemático a utilizar es el correspondiente a crecimiento y decaimiento:
kPdtdP
=
Donde k es la constante de proporcionalidad.
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 2
iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas, Lineales, Homogéneas o Bernoulli). La E.D. es lineal, pero también se puede resolver por variables separables. Entonces, resolviéndola por variables separables, se tiene: a) Separando variables, tenemos:
kdtPdP
kPdtdP
kPdtdP
=
=
=
b) Integrando ambos miembros y luego reduciendo, se tiene:
∫ ∫= dtkdtdP
kt
Ckt
CktP
CePeePee
CktP
=
=
=
+=+ln
ln
Puede observarse que en la solución general hay dos parámetros (constantes), cuyo valor numérico hay que hallar utilizando las condiciones iniciales (datos) del problema.
v) Hallar el valor numérico de la constante de integración y/o la constante de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos).
a) Evaluando en: ( ) 00 PP =
( )
( )CPCPCeP
CeP k
===
=
0
0
00
00
1
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b) Evaluando en: ( ) 025 PP =
( )
k
k
ke
ePP
ePP
k
k
k
=
=
==
=
=
1386.05
2ln52lnln2ln
22
5
5
0
0
500
Tenemos que 14.01386.0 0 ≈=∧= kPC
vi) Escribir la Solución Particular.
Sustituir los valores encontrados de C y k en la solución general para
tener la solución particular con la que se responderán a las interrogantes:
( ) tePtP 14.00 =
Nota: Si bien en la solución particular se ha sustituido k por 0.14, al
momento de hacer operaciones utilizando su calculadora usar todos los decimales.
vii) Responder a las interrogantes del problema.
a) ¿en cuánto tiempo se triplicara?
Evaluar en: ( ) 03PtP =
t
t
te
ePP
ePP
t
t
t
=
=
==
=
=
9248.714.03ln
14.03lnln3ln
3 3
14.0
14.0
0
0
14.000
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Se triplicará en añost 92.7=
b) ¿en cuánto tiempo se cuadruplicara?
Evaluar en: ( ) 04PtP =
t
t
te
ePP
ePP
t
t
t
=
=
==
=
=
1014.04ln
14.04lnln4ln
4 4
14.0
14.0
0
0
14.000
Se cuadruplicará en añost 10=
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2. Un termómetro se lleva del interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es 5º F. Después de un minuto, el termómetro indica 55º F; cinco minutos después marca 30º F. ¿Cuál era la temperatura del interior?
i) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o
general de éste. ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un
listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.
Datos: Temperatura del aire (ambiental): FTm0 5=
Temperatura después de un minuto ( ) FT 0551 =
Temperatura después de cinco minutos ( ) FT 0305 =
Interrogantes: (a) ¿Temperatura del interior? (temperatura inicial
del termómetro ( ) 00 TT = )
iii) Escoger el modelo matemático a utilizar o construir la ecuación
diferencial, basados en el enunciado del problema. Debido a que el problema es acerca de Temperaturas, el modelo matemático a utilzar es el de Calentamiento y enfriamiento de Newton:
( )mTTkdtdT
−=
Donde k es la constante de proporcionalidad.
iv) Resolver la ecuación diferencial. La E.D. es lineal, pero también se puede resolver por variables separables. Entonces, resolviéndola por variables separables, se tiene:
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a) Separando variables, tenemos:
( )
( )
kdtTdT
kdtTT
dTdtTTkdT
TTkdtdT
m
m
m
=−
=−
−=
−=
5
b) Integrando ambos miembros y luego reduciendo, se tiene:
∫ ∫=−
dtkTdT
5
( )( )
55
5ln5ln
+=
=−
=
+=−+−
kt
kt
CktT
CeTCeT
eeCktT
Puede observarse que en la solución general hay dos parámetros (constantes), cuyo valor numérico hay que hallar utilizando las condiciones iniciales (datos) del problema.
v) Hallar el valor numérico de la constante de integración y/o la constante
de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos).
a) Evaluando en: ( ) FT 0551 =
( )
k
k
k
eC
dondedeCeCe
50:
50555 1
=
=
+=
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 7
b) Evaluando en: ( ) FT 0305 =
( )
k
k
k
eC
dondedeCeCe
5
5
5
25:
25530
=
=
+=
c) Resolver el sistema de ecuaciones que se ha generado al evaluar
las condiciones iniciales:
keC 50= (a) ke
C 5
25= (b)
Usando el método por igualación (a) = (b), se tiene
( )( )( )
17328.04
2/1ln2/1ln4
2/1lnln
5025
2550
4214
5
5
−=
=
==
=
=
=
k
k
ke
eee
ee
k
k
k
k
kk
d) Sustituyendo el valor de en (a), tenemos:
( )
4603.59
2517328.05
=
= −
Ce
C
Tenemos que 17.017328.0 46.59 −≈−=∧= kC
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 8
vi) Escribir la Solución Particular. Sustituir los valores encontrados de y en la solución general para
tener la solución particular con la que se responderán a las interrogantes:
C k
( )
( ) 546.59:
5 46.59
17.0
17.0
+=
+= −
t
t
etT
luegoetT
vii) Responder a las interrogantes del problema.
a) Temperatura del interior? (temperatura inicial del termómetro)
( ) 00 TT =
( )
46.64
5146.59
546.59
0
0
017.00
=
+=
+=
T
T
eT
La temperatura al interior era de FT 00 46.64=
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3. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 voltios a un circuito en serie RC, donde la resistencia es de 200 ohmios y la capacitancia es de 10– 4 faradios. Determine la carga q(t) del capacitor si q(0) = 0. Halle la carga cuando t → ∞. Halle la corriente i(t).
i) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o
general de éste. ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un
listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.
Datos: Fuerza electromotriz: ( ) voltiostE 100=
Resistencia: ohmiosR 200=
Capacitancia: faradiosC 10 4−=
Circuito: RC
Interrogantes: (a) ¿carga del capacitor: ( ) ( ) 00 , =qsitq ?
(b) carga cuando ∞→t
(c) corriente ( )ti
iii) Escoger el modelo matemático a utilizar o construir la ecuación
diferencial, basados en el enunciado del problema. El problema es de circuitos eléctricos. En este caso un circuito en serie RC, por lo que hay que usar la segunda ley de Kirchhoff (página 96 del libro texto).
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 10
La E.D. a usar es:
( )tEqCdt
dqR =+1
La caída de voltaje de la resistencia R es dtdqRRi = ya que
dtdqi = ;
más la caída de voltaje del capacitor C , la cual es qC1 , es igual a
la fuerza electromotriz ( )tE , la cual se considera constante.
Luego, al sustituir los valores de: ( ) RyCtE , , , la E.D. queda de la
siguiente manera:
10010000200
10010200
10010
1200
4
4
=+
=+
=+ −
qdtdq
qdtdq
qdtdq
iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas,
Lineales, Homogéneas o Bernoulli). La E.D. es lineal, así es que se seguirá el método respectivo para resolverla:
a) Escribir la E.D. 10010000200 =+ qdtdq , en la forma estándar
( ) ( )tfqtPdtdq
=+ :
5.050
200100
20010000
200
200
10010000200
=+
=+
=+
qdtdq
qdtdq
qdtdq
Donde: ( )( ) 5.0
50==
tftP
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b) Calcular el factor integrante: ( ) ( )∫=dttP
etµ :
( ) tdteet 5050
=∫=µ
c) Escribir la E.D. en la forma: ( )( ) ( ) ( )dttftqtd µµ =
( ) ( )( )( )∫ ∫
∫ ∫=
=
dteqed
dteqedtt
tt
5050
5050
5.0
5.0
d) Integrar ambos miembros:
Ceqe
Ceqe
Ceqe
tt
tt
tt
+=
+=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
5050
5050
5050
01.0100
505.0
e) Despejar q :
t
t
eCq
eCq
50
50
01.0
1001
+=
+=
v) Hallar el valor numérico de la constante de integración y/o la constante
de proporcionalidad evaluando las condiciones iniciales (datos). En este caso no hay constante de proporcionalidad, así que solo se
hallara el valor de la constante de integración, evaluando en: ( ) 00 =q
( )
C
Ce
C
=−
=−
+=
01.01
01.0
01.00 050
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 12
vi) Escribir la Solución Particular. Sustituyendo el valor de C en la solución general se tiene la solución
particular:
( ) tetq 50
01.001.0 −=
vii) Responder a las interrogantes del problema.
(a) Carga del capacitor: ( ) ( ) 00 , =qsitq :
Esta es (en este caso) la solución particular encontrada:
( ) tetq 50
01.001.0 −=
(b) Carga cuando ∞→t
Para encontrar la carga para un periodo bastante largo ( ∞→t )
se encuentra evaluando el límite:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
∞→∞→ ttt etq 50
01.001.0limlim
( )
01.0001.0
01.001.0
01.001.0
01.001.0 50
=−=
∞−=
−=
−=
∞
∞
e
e
Por lo tanto: ( ) 01.0lim =∞→
tqt
coulombs
(c) Corriente ( )ti
Se sabe que ( )dtdqti = , entonces para hallar ( )ti lo que se hará
es hallar la derivada de la solución particular:
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 13
( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) t
t
t
t
eti
etieti
edtdti
dtdqti
50
50
50
50
5.05.0
5001.00
01.001.0
=
=
−−=
−=
=
−
−
−
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4. El modelo demográfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad está descrito con el problema de valor inicial:
( )NNdtdN 71 1010 −− −= , ( ) 50000 =N
en donde t se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite?
i) Leer el problema en su totalidad para tener un panorama global o general de éste.
ii) Leer el problema de nuevo, pero ahora detenidamente, e ir haciendo un listado de la información (datos) explícita e implícita que el enunciado de éste proporciona. Hacer diagramas, bosquejos o dibujos. Anotar también, las preguntas o interrogantes a resolver.
Datos: Población inicial: ( ) 50000 =N
Interrogantes: (a) ¿Cuál es el valor límite de la población?, Es decir,
( )tNt ∞→lim
(b) ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite?
iii) Escoger el modelo matemático a utilizar o construir la ecuación
diferencial, basados en el enunciado del problema. El modelo matemático a usar ya esta dado en el problema. Es decir, que la E.D. a utilizar es:
( )NNdtdN 71 1010 −− −=
iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas,
Lineales, Homogéneas o Bernoulli). La E.D. se puede resolver como variables separables o Bernoulli. Se resolverá como Bernoulli: Tenemos:
( )NNdtdN 71 1010 −− −=
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 15
a) Escribir la E.D. en la forma: ( ) ( ) nNtfNtPdtdN
=+ , e identificar:
( ) ( ) nytftP ,
( ) ( ) 2, 10, 10:
1010
1010
71
271
271
=−=−=
−=−
−=
−−
−−
−−
ntftPdonde
NNdtdN
NNdtdN
b) Hacer: nNW −= 1
NNNW 1121 === −−
c) Formar la E.D. Lineal Reducida: ( ) ( ) ( ) (tfnWtPndt
dW−=−+ 11 )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 71
71
71
10 10:
1010
10211021
−−
−−
−−
==
=+
−−=−−+
tfytPdonde
Wdt
dW
Wdt
dW
d) Resolver la E.D.lineal reducida:
71 1010 −− =+ Wdt
dW
Calcular el factor integrante: ( ) ( )∫=dttP
etµ :
( ) 10/1010 11ttdt
eeet ==∫=−−
µ
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Escribir la E.D. en la forma: ( )( ) ( ) ( )dttftWtd µµ = :
( ) ( )( )( ) dteWed
dteWedtt
tt
10/710/
710/10/
1010
−
−
=
=
Integrar ambos miembros:
( )
CeWe
CeWe
dteWed
tt
tt
tt
+=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
−
−
−∫ ∫
10/610/
10/710/
10/710/
10
10/110
10
Despejar W
10/6
10/
6
6
10/
10/6
10/
10/6
10
1010 10
10
t
t
t
t
t
t
eCeW
eCeW
eCeW
+=
⋅+
=
+=
−
−
e) Sustituir W para recobrar la variables originales y reducir:
CeeN
eCe
N
t
t
t
t
+=
+=
10/
10/6
10/6
10/
1010
1
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 17
v) Hallar el valor numérico de la constante de integración evaluando las condiciones iniciales (datos).
Evaluando en: ( ) 50000 =N , tenemos:
( )
1995000
9950009950005000
10500050001015000
1105000
105000
6
6
6
10/0
10/06
=
=
==+
=++
=
+=
C
C
CC
CC
Cee
vi) Escribir la Solución Particular.
La solución particular es: ( )
19910
10/
10/6
+= t
t
eetN
vii) Responder a las interrogantes del problema.
a) ¿Cuál es el valor límite de la población?, Es decir, ( )tNt ∞→lim
( )
∞∞
=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
∞
∞
∞→
∞→
19910
19910lim
lim
10/
10/6
10/
10/6
ee
ee
tN
t
t
t
t
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 18
Usando la Regla de L´Hopital, tenemos:
( )
000,000,110
1010lim
1010lim
19910lim
lim
6
1
5
10/1
10/5
10/
10/6
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
= −∞→−∞→∞→
∞→
tt
t
tt
t
t
t
ee
ee
tN
b) ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite? Tenemos que:
( )000,500
2000,000,1
2
lim==∞→
tNt
Entonces, se evaluará la solución particular ( )199
1010/
10/6
+= t
t
eetN en:
( ) 000,500=tN
19910000,500 10/
10/6
+= t
t
ee
y se despeja t :
mesestt
te
ee
eee
e
t
t
t
tt
t
t
93.52199ln10
10199ln
ln199ln199
000,500000,500,9910000,500,99000,500
19910000,500
10/
10/
10/
10/610/
10/
10/6
=⇒=
=
=
=
=
=++
=
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 19
OTRA FORMA DE RESOLVERLA: iv) Resolver la ecuación diferencial (Variables Separables, Exactas, Lineales,
Homogéneas o Bernoulli). La E.D. se puede resolver como variables separables o Bernoulli. Se
resolverá como variables separables:
Tenemos:
( )NNdtdN 71 1010 −− −=
a) Separando variables, se tiene:
( ) dtNN
dN=
+− −− 17 1010
b) Integrando ambos miembros:
( )
10/17
10/17
10/1010ln
1117
171
17
1010
1010
10101010
ln
1010ln
101
1010
17
t
Ct
CtNN
CeNN
eeNN
ee
CtNN
CtNN
dtNN
dN
=+−
=+−
=
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=+−
−−
−−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
−−−−
−−−
−−
−−
∫ ∫
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 20
c) Despejando N , se tiene:
( )
( )
10/7
10/6
7
7
10/7
10/1
10/110/7
10/110/7
10/110/7
1710/
10/17
1010
1010
10110
101011010
10101010
1010
t
t
t
t
tt
tt
tt
t
t
CeCeN
CeCeN
CeCeNCeCNeN
CeCNeNNCeN
CeNN
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+=
=+
=+
+−=
+−=
=+−
−
−
−−
−−
−−
−−
−−
v) Hallar el valor numérico de la constante de integración evaluando las
condiciones iniciales (datos).
Evaluando en: ( ) 50000 =N , tenemos:
( )
( )
25628.5025110510
10510510105
1010510510105000
10105000
10105000
36
10
3610
6310
67
7
6
10/07
10/06
=×−
×=
×−=×
=×+×
=++
=
+=
C
C
CCC
CCC
CCe
Ce
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 21
vi) Escribir la Solución Particular.
La solución particular es: 10/47
10/10
10025.51010025.5
t
t
eeN
×+×
=
vii) Responder a las interrogantes del problema.
a) ¿Cuál es el valor límite de la población?, Es decir, ( )tNt ∞→lim
( )
∞∞
=
×+×
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+
×=
∞
∞
∞→
∞→
10/47
10/10
10/47
10/10
10025.51010025.5
10025.51010025.5lim
lim
ee
ee
tN
t
t
t
t
Usando la Regla de L´Hopital, tenemos:
000,000,1
1010025.510025.5
10025.510025.5lim
10025.510025.5lim
10025.510025.5lim
10025.51010025.5lim
63
9
3
9
10/3
10/9
10/3
10/9
10/47
10/10
=
=××
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
/×/×
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛××
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+
×=
∞→
∞→
∞→
∞→
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
ee
ee
ee
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MODELADOS CON E.D. DE PRIMER ORDEN 22
b) ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite?
Tenemos que:
( )000,500
2000,000,1
2
lim==∞→
tNt
Entonces, se evaluará la solución particular 10/47
10/10
10025.51010025.5
t
t
eeN
×+×
=
en: ( ) 000,5000=tN , luego:
mesest
te
ee
eee
e
t
t
t
tt
t
t
93.52199ln1010
199ln
ln199ln199
10512.210510025.510512.2105
10025.51010025.5000,500
10/
10/
10/1012
10/1010/1012
10/47
10/10
==⇒
=
=
=
×=×
×=×+××+
×=
MATEMÁTICA IV [email protected]