Modelos de Tasa de Inters y Riesgo de DefaultMotivacin y Programa
Alexander Guarn Lpez
II Semestre 2015
Maestra en Actuara y FinanzasUniversidad Nacional de Colombia
Bogot, Colombia
Motivacin y Programa 1 / 59
Programa
1 Modelos para la tasa de inters (i.e. modelos deestructura a plazos ) y sus derivados
2 Una muy breve mirada a modelos de riesgo de default yderivados de crdito
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Por qu estudiar modelos para la tasa de intersy sus derivados?
Por qu estudiar modelos de riesgo de default yderivados de crdito?
Por qu estudiar modelos de riesgo de default enun curso de modelos para la tasa de inters?
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Modelos para la tasa de inters y sus derivados:Motivacin
El mercado de derivados de tasa de inters es el mercado de derivados ms grandedel mundo. El BIS estim para Junio de 2012 el valor nominal de contratos detasa de inters OTC en US$494 trillions, y para swaps OTCF sobre tasa de intersde US$342 trillions.
Este tipo de instrumentos son muy utilizados para cubrir la exposicin al riesgo ypara especular (e.g. CDS y CDOs).
Existen mltiples derivados Vanilla sobre la tasa de inters (Swap (fija xflotante), cap, floor, swaption, bond option, forward rate agreement)
La estructura a plazos de la tasa de inters es fuente potencial deinformacin sobre
choques macroeconmicos, y cambios en las expectativas de losagentes sobre la evolucin futura de los indicadores econmicos.
Motivacin y Programa 4 / 59
Riesgo de default y derivados de crdito: Motivacin
Los derivados de crdito son muy populares en el mercadoLa cantidad nominal de CDS en el mercado fue de $32 trillions en Junio de2011, despus de haber alcanzado un monto de $6 trillions en 2004 (BIS)
Este tipo de instrumentos son muy utilizados para cubrir la exposicin alriesgo y para especular (e.g. CDS y CDOs)
Los derivados de crdito
Contienen informacin implicita sobre el riesgo de default (e.g. CDS): Estoes muy importante para administradores de portafolio
Estimacin del riesgo de default puede ayudar al pricing de otros derivados(e.g. Defaultable bonds, CDS y ndices de crdito).
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Riesgo de default y derivados de crdito: Motivacin
Riesgo de default, probabilidad de default y su dinmica pueden sermuy diferentes entre compaas y sectores econmicos
06 07 08 09 100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
bps
1Y3Y5Y7Y10Y
(a) AMERICAN EXPRESS
06 07 08 09 100
20
40
60
80
100
120
bps
1Y3Y5Y7Y10Y
(b) COCA COLA
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Temas principales, objetivo y metodologa
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Temas principales del curso
Modelos para la tasa de inters:La curva de rendimientos, su estimacin y ajuste a los datosModelos afn, y estructura a plazos para uno y dos factores (Modelos clsicoscomo Vasicek, CIR y Exponential-Vasicek).Otros modelos (HJM y market models)Derivados sobre la tasa de inters.
Modelos de riesgo de default y derivados de crdito:Modelos en forma reducida.Derivados con un slo subyacente (e.g. Defaultable bonds y CDS).
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Objetivo
Objetivo del curso:Proporcionar al estudiante un conjunto de herramientas tericas y prcticasen el desarrollo de modelos para la tasa de inters y el riesgo de default, ascomo la valoracin de derivados asociados a estos subyacentes.
Al final del semestre,el estudiante deber estar en la capacidad de identificar y solucionar algunosde los modelos estndar dentro de la literatura de estructura a plazos de latasa de inters y riesgo de default, as como utilizar estos modelos para lavaloracin de distintos derivados.
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Metodologa
La clase est dividida en dos sesiones semanales.
En las clases se llevar a cabo tanto la presentacin terica de cadauno los temas, as como de ejemplos relevantes sobre los mismos.
La parte prctica del curso se desarrolla en Matlab. Se sugiere tener ladisponibilidad de un computador porttil para la clase.
Motivacin y Programa 10 / 59
El contenido en un mayor detalle....
Motivacin y Programa 11 / 59
Modelos de tasa de inters y la valoracin de susderivados....
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Modelos de tasa de inters y la valoracin de sus derivados
Introduccin, definiciones y notacinTasa de inters, bonos cupn cero y con cupones, tasas spot y forward,duracin, convexidad, inmunizacin de portafolios, etc.Tasa de inters de corto plazo y la curva de rendimientos: estimacin yajuste a los datos. Valoracin bajo no arbitraje.Derivados sobre la tasa de inters (swaps, forward swaps, caps/floors,swaptions)
Estructura a plazos de la tasa de inters:Un slo factor
Modelos clsicos: Vasicek, Dothan, Cox-Ingersoll-Ross (CIR),Exponential-Vasicek y Hull-While; Modelos Afn.
Dos factoresModelos clsicos y modelo Gaussiano G2++
Otros modelos:Heath-Jarrow-Morton (HJM)Market Models (LFM y LSM)Volatility (CEV y stochastic volatility)
Motivacin y Programa 13 / 59
Curva cero cupn: Curva de rendimientos
Motivacin y Programa 14 / 59
Estructura a plazos de los factores de descuento
Motivacin y Programa 15 / 59
Estructura a Plazos de la Tasa de Inters
0506
0708
0910
1112
13
0
5
10
152
4
6
8
10
12
14
16
Trading DateMaturity (years)
Yie
lds
(%)
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Diferentes aproximaciones de la curva de rendimientos
Modelos financieros
VAR
Modelos de factores Macro y factores latentes
Modelos Semi-estructurales
?
Modelos DSGE
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Modelo de factores latentes y factores macroeconmicos
Representacin estado-espacio:
Latent-Factor Model
yt = A+Bf ft + tf t f
= f
f t1 f
+ ft .
Macro-Factor Model (Ang & Piazzesi(2003) yDiebold(2006))
ytmt
=
A0
+
BmI
mt +
t0
(mt m) = m (mt1 m) + mt
Motivacin y Programa 18 / 59
Ajuste de la curva de rendimientos con factores latentes
05 07 10 120.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12yi(1)
05 07 10 120.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14yi(5)
05 07 10 120.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15yi(10)
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Factores latentes: Nivel y pendienteCada panel compara el factor latente con su medida emprica
Level Slope
05 06 07 08 09 10 11 122
3
4
5
6
Index
4
6
8
10
12
Perce
nt (%
)
Level Latent Factor(y(3) +y(24) + y(120))/3
05 06 07 08 09 10 11 120.4
0.3
0.2
0.1
0
Index
8
6
4
2
0
Perce
nt (%
)
Slope Latent Factory(3) y(120)
Motivacin y Programa 20 / 59
Modelos de tasa de inters de corto plazo (i.e. instantnea)
Motivacin y Programa 21 / 59
Estructura a plazos de la tasa de inters: Un slo factor -Proceso CIR
Considere
Un escenario donde el precio de un bono cupn cero es dado por
P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp
t0 rsds
donde la tasa de inters instantnea rtsigue un proceso CIR
drs = r (rrs) ds + rprsdW rs rt follows a CIR process.
Motivacin y Programa 22 / 59
Estructura a plazos de la tasa de inters: Un slo factor -Proceso EV
Considere
Un escenario donde el precio de un bono cupn cero es dado por
P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp
t0 rsds
donde la tasa de inters instantnea rtsigue un proceso EV
rs = expys , dys = ri (lnriys) ds + v rdW rs rt follows a EV process.
Motivacin y Programa 23 / 59
Estructura a plazos de la tasa de inters: Dos factores -Procesos CIR
Considere
Un escenario donde el precio de un bono cupn cero es dado por
P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp
t0 rsds
donde la tasa de inters instantnea rt es dada por dos factores que siguenprocesos CIR
rs =2X
i=1
xi,s , i = 1, 2, dxi,s = i (ixi,s) ds + ipxi,sdWi,s
i,j = E [dWi,s , dWj,s ] , i , j = 1, 2
Motivacin y Programa 24 / 59
Estructura a plazos de la tasa de inters: Dos factores -Procesos EV
Considere
Un escenario donde el precio de un bono cupn cero es dado por
P (0, t) = E [D (0, t)] = Eexp
t0 rsds
donde la tasa de inters instantnea rt es dada por dos factores que siguenprocesos EV
rs =2X
i=1
expyi,s , i = 1, 2, dyi,s = i (lniyi,s) ds + vidWi,s
i,j = E [dWi,s , dWj,s ] , i , j = 1, 2.
Motivacin y Programa 25 / 59
Problemas and Soluciones
1 Problemas:
Cmo calcular
P (0, t) = Eexp
t0 rsds
No hay una solucin en forma cerrada para el modelo EV.La solucin en forma cerrada para el modelo CIR multi-factor requiereque
i,j = E [dWi,s , dWj,s ] = 0, i , j = 1, . . . ,N
Solucin:Approximation by numerical methods
Motivacin y Programa 26 / 59
Solucin
1 Solucin analtica
2 Mtodos de simulacin Monte Carlo
3 Mtodos de diferencia finita
Motivacin y Programa 27 / 59
Mtodos de simulacin Monte Carlo
Motivacin y Programa 28 / 59
Mtodos de diferencia finita
Partial Dierential Equation+
Initial and Boundary Conditions
Motivacin y Programa 29 / 59
Experiments: Proceso CIR
Zero-coupon bond price:
Parameters:One-factor model: k1 = 0.2, 1 = 0.035, 1 = 0.10.Two-factor model: We further assume that k2 = 0.1, 2 = 0.015,2 = 0.05, and i,j = 0.
RBF interpolation: 200 centers and 200 time stepsOne-factor: Halton collocation in a spatial domain [0, 1].Two-factor: 4 groups of 50 points each under a uniform distributionover the spatial domain
FDM:One-factor: grid Nx1 Nt with Nx1 = 200 and Nt = 200.Two-factor: grid Nx1 Nx2 Nt with Nx1 = Nx2 = 200 and Nt = 200.
Motivacin y Programa 30 / 59
Zero-Coupon Bond Price: CIR Model
(c) One-Factor CIR Model (d) Two-Factor CIR Model
Motivacin y Programa 31 / 59
Zero-Coupon Bond Price: One-Factor CIR Model
(A) Analytical Solution
r10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.015 0.9833 0.9424 0.8960 0.8479 0.7764
0.020 0.9789 0.9319 0.8823 0.8326 0.7607
0.025 0.9744 0.9216 0.8688 0.8177 0.7454
0.030 0.9700 0.9113 0.8555 0.8030 0.7304
0.040 0.9613 0.8912 0.8296 0.7745 0.7012
(B) RBF Interpolation: Approximation Error
r10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.015 1.9E-07 3.1E-07 3.0E-07 2.4E-07 1.5E-07
0.020 1.6E-07 2.3E-07 2.0E-07 1.4E-07 7.2E-08
0.030 7.4E-08 5.1E-08 -1.6E-08 -5.6E-08 -6.9E-08
0.040 -2.8E-08 -1.5E-07 -2.3E-07 -2.4E-07 -2.0E-07
Motivacin y Programa 32 / 59
Zero-Coupon Bond Price: Two-Factor CIR Model
(A) Analytical Solution
r10 r20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.015 0.010 0.9733 0.9127 0.8481 0.7835 0.6912
0.020 0.012 0.9670 0.8980 0.8287 0.7619 0.6690
0.025 0.015 0.9599 0.8811 0.8065 0.7372 0.6435
0.030 0.018 0.9529 0.8646 0.7849 0.7132 0.6190
0.040 0.025 0.9380 0.8304 0.7406 0.6644 0.5692
(B) RBF Interpolation: Approximation Error
r10 r20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.015 0.010 6.1E-08 8.0E-07 3.6E-06 9.2E-06 2.1E-05
0.020 0.012 1.0E-07 2.1E-07 9.4E-07 3.2E-06 9.8E-06
0.030 0.018 5.7E-08 -3.7E-07 -1.8E-06 -3.7E-06 -5.0E-06
0.040 0.025 -9.7E-08 -8.3E-07 -3.4E-06 -7.8E-06 -1.5E-05
Motivacin y Programa 33 / 59
Zero-Coupon Bond Price: Approximation Accuracy - CIR
RBF Interpolation FDM
Maturity RMSE ME RMSE ME
1Y 4.2E-06 9.1E-06 5.2E-06 1.0E-05
3Y 4.5E-06 8.7E-06 3.1E-05 5.8E-05
5Y 3.2E-06 5.4E-06 5.8E-05 1.0E-04
7Y 2.1E-06 3.2E-06 7.8E-05 1.3E-04
10Y 1.1E-06 1.5E-06 9.4E-05 1.5E-04
(a) One-Factor CIR Model
RBF Interpolation FDM
Maturity RMSE ME RMSE ME
1Y 1.1E-05 2.8E-05 4.6E-05 3.2E-04
3Y 2.5E-05 1.9E-04 7.0E-05 2.8E-04
5Y 5.6E-05 4.4E-04 9.2E-05 3.0E-04
7Y 8.9E-05 6.9E-04 1.1E-04 4.2E-04
10Y 1.3E-04 9.4E-04 1.4E-04 5.4E-04
(b) Two-Factor CIR ModelMotivacin y Programa 34 / 59
Zero-Coupon Bond Price with Dierent Values for the Volatility - CIR
Motivacin y Programa 35 / 59
Experiments: Proceso EV
Survival Probability:
Parameters:One-factor model: 1 = 0.1, 1 = 0.02, 1 = 0.06.Two-factor model: We further assume that 2 = 0.2, 2 = 0.005,2 = 0.08, and i,j = 0.
RBF interpolation: 200 centers and 200 time stepsOne-factor: Halton collocation in a spatial domain [0, 1].Two-factor: 4 groups of 50 points each under a uniform distributionover the spatial domain
FDM:One-factor: grid Nx1 Nt with Nx1 = 200 and Nt = 200.Two-factor: grid Nx1 Nx2 Nt with Nx1 = Nx2 = 200 and Nt = 200.
Motivacin y Programa 36 / 59
Zero-Coupon Bond Price: EV Model
(e) One-Factor EV Model (f) Two-Factor EV Model
Motivacin y Programa 37 / 59
Zero-Coupon Bond Price: One-Factor EV Model
(A) RBF Interpolation: Approximated Solution
10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.003 0.9967 0.9883 0.9772 0.9634 0.9379
0.005 0.9947 0.9819 0.9665 0.9485 0.9173
0.010 0.9897 0.9675 0.9433 0.9178 0.8775
0.020 0.9802 0.9416 0.9046 0.8689 0.8180
(B) FDM: Approximation Error
10 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.003 -2.1E-06 -7.3E-06 -1.3E-05 -1.9E-05 -2.7E-05
0.005 -3.3E-06 -1.1E-05 -1.8E-05 -2.4E-05 -3.1E-05
0.010 -1.1E-06 -4.0E-06 -7.1E-06 -9.6E-06 -1.2E-05
0.020 -1.1E-05 -2.6E-05 -3.4E-05 -3.7E-05 -3.8E-05
Motivacin y Programa 38 / 59
Zero-Coupon Bond Price: Two-Factor EV Model
(A) RBF Interpolation: Approximated Solution
10 20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.003 0.001 0.9955 0.9837 0.9682 0.9488 0.9134
0.005 0.003 0.9915 0.9719 0.9490 0.9232 0.8804
0.010 0.008 0.9822 0.9471 0.9120 0.8769 0.8247
0.020 0.012 0.9694 0.9144 0.8652 0.8202 0.7589
(B) FDM: Approximation Error
10 20 1Y 3Y 5Y 7Y 10Y
0.003 0.001 1.8E-05 3.9E-05 -1.8E-04 -4.2E-04 -4.1E-04
0.005 0.003 -3.2E-06 -2.8E-05 -2.9E-05 6.1E-05 3.6E-04
0.010 0.008 -4.6E-05 -1.7E-04 -1.2E-04 -5.0E-05 5.3E-06
0.020 0.012 -2.6E-06 7.9E-05 1.9E-04 1.8E-04 -1.4E-04
Motivacin y Programa 39 / 59
Zero-Coupon Bond Price: Approximation Accuracy - EV
Maturity RMSE ME1Y 4.0E-05 7.8E-053Y 4.2E-05 6.6E-055Y 3.8E-05 5.4E-057Y 3.5E-05 4.6E-0510Y 3.3E-05 4.4E-05
(c) One-Factor Model
Maturity RMSE ME1Y 4.6E-04 6.0E-033Y 7.2E-04 8.9E-035Y 1.2E-03 1.6E-027Y 1.4E-03 1.9E-0210Y 1.4E-03 1.9E-02
(d) Two-Factor Model
Motivacin y Programa 40 / 59
Zero-Coupon Bond Price: Approximation Eciency Analysis - EV
RBF Interpolation FDM
Centers RMSE ME CPU Time Ny1 Nt RMSE ME CPU Time
50 1.4E-04 7.3E-04 0.02 50200 6.8E-04 1.4E-03 0.02
80 8.7E-06 2.5E-05 0.05 80200 2.6E-04 6.8E-04 0.02
300 2.8E-09 8.7E-09 0.67 300200 1.6E-05 2.4E-05 0.14
400 3.9E-10 1.2E-09 1.34 1000200 3.4E-06 5.4E-06 2.73
(e) One-Factor Model
RBF Interpolation FDM
Centers RMSE CPU Time Ny1 Ny2 Nt RMSE CPU Time
50 5.5E-03 0.06 5050200 8.8E-03 1.1580 2.7E-03 0.11 8080200 4.1E-03 2.65300 8.1E-04 0.95 300300200 4.5E-04 87.64400 2.4E-04 1.84 400400200 4.5E-04 214.86
(f) Two-Factor Model
Motivacin y Programa 41 / 59
Modelos afn
Los precios de los activos son una funcin de la tasa de inters de cortoplazo.
R(t,T ) = (t,T ) + (t,T )r(t)
Se cumple la relacin cuando el precio cupn zero es de la forma:
P (t,T ) = A(t,T ) expB(t,T )r(t)
Motivacin y Programa 42 / 59
Otros modelos
Modelo Heath-Jarrow-Morton (HJM)Modelamos la tasa forward f (t,T )
Market models:Modelamos la tasa forward LIBOR Fi (t)
Motivacin y Programa 43 / 59
Volatility: Local y Estocstica
CEV Model (Cox and Ross, 1976)
dS (t) = (r q) S (t) dt + S (t) 2 dW (t)
Heston Model (1993)
dS (t) = rS (t) dt +pV (t)S (t) dW 1 (t)
dV (t) = ( V (t)) dt + pV (t)dW 2 (t)
Corr [dW1 (t) , dW2 (t)] = %dt,
Motivacin y Programa 44 / 59
Modelos de riesgo de default y derivados decrdito ...
Motivacin y Programa 45 / 59
Riesgo de default y derivados de crdito
El riesgo de crdito y su relacin con la crisis financiera internacional
Modelos estructurales vs. modelos en forma reducida
Derivados de crdito con un slo activo subyacenteBonos cero cupn con defaultContratos CDS, CDS spreads y otros derivados
Derivados de crdito con mltiples activos subyacentes (Opcional)
Motivacin y Programa 46 / 59
Modelos Estructurales
Este tipo de modelos estn basados en el trabajo de Merton (1974),en el cual la vida de una firma est relacionada en forma directa a suhabilidad para pagar su deuda.
Suponga que una firma emite un bono para financiar sus actividades yque este bono tiene maturity al final del tiempo T .
Si la firma no es capaz de pagar al emisor del bono, entonces la firmase encontrar en una situacin de default.
Motivacin y Programa 47 / 59
Modelo de Merton
Motivacin y Programa 48 / 59
Modelos en Forma Reducida
Estos modelos asumen que el default es una variable aleatoria exgenaque puede saltar en cualquier momento del tiempo
Los modelos en forma reducida establecen un mapping desde laintensidad de default y los parametros del modelo hacia los Spreads atravs de un modelo de valoracin.
El problema principal es que ni la intensidad de default no es unavariable observable.
Motivacin y Programa 49 / 59
Intensidad de Default
Motivacin y Programa 50 / 59
Modelos en Forma Reducida
Procesos de Poisson y el Proceso Cox
Intensidad de Default:ConstanteDeterminsticaEstocstica
CIRExponential-Vasicek
Motivacin y Programa 51 / 59
Bonos Cero Cupn con Default
Motivacin y Programa 52 / 59
Credit Default Swap
Motivacin y Programa 53 / 59
Derivados de Crdito: Mltiples Activos Subyacentes
First to Default Basket
N-th to Default Basket
Collateralized Debt Obligations (CDO)
i-Traxx y CDX
Motivacin y Programa 54 / 59
First- and N-th to Default Basket
Motivacin y Programa 55 / 59
CDOs
Motivacin y Programa 56 / 59
Notas y Bibliografa
Motivacin y Programa 57 / 59
Evaluacin
4 Notas (Parcial o Taller). Cada nota 25%.
Motivacin y Programa 58 / 59
ReferenciasAndersen, L. & Piterbarg, V. (2010a). Interest rate modeling: Foundations and vanilla models., volume 1. Atlantic
Financial Press.Andersen, L. & Piterbarg, V. (2010b). Interest rate modeling: Term Structure Models, volume 2. Atlantic Financial
Press.Baxter, M. & Rennie, A. (1996). Financial Calculus An introduction to derivative pricing. Cambridge university
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