MA211 - Cálculo II
Segundo semestre de 2020
Turmas D/E
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 1: Introdução
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Ementa, provas, etc
Funções de várias variáveis reais. Fórmula de Taylor. Máximos e
ḿınimos. Integrais múltiplas. Integrais de linha. Teorema da
divergência. Teorema de Stokes.
Alerta de curso coordenado!
Testinho 1: 09/outubro
Prova 1: 06/novembro
Prova 2: 04/dezembro
Prova 3: 15/janeiro
Exame: 25/janeiro
Site do curso: http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda/
cursos/2020-2-ma211/2020-2-ma211.html
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda/cursos/2020-2-ma211/2020-2-ma211.htmlhttp://www.ime.unicamp.br/~rmiranda/cursos/2020-2-ma211/2020-2-ma211.html
Ementa, provas, etc
MP =T + 3P1 + 3P2 + 3P3
10
NF = min
{max
{4MP + 6EF
10,MP
}, 5
}.
Testinho: realização no horário da aula (2h)
Provas: realização e entrega entre 07h30 até 10h30 (3h)
As provas não serão mais dif́ıceis pelo fato do curso ser “online”.
A entrega deverá ser feita no horário. Exceções serão tratadas
como tais.
As provas deverão ser feitas individualmente.
Referências
Referências online
# Repositório de MA211 do IMECC: https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/
# Aulas do Renan Lima no YouTube: https://www.youtube.com/channel/UC6TTtp9Hdx7GUz0OjrVg1_Q
# Canal do Youtube do Mahendra: https://www.youtube.com/channel/UCWhwZNMMzAXfBrd2EPUi5dg/videos
# Centenas de outros canais do YouTube sobre cálculo de váriasvariáveis.
# E-book do Stewart:https://www.ime.unicamp.br/informe/institucional/
biblioteca/2020-05-19-110127
https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/https://cursos.ime.unicamp.br/disciplinas/ma211-calculo-ii/https://www.youtube.com/channel/UC6TTtp9Hdx7GUz0OjrVg1_Qhttps://www.youtube.com/channel/UC6TTtp9Hdx7GUz0OjrVg1_Qhttps://www.youtube.com/channel/UCWhwZNMMzAXfBrd2EPUi5dg/videoshttps://www.youtube.com/channel/UCWhwZNMMzAXfBrd2EPUi5dg/videoshttps://www.ime.unicamp.br/informe/institucional/biblioteca/2020-05-19-110127https://www.ime.unicamp.br/informe/institucional/biblioteca/2020-05-19-110127
Nosso curso
# Aulas teóricas online toda 2a e 4a às 08h (serão gravadas).
# Aulas de exerćıcios toda 6a às 08h (PEDs) (serão gravadas).
# Comunicação pelo grupo do WhatsApp (ou e-mail).
# Materiais estarão no Moodle, não no Classroom. Estouaprendendo a usar o Moodle, sejam pacientes, eu farei várias
besteiras ao longo do semestre.
Teremos algumas atividades extras, sempre no Moodle.
Elas valerão nota? Não.
Elas valerão chocolate? Sim, um vale chocolate para ser resgatado
no pós-pandemia.
PEDs
Carlos Fabian Alvarez Escorcia (Turma D)
Danilo Andres Garcia Hernandez (Turma E)
Horários de atendimento: todo dia na hora do almoço e do jantar
(divulgaremos os links em breve).
Informações importantes
# Participem das aulas e das atividades.
# Participem das aulas de 6a feira. Deem trabalho para osPEDs.
# Façam as listas e os exerćıcios que ficam na aula.
# Não se preocupe com a prova.
O que vamos estudar neste curso
# Funções de várias variáveis f : Rn → Rm
# Limites e derivadas
# Multiplicadores de Lagrange
# Integrais duplas e triplas em retângulos
# Integrais em superf́ıcies
# Teoremas de Green, Gauss e Stokes
O que muda do Cálculo I?
Nas definições básicas
# Funções estarão definidas em conjuntos de Rn, comoretângulos, ćırculos ou coisas mais gerais.
# Precisamos entender um pouco mais da topologia de Rn.
# Se f : Rn → Rm então existem funções f1, . . . , fm tais que
f (x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn)).
# Como é o gráfico de uma função f : Rn → Rm?
O que muda do Cálculo I?
Gráficos
Quando h : A ⊂ R→ R, o gráfico é representado no planocartesiano. De fato, o gráfico de h é um subconjunto de R2:
Gr(h) = {(x , h(x)); x ∈ A} ⊂ A× R.
O que muda do Cálculo I?
Gráficos
No caso f : U ⊂ Rm → Rn, o gráfico será um subconjunto deRm × Rn:
Gr(f ) = {(x , f (x)); x ∈ U} ⊂ Rm × Rn ∼= Rm+n.
Isto é um problema sério se você gosta de desenhar gráficos.
O que muda do Cálculo I?
Gráficos
Em condições normais, não conseguimos “enxergar” Rk parak ≥ 4, então nossos gráficos ficarão restritos a R3, ou seja, aoscasos em que as funções são R2 → R (e o caso R→ R2?).
Neste caso, se z = f (x , y), com f : U ⊂ R2 → R, representaremoso doḿınio de f no plano z = 0, logo os pontos do gráfico serão da
forma (x , y , f (x , y)), com (x , y) ∈ U.
O que muda do Cálculo I?
Gráficos
O que muda do Cálculo I?
Gráficos
Exemplo
Como é o gráfico de z = f (x , y) = 1?
O que muda do Cálculo I?
Gráficos
Exemplo
Como é o gráfico de z = f (x , y) = x2 + y2?
O que muda do Cálculo I?
Gráficos
Exemplo
Como é o gráfico de z = f (x , y) =√
1− x2 − y2?
4D
4D
O que muda do Cálculo I?
Gráficos - curvas de ńıvel
Existe uma forma mais simples de fazer uma representação
geométrica do esboço do gráfico de f : são as curvas de ńıvel. Seja
f : U ⊂ R2 → R uma função.
As curvas de ńıvel de f são as curvas dadas por equações da forma
f (x , y) = k , com k constante. Ela mostra os pontos (x , y) ∈ U dodoḿınio de f tais que f vale k .
As curvas de ńıvel representam as projeções no plano z = 0 das
interseções entre o gráfico de z = f (x , y) e os planos z = k .
O que muda do Cálculo I?
Gráficos - curvas de ńıvel
O que muda do Cálculo I?
Gráficos - curvas de ńıvel
O que muda do Cálculo I?
Gráficos - curvas de ńıvel
Exemplo
Esboce as curvas de ńıvel das funções abaixo.
1. f (x , y) = 2x − 3y + 12. g(x , y) = x2 + 2y2
3. h(x , y) =√x2 + y2
4. k(x , y) =√
1− x2 − y2
# Você já estudou curvas de ńıvel em geografia, se lembra?
# Se f : R3 → R, as curvas f (x , y , z) = k serão as superf́ıciesde ńıvel. Consegue fazer alguns exemplos?
◦ Esboce as superf́ıcies de ńıvel de f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 + 2.
O que muda do Cálculo I?
Limites: uma variável
Na noção de limite em dimensão 1, pode-se tender a x = p pela
esquerda ou pela direita.
O que muda do Cálculo I?
Limites: várias variáveis
Agora teremos infinitas direções posśıveis. Testar limites laterais
não será suficiente, teremos que conseguir outra forma de provar a
existência dos limites. Isto vai complicar complicar as coisas? Vai!
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
Em funções R→ R, a derivada num ponto x = p representa ocoeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função neste
ponto.
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
Para funções Rm → R, teremos “várias” noções de derivadas:derivadas parciais, gradiente e diferencial (no Cálculo I estas
noções coincidiam).
Num sentido que formalizaremos mais tarde, as derivadas estão
relacionadas ao plano tangente, que é o análogo em dimensões
maiores da reta tangente. As derivadas parciais serão usadas para
obter a equação deste plano.
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
Grosso modo, para calcular uma derivada parcial vamos considerar
a outra variável “como se fosse uma constante”.
Exemplo
Seja f (x , y) = x2 + 3y5. Calcule as derivadas parciais.
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
Formalmente, se f : R2 → R e p = (a, b), então definiremos asderivadas parciais de f no ponto p como respeito a x e a y como
∂f
∂x(p) = lim
h→0
f (a + h, b)− f (a, b)h
e∂f
∂y(p) = lim
h→0
f (a, b + h)− f (a, b)h
,
respectivamente.
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
O que muda do Cálculo I?
Derivadas
O que muda do Cálculo I?
Integrais
Aqui aparecerão as maiores diferenças com o Cálculo I - são muitas
noções de integração. A mais simples delas, e mais parecida com a
integral de Riemann de uma função R→ R, é a integral dupla (outripla) em regiões retangulares.
Neste caso, se f : [a, b]× [c , d ]→ R, a integral dupla representaráo volume da região abaixo do gráfico.
O que muda do Cálculo I?
Integrais
O que muda do Cálculo I?
Integrais
Volume =
∫ ba
∫ dc
f (x , y) dx dy
O que muda do Cálculo I?
Integrais
Mas no caso das integrais, ainda poderemos integrar em regiões
mais gerais, integrar sobre superf́ıcies (esferas, paraboloides, etc).
O último resultado que veremos será o equivalente ao TFC para
dimensões maiores: o Teorema de Stokes.∫Mdω =
∫∂M
ω.
Este é um dos mais belos e importantes resultados da matemática.
Ele tem muitas aplicações (de verdade!), e uma das bem legais (no
caso de integrais de linha) é o plańımetro.
Dever de casa: descubra o que é o plańımetro!
Próxima aula: Funções de várias variáveis: limites e
continuidade.
Se cuidem: usem máscaras, limpem as mãos com álcool em gel.
Fique em casa.
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