LÍMITES

ANTECEDENTES• El origen de los límites se remonta hasta los antiguos, griegos, que usaban

los límites para calcular áreas; por ejemplo, si querían conocer el área de figuras amorfas las descomponían en triángulos muy pequeños, de modo que los triángulos ocuparan la totalidad de la figura. Luego sumaban el área individual de cada triángulo para tener una aproximación del área total de la figura; es decir, cuando el límite de los triángulos abarcara la totalidad de la figura.

• Matemáticamente, un límite es importante porque nos ayuda a entender la tendencia de una función, y las funciones nos ayudan a entender cómo se comportan los fenómenos de la vida cotidiana o empresarial.

• Sin embargo, a veces se pasan por alto a estas situaciones y no se le encuentra utilidad a los límites.

DEFINICIÓN DE LÍMITE• Un límite se denota como los valores de una función (hacia donde se dirige

“y”) cuando “x” se aproxima a cierto número; en otras palabras, el par ordenado que le correspondería a “y” cuando “x” adopta un valor .

DEFINICIÓN FORMAL DE LÍMITE

• Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número “L” cuando “x” se aproxima a “c”, entonces el límite de f(x) cuando “x” se aproxima a “c” es “L”

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES• Los límites también tienen propiedades que nos permiten determinar el

comportamiento de las funciones y operar con ellos de una manera más sencilla.

• Propiedad de la función constante. El límite de una constante es igual al valor de la constante.

(donde “b” es una constante)

Ejemplo:

• Propiedad de la identidad. El límite de una función identidad que se acerca a “c”, es “c”.

Ejemplo:

• Propiedad de la función potencia. El límite de una variable elevada a un exponente cuando “x” se acerca a “c”, es “c” elevada al exponente.

Ejemplo:

TEOREMA

LÍMITES LATERALES• Para que el límite exista, tanto el límite por la izquierda como el límite por la

derecha deben ser iguales; en otras palabras, cuando el límite por la izquierda y por la derecha son diferentes, el límite no existe.

• El límite por la derecha significa que “x” se aproxima a “c” tomando valores superiores cada vez más cercanos a “c”, y se denota por

• El límite por la izquierda significa que “x” se aproxima a “c” tomando valores inferiores cada vez más cercanos a “c”, y se denota por

• Este tipo de límite es útil para encontrar la continuidad de una función; asimismo, también sirve para calcular el límite de funciones que contienen raíces.

• Por último, los límites laterales pueden usarse para investigar el comportamiento de una función escalón o definida parte por parte.

TEOREMA DE LA EXISTENCIA DEL LÍMITE

GRÁFICA ESCALONADA GRÁFICA DE FUNCIÓN POR PARTES

FRASE CELEBRE

• “LOS LÍMITES NO EXISTEN, SÓLO SON BARRERAS IMAGINARIAS QUE NOS IMPONE

NUESTRA MENTE, Y LA CONTINUIDAD LO DEMUESTRA”

J.L.G.S.

BIBLIOGRAFÍA• LIBRO:

1. CÁLCULO DIFERENCIAL

(PARA CURSOS CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS)

AUTORES: JORGE LUIS GIL SEVILLA

REBECA DÍAZ TÉLLEZ

EDITORIAL: PEARSON