7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
1/17
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
ELEMENTOS FINITOS
TRABAJO FINAL:
ESFUERZO PLANO
Realizado por:
Luis Fernando Loachamn
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
2/17
Hallar los desplazamientos y esfuerzos que se producen en el siguiente elemento.
1. Tabla Topologica de los Elementos
Elemento i j k l
E1 1 2 5 4
E2 2 3 6 5
2. Tabla de coordenadas nodales (x , y)
N X Y
1 0 0
2 1 0
3 2 0
4 0 0.75
5 1 0.625
6 2 05
3. Ecuaciones de Interpolacion
N1
=
1
4(1)
N2
=
1
4(1)
N3
=
1
4(1 +)
N4
=
1
4(1 +) (1)
N1
=
1
4(1)
N2
=
1
4(1 +)
N3
=
1
4(1 +)
N4
=
1
4(1) (2)
x
= N1
x1+ N2
x2+ N3
x3+ N4
x4 (3)
1
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
3/17
y
=
N1
y1+
N2
y2+
N3
y3+
N4
y4 (4)
x
=
N1
x1
+
N2
x2
+
N3
x3
+
N4
x4
(5)
y
=
N1
y1+
N2
y2+
N3
y3+
N4
y4 (6)
3.1. Analisis del Elemento 1
3.1.1. Calculo del Jacobiano del elemento 1
|J|=
x
x
x
x
(7)
3.1.2. Tabla de coordenadas nodales para E1
x1= 0 y1= 0
x2= 1 y2= 0
x3= 1 y3= 0,625
x4= 0 y4= 0,75
3.1.3. Calculo de los terminos del Jacobiano
x
=
1
4(1)(0) +
1
4(1)(1) +
1
4(1 +)(1)
1
4(1 +)(0) = 0,5 (8)
y
=
1
4(1)(0) +
1
4(1)(0) +
1
4(1 +)(0,625)
1
4(1 +)(0,75) =
1
32
32 (9)
x
=
1
4(1)(1) +
1
4(1 +)(1) = 0 (10)
y
=
1
4(1 +)(0,625) +
1
4(1)(0,75) =
11
32
32 (11)
|J|=
0,5 0
132
32
11
32
32
=
11
64
64
(12)
2
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
4/17
3.1.4. Calculo de D
D= E
12
1 0 1 00 0 1
2
(1)
(13)
D= 100
10,32
1 0,3 0
0,3 1 00 0 12(10,3)
(14)
3.1.5. Calculo de la matriz B y BT
B=
N1x 0
N2x 0
N3x 0
N4x 0
0 N1y
0 N2y
0 N3y
0 N4y
N1y
N1x
N2y
N2x
N3y
N3x
N4y
N4x
(15)
N1=
1
4 (1)(1)
N1
=
1
4
N1
=
1
4 (16)
N2=1
4(1 +)(1)
N2
=
1
4
N2
=
1 +
4 (17)
N3=1
4(1 +)(1 +)
N3
=
1 +
4
N3
=
1 +
4 (18)
N4=
1
4 (1)(1 +)
N4
=
1 +
4
N4
=
1
4 (19)
Nix
Niy
=|J|1
Ni
Ni
(20)
N1
x =|J|1[ 1
4(1)] N
1
y =|J|1[ 1
4(1)] (21)
3
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
5/17
N2
x =|J|1[
1
4(1)]
N2
y =|J|1[
1
4(1 +)] (22)
N3
x =|J|
1
[
1
4 (1 +)]
N3
y =|J|
1
[
1
4 (1 +)] (23)
N4
x =|J|1[
1
4(1 +)]
N4
y =|J|1[
1
4(1)] (24)
B=|J|1
14 0 1
4 0 1+
4 0 1+
4 0
0 14 0 1+
4 0 1+
4 0 1
4
14 1
4 1
41
41+
41+
41
4 1+
4
(25)
BT =|J|1
14 0 1
4
0 14 1
4
14 0
14
0 1+41
4
1+
4 0
1+
4
0 1+41+
4
1+4 0 1
4
0 14 1+
4
(26)
4
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
6/17
3.1.6. Proceso para hallar Matriz de rigidez K del Elemento1
K1= t
1
1
1
1
BTDB|J| d d= tABTDB (27)
El productoBTDB|J| es funcion de y por lo cual se puede integrar con la cuadratura de Gauss:
H1 =H2 = 1 ,1= 1= 0,577,2= 2= 0,577, la funcion integrada queda:
t[f(0,577, 0,577) +f(0,577, 0,577) +f(0,577, 0,577) +f(0,577, 0,577)]
Mediante la utilizacion del programa Matlab podemos hallar las siguientes matrices:
3.1.7. Matriz B
Figura 1: Matriz B
3.1.8. Matriz BT
Figura 2: Matriz B Transpuesta
5
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
7/17
3.1.9. Matriz D
Figura 3: Matriz D
3.1.10. Calculo del Area
A=
1
1
1
1
|J| d d (28)
Figura 4: area del Elemento 1
3.1.11. Matriz K1
Como ya tenemos todos los valores, podemos multiplicarlos y as encontramos la matriz de rigidezdel elemento 1 (K1):
Figura 5: Matrz de Rigidez del Elemento 1
6
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
8/17
Esta matriz es expresada en base a las matrices 2x2 de cada nodo,como se aprecia en la tabla deabajo.
NODOS 1 2 5 4
1 K111 K121 K151 K141
2 K211 K221 K251 K241
5 K511 K521 K551 K541
4 K411 K421 K451 K441
3.2. Analisis del Elemento 2
3.2.1. Calculo del Jacobiano del elemento 2
|J|=
x
x
x
x
(29)
3.2.2. Tabla de coordenadas nodales para E2
x1= 2 y1= 0
x2= 2 y2= 0
x3= 2 y3= 0,5
x4= 1 y4= 0,625
3.2.3. Calculo de los terminos del Jacobiano
x
=
1
4(1)(1) +
1
4(1)(2) +
1
4(1 +)(2)
1
4(1 +)(1) = 0,5 (30)
y
=
1
4(1 +)(0,5)
1
4(1 +)(0,625) =
1
32
32 (31)
x
=1
4
(1)(1)1
4
(1 +)(2) +1
4
(1 +)(2) +1
4
(1)(1) = 0 (32)
y
=
1
4(1 +)(0,5) +
1
4(1)(0,625) =
9
32
32 (33)
|J|=
0,5 0 132
32
932
32
= 964
64 (34)
7
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
9/17
3.2.4. Calculo de D
D= E
12
1 0 1 00 0 1
2
(1)
(35)
D= 100
10,32
1 0,3 0
0,3 1 00 0 12(10,3)
(36)
3.2.5. Calculo de la matriz B y BT
B=
N1x 0
N2x 0
N3x 0
N4x 0
0 N1y
0 N2y
0 N3y
0 N4y
N1y
N1x
N2y
N2x
N3y
N3x
N4y
N4x
(37)
N1=
1
4 (1)(1)
N1
=
1
4
N1
=
1
4 (38)
N2=1
4(1 +)(1)
N2
=
1
4
N2
=
1 +
4 (39)
N3=1
4(1 +)(1 +)
N3
=
1 +
4
N3
=
1 +
4 (40)
N4=
1
4 (1)(1 +)
N4
=
1 +
4
N4
=
1
4 (41)
Nix
Niy
=|J|1
Ni
Ni
(42)
N1
x =|J|1[ 1
4(1)] N
1
y =|J|1[ 1
4(1)] (43)
8
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
10/17
N2
x =|J|1[
1
4(1)]
N2
y =|J|1[
1
4(1 +)] (44)
N3
x =|J|
1
[
1
4 (1 +)]
N3
y =|J|
1
[
1
4 (1 +)] (45)
N4
x =|J|1[
1
4(1 +)]
N4
y =|J|1[
1
4(1)] (46)
B=|J|1
14 0 1
4 0 1+
4 0 1+
4 0
0 14 0 1+
4 0 1+
4 0 1
4
14 1
4 1
41
41+
41+
41
4 1+
4
(47)
BT =|J|1
14 0 1
4
0 14 1
4
14 0
14
0 1+41
4
1+
4 0
1+
4
0 1+41+
4
1+4 0 1
4
0 14 1+
4
(48)
9
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
11/17
3.2.6. Matriz de rigidez K del Elemento2
K=t
1
1
1
1
BTDB|J| d d= tABTDB (49)
Para encontrar la matriz de rigidez K2 se sigue el mismo proceso que para el elemento 1.
3.2.7. Matriz B
Figura 6: Matriz B
3.2.8. Matriz BT
Figura 7: Matriz B Transpuesta
3.2.9. Matriz D
Figura 8: Matriz D
10
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
12/17
3.2.10. Calculo del Area
A=
1
1
1
1
|J| d d (50)
Figura 9: area del Elemento 2
3.2.11. Matriz K2
Como ya tenemos todos los valores, podemos multiplicarlos y as encontramos la matriz de rigidezdel elemento 2 (K2):
Figura 10: Matrz de Rigidez del Elemento 2
Esta matriz es expresada en base a las matrices 2x2 de cada nodo,como se aprecia en la tabla de
abajo.
NODOS 2 3 6 5
2 K222 K232 K262 K252
3 K322 K332 K362 K352
6 K622 K632 K662 K652
5 K522 K532 K562 K552
11
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
13/17
3.3. Ensamble de la Matriz Global K
NODOS 1 2 3 4 5 6
1 k111 k121 k141 k151
2 k211 k221+k222 k232 k241 k251+k252 k262
3 k322 k332 k352 k362
4 k411 k421 k441 k451 5 k511 k521+k522 k532 k541 k551+k552 k562
6 k622 k632 k652 k662
3.3.1. Matriz global K
Figura 11: Matrz Global
12
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
14/17
3.4. Calculo de los desplazamientos
F =K U U=inv(K)F (51)
3.4.1. Matriz F
En esta matriz tomo el valor de - 50 [KN] para el nodo 6 ya que solo se esta analizando la mitaddel elemento, por lo tanto la matriz F nos queda de la siguiente manera:
Figura 12: Matrz F
3.4.2. Matriz inversa K
En los nodos 1 y 4 el elemento esta empotrado por lo tanto no existe desplazamiento u1 = v1 =u4 =v4 = 0, esto hace que el sistema de ecuaciones se reduzca a una matriz 8x8.
Figura 13: Matrz inversa de k
13
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
15/17
3.4.3. Desplazamientos
Los resultados que se obtienen son(u2,v2,u3,v3,u5,v5,u6,v6)respectivamente:
Figura 14: Desplazamientos
3.5. Calculo de los esfuerzos
= D pero = BU (52)
3.5.1. Calculo de la deformacion
= B U (53)
3.5.2. Matriz B
Figura 15: Matriz B
14
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
16/17
3.5.3. Matriz U
Figura 16: Matriz U
3.5.4. Matriz deformacion
Figura 17: Matriz
3.5.5. Matriz D
Figura 18: Matriz D
3.5.6. Esfuerzos
= D (54)
15
7/24/2019 Loachamin Luis Fem Gr3.PDF
17/17
Figura 19: Esfuerzos