L A S L O G IC A S H E T E R O D O X A S Y E L P R O B L E M A D E L A U N ID A D D E L A

L O G IC A *

F ra n c is c o M iro Q u e sa d a

1. E L P R O B L E M A F U N D A M E N T A L D E L A L O G IC AF IL O S O F IC A

E ste ensayo pertenece el cam po del co n o cim ien to que em pieza a llam arse “ lógica filo só fica” . A u n q u e la lógica ha sido siem pre filo só fica (incluso en el p e río d o que p o d ría ser llam ado el de la “ o rg ía m a te m a tiz a n te ” , en el cual la m a y o ría de lógicos pensaban que la lógica se h a b ía tran s fo rm a d o en u n a d iscip lina e s tr ic tam en te c ien tífica ), es sólo en años rec ien tes que lógicos y filóso fos se han p e rca tad o de los inm ensos p rob lem as filosóficos que ha generado el tan m en tad o desarro llo m atem á tico de la lógica. E n la lógica, e n co n tram o s la m ism a situac ión que hallam os en la m atem ática . N o hace m u ch o se pensaba que el m éto d o m a te m á tic o , deb ido a su d ep u rad o rigo r, p o d r ía conducir hacia la ciencia p e rfec ta . P e ro , el m ism o rigor que h a b ía o frec id o la posib ilidad de p e rfecc ió n , llevado h asta sus ú ltim as consecuencias generó p ro b lem as desconcertan tes, que n o p o d ía n ser resu e lto s con m é to d o s m atem ático s .

D esde el descub rim ien to de las parado jas, em pieza a delinearse la m o d ern a lógica filosó fica , p e ro es sólo con el

T í tu lo d e l o rig en a l ing lés: H E T E R O D O X L O G IC S A N D TH E P R O B L E M O F T H E U N 1TY O F L O G IC . T ra d u c c ió n de E C alderón L« d e G.., P ro fe s o r de la U n iv e rs id a d d e L im a y O s­car M asaveu T aj P ro fe so r de la U n iv e rs id ad P e ru a n a C ay e tan o H e re d ia . R e v isad a y c o rre g id a p o r S ix to i?. G arcía , P ro fe so r d e la U n iv e rs id ad N a c io n a l M a y o r de S an M arcos.

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trabajo de G odel, T arsk i, C hurch y Q uine que em pieza rea lm en te a to m a r su cauce, com o u n a d isciplina reconocida po r lógicos y filó so fos de la ciencia.. Su c o n te n id o tem ático , com o puede esperarse deb ido a la n a tu ra leza y p ro fu n d id ad de sus prob lem as, es rea lm en te m uy grande,. E n tre los tem as principales debem os m encionar: E s tru c tu ra y fu n c ió n de los lenguajes fo rm ales (rango y lim ite s de su poder expresivo , tipos de lenguaje, etc..) re lación de la lógica con las m atem áticas, n a tu ra leza a n a lític a y sin té tica de las p ro p o si­ciones m atem áticas, ex is tencia de p rincip ios lógicos y m atem áticos ev iden tes, n a tu ra leza de la lógica del conoci­m ien to c ien tífico (especialm ente del co n o cim ien to m atem á­tico) y la lógica de los lenguajes na tu ra les, re lación en tre la defin ición rigurosa de verdad (verdad p roposic iona l) y la no c ió n clásica de verdad , etc.. La ac tual lite ra tu ra lógica-filo­sófica es, com o puede verse po r la a n te rio r enum erac ión , m uy amplia,, Sin em bargo , basta d onde alcanza nuestra in fo rm ación , h ay un tem a sum am en te im p o rtan te que no ha sido tra tad o en fo rm a sistem ática; la relación del conocim oen to lógico con la fac u lta d q u e , c lásicam ente, ha sido llam ado “ raz ó n ” ., E n o tras pa labras: los principios lógicos deben ten e r algunos tip o s de carac te rísticas rac iona­les, debe ex istir algún tip o de rac iona lidad lógica. E n el racionalism o clásico se pensaba que los p rincip ios lógicos eran los p rinc ip io s fu n d am en ta le s y m ás generales de la razón.. ¿El desarro llo m o d ern o de la lógica ra tifica esta concepción?

E ste p u n to h a sido , en c ie rta fo rm a , tratado., Pero nunca sis tem áticam en te , y , en la m a y o ría de los casos con tim idez, si no con u n a vergüenza en cu b ie rta . Con la excepción de los in tu ic io n is ta s y algunos o tro s , la m ayor parte de los filó so fos de la lógica h an p ro cu rad o n o hablar acerca de la r a z ó n corno una facu ltad m ed ian te la cual los 14

hom bres pueden pensar en fo rm a lógica, P ero los in tu ic io ­nistas dicen m uy poco acerca de la razó n , y lo que dicen está m uy lejos cíe ser c la ro 1.. T al vez Q uine y la escuela genética de P iagct han dicho u n poco m ás, P ero Q uine se incluye d e n tro del p ragm atism o y su v isión de la razón no alcanza las m ajestuosas cim as que son usuales en su p e n sam ien to 2 . Paigct y sus d isc íp u lo s rea lizan ex p erim en to s m uy in te resan tes acerca del o rigen de los co n cep to s lógicos y m atem ático s , pe ro n o son capaces de fu n d ar una teo ría sistem ática de la razó n , al m en o s n o a u n nivel lógico. C onsideran a la razón com o u n a especie de facu ltad d ia léctica que fu n c io n a de u n a m anera u n ta n to vaga y no pueden exp licar, en n u e s tra o p in ió n , la fo rm a en que la verdad lógica y m a tem á tica se estab leced .

C reem os que el desarro llo de la m o d ern a lógica y m e ta tc o ría , ta n to en el cam po s in té tico com o en la te*oría do los m odelos, o frece su fic ien te base para p o d er a tacar el p rob lem a de la e s tru c tu ra del co n o c im ien to rac ional en su nivel lógico de una m anera no trivial.. Es m ás, creem os que esto desarro llo sólo puede ser co m p ren d id o d e n tro de una concepción rac ionalista de la ló g ic a d1 L as c o n c e p c io n e s in tu ic io n is ta s so b re la M atem ática : , .Lógica

y razón., son m u y oscuras.. D e b id o a es to los m a te m á t ic o s in tu ic io n is ta s n o se p o n e n de a c u e rd o so b re te m a s funclam en • ta les . E s t a o sc u r id a d h a h e c h o dec ir a H c y t in g que una p ro p o s ic ió n m a te m á t ic a es u n h e c h o e m p í r ic o p u ro (H cy tin g , In tu i t io .n ism , an ( J in t ro d u c t io n , p,. 8 ) y que l a 1 m a te m á t ic a es a f ín a la h is to r ia y las c ienc ias socia les (H c y tin g , I n iu i t ío n is m , an I n t r o d u c c ió n , p.. 10),

2 Q u in e , P r o m a L óg ica! p o in t o f v iew , p» 79 , y W ord an d O b jc c t , p„ 270 y s iguientes.

3 P iagc t - Pjcth, E p is te m o lo g ía M a th é m a t iq u e c t Psycho.logíe , p, 187 y siguientes*

4 M iró Q u c s a d a , L e p r ób lem e de P in tu i t i in in tc llcc tucU c; M e ta t c o r ía y .R a z ó n ,y S o b r e el C o n c e p to de la Razón*

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2. LOGICA, RACIONALIDAD Y HETERODOXIA.

La gran d ificu ltad con la cual tiene que e n fre n ta r u n a in te rp re tac ió n rac io n a lis ta de la lógica, es la p ro life rac ió n in c re íb le de sistem as lógicos h e te ro d o x o s , m uch o s de los cuales parecen n o g u ard ar re lac ión alguna con los otros* Si los seres h u m an o s possen algo parecido a u n a facu ltad digna de ser llam ada razó n , e n to n c es el co n o cim ien to rac iona l, y m uy en especial, el co n o c im ien to lóg ico , debe constitu irse po r p rinc ip io s universales y necesarios, s is tem áticam en te o rgan izados. L a r a z ó n es u n a o n o es r a z ó n 5 , P ero la ex istencia de sistem as L ógicos d iferentes, e irred u c tib les ofrece u n a fu e r te base p a ra la c reenc ia de q u e n o e s p o s ib le h a b la r d e la u n id a d d e la r a z ó n u Si sólo existiese u n a lógica, digam os, la lógica clásica ta l com o se la en tien d e h o y (co m o u n sistem a aris to té lico -russe lliano o h ilb e rtia n o ), sería posib le h ab la r de la u n id a d de la razó n . P ero si lad o a lado con la lógica clásica ex is ten lógicas diferentes- e in c o m p a ti­bles, y si la lóg ica refle ja la e s tru c tu ra de l..conocim ien to rac io n a l en su m áx im a g e n e ra lid a d ,.e n to n c e s e x is tir ía , no u n a sino m u ch as r a z o n e s y esto equivale a decir que no ex iste la r a z ó n „ La esencia de u n p rincip io rac ional es su necesidad y un iversa lidad , pe ro si hay varias r a z o n e s , in co m p atib le s u n a s con o tra s , esto significa que no h ay p rinc ip io s necesario s y universales, p o rq u e u n p rincip io no puede te n e r estas p ro p ied a d es si h a y o tro p rincip io que lim ita o invalida el primero*

5 L a ra z ó n c o m o u n s is te m a u n i ta r io u n iv e rsa l de p r in c ip io s es el s ign if icado g e n e ra l . de l t é r m in o “ razón*' c u a n d o es e m p le a d o p o r lo s r a c io n a l i s ta clásicos* P e ro es tam bién* n o o b s ta n te , u s a d o de u n m o d o m e n o s p rec iso , el s ign if icado de la p a la b ra u su a l . C u a n d o c u a lq u ie ra d ice “ la r a z ó n h u m an a * ’ e s tá p e n s a n d o s ie m p re en u n a f a c u l ta d q u e es l a m is m a p a ra to d o s los seres h u m a n o s .

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A sí la_ ex istencia de sistem as n o clásicos o h e te ro d o ­x os es considerada com o u n poderoso a rgum en to con tra la u n id a d de la lógica y,, p o r consiguiente co n tra la u n id ad del conocim ien to racional.. La lógica es considerada com o un in s tru m e n to para la acc ión (pragm atism o) o com o una expresión de la e s tru c tu ra in te lec tu a l hum ana en una d e te rm in ad a época de la h is to ria (h isto ric ism o) o sim ple­m en te com o u n resu ltado de la abstracción o ex trapo lación a p a rtir de las regularidades de los d a to s de los sentidos (em pirism o).

P o r lo ta n to para e n fre n ta r el p ro b lem a de la unidad de la lógica, y la ex istencia de una facu ltad racional, es necesario exam inar en detalle la verdadera na tu ra leza de las lógicas n o clásicas, y la relación de estos sistem as con los clásicos,; Y p ara hacer esto es conven ien te te n e r u n criterio preciso para saber lo que es significado p o r m edio de “lógica h e te ro d o x a '” ,

3. L O G IC A C L A S IC A

E l criterio de h e te ro d o x ia es u n criterio negativo* Por esto puede ser m uy fác ilm en te estab lec ido : U n sistema lógico es h e te ro d o x o sí n o es clásico. E l p rob lem a es e n to n c es ha llar u n buen análisis del concep to de lóg ica clásica . N o es esto fácil jporque h ay dos sentidos de la exp resión “ lógica clásica” . U n sen tido está re lacionado con los o rígenes de la lógica* En u n sen tido m uy razonab le , la lógica clásica puede ser considerada com o la lógica que fue creada p o r los griegos y desarro llada d u ran te la E dad Media* Y en o tro sentido m u ch o m ás razonab le , la lógica clásica puede ser considerada com o la p rim era gran m anifestación de la lógica m atem ática m o d ern a que culm ina con los trab a jo s m o n u m en ta les de F rege, P eano , W hitehead-Russell

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y H ilberL E ste doble sen tido crea u n p rob lem a p o rque la lógica m odal fue desarro llada p o r A ristó te les y los filósofos m edievales, p e ro , desde u n p u n to de vísta m oderno ésta es considerada com o no clásica.

Pensam os que el p ro b lem a puede ser resue lto co n tra la lógica m odal p o r la siguiente razón., La lógica m atem ática clásica puede ser considerada com o u n desarro llo de la lóg ica a se r tó r ic a a ris to té lica y m edieval, y es posible den tro de este sistem a analizar to d o s los p ro ced im ien to s deduc­tivos m atem ático s que son ha llados en la p rác tica de la ciencia positiva,. P o rque de esta posib ilidad , la lógica m odal no se desarro lla ta n b ien com o lógica asertó rica . A n tes de que los p rim eros in te n to s en lógica m odal fu eran hechos p o r Lewis, la lógica asertó rica h a b ía reco rrido u n largo cam ino y p resen tad o u n asom broso desarrollo . E sta h ab ía creado especialm en te , u n in s tru m e n to lingü ístico m ás p e r­fec to ; asi que cuando la lógica m odal em pezó a ser fo rm alizada , su lenguaje fue ta n d iferen te del lenguaje de la lógica asertó rica que fu e considerada com o algo nuevo y ex trañ o ; así, de :un m o d o espon táneo los lógicos com enzaron a considerar que la lóg ica-m odal era diferente de la u sual y com enzaron a llam ar '"clásica” la lógica asertó rica y n o clásico al sistem a que p resen tó diferencias significativas con los p rin c ip io s y el lenguaje de la primera,.

La situación h is tó ric a descrita nos perm ite considerar que e l co n cep to de lógica clásica debe ser lim itado a la lógica clásica m atem ática.. P ero h a y u n a p ro fu n d a conexión en tre la lógica asertó rica griega y la m oderna lógica asertó rica m atem ática,. L os filó so fos griegos creyeron que ex isten , p o r a s í decirlo , p rinc ip io s lógicos privilegiados, que son esenciales al p en sam ien to rac ional, que el conocim ien to verdadero n o p o d r ía ser c o n s titu id o sin ellos y cuya validez

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fuése in d ep en d ien te del tiem p o y el lugar. E sto s p rincip ios, fam osos bajo los nombres:: los p rincip ios de “ id en tid ad ” , “no con trad icc ión" y “ terc io excluso**, h a n sido acep tados por la to ta lid a d de la trad ic ió n filosó fica y c ien tífica desde los griegos hasta n u estro s días,. A ún los d ialécticos, com o Hegel qu ien los negó bajo c iertas c ircunstancias (cuando la realidad era ap rehend ida desde u n p u n to de vista fin ito ) tuv ieron que acep tarlos com o cond ic iones form ales del pensam ien to ab strac to y la cu lm inación del grandioso proceso del desarrollo de la idea, L a lógica m atem ática clásica los h a inc lu ido en tre sus p rincip ios y la m oderna filo so fía de las m atem áticas está sum am ente involucrada con su significado, su validez y su crítica,, A s í pensam os que L a lóg ica c lásica p u e d e s e t 'c o n c e b id a c o m o u n a lóg ica q u e in c lu y a los tres p rincip ios griegos que llam arem os los “ princip ios clásicos” .

L a lóg ica c lásica e n to n c e s , e s u n s is te m a q u e p o s e e u n len g u a je f o r m a l c a r a c te r ís t ic o , q u e e s a se r tó r ic o y q u e in c lu y e lo s tre s p r in c ip io s c lá sico s : A s i u n a ló g ica h e te r o ­d o x a p u e d e ser c o n c e b id a c o m o u n a ló g ica q u e le fa l ta p o r lo m e n o s u n a -d e e s ta s tre s n o ta s „

A. L A T IP O L O G IA D E L A L O G IC A H E T E R O D O X A

El lenguaje fo rm al esencial a la lógica clásica es frecuen tem en te llam ado 'le n g u a je d e n - o r d e n cuya m ás simple expresión es el “ lenguaje de p rim er orden'A U n lenguaje de n -o rden , posee com o sím bolos prim itivos, variables individuales, (p o sib lem en te ) con stan tes ind iv id u a­les, variables p red icativas, (posib lem en te) p red icados deprim er, s e g u n d o ,..... . n -o rden , conectivos lógicos (coli-gadores) y cuan tificado res que p u ed en ser ap licados a variables individuales y a variables p red icativas de p rim er, segundo, . „ n o rd e n „ D e acuerdo al criterio- ad o p tad o de

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h e te ro d o x ia P u n a lógica puede ser h e te ro d o x a si tiene u n lenguaje d iferen te del de n -o rden , o si n o es asertó rica , o si le fa lta u n o o m ás de los tres .p rin c ip io s clásicos.. P o r supues­to , el conectivo 4fco*r' se to m a en su sen tido inclusivo, así' que una lógica que le fa lta m ás que una n o ta clásica es, a fo rtio ri h e te ro d o x a .

H em os clasificado las lógicas h e te ro d o x as en e sp e c ie s de acuerdo a su grado de heterodoxia* U na lógica h e te ro d o ­xa de p rim era especie es u n a lógica que carece sólo u n a de las n o ta s clásicas. P uede ten e r u n lenguaje n o clásico, o puede carecer de u n o o m ás. de los p rincip ios clásicos, o pude ser n o p roposic íonaL C uando u n sistem a tiene u n lenguaje fo rm al d iferen te del clásico, lo llam am os :td iolin- g ü ís tico 'h cuando carece de u n o o m ás p rincip ios clásicos, lo llam am os ‘"A nóm ico” 6 , cuando es no p roposic iona l, lo llam am os ^ a th e tic o ^ 7 ., U na lógica h e te ro d o x a de segunda especie es u n sistem a al cual le fa ltan dos n o tas clásicas.

La te rc e ra especie con tiene los sistem as a los cuales les fa lta las tre s n o ta s clásicas;\Según n u estro criterio poseen el grado suprem o de h .e tooóox ia,, La siguiente tab la incluye los sistem as im p o rta n te s de las tres especies8 .;6 "'pomoC* n o es e x a c ta m e n te “ p r in c ip io ’ 1 p e ro es la m e jo r

p a ia o ra que e n c o n tré p a ra ree m p la z a r la p a la b ra p e r t in e n te '"apxn Si h e m o s e m p le a d o e s ta p a la b ra p a ra n o m in a r los s is tem as desp ro v is to s de u n o 9 m á s p r inc ip io s clásicos p o d r ía m o s h a b e r lo s l lam ado ‘" 'aná rqu icos ' ^ o l ig á rq u ic o s ”' o algo de e s ta clase.

7 P o r e jem p lo , u n a lógica, de normas.)8 S u p o n e m o s q u e el l e c t o r e s ta fam iliar izado c o n los s is tem as

in c lu id o s en n u e s t r a tabla,. L a ú n ic a p a la b r a q u e d e b e ser ex p lic ad a es la de " c u a s i -h e te r o d o x a ”'; p o r q u e la h e m o s c reado p a ra d e n o ta r lo s s is tem as lóg icos q u e a p a re c e n , a p r im e ra v is ta , c o m o h e te ro d o x o s , , p e ro q ueden esenc ia son clásicos,. A d e m á s de las lógicas c o m b in a to r ia s y las lógicas parc iales (estas lóg icas son su b s is tem as de la lóg ica c lásica c o m o la lóg ica pos it iva , la lóg ica p u r a m e n te im p lica tiva , etc,) p o d r ía inc lu ir , e n t r e las c u a s i -h e te ro d o x a s los s is tem as de Les- n iew sk i, Chw isteclc y Brown»

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L ógicasH e te ro d o x a s

L ógicade

P rim e raE spec ie

L ó g icade

S egundaE specie

A lío lim rü ia tica

A n é m ic a

T h é tic a

A th é tic a

L óg ica de T e rce ra E specieL óg icas Cua- s ih e te ro d o x a s

M o d a l T e rnpo ra l In f in ita

P a ra c o n ­s is te n te

P rim era C lase (9)S eg u n d a Clase (10) M orga- n ian a K rim a-

^ n ía n a In tu ic io n is ta

P o liv a len te F in i ta (in ­co m p le ta )P o liv a len te F in ita (co m ­p le ta )P o liv a len te In f in itaD e ó n tic a (n o rm a tiv a)Im p e ra tiv aP ro tim é tic aA x io ló g ic aC rá ticaP ro b lé m ic aE ro te m á tic a

L ó g ica L ib re s

C o m b in a to ria s L óg icas P arc ia les

9 U n a lóg ica p a ra c o n s is te n te d e p rim e ra c lase carece dé los p rin ­c ip io s de n o c o n tra d ic c ió n y d e l te rc io exc luso .

10 U n a ló g ica p a ra c o n s is te n te de seg u n d a clase carece de los p r in c ip io s d e no c o n tra d ic c ió n y del te rc io ex c lu so .

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5. CONDICIONES NECESARIAS DE LOGICIDAD

5„ 1 Condiciones de logicidadU na vez establecidos los criterios rac ionales de la

h e te rodox ia lógica, podem os ahora volver a la cuestión principal: ¿podem os m an tener u n a concepción rac ionalista de la lógica?

Para en fren tar el prob lem a debem os tra ta r de analizar la concepción clásica de la lógica esto es ¿qué pensaron los clásicos de la lógica? o de u n m odo m ás prec iso : ¿Qué condiciones necesarias y suficientes debe ten e r u n sistem a form al, según el pensam ien to clásico, p a ra ser llam ado lógico? 11 12.

P or c ierto , que las tres n o tas clásicas son p a rte de las condiciones^ Para u n filósofo de m en ta lidad clásica un sistem a que le fa lta u n o de los p rincip ios clásicos, que no esté expresado en u n lenguaje .de n -o rd en 5, o que no es thé tico , no es u n sistem a de lógica.. L as tre s n o ta s clásicas son en tonces, condiciones necesarias de logicidad . P ero , de hecho, h ay m uchas cond ic iones necesarias. Las no tas clásicas fu e ro n to m ad as com o crite rio de clasicidad. p o rque son m uy claras y adecuadas -al m enos, pensam os que lo son­para estab lecer u n a clasificación de sistem as h e te ro d o x o s. Pero , si analizam os to d as las consiciones necesarias que fueron p resupuestas p o r los filóso fos clásicos en co n tram o s que adem ás de las n o ta s clásicas, h ay o tras carác terísticas que 11 1211 P o r “ clásicos"" q u e re m o s d e c ir n o só lo lo s filó so fo s griegos,

m ed iev a les y m o d e rn o s sino ta m b ié n ló g ic o s c o n te m p o rá n e o s que h a n c o n tr ib u id o a l d e sa rro llo de lo s q u e h e m o s llam ado “"lógica clásica"'1'.

12 H a b la m o s de s is tem as fo rm a le s -po rque de es te n io d o to d as las c u e s tio n e s y p ro b le m a s p u e d e n ser a n a liza d o s c o n m a y o r rigo r. P e ro c o n e s to lo s c r ite r io s que p ro p o n e m o s , p u e d e n ser ap licad o s a la ló g ic a in tu itiv a .

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son tan im p o rtan te s com o la p rim era y que sin ellas, un lógico clásico no h a b ría n u n c a acep tado que u n sistem a form al pud iera ser llam ado lógico.. Sin em bargo , cuando los lógicos y los filósofos hab lan acerca de las lógicas h e te ro d o ­xas, n o las to m a n en cuenta.. L os criterios p a ra juzgar el carácter clásico o no clásico de u n sistem a lógico son lim itados a las tres n o ta s clásicas, com o si éstas fueran las únicas im portantes., P ero , com o verem os, las o tras son igualm ente im p o rtan te s , y co n stitu y en , en el m ism o nivel que com o las p rim eras, n o ta s esenciales de logicídad..

C uando u n o pasa de las condiciones necesarias a las sufic ien tes de. logícidad u n o se sorprende de n o en co n tra r nada claro y preciso acerca del tema.. Es so rp renden te en co n tra r u n cam po casi ín to c ad o . E sta fa lta de análisis es uno de los fac to res de la confusión acerca de la na tu ra leza de las lógicas h e te ro d o x as 13,

5 ,2 C o n d ic io n e s n ecesa ria s d e lo g ic id a dPensam os que e n tre las m uchas cond ic iones necesarias

de logícidad que se en cu en tran en la trad ic ió n clásica en fo rm a ex p líc ita o im p líc ita , se reconocen fác ilm ente las siguientes:

1) L as tres n o ta s clásicas;2) L a n a tu ra leza deductiva de cualquier sistem a

lógico;3) E l carác ter a p o d íc tico de la deducc ión , esto es,

la necesidad de la relación en tre la verdad de las

13 E s ta lim ita c ió n se e n c u e n tra , au n en el tra b a jo de A n d e rso n y B e ln a p , q u ien es in te n ta ro n fo rm u la r u n a ló g ica d e l en lace (A n d e rso n -B e in a p , The. pu ré c a lcu la s o f e n ta ilm e n t, y T a u to - log ica l entailm .ents)..

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prem isas y la verdad de las consecuencias;4) La validez de las fó rm ulas lógicas. V alidez no es

lo m ism o que apod ic tic idad , porque., hay fó rm u ­las válidas, com o A,~*. B-*A que no expresa una re lación a p o d íc tic a de consecuencia lógica; esto es, B-*A n o puede ser considerado com o una consecuencia lógica de A 1 4 ;

5) La re lación de la consecuencia lógica debe ser tran sitiv a ;

6) Las reglas de in ferencia deben ser adecuadas (sound ), i. e. deben tran sm itir el carác ter lógico de las p rem isas de las consecuencias;

7) D ebe h ab er, cuando un sistem a lógico es in te r ­p re tad o lóg icam ente (esto es com o u n sistem a fo rm al de deducc ión ), algunos e lem en tos que tien en evidencia racional. E stos e lem en tos pue­den ser ax iom as, teo rem as o reglas de in fe ren ­cia. A lgunos sistem as pueden inclu ir fó rm ulas q u e , cuando son lóg icam ente in te rp re tad a s no son ev iden tes, pero deben ten e r algunas fó rm u ­las que expresan relaciones lógicas evidentes. Un sistem a lógico en el cual n inguna fó rm u la o regla de in ferenc ia es ev idente es inconceb ib le .

8) Las re laciones lógicas que se exp resan en las fó r­m ulas o reglas de in ferencia d eb en ser exp líc i­tas. E sta ex p lic itu d de u n sistem a lógico es la b a ­se de su rigor y de su acep tac ión universal. Si las re laciones lógicas no están expresadas en d e ta ­lle, en to n ces n o es posible te n e r la certeza de que los p rinc ip io s que se aplican en los p rocesos

V e re m o s m as ta rd e que el h e c h o que las c o n d ic io n es su fic ien ­tes de lo g ic id a d n o h a y a n sido investigadas, h a c re a d o u n a c a n tid a d de p ro b le m a s c o n c e rn ie n te s al c o n c e p to d e conse­c u e n c ia lógica.

deductivoá tien en valor universal., E l m ism o princip io de la lógica con la te o r ía del silogis­m o, consistió fu n d am en ta lm en te , en hacer ex­p líc itas algunas relaciones en tre proposiciones que hasta ese m o m e n to h a b ía n sido esp o n tán ea­m en te usadas sin u n a clara conciencia de su existencia ,

5 ,2 .1 S is te m a s h e te r o d o x o s y c o n d ic io n e s n ecesa ria s d e lo g ic id a dC uando los sistem as lógicos h e te ro d o x o s se analizan,

u n o descubre con sorpresa que la to ta l id a d d e e llo s c u m p le n las c o n d ic io n e s n ecesa ria s c o n la e x c e p c ió n d e la p r im e r a y la cu a rta , y q u e m u c h o s d e e llo s c u m p le n las o c h o c o n d ic io n e s c o n la e x c e p c ió n d e la p r im e ra n o ta c lásica (no tie n en u n lenguaje clásico).. P o r e jem plo , las lógicas m odales satisfacen a to d as las condiciones. E n c ie rto m o d o tienen u n lenguaje clásico p o rq u e este lenguaje es u n a p a rte del lenguaje modal,, A lgunos lenguajes m odales tienen u n tipo especial de va lidez15 y , aunque n o es validez universal, es al m enos, validez en u n sen tido lim itado.. P ero o tro s sistem as m odales gozan de validez p le n a 16. Las lógicas m odales inc luyen los tres p rincip ios clásicos y son, p o r cierto , th é ticas . Los operadores m odales, en la in te rp re tac ión in te n ta d a , están re lacionados en tre ellos en u n a m anera m ás in tu itiv a y clara y la m ay o ría de los ax iom as de los sistem as noda les tienen u n a innegable evidencia*17 De u n a m anera

15 P o r e je m p lo , lo s s is tem as de L ew is S ^ , S 2.1 S 3 ., S 4 ,,16 E l s is te m a de Lewis.S_g»17 H a b la m o s de lóg icas de m o d e lo s s ta n d a rd . H a y lógicas

m o d a le s in tu ic io n is ta s q u e n o in c lu y e n el p rin c ip io del te rc io e x c lu so . P e ro c o n la e x c ep c ió n del lenguaje y e s to s principios., c u m p le n to d a s las c o n d ic o n e s n ecesa ria s re s ta n te s .

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precisa, son m ás exp líc itas que las lógicas clásicas po rque expresan la necesidad de la consecuencia lógica, que es im plícita en los sistem as clásicos. Lo. m ism o puede decirse de las lógicas tem porales, e in fin itas. Las lógicas paraconsis­ten tes de am bas clases y las lógicas po livalen tes cum plen tam bién las condicones necesarias con la excepción de la prim era.

Las condiciones de validez, h ab lando es tric tam en te , no se encuen tran en m uchos sistem as h e te ro d o x o s. Pero en un sentido am plio se en cu en tra de u n m o d o u o tro en to d o s ellos. Por ejem plo, aún cuando u n m atem ático in tu ic io n is ta diga que el concep to de validez n o tiene sen tido para él, cuando la lógica in tu ic ion ista se form alíce h ay u n m odo preciso de definir la validez.. Las fó rm u las de la lógica in tu icionista en la form alización de H ey ting , son válidas en un sentido m ás restring ido que el clásico, p e ro , son al m enos válidos u n m uy am plio rango de universos l s .

A unque, las fó rm ulas a thé ticas no p u ed en ser válidas en sentido estric to , p o rque no p u ed en ser verdaderas, cuando m enos hay fo rm as precisas en que pueden conside­rarse válidas en sen tido am plio . Las fó rm u las deón ticas pueden expresarse en lenguaje T hético y p u ed en considerar­se com o ta u to lo g ía s18 19 . Las p regun tas tam b ién p u ed en ser consideradas com o tau to lo g ía s , no en sí m ism as, sino

18 S o b re la d e fin ic ió n de v a lid ez p a ra la lóg ica in tu ic io n is ta ver K rip k e , Sem arvtic A n a ly s is o f In tu i t io n is t ic L og ic , y F itt in g , In tu itio r iis tic m o d e l th e o ry a n d th e C o h é n in d e p e n d e n c e p ro o fs , in In tu itio n is t is m a n d P r o o f T h e o ry .

19 von W righ t, A n E ssay in D e o n tic L ogic a n d th e G enera l T h e o ry o f A c tio n , ps. 7 0 , 71 .

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referidas a la clase de respuestas que se dete rm inan p o r ellas2 0 ; las fó rm ulas axiológicas p u ed en tam b ién ser red u c i­das a las fó rm ulas th é ticas y p u ed en dem ostrarse que hay fórm ulas ■ axiológicas válidas.2 1 . Y es posible definir un concep to e x te n d id o de fó rm u la válida en las lógicas libres (u n a fó rm u la es válida si ésta n o es fa lsa)2 2 .

U no de los m ás n o tab les rasgos de las lógicas h e te ro d o x as es que, to d as ellas, incluyen axiom as y reglas de in ferencia que con la in te rp re tac ió n p ro p u es ta devienen evidentes. E sta evidencia es tan fu e rte com o la que ex iste en la lógica clásica.

P o d ría pensarse que esta evidencia está ausen te , en algunas de las lógicas com binato rias del tip o de las de C u rry 23 . P ero , aunque esto es ve rdad en los axiom as y teo rem as fu n d am en ta les de m uchas partes de la te o r ía , hay o tras partes, en las cuales la evidencia se m an tiene . Por e jem plo , cuando se in tro d u c en las catego rías sem ánticas para dar significado a d e te rm in ad as clases de fórm ulas. En estas p a rte s , se em plean obs canónicas que se in te rp re ta n com o p roposic iones, y se in tro d u c en algunos axiom as ad h o c p ara o b ten e r la te o r ía clásica de la d educc ión . A ún es posible dem ostar el teo rem a de la deducción que es, a no d u d arlo , u n a expresión de la carac te rís tica m ás in tu itiva del co n cep to de consecuencia lóg ica2 4 . La evidencia de algunas20 K a tz , T h e logíc o f q u e s tio n s , in L og ic , M e th o d o lo g y an d

P h ilo so p h y o f S c iene III , p. 478 .21 Iw in , G ru n d lan g e n der L o g ik v o n W e rtu n g en , p . 163.2 2 W o o d ru ff , L og ic an d T r u th V a lu é G ap s , in P h ilo so p h ic a l

P ro lb le m s o f L og ic , p , 127.23 N o to d o s lo s s is tem as de L ó g ica C o n b in a to r ia t ie n e n a sp ec to s

n o ev id en tes . P o r e jem p lo el s ite m s de Q u in e (Q u in e , S e lec ted L ogic P ap ers , R a d o n H o u se , N ew Y o rk , 1 966 .) es tra d u c ib le in m e d ia ta m e n te en fo rm as clásicas.

2 4 C u rry -H in d le y -S e ld in , C o n b in a to r ia l L og ic , V o lu m e II, ps. 182 , 3 5 4 .

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partes del sistem a se acrecien ta cuando se in tro d u ce el concep to de evaluación , y se rep roduce la te o r ía clásica de la evaluación b o o leana y de p rim er o rd e n 25 ,,

& C O N D IC IO N E S S U F I C I E N T E S D E L O G IC ID A D

6 A C o n c e p to g e n e ra l d e c o n d ic ió n s u f ic ie n te d e lo g ic id a dSea A u n co n ju n to de (fó rm u las b ien fo rm adas) f..b.,f„

de u n lenguaje fo rm al, y elijam os u n a fó rm u la a rb itra ria B ^A , Si B es u n a consecuencia lógica del resto de las fó rm ulas de A , decim os que u n a c o n d ic ió n s u f ic ie n te d e lo g ic id a d es cum plida p o r las prem isas y la conclusión . P or ejem plo, sean (Y x ) F (x ) y F (x ) de u n lenguaje de p rim er orden., E stas fó rm ulas cum plen u n a cond ic ión sufic iente de logicidad p o rq u e tenem os:

1) (Y k) F (x )H F (x )

E ste ejem plo es suficiente p ara m ostrar que una condición su fic ien te de log icidad es u n a relación en tre las p a rtes c o n stitu y en te s de las fó rm ulas que son las prem isas y la conclusión de u n a deducc ión form al (n o debem os olvidar lo que se dijo en la n o ta 12). Si estam os de acuerdo sobre este concep to , en tonces debem os visualizar inm ed ia tam en te el p rob lem a fu n d am en ta l de la te o r ía filosófica de la deducción: ¿cuáles son los criterios que n os perm iten reconocer u n a cond ic ión suficiente de logicidad, o lo q u e es lo m ism o, reconocer u n a deducción válida? L a resp u esta n o puede ser sino sólo u n a . E l ún ico criterio posible es el c r ite r io d e e v id en c ia . Si no hay cohdiciones sufic ientes de logicidad ev iden tes en tonces es im posible en ten d er p o r qué hem os acep tado algunas in ferencias com o válidas y h em os

25 C u rry -H in d le y -S e ld in , C o n b in a to r ia l L o g ic , V o lu m e II , p„ 407.

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rechazado o tras com o inválidas26 .,

P ero aunque la evidencia es el ú ltim o fu n d am en to de logicidad , hay m uchas relaciones deductivas que no son in m ed ia tam en te evidentes,. P o r e jem plo , hay u n a relación deductiva en tre los ax iom as de P eano y el teorem a fu n d am en ta l de la aritm ética,. P ero esta relación no es ev iden te de n ingún m odo., E n este caso, la evidencia es in d irec ta , y se ob tiene a través de u n a cadena de evidencias. U na deducción consiste, p rec isam ente en la posib ilidad de derivar la consecuencia de las prem isas, p o r u n con jun to de pasos deductivos, cada u n o de los cuales se basa en una evidencia lógica.. Y estos pasos se basan en u n con jun to so rp ren d en tem en te reduc ido de evidencias* E ste hecho nos da la clave p a ra la com prensión de la lógica m oderna y del progreso que h a logrado com parada con la antigua.

U na vez estab lecidas las an terio res defin iciones y concep tos, es posible ap rox im ar el p rob lem a de la relación en tre la lógica clásica y la h e te ro d o x a . L o p rim ero que debe hacerse es estab lecer el co n ju n to de condiciones suficientes de log icidad que están en la base de la lógica clásica. E nseguida, debem os tra ta r de ver si las d iferen tes lógicas

2 6 A u n el n o rac io n a lis ta e s ta ob lig ad o a re c o n o c e r a lgún t ip o de ev id en ica c u a n d o in te n ta e s ta b le c e r u n b u e n fu n d a m e n to de la in fe re n c ia lógica* D ice q u e lo s p rin c ip io s lóg icos p a recen ev id e n tes fu e ra d e l h á b ito p o rq u e son e m p lead o s c o n tin u a ­m e n te p a ra o b te n e r co n sec u e n c ia s p rá c tic a s , o p o rq u e e x p re ­san gen e ra lizac io n es de la e x p e rien c ia o s im p lem en te p o rq u e ex is te va lidez d e n tro de u n c o n te x to h is tó r ic o . D e u n a m a n e ra o de o tra , d e b e rá re c o n o c e r a lg u n a ev idenc ia en las bases de la lóg ica . L a d ife ren c ia : c o n el ra c io n a lis ta es que e x p lic a e s ta ev id en c ia de u n m o d o d ife re n te ,

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h e te ro d o x as tie n e n , a su tu rn o , co n ju n to s espec íficos de condiciones sufic ientes de logicidad: si n o tienen n inguna, en tonces el p rob lem a fu n d am en ta l de la re lación e n tre la lógica y la razón se resuelve negativam ente,, La lógica no pued« ser considerada com o u n a a u té n tic a exp resión del conocim ien to racional en el sen tido trad ic io n a l de la palabra. Si lo tien en , debem os com parar los con jun to s co rrespond ien tes a las lógicas h e te ro d o x as con el con jun to de los de la lógica clásica, y ver si tienen alguna relación . Sí no están claram ente re lac ionados en to n ces la razó n no puede ser considerada com o un sistem a u n ita rio de p rinci­pios y es d ifícil sostener que exista algo parecido a una facu ltad que pueda ser llam ada “ raz ó n ” . Si, po r el con tra rio , tien en relaciones defin idas, la respuesta es obvia­m en te positiva,

6 .2 C o n d ic io n e s s u f ic ie n te s d e lo g ic id a d c lásicasU no de los resu ltados in te resan tes de la lógica

m oderna clásica es que es posib le em plear con jun to s d iferen tes de cond ic iones sufic ien tes de logicidad. E sto es, las e stru c tu ras lógicas sim ples que se em plean com o p u n to s de p artida para constru ir la te o r ía de la deducc ión , pueden ser d iferentes. Pero esto n o es n ingún p rob lem a, po rque, cada co n ju n to adecuado de condiciones suficientes de logicidad es sufic iente to m ar cualquier sistem a de la lógica clásica. Para ev itar com plicaciones no s lim ita rem os a la lógica de p rim er o rden 27 . C onsiderem os, p o r e jem plo , el sistem a de C h u rch 2 8 .

27 U n a vez q u e las c o n d ic io n e s su fic ie n te s de lo g ic id ad se h a n e s ta b lec id o p a ra u n a lóg ica de p rim er o rd en , es fácil e s ta b lec e r las c o n d ic o n e s p a ra sis tem as de o rd en su p e rio r.

28 C h u rc h , In tr o d u c tio n to M a th e m a tic a l L og ic , p, 172.

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E s q u e m a s A x io m á t ic o s

A x Á .-> . B-^AA 2 A,-*\ B~^ C:;-> rA^B,-*.. A~^C A 3 '■'-A-^-HB, ->.B-*A A —̂ . ^ o 1)A 4 (Va) (A-^B). A(Va)B (en el cual ' V no es u n a variable libre en A)A s (y a )A -> S j\ A./C (en el cual “V " es unaconstan te o variable indiv idual y n o se en cu en ­tra n inguna ocu rrencia libre de en u n a parte b ien fo rm ada de A con la fo rm a (yb) C„)

R e g la s d e In fe r e n c ia1) M odus ponens2) Si A es u n a tesis, (Va) A puede ser derivado a p a rtir de A,

Es obvio que lo que C urch in te n ta hacer con su sistem a, es fo rm alizar rigu rosam en te las condiciones sufi­cientes de log icidad que serán em pleadas en el análisis de todas las e stru c tu ras lógicas de p rim er o rden posibles, su sistem a es com pleto en el sen tido de que , con la exclusiva ayuda de las condiciones expresadas po r los cinco ax iom asy las dos reglas de in ferencia , es posible ha llar las e stru c tu ras deductivas co rrespond ien tes a cada sistem a lógico de prim er o rden . Las condiciones su fic ien tes de log icidad que C hurch ü tilíza son las siguientes:

1) A h B ^ A2) A.-»\ B-K], A-* B H-A^C3) ~ A -> ~B4) (Va) (A- * B) HA~^ (V a)B (con las cond ic io ­nes expresadas)

31

5) (V a )A Í" 'S | A /C (con las condiciones ex ­presadas6) A ,A ^B H B7) A (Va)A (en la cual A es u n a tesis del sistem a)

L o prim ero que observam os es que cuando la cuestión es acerca de las cond ic iones sufic ien tes de logicidad (Le,., las condiciones que nos p e rm iten la deducción de consecuen­cias de, las prem isas) la d iferencia en tre ax iom a y regla de in ferencia desaparece.. C ada axiom a y regla de in ferencia es tam bién u n a m anera de estab lecer u n a condición suficiente de logicidad, o , en o tras palabras* p a ra expresar u n a relación entre las p a rtes c o n stitu y en te s de las fó rm ulas (p ro p o sic io ­nes en la in te rp re tac ió n in ten tad a ) que establece d e la m a n e ra m á s p a t e n t e , u n a relación deductiva en tre las fó rm ulas que in teg ran los axiom as o las reglas de in fe ren ­cia2^.

H ay sólo u n a excepción en el sistem a de C hurch . La condición 1) no es tan obvia. T odas las res tan tes son tan evidentes que n o puede concebirse que, si se dan las prem isas, la conclusión no se siga. P ero , en el p rim er ax iom a no es tan obvio que de A pu ed a deducirse B-*A, en la cual B es una f ub„L arb itraria . P o r supuesto si A es verdadera , B-*A debe ser necesariam ente verdadera , pe ro es to n o es suficien­te . En los o tro s axiom as, cuando u n o los considera desde el p u n to de vista de las relaciones deductivas que se expresan po r ellos, n o h ay com ponen tes a rb itrario s en la conclusión., P or ejem plo el ax iom a 3) e x p re sa :^ A -^ -B hB -^ A , y no

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L a m ism a fó rm u la p u e d e e x p re sa r , c o n d ic o n e s de lo g ic id ad d ife ren te s , p e ro re la c io n a d a s. P o r e je m p lo la c o n d ic ió n 2) puede ser e x p re sa d a com o : A , B-*C., A -^B K A -^C .

puede ex istir n inguna duda de que B -*A es una consecuencia de HB- P ero la a rb itra riedad de B en elax iom a 1) es desconcertan te , da la im presión de que no hay u n a relación precisa en tre las p a rtes co n stitu y en tes de la prem isa y las de la conclusión.. Si exam inam os los diferentes sistem as de lógicas ax iom áticas de p rim er o rden en con tra ­m os la m ism a situación- En. to d as ellas hay axiom as o teo rem as que no expresan relaciones claras de deducibili- dad„ Com o verem os, esta desconcertan te situación es fác ilm en te explicable.,

6 .3 C o n d ic io n e s s u f ic ie n te s d e Io g ic id a d y lóg icash e te r o d o x a sA hora que hem os localizado en los sistem as clásicos,

cond ic iones sufic ien tes de Iogicidad, es posible p lan tea r el p rob lem a de la racionalidad de las lógicas h e te ro d o x as de un m odo preciso.. Sí existe algo sem ejante a u n sistem a un itario de la razó n debe h ab er ^ c o n d ic io n e s suficientes de Iogicidad en las lógicas h e te ro d o x as , 2) una definida sim ilaridad en tre am bas clase de condiciones suficientes, 3) y posib lem en te algunas condiciones suficientes en los sistem as h e te ro d o x o s que sean d iferen tes de los clásicos pero que estén basados sobre u n a evidencia m uy fu erte y que no sean incom patib les con las primeras., E xam inem os la situ ac ió n 3 0 31-

6 ,3 ,1 L ó g ic a s h e te r o d o x a s d e p r im e ra e sp ec ieLas lógicas m odales siem pre con tienen una lógica

clásica de p rim er o rd e n 3,1 así, en to d as ellas las condiciones

30 O m itim o s las lóg icas cu asi-h e te ro d o x áS p o rq u e las co n d i­c io n es su fic ie n te s d e Io g ic id ad q u e fo rm a liz a n son clásicas.

31 Si son de o rd e n su p e rio r e n to n c e s e l s is tem a c lasico in c lu id o es de g rado su p e rio r.

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clásicas de logicidad se cum plen- L o m ism o se puede decir de las lógicas tem pora les e in fin itas.

La lógica jn tu ic io n is ta establece cond ic iones que están estrecham en te re lac ionadas a las de la clásica. Desde el p u n to de v ista fo rm al, son idén ticas a las ú ltim as. E n un nivel sem ántico las fó rm ulas se in te rp re ta n com o que expresan estad o s de co n ocim ien to . E sta in te rp re tac ió n perm ite estab lecer cond ic iones sufic ien tes de log icidad que coinciden con las de la clásica, con la excepción de que cuando la negación cond iconal o la cuan tificac ión son usadas, se deben to m ar p recuac iones para evitar la p re su p o ­sición del te rc io e x c lu so 32.

H ay algunos sistem as in tu ic io n is tas m uy radicales, com o el sistem a de Y esanin V o lp in , que están m u ch o m ás separados de la lógica clásica que los sistem as standard . Pero aún estos sistem as inc luyen m uchas cond ic iones suficientes de logicidad , p o r ejem plo m o d u s p o n e n s3 3 .

E n las lógicas paraconsisten tes de am bas clases, la situación es la m ism a. T odas las cond ic iones sufic ientes de logicidad u tilizad as , son es tric tam en te clásicas.

3 2 K rip k e , S e m a n tic A na ly sis o f In tu i t io n ís t ic L o g ic , I , in F o rm a l S y s te m s an d R ec u rsiv e F u n c tio n s , p„ 94 y sigu ien tes.

3 3 V o lp in , T h e U ltra in tu i t io n is t ic C ritíc ism a n d th e A n titra d i- t io n a l P ro g ram fo r F o u n d a tio n s o f M a th e m a tic s , in In tu i t io n is m a n d P r o o f T h e o r y . Es de m u ch o in te ré s o b se r­v a r que a c a u sa de su rad ica lism o el s is tem a in c lu y e m u ch a s c o n d ic io n e s su fic ie n te s de lo g ic id a d que son fu e r te m e n te ev id en tes .

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6 ,3 .2 L ó g ic a s h e te r o d o x a s d e se g u n d a y te rce ra e sp e c ieE n las lógicas po liva len tes fin itas en co n tram o s de

nuevo u n m arco clásico. N o sólo en el nivel p roposic ional, sino tam b ién en el nivel cuan tificac iona l encon tram os condiciones sufic ien tes de log icidad que son estric tam en te clásicas3 4 , Y lo m ism o se puede decir en el caso de las lógicas polivalen tes in fin itas (por e jem p lo , en R e ic h en b a tu o en L ukasiew icz)3 5 , P o r supuesto las re laciones lógicas son d iferen tes cuando los valores de la p ro b a lid ad son d iferen tes de 0 y 1, P ero en esto s dos lím ite s e n co n tram o s to d as las condiciones su fic ien tes clásicas. T odas las re laciones proba- b ilísticas son conceb idas com o p ara p e rm itir la rep ro d u c ­ción de la lógica clásica en los casos lim ites. Asi la e s tru c tu ra lógica del sistem a está d e te rm in ad o p o r la racionalidad clásica.

Las lógicas a thé ticas , com o puede esperarse, son consideradas com ple tam en te d iferen te de la -clásica, Pero ta n p ro n to exam inem os sus ax iom as y reglas de in ferencia,nos so rp rendem os de en co n tra r u n a m uy cercana rep ro d u c ­ción de las cond ic iones clásicas de logicidad. T o d o el análisis de lo que p o d ría llam arse “ e s tru c tu ras lógicas a th é ticas” se hace p o r la ap licación de e s tru c tu ras lógicas sim ples cuya evidencia im pone m uchas cond ic iones suficien­tes de log icidad sim ilares a las clásicas.

Sólo h em os señalado u n a lógica de te rce r especie: la lógica lib re . E n ésta e n co n tram o s m uchas condiciones sufic ien tes de loaic idad que son es tr ic tam en te clásicas. Es fácil ver que sin estas cond ic iones el an te rio r sistem a n o p o d ría ser e labo rado .3 4 V er,' p o r e je m p lo , los s is tem as d e R o sse r y T u r q u e tte en Ma-

n y -c o lu e d L ogics, N o rth •G u illa n d , A m s te rd a m , Í9 5 2 .35 Z-ukasiew ícz. S e lec ted W orks, N ó r th -H o lla n d . A m ste rd a m ,

U 9 7 0 , p, 140 y fo l.

35

6 .4 L ó g ic a h e te r o d o x a y la a m p lia c ió n d e l c o n ju n to d ec o n d ic io n e s s u f ic ie n te s d e lo g ic id a dA parte de las cond ic iones sufic ien tes clásicas de

logicidad, los sistem as h e te ro d o x o s poseen frecu en tem en te condiciones específicas que son irreduc tib les a las clásicas. Y esto p o d ría ser u n a rgum en to para m o stra r que p o r lo m enos alguno de ellos n o tiene nada que ver con los princip ios racionales. E xam inem os este hecho .

La situación general es la siguiente: cuando un sistem a h e te ro d o x o incluye condiciones suficientes de logicidad, esto es. e s tru c tu ras lógicas sim ples p o r m edio de las cuales las e s tru c tu ras lógicas m ás com plejas p u ed en analizarse, las cuales n o están in c lu id as en la lógica clásica, las c o n d ic io n e s h e te r o d o x a s so n s ie m p re e v id e n te s . E sta evidencia perm ite el análisis de las cond ic iones y ofrece u n criterio de logicidad.

El ejem plo usual de u n sistem a que tiene condiciones suficientes d iferen tes de la clásica es la de la lógica m o d a l Las relaciones en tre los o p e rad o res m odales, son evidentes. Son ta n evidentes que p e rm iten el e stab lec im ien to de condiciones su fic ien tes de logicidad . P or ejem plo: Pp ,Ppí— N ~ p , e tc . E sta evidencia n o es opuesta a la evidencia de las condiciones clásicas de logicidad. M uy al co n tra rio : los operadores m odales son sólo u n resu ltado de u n rasgo esencial de la lógica: la to ta l explicitud,. Desde el princip io de la lógica se e s ta b le c ió la necesidad de la re lación en tre las prem isas y la conclusión . Sin em bargo , esta necesidad n o se expresó en el lenguaje p o rq u e el análisis de la deducc ión m atem ática y co loqu ial p u d o hacerse sin hacer n inguna referencia a la n a tu ra leza de la re lac ión de consecuencia. El resu ltado de esta situación fue que la conectiva de im plicación p resen tab a u n sta tu s ambiguo., Com o u n a m era

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conectiva lógica, n o expresaba n inguna relación consecuen- cial. P ero , en realidad , cuando se acostum braba conectar las dos p a rte s principales de u n teo rem a o u n axiom a inplicati- vo , expresaba, al m enos, im p líc itam en te , u n a relación de enlace (en ta ilm en t ra la tio n ). E sta situación fué bastan te in sa tisfac to ria porque el sitem a fo rm al era insuficien te para hacer ex p líc ito el verdadero carác ter de los conectivos lógicos. P ara superar esta lim itac ió n , Lew is concibió su sistem a de^ im plicación estric ta e h izo ex p líc ito u n aspecto de las cond ic iones lógicas sufic ientes que h a b ía n estado im p líc ita s en la lógica clásica. A sí, el p rim er sistem a h e te ro d o x o de lógica se originó n o po rque n o hub iera un sistem a u n ita rio de la razó n , sino, to d o lo con tra rio , porque el lenguaje clásico n o p u d o hace r ex p líc ita to d a la e s tru c tu ­ra de este sistema..

Los o perado res m odales n o son, com o vem os, creacio­nes arb itrarias sin significado rac ional, sino que son u n m edio p ara hace r m ás ex p líc ita la e s tru c tu ra de la razón. E sta ten d en c ia n a tu ra l de la razó n lógica para hacer ex p líc i­ta s sus prop ias e stru c tu ras perm itió analizar y form alizar cond ic iones sufic ien tes de logicidad m uy precisas que, aunque u sada en el lenguaje co loquial n o h a b ía n sido deb idam en te exam inadas. Y estas nuevas e struc tu ras lógicas sim ples poseen u n rango de aplicación m uy vasto y p ro fu n d o . D espués que se descubrieron las m odalidades théticas, p u d ie ro n analizarse m uchas re laciones que p o se ían e s tru c tu ­ra lógica, sim ilares a las relaciones p roposic ionales m odales. F ué 'posib le sobre esta base co n stru ir la lógica de lo s tiem pos, la lógica de las norm as, la lógica de los im pera tivos,y o tros sistem as que, con ligeras variaciones, estuv ieron basados sobre relaciones de u n carác ter m odal fo rm al. A s í u n a gran can ti­dad de lógicas a thé ticas fu ero n descubiertas gracias a la ten d en c ia co n n atu ra l de la razón lógica para hacer exp líc ita la e s tru c tu ra de sus p rop io s principios.

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7 L A N A T U R A L E Z A E S T R U C T U R A L D E L AC O N S E C U E N C IA L O G IC A

L os resu ltad o s an te rio res m u estran c laram ente que el ún ico m o d o de co m p ren d er la n a tu ra leza de la re lación de consecuencia lógica, es p o r u n análisis de ta llado de su co n stitu c ió n e s tru c tu ra l. E l fu n d a m e n to ú l t im o d e la lo g ic id a d e s la re la c ió n e n tr e las p a r te s c o n s t i tu y e n te s d e las p r o p o s ic io n e s , o s i e l len g u a je e s tá fo r m a l i z a d o , d e las fó r m u la s „ U na p roposic ión es u n a consecuencia lógica de o tras , p o rq u e ex is ten de te rm inadas re laciones en tre las p a rtes co n s titu y en te s de las ú ltim as con las de las p rim eras. E stas re laciones im p o n e n , de u n a m anera in tu itiv a , la convicción incuestionab le de que la verdad de las p rem isas en trañ a la verdad de la consecuencia, P o r ejem plo, (Vk) F (x ) es ve rdadero , e n to n ces F (x ) es verdadero de cualqu ier valor de 4x \ Es ab so lu tam en te evidente que lo que es verdad de to d o s los e lem en to s de u n co n ju n to es tam b ién verdad de cualqu iera de sus e lem en to s 0 Es esta clase de relaciones e s tru c tu ra les que hacen posib le la ex istencia de conexiones deductivas e n tre p roposic iones y fó rm ulas. Las llam am os e s tru c tu r a s n o é tic a s , Si no fu era p o r estas e s tru c tu ras , el análisis lógico seria im posib le y la fo rm alizac ión de la lógica se red u c ir ía a u n p ro ced im ien to a rb itra rio . Si u n o p regun ta cóm o es posible la lógica fo rm al, h a y ú n icam en te una respuesta ; p o rque ex isten e s tru c tu ras n o é ticas , p o rque h ay re laciones e n tre las p a rte s c o n stitu y en te s de p roposic iones que, con evidencia in d u d ab le , estab lecen re laciones d ed u c ti­vas en tre prem isas y consecuencias. L os sistem as clásicos fo rm ales son u n a versión fo rm al de estas re laciones, esto es, p o rq u e son ap tas p ara exp resar, de u n m o d o riguroso , las re lac iones de enlace e n tre las p roposic iones.

P ero , si la lógica clásica se fu n d a en e struc tu ras

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noéticas, en to n ces ¿po r qué algunos de sus m ás sim ples axiom as y teo rem as no son evidentes? La razón de este hecho d esco n certan te es que la lógica m oderna clásica, desde su m ism o inicio n o se o rien tó hacia u n análisis estructu ra l, sino m ás b ien hacia u n a sistem atización práctica de fó rm ulas ú tiles p a ra la d ed u cc ió n . E sto es, lo que in teresó a los p rim eros lógicos m o d ern o s com o Frege, P eano , R ussell, e tc ., fue la e labo rac ión de un sistem a form al, d e n tro del cual to d as las deducc iones m atem áticas, hechas en la ciencia m a tem á tica ac tua l, pud iesen ser ap rop iadam ente rep roducidas. Y p a ra o b ten e r u n sistem a ta l, f u é n ecesa rio en p a r te , e x p re sa r só lo las c o n d ic io n e s n ecesa ria s de lo g ic id a d „ E sto es el p o r qué la naturaleza e s tru c tu ra l de la deducción no fue en fa tizad a claram ente, y solam ente fue fo rm alizada u n a pequeñ a p a rte délas e s tru c tu ­ras n o é ticas requeridas p a ra h ace r in ferencias correctas,. U n ejem plo de esta clase de fo rm alizac ión es la inclusión de las reglas de c u a n tif ic a d o r , N o hay n inguna duda de que axiom as y reglas com o (W ) F (x ) F (x ) , F (a) (3 x )F (x ) , F (x ) -+ (jV&) F(x) (cuando F(x) es u n a tesis del sistem a), e tc ., son fonm alizaciones de e stru c tu ras noéticas» Pero en fórm ulas com o ->B o aún A~> B r-^ -X Y -^ A -K L las relacionesen tre los c o n stitu y en te s de A , B y C no están especificadas. E n las fó rm u las p rim eras, u n o sabe que si la p rem isa es verdadera en tonces la consecuencia es .tam bién -verdadera po rque existe u n a re lación precisa e n tre sus co n stitu y en tes . Pero en las fó rm ulas p rep o sic io n a les u n o no conoce estas relaciones. A , B, C pueden ser fó rm ulas com p letam en te irre lac ionadas, y esta es u n a situac ión que nu n ca se halla en la deducc ión m a tem á tica o incluso en la deducc ión colo­quial. C uando hacem os deducc iones ap licando la tran sitiv i­dad de la im plicación , las fó rm u las que co n stitu y en los cond icionales están siem pre p rec isam ente relacionados. Pero esta relación n o está reflejada en la versión p roposi

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cional de las relaciones deductivas.

La m ay o ría de los ax iom as y tero rem as de la lógica p roposic ional (pero n o todas) rep roducen ún icam ente condiciones necesarias de logicidad. N o o b stan te esta lógica trabaja bastan te b ien p ara analizar y ju stificar deducciones porque existe u n a relación m uy im p o rtan te e n tre algunas condiciones de logicidad necesarias y suficientes: una relación de im plicación es siem pre u n a cond ic ión necesaria para u n a relación de en lace, y , adem ás, am bas son tran s iti­vas. A sí, a través de algún p ro ced im ien to co rrec to de deducción , u n a re lac ión transitiva se establece en tre varias conexiones de en lace , estas conex iones serán rep roducidas com o conex iones de im plicación , y la tran sitiv idad se preservará. E ste es el p o r qué , u tilizan d o ún icam en te relaciones de im plicación es posible analizar re laciones de enlace con gran eficacia cuando es sólo u n a cuestión de transitiv idad . L a m ism a situación existe en el caso de las relaciones de equivalencia; a q u í no sólo se preservan la transitiv idad sino tam b ién las p ro p ied ad es de sim etría . Esto tam b ién exp lica la lógica clásica p roposic iona l fo rm alizada , p rincipalm ente, cond ic iones necesarias de logicidad y sin em bargo funciona com o si h u b ie ra fo rm alizado cond ic iones suficientes. E sto asim ism o exp lica p o r qué la p rop iedad lógica de v a lid e z fue considerada la p rop iedad lógica m ás im p o rtan te , y to d as las concepciones y sistem atizaciones de la lógica clásica se en focaron po r esta p ro p ied ad . La validez com o u n a cuestión de h ech o es sólo u n a condición necesaria para el en tra ñ am ien to , pe ro n o suficiente .

8. E L S IS T E M A D E L A R A Z O N

El análisis que h em os h ech o de la m anera en la cual las lógicas h e te ro d o x as cum plen cond ic iones necesarias y40

su fu ic ien tes de logicidad n os p e rm ite , com o lo pensam os, m irarlas de u n nuevo m odo,. U n a vez que se observa que las lógicas h e te ro d o x as cum plen la m ay o ría de las condiciones necesarias clásicas de loe ic idad y que la m ay o ría de las cond ic iones sufic ien tes son las m ism as en to d o s los siste­m as, clásicos o n o clásicos, es im posible no reconocer que h ay algo que m erezca ser llam ado razó n , al m enos, en el n ivel lógico* T o d a la inm ensa gam a d« sitem as h e te ro d o x o s no es sino, u n a variación de la m ism a m elodía* Para en te n d e r esto es sufic iente renunciar a algunos prejuicios que fu e ro n originado^ a causa de la p ro fu n d a im presión de los p rim eros descubrim ien tos. P o r e jem plo , los princip ios clásicos im presionaron m uy p ro fu n d am e n te e l pensam ien to trad ic io n a l p o rque fu eron ellos los p rim eros en ser descu­b ie rto s , y p o r supuesto lo son realm ente., p rincip ios fu n d am en ta les de la razón* P e ro , adem ás de ellos h ay o tro s m u ch o s p rincip io s im p o rtan te s , y u n a constelac ión de p ro p ied ad es lógicas fu n d am en ta les , que n o fu ero n clara- m en te ap rehend idas en el p en sam ien to tradicional., T a razón lógica es m ás flex ib le de lo que se pensó que fuese, puede fu n c io n ar de d iferen tes m aneras, con m en o s o con m ás p rincip io s de los que los lógicos clásicos c reyeron que fuese posible* E n este sen tido la razón lógica puede ser com para­da con u n a m áq u in a com plicada. Es posible sacar algunas piezas y el m o to r , n o o b stan te , qu izá n o con la m ism a efic iencia , puede co n tin u ar funcionando* Y es posible asim ism o, añadirle nuevas piezas sin in te rru m p ir si funcio- naliento* P ero estas posib ilidades son lim itadas* el m o to r necesita siem pre algunas piezas fu n d am en ta les , que fu n c io ­n a n de acuerdo a c iertas regu laridades. P o r ejeiryplo, aunque algunos sistem as h e te ro d o x o s p u ed en suprim ir los p rinci­p ios de n o co n trad icc ió n , n inguno de ellos puede perm itir que to d as sus tesis sean co n trad ic to ria s , y aún aquellas que son a th é ticas deben acep tar algo sem ejante a un princip io

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de no triv ialización , de o tro m o d o el fu n c io n am ien to del m o to r es detenido*

Los clásicos c reyeron que lo s p rincip ios lógicos no p o d ía n ser in c rem en tad o s en n ú m ero . P e ro la razón lógica está en p e rm an en te d escu b rim ien to . Es posib le siem pre analizar algunas e s tru c tu ras lógicas que no han sido previa­m en te analizadas, y este análisis revela evidencias que no fu eron ex p líc itas , P ero , a despecho de esta in n ovac ión , las nuevas e s tru c tu ras lógicas se som eten a algunas fo rm as generales. E stas fo rm as p u ed en ser de tip o m odal (m odalo i- de) y presen tarse ellas ellas m ism as en so rp ren d en te p ro life ­rac ión (las lógicas m odales s tric to sensu, lógicas tem porales, lógicas deón ticas, lógicas im perativas, e tc .) o pueden ser de tip o asertó rico (a se rto ro id e) com o la m ay o ría de las lógicas polivalen tes, o lógicas lib res, o p u e d en ser u n a m ix tu ra de am bas fo rm as. L a n a tu ra le za m aleab le de esto s posib les tip o s es tan fu e rte que en co n tram o s e s tru c tu ras sim ilares aúh en casos en d onde los co m p o n en te s de las re laciones no son p roposic iones. E ste es u n o de los m ás im presionan tes descub rim ien to s del análisis lógicos m o d ern o . P ero en vez de significar el que n o pu ed a ex istir un sitem a de la razón , es u n signo de la un iversa lidad de los p rinc ip io s racionales. Las e s tru c tu ras rac ionales son tan universales que se cum plen aún en cam pos n o p reposic ionales .

A posar de esta u n id ad innegable , m u ch o s lógicos y filóso fos rechazan la posib ilidad de investigar la n a tu ra leza de las cond ic iones su fic ien tes de logicidad. L os pocos que se han ap ro x im ad o al p ro b lem a com o V on W right y G each no se Uun a trev ido a d e te rm in a r u n c o n ju n to m ín im o de cond ic iones sufic ien tes, E sta a c titu d se debe, sin duda , al ,.cc;io qno la trad ic ió n em p iris ta ha ten id o u n a p ro fu n d a ir;fluencia en el desarro llo de la lógica m o d ern a , y que , de42

acuerdo a esta trad ic ió n en u n absu rdo exam inar la in tu ic ión in te le c tu a l

N o h ay duda de que cu an d o in te n tam o s usar la in tu ic ión y la evidencia como, c rite rio s p a ra la ex istencia de e struc tu ras lógicas, e n co n tram o s d ificu ltades que parecen insuperables. E n co n tram o s in m ed ia tam en te u n a legión de casos dudosos y ten em o s que reco n o cer que m uchas evidencias que nos h an parec id o ser ab so lu tas d u ran te u n a cierta época h is tó rica han p e rd id o su c laridad in tu itiva . Pero , si n o acep tam os que h ay co n o cim ien to in tu itiv o y evidencias verdaderas, en to n ces las d ificu ltad es son m uchas m ás form idables., La prim era y la m ás grave de to d as es que, si n o acep tam os que h ay cond ic iones sufic ien tes de logicidad ev iden tes, en to n ces som os ab so lu tam en te incapa­citados para en te n d e r lo que es lóg ica y qué es de lo que estarnos h a b l a n d o 3 No e n ten d em o s p o r qué no podem os acep tar un sistem a com p le tam en te c o n tra d ic to rio n i p o r qué to d o s los sistem as lógicos deben inclu ir u n m ín im o de reglas de cu an tif ic ac ió n , n i p o r qué la d ed u cc ió n es tran sitiva , e tc ., etc.

Pensam os cric a posar de las cond ic iones dudosas de algunas in tu ic iones lógicas, hay m u ch as evidencias que pueden ser ab so lu tam en te conced idas y que u n o de los grandes re to s de la lógica filosó fica p resen te , y , en general, de la m o d ern a filo so fía del co n o c im ien to es ha llar un criterio para defin ir en tre la evidencia a u té n tic a y la evidencia p roven ien te de u n m ero h á b ito . La existencia de pa trones invariantes--de e s tru c tu ra lógica en los sistem as clásicos y h e te ro d o x o s , parece ind icar u n a posib le m anera de h ace r fren te , a este problem a.. U n icam en te p o r m ed io de

36 R e c u é rd e se las p a la b ra s lú d ic a s de R usselL

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esta clase de investigación po d em o s ganar elguna com pren ­sión del significado de la lógica y de la m anera com o la razón h u m an a opera„

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