Informe #1 de Laboratorio de Control
Nombres: Grupo:María Molinares 6-717-563 1IE151Cristian Ortega 6-716-2086
Parte 1. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA, POLOS Y CEROS
1. Encuentre la expansión en fracciones parciales de las siguientes funciones:
a) F ( s )= 1s (s+2)(s+5)
>> n1=[1];>> d1=[1 7 10 0]; >> [r,p,k]=residue(n1,d1)r = 0.0667 -0.1667 0.1000p = -5 -2 0k = [ ]
Fracciones Parciales:0.0667s+5
+−0.1667s+2
+ 0.1000s
b) F ( s )= 1
s (s2+2 s+10)
>> n1=[1];>> d1=[1 2 10 0];>> [r2,p2,k2]=residue(n1,d1)
r2 = -0.0500 + 0.0167i -0.0500 - 0.0167i 0.1000 + 0.0000ip2 = -1.0000 + 3.0000i -1.0000 - 3.0000i 0.0000 + 0.0000ik2 =
[ ] Fracciones Parciales:
−0.0500+ j0.0167s+1.000+ j3.000
+−0.0500− j 0.0167s+1.000− j 3.000
+ 0.1000+ j 0.000s
c) F ( s )= s+1s (s+2)(s2+6 s+10)
>> n1=[1 1];>> d1=[1 8 22 20 0];>> [r3,p3,k3]=residue(n1,d1)
r3 = -0.1500 + 0.2000i -0.1500 - 0.2000i 0.2500 + 0.0000i 0.0500 + 0.0000ip3 = -3.0000 + 1.0000i -3.0000 - 1.0000i -2.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000ik3 = []
Fracciones Parciales:
−0.150+ j0.200s+3.00+ j1.00
+−0.150− j 0.200s+3.00− j1.00
+ 0.250+ j0.00s+2.00+ j0.00
+ 0.0500+ j0.00s
c) F ( s )= s+1(s¿¿2+2 s+2)(s2+6 s+10)¿
>> n1=[1 1];>> d1=[1 8 24 22 20]; >> [r4,p4,k4]=residue(n1,d1)
r4 = -0.0215 + 0.0502i -0.0215 - 0.0502i 0.0215 - 0.0328i 0.0215 + 0.0328ip4 =
-3.6033 + 2.0322i -3.6033 - 2.0322i -0.3967 + 1.0056i -0.3967 - 1.0056ik4 = []
Fracciones Parciales:
−0.0215+ j 0.0502s+3.6033+ j 2.0322
+ −0.0215− j 0.0502s+3.6033− j 2.0322
+ 0.0215− j 0.0328s−0.3967+ j1.0056
+ 0.0215+ j0.0328s+0.3967− j 1.0056
2. Factorice los siguientes polinomios. Note que siempre que hay una potencia del polinomio con signo negativo o que sea cero, al menos una raíz tiene parte real positiva o cero.
a) s3+13 s2+33 s+30
>> p1=[1 13 33 30];>> r1=roots(p1)
r1 = -10.0000 + 0.0000i -1.5000 + 0.8660i -1.5000 - 0.8660i
Factorización:
(s+10+ j 0.0)(s+1.5+0. j 8660)(s+1.5− j0.8660)
b) s5+3 s4+28 s3+226 s2+600 s+400
>> p2=[1 3 28 226 600 400];>> r2=roots(p2)
r2 = 2.0000 + 6.0000i 2.0000 - 6.0000i -3.0000 + 1.0000i -3.0000 - 1.0000i -1.0000 + 0.0000i
Factorización:
(s−2+ j 6.0)(s+2− j6.0)(s+3+ j 1.0)(s+3− j1.0)(s+1+ j0.0)c) s4+2 s3+3 s+6
>> p3=[1 2 3 6];>> r3=roots(p3)
r3 = -2.0000 + 0.0000i 0.0000 + 1.7321i 0.0000 - 1.7321i
Factorización:
(s−2+ j 0.0)(s+ j 1.7321)(s− j1.7321)
d) 2 s4+25 s+4
>> p4=[2 0 0 25 4];>> r4=roots(p4)
r4 = 1.2124 + 2.0118i 1.2124 - 2.0118i -2.2648 + 0.0000i -0.1601 + 0.0000i
Factorización:
(s−1.2124+ j2.0118)(s−1.2124− j 2.0118)(s+2.2648+ j 0.0)(s+0.1601+ j0.0)
3. Construya la función de transferencia en forma polinómica, dados los siguientes datos:
a) k=7 ;ceros=2.5 ; polos :1.33 y 0.577
>> [n,d]=zp2tf([2.5],[1.33 0.577],[7])
n = 0 7.0000 -17.5000d = 1.0000 -1.9070 0.7674
Función de transferencia:
>> TF=tf(n,d)
TF = 7 s - 17.5 ---------------------- s^2 - 1.907 s + 0.7674
b) num=( s+0.21 ) s ;den=(s2+6 s+30)(s−1) >> num1=conv([1 0.21],[1])
num1= 1.0000 0.2100 0
>> den1=conv([1 6 30],[1 -1])
den1 = 1 5 24 -30
Función de transferencia:
>> TF2=tf(num1,den1)TF = s^2 + 0.21 s ----------------------- s^3 + 5 s^2 + 24 s – 30
c) num=( s+0.88 ) (s ); polos=0.42,0.80 ,0.99
>> num2=conv([1 .88],[1 .10])
num2= 1.0000 0.9800 0.0880
>> r=[0.42 0.80 0.99]
r = 0.4200 0.8000 0.9900
>> den2=poly(r)
den2= 1.0000 -2.2100 1.5438 -0.3326
Función de transferencia:
TF3=tf(num2,den2)
TF3 = s^2 + 0.98 s + 0.088 --------------------------------- s^3 - 2.21 s^2 + 1.544 s - 0.3326 d) ceros=1 ,3 ,5 ;den=(4)(s+6)(s+4)(s+1)>> z=[1 3 5]z = 1 3 5>> num3=poly(z)
num3= 1 -9 23 -15
>> den3=conv(conv(conv([4], [1 6]), [1 4]), [1 1])
den3 = 4 44 136 96
Función de transferencia:
>> TF4=tf(Z,E)
TF4 =
s^3 - 9 s^2 + 23 s - 15 --------------------------- 4 s^3 + 44 s^2 + 136 s + 96
e) k=1 ;ceros=ninguno; polos=2 ,0.40 >> [nu,de]=zp2tf([0], [2 .40], [1])
nu = 0 1 0de = 1.0000 -2.4000 0.8000
Función de transferencia:
>> TF5=tf(nu,de)
TF5 =
s ----------------- s^2 - 2.4 s + 0.8
4. Hallar la representación en ceros-polo de las siguientes funciones de transfrencia:
PARTE 2. REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE ESTADO.
1. El diagrama de bloques mostrado es de un sistema automático de control de profundidad para un robot submarino. La profundidad se mide mediante un transductor de presión. La ganancia del actuador del alerón de popa es de k=10−4 cuando la velocidad es de 8m/s. El submarino tiene la función de
transferencia aproximada a G (s )= (s+0.2)2
(s2∗0.01)y el transductor de
retroalimentación es H(s)=1.
>> n=[0.0001 0.00004 0.000004];>> d=[1 0.0001 0.01004 0.000004];
>> [a,b,c,d]=tf2ss(n,d)
a = -1.0000e-04 -1.0040e-02 -4.0000e-06 1.0000e+00 0 0 0 1.0000e+00 0
b = 1 0 0
c = 1.0000e-04 4.0000e-05 4.0000e-06
d = 0
>> [num,dem]=ss2tf(a,b,c,d)
num = 0 1.0000e-04 4.0000e-05 4.0000e-06
dem = 1.0000e+00 1.0000e-04 1.0040e-02 4.0000e-06
PARTE 3. REDUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUE.
1. Determine las funciones de transferencia C(s)/R1(s) y C(s)/R2(s). Si
G1(s)=1
s2+4 s+1, H 1(s)=
1s ,G2(s)=
s+3s2+3 s+12
, H 2 (s )=H 1(s).
>> n1=[1];>> d1=[1 4 1];>> n2=[1 3];>> d2=[1 3 12];>> y1=[1];>> x1=[1 0];>> y2=[1];>> x2=[1 0];
a) Reducción de bloques en función de transferencia C(s)/R1(s):
Reducción de bloque para retroalimentación número 1 entre G2(s) y H2(s):
>> [nretro1,dretro1]=feedback(n2,d2,y2,x2,-1)
nretro1 =
0 1 3 0
dretro1 =
1 3 13 3
Reducción del bloque G1(s)en serie y retroalimentación número 1:
>> [nser1,dser1]=series(n1,d1,nretro1,dretro1)
nser1 =
0 0 0 1 3 0
dser1 =
1 7 26 58 25 3
Reducción de bloque para retroalimentación número 2 entre (nser1,dser1) y H1(s):
>> [nretro2,dretro2]=feedback(nser1,dser1,y1,x1,-1)
nretro2 =
0 0 0 1 3 0 0
dretro2 =
1 7 26 58 26 6 0
Función de transferencia C(s)/R1(s):
>> TF1=tf(nretro2,dretro2)
TF1 = s^3 + 3 s^2 -------------------------------------------- s^6 + 7 s^5 + 26 s^4 + 58 s^3 + 26 s^2 + 6 s
b) Reducción de bloques en función de transferencia C(s)/R2(s):
Reducción de bloque para retroalimentación número 1 entre G2(s) y H2(s):
>> [nretro1,dretro1]=feedback(n2,d2,y2,x2,-1)
nretro1 =
0 1 3 0
dretro1 =
1 3 13 3
Reducción del bloque G1(s) en serie y H1(s):
>> [nser1,dser1]=series(n1,d1,y1,x1)
nser1 =
0 0 0 1
dser1 =
1 4 1 0
Reducción de bloque para retroalimentación número 2 entre (nretro1, dretro1) y (nser1,dser1):
>> [nretro2,dretro2]=feedback(nretro1,dretro1,nser1,dser1,1)
nretro2 =
0 1 7 13 3 0 0
dretro2 =
1 7 26 58 24 0 0
Función de transferencia C(s)/R2(s):
>> TF11=tf(nretro2,dretro2)
TF11 = s^5 + 7 s^4 + 13 s^3 + 3 s^2 -------------------------------------- s^6 + 7 s^5 + 26 s^4 + 58 s^3 + 24 s^2
2. a). Determine C(s)/R1(s), si G1(s)=5.5, G2(s)=100s+50 ,G3(s)=
4S (s+1),
H 1 (s )=s.
>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1 0];>> xi=[1];
Reducción del bloque en serie 1 entre G2(s) y G3(s):
>> [nser1,dser1]=series(n2,d2,n3,d3)
nser1 =
0 0 0 400
dser1 =
1 51 50 0
Reducción de bloque hecho a mano para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):
>> nretro1=[400];>> dretro1=[1 51 450 0];
Reducción de bloque en serie número 2 entre (nretro1,dretro1) y G1(s):
>> [nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)
nser2 =
0 0 0 2200
dser2 =
1 51 450 0
Reducción de bloque para retroalimentación unitaria:
>> [nretro2,dretro2]=cloop(nser2,dser2,-1)
nretro2 =
0 0 0 2200
dretro2 =
1 51 450 2200
Función de transferencia:
>> TF2=tf(nretro2,dretro2)
TF2 = 2200 --------------------------- s^3 + 51 s^2 + 450 s + 2200
b) Estudie el efecto que tiene sobre la función de transferencia el reemplazar
H1(s) por 1s+a , con a= 0, 0.5, 5, 50, 500.
Reemplazando a=0
>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 0];
Reducción del bloque en serie 1 entre G2(s) y G3(s):
>> [nser1,dser1]=series(n2,d2,n3,d3)
nser1 =
0 0 0 400
dser1 =
1 51 50 0
Reducción de bloque para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):
>>[nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,yi,xi,-1)
nretro1 =
0 0 0 400 0
dretro1 =
1 51 50 0 400
Reducción de bloque en serie número 2 entre (nretro1,dretro1) y G1(s):
>>[nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)
nser2 =
0 0 0 2200 0
dser2 =
1 51 50 0 400
Reducción de bloque para retroalimentación unitaria:
>> [nretro2,dretro2]=cloop(nser2,dser2,-1)
nretro2 =
0 0 0 2200 0
dretro2 =
1 51 50 2200 400
Función de transferencia:
>> TF1=tf(nretro2,dretro2)
TF1 =
2200 s ------------------------------------ s^4 + 51 s^3 + 50 s^2 + 2200 s + 400
Reemplazando a=0.5
>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 0.5];
Reducción del bloque en serie 1 entre G2(s) y G3(s):
>> [nser1,dser1]=series(n2,d2,n3,d3)
nser1 =
0 0 0 400
dser1 =
1 51 50 0
Reducción de bloque para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):
>> [nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,yi,xi,-1)
nretro1 =
0 0 0 400 200
dretro1 =
1.0000 51.5000 75.5000 25.0000 400.0000
Reducción de bloque en serie número 2 entre (nretro1,dretro1) y G1(s):
>> [nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)
nser2 =
0 0 0 2200 1100
dser2 =
1.0000 51.5000 75.5000 25.0000 400.0000
Reducción de bloque para retroalimentación unitaria:
>> [nretro2,dretro2]=cloop(nser2,dser2,-1)
nretro2 =
0 0 0 2200 1100
dretro2 =
1.0e+03 *
0.0010 0.0515 0.0755 2.2250 1.5000
Función de transferencia:
>> TF1=tf(nretro2,dretro2)
TF1 = 2200 s + 1100 ----------------------------------------- s^4 + 51.5 s^3 + 75.5 s^2 + 2225 s + 1500
Reemplazando a=5
>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 5];
Reducción del bloque en serie 1 entre G2(s) y G3(s):
>> [nser1,dser1]=series(n2,d2,n3,d3)
nser1 =
0 0 0 400
dser1 =
1 51 50 0
Reducción de bloque para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):
>> [nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,yi,xi,-1)
nretro1 =
0 0 0 400 2000
dretro1 =
1 56 305 250 400
Reducción de bloque en serie número 2 entre (nretro1,dretro1) y G1(s):
>> [nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)
nser2 =
0 0 0 2200 11000
dser2 =
1 56 305 250 400
Reducción de bloque para retroalimentación unitaria:
>> [nretro2,dretro2]=cloop(nser2,dser2,-1)
nretro2 =
0 0 0 2200 11000
dretro2 =
1 56 305 2450 11400
Función de transferencia:
>> TF1=tf(nretro2,dretro2)
TF1 = 2200 s + 11000 --------------------------------------- s^4 + 56 s^3 + 305 s^2 + 2450 s + 11400
Reemplazando a=50
>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 50];
Reducción del bloque en serie 1 entre G2(s) y G3(s):
>> [nser1,dser1]=series(n2,d2,n3,d3)
nser1 =
0 0 0 400
dser1 =
1 51 50 0
Reducción de bloque para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):
>> [nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,yi,xi,-1)
nretro1 =
0 0 0 400 20000
dretro1 =
1 101 2600 2500 400
Reducción de bloque en serie número 2 entre (nretro1,dretro1) y G1(s):
>> [nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)
nser2 =
0 0 0 2200 110000
dser2 =
1 101 2600 2500 400
Reducción de bloque para retroalimentación unitaria:
>> [nretro2,dretro2]=cloop(nser2,dser2,-1)
nretro2 =
0 0 0 2200 110000
dretro2 =
1 101 2600 4700 110400
Función de transferencia:
>> TF1=tf(nretro2,dretro2)
TF1 = 2200 s + 110000 ------------------------------------------ s^4 + 101 s^3 + 2600 s^2 + 4700 s + 110400
Reemplazando a=500
>> n1=[5.5];>> d1=[1];>> n2=[100];>> d2=[1 50];>> n3=[4];
>> d3=[1 1 0];>> yi=[1];>> xi=[1 500];
Reducción del bloque en serie 1 entre G2(s) y G3(s):
>> [nser1,dser1]=series(n2,d2,n3,d3)
nser1 =
0 0 0 400
dser1 =
1 51 50 0
Reducción de bloque para la retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y H1(s):
>> [nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,yi,xi,-1)
nretro1 =
0 0 0 400 200000
dretro1 =
1 551 25550 25000 400
Reducción de bloque en serie número 2 entre (nretro1,dretro1) y G1(s):
>> [nser2,dser2]=series(nretro1,dretro1,n1,d1)
nser2 =
0 0 0 2200 1100000
dser2 =
1 551 25550 25000 400
Reducción de bloque para retroalimentación unitaria:
>> [nretro2,dretro2]=cloop(nser2,dser2,-1)
nretro2 =
0 0 0 2200 1100000
dretro2 =
1 551 25550 27200 1100400
Función de transferencia:
>> TF1=tf(nretro2,dretro2)
TF1 = 2200 s + 1.1e06 -------------------------------------------- s^4 + 551 s^3 + 25550 s^2 + 27200 s + 1.1e06
3. Para el diagrama de bloque que se muestra a continuación determine la función de transferencia de lazo cerrado C(s)/R(s), para K=10, Tm=0.8, T1=2.
n1d1
= 1Tm
, n2d2
=T 1, n3d3
=1s, n4d 4
= Ks2
, n5d5
=K
>> n1=[1];>> d1=[0.8];>> n2=[2];>> d2=[1];>> n3=[1];>> d3=[1 0];>> n4=[10];>> d4=[1 0 0];>> n5=[10];>> d5=[1];
Reducción de bloques en serie número 1 entre 1/Tm y 1/s:>> [nser1,dser1]=series(n1,d1,n3,d3)
nser1 =
0 1
dser1 =
8.0000e-01 0
Reducción de bloques de retroalimentación número 1 entre (nser1,dser1) y T1:
>> [nretro1,dretro1]=feedback(nser1,dser1,n2,d2,-1)
nretro1 =
0 1
dretro1 =
8.0000e-01 2.0000e+00
Reducción de bloques de retroalimentación número 2 entre 1/Tm y 1/s:
>> [nretro2,dretro2]=feedback(n1,d1,n3,d3,-1)
nretro2 =
1 0
dretro2 =
8.0000e-01 1.0000e+00
Reducción de bloques en serie número 2 entre (nretro2, dretro2) y T1:
>> [nser2,dser2]=series(nretro2,dretro2,n2,d2)
nser2 =
2 0
dser2 =
8.0000e-01 1.0000e+00
Reducción de bloques en paralelo número 1 entre (nretro1, dretro1) y (nser2, dser2):
>> [npar1,dpar1]=parallel(nretro1,dretro1,nser2,dser2)
npar1 =
1.6000e+00 4.8000e+00 1.0000e+00
dpar1 =
6.4000e-01 2.4000e+00 2.0000e+00
Reducción de bloques en serie número 3 entre (npar1,dpar1) y K/s2:
>> [nser3,dser3]=series(npar1,dpar1,n4,d4)
nser3 =
0 0 16 48 10
dser3 =
6.4000e-01 2.4000e+00 2.0000e+00 0 0
Reducción de bloques en retroalimentación unitaria:
>> [nretro3,dretro3]=cloop(nser3,dser3,-1)
nretro3 =
0 0 16 48 10
dretro3 =
6.4000e-01 2.4000e+00 1.8000e+01 4.8000e+01 1.0000e+01
Reducción de bloques en retroalimentación número 4 entre (nretro3,dretro3) y K:
>> [nretro4,dretro4]=feedback(nretro3,dretro3,n5,d5)
nretro4 =
0 0 16 48 10
dretro4 =
6.4000e-01 2.4000e+00 1.7800e+02 5.2800e+02 1.1000e+02
Función de transferencia:
>> TF=tf(nretro4,dretro4)
TF = 16 s^2 + 48 s + 10 ------------------------------------------ 0.64 s^4 + 2.4 s^3 + 178 s^2 + 528 s + 110