LA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO1. CLASIFICACIN DE LAS CNICAS DE ECUACIN

Hemos probado que la ecuacin de una cnica con ejes paralelos a uno de los ejes coordenados se puede esbribir bajo la forma general.

Esta ecuacin representa una cnica:a. Del gnero circunferencia. Si A=C . En casos excepcionales, su grfica puede ser un punto o un conjunto vacio .b. Del gnero elipse, si AC en casos excepcionales su grfica puede ser un punto o .c. Del gnero hiprbola, si AC< 0 (tienen diferentes signos). En casos excepcionales su grafica puede ser un par de rectas concurrentes.d. Del gnero parbola, si AC=0 o sea A0 Y C=0 A=0 y C0. En casos excepcionales su grfica puede ser una par de rectas paralelas o .

2. ECUACIN GENERAL DE LAS CNICASUna ecuacin de la forma

Donde A,B,C,D,E y F son constantes, como A,B y C no siendo todos nulos, recibe el nombre de ecuacin general de segundo grado o cuadrtica, en dos variables. Si B=0 , la ecuacin general toma la forma

Y como se vio anteriormente se puede identificar su grafica completando cuadrados en x e y , y aplicando una traslacin de ejes apropiada.

Sabemos por teorema que si se rotan los ejes coordenados el ngulo , entonces las originales y nuevas coordenadas de un ounto estn relacionadas atraves de:

Si sustituimos estos valores en la ecuacin general, se obtendr la nueva ecuacin de segundo grado que sige:

La ecuacin general de segundo grado:

Donde B0 , puede transformarse siempre a la forma

Sin trminos en , girando los ejes coordenados un ngulo agudo positivo tal que

Y si A=C