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Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación Superior

Instituto Universitario Antonio José de SucreNúcleo - Barquisimeto

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Participante:Lameda JulianC.I 25,824,084

Facilitador: Domingo MeléndezAsignatura: Matemática I

Barquisimeto; Marzo de 2016

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Definición de las DerivadasLa derivada de una Función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS1- Creciente y Decreciente:Los intervalos de creciente y decreciente de una función y = f(x) seobtienen a partir de la primera derivada de la función por la siguiente regla:(a)f crece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) > 0 para todo x en

(a, b).

(b) f decrece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) < 0 para todo x en (a, b).

Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada son los máximos o mínimos, según la derivada cambie de positiva a negativa o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen:(a) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un máximo local o relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f crece y otro intervalo (x0, x0 + δ) en donde f decrece.

(b) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un mínimo local o relativo si existe un intervalo (x0 −δ, x0) en donde f decrece y otro intervalo (x0, x0 + δ) en donde f crece.

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EjemploEstudiar el crecimiento y

decrecimiento de la función f(x) = x( √ x + 1).

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2- Máximos y Mínimos:Los máximos y mínimos locales se encuentran entre los llamados puntos singulares o críticos, es decir, puntos del dominio de la función en donde la derivada se anula o no existe.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Encontrar los máximos y mínimos locales de la función f(x) = x 5 − 5x +

6.

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3- Puntos De Inflexión.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Se llaman puntos de inflexión los puntos en donde cambia la concavidad de una función, ya sea de arriba hacia abajo, o viceversa. Para ello, si la función posee derivadas de segundo orden, un punto x0 del dominio de f será punto de inflexión si f 00(x0) = 0 y ocurre alguna de las siguientes situaciones:a) existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f 00(x) < 0 y otro intervalo(x0, x0 + δ) en donde f 00(x) > 0.

b) existe un intervalo (x0 − δ, x0) en donde f 00(x) > 0 y otro intervalo(x0, x0 + δ) en donde f 00(x) < 0.

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Ejemplo

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

4- Concavidad Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento queune los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.

Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

5- Convexidad

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Definición de Razón de Cambio de las Derivadas.

Se refiere a la medida en la cual una variable se modifica con relación a otra. Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio. En caso de que las variables no estén relacionadas, tendrán una razón de cambio igual a cero.

La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es su velocidad.