ANTECEDENTES:Desde los comienzos de la humanidad, la ingeniera estructural ha estado ligada a su historia. Pero slo fue hasta mediado del siglo XVII que los ingenieros empezaron a aplicar los conocimientos de lamecnica, en el anlisis y diseo de estructuras y mquinas. Las primeras mquinas simples como elplano inclinado, la rueda, la polea, el tornillo y la cua sirvieron para construir algunas de lasmagnficas estructuras antiguas. Podemos distinguir algunos perodos importantes de esta historia yen ellos algunos pueblos, construcciones, personajes y descubrimientos importantes.G.A. MANEY desarrollo el mtodo de la pendiente deflexin que se considera como el mtodo precursor del mtodo matricial de las rigideces.

OBJETIVOS:GENERALConocer el mtodo de las deformaciones y el mtodo pendiente deflexin.ESPECIFICOSAnalizar sus mtodos de planteo.Establecer las ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexin

METODO PENDIENTE DEFLEXIONEn el anlisis de estructuras hiperestticas, los desplazamientos pueden utilizarse como incgnitas y se les conoce como mtodo de los desplazamientos. De estos mtodos, uno de los importantes es el pendiente deflexin. Este mtodo se basa en la determinacin de las rotaciones y desplazamientos de los diferentes nudos, a partir de los cuales se obtienen los momentos en los extremos de cada barra.Planteamiento del mtodo.1) Se plantean los momentos de barra sobre apoyo en los extremos de cada miembro de la estructura utilizando las ecuaciones del mtodo pendiente-deflexin. Estos momentos quedan expresados en trminos de las rotaciones en los extremos y de los desplazamientos lineales relativos entre los dos extremos de cada miembro.2) Planteamos una ecuacin de equilibrio que nos da un sistema de ecuaciones de un nmero igual a los grados de libertad de la estructura. Su resolucin permite calcular los valores de las rotaciones en los extremos y de los desplazamientos relativos.3) Se calculan los momentos finales sustituyendo los valores de y de , obtenidos en el paso anterior, en los momentos planteados en el a.Ecuaciones fundamentales de la pendiente-deflexinConsideremos un elemento aislado de una viga o prtico (FIG. 12-1). El elemento esta deformado con rotaciones en los extremos a y b, una traslacin relativa entre a y b. Los momentos en los extremos los llamaremos Mab y Mba estn relacionados con las deformaciones elsticas en ambos extremos asi como la carga en el vano ab. Donde f y g son funciones distintas. Mab = f(a, b, , carga sobre la luz) Mba = g(a, b, , carga sobre la luz)

Para encontrar las expresiones de estas ecuaciones establecemos el siguiente convenio de signos:1) El momento que acta en el extremo de una barra es positivo si tiene sentido horario.2) La rotacin en el extremo de una barra es positiva cuando la tangente a la curva deformada, en su extremo, gira en el sentido horario desde su posicin inicial.3) La traslacin relativa entre los extremos de una barra es positiva cuando corresponde a una rotacin de la barra en sentido horario.Ahora refirmonos la FIG. 12-1 y observemos que los momentos en los extremos Mab y Mba pueden considerarse como la suma algebraica de cuatro efectos distintos:1) El momento debido a la rotacin a del extremo a, mientras el otro extremo esta empotrado.2) El momento debido a la rotacin b del extremo b, mientras el extremo a esta fijo.3) El momento debido a la traslacin relativa entre los dos extremos de la barra sin alterar las pendientes o tangentes existentes en los extremos.4) El momento producido al aplicar las cargas actuantes sobre el vano sin alterar las deformaciones existentes en los extremos.

1. Considrese la barra ab soportada como se indica en la FIG. 12-12(a). La lnea de trazos representa la barra deformada. Obsrvese que el extremo a gira un ngulo a mientras que el extremo b esta fijo (b = 0); no hay desplazamiento relativo entre los extremos a y b (=0). Los correspondientes momentos en los extremos a y b, que representamos respectivamente por Mab y Mba pueden obtenerse fcilmente por el mtodo de la viga conjugada, como se indica en la FIG. 12-2(b), con el diagrama de momentos divididos por EI como carga elstica y con a como reaccin, de tal manera que la fuerza cortante positiva de la viga conjugada de la pendiente positiva buscada de la viga real. De las condiciones de equilibrio: (12-3) (12-4)Sustituyendo la EC. 12-5 en la Ec. 12-4 se obtiene (12-6)As como (12-7)

2. Considrese la barra ab soportada y deformada como se indica en la FIG. 12-3, en donde el extremo b ha rotado un ngulo b y el extremo a esta fijo. El momento correspondiente en el extremo b, al que llamaremos Mba, y el momento en a, Mab, se obtiene en forma similar: (12-8) (12-9) (12-10)3. Para encontrarlos momentos que aparecen en los extremos debidos a una traslacin pura o desviacin entre los dos extremos sin rotacin en los mismos, consideremos las viga empotrada en sus extremos de la FIG. 12-4(a). Debido a la simetra de la deformacin con respecto al punto central de la barra, los dos momentos en los extremos deben ser iguales.

As pues, si llamamos Mab y Mba a los momentos en los extremos a y b respectivamente, tendremos:Mab=Mba=-MEl signo negativo indica que Mab y Mba tienen sentido antihorario. El valor de M puede obtenerse por el mtodo de la viga conjugada como se indica en la FIG. 12-4(b). Obsrvese que, adems de las cargas elsticas distribuidas del diagrama M/EI, acta un par o momento en el extremo b igual a , correspondiente a la desviacin en b de la viga real. De M=0 tenemos:

As, pues, los momentos en los extremos de una barra, debidos a un puro desplazamiento relativo estn dados por (12-11)4. Finalmente, los momentos que aparecen en los extremos de una barra sin causar deformaciones en los extremos, cuando se aplican las cargas externas sobre el vano, no son otra cosa que los momentos de empotramiento perfecto, designados corriente por MFab Y MFba .Mab=Mab+Mab+MabMFabMba=Mba+Mba+MbaMFbaAplicando las Ecu. 12-6, 12-7, 12-9, 12-10, 12-11, obtenemosMab= Mba= Ordenando las expresiones anteriores se obtiene:Mab= (12-12)Mba= (12-13)Que son las ecuaciones fundamentales de pendiente-deflexin para una barra deformada de seccin uniforme. Las ecuaciones expresan los momentos en los extremos Mab y Mba en funcin de las pendientes en los extremos (a, b), la traslacin relativa o desviacin (), entre los dos extremos, y la carga libre la luz ab. Si hacemos:

Siendo K el factor de rigidez de la barra y R la rotacin de la barra, las ecuaciones se convierten en:Mab= (12-14)Mba= (12-15)Los signos y los valores de MFab Y MFba dependen de las condiciones de carga en el vano ab. Si la barra ab no soporta ninguna carga, MFab= MFba= 0.En la tabla 12-1 se indican los valores de los momentos de empotramiento en una barra recta con EI constante, debido a los tipos ms usuales de cargas.

METODO DE LAS DEFORMACIONES.Tambin llamado Mtodo de las rigideces, plantea una estructura en la que se satisfagan las condiciones de compatibilidad geomtrica, aunque no se cumplan las condiciones de equilibrio. Estas ltimas se logran en una segunda etapa introduciendo fuerzas correctivas que no alteren las condiciones de continuidad geomtrica.Planteamiento general del mtodo de las deformaciones.1. La estructura original hiperesttica se transforma en otra cuyos desplazamientos sean conocidos; la forma ms sencilla es plantear que los nudos no giren y no tengan desplazamientos lineales. La estructura transformada tiene continuidad geomtrica, pero no cumple las condiciones de equilibrio esttico.2. Se plantean las ecuaciones de equilibrio esttico en los nudos de la estructura y en la estructura en su conjunto, y se determinan los desequilibrios que resulten.3. Se aplican deformaciones arbitrarias en los nudos que estn en desequilibrio y se calculan las acciones que producen estas deformaciones en la estructura.4. Se calculan los valores que deben tener las deformaciones aplicadas en los nudos para corregir todos los desequilibrios en el paso 2.5. Se calculan los valores de las acciones que corresponden a las deformaciones determinadas en el paso anterior.6. Se calculan las acciones finales sumando las de los pasos 1 y 5.ANALISIS DE VIGAS HIPERESTATICAS POR EL METODO DE LAS DEFORMACIONESEn el siguiente ejemplo suponemos que la deformacin por flexin es la nica importante.Puede considerarse como sobrante una de las reacciones. Escojamos en este caso la reaccin en el apoyo b como hiperesttica actuando hacia abajo, como se indica en la FIG. 9-2(b). Si aplicamos el principio de supersicion, podemos considerar la viga sometida a la suma de los efectos de la carga uniforme inicial y la hiperesttica Xb como se indica en la FIG. 9-2(c) y (d) respectivamente.Ahora calculamos la flecha en b debida a la carga uniforme cuya expresin es FIG.9-2(c):

La FIG. 9-2(e) representa el diagrama de momentos de la viga.y la producida en b por una carga unitaria aplicada en el mismo punto cuya expresin es FIG. 9-2(d).

Aplicando la ecuacin de compatibilidadb=b+ bbXb=0Obtenemos xb=0 De donde Xb= El signo menos indica que la reaccin va hacia arriba.Una vez determinada la reaccin en b, se observa que la viga se reduce a una estticamente determinada. Las componentes de la reaccin en a pueden determinarse ahora mediante las ecuaciones de equilibrio: (Hacia arriba) (Sentido antihorario)