Universidad Central del Ecuador Facultad de Ingeniería Química
Investigación Operativa
Examen 1° Hemisemestre Ejercicios:
1) Determinar el equilibrio de Nash por indiferencia de:
𝐴 = 𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑒 ℎ𝑐 ℎ 𝑓
𝑞1 𝑞2 𝑞3 𝑝1
𝑝2
𝑝( ℎ ℎ
) 3
Donde : ( 1 2 3) = ( ℎ )
Para µ 𝑢1 = 𝑎𝑞1 + 𝑏𝑞2 + 𝑐𝑞3
𝑢2 = 𝑏𝑞1 + 𝑒𝑞2 + ℎ𝑞3
𝑢3 = 𝑐𝑞1 + ℎ𝑞2 + 𝑓𝑞
3
Para vi,
𝑣1 = 𝑎𝑝1 + 𝑏𝑝2 + 𝑐𝑝3
𝑣2 = 𝑏𝑝1 + 𝑒𝑝2 + ℎ𝑝3
𝑣3 = 𝑐𝑝1 + ℎ𝑝2 + 𝑓𝑝
3
q = p 1 = 1 + 2 + 3
2 = 1+ 2 + ℎ 3
3 = 1 + ℎ 2 + 3
Donde: 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 1
Tenemos:
1 = 2 = 3 (1)
3 = 1 1 2 (2)
Reemplazando 1 2 3: 𝑢1 = 𝑎𝑞1 + 𝑏𝑞2 + 𝑐(1 𝑞1 𝑞2) = 𝑎𝑞1 + 𝑏𝑞2 + 𝑐 𝑐𝑞1 𝑐𝑞2
𝑢2 = 𝑏𝑞1 + 𝑒𝑞2 + ℎ(1 𝑞1 𝑞2) = 𝑏𝑞1 + 𝑒𝑞2+ ℎ ℎ𝑞1 ℎ𝑞2
𝑢3 = 𝑐𝑞1 + ℎ𝑞2 + 𝑓(1 𝑞1 𝑞2) = 𝑐𝑞1 + ℎ𝑞2 + 𝑓 𝑓𝑞1 𝑓𝑞2
Sabemos que: 1 = 2 = 3
Para 1 = 2, tenemos:
1 + 2 + 1 2 = 1 + 2 + ℎ ℎ 1 ℎ 2
1 1 + ℎ 1 1 = 2 + ℎ + 2 ℎ 2 2
1( + ℎ ) = 2( + ℎ ) + ℎ
1 = ( )
( )(3)
Para 2 = 3, tenemos:
1 + 2 + ℎ ℎ 1 ℎ 2 = 1 + ℎ 2 + – 1 2
1 ℎ 1 1 + 1 = ℎ 2 + 2 2 ℎ +
ℎ 2
1( ℎ + ) = 2(ℎ + ℎ) + ℎ
1 = ( )
( ) (4)
Igualando (3) y (4)
(3) = (4)
2( + ℎ ) + ℎ
( + ℎ )=
2( ℎ ) + ℎ
( ℎ + )
2( + ℎ )
+ ℎ
2( ℎ )
ℎ + =
ℎ
ℎ +
ℎ
+ ℎ
2 =
ℎ ℎ +
ℎ
+ ℎ
( + ℎ ) + ℎ
( ℎ ) ℎ +
𝒒𝟐 = (𝒇 𝒉)(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) (𝒉 𝒄)(𝒃 𝒉 𝒄 + 𝒇)
(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃) (𝒃 𝒉 𝒄 + 𝒇) (𝟐𝒉 𝒇 𝒆) (𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)
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Reemplazando q2 en (3):
1 = 2( + ℎ ) + ℎ
( + ℎ )
1
= [( ℎ)( + ℎ ) (ℎ )( ℎ + )
( + ℎ ) ( ℎ + ) ( ℎ ) ( + ℎ )]( + ℎ ) + ℎ
( + ℎ )
𝒒𝟏 = [(𝒇 𝒉)(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) (𝒉 𝒄)(𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇)
(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃) (𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇) (𝟐𝒉 𝒇 𝒆) (𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)](𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃)
(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)
𝒉 𝒄
(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)
Reemplazando:
3 = 1 1 2
3 = 1 [( )( ) ( )( )
( ) ( ) (2 ) ( )]( )
( )
( ) -
( )( ) ( )( )
( ) ( ) (2 ) ( )
𝒒𝟑 = 𝟏 [(𝒇 𝒉)(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) (𝒉 𝒄)(𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇)
(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃) (𝒃 𝒉 𝒄+ 𝒇) (𝟐𝒉 𝒇 𝒆) (𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)] [
(𝒆+ 𝒄 𝒉 𝒃)
(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄) 𝟏]
𝒉 𝒄
(𝒂 𝒃+ 𝒉 𝒄)
2. Plantear un problema, utilizando el programa R para un problema Proceso de Matriculación en la Facultad de Ingeniería Química
El proceso de matriculación en la Facultad de Ingeniería Química en los
últimos tiempos se ha convertido en una de las principales dificultades que
afrontan los estudiantes ya sea por la ineficiencia del sistema académico o
por la falta de organización de las autoridades correspondientes; para tratar
de superar este inconveniente se proponen 5 opciones de matrícula y están
son puestas en consideración de los estudiantes obteniéndose los siguientes
resultados:
Total de alumnos matriculados: 698 alumnos
Opciones puestas en consideración
Caso A: Matriculas personalizadas en secretaria.
Caso B: Matriculas por semestres y en secretaria.
Caso C: Matricula por el sistema universitario y entrega de papeles
en secretaria.
Caso D: Matricula por el sistema sin entrega de papeles.
Caso E: Matricula automática cada semestre.
Datos recogidos Caso Número de estudiantes Porcentaje
Caso A 105 15.04%
Caso B 56 8.022%
Caso C 84 12.034%
Caso D 161 23.066%
Caso C 292 41.838%
Total 698 100%
Análisis
Shapley Value
CasoA 100.45000
CasoB 95.28333
CasoC 59.20000
CasoD 150.03333
CasoE 237.03333
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Characteristic form of the game Number of agents: 5
Coaliton Value(s)
v(i) 1 105
2 56
3 84
4 161
5 292
12 161
13 189
14 266
15 397
23 140
24 217
25 384
34 453
35 245
45 376
123 245
124 322
125 453
134 350
135 481
145 558
234 301
235 432
245 537
345 406
1234 537
1235 593
1245 698
1345 509
2345 614
12345 642
Model name: Nucleolus of a gains game
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Minimize 0 0 0 0 0 -1
R1 0 0 0 0 0 1 >= 0
R2 1 0 0 0 0 -1 >= 105
R3 0 1 0 0 0 -1 >= 56
R4 1 1 0 0 0 -1 >= 161
R5 0 0 1 0 0 -1 >= 84
R6 1 0 1 0 0 -1 >= 189
R7 0 1 1 0 0 -1 >= 140
R8 1 1 1 0 0 -1 >= 245
R9 0 0 0 1 0 -1 >= 161
R10 1 0 0 1 0 -1 >= 266
R11 0 1 0 1 0 -1 >= 217
R12 1 1 0 1 0 -1 >= 322
R13 0 0 1 1 0 -1 >= 453
R14 1 0 1 1 0 -1 >= 350
R15 0 1 1 1 0 -1 >= 301
R16 1 1 1 1 0 -1 >= 537
R17 0 0 0 0 1 -1 >= 292
R18 1 0 0 0 1 -1 >= 397
R19 0 1 0 0 1 -1 >= 384
R20 1 1 0 0 1 -1 >= 453
R21 0 0 1 0 1 -1 >= 245
R22 1 0 1 0 1 -1 >= 481
R23 0 1 1 0 1 -1 >= 432
R24 1 1 1 0 1 -1 >= 593
R25 0 0 0 1 1 -1 >= 376
R26 1 0 0 1 1 -1 >= 558
R27 0 1 0 1 1 -1 >= 537
R28 1 1 0 1 1 -1 >= 698
R29 0 0 1 1 1 -1 >= 406
R30 1 0 1 1 1 -1 >= 509
R31 0 1 1 1 1 -1 >= 614
R32 1 1 1 1 1 0 = 642
Claims of the Agents
CasoA CasoB CasoC CasoD CasoE
31.25 30.00 23.75 10.00 5.00
Assignments according to the following rules
Proportional CEA CEL Talmud RA
CasoA 218.12 31.25 150.85 150.85 31.25
CasoB 209.40 30.00 149.60 149.60 30.00
CasoC 165.78 23.75 143.35 143.35 23.75
CasoD 69.80 10.00 129.60 129.60 10.00
CasoE 34.90 5.00 124.60 124.60 5.00
Inequality Analysis among rules (Gini Index)
Proportional CEA CEL Talmud RA
0.29 0.29 0.04 0.04 0.29
Conclusión: La mejor opción de
matrículas en la facultad de
Ingeniería Química es el caso E
donde con una matrícula automática
se evitarían los contratiempos con el
sistema académico y la acumulación
de personas en los exteriores de la facultad.