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Introducción a la trigonometríay a las funciones trigonométricas

Shirley BrombergRaquel Valdés

Un poquito de historia

Trigonometría es una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición. Y se habla de ella como matemática práctica.

La trigonometría resuelve el siguiente problema: conocidos algunas de las componentes de un triángulo, determinar las restantes

La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos datos determinan que salvo por posición un triángulo de lados dados, la trigonometría (práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

a

cb

Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que

a2 + b2 = c2,

Comencemos con triángulos rectángulos.

conocemos el tercer lado. Eso sí, debemos saber si los lados que conocemos son catetos o la hipotenusa.

NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retícula. Los triángulo de las esquinas tienen los mismos ángulos.

Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retícula. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras igual a c/r.

Resolución de triángulos rectángulos.

Pero no tenemos ninguna información acerca de los ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este problema.

Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente

¿ Cuál será la altura del árbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

Problema

Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos.

Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo.

Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

a2 + b2 = c2

c

a

b

a/c

b/c

(a/c)2 + (b/c)2 = 1

pasamos a

1

de 1

Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria

Relacionamos ángulos y longitudes con Tablas de Cuerdas

En un comienzo, a cada ángulo se asoció la cuerda subtendida por él en una circunferencia de radio fijo.

αcuerda α

Tablas de cuerdas

Razonando con la figura allado se muestra que

2sen

2 cuerda αα =

/2α/2α

Tablas de cuerdas

Para conseguir nuevos valores seusa la identidad

α

αα cos 1

2sen 2 2 −=α cos 1−

αsen

y se obtienen tablas de cuerdas quevan de 5o en 5o.

Construcción de Tablas

ángulo cuerda seno coseno tangente

60o 11/2

30o 1/2

15o

45o ? 1

23

23

3

3

1

22

2 232 −

232 +

32

1

+

32 −

22

La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia

αsen

α cos

αtan

αcotan

α cosec

α sec

αsecante

cosecante radi

o seno

tangente

cotangentecoseno

α

α

α

Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo

α

ca==

hipotenusa opuesto cateto

sen α

a

b

cαb/c

a/c1

Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo

α

cb==

hipotenusa adyacente cateto

cosα

a

b

cαb/c

a/c1

Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo

αa

b

cαb/c

a/c1

ba==

adyacente cateto opuesto cateto

tan αab==

opuesto cateto adyacente cateto

cotan α

Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo

αa

b

cαb/c

a/c1

bc==

adyacente cateto hipotenusa

sec αac==

opuesto cateto hipotenusa

cosec α

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos sen

α cos α sen -1 2

αtan

αcotan

α sec

α cosec

=

=

=

=

=

Identidades Trigonométricas

α1

cos αsen α

La identidad fundamentales consecuencia delTeorema de Pitágoras

1cos sen 22 =+ αα


α

1

Si es el ángulo complementariode , hay un triángulo rectánguloque los tiene como ángulos agudosy se tiene que

( )βαβ −== 90 coscossen

αβ

( )βαβ −== 90sen sen cos

β

cos αsen α


1

α

En una diapositiva anteriordemostramos que

ααcos1

2 2sen 2 −=

ββ sen212 cos 2−=

o bien, tomando αβ 2=

α

Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura.

El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo.

ααP

αP

Pero no es necesario tener todo el rectángulo, bastacon tener la recta que une con el origen.αP

α


DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj:

α

αPl αsen

la abscisa de la ordenada de

α cos αP

lαP

α


La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada

α

αP

lβ

l

αta

n

βP

βta

n

α


αP

l

I II III IV

sen α + + - -

cos α + - - +

tan α + - + -

βP

δPγP

¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

αP

III

III VI

α

Medida absoluta de ángulos:RADIANES

1

El círculo unitario también nos permite usar longitudes para medir ángulos, aprovechando que el ángulo es proporcional al arco que subtiende. Un ángulo de un radián es el ángulo que subtiende un arco de longitud uno.


Como la circunferencia unitaria mide 2π, un cuarto de circunferencia mide π/2 y como un ángulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia, el ángulo recto mide π/2 radianes.


π/2 90oComo

Entonces si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados,

πRad

180Grad =


πRad

180Grad =

ángulo en radianes ángulo en grados

1

1

π/3

45

120

Actividad I…

Construir un triángulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos triángulos que se obtienen.

Nota: cada quien es libre de escoger la escala

…Actividad I

Con la escala proporcionada, medir la razón entre pares de lados del triángulo diseñado

Medir en centímetros los lados del triángulo diseñado y obtenga la razón entre los pares de lados

Actividad II…Para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados, midan las siguientes razones, según el ángulo marcado con el círculo rojo:

a) Cateto opuesto e hipotenusab) Cateto adyacente e hipotenusac) Cateto opuesto y cateto adyacente

… Actividad II

Problema

En una circunferencia de centro O y radio 5 estátrazada una cuerda que mide 3.5 ¿cuánto mideel ángulo central asociado?En la misma circunferencia, halle la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo de 72o.

O5

Problema

Una cuerda de 100m de largo se estira un metro másy se sostiene del centro (ver la figura). ¿ A qué alturase encuentra el punto C?Dé una medida aproximadadel ángulo .α

α100m

101m

C

Pregunta

a

b

c

α

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función coseno ?

¿alguno de los catetos puede sermayor que la hipotenusa?

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función seno ?

¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función tangente ?

ProblemaCon apoyo del círculo unitario, construyala gráfica de la función sen

αα

α

)(αsen

15 30 45 60 75 90 120 150 ···105 135

(0,1)

(-1,0)

(-1,-1)

(0,1)

Problema…1. Trace los triángulos rectángulos definidos por las siguientes ternas de puntos:

a) (0,0), (8,0), (8,6)b) (0,0), (-4,0), (-4,3)c) (0,0), (-3,0), (-3,-4)d) (0,0), (8,-6), (8,0)

2. En cada uno de los triángulos trazados, ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas.

3. Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.

… Problema

III

III IV

I II III IV

sen(α) + + - -

cos(α) + - - +

tan(α) + - + -