Ajuste de DatosLa interpolacin presupone el conocimiento certero de los valores de f(x) en ciertos puntos.
En un experimento fsico la funcin f(x) se conoce a travs (x,y), y una aproximacin del error; vale decir:
yi = F(x) + ii = 1,2,...,m
Siendo n el error o ruido y m el nmero de datos.
El objetivo del ajuste de datos es aproximar los datos mediante una funcin, que represente la mayor parte de la informacin y escaso ruido: anlisis conocido como de regresin.
Aproximacin de mnimos cuadrados La forma de la funcin F(x) depende del problema (La tendencia de los datos); sea :
donde n es nmero de sumando y fi son funciones bsicas, determinadas al conocerse un problema.
La evaluacin de xi en las fj genera :
equivalente en modo matricial :
La matriz de valores de las funciones bsicas
es :x ij = fj (xi )
del sistema de ecuaciones Xc = y + , se tiene :
=Xc - y
Al minimizar la proximacin de los errores, se minimiza la norma del error. Se usa la solucin por mnimos cuadrados :
desde
Minimizando con referencia a ck
equivalente a : (Xc y)T X = 0 X T (Xc y ) = 0 X T Xc = X T y
que son conocidas como ecuaciones normales.
Tcnica de DoolittePartiendo de una recta de regresin para F(x)
F(x) = c1 + c2 x + c3 x2
se encuentra que la matriz de funcin bsica es de orden n = 3.
X =
X TX es
X TX = y
X T y =
Sean los datos : (-2,2), (-1,-1), (0,0), (1,-1), (2,2)
X =
X T =
X T X =
y =
X T y =
El sistema :
( X T X) c = ( X T y) es :
obtenindose: c1 = -2, c2 = 0 , c3 = 1
luego :F(x) = -2 + x2
Fig. 4.18 : Mincua.m
A continuacin se presenta el caso de F(x) es una recta de regresin
F(x) = c1 + c2 x
y los puntos : (1,3), (2,4), (3,5) y (4,6)
X =
X T =
X T X =
X T y
el sistema de ecuaciones es :
tiene solucin: c1 = 2 y c2 = 1
yF(x) = 2 + x
Interpolacin segmentaria o spline Cuando se interpola polinomios de grado grande, el tamao del error tambin es considerable. Se sugiere dividir el intervalo de los puntos x0 , x1 ,....., xn en varios segmentos y buscar el polinomio interpolante para cada caso; haciendo que los cambios entre ellos no sean abruptos, sino suavizados.
La interpolacin segmentaria o spline tiene su origen en las plantillas que hacen uso los dibujantes para suavizar las curvas entre los puntos de un segmento.
Interpolacin segmentaria linealDefiniendo :
y
se tiene la forma
en x = 8.0
La expresin general para un spline lineal es :
S(x) = yi + mi (x xi ) para xi x xi+1
donde mi = ( yi+1 yi ) / (xi+1 xi ) , y
Fig. 4.19
Fig. 4.20 : Spline1.m
Spline cbico Sea el intervalo [a,b] con (n+1) puntos con:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
la funcin S es llamada un spline cbico, si cumple :
1. Es diferenciable y continua en [a,b].2. S coincide en cada intervalo [xi , xi+1], i = 0,1,...,(n-1) con un polinomio de grado 3.
La funcin S spline cbico posee n polinomio cbicos S(x), con las siguientes propiedades :1.
2. S(xi ) = yi el spline pasa por cada punto, i = 0,1,..., n.
3. Si (xi+1) = Si+1(xi+1) el spline forma una funcin continua, i = 0,1,..., n-2
4. Si (xi+1) = Si+1(xi+1) el spline forma una funcin suavisada, i = 0,1,..., n-2
5. Si (xi+1) = Si+1(xi+1) la segunda derivada es continua, i = 0,1,..., n-2
Para cada particin en [a,b], se tiene :
hi+1 = xi+1 xii = 0,1,..., n-1
Mi = S(xi ), siendo Mi el momento de S.
De la definicin de la interpolacin de Lagrange y sabiendo que la derivada segunda en una funcin cbica es una lnea, se tiene :
al integrar Si (x) ,
De Si (xi ) = yi y Si (xi+1) = yi+1
las constantes de integracin Ai , Bi son :
Para determinar los coeficientes i , i , i y i , se plantea :
Fig. 4.21 : Spline3.m
Por cada [xi , xi+1 ] existen cuatro incgnitas, luego el spline cbico tiene aparentemente 4n incgnitas. Se plantean las siguientes ecuaciones:
1. De la propiedad 4, Si (xi+1 ) = Si+1(xi+1) , con :
Se tiene un conjunto de ecuaciones :
Como , , , , son funcin de M0 , M1, ..., Mn , entonces slo se requieren (n+1) incgnitas.
2. Se tienen (n-1) ecuaciones y las otras dos ecuaciones se encuentran cuando se cumple :
S0(a) = M0 = 0 = Mn = Sn-1(b)
en este caso se dice que el spline es natural; o cuando :
S0(a) = y0 y Sn-1(b) = yn ,
y se tiene las ecuaciones :
en este caso que el spline es tipo grampa empalme (clamp).
Introduciendo las siguientes abreviaturas :
en el spline empalme, 0 = 0 , b0 = 0 , n = 0 , bn = 0 para i = 0 y n (en el spline natural); se tiene el sistema de ecuaciones lineales :
En notacin matricial :
que es un sistema triagonal (ver captulo 4) con:
con a0 = 0 y cn = 0.
Para n = 3 y los puntos (x,y) : (0,0) , (1 , 0.5), (2,3), (3,2) ; con la modalidad natural se tienen los resultados
x(x0 , x1)(x1 , x2)(x2 , x3)00.53.0-0.2672.0331.13302.300-3.2000.767-1.8331.067
Problemas1. Asumir f continua en [a,b] y x0 es un valor [a,b]f (x) = Pn(x) + Rn(x) Donde :
a) Si |x| < 1 la aproximacin :
Sen(x) = x x3/3! + x5/5! x7/7! + x9/9!
Encontrar P5(0.8) , P7(0.8) , R5(0.8) , R7(0.8)
b) Plantear un programa que evale Sen(x).
2. Definiendo
probar que :
3. Usar los polinomios de Lagrange para calcular y(1.18), a partir de la tabla :
xy1.051.101.151.201.251.301.0251.0491.0731.0951.1181.140
4. Usar la Interpolacin de Newton para calcular y(15), teniendo la tabla :
5. Encontrar la ecuacin de regresin para los puntos:
ixiyi01261020104160370
6. Encontrar la ecuacin de regresin para los puntos:
y la funcin:
7. Una interpolacin lineal en dos dimensiones, consiste en buscar un polinomio: z = P(x,y) = A + Bx + Cy que pasa por tres puntos (x0, y0, z0), (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2).
8. Una serie de la forma :
es llamada una aproximacin polinomial trigonomtrica de orden n ; siendo el grado m (n-1)/2.
Los coeficientes aj y bj son calculados por las frmulas :
Asumir que los pares ( xi , yi ) estn definidos como :
9. Utilizar la funcin griddata de MATLAB, para generar variables aleatorias (matrices x,y)
x ~ U(-2,2)y ~ U(-2,2)
10. Utilizar la funcin Lagrange.m para graficar el uso de la interpolacin de Lagrange.
Respuestas1. P5(x) = x x3 / 3! + x5 / 5! = 0.71739733
P5(x) = x7 / 7! = - 0.00004161
P7(x) = x x3 / 3! + x5 / 5! x7 / 7! = 0.71735572
P7(x) = x9 / 9! = 0.00000037
2. De
luego , y
De la definicin del polinomio :
reemplazando :
3.
P(x) = 1.08623
if (xi )Li (x)0123451.0241.0491.0731.0951.1181.1400.01075-0.087360.465920.69888-0.099840.01165
4. Para las diferencias divididas finitas :
P(x) = 104 + 14(x-x0) + 0.50 (x-x0)(x-x1) = 252.50
ixiF(xi )120126102010416037014210.50
5. Para los siguientes puntos :
con F(x) = c1 + c2x
El sistema : (XT X) c = (XT y) es:
con solucin : c1 = 1 , c2 = 1
6. Desde los datos
y la funcin F(x) = c1 + c2 x + c3 x2
con solucin : c1 = 1 , c2 = -1 , c3 = 1
7. Sea el sistema de ecuaciones :
para los puntos (x,y,z) : (1,1,5),(2,1,3),(1,2,9), el sistema de ecuaciones es :
el vector solucin es : A = 3 , B = -2 , C = 4 y la ecuacin resultante es : z = 3 2x + 4y
8. Sea f(x) = x/2 sobre [-, ], con n = 12 y m = 15. Los vectores resultantes :
a = (0.26180, -0.26180, 0.26180, -0.26180, 0.26180, -0.26180) , y
b = (0, 0.97705, -0.45345, 0.26180, -0.15115, 0.07015)
9. griddata Demox = rand (100,1)*4-2;y = rand (100,1)*4-2;z = x.*exp(-x.^2 y. ^2);t = 2:0.20:2;[xI,yI] = meshgrid(t,t);zI = griddata (x,y,z,xI,yI);mesh (xI,yI,zI);holdplot (x,y,z,o);hold off
Fig. 4 : griddata Demo
10.
Fig. 4 : lagranDemo.m
Fig. 4 : Ejecucin de lagranDemo.h
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