Interferometría con haces gaussianos
Dedicatoria Este trabajo lo dedico a mí familia:
A mi hija Diana por ser la luz que ilumina mi vida, a mi esposa Gloria por su apoyo incondicional.
A mis padres Eliborio Santos Sidronia Gómez A hermanos: Socorro Leticia Virginia Liborio Soledad Carmen A la familia Bermúdez-Santos por todo el apoyo que me han brindado. Y a la memoria de dos seres que llevo en mi corazón: Rita María Guadalupe Aguilar Ojeda Juan Antonio Santos Gómez
Agradecimientos Quiero expresar mi mas sincero agradecimiento al CONACYT y al CIO por el apoyo económico brindado durante el desarrollo de mis estudios de Doctorado en Ciencias, sin el cual no podría haberlos hecho. A mis profesores por todas sus enseñanzas y consejos. Y muy especialmente a mis asesores Dr. Bernardino Barrientos García y Dr. Moisés Garbarcewics por brindarme la oportunidad de trabajar con ellos y por su apoyo constante e incondicional durante la formación de mi doctorado.
Índice Capítulo 1 Introducción Capítulo 2 Haces gaussianos 2.1 Introducción 2.2 Perfil de un haz gaussiano 2.3 Radio del haz y divergencia del haz 2.4 Referencias Capítulo 3 Medición interferométrica de rugosidad y forma en planos ópticos con inspección de área variable 3.1 Introducción 3.2 Arreglo experimental 3.3 Descripción analítica 3.4 Interferometría con iluminación gaussiana 3.5 Experimento ilustrativo 3.6 Análisis de errores 3.7 Conclusiones 3.8 Referencias Capítulo 4 Medición de distancia con rango ajustable por interferometría con haces gaussianos
4.1 Introducción 4.2 Teoría
4.2.1 Análisis de propagación 4.2.2 Interferencia
4.3 Resultados experimentales 4.4 Análisis de errores 4.5 Conclusiones 4.6 Referencias Capítulo 5 5.1 Conclusiones generales 5.2 Trabajo futuro
Capítulo 1 Introducción
Introducción Existen diferentes aplicaciones interferométricas donde la fuente y tipo de iluminación
tienen un papel importante. En la mayoría de las aplicaciones ópticas industriales es
necesario enfocar, modificar o cambiar la forma del haz láser mediante el uso de lentes y
otros componentes ópticos. El haz de salida de varios láseres corresponden al modo
gaussiano TEM00.
Los principales parámetros de un haz gaussiano como el radio del haz y el radio de
curvatura del frente de onda, pueden ser fácilmente calculados mediante el uso de la
integral de difracción de Fresnel en cualquier punto de su propagación, incluso cuando
pasan a través de componentes ópticos tales como lentes ópticas.
Esta característica, es decir, la propiedad de calcular su propagación, es prometedora para
su aplicación en el diseño e implementación de sistemas ópticos.
El objetivo de este trabajo consiste en el uso de haces gaussiano para el desarrollo de
sistemas interferométricos.
Como se muestra en este trabajo esta característica nos permitió la implementación de dos
técnicas interferométricas:
a) Una técnica interferométrica para medir rugosidad y forma de una superficie con calidad
óptica. La región de interés bajo inspección puede ser variada sin recurrir a cambios en los
componentes del sistema.
b) Un método interferométrico para medir la distancia entre dos superficies colocadas en
un interferómetro Michelson en el rango de una fracción de mm hasta pocos cm con
moderada precisión.
El presente trabajo está distribuido de la siguiente manera: en el capítulo 2 se presentan de
manera general las propiedades y características de un haz gaussiano. En el capítulo 3 se
hace el análisis y aplicación de un sistema óptico para la inspección de superficies con
calidad óptica. Por otra parte, en el capítulo 4, se presenta el análisis y aplicación de un
sistema relacionado con la medición de desplazamientos entre dos superficies. Las
conclusiones generales del presente trabajo y las posibles investigaciones futuras con las
técnicas presentadas se presentan en el capítulo 5. Finalmente, se presenta un apéndice con
la lista de figuras y las publicaciones resultantes de este trabajo.
Capitulo II
Haces gaussianos
2.1 Introducción
En el presente capítulo describimos las características básicas de un haz gaussiano con el
fin de proporcionar los conceptos y definiciones que servirán como base para la teoría
descrita en el capítulo 1 y que será desarrollada con sus aplicaciones en los capítulos 3 y 4.
2.2 Perfil de un haz gaussiano
El haz gaussiano es una distribución simétrica radial en la cual la variación de su campo
eléctrico está dada por [1]
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= 2
0
22
20
exp2),(r
yxrPyxu
π 2.1
donde x y son las coordenadas espaciales transversales, es la potencia del láser, es
el radio de la cintura del haz y por definición se toma como la distancia donde el campo
toma el valor de . La irradiancia es simétrica en torno al eje del haz y varía de la
forma dada por la Ec. 2.2 y mostrada en la Fig. 2.1
y P 0r
),( yxu 1−e
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= 2
0
22
0)(2exp),(
ryxIyxI 2.2
donde 200 2 rPI π= es el valor máximo de la irradiancia.
0r
02)/1( Ie
02)/1( Ie
0I
I
ξη
Z
Fig. 2.1. Perfil del haz gaussiano. Gráfica de la irradiancia contra la distancia radial del eje del haz.
2.3 Radio del haz y divergencia del haz
Dado que la difracción afecta a las ondas de luz de tamaño finito transversal cuando se
propagan, un haz perfecto colimado no es fácilmente obtenible en la práctica. Sin embargo,
en la región donde un haz gaussiano es mas pequeño, también llamada la cintura del haz,
Fig. 2.2, éste presenta divergencia nula. La cantidad de convergencia o divergencia se mide
mediante el ángulo completo de divergencia del haz θ , el cual es el ángulo subtendido por
los puntos sobre el diámetro 21 e hasta la cintura del haz, como se muestra en la Figura 2.2.
Debido a la simetría del haz, el ángulo de divergencia es igual al ángulo de convergencia.
0rθ
Ιρραδιανχια 2/1 e
Figura 2.2 Variación del diámetro del haz gaussiano en la vecindad de la cintura. El tamaño del haz en su punto más pequeño es . El ángulo completo de divergencia 0r θ es definido por las asíntotas para los puntos
21 e 0I de mayor distancia hasta la cintura del haz.
De la óptica geométrica, un haz gaussiano convergiendo en un ángulo θ debe colapsar en
un punto. Debido a la difracción esto no sucede. Sin embargo en la intersección de las
asíntotas que definen θ , el haz alcanza un valor mínimo, llamado diámetro de la cintura del
haz. Se puede demostrar que para el modo TEM00 propagándose en un medio homogéneo,
depende del ángulo de divergencia del haz como [1] 0r
πθλ4
=or 2.3
donde λ es la longitud de onda de la radiación. Note que el producto de θ0r es una
constante . Esto significa que para una cintura pequeña de un haz la divergencia debe ser
grande; para un haz altamente colimado la cintura debe ser grande.
La variación del radio del haz en la vecindad de la cintura [1] se observa en la Fig. 2.2 y
está dada por
2220
2 zrr θ+= 2.4
donde r es el diámetro a una distancia z± de la cintura a lo largo del eje del haz.
Una manera de propagar un haz gaussiano es por medio de la integral de difracción de
Fresnel[2] la cual está definida por
( ) ( ) ( ) ( )[ dxdyyxz
iyxuzi
ziU ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= 22exp,
2exp, ηξ
λπ
λλπ
ηξ ] 2.6
en donde 1−=i , representa la distribución de amplitud del frente de onda en el
plano a partir del cual comienza la propagación y
),( yxu
),( yx ),( ηξU representa la distribución
de amplitud del frente de onda propagado en el plano ),,( ηξ hasta el cual se realiza la
propagación, representa la distancia de propagación y z λ la longitud de onda.
Cuando se propaga un haz gaussiano tomando como base la Ec. 2.1 en un medio
homogéneo, se vera rápidamente que el frente de onda del haz adquirirá un radio de
curvatura definido por
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2201)(z
rzzRλ
π 2.7
además el radio del haz cambia a
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
2
20
0 1)(rzrzr
πλ 2.8
es infinito en )(zR 0=z
2.4 Referencias
[1] Donald C. O’Shea, “Elements of optical Design”, John Wiley & Sons, 230-236 (195).
[2] W. J. Goodman, “Introduction to Fourier Optics”, McGraw-Hill, second edition, New
York, 66-67, 96-99, (1996).
Capítulo 3
Medición interferométrica de rugosidad en
planos ópticos con inspección de área variable
3.1 Introducción
Como se describió en el capítulo 1, la teoría de nuestro modelo está basada en la
propagación de haces gaussianos. En este capítulo se hace un análisis completo de dicha
teoría la cual será aplicada a la medición de rugosidad y forma de superficies con calidad
óptica.
Como es bien conocido en el desarrollo del campo de la electrónica, los requerimientos
para medir la planicidad de superficies de alta calidad óptica llegan a ser más demandantes.
No solamente es necesario medir la rugosidad o forma del plano separadamente ya que una
combinación de rugosidad y warping (deformación por calentamiento de la oblea de silicio)
entre otros factores pueden afectar severamente las características funcionales del producto
final. En la manufactura de circuitos integrados, el warping dificulta el proceso de
producción disminuyendo el rendimiento debido al incremento de roturas. Adicionalmente
la falta de planicidad resulta en defectos en las características de los circuitos impresos
durante los procesos de litografía. Además la valoración inapropiada de la planicidad
conlleva el incremento de costos para la industria.
Como la demanda de obleas de silicio de mayor tamaño se incrementa y la tolerancia de la
planicidad global sobre la oblea entera es muy alta, métodos de topografía de superficie se
han desarrollado. Para el caso de mayor tamaño de las obleas en el año 2002 fue de
aproximadamente de 300 mm y se espera que el tamaño a usarse en el 2014 sea tan grande
como 450 mm mientras que los requisitos de planicidad pico-valle alcancen el orden de
varios nanómetros.
Existen diferentes técnicas que se utilizan actualmente para la medición de planicidad y
warping. Algunas de ellas son técnicas interferométricas [1,2] y otras están basadas en la
combinación de efectos geométricos y difractivos como las técnicas de Moire [3,4].
Adicionalmente existen las técnicas de aguja en uso [5,6]. Si embargo, la inspección de
áreas variable sobre una muestra es deseable y difícil de lograr.
Para ayudar a aliviar este problema, presentamos un método basado en la propagación de
haces gaussianos, que es implementado como una técnica interferométrica y que permite la
variación del área bajo inspección por el simple cambio de la posición de una lente de
iluminación del arreglo. Esta característica proporciona la capacidad de medir diferentes
áreas del objeto bajo prueba en forma automática.
3.2 Arreglo experimental
En la Figura 3.1 se bosqueja el arreglo experimental que corresponde a un interferómetro
del tipo Michelson. Un láser de Helio-neón con un perfil de intensidad de gaussiano se usa
como fuente de iluminación coherente. Una lente positiva, L1, se coloca en el plano de la
cintura del haz láser entrante, el cual se localizó experimentalmente por medio de un
detector de borde de navaja. El propósito de lente L1 es expandir el haz de una manera
controlable con la ayuda de una lente positiva L2 que se coloca después de la lente L1. El
uso de dos lentes en lugar de una sola lente permite controlar el tamaño del haz con la
precisión como se describirá en la siguiente sección. Además, como aparece en la discusión
de análisis de errores, el uso de las dos lentes hace posible controlar la cantidad de error
aceptable en los resultados.
El haz gaussiano, después de ser expandido por la combinación de las dos lentes, es
dirigido a un divisor de haz para ser dividido en el haz objeto y en haz de referencia. El
haz objeto es dirigido a la superficie bajo prueba para ser modulado por reflexión mientras
el haz de referencia es reflejado por una superficie de alta calidad óptica que sirve como la
superficie de referencia. Finalmente, ambos haces son dirigidos hasta el plano de una
cámara del CCD dónde ellos son coherentemente sumados por el grabador.
He :Ne láser
Lente L1 Lente L2
Divisor de haz
CCD
Plano (x,y) Plano (x ,y )1 1
Plano ( )ξ,η
Espejo dereferencia
Objeto bajo prueba
z1
Fig. 3.1. Arreglo experimental
3.3 Descripción analítica
La descripción analítica será basada como se explicó en el capítulo 1 en el cálculo de
propagación del haz gaussianos por medio de integral de difracción de Fresnel, la cual y
para comodidad del elector se rescribe en la Ec. 3.1 [7] ,
( ) ( ) ( ) ( )[ dxdyyxz
iyxuzi
ziU ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= 22exp,
2exp, ηξ
λπ
λλπ
ηξ ] 3.1
Para aplicar la Ec. 3.1 nos referiremos al arreglo experimental de la Fig. 1. La primer
propagación comprende de las coordenadas ( )yx, que representan el plano donde la lente
L1 es colocada o el plano donde la cintura del haz es localizada, hasta el plano de
coordenadas . Así la amplitud compleja del haz y para comodidad del lector se
rescribe en la Ec. 3.2
),( 11 yx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= 2
0
22
20
exp2),(r
yxrPyxu
π 3.2
La lente L1 introduce una fase cuadrática en el frente de onda que entra. Esta lente es una
lente delgada y se omite su espesor. Precisamente después de ser transmitido por la lente
L1, la distribución de amplitud está dada por, [7]
( ) ( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+ 22
1
exp,),( yxf
iyxuyxuλπ )
)
)
3.3
donde es la distancia focal de la lente L1. 1f
Como se bosqueja en la Fig.1, la lente L2 está localizada en el plano a una
distancia del plano ( . La distribución de amplitud del haz en este plano,
precisamente antes de la lente L2 y después de ser propagado una distancia y de acuerdo
a la Ec. 3.1, está dada por
( 11, yx
1z yx,
1z
( ) ( ) ( ) ( )[ dxdyyyxxz
iyxuzi
ziyxU ∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= 21
21
11
1
11 exp,
2exp,
λπ
λλπ
] 3.4
Después de sustituir la Ec. 3.2 en la Ec. 3.3 y este resultado en la Ec. 3.4, obtenemos un haz
gaussiano propagado de la forma
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−=
12
1
21
2111
1exp,R
ir
yxAyxUλπ . 3.5
donde, está definida por A
( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= 2
11
11
2
20
11
112
0
1
1
1
12exp
fzfz
r
fzfzi
rzi
ziKA
λπ
λππ
λλπ
3.6
y el radio del haz y el radio de curvatura de la primer propagación están dados por
( ) ( ) ( )( )2
10
211
220
211
1 frfzrfzr
ππλ −+
= 3.7
( )( ) ( )( )[ ] 1
211
422111
111421 1
1
zfzrfzzffzr
R+
−+−
=
πλπ
3.8
Así la distribución de amplitud dada por la Ec. 3.5 representa un haz gaussiano con una fase
cuadrática debido a la propagación. Similarmente para el caso de la lente L1, la distribución
de amplitud precisamente después de L2 está dada por
( ) ( ) ( ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+ 2
121
21111 exp,, yx
fiyxUyxU
λπ ) 3.9
donde es la distancia focal de L2. 2f
Finalmente el haz transmitido por la lente L2 se propaga usando nuevamente la Ec. 3.1
hasta el divisor de haz donde es dividido en el haz objeto y en el haz de referencia. Ambos
haces son dirigidos hacia el detector CCD donde son coherentemente sumados. En este
momento denotaremos la distancia que viaja uno de los haces de L2 hasta el plano de la
CCD como . En los cálculos de este paso consideraremos la expresión debido solamente
a los efectos de propagación en los haces. Así en este paso omitimos la modulación de la
fase en el haz objeto por la propia reflexión sobre la superficie de prueba. Esta modulación
de la fase será apropiadamente considerada en la siguiente sección.
2z
El resultado de la distribución de amplitud después de propagase nuevamente y ahora una
distancia hasta el plano de coordenadas 2z ( )ηξ , , está dado por
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
OOOO R
ir
BUλπηξηξ 2
22 1exp, 3.10
donde es la amplitud, el radio del haz y el radio de curvatura del haz en el plano
de la CCD, para abreviar las definimos como
OB Or OR
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
= 222
22exp
O
OO ec
ieczi
ziAB π
λλπ
3.11
( ) ( )c
eczr OO 2
2222
πλ +
= 3.12
( )( ) OO
OO eecz
eczRπλ
λ−+
+= 22
2
2222 3.13
Donde está definido como, Oe
( )( ) ( )[ ]
( )22
22
12
11422
111
11142 1
fzfz
zfzrfzzffzreO
−−+
−+−
=λπ
πλπ
3.14
El radio del haz en el plano de la CCD, de acuerdo con la Ec. 3.12, es a su vez una función
del radio el haz en el plano de la lente L1. También es una función de las distancias focales
de las lentes L1 y L2, la distancia entre las lentes y la longitud del camino óptico entre la
lente L2 y la cámara del CCD. Así, el área de observación del objeto bajo prueba puede
variarse seleccionando la distancia focal de las dos lentes, L1 y L2 propiamente, como se
describirá posteriormente.
Ambas amplitudes del haz objeto y del haz de referencia en el plano del CCD se representa
en la forma de la Ec. 3.10. Sin embargo, la longitud del camino óptico viajada desde la
lente L2 hacia el detector del CCD son en general diferentes. Dado como la longitud del
camino óptico para el haz objeto y
2z
zz ∆+2 la longitud del camino óptico para el haz
referencia. Estos dos valores se sustituirán en la Ec. 3.10 respectivamente. Para esto, dada
la distribución de amplitud para el haz objeto y para el haz referencia se representen por
y respectivamente. Estas amplitudes son calculadas usando las Ecs. 3.10-3.14,
usando el hecho que la distancia de propagación para el haz de referencia es
OU RU
zz ∆+2 .
Cuando esta sustitución es considerada, sustituimos los sub-índices en las ecuaciones
mencionadas por el símbolo . Así, al referirse a los términos en las Ecs. 3.10-3.14
correspondiendo al haz de referencia, los términos serán sub-indexados como , ,
, y .
R
RU RB
Rr RR Re
Los resultados obtenidos se aplicarán al interferómetro propuesto en la próxima sección.
3.4 Interferometría con iluminación gaussiana
En esta sección introduciremos la modulación de la fase para el haz objeto debido a la
reflexión en la superficie bajo prueba. Precisamente después de ser reflejado del objeto bajo
prueba, el haz objeto es modulado por una fase de la forma ( )[ ]vui ,exp φ . Aquí suponemos
que la superficie del objeto bajo prueba está localizada en el plano ( )vu, . En el plano de la
CCD la amplitud compleja debido al haz objeto dada por una ecuación de la forma de Ec
3.11 multiplicada por la fase obtenida en reflexión.. Así en el plano del detector la
distribución de amplitud para el haz objeto está dada por
( ) ( ) ( )[ OOO
OO iciR
ir
BU +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−= ηξφ
λπηξηξ ,exp1exp, 2
22 ] 3.15
]
En la Ec. 3.15 hemos introducido la fase constante adicional que permite considerar la
compensación de la fase o considerar el cambio de fase debido a la reflexión en el divisor
de haz y hemos omitido la difracción debido al término de propagación
Oc
( )[ vui ,exp φ como
normalmente se hace.
Similarmente, la amplitud para el haz de referencia está dado por
( ) ( ) )exp(1, 222
RRR
RR icR
ir
BU ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−=
λπηξηξ 3.16
donde es una constante de fase. Rc
En el plano de la CCD, ambos haces son coherentemente sumados. De esta forma la
amplitud resultante en este plano está dada por
( ) ( ) ( )ηξηξηξ ,,, OR UU +=Ψ 3.17
La distribución de intensidad correspondiente en el plano de detección está dada por
( ) ( ) ( )ηξηξηξ ,,, ∗ΨΨ=I 3.18
El símbolo ∗ representa la operación del complejo conjugado.
La Ec. 3.18 representa analíticamente la distribución de amplitud de un interferograma
grabado por el detector CCD. Para calcular la distribución de amplitud dada en la Ec. 3.18
como una función del perfil del objeto bajo prueba denotaremos como ( )ηξ ,h la
distribución de altura del objeto bajo prueba. Además consideraremos que el objeto es una
superficie óptica de alta calidad en la cual se ha introducido deliberadamente una
inclinación. Entonces la superficie bajo prueba se puede expresar como ( ) αξηξ sinh +,
donde α representa un pequeño ángulo de inclinación en la dirección ξ .
Usando las expresiones dadas en las Ecs. 3.15 y 3.16 y la expresión de la inclinación para el
objeto bajo prueba, la Ec. 3.19 se puede rescribir como
( ) ( ) ( ) ( )[ ]ηξθηξηξηξ ,cos,,, baI += 3.19
En la Ec. 3.19 ( )µξ ,a representa un nivel de DC y está dado por
( ) ( ) ( )[ ηξηξηξηξ ,,2exp, 20
2220 OR aa
rBa +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= ]
)
3.20
( ηξ ,b es una amplitud modulada dada por
( ) ( ) ( )[ ηξηξηξηξ ,,2exp, 20
2220 OR aa
rBb ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−= ]
)
3.21
El término ( ηξθ , representa una fase que está relacionada con la superficie del objeto,
( ) ( )[ ] ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+++=
RO RRsinh 11,4, 22 ηξ
λπαξηξ
λπηξθ 3.22
Para obtener las Ecs. 3.19-22 hemos asumido que la distribución de reflectividad de las
superficies de referencia y objeto son ( )ηξ ,Ra y ( )ηξ ,Oa respectivamente y que el radio
del haz de ambos haces gaussianos en el plano de la CCD son aproximadamente del mismo
tamaño, . OR rr ≈
En la Ec. 3.23 el término cuadrático surge de la franjas de interferencia de los anillos de
Newton como resultado de la interferencia de dos frentes de onda con radio de curvatura,
y . Esta fase cuadrática representa una fuente de error en el método y para
minimizarlo la diferencia de camino óptico entre los haces deberá minimizarse. El método
para minimizar el error se discutirá en la sección 3.6.
OR RR
3.5 Experimento ilustrativo
Para mostrar la factibilidad del método se presentan dos experimentos simples que
consisten en la medición de la rugosidad de dos diferentes áreas de una superficie óptica en
la cual se ha introducido deliberadamente una pequeña inclinación. Primero mediremos un
área de aproximadamente 0.2 cm2 la cual fue arbitrariamente seleccionada. Para la segunda
medición un área de 2.0 cm2 fue seleccionada.
Para obtener la rugosidad se usa una técnica simple de desplazamiento de fase de tres pasos
en conjunto con un método de desenvolvimiento de fase [8]. La fuente de iluminación fue
un láser de He:Ne con un perfil de intensidad gaussiano en 632.8 nm. La cintura del haz fue
localizada a 17.5 cm. de la salida del láser. El radio del haz medido en la cintura fue de 0.35
mm. (en 1/e2 nivel de intensidad). Como se describió anteriormente, esta es la posición
donde L1 es colocada.
Para el cálculo del radio del haz como una función de las lentes L1 y L2, Ec. 3.12, ambas
lentes pueden ser seleccionadas apropiadamente. Encontramos que para mantener una
longitud corta de nuestro arreglo es conveniente seleccionar 21 ff < . En nuestro caso
y . Adicionalmente los errores en los cálculos dependen de la razón
que será discutida en la sección 6. Considerando que la posición de L1 es fija, la
distancia medida de L1 al CCD puede ser arbitrariamente seleccionada; esta fue ajustada a
50 cm.
.11 cmf = . 5.72 cmf =
12 / ff
Una vez que L1 es colocada en la cintura del haz, L2 debe ser colocada aproximadamente
a una distancia cm. a la derecha de L1 (Fig.1). Para desplazar L2 a la
derecha de esta posición y hasta
5.121 ++ ff
0.421 −+ ff cm., el rango de observación del área es
aproximadamente de 0.004 cm2 hasta 3.0 cm2. Las Figs. 3.2-a y 3.3-a muestran los
interferogramas grabados en el CCD para dos áreas de observación arbitrariamente
escogidas de 0.2 cm2 y 2.0 cm2 respectivamente. Las figuras 3.2-b y 3.3-b muestran
respectivamente líneas paralelas de las fases desenvueltas en un lado del objeto. Las líneas
punteadas fueron obtenidas por un ajuste lineal numérico de los datos experimentales.
Como se puede ver en las figuras, las pendientes experimentales obtenidas son las mismas
para las áreas grande y pequeña como se esperaba para mostrar que se trata del mismo
objeto bajo prueba.
Fig. 3.2-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de inspección de 0.2 cm2
0 0.001 0.002 0.004 0.0047 0.0058 0.0070
2 10 7
4 10 7
6 10 7
8 10 7
1 10 6
1.2 10 6
0
710*2 −
710*4 −
710*6 −
710*8 −
610*1 −
610*2.1 −
0310*46.4 −310*34.3 −310*23.2 −310*11.1 −
Fig. 3.2-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del interferograma de la Fig. 2a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado experimental. Este fue desplazado para propósitos ilustrativos. Las unidades son en m.
Fig. 3.3-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de inspección de 2.0 cm2
0 0.004 0.007 0.01 0.015 0.018 0.0220
6.87 10 7
1.37 10 6
2.06 10 6
2.75 10 6
3.44 10 6
4.12 10 6
0 210*5.1 −310*5.7 −310*75.3 − 210*125.1 −
710*87.6 −
610*37.1 −
610*06.2 −
610*75.2 −
610*44.3 −
610*12.4 −
0
Fig. 3.3-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del interferograma de la Fig.3a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado experimental. Esta fue desplazada para propósitos ilustrativos. Las unidades son en m.
Debe mencionarse, que como es común agregar una lente auxiliar, esta debe colocarse
frente al detector CCD para ajustar el interferograma al área sensible del CCD. De esta
forma cuando se ajusta la posición de la lente L2 se varía el área bajo prueba y la lente
auxiliar se debe ajustar. Por simplicidad esta lente no se incluyó en la Fig.1.
3.6 Análisis de errores
Como se describió anteriormente, la fase cuadrática en la Ec. 3.22 causa un error en la
medición. Este error puede ser visualizado por medio del siguiente ejemplo. Supongamos
que el objeto bajo prueba consiste de una superficie óptica sin ninguna inclinación en la
cual un área de 1 cm. por 1 cm. va a ser probada. Si después de procesar el interferograma,
analizamos un corte lineal paralelo a un lado del objeto, debido a la fase cuadrática una
curva de forma parabólica en lugar de una línea recta será obtenida. Centrando la parábola,
la altura de los extremo de la curva representan el máximo error introducido en la medición
debido al término cuadrático.
El valor del máximo error introducido anteriormente se puede fijar como sigue:
Supongamos que aceptamos un máximo error de 20/λ (un décimo de franja) para este
ejemplo. Considerando el valor de la distancia focal de las lentes en nuestro arreglo
experimental, una diferencia de camino óptico máxima de aproximadamente 3mm entre el
haz de referencia y el haz objeto es requerido. El máximo valor para la diferencia de
camino óptico puede ser tomado por la selección de la razón de la distancias focales de las
lentes L1 y L2. En la Fig. 3.4 mostramos la relación entre la diferencia de camino óptico
( ) como una función de la razón para el máximo error permitido de un décimo
de franja de una línea examinada de 1 cm. La Fig.4 fue obtenida por medio de la Ec. 3.19.
Para esto pusimos en la Ec. 3.23
z∆ 12 / ff
( ) αξηξ sin, +h =0 para considerar solamente el efecto
del factor cuadrático. Se simuló en la computadora para una línea examinada entre -0.5 y
0.5 cm manteniendo constante y variando el valor de hasta un error igual a 1f 2f 20/λ .
En este proceso el valor de se varía de forma que se mantenga la misma área de
iluminación. El proceso fue repetido tres veces para diferentes valores de .
1z
1f
Como aparece en la Fig. 3.4 debido al error introducido la divergencia de los haces se
puede reducir hasta permitir tomar mediciones interferométricas con alta precisión
permitiendo al mismo tiempo variar el área de iluminación.
0 2 4 6 8 100
5
10
15
20
25
30
f1=2.4 cm
f1=1 cm
f1=0.5 cm
∆z (m
m)
f2/f1
Fig. 3.4. Diferencia de camino óptico máximo permitido entre el haz objeto y el haz de referencia como una función de la razón bajo las condiciones discutidas en el texto. 12 / ff
3.7 Conclusiones
Se presentó un método que utiliza iluminación gaussiana coherente para medición
interferométrica de superficies ópticas de alta calidad. Se mostró que el método propuesto
permite el análisis de áreas de observación variable sin la necesidad de cambiar algún
componente del arreglo. Para variar el área de observación solamente es necesario
desplazar la posición de la segunda lente del arreglo. Esto abre la posibilidad de desarrollar
sistemas automáticos.
Se describió el sistema analíticamente por el cálculo de la difracción debido a la
propagación de los haces. Este análisis mostró que la fuente principal de error se debe a la
diferencia de curvatura de los frentes de onda que interfieren, lo que implica que la
diferencia de los caminos óptico que viaja cada uno de los haces debe ser reducida a un
mínimo posible.
Mostramos que es posible reducir el error a un valor razonablemente bajo por la selección
apropiada de las componentes ópticas, así, incrementamos la precisión de la medición. La
factibilidad del método fue mostrado experimentalmente por la medición de dos diferentes
áreas de un plano óptico inclinado del mismo objeto bajo prueba.
En el siguiente capítulo se muestra el mismo tipo de análisis considerando ahora la
diferencia de camino óptico como un resultado que permite aplicarlo a la medición de
distancias.
3.8 Referencias
[1] M. Davison, K. Kaufman, I. Mazor and F. Cohen, “An application of interference
microscopy to Integrated circuit inspection and metrology,” SPIE vol. 775, 233-247,
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[5] S. R. Clark and J. E. Greivenkap, “Optical reference profilometry,” Opt, Eng. 40 (12),
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[6] J. M. Bennett and J. H. Dancy, “Stylus profiling instrument for measuring statistical
properties of smooth optical surfaces,” Appl. Opt. 20 (10), 1785-802, (1981).
[7] W. J. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, second edition, New
York, 66-67, 96-99, (1996).
[8] D. W. Robinson and G. T. Reid, Interferogram analysis, Institute of physics
publishing, Bristol and Philadelphia, 104-107, 113-115, (1993).
Capítulo 4
Medición de distancia con rango ajustable
4.1 Introducción Tomando como base el análisis de propagación desarrollado en el capítulo anterior y
tomando en cuenta que la diferencia de caminos ópticos era un factor crítico en la
aplicación del método, ahora consideramos como un parámetro muy importante esa
diferencia de camino óptico. En el presente capítulo se describe un método
interferométrico para medir la distancia entre dos superficies colocadas en un
interferómetro Michelson, el cual está basado principalmente en la diferencia de radios de
curvatura de los frentes de onda que interfieren y que mide en el rango de una fracción de
mm. hasta pocos centímetros con moderada precisión.
La medición de distancia es necesaria en diferentes aplicaciones, tales como el control
dimensional y calibración de máquinas herramientas [1], calibración de PZT, fotolitográfia,
calibración de movimientos lineales y angulares, por mencionar algunos. Para esto
diferentes métodos interferométricos se han propuesto. Entre los cuales se puede mencionar
aquellos en los cuales se cuenta constantemente el orden de interferencia [2], pero la
velocidad a la cual se hace se ve limitada por la electrónica. Para resolver el conteo de las
franjas de interferencia algunos acercamientos se han hecho con mayor longitud de onda lo
cual reduce la sensitividad de la distancia del método. Esos métodos trabajan dentro del
primer orden de interferencia. Técnicas de múltiples longitudes de onda han sido usadas
para este propósito pero los arreglos llegan a ser complicados [3,4]. En acercamientos
similares [5,6], el cambio de la longitud de onda en un diodo láser permite variar la
distancia hasta centímetros por métodos de detección heterodino, pero el proceso de la
señal es complejo.
Existen otros métodos que están basados en el efecto de la fuerza electromotriz. En este
caso el uso de un detector photo-emf y un diodo láser modulado en frecuencia permite
ajustar el rango de la distancia [7]. En estos sistemas la foto corriente generada (llamada
efecto fotón-fuerza electromotriz) es proporcional a la distancia. Sin embargo el rango de
medición está limitado a la parte lineal de la señal de salida la cual varía como una función
Bessel.
A diferencia de los métodos anteriores para la medición de distancia, un método que no
requiere el continuo conteo del orden de interferencia se ha propuesto. Este método utiliza
un mapa de fase en su cálculo [8]. En este caso se usan dos fuentes de luz esféricas que
producen interferencia en un detector CCD, del cual la distancia es calculada por un
problema inverso de cinemática.
Para mostrar la factibilidad de nuestro método, seleccionamos un técnica simple de tres
pasos para recuperar el mapa de fase óptico. Finalmente este mapa es ajustado a un
paraboloide para el cálculo de la distancia por medio de una técnica numérica. La
sensitividad del método se puede ajustar por la propia selección de la longitud focal de la
lente localizada en la entrada del interferómetro. Así la distancia medida puede ser ajustada
dentro de un amplio rango de valores.
4.2 Teoría
De la misma manera como en el capítulo anterior esta aplicación está basada en la
propagación de haces Gaussianos usando la integral de difracción de Fresnel. En este
capítulo la técnica propuesta para medir la distancia se basa en la diferencia de los radios
de curvatura de los haces gaussianos que viajan diferentes distancias ópticas a través de los
brazos de un interferómetro Michelson. La Fig. 4.1 muestra el arreglo experimental. La
lente L sirve para ajustar el tamaño del haz en el espejo M y M . Como se describió T R
anteriormente, esto permite ajustar el tamaño del radio de curvatura del haz gaussiano el
cual se relaciona indirectamente con la sensitividad de la medición. Como es normal, los
espejos M y M se consideran superficies planas. Después de pasar a través de la lente L
el haz viaja hasta un divisor de haz en donde es dividido, entonces un haz viaja hasta el
espejo M y el otro hasta el espejo M .
T R
T R Finalmente, ambos haces son dirigidos hasta el
plano de una cámara del CCD dónde ellos son coherentemente sumados por el grabador.
He:Ne láser
Lente L1
Divisor de haz
CCD
Plano (x,y)
Plano ( )ξ,η
Objeto bajo desplazamiento
TM
RM
Fig. 4.1 Arreglo experimental de la técnica propuesta. L representa una lente expansora, MR y MT son los espejos de referencia y el de bajo desplazamiento respectivamente y BS es el divisor de haz.
4.2.1 Análisis de propagación
El radio del haz y el radio de curvatura del frente de onda de un haz gaussiano son
calculados del sistema. Para este análisis una expresión que involucra los radios de
curvatura de los haces en el plano de detección y la distancia entre los dos espejos es
encontrada.
Comenzamos el análisis de difracción en la cintura del haz gaussiano en el plano .
Este plano es seleccionado como punto de inicio debido a que en este plano los parámetros
del haz pueden ser medidos con mas facilidad. De esta forma la lente L es colocada
precisamente en este plano para obtener expresiones matemáticas mas cortas en el análisis.
Debe recalcarse que la posición de la lente en otro plano no afecta el principio de la técnica
que está basado en la medición de la diferencia entre los radios de curvatura de los haces
bajo detección.
),( yx
Comenzaremos nuestro análisis considerando la ecuación de un haz gaussiano en su
cintura, la cual es expresada por la Ec. 2.5
En el plano precisamente después de la lente L, la distribución de amplitud es dada por
[10],
( ) ( ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=+ 22exp,),( yx
fiyxuyxu
λπ ) 4.1
donde es la distancia focal de la lente expansora L y donde f ),( yxψ está representada por
la Ec. 2.1.
Como se muestra en la Fig. 1, la distribución de amplitud dada por la Ec. 4.1 se propaga
una distancia hasta el plano de detección z ),( ηξ , donde es colocado el sensor CCD. La
distribución de amplitud en este plano es calculada por medio de la integral de difracción
de Fresnel, la cual está representada en la Ec. 2.5.
En la Ec. 2.5, es la distancia entre los planos z ( )ηξ , y ( )yx, .
Sustituyendo la Ec. 4.1 en la Ec. 2.5 y realizando todos los cálculos, obtenemos la
distribución de amplitud en el plano de detección como
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=
RrCU
λπηξηξ 2
22 1exp, 4.2
donde definimos el nuevo radio del haz y el nuevo radio de curvatura como
abazr
πλ
22 += 4.3
( )( ) bbaz
bazR++
+= 22
222
λλ 4.4
respectivamente , y donde
20
1r
aπ
= 4.5
zffzb
λ−
= 4.6
en la Ec. 4.2, es un término de amplitud que no depende de las coordenadas
transversales. De acuerdo con las Ecs. 4.3-4.6, los parámetros del haz gaussiano en el plano
de detección dependen de la distancia de propagación y de la distancia focal de la
lente L. Esos parámetros pueden ser seleccionados apropiadamente de acuerdo al rango de
medición deseado, como se describirá en la sección 4.4.
C
z f
4.2.2 Interferencia
En esta sección se describe el modelo de interferencia propuesto para la medición de
distancia.
En el plano del detector CCD la amplitud de los haces de MT y MR son ambos
representados por la Ec. 4.2. Sin embargo la longitud de camino óptico viajado por ellos
desde L al detector CCD son en general diferentes i.e. y respectivamente. De Tz ,Rz
acuerdo con eso presentamos la distribución de amplitud de esos haces como ),( ηξTU y
),( ηξRU , respectivamente. Además , C , , b r y R son de la misma forma identificados
con el subíndice T ó R, respectivamente.
En el plano del detector CCD ambos haces son coherentemente sumados. Esto se representa
por
),(),(),( ηξηξηξ RT UU +=Ψ 4.7
La intensidad correspondiente en el plano de detección se puede obtener como
),(),(),( * ηξηξηξ ΨΨ=I 4.8
por lo tanto, substituyendo la Ec. 4.7. en la Ec. 4.8 la intensidad detectada puede ser
expresada como
( ),),(cos),(),(),( ηξθηξηξηξ baI += 4.9
donde ),( ηξa es un nivel de DC dado por
( ) ( ) 2222
2222
2exp2exp),( RR
TT
Cr
Cr
a ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−= ηξηξηξ 4.10
),( ηξb es un término de modulación expresado por
( ) TRTR
CCrr
b ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= 2211exp),( ηξηξ 4.11
y el término de fase óptica ),( ηξθ está dado por
( ) ( ) ( ) φηξλπβα
λπηξθ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+++=
RT RRyx 11sinsin4, 22
11 4.12
Como se puede observar en la Ec. 4.12 se ha introducido α y β los cuales representan
pequeños ángulos de inclinación debido a la posición experimental de las direcciones ξ - y
η -, respectivamente El segundo término en la Ec. 4.12 genera franjas circulares como
resultado de la interferencia de los dos frentes de onda con diferentes radio de curvatura,
y . El término TR RR φ es una fase fija desplazada por la diferencia de camino óptico entre
los haces.
Ya que el radio de curvatura depende de la distancia de propagación de acuerdo a las Ecs.
4.4-4.6, el segundo término de la Ec. 4.12 es función de la diferencia de distancia en la
trayectoria óptica viajada por los haces, denotado por RT zzz −=∆ . El valor es dos veces
la distancia entre MR y MT debido al doble paso natural del haz. Similarmente
considerando la Ec. 4.6 el radio de curvatura es una función de la distancia focal de la lente
L también. Por lo tanto la sensitividad del método se puede ajustar por el simple reemplazo
de la lente L como se mostrará posteriormente. Aquí el término de sensitividad es usado en
el sentido de la Ref.[11], refiriéndose a la distancia requerida para introducir un cambio de
una franja en la imagen de intensidad correspondiente. Como se mostrará, distancias
relativamente mayores requieren distancias focales mayores.
El término de fase ),( ηξθ en la Ec. 4.12 puede ser calculado por cualquier técnica de tres
pasos disponible seguida por un algoritmo de desenvolvimiento [11]. De esta forma se
comparan dos imágenes de la fase desenvueltas para dos distancias medidas, mientras se
mantiene una superficie fija el desplazamiento de la segunda superficie puede ser
calculado.
Una vez obtenida la fase desenvuelta, aplicamos un ajuste de mínimos cuadrados al mapa.
El resultado de este cálculo son los coeficientes de la ecuación para la mejor superficie
paraboloide ajustada. La ecuación de esta superficie es usada para estimar la distancia
entre los dos espejos por la Ec. 4.12 como se describe a continuación.
La ecuación que representa la superficie parabólica ajustada está dada por
)(),(ˆ 22 ηξηξηξθ ++++= EDBA 4.13
donde A , B , D y E son los coeficientes calculados con el correspondiente ajuste de los
datos obtenidos.
Después de obtener los coeficientes del ajuste, se comparan directamente los coeficientes
cuadráticos de la Ec. 4.12 con los de la Ec. 4.13 y obtenemos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
RT RRE 11
λπ
4.14
Sustituyendo las Ecs. 4.4-4-6 en la Ec. 4.14 se obtiene una ecuación que queda en función
de la diferencia de camino óptico de los dos frentes de onda que interfieren. Sin embargo
z∆ no puede ser fácilmente despejada, por lo que se usa una técnica numérica iterativa
construida de un paquete comercial matemático disponible. El valor calculado de z∆
representa un valor promedio del número total de píxeles para el número total de píxeles de
la imagen. Además como z∆ en la Ec. 4.14 no depende de las coordenadas transversales
),( ηξ , lo que representa que no se requiere un riguroso alineamiento.
Ambos términos, de la inclinación y de la fase fija dados en la Ec. 4.1 no son tomados en
cuenta para realizar estos cálculos.
4.3 Resultados experimentales
Para ilustrar el principio del método presentamos mediciones de distancia entre dos
superficies. Refiriéndonos a la Fig. 4.1., un haz láser gaussiano de 5-mW He:Ne (632.8 nm)
fue expandido por una lente L con una distancia focal de 7 mm.. El radio de la cintura del
haz medido fue 0.35 mm..
Para estas mediciones se consideró que el espejo MR estaba fijo y MT estaba bajo
desplazamiento. La distancia total viajada por los haces desde la lente L hasta el sensor
CCD fue 25.8 cm. Esta distancia se seleccionó de manera que el láser cubriera el área
del sensor CCD. Estas dimensiones fueron 6.4 mm. x 4.8 mm.. M
=Rz
T fue montado en una
base que podía ser desplazada por un tornillo micrométrico con precisión de 1 µm. La
dirección de traslación es a lo largo del eje óptico. La distancia viajada por el haz desde la
lente L a MT y finalmente al CCD, , es en general diferente de . Tz Rz
Las siguientes mediciones corresponden al cálculo de la diferencia entre y (i.e. Rz Tz z∆ ).
Como se mencionó anteriormente para mostrar la factibilidad del método se utilizó una
técnica simple de tres pasos en el cálculo de la fase óptica. Para estimar el valor de la
distancia, se prosiguió como se describió en la sección 4.2.2. Para cada una de las
mediciones un conjunto de tres imágenes de intensidad fueron tomadas. La Fig. 4.2 muestra
una de las imágenes de fase desplazada para una de las mediciones. Su mapa de fase
desenvuelto resultante se muestra en la Fig. 4.3. La fase óptica expresada en la Ec. 4.13 es
obtenida del mapa de fase desenvuelto. A continuación calculamos la distancia entre los
dos espejos aplicando un ajuste paraboloidal a los últimos datos. Para el caso de la Fig. 4.2
obtuvimos mm.. Para el último dato, consideramos el doble paso del haz en el
interferómetro. La Fig. 4.4 muestra una línea experimental del mapa de fase con su
respectivo valor ajustado. La tabla 1 incluye el conjunto de mediciones completas. Los
valores de distancia obtenidos por medio de la técnica numérica fueron verificados con el
valor correcto por sustitución en la Ec. 4.14.
94.15' =∆z
Fig. 4.2. Distribución de intensidad correspondiente a 94.15'=∆z mm.
Fig. 4.3. Mapa de fase envuelto (en rad) resultante para la distribución de intensidad de la Fig. 2. Las dimensiones están en mm.
En la tabla 1 el primer renglón corresponde a los valores de la distancia leídos en la escala
del micrómetro, los cuales son considerados como verdaderos debido a la pequeña
incertidumbre de µ5.0± m, comparada con la de nuestro método, como se mostrará
posteriormente. Los valores del segundo renglón se refiere a los valores calculados usando
la técnica propuesta.
Fig. 4.4. Línea de la fase óptica experimental con sus valores correspondientes ajustados. La línea tomada del mapa de fase corresponde a la línea central.
Se puede estimar la discrepancia entre los valores calculados y los valores leídos en el
micrómetro por [ ] ,)(2
1Nzzze
N
nrrm∑
=
∆∆−∆= , donde mz∆ es el valor medido, es el
valor leído del micrómetro y es el número de mediciones. Por el uso de esta expresión
obtenemos un error relativo de 1.3% para las mediciones de la tabla 1.
rz∆
N
Para mostrar el efecto del des-alineamiento en la técnica se introdujo un pequeño ángulo de
inclinación al espejo bajo desplazamiento en la medición correspondiente a mm.
La Fig. 4.5 muestra el mapa de fase correspondiente a este caso. Como puede observarse,
00.3'=∆z
debido a la pequeña inclinación el centro del patrón de franjas queda fuera del área de
observación. Como se indicó, la técnica está basada en la diferencia de radios de curvatura,
la distancia calculada de las mediciones coincide con las obtenidas cuando no se introduce
un pequeño ángulo, dentro de los límites de la precisión de nuestra técnica.
Valor leído 3.00 5.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00
Valor medido 3.09 4.98 6.05 8.10 10.12 12.09 13.95 15.84
Tabla 4.1. Comparación entre los valores de distancia de la escala del micrómetro y sus valores medidos correspondientes. Las unidades son mm.
Fig. 4.5. Mapa de fase envuelto (en rad) correspondiente a 09.3'=∆z mm.
4.4 Análisis de errores
Comenzamos esta sección calculando una estimación de la precisión del método. Debido a
la complejidad de las expresiones analíticas usamos cálculos numéricos como se explica a
continuación. Primero, notamos que de las Ecs. 4.4-4.6 y 4.15, ),,( zzfEE R ∆= . Entonces
calculamos numéricamente la mayor variación de E manteniendo z∆ fijo a 2 mm.. Para
esto asumimos que un valor razonable de incertidumbre para el valor de la distancia focal y
la distancia de propagación es mm.. Considerando que 1± 246=Rz mm., 8.632=λ nm,
cm, y mm. y sustituyendo este valor en la Ec. 4.14 la mayor variación de 2.1=f 35.00 =r
E es 1/m3103xE =δ 2. Ahora con el máximo valor encontrado de Eδ , mantuvimos fijo
y , así , de acuerdo a esto
f
Rz )( zEE ∆= zzd
dEE ∆∆
= δδ . Después de evaluar la derivada del
término en esta expresión con la Ec. 4.15, la variación correspondiente en z∆ se encontró
que es 034.0=∆zδ mm.. Esto representa un error relativo de 1.7%. Vale la pena señalar
que este valor es para condiciones extremas de acuerdo a la incertidumbre considerada. El
cálculo experimental del error del método se encontró que fue . %3.1
El colocar la lente L en otro lugar que no sea la cintura del haz representa una fuente de
error adicional cuando la Ec. 4.14 es aplicada, ya que esta ecuación supone que la lente es
colocada precisamente en la cintura del haz. Exageraremos un error en el mal
posicionamiento de la lente de 5 cm., entonces, se requiere de una propagación adicional
desde la cintura del haz hasta la lente L, se tiene un error de 0.017%. Este error puede ser
omitido si es comparado con el expresado anteriormente y es relativamente menor debido a
que la lente L tiene poca divergencia.
Errores debido a las aberraciones de la lente L puede ser omitidos debido al hecho de que el
diámetro de la lente es un orden de magnitud mayor al diámetro del haz, lo cual implica que
solo la región paraxial de la lente es usada.
Ahora procedemos a estimar la sensitividad del método, la cual como se declaró en la
sección 4.2.2 se puede estimar por la distancia requerida z∆ para inducir un cambio de 2π
en la fase en el mapa de fase correspondiente. Esta condición ocurre cuando el termino
cuadrático del argumento de la expresión de fase de la Ec. 4.13, cambia 2π . La sensitividad
puede ser estimada por el cálculo de la distancia z∆ para lo cual el primer orden de
interferencia ocurre en su mapa de interferencia correspondiente. Esta condición ocurre
cuando el término cuadrático del argumento de la expresión de la fase, Ec. 4.13 es π2 .
Entonces por un método numérico mencionado calculamos la distancia correspondiente a la
diferencia de camino óptico para diferentes distancias focales de la lente expansora L. Entre
los espejos para diferentes longitudes focales de la lente expansora L. Para el caso actual
cm., el primer cambio de 2π ocurre cuando 2.1=f 37.4=∆z mm.. Cuando la distancia es
aumentada cuatro veces, i.e. 8.4=f cm., el cambio correspondiente de 2π ocurre para
mm.. Para obtener esos valores, mantenemos constante el radio del haz en el
área del sensor CCD. Para cumplir esta suposición, la distancia de la lente L al plano del
detector CCD, , debe ser incrementada en la misma proporción que la distancia focal.
Este comportamiento puede ser visualizado si consideramos en el caso más frecuente
también puede ser sustituida en la Ec. 4.4- 4.6. Adicionalmente
por las Ecs. 4.4- 4.6 se tiene la siguiente proporcionalidad, . De esta
proporcionalidad podemos notar que la sensitividad sigue una relación cuadrada inversa
00.75=∆z
z
fz >> 2222 /1 fba λ≈+
2/ zz∆∝φ
con la distancia de propagación , la cual a su vez es proporcional al número de veces que
la distancia focal es variada cuando el tamaño del haz es mantenido constante en el área del
detector CCD, como se mencionó anteriormente. De esta manera, si incrementamos
veces la distancia focal de la lente, la sensitividad es reducida veces, i.e. la diferencia
de camino óptico veces mayor es requerida para cambiar una franja en las imágenes de
intensidad.
z
N
2N
2N
Los resultados discutidos anteriormente sugieren que la sensitividad del sistema puede ser
controlada de forma automática. Para lograr esta condición se pueden usar dos lentes
expansoras las cuales permiten variar la divergencia del haz por pequeños cambios de la
distancia entre las lentes, como se muestra en la Ref. [12].
4.5 Conclusiones
A partir de la teoría desarrollada se ha descrito un método interferométrico para medir
distancia en aplicaciones con moderada incertidumbre. Mostramos que de las franjas
resultantes debido a la diferencia de camino óptico de los dos haces gaussianos en un
interferómetro Michelson se puede calcular la distancia entre dos espejos con superficie
planas de calida óptica.
Dado que en cualquier distancia entre las superficies se puede calcular de un mapa de fase,
ya no es necesario el conteo de órdenes de interferencia. Así este método se adapta para
medir desplazamientos donde las condiciones cambian rápidamente con el tiempo.
El rango de medición del método puede ser ajustado con la selección de la distancia focal
de la lente expansora y va de una fracción de milímetros a algunos centímetros.
Demostramos como calcular la distancia por medio de un ajuste relativamente pequeño a
partir de un mapa de fase desenvuelto. Nuestro método es insensible a des-alineamientos
relativamente pequeños.
4.6 Referencias
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Capítulo 5
Conclusiones generales
5.1 Conclusiones generales
El este trabajo se presentó el desarrollo e implementación de sistemas interferométricos con
iluminación coherente gaussiana, los cuales permiten vislumbrar una gama de aplicaciones
alternas a las ya existentes con ventajas únicas.
Estos sistemas están basados en el análisis de propagación de un haz gaussiano haciendo
uso de la integral de difracción de Fresnel en un interferómetro tipo Michelson. Este tipo
de análisis y sistemas desarrollados nos brindan la capacidad de variar el área de
iluminación dentro de cierto rango sin la necesidad de hacer algún cambio de componente
al arreglo experimental. Esto se logra con el simple desplazamiento de una lente, lo cual
abre la posibilidad al desarrollo de sistemas automatizados. El área de iluminación del
objeto bajo inspección puede ser variada desde unos cuantos milímetros cuadrados hasta
varios centímetros cuadrados de área
El desarrollo de esta teoría se ha sustentado en la característica única de un haz gaussiano,
es decir que sus parámetros, el radio transversal y el radio de curvatura del frente de onda,
pueden ser conocidos a cualquier distancia de propagación.
5.2 Trabajo futuro * Una de las posibles aplicaciones involucra la medición de esfuerzos y deformaciones en
áreas variables de inspección del objeto bajo prueba.
* Otra posible aplicación es la medición de desplazamientos tridimensionales. Para este tipo de aplicación se puede tomar como base la teoría desarrollada en el capítulo 4.
Apéndices
Apéndice I
Lista de Figuras
Capitulo 2
Fig. 1. Perfil del has Gaussiano. Grafica de la irradiancía contra la distancia radial del eje
del has
Figura 2.2 Variación del diámetro del has Gaussiano en la vecindad de la cintura. El
tamaño del has en su punto mas pequeño es . El ángulo completo de divergencia es
definido por las asintotas para los puntos
0r
21 e de mayor distancia hasta la cintura del has es
θ .
Capitulo 3
Fig. 1. Arreglo experimental
Fig. 2-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de
inspección de 0.2 cm2
Fig. 2-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del
interferograma de la Fig. 2a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado
experimental. Este fue desplazado para propósitos ilustrativos.
Fig. 3-a. Interferograma grabado de un plano óptico bajo prueba para una área de
inspección de 2.0 cm2
Fig. 3-b. Línea examinada después del proceso de desplazamiento de fase del
interferograma de la Fig.3a. La línea punteada fue ajustada a partir del resultado
experimental. Esta fue desplazada para propósitos ilustrativos.
Fig. 4-b. Diferencia de camino óptico máximo permitido entre el haz objeto y el haz de
referencia como una función de la razón bajo las condiciones discutidas en el texto 12 / ff
Capitulo 4
Fig. 1Arreglo experimental de la técnica propuesta. L representa una lente expansora, MR y
MT son los espejos de referencia y el de bajo desplazamiento respectivamente y BS es el
divisor de has.
Fig. 2. Distribución de intensidad correspondiente a 94.15'=∆z mm
Fig. 2. Distribución de intensidad correspondiente a 94.15'=∆z mm
Fig. 4. Línea de la Fase óptica experimental con sus valores correspondientes ajustados. La
línea tomada del mapa de fase corresponde a la línea central.
Fig. 5. Mapa de fase envuelto (en rad) correspondiente a 09.3'=∆z mm
Tablas
Tabla 1. Comparación entre los valores de distancia de la escala del micrómetro y sus
valores medidos correspondientes. Las unidades son mm.
Apéndice II
Lista de Publicaciones
- G. Santos, M. Cywiak and B. Barrientos, “Interferometry with coherent Gaussian
illumination for roughness and shape measurement,” Opt. Comm. 239 (2004) 265-
273.
- G. Santos, Bernardino Barrientos and Moisés Cywiak, “Distance measurement with
adjustable range by interferometry with Gaussian beams”, Optical engineering,
acepted.
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