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INTEGRALES INDEFINIDAS

Fecha: 01-06-2015

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

Obje

tivo

genera

l:

El estudiante podrá avanzar en el concepto

de integral definitiva y

conocerá sus propiedades, asimismo

podrá profundizar en el

teorema fundamental

del cálculo.

Obje

tivo

esp

ecí

fico

:

Al finalizar la unidad el alumno,

podrá calcular áreas bajo una

curva mediante el acotamiento

de sumas infinitas y superiores.

Conocerá y podrá aplicar las

propiedades de la integral

definida. El estudiante podrá avanzar en

el concepto de integral definitiva

y conocerá sus propiedades,

asimismo, podrá profundizar en

el teorema fundamental del

cálculo.

Teorí

a:

si F(x) es una función,

denotamos F′(x) a su

derivada, y se calcula

según las reglas ya vistas

con anterioridad. El problema que abordamos

ahora es el problema

inverso, es decir, a partir

de una derivada, llamémosla f(x), encontrar

qué función F(x) tiene

como derivada a f(x). O

sea, F′(x)=f(x).

De otra forma, escribiremos ∫f(x) dx=F(x), que

significa que f(x) es la derivada

de F(x) respecto a la variable x.

Entonces, F(x) es la integral

indefinida, función primitiva, o

anti derivada de f(x).Observemos que escribimos el

símbolo ∫ para decir que estamos

integrando, y dx para hacer notar

sobre qué variable estamos anti

derivando. En algunos casos

podría omitirse este dx, pero

para no causar confusiones hay

que escribirlo siempre.

Las

pri

mit

ivas

se

dif

ere

nci

an e

n u

na

const

ante

Integrando Derivando

Pro

pie

dades d

e la

inte

gra

l indefin

ida

Propiedades

de la derivada

I .- (kf )' (x

) = k f '(x)

con k R

La derivada de una

constante por una

función es el producto

de la constante por la

derivada de la función.

II.- (f g) ' (x

) = f ' (x)

g ' (x)

La derivada de una

suma (resta) de dos

funciones es la suma

(resta) de las

derivadas de cada una

de ellas.

Propiedades de

la integral

indefinida

I.- ∫ k f(x) dx = k ∫

f(x) dx con k R

Las constantes

pueden salir y entrar

fuera del signo de la

integral indefinida.

II .- ∫ [ f(x

) g(x)] dx

= ∫ f(x) dx ∫ f(x) dx

∫ g(x) dx

La integral indefinida

de una suma (resta)

de dos funciones es la

suma (resta) de las

integrales indefinidas.

Inte

gra

les

inm

edia

tas:

una t

abla

de d

eri

vadas

leíd

a a

l revé

s pro

porc

iona

pri

mit

ivas

e in

tegra

les

indefinid

as

1.- xa dx =

xa+1

a+1 + C, si a -1, a R

2.-

1x dx = ln x + C

3.- ex dx = ex + C

4.- ∫ax = ln

xa

a + C, si a>0, a 1

5.- sen x dx = – cos x + C

6.- cos x dx = sen x + C

7.- 2

1

1dx arcsen x C

x

8.- 2

1arctg

1dx x C

x

Inte

gra

les

inm

edia

tas

para

funci

ones

com

puest

as

· õôôó

xr dx =

xr+1

r + 1 + C, para cualquier constante r ¹ – 1

f '(x) [f(x)]r dx = [f(x)]r+1

r + 1 + C para r -1Tipo general

cos 2x sen3 2x dx =

12

2 cos 2x sen3 2x dx = 12

sen4 2x4 =

18 sen4 2x + C

Ejemplo:

Inte

gra

les

inm

edia

tas

para

funci

ones

com

puest

as

ax dx =

ax

ln a + C, para cualquier a > 0

Para a = e se obtiene

ex dx = ex + C

f '(x) af(x) dx = af(x)

ln a + C, para a > 0Tipo general

x2 ex3 dx = 1

3

3x2 ex3 dx =

13 ex3

+ C

Ejemplo:

Inte

gra

les

inm

edia

tas

para

funci

ones

com

puest

as

sen x dx = – cos x + C

f '(x) sen f(x) dx = – cos f(x) + C

e3x sen (e3x + 5) dx =

13

3 e3x sen (e3x + 5) dx = – 13 cos (e3x + 5) + C

Tipo general

Ejemplo:

Inte

gra

les

inm

edia

tas

para

funci

ones

com

puest

as

cos x dx = sen x + C

f '(x) cos f(x) dx = sen f(x) + C

e7x cos (e7x + 5) dx =

17

7 e7x cos (e7x + 5) dx =

17 sen (e7x + 5) + C

Tipo general

Ejemplo:

Inte

gra

les

inm

edia

tas

para

funci

ones

com

puest

as

2

1arcsen( )

1dx x C

x

g '(x)1 - [g(x)]2

dx = arcsen g(x) + C

e3x 1 – e6x

dx =

e3x 1 – (e3x)2

dx = 13

3e3x 1 – (e3x)2

dx = 13 arcsen e3x + C

Tipo general

Ejemplo:

Inte

gra

les

inm

edia

tas

para

funci

ones

com

puest

as

1

1 + x2 dx = arctg x + C

2

f ( )arctg( )

1 f ( )

xdx x C

x

11 + 2x2 dx =

11 + ( 2x)2 dx =

12

2

1 + ( 2x)2 dx =

1arctg 2x

2C

Tipo general

Ejemplo:

Inte

gra

ción p

or

part

es

Si f y g son dos funciones derivables con derivadas continuas se tiene:

f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) –

g(x)f '(x) dx

Es muy frecuente expresar esta fórmula con la siguiente notación abreviada que se obtiene poniendo: u = f(x), dv = g '(x)dx, v = g(x) y du = f ' (x) dx:

u dv = uv –

v du

Inte

gra

ción p

or

part

es:

Eje

mplo

s

x2 ex dx = x2 ex –

ex 2x dx = x2 ex – 2

x ex dx =

u = x2 du = 2x dx

dv = ex . dx v = ex

u = x du = dx

dv = ex . dx v = ex

= x2 ex – 2[xex –

ex dx ] = ex (x2 – 2x + 2) + C

sen(ln x) . dx = x . sen (ln x) –

cos (ln x) . dx =

u = sen (L x) du = cos(L x) . (1/x) . dxdv = dx v = x

u = cos (L x) du = – sen(L x) . (1/x) . dxdv = dx v = x

= x . sen(ln x) – x cos(ln x) –

sen(ln x) . dx

Despejando la integral buscada queda:

sen(ln x) . dx = 1

2x [sen(ln x) – cos(ln x)] + C

Inte

gra

ción p

or

sust

ituci

ón o

cam

bio

de

vari

able

Si F es una primitiva de f, y g es derivable se tiene:

(F o g)'(x) =F(g(x))’= F '[g(x)] g'(x) = f[g(x)] g'(x)

Por lo que la integral del elemento final es:

f[g(x)]g'(x) dx = F[g(x)] + C

Si se escribe u = g(x), entonces du = g' (x) dx.

Con esta sustitución se tiene

f(u) du = F(u) + C

Integración por sustitución: Ejemplo I

Para calcular una integral por cambio de variable:

• Buscar una transformación u = g(x) que reduzca su cálculo al de una integral inmediata.

• Cuando se realiza el cambio debe transformarse también la diferencial mediante.

du = g'(x) dx• Después de calcular la integral inmediata debe deshacerse el cambio

poniendo g(x) de nuevo en lugar de u para obtener el resultado final.

1 x ln x dx

Cambio ln x = u dx / x = du

= dxLnx

x

/1 =

1

u du = ln | u | + C

= ln | ln x | + C

deshacer el cambio

Integración por sustitución: Ejemplo II

Concl

usi

ones

Que para la integración

indefinida no existen reglas

generales, es la práctica

sistemática lo que determina la aplicación del

método adecuado de

integración, según sea el

integrando.Solo con las práctica

sistemática, se podrá llegar

a entender y resolver los

ejercicios de las integrales

indefinidas.

Bib

liogra

fía:

[1] W.GRANVILLE «Cálculo

diferencial e integral»

México 2009.pag.231.[2] Hughes-Hallett, Gleason

«Cálculo Aplicado» segunda edición México2004, cap.4,pag.223.[3] R.Larson, B. Edwards

«Cálculo 1 de una variable»

novena edición México

2009.cap.4, pag 248.