ESTIMACIN DE LA GRAVEDAD UTILIZANDO UN PENDULO SIMPLE

D. Beleo, C. Gonzlez, C. Guevara, J. SalasUniversidad del Atlntico

Departamento de Fsica

30 de Abril de 2014

RESUMENLa presente prctica realizada en el laboratorio de fsica mecnica de la universidad del atlntico tuvo como objetivo conseguir la aceleracin de la gravedad por medio de un pndulo simple, para encontrar el error y la desviacin estndar respecto al valor de referencia de la gravedad tomado, que fue de 9.80665 . Los materiales para la experiencia han sido un hilo de algodn con una longitud de 49 cm, una esfera, flexmetro, cronmetro, transportador y un soporte universal. La esfera fue atada al nailon, soltada en un ngulo de 15 y se dejaba oscilar 10 veces, se tom el tiempo con el cronometro para las 10 oscilaciones y despus se calcul el promedio. En esta experiencia se realizaron dos prcticas, cada una con 20 valores de tiempo aproximado con sus respectivos errores porcentuales y desviaciones estndar. Los resultados de la prueba encontrando la aceleracin de la gravedad se encontraron positivos ya que sus errores fueron mnimos respecto al valor de referencia.Palabras Claves: Periodo, Masa, Longitud, Gravedad.ABSTRACTThis practice was carried in the mechanical laboratory at the Universidad del Atlntico, in order to get the acceleration of gravity by a simple pendulum and find the error and also the standard deviation respect to the selected reference value, which was 9.80665 . The materials for the experience has been a cotton thread or thin nylon with a length of 49 cm, an sphere, flexometer, timer, protractor and an universal support. The sphere was attached to nylon, released at an angle of 15 and allowed to oscillate 10 times, we took the duration with the timer of the 10 oscillations and then the average was calculated. In this experiment two practices were performed, each with 20 values approximate time with their respective percentage errors and standard deviations. The test results finding the acceleration of gravity is found positive because their errors were minimal compared to the reference value.Keywords: Period, Mass, Length, Gravity.

OBJETIVOS

Determinar el valor de la gravedad experimentalmente. Comprender el resultado final de la medicin. Determinar el error de la experiencia.1- INTRODUCCIN

Todo movimiento o suceso que se repite a intervalos regulares se dice que es peridico. En ciertos movimientos peridicos, un cuerpo se mueve hacia adelante y hacia atrs siguiendo una trayectoria determinada, entre una posicin fija (sobre la cual pasa un eje perpendicular) y dos posiciones extremas, tal es el caso del pndulo simple, un sistema idealizado en el que una masa puntual est suspendida del extremo de una cuerda inextensible de masa despreciable (cotejada con la masa del cuerpo). El motivo que estmulo el desarrollo de este sucinto informe, fue reconocer los factores y variables que intervienen en este sistema mecnico, estudiar s efectivamente su comportamiento cumple con las caractersticas para catalogrsele como oscilador armnico simple y determinar experimentalmente el valor de la aceleracin de la gravedad, aprovechando la relacin entre el perodo y la longitud del mismo.2- DISCUSIN TEORICA

El Pndulo simple es una masa puntual que pende de un hilo inextensible de masa despreciable, si el pndulo se suelta despus de haberlo separado de la posicin de equilibrio comienza a oscilar alrededor de dicha posicin.En el pndulo simple acta la tensin del hilo y el peso de la masa el cual es positivo si se desplaza el cuerpo hacia posiciones negativas y negativo cuando el pndulo se desplaza hacia posiciones positivas.

Figura 1. Comportamiento de fuerzas en el movimiento del pndulo.

Su periodo es dependiente de la longitud del pndulo, (desde el centro de gravedad de la masa hasta el punto de unin del hilo y el pivote) y es independiente de la masa. (1)Para movimientos oscilatorios, cuando el ngulo es pequeo entonces se tiene que el .El arco descrito es como una lnea recta, entonces tenemos que: sen = x/l siendo as, la fuerza del pndulo es igual a: F = -m.g.x/lAhora, Como: F = m.a ( m.a = -m.g.x/l ( a = -g.x/l Para un movimiento armnico se tiene que: a = -w.x, entonces -w.x = -g.x/l ( w = g/lY como: w = 2./T reemplazamos: 4./T = g/lFigura 2. Arco descrito por el pndulo. Teniendo como resultado final ( Ecuacin 1Dnde:

L, es la longitud del pndulo.

, es la aceleracin de la gravedad.

T, es el periodo de oscilacin.Medida de la aceleracin de la gravedad

Laley de la gravitacin de Newtondescribe la fuerza de atraccin entre dos cuerpos de masasM ymrespectivamente cuyos centros estn separados una distanciar. La intensidad del campo gravitatoriog, o la aceleracin de la gravedad en un punto P situado a una distanciardel centro de un cuerpo celeste de masaMes la fuerza sobre la unidad de masa colocada en dicho punto. Su direccin es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste. (2)En la pgina dedicada al estudio delSistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.El valor de la aceleracin de la gravedad en la Tierra es de , a ese valor es al que se quiere llegar por medio de la frmula del periodo del movimiento armnico de un pndulo simple (pequeas oscilaciones). Despejando la gravedad de la ecuacin 1 se obtiene que: Ecuacin 2Teniendo esta frmula se puede hallar la gravedad buscando los valores de la longitud del pndulo y su periodo; para mayor exactitud y precisin se realizara la medicin de periodos 40 veces. Adems de conceptos fsicos es vlido tambin tener en cuenta caractersticas estadsticas para ofrecer un mejor resultado en la prctica, generalmente se usan las siguientes formulas:

Para calcular promedio: Ecuacin 3Para la desviacin estndar: Ecuacin 4Para el coeficiente de variacin: Ecuacin 53- METODOS EXPERIMENTALES

En la experiencia se utilizaron los siguientes elementos:

Masa cilndrica. Hilo. Varilla metlica para colocar la masa suspendida en el hilo. Transportador. Cronometro. FlexmetroSe construy un sistema tal cual como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3. Montaje experimental de la prctica.La prctica se llev a cabo bajo el siguiente procedimiento:

Se coloc la masa cilndrica a un extremo del hilo y se at a la varilla metlica en el sistema para pndulo simple. Se configur la varilla y se midi la longitud del hilo hasta el punto medio de la masa cilndrica. Se coloc un punto de referencia para que el pndulo simple oscilara siempre con el mismo ngulo (15) con la ayuda de un transportador. Se coloc a oscilar el pndulo y se tom su periodo para 10 oscilaciones, se repiti el proceso 40 veces.Figura 4. Esquema del montaje experimental.4- ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSIN

El periodo de un pndulo simple viene dado por la ecuacin 1: Donde el objetivo a analizar es el valor de la gravedad, por lo cual despejamos esta frmula para encontrar una expresin equivalente (ecuacin 2):

Donde la longitud utilizada en la prctica fue de 49 cm.Siendo as, bajo condiciones de repetitividad, se tomaron como primera instancia 20 mediciones, las cuales encuentran en la siguiente tabla:

CorridaPeriodo (s)Gravedad g (m/)Error E

(m/)Error porcentual Er

(%)

11,41359,6819-0,124751,272095976

21,40459,8064-0,000250,002549291

31,41509,6614-0,145251,481137799

41,39159,99050,183851,874748258

51,390510,00490,198252,021587392

61,39259,97620,169551,728928839

71,39559,93330,126651,291470584

81,40459,8064-0,000250,002549291

91,40409,81340,006750,068830844

101,386010,06990,263252,684402931

111,41109,7163-0,090350,921313598

121,380510,15030,343653,504254766

131,370010,30650,499855,097051491

141,390510,00490,198252,021587392

151,41909,6070-0,199652,035863419

161,39309,96900,162351,655509272

171,377510,19460,387953,955989048

181,366010,36700,560355,713979800

191,378010,18720,380553,880530049

201,40709,7716-0,035050,357410533

Tabla 1. Datos obtenidos en primera instancia con su respectivo error.

NOTA: El valor de la gravedad tomada como referencia fue de 9,80665 m/ De igual forma con el objetivo de realizar una prctica ms exacta, se tomaron nuevamente 20 medidas, que se presentan en la tabla a continuacin:

CorridaPeriodo (s)Gravedad g (m/))Error E

(m/))Error porcentual Er

(%)

211,385510,07720,270552,758842214

221,381010,14300,336353,429815482

231,382010,12830,321653,279917199

241,384510,09180,285152,907720781

251,360510,45100,644356,570541418

261,39759,90490,098251,001871179

271,384010,09910,292452,982160065

281,39609,92620,119551,219070733

291,377510,19460,387953,955989048

301,379510,16510,358453,655172765

311,360010,45870,652056,649059567

321,385510,07720,270552,758842214

331,39709,91200,105351,074271030

341,384010,09910,292452,982160065

351,377510,19460,387953,955989048

361,388510,03370,227052,315265662

371,386010,06990,263252,684402931

381,41959,6003-0,206352,104184406

391,355510,52820,721557,357762335

401,41309,6888-0,117851,201735557

Tabla 2. Datos obtenidos en segunda ocasin con su respectivo error.NOTA: Se debe aclarar que el valor del periodo en las 2 tablas es un promedio de dos valores arrojados por 2 cronmetros distintos, esto se hizo con el fin de unificar una medicin y tratar de obtener valores ms exactos. Ahora para calcular el error de veracidad simplemente utilizamos la definicin formal de error, donde para este caso se toma el valor obtenido como un promedio del resultado de todas las mediciones para la gravedad y para el valor de referencia como el anterior mencionado.

Siendo as se calcula el error relativo de veracidad, dado por la definicin formal de error porcentual:

Con base a lo anterior es posible calcular la veracidad del experimento, que viene determinado por el efecto del error relativo porcentual obtenido bajo la definicin formal de error porcentual, as:

Siendo el anterior resultado la veracidad del experimento realizado, un error del 2% est considerado un error permisible, puesto que a partir del 10% o mayor a este se considera una mala medicin. El error obtenido est dado por la calidad del transportador utilizado, por la longitud equivalente de la cuerda y por el hecho de que en algunas ocasiones el arco descrito por la oscilacin no era uniforme, afectado un tanto a los resultados. Adems de esto debe aclarase que la gravedad de la tierra es distinta en cualquier parte de la tierra, y esto afecta de igual forma al clculo de este tipo de error.Es vlido aclarar que las condiciones de repetitividad son de gran ayuda al momento de realizar un conjunto de mediciones debido a que se presenta un mejor resultado en la calidad de los datos arrojados.

Bajo las condiciones anteriormente mencionadas, se tuvo como objetivo calcular parmetros importantes para la experiencia, como lo es el promedio, la desviacin estndar y el coeficiente de variacin; lo anterior con la ayuda de las ecuaciones 3,4 y 5 previamente establecidas.Para calcular la precisin del experimento se utiliza la ecuacin 4 puesto que este criterio de precisin est definido por la desviacin estndar de los datos obtenidos.

En base a lo anterior se calcula la precisin de la experiencia el cual est definido por el criterio de la precisin relativa, dada por el coeficiente de variacin. Este se calcula por la ecuacin 5, as:

La concepcin del coeficiente de variacin tiene como objetivo determinar cunto precisa fue la medicin realizada, es decir, de que tan homogneos son los datos en la experiencia realizada; result un coeficiente de variacin relativamente bajo, lo que afirma que la medicin de los datos obtenidos en las tablas no fue muy imprecisa, y es vlido confiar en estos datos con una precisin del 2,30 %.

Para saber cul fue la estimacin ms exacta en la experiencia, se recurre a la idea del dato obtenido con menor error de veracidad, el cual resulta que es el dato obtenido en la corrida 2 y 8 con una magnitud de 9,8064 , esto evidenciado en la tabla 1.

NOTA: El Hecho de que el valor arrojado tenga signo negativo no repercute en algn efecto secundario, debido a que es un hecho algebraico; el punto a analizar es la exactitud obtenida y la diferencia existente ntrelas mediciones. Ahora en la siguiente tabla se aprecia los valores correspondientes a las mediciones realizadas:

Promedio

Desviacin estndar Coeficiente de variacin

Periodo 1,3896 s0,016028215 s1,15344094 %

Gravedad g10,02156 m/0,231318422 m/2,308207721 %

Tabla 3. Parmetros de medicin fundamentales para los datos obtenidosCada experiencia siempre requiere de un parmetro que caracteriza la dispersin de los valores atribuidos a un mesurando a partir de la informacin obtenida (Cuando se habla de mesurando se refiere a una magnitud particular sujeta a una medicin); este parmetro se conoce como incertidumbre de medicin.

Esta incertidumbre viene dada por la expresin:

Ecuacin 6Donde es un factor de cobertura, que su valor para la experiencia ser de 1,96 debido a que este ofrece una confiabilidad del 95%. El trmino hace referencia a la incertidumbre combinada de todas las mediciones realizadas en la prctica, siendo para la prctica la medicin del periodo y la longitud.Para el caso actual de la prctica realizada se tiene una expresin que mantiene una relacin las dos variables a estudiar: =

Donde la incertidumbre combinada viene dada por la expresin:

Siendo coeficientes de sensibilidad.

Cabe destacar que la expresin se define por: debido a ser un elemento de medicin anlogo. El factor d hace alusin a la divisin de escala del flexometro, siendo 0,001 m= 1mm.

As mismo para la expresin se tiene que: Donde r es igual a 0,01 s que equivale a la divisin de escala del cronometro siendo una centsima de segundo.

La expresin anteriormente mencionada sobre la incertidumbre combinada de la gravedad requiere una correccin obtenida a partir de la concepcin de la desviacin estndar calculada, teniendo as la siguiente formula final para calcular la incertidumbre:Teniendo claro que: reemplazamos:

Siendo entonces = ) =0,178962 Como respuesta final tenemos entonces que: g = (10,02156 0,178962) 5- CONCLUSINDe la anterior experiencia, Se logr explicar elocuentemente cmo calcular la aceleracin de la gravedad mediante un pndulo simple, se aclararon los conceptos de la gravedad y se tuvo en cuenta el error y la incertidumbre de medida para realizar la media. La veracidad del experimento es en un 2,19 %. En esta experiencia los resultados de la gravedad nunca fueron precisos, de lo cual podemos concluir que no es posible tener un resultado igual a un valor real ya que no existe una medicin perfecta, aunque los resultados fueron precisos porque su margen de error fue mnimo. El valor promedio de la gravedad obtenido con su respectiva incertidumbre fue de (10,02156 0,178962) , con una desviacin estndar de 0,231318 y con un coeficiente de variacin de 2,30%. Para futuras experiencias se deben tener en cuenta los errores aleatorios puesto que estos son los factores externos que pueden afectar los resultados de la medicin.

.REFERENCIAS

[1] FSICANET (El pndulo simple). [En lnea] [Citado el: 16 de 04 de 2014.] http://www.fisicanet.com.ar/fisica/elasticidad/ap05_pendulo_simple.php[2] Curso interactivo de fsica (El pndulo simple). [En lnea] [Citado el: 16 de 04 de 2014.] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/dinamica/trabajo/pendulo/pendulo.html