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La demostración por inducción completa es, en realidad, el desarrollo de un proceso de deducción. El nombre que le damos se debe a una similitud aceptada con los procesos de inducción de las ciencias naturales.

 

INDUCCION MATEMATICA  

INDUCCION MATEMATICA

 

 

CUESTIONARIO RESUELVE EL CUESTIONARIO CUANDO TERMINES EL TUTORIAL

FACULTAD DE INGENIERIA

ESTRUCTURAS DISCRETAS DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN

Este procedimiento de demostración de fórmulas cuantificadas universalmente, verifica primero que se cumple para los casos llamados básicos, y después, suponiendo que se cumple para los casos anteriores, se verifica para un elemento típico x arbitrario. Este último paso es llamado ``inductivo''. Se concluye entonces que la fórmula vale para cualquier x.

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N.

El esquema del razonamiento es el siguiente:

Llamemos Pn la proposición al rango n. Se demuestra que P0 es cierta (iniciación de la inducción). Se demuestra que si se asume Pn como cierta, entonces Pn+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción). En conclusión, se ha demostrado, por inducción, que Pn es cierto para todo natural n.

 

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La inducción puede empezar por otro término que P0, digamos por Pno. Entonces Pn será válido a partir del rango no, es decir, para todo natural n ≥ no.

El principio de Inducción Matemática es un método que se utiliza para demostrar propiedades, formulas, validarlas y probar que son verdaderas.

Es un método simple que consta de tres pasos fundamentales en los cuales se debe demostrar la propiedad reemplazando su incógnita por 1, luego por k y finalmente por k+1.

Los pasos para desarrollar la Inducción Matemática se detallan en el contenido del presente trabajo de investigación.

Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo de “para todo elemento de ...”, o bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”.

De la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza de las correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la certeza de una o varias proposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente proposición general o generalización.

El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de una proposición general a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposición general.

Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2” estamos exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por ejemplo, la proposición “el número 246 es divisible por 2”.

El proceso por el cual, conocida la verificación de la proposición general, inferimos que se verifica la proposición particular correspondiente, es lo que entendemos por deducción o proceso deductivo.

Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones particulares inferimos que se verifica una proposición general que las engloba, entendemos que estamos realizando un proceso de inducción o proceso inductivo.

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LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS

En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el Sistema Axiomático de Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-G-Q) se establece el Axioma de Infinitud

“Existe al menos un conjunto de clases inductivas, esto es, de clases tales que contener un elemento implica contener a su elemento siguiente”. Tal familia es admitida, pues, como no vacía.

Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva, como el mínimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de número ordinal y se prueba que cualquier número natural es un número ordinal. Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que permiten, pues, estructurar algébricamente el conjunto N. Así, puede definirse el conjunto N como un conjunto que verifica las siguientes condiciones axiomáticas:

1) Existe al menos un número natural, que llamaremos cero y designaremos por 0.

2) Existe una aplicación llamada aplicación siguiente que aplica todo elemento n de N en otro elemento n* de N, llamado sucesor o siguiente de n.

3) El cero no es sucesor de ningún otro elemento de N.

4) Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor, o sea, la aplicación siguiente es inyectiva.

5) Todo subconjunto N’ de N, para el cual se verifique que contenga al cero, y que el sucesor de cualquier elemento de N’ está en N’, coincide con N. (Axioma de la Inducción Completa).

EL METODO DE INDUCCIÓN

La última afirmación del Teorema Peano, también llamada Axioma

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de la Inducción Completa permite probar resultados con los números naturales generalizando situaciones particulares.

Si, en efecto, logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un número natural n se verifica también para su sucesor, s(n), cualquiera que sea n, entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito. Si sabemos, además, que se verifica para el cero, el primero de los números naturales, que no es sucesor de ningún otro, entonces hay que concluir que la propiedad se verifica en todo N. Es decir, para probar que algo, una propiedad, se cumple en todos los números naturales, basta comprobar primero que se cumple para el 0, y, a continuación, suponer que se cumple para un natural n, y, desde aquí, deducir que se ha de cumplir para el natural siguiente, n+1.

Una técnica muy sencilla consiste en definir un conjunto N’, subconjunto de N, formado por los elementos que verifican la propiedad a demostrar. Si logramos demostrar que para cualquier elemento a N’ se cumple que su sucesor, y que el cero, es decir, se cumple (en el argot del sistema N-B-G-Q) que N’ es inductivo, entonces habrá de concluirse que se verifica la propiedad en todo N, esto es, que N’ = N

El método, en definitiva, consta de dos partes o teoremas parciales:

Teorema 1, o base de la demostración: es la demostración deductiva de que la proposición se verifica para algún número natural dado a: Proposición->f(a) cierta

Teorema 2, o paso de inducción, que es la demostración, de carácter también deductivo, de que si la proposición se supone cierta para un número natural n, también ha de ser cierta para el número sucesor de n, es decir, para el número n+1.

Proposición ->f(n) cierta f(n+1) cierta

De lo cual se infiere que la proposición es cierta para el número natural a y para todos los números naturales siguientes al número a, es decir es cierta para el conjunto de los números naturales [a, ∞). Evidentemente, si a es el primero de los números naturales, la proposición será cierta para todo el conjunto N.

Ambos pasos parciales son, en último término, procesos deductivos, por lo que cabría decir que, realmente, el método de inducción matemática es, en realidad, un proceso de deducción.

En realidad, el nombre que le damos de “inducción matemática” se

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debe simplemente a que lo asociamos en nuestra consciencia con los razonamientos inductivos basados en las experiencias de verosimilitud de las ciencias naturales y sociales, a pesar de que el paso inductivo de la demostración es una proposición general que se demuestra como un riguroso proceso deductivo, sin necesidad de ninguna hipótesis particular. Es por esto por lo que también se le denomina “inducción perfecta” o “inducción completa”.

Sea P(n) una proposición que depende de la variable n, con n perteneciente a los Naturales. Si:

- 1 satisface a P y, - k pertenece a los Naturales, k satisface P! (k+1) satisface P, entonces todos los números naturales satisfacen P.

Usaremos el Axioma de Inducción Matemática para demostrar la validez, en los Números Naturales, de ciertas proposiciones P que depende de una variable n, con n perteneciente a los Naturales. Procederemos de la siguiente manera:

- Verificaremos la proposición para el numero 1. - Supondremos que la proposición es verdadera para un numero natural cualquiera k. (Hipótesis de inducción). - Demostraremos la proposición para el numero natural (k+1).

Así, gracias al axioma de inducción Matemática, podemos concluir que la proposición la satisfacen todos los números naturales.

EJEMPLO

Demostraremos que: 1+2+3+............+n = n(n+1), " n perteneciente a los naturales (*) 2 1= 1(1+1). Por lo tanto 1 satisface la proposición (*) 2 Supongamos valida la proposición (*) para k perteneciente a los Naturales, es decir supongamos que: 1+2+3+.........+k = k(k+1). (Hipótesis de inducción). 2 Demostremos que k - 1 también satisface la proposición (*), es decir, demostremos que: 1+2+3+.........+k+(k+1) = (k+1)(k+2). 2 Demostración: (1+2+3+.......+k)+(k+1) = k(k+1) + (k+1) 2 = k(k+1)+2(k+1) 2 = (k+1)(k+2)

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2 Luego la proposición (*) es verdadera "n perteneciente a los naturales. En resumen, primero demuestras reemplazando el n por un 1, luego demuestras reemplazando el n por un k y finalmente lo demuestras reemplazando el n por (k+1) Ejemplo Demuestre usando Inducción Matemática que: n " 13 = n2 (n+1)2 i=1 4 1° Usando n = 1 1 " i3 = 12 (1+1)2 i =1 4 1 " 1 = 1(4) i =1 4 1 " 1 = 4 = 1 i=1 4 2° Supongamos valido para n = k k " i3 = k2 (k+1)2 i=1 4 3° Por demostrar valido para n = k+1 k+1 " i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza termino igual al de arriba i=1 4 = (k+1)2 (k+2)2 esto se debe demostrar 4 k+1 k " i3 = " i3 + (k+1)3 i =1 i =1 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1) 4 4 4 = (k+1)2( k2 +4(k+1) = (k+1)2 (k2 +4k+4) • 4 = (k+1)2 (k+2)2 4 Ejemplo Demuestre usando inducción que: 2 + 4+ 6 + 8+..........+ 2n = n(n+1) n • 2 i = n(n+1) i =1 n=1 1 " 2*1 = 1(1+1)

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i =1 • = 1*2 • = 2 Suponer valido para n = k k " 2i = k(k+1) Esto es la hipótesis i =1 Demostrar para n = k+1 K+1 " 2i = (k+1)(k+2) i =1 k+1 k " 2i = " 2i + 2(k+1) i =1 i =1 = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2)

 

BIBLIOGRAFIA

Gelbaum, B.R. and Olmsted, J.M.H., Theorems and Counterexamples in Mathematics, Springer-Verlag, 1990

Gödel, Kurt, Obras completas. Alianza Editorial. 1981.

Golovina, L.I. and Yaglom, I.M., Induction in Geometry, Mir Publishers, Mexico, 1989.

Kleene, Stephen. Introducción a la metamatemática. Editorial TECNOS. 1994.

Sominski, I. S., Método de Inducción Matemática, Editorial Mir, Moscu, 1985

 

 

MATEMÁTICA ELEMENTAL

MATEMÁTICA ELEMENTAL      

INDUCCIÓN MATEMÁTICA  

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Inducción matemática

- ¿Qué es? - Principio de inducción   

completa - Proceso - Verificaciones - Ejemplo 1 - Ejemplo 2 - Consideraciones - Ejemplo 3 - Ejemplo 4 - Ejercicios propuestos

Esquema

PORTAL

INDICE

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CUADRO SINÓPTICO

   

Visto el esquema anterior, la primera pregunta que hay que formularse es:

  ¿Qué es la inducción matemática?Busquemos en el DRAE. Inducción: Acción y efecto de inducir. A continuación habla de la inducción: eléctrica, magnética y mutua. No dice nada de la inducción matemática. Busco  inducir: Fil. Ascender lógicamente el entendimiento desde el conocimiento de los fenómenos, hechos o casos, a la ley o principio que virtualmente los contiene o que se efectúa en todos ellos uniformemente.

Esta definición la podríamos expresar en  un lenguaje menos académico, de esta forma:  

La inducción es un proceso por el cual de varios casos particulares obtenemos una ley generalSiguiendo con el procedimiento vamos a ver lo que dice el CIRLEC. Inducción: Fil. Tipo de razonamiento, opuesto a la deducción que partiendo de enunciados particulares, concluye

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uno de extensión general. Si se consideran todos los casos particulares que incluye el universal, la Inducción se llama completa; si solo algunos se llama Inducción incompleta.

Lo que dice el CIRLEC me sugiere el siguiente: 

Ejemplo de Inducción incompleta: 

Si tomo objetos diversos y de distinto material y desde una cierta altura y en cualquier punto de la tierra los abandono, observo que caen. Esta observación me permite inducir la siguiente ley:    

Todo cuerpo abandonado a una cierta altura sin obstáculo tiende a caerComo la tierra es, sensiblemente, esférica podemos añadirle a la ley anterior:  

en dirección al centro de la tierra Uniendo ambas proposiciones podemos enunciar la ley completa:  

Todo cuerpo abandonado a una cierta altura sin obstáculo tiende a caer en dirección al centro de la tierraEn un lenguaje más coloquial podemos decir que la inducción nos permite pasar de lo particular a lo general. 

Ejemplo de inducción completa: La inducción matemática

La inducción matemática nos va a permitir generalizar; esto es, obtener expresiones generales por observación de los casos particulares. Este método  constituye un recurso muy utilizado en teoría de números. 

Para formalizar algo más lo anterior podemos consultar el DICMAT que dice:  

La inducción es el camino para llegar a una

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solución que consta de cuatro pasos: Inferir, presentar una hipótesis, comparar y concluir.El principio de inducción completa es un proceso  que se enuncia así:    

Sea A un conjunto finito que cumple estas condiciones:

a) El primer elemento tiene una determinada propiedad. 

b) Si un elemento cualquiera tiene esa propiedad y la tiene también el elemento siguiente.

c) Entonces todos los elementos  del conjunto tienen esa propiedadNota: Los razonamientos basados en este principio se llaman razonamientos por recurrencia y son los razonamientos matemáticos por excelencia. 

Para aplicar tal principio precisamos: 

- Un conjunto - Una propiedad que puede expresarse en una fórmula

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

2ª  Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición. A tal elemento es usual denominarlo elemento h.

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es el (h + 1), cumple también esa

propiedad.

Conclusión: Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad.

 

Ejemplo 1:

 Demostrar por inducción que la suma de los n

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primeros números naturales consecutivos  es igual a la mitad del producto del último número considerado por su siguiente.

      a) Caso particular:

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 =  (5 x 6)/2 = 15

Observación: El último número considerado es 5; su siguiente 6; su producto 30; su mitad 15. Si sumamos el primer miembro obtenemos 15.

¿Qué hemos hecho? Comprobar que la propiedad es verdadera para n = 5.

Así podíamos aplicarla para cualquier número; pero, por muchas veces que la apliquemos, no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales. 

Demostremos por inducción que esta propiedad es general. 

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así: 

            j n = 1 + 2 + 3 + 4 +......+ n = n(n + 1)/2   desde  j=1, hasta j=n

 NOTA: j es un contador que va dándole a n valores sucesivos: 1, 2, 3 .... hasta el valor n.

Nos preguntamos:

¿Se puede aplicar el principio de inducción? 

Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Si: Los números naturales.

¿Tenemos la propiedad?

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Si: La suma de n primeros números naturales consecutivos  es igual a la mitad del producto del último número considerado por su siguiente.

Su expresión general es:

j n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = n(n + 1)/2   (1)   desde  j=1, hasta j=n

NOTA: Recordamos que j es un contador que va dándole a n valores sucesivos 1, 2, 3 .... hasta el valor n.

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento es 1 y su siguiente 2; aplicando la fórmula  1 = 1 x 2/2 =1

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería: 

1 + 2 + 3 +....+ h = h(h + 1)/2 (*)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa propiedad  

Si a los dos elementos  de la igualdad anterior le sumamos  (h + 1) obtendríamos:

{1 + 2 + 3 +.......+ h} + (h + 1) = {h(h + 1)/2} + (h + 1)  (**)

Observa que lo encerrado entre llaves {} del primero y segundo miembro de (**) es lo escrito en (*)

Intuyamos la solución aplicando la propiedad. En el primer miembro de (**) el último elemento considerado es (h + 1); su siguiente en esta caso será: (h + 2); luego, de acuerdo con la propiedad

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enunciada:

j(h+1) ={1 + 2 + 3 +...+ h}+(h+1) = (h+1)(h+2)/2

desde  j=1, hasta j=(h+1)

NOTA: Volvemos a recordar que j es un contador que va dándole a h valores sucesivos 1, 2, 3 .... hasta el valor (h+1).

Para probarlo hagamos transformaciones en el segundo miembro de (**)

h(h + 1)/2 + (h + 1)     Si sacamos  (h+1) de factor común en la expresión anterior se

transforma asi:

(h + 1)(h/2 + 1) = (h + 1)(h + 2)/2

Como puede comprobarse, es la fórmula intuida por aplicación de la propiedad.

Conclusión:

Todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad expresada matemáticamente así:

j n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = n(n + 1)/2   desde  j=1, hasta j=n

 

¿Qué quiere decir esto? La fórmula (1) es válida para cualquiera que sea el valor de n. 

   

 ----o----

 

En el ejemplo anterior hemos resuelto la siguiente cuestión: Enunciada una propiedad, escribir su fórmula general y demostrarla por inducción.  

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En el ejemplo siguiente vamos a resolver la siguiente cuestión, recíproca de la anterior: Dada

la fórmula general de una propiedad, enunciarla, y demostrarla por inducción

 

Ejemplo 2:

Demostrar por inducción que:

j(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2  (1) desde  j=1, hasta j=n

Para enunciar la propiedad “traduzcamos” los símbolos:

¿Qué expresa ?

es la letra griega sigma mayúscula y en Matemáticas simboliza la suma.

¿Qué expresa (2n-1)?

Con esta fórmula se representa un número impar cualquiera; basta sustituir n por el lugar que ocupa en los números impares, valores que se le adjudican a j. Así ¿Cual será el 1º, el 5º, el 7º... impar? Se sustituye en   (2n-1), n respectivamente  por 1, 5, 7 y nos resultaría:

2 x 1-1 = 1;  2 x 5-1 = 10-1 = 9;  2 x 7-1= 13 

Observa que 1+3+5 +...+(2n - 1) son los resultados de sustituir en la expresión (2n-1), n, por los números naturales  consecutivos  1, 2, 3,... y nos resultarán el 1º, 2º , 3º... etc. número impar

¿Qué expresa n2? 

El cuadrado de un número; en nuestro caso el último número natural considerado.

¿Qué expresa el signo =?

Expresa “igual que”.

Si “sustituímos” en (1) cada símbolo por su formulación verbal tendremos:

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 La suma de los n primeros números impares consecutivos es igual al cuadrado del último número impar considerado

.

a) Caso particular:     1 + 3 +  5 + 7 =  16 = 42

Observación: El último número impar considerado es el 4º. No se trata de su valor, sino el lugar que ocupa: el cuarto (4º)

Lo que hemos hecho es comprobar que la propiedad es verdadera para n = 4  (4º número impar) y así la podíamos aplicar para cualquier número; pero, por muchas veces que la apliquemos no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales. 

Demostremos por inducción que esta propiedad es general. 

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así: 

j(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2  (1) desde  j=1, hasta j=n

NOTA: Es la última vez que recordamos que j es un contador que va dándole a n valores sucesivos

1, 2, 3 .... hasta n.  

Nos preguntamos:

¿Se puede aplicar el principio de inducción? 

 Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Sí: Los números naturales.

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¿Tenemos la propiedad?

Si: La suma de los n primeros números impares consecutivos es igual al cuadrado

del último número impar considerado

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento se obtiene al sustituir en 2n-1, n.  por 1, y nos resultaría: 

(2 x 1) - 1 = 1 

que es el primer número impar, como sabemos.

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería: 

1 + 3 +.5...+ (2h-1) = h2 (*)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa

propiedad

¿Cual sería el número impar que ocupa el lugar (h+1)? 

Dos formas hay de obtener el siguiente impar de un impar dado:

Sumándole 2 unidades al impar dado obtenemos su siguiente. 

Así el siguiente de 7 es 7+2= 9 

el siguiente de (2h-1) sería: 

(2h-1) +2 = 2h -1 + 2 = 2h + 1;

o bien sustituyendo en la expresión general (2n-1), n, por (h+1); esto es, donde esté n, la sustituimos por (h+1) y operamos; así:

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2(h+1) - 1 = 2h + 2 - 1 = 2h + 1 

Si a los dos elementos  de la igualdad (*) le sumamos  (2h + 1) obtendríamos:

{1 + 3 +.5...+ (2h-1)} + (2h+1) = {h2}+2h+1 

Observa que lo encerrado entre llaves {} del primero y segundo miembro de (**) es lo escrito en (*)

Intuyamos la solución aplicando la propiedad. 

En el primer miembro de (*) el último elemento considerado es (2h -1); su siguiente en este caso

será:  (2h + 1); 

luego, de acuerdo con la propiedad enunciada: {1 +3 +.5 +...... (2h + 1) = (h + 1)2

Para probarlo observamos que el segundo miembro de (**),  h2 + 2h + 1, es el cuadrado de

(h + 1); esto es: (h + 1)2

  Matemáticamente se expresaría así: h2 + 2h + 1

= (h + 1)2

La expresión anterior es un producto notable que se desarrolla por el binomio de Newton o multiplicando (h + 1) por sí mismo o recurriendo a la fórmula que se aprende de memoria y muchas veces no se sabe lo que se está diciendo pero que la recuerdo: 

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer sumando más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo sumando.

Como puede comprobarse, es la fórmula intuida por aplicación de la propiedad.

Conclusión: 

Todos los elementos del conjunto cumplen

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esa propiedad expresada matemáticamente así:

j(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2 desde  j=1, hasta j=n

  ¿Qué quiere decir esto? La fórmula  es válida para cualquiera que sea el valor de n. 

 

NOTA: Si observas el segundo ejemplo lo he resuelto aplicando el esquema del primero, con

las mismas palabras en lo que es igual y sustituyendo lo que es diferente.

 

----o----

 

En los ejemplos 1 y 2, hemos operado con números y sumas y hemos aprendido dos cosas:

Dada una fórmula enunciar en el lenguaje ordinario la propiedad  que expresa y, recíprocamente, enunciada una propiedad en el lenguaje ordinario escribir la fórmula que la simbolizaAsimismo los dos ejemplos se refieren a igualdades; en el siguiente nos vamos a referir a una desigualdad.

Mutatis mutandis, como dicen los latinos que significa: “cambiando lo que haya que cambiar”, voy a seguir el mismo esquema.

Ejemplo 3:

Demostrar por inducción que para n >1 la potencia enésima de un número más la unidad es mayor que la unidad más el producto de ese número por el exponente. Simbolicemos la propiedad en una fórmula:

Al número le vamos a llamar a (recuerda que si lo escribo en negrita es para destacarlo

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diferenciando de la preposición a).

La primera parte de la propiedad: La potencia enésima de un número más la unidad,  se simboliza así:

(1+a)n.

Es mayor que, se simboliza así: >

La segunda parte de la exposición: unidad más el producto de ese número por el exponente,

se simboliza así:

(1+na)

luego lo que hemos de probar por inducción es:

(1+ a)n > 1 + na; 

a) Caso particular muy particular para  a= 1 y n= 3 tenemos 23 = 8 > 1 + 2x1.

b) Caso particular más general: (1+ a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a.

Lo que hemos hecho es comprobar que la propiedad es verdadera: en el primer caso para  a = 1  y n = 3    y en el segundo caso para a = a y   n = 2; así la podíamos aplicar para cualquier número pero, por muchas veces que la apliquemos, no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales. 

Demostremos por inducción que esta propiedad es general. 

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así: 

(1+ a)n > 1 + na    (1)  

Nos preguntamos 

¿Se puede aplicar el principio de

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inducción? Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Si: Los números naturales.

¿Tenemos la propiedad?

Si: Para n>1, la potencia enésima de un número más la unidad es mayor que la

unidad más el producto de ese número por el exponente. 

- Hacer tres verificaciones:

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento se obtiene al sustituir en  (1+ a)n > 1 + na,   n,  por 2; recuerda que el primer número natural después de 1, es 2. 

Sustituyendo  nos resultaría: 

(1+ a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a 

(Esto lo hemos hecho más arriba y podíamos referirnos a esta transformación así: ver apartado b); recurso muy matemático de referirse sin más a lo hecho para no reiterarlo)

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería:

(1+ a)h > 1 + ha   (*)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa

propiedad

Lo que tenemos que probar es que 

(1+ a)(h+1) > 1 + (h+1)a     (**)

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¿Cual sería la expresión del elemento siguiente al h; esto es: el que ocupa el lugar (h+1)?Dos formas hay de obtener el término siguiente:

multiplicando el primer miembro de (*) por

(1 + a) 

Recuerda que la potencia siguiente de un número se obtiene multiplicando la potencia anterior por

ese número.

Así la potencia siguiente de 24 se obtendría multiplicándola por 2; esto es: 

24 x 2 = 25

o bien sustituyendo en la fórmula general

(1+a)n, n, por (h+1) 

esto es donde esté n, la sustituimos por (h+1) y obtendríamos: 

(1+a)(h+1);

Para demostrar la propiedad hacemos la siguiente transformación: Si los dos miembros de

la igualdad (*) lo multiplicamos por 

(1 + a) 

obtendríamos:

{(1+a)h} (1 + a) > {(1 + ha)}(1+a)  (**) 

Que es lo mismo que escribir después de operar:

(1+a)(h+1) >  1 + ha+ a + ha2  (***)

El segundo miembro de(***) después de sacar factor común se puede expresar así:

1 + ha+ a + ha2 =  1 + (h +1) a + ha2 > 1 + (h+1) a

NOTA: Para llegar a esa desigualdad hemos despreciado, como en el apartado b),   ha2  que es positivo; luego al despreciar una cantidad

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positiva del segundo miembro de la igualdad  anterior, el primer miembro sería mayor que el segundo..

Por tanto (***) la podemos escribir así:

(1+a)(h+1) >  1 + (h+1)a

que  es lo mismo que resulta de sustituir en 

(1+ a)n > 1 + na, n,  por (h + 1);

Observa que lo encerrado entre llaves {} del primero y segundo miembro de (**) es lo escrito en (*)

Conclusión: 

Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad expresada matemáticamente así:

(1+ a)n > 1 + na  ¿Qué quiere decir esto? La fórmula  es válida

para cualquiera que sea el valor de n.   

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Ejemplo 4:

Demostrar por inducción que la suma de todos los números combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, es igual a 2 elevado al numerador. Simbolicemos la propiedad en una fórmula:

NOTA: Tengo dificultad para escribir con símbolos en el ordenador el combinatorio m sobre n,  que se expresa mediante este símbolo ( )  con el numerador m arriba y el orden n abajo. Como el combinatorio  m sobre n es el número de combinaciones ordinarias  de m elementos tomados de n en n, y el símbolo de las combinaciones ordinarias es: Cm,n operaré con él,

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por comodidad. Si se sustituye en el desarrollo posterior Cm,n por el símbolo combinatorio habremos resuelto el problema de la escritura, al tratarse de dos conceptos equivalentes.

La primera parte de la exposición: la suma de todos los números combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, se simboliza así: 

Cm,n

igual que, se simboliza así:  =

La segunda parte de la exposición: 2 elevado al numerador se expresa así: 2m

La simbolización y lo que hemos de probar por inducción es:

                                                     n = m

Cm,n  = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,m  = 2m    (1)                                                     n = 0  

a) Supongamos que m = 5 entonces sería:

                                                      

                                                     n = 5

Cm,n  = C5,0 + C5,1 + C5,2 +...+ C5,5  = 25 = 32                                                     n = 0                     desde  n = 0, hasta n = 5

Como   C5,0  = C5,5 = 1;     C5,1 = C5,4 = 5;  C5,2 = C5,3 = 10  (2) 

NOTA: En (2), se ha aplicado la propiedad de los números combinatorios complementarios (ir)

En a)  hemos comprobado que la propiedad que pretendemos demostrar es verdadera, cuando  m = 5; así la podíamos aplicar para cualquier número; pero, por muchas veces que la apliquemos no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los números naturales. 

Nos preguntamos 

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¿Se puede aplicar el principio de inducción? 

Comprobemos con el esquema propuesto:

¿Tenemos un conjunto?

Si: Los números naturales.

¿Tenemos la propiedad?

Si:  La suma de todos los combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, es igual a 2 elevado al numerador.

La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así

                                                    n = m

Cm,n  = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,m  = 2m    (1)                                                     n = 0                                  desde  n = 0, hasta n = m 

 

- Hacer tres verificaciones:  

1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del conjunto.

El primer elemento es Cm,0  se obtiene al sustituir en Cm,n, n por 0 y su valor es igual a la unidad. (Todo combinatorio de orden cero es igual a la

unidad)  (ir)

2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por comprobación o suposición.

Si la cumple el elemento h la fórmula sería:

Ch,0 + Ch,1 + Ch,2 +...+ Ch,h = 2h   (2)

3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1), cumple también esa

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propiedad

Lo que tenemos que probar es que:

C (h+1),0 + C (h+1),1 + C (h+1),2 +C (h+1),3...+ C(h+1), (h+1)  = 2(h+1) (3)

Para demostrar la propiedad hacemos la siguiente transformación: Si los dos miembros de la igualdad (2) lo multiplicamos por 2 obtendríamos:

2(Ch,o + Ch,1 + Ch,2+ Ch,3...+ Ch,h) = 2h x 2 = 2(h+1)

(4)

Los segundos miembros de (3) y (4), son iguales y los primeros miembros, tienen que serlo también (propiedad transitiva); lo que hay que demostrar es que:

                                 2 Ch,n            =    C(h+1),n                        desde  n=0, hasta n=h       desde  n = 0, hasta  n = (h+1)

El primer miembro podemos escribirlo así:

2(Ch,0 + Ch,1 + Ch,2+ Ch,3...+ Ch,h) = Ch,0+{Ch,0+Ch,1} +{Ch,1+Ch,2} + ...

{Ch,2+ Ch,3}+.....{....+ Ch, h}+ {Ch, h}

Por las propiedades de los números combinatorios: (ir)

Ch,0 = C(h+1),0 = 1 Ch,0+Ch,1 = C(h+1),1 Ch,1+Ch,2  = C(h+1),2

Así sucesivamente hasta

{(....)+ Ch, h}= C(h+1), h         En (....) he simbolizado el anterior a Ch, h

{Ch, h}= 1 = { C(h+1), (h+1)}

.Podemos afirmar que el primer miembro de (4) es  igual al primer miembro de (3)

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Por tanto  hemos probado la propiedad esto es:

C(h+1),n = C (h+1),0 + C (h+1),1 + C (h+1),2 +...+ C(h+1), (h+1)  = 2(h+1)

desde  n = 0, hasta n = (h+1)  

Conclusión: 

Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad expresada matemáticamente así:

Cm,n = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,n = 2m desde  n = 0, hasta n = m 

 ¿Qué quiere decir esto? 

La fórmula  es válida para cualquiera que sea el valor de m. 

OBSERVACION: Todos los ejemplos se han desarrollado utilizando el mismo esquema de proceso. Se proponen diversos ejercicios para que el lector los demuestre por inducción.

Ejercicio pedido por correo.

Demostrar por inducción  la fórmula del desarrollo de la potencia del binomio.

Ante la dificultad de operar con los combinatorios lo resolví de forma mixta, con ordenador lo literal y a mano lo matemático. Su resolución está en: las siguientes páginas: 1ªhoja; 2ªhoja; 3ªhoja. También está indicada su resolución y después resuelto en   Mensajes cruzados

Ejercicios propuestos:  Probar por inducción las siguientes propiedades:

1)  La suma de los cuadrados de los n primeros

números naturales (n2)  es igual a:

Page 27: induccion completa

La solución está aquí

2)  La suma de los cubos de los n primeros

números naturales (n3)  es igual a:

La solución está aquí

 

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