Calcular los incrementos de esfuerzos verticales debajo del centro y de una esquina de una zapata rectangular de 4x3 metros. Utilizar los mtodos basados en la teora de la elasticidad: Boussinesq, Westergaard y Frhlich. Comparar los resultados.
Para todos los mtodos utilizados se asume un q=100 kN/m
MTODO DE BOUSSINESQ
Considera que los esfuerzos se producen en un suelo idealizado como un medio homogneo, linealmente elstico e isotrpico, limitado por una sola frontera plana. = q*I2, bajo una esquina de la zapata. = q*(4 I2), bajo el centro de la zapata.
donde m=B/z n=L/z.L el largo (4m) de la zapata.B el ancho (3m) de la zapata.En la tabla 1 se presenta el clculo de bajo una esquina y en la tabla 2 bajo el centro hasta 35 metros de profundidad.
Tabla 1. con Boussinesq bajo una esquina.zm (B/z)n (L/z)Iz
13,0004,0000,24624,554
21,5002,0000,22422,361
31,0001,3330,19018,959
40,7501,0000,15515,474
50,6000,8000,12512,474
60,5000,6670,10110,072
70,4290,5710,0828,201
80,3750,5000,0686,753
90,3330,4440,0565,626
100,3000,4000,0474,742
110,2730,3640,0404,040
120,2500,3330,0353,476
130,2310,3080,0303,018
140,2140,2860,0262,642
150,2000,2670,0232,331
160,1880,2500,0212,070
170,1760,2350,0181,849
180,1670,2220,0171,662
190,1580,2110,0151,501
200,1500,2000,0141,361
210,1430,1900,0121,241
220,1360,1820,0111,135
230,1300,1740,0101,042
240,1250,1670,0100,960
250,1200,1600,0090,887
260,1150,1540,0080,822
270,1110,1480,0080,764
280,1070,1430,0070,712
290,1030,1380,0070,665
300,1000,1330,0060,622
310,0970,1290,0060,584
320,0940,1250,0050,548
330,0910,1210,0050,516
340,0880,1180,0050,487
350,0860,1140,0050,460
Tabla 2. con Boussinesq bajo el centro.zm (B/z)n (L/z)Iz
11,5002,0000,22489,445
20,7501,0000,15561,896
30,5000,6670,10140,287
40,3750,5000,06827,010
50,3000,4000,04718,966
60,2500,3330,03513,904
70,2140,2860,02610,570
80,1880,2500,0218,279
90,1670,2220,0176,646
100,1500,2000,0145,446
110,1360,1820,0114,540
120,1250,1670,0103,840
130,1150,1540,0083,289
140,1070,1430,0072,848
150,1000,1330,0062,489
160,0940,1250,0052,193
170,0880,1180,0051,947
180,0830,1110,0041,740
190,0790,1050,0041,565
200,0750,1000,0041,414
210,0710,0950,0031,284
220,0680,0910,0031,171
230,0650,0870,0031,073
240,0630,0830,0020,986
250,0600,0800,0020,909
260,0580,0770,0020,841
270,0560,0740,0020,780
280,0540,0710,0020,726
290,0520,0690,0020,677
300,0500,0670,0020,633
310,0480,0650,0010,593
320,0470,0630,0010,557
330,0450,0610,0010,524
340,0440,0590,0010,493
350,0430,0570,0010,466
MTODO DE WESTERGAARDEste mtodo es usado cuando se requiere calcular las presiones en un suelo compuesto por estratos de materiales finos y gruesos, capas alternadas de arcillas y arenas o medios isotrpicos.
Se asume que no habr deformaciones horizontales, por lo tanto, el coeficiente de Poisson es 0.
Para calcular el incremento de esfuerzos producido por una zapata rectangular, Westergaard plantea la siguiente expresin:
Donde:q= Carga transmitida.M=B/zN=L/za= (1-2)/(2-2)
Si se requiere calcular la distribucin de esfuerzos producida por una zapata cuadrada en su esquina, se toman las dimensiones de esta completa, es decir B=3m y L=4m. Para el caso donde el punto de inters es el centro de la zapata es necesario hallar el incremento de esfuerzos en uno de sus cuadrantes y posteriormente se multiplica por 4 para hallar los esfuerzos en el punto requerido. (B=1,5m y L=2m)
C
Tabla 3. con Westergaard bajo una esquina.zMNqv
13,0004,00020,397
21,5002,00016,255
31,0001,33312,824
40,7501,00010,124
50,6000,8008,055
60,5000,6676,481
70,4290,5715,281
80,3750,5004,359
90,3330,4443,643
100,3000,4003,080
110,2730,3642,631
120,2500,3332,270
130,2310,3081,975
140,2140,2861,733
150,2000,2671,531
160,1880,2501,361
170,1760,2351,218
180,1670,2221,096
190,1580,2110,990
200,1500,2000,899
210,1430,1900,820
220,1360,1820,751
230,1300,1740,690
240,1250,1670,636
250,1200,1600,588
260,1150,1540,545
270,1110,1480,507
280,1070,1430,472
290,1030,1380,441
300,1000,1330,413
310,0970,1290,387
320,0940,1250,364
330,0910,1210,343
340,0880,1180,323
350,0860,1140,306
Tabla 4. con Westergaard bajo el centro.zMNqv/4qv centro
11,5002,00016,25565,020
20,7501,00010,12440,497
30,5000,6676,48125,924
40,3750,5004,35917,438
50,3000,4003,08012,319
60,2500,3332,2709,079
70,2140,2861,7336,931
80,1880,2501,3615,446
90,1670,2221,0964,382
100,1500,2000,8993,597
110,1360,1820,7513,003
120,1250,1670,6362,543
130,1150,1540,5452,180
140,1070,1430,4721,889
150,1000,1330,4131,652
160,0940,1250,3641,457
170,0880,1180,3231,294
180,0830,1110,2891,157
190,0790,1050,2601,040
200,0750,1000,2350,940
210,0710,0950,2140,854
220,0680,0910,1950,779
230,0650,0870,1780,714
240,0630,0830,1640,656
250,0600,0800,1510,605
260,0580,0770,1400,560
270,0560,0740,1300,520
280,0540,0710,1210,483
290,0520,0690,1130,451
300,0500,0670,1050,421
310,0480,0650,0990,395
320,0470,0630,0930,371
330,0450,0610,0870,349
340,0440,0590,0820,329
350,0430,0570,0780,310
MTODO DE FRHLICH
Frhlich plantea una sola ecuacin para calcular ndices de influencia que dependen de las condiciones estratigrficas y mecnicas de compresibilidad del suelo. A partir de esto, Zeevaert propone ecuaciones para suelo homogneo, elstico e isotrpico, suelo con estratos horizontales indeformables y suelo con compresibilidad variable.
Figura 1. Factores de Frhlich segn el tipo de suelo.Si se quiere hallar el por el mtodo de Frhlich se usa la siguiente expresin:
El trmino se halla como lo indica la siguiente figura de acuerdo al tipo de suelo que se tenga (valor de )
Tabla 5. con Frhlich ( = 4) bajo una esquina.z0'12 (qI4)
11,14701,249024,797
21,01200,983023,620
30,87300,785021,113
40,75300,644018,009
50,65400,540015,000
60,57400,464012,401
70,51000,405010,270
80,45700,35908,562
90,41300,32207,199
100,37700,29106,110
110,34600,26605,234
120,31900,24504,523
130,29700,22703,940
140,27700,21103,459
150,25900,19703,058
160,24400,18502,721
170,23000,17502,435
180,21800,16502,190
190,20700,15701,980
200,19700,14901,799
210,18800,14201,640
220,17900,13601,502
230,17200,13001,380
240,16500,12401,272
250,15800,11901,176
260,15200,11501,090
270,14700,11101,014
280,14200,10700,945
290,13700,10300,882
300,13200,10000,826
310,12800,09600,775
320,12400,09300,728
330,12100,09100,686
340,11700,08800,647
350,11400,08600,611
Tabla 6. con Frhlich ( = 4) bajo el centro.z0'12 (qI4)
11,1071,1070,983-0,98395,375
20,7850,7850,644-0,64473,214
30,5880,5880,464-0,46450,324
40,4640,4640,359-0,35934,627
50,3810,3810,291-0,29124,643
60,3220,3220,245-0,24518,205
70,2780,2780,211-0,21113,905
80,2450,2450,185-0,18510,925
90,2190,2190,165-0,1658,789
100,1970,1970,149-0,1497,213
110,1800,1800,136-0,1366,020
120,1650,1650,124-0,1245,096
130,1530,1530,115-0,1154,368
140,1420,1420,107-0,1073,784
150,1330,1330,100-0,1003,309
160,1240,1240,093-0,0932,917
170,1170,1170,088-0,0882,591
180,1110,1110,083-0,0832,316
190,1050,1050,079-0,0792,082
200,1000,1000,075-0,0751,882
210,0950,0950,071-0,0711,709
220,0910,0910,068-0,0681,559
230,0870,0870,065-0,0651,428
240,0830,0830,062-0,0621,313
250,0800,0800,060-0,0601,211
260,0770,0770,058-0,0581,120
270,0740,0740,055-0,0551,040
280,0710,0710,054-0,0540,967
290,0690,0690,052-0,0520,902
300,0670,0670,050-0,0500,843
310,0640,0640,048-0,0480,790
320,0620,0620,047-0,0470,742
330,0610,0610,045-0,0450,698
340,0590,0590,044-0,0440,658
350,0570,0570,043-0,0430,621
Tabla 7. con Frhlich ( = 3) bajo una esquina.z0'12 (qI3)
11,14701,249024,374
21,01200,983022,231
30,87300,785018,912
40,75300,644015,478
50,65400,540012,496
60,57400,464010,096
70,51000,40508,223
80,45700,35906,770
90,41300,32205,639
100,37700,29104,752
110,34600,26604,048
120,31900,24503,482
130,29700,22703,023
140,27700,21102,646
150,25900,19702,334
160,24400,18502,072
170,23000,17501,851
180,21800,16501,663
190,20700,15701,502
200,19700,14901,363
210,18800,14201,242
220,17900,13601,136
230,17200,13001,043
240,16500,12400,961
250,15800,11900,888
260,15200,11500,823
270,14700,11100,764
280,14200,10700,712
290,13700,10300,665
300,13200,10000,622
310,12800,09600,584
320,12400,09300,549
330,12100,09100,516
340,11700,08800,487
350,11400,08600,460
Tabla 8. con Frhlich ( = 3) bajo el centro.z0'12 (qI3)
11,1071,1070,983-0,98390,466
20,7850,7850,644-0,64463,219
30,5880,5880,464-0,46441,055
40,4640,4640,359-0,35927,404
50,3810,3810,291-0,29119,174
60,3220,3220,245-0,24514,020
70,2780,2780,211-0,21110,638
80,2450,2450,185-0,1858,321
90,2190,2190,165-0,1656,674
100,1970,1970,149-0,1495,465
110,1800,1800,136-0,1364,553
120,1650,1650,124-0,1243,849
130,1530,1530,115-0,1153,296
140,1420,1420,107-0,1072,853
150,1330,1330,100-0,1002,493
160,1240,1240,093-0,0932,197
170,1170,1170,088-0,0881,950
180,1110,1110,083-0,0831,742
190,1050,1050,079-0,0791,566
200,1000,1000,075-0,0751,415
210,0950,0950,071-0,0711,285
220,0910,0910,068-0,0681,172
230,0870,0870,065-0,0651,073
240,0830,0830,062-0,0620,986
250,0800,0800,060-0,0600,910
260,0770,0770,058-0,0580,842
270,0740,0740,055-0,0550,781
280,0710,0710,054-0,0540,726
290,0690,0690,052-0,0520,677
300,0670,0670,050-0,0500,633
310,0640,0640,048-0,0480,593
320,0620,0620,047-0,0470,557
330,0610,0610,045-0,0450,524
340,0590,0590,044-0,0440,494
350,0570,0570,043-0,0430,466
BIBLIOGRAFA
BOWLES, Joseph E., FOUNDATION ANALYSIS AND DESIGN, Cuarta Edicin, Edicin McGraw- Hill Book Company, p 249-255.
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