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Hormigón Armado IN1118C

Capítulo 3 – Flexión Claudio Oyarzo V.

-27- Facultad de Ingeniería – UCSC

Rev: Sem.1/2014

Capítulo 3 – Flexión

1 Preámbulo

En este capítulo se tratará el comportamiento, análisis y diseño de elementos sometidos a flexión, por ejemplo vigas. Se verá en detalle la distribución de esfuerzos internos generados en una sección debido a un momento flector, los tipos de falla que se pueden presentar, la determinación de resistencia de dichos elementos, diseño y recomendaciones.

Las hipótesis fundamentales utilizadas en el análisis son las siguientes:

� Los esfuerzos internos, normales y tangenciales, en cualquier sección del elemento están en equilibrio con los efectos de las cargas externas aplicadas (Momento, corte, carga axial).

� La deformación unitaria experimentada por las barras de acero embebidas en el hormigón es la misma que se registra en el hormigón circundante. Dicho de otra forma, existe una adherencia perfecta entre el hormigón y las barras de refuerzo. No existe deslizamiento.

� Las secciones transversales planas antes de la aplicación de carga, permanece planas bajo la acción de las cargas.

� Debido a que la resistencia a tracción de hormigón es apenas una pequeña fracción de la resistencia a compresión, el concreto de la parte de la sección sometida a tracción por lo general se encontrará fisurado. Aunque para elementos bien diseñados dichas fisuras son apenas visibles, estas no permiten que el hormigón trasmita carga. De acuerdo con esto, en general, se supone que el hormigón no resiste tracción.

2 Vigas Rectangulares Simplemente Armadas

Las vigas de hormigón simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión, pues su resistencia a tracción en flexión es muy baja frente a su capacidad resistente en compresión por flexión. En consecuencia, estas vigas fallan en el lado sometido a tracción a cargas muy bajas, antes de que se desarrolle la resistencia completa del hormigón en la cara a compresión. Por esta razón se colocan barras de acero como refuerzo en el lado sometido a tracción, lo más cerca posible del extremo de la fibra sometida a tracción, sólo cuidando de conservar un recubrimiento del hormigón que lo proteja de la corrosión y el fuego.

2.1 Comportamiento

A modo de ejemplo ilustrativo considere la siguiente viga simplemente apoyada, de sección rectangular, sometida a un par de cargas puntuales, tal como se muestra en la figura. Las cargas sobre dicha viga se incrementan paulatinamente desde cero hasta alcanzar su punto de falla. Bajo estos supuestos, se puede distinguir claramente los siguientes estados:




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� Rango elástico. Sección no fisurada

Para cargas bajas, por debajo del módulo de rotura del hormigón ( )rf , toda la sección

de hormigón actúa resistiendo los esfuerzos de tracción y compresión generados por el momento flector a ambos lados del eje neutro. En esta etapa, las deformaciones son pequeñas y los esfuerzos son proporcionales a ellas (rango elástico). La distribución de deformaciones y esfuerzos se ilustra en la siguiente figura:

En este caso, el análisis de la sección se basa en la teoría elástica, muy similar a lo realizado en el estudio de secciones sometidas a carga axial, presentado en el capítulo 2. Se define una sección transformada, donde el área aportada por las barras de acero es reemplazada por un área equivalente de hormigón, determinada por la razón

modular, ( )cs

EEn = .

P P

(+)

(+)

(-)

M(x)

Q(x)

A

A

h d

b

As

fct

fc

fs

εc

εct

εs




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Entonces, si la sección está sometida a un momento flector M, los esfuerzos máximos generados sobre el hormigón quedan determinados por las ecuaciones:

I

yMfc

·

= I

yhMfct

)·( −=

Los esfuerzos sobre el acero se determinan mediante:

I

ydMnf

s

)·(·

−

=

Donde I corresponde al momento de inercia de la sección transformada respecto al eje neutro, y corresponde a la posición del eje neutro de la sección transformada respecto

a la fibra extrema a compresión (tal como se realiza para encontrar el centroide de una sección plana). En este caso:

( )

( )s

s

Anhb

dAnhhby

)·1(·

·)·1(2

··

−+

−+

=

( )( ) ( )22

2

3

·)·1(··12

·ydAnyhb

hbI

sh −−+−+=

Por lo tanto el momento máximo que es capaz de resistir el una viga de hormigón armado antes de agrietarse corresponde a:

)(

·

yh

IfM r

gr

−

=

� Rango elástico. Sección fisurada

Cuando se aumenta la carga y se supera el módulo de rotura del hormigón en la cara traccionada, se desarrollan grietas se la viga, las que se propagan rápidamente acercándose al eje neutro, el que a su vez también se desplaza debido a la perdida de área efectiva de hormigón que resiste la tensión. Es evidente que el hormigón está imposibilitado de trasmitir carga a través del tramo fisurado.

En vigas bien diseñadas, la amplitud de las grietas son por lo general tan pequeñas que no es posible detectarlas a simple vista y no revisten un perjuicio desde el punto de vista de la protección de las barras contra el fuego y la corrosión.

h d

b

As

h d

b

(n-1)·As

y

Eje Neutro




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Si la carga aplicada es moderada y genera esfuerzos sobre el concreto menores a 0.5·fc’, los materiales permanecerán en el rango elástico, esto es, los esfuerzos serán proporcionales a las deformaciones unitarias.

La situación antes descrita, ocurre por lo general para estructuras bajo condiciones normales de servicio. Para simplificar el análisis se supone que las grietas alcanzan el eje neutro y que se cumplen la hipótesis de que las secciones planas antes de la aplicación carga permanecen planas durante la aplicación de carga.

Para calcular los esfuerzo internos en el material sometido a un momento flector M, es posible aplicar una metodología similar a la aplicada con anterioridad a secciones no fisuradas en que los materiales permanecen dentro del rango elástico utilizando la sección transformada, pero considerando sólo el área transformada de acero actuando en tracción, pues el hormigón al encontrarse agrietado ya no resiste tensiones. La sección transformada corresponderá entonces a la que se muestra en la siguiente figura:

La ubicación de eje neutro queda determinada a través del factor “kd” que representa una fracción de la altura efectiva d.

Dado que la sección se encuentra en equilibrio con las cargas externas se debe comprobar que la resultante de compresión es igual a la resultante de tracción; y además los momentos generados por estas resultantes son iguales al momento externo M aplicado.

h d

b

As

fc

fs

εc

εs

h d

b

As

h d

b

n·As

kd

Eje Neutro

fc

fs

d

kd




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Suponiendo que la distribución de esfuerzos de compresión es triangular tal como se indica en la figura, es posible definir la siguiente ecuación:

TC = � ss

c Afbkdf

··2

·=

Por compatibilidad geométrica:

cs

kd

kddεε ·

−

= ·

c

s

E

En =

cccEf ε·=

ccccssssf

kd

kddn

kd

kddEn

kd

kddEEf ·······

−

=

−

=

−

== εεε

Por lo tanto:

ss

c Afbkdf

··2

·=

sc

c Afkd

kddnb

kdf···

2

· −

=

Reordenando, es posible obtener la siguiente ecuación para kd :

( ) ( ) 0·····2

2

=−+ dAnkdAnkdb

ss

Por otro lado, las ecuaciones de momento corresponde a:

( )3

· kddCM −= � ( )3

··2

· kddbkdf

M c

−=

( )3

· kddTM −= � ( )3

·· kddAfMss−=

A partir de estas ecuaciones es posible determinar los esfuerzos máximos a los que está sometido el hormigón:

( )bkddkd

Mfc

·3

·

·2

−

=




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Mientras que los esfuerzos registrados por el refuerzo de acero son:

( )3

· kddA

Mf

s

s

−

=

Finalmente, la máxima flexión que puede desarrollar esta sección, antes de perder sus

propiedades elásticas correspondería al caso en que '·5.0ccff = , esto es:

( )3

···4

' kddkdbf

M c

el−=

� Rango inelástico. Sección fisurada

Si se continúa aumentando la carga, los esfuerzos dejan de ser proporcionales a las deformaciones, pues el hormigón entra en la zona inelástica de la curva. Por lo tanto, si bien se puede seguir considerando la hipótesis de que las secciones planas antes de la aplicación de carga permanecen planas durante la aplicación de carga, la distribución de esfuerzos a compresión no será lineal, sino que adoptará la forma de la curva esfuerzo deformación del hormigón.

El estudio del comportamiento del hormigón armado en esta fase es sumamente importante, pues es bajo esta situación donde se produce la falla de los elementos. Luego, conociendo el comportamiento del hormigón fisurado dentro del rango inelástico es posible obtener predicciones adecuadas para la capacidad última de la estructura, condición de diseño de nuestras estructuras, proporcionando los márgenes de seguridad correspondientes. Sin embargo, existe el problema en la determinación de la forma que adopta la distribución de esfuerzos en el tramo comprimido, pues no existe una expresión analítica que permita determinarla con exactitud, y las aproximaciones realizadas, son demasiado elaboradas como para aplicarlas en diseño. Lo que si se ha

logrado determinar con relativa precisión, son parámetros geométricos ( )βα y que

permitan determinar la ubicación del eje neutro (c) y la resultante de compresión (C).

h d

b

As

fc

fs

εc

εs




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Aplicando condiciones de equilibrio similares al caso anterior:

TC = � ssc

Afcbf ···· =α

( )cdCM ·· β−= � ( )cdcbfMc

····· βα −=

( )cdTM ·· β−= � ( )cdAfMss

··· β−=

Luego:

···

·

bf

Afc

c

ss

α

=

Entonces:

( )

−=−=

···

·

······

bf

AfdAfcdAfM

c

ss

ssss

αββ

−=

··

·

···

bf

AfdAfM

c

ss

ss

α

β

Experimentalmente se ha logrado determinar que en estados cercanos a la falla del

hormigón por aplastamiento ( )'ccff ≈ , los parámetros α y β adoptan los siguientes

valores:

[ ]

[ ]

[ ]

≥

≤≤

−−

≤

=

2

2

2

/550'56.0

/550'27504.0·75.68

275'72.0

/275'72.0

cmKgfsi

cmKgfsif

cmKgfsi

c

c

c

c

α

fc

d

c

fs

cbfCc

···α=

ssfAT ·=

c·β




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[ ]

[ ]

[ ]

≥

≤≤

−−

≤

=

2

2

2

/550'325.0

/550'275025.0·75.68

275'425.0

/275'425.0

cmKgfsi

cmKgfsif

cmKgfsi

c

c

c

c

β

Luego la ecuación de momento adopta la forma:

−=

··

··59.0··

bf

AfdAfM

c

ss

ss

2.2 Tipos de Falla

Suponga un elemento sometido a flexión pura. Si a este elemento se le lleva hasta su capacidad máxima, los esfuerzos internos aumentarán paulatinamente hasta que alguno de los elementos alcance su resistencia máxima, en ese instante el elemento dejará de resistir carga, las deformaciones aumentarán ostensiblemente y el grado de agrietamiento será notorio, presentándose de esta forma la falla. Esta falla podría producirse por dos razones, la primera

correspondería al caso en que el hormigón alcance su resistencia máxima a compresión ( )'cf ,

la otra alternativa es que el acero de refuerzo alcance la fluencia ( )yf .

� Falla por Compresión:

Cuando a un elemento de hormigón armado se le ha proporcionado cantidades elevadas de acero, es posible que el hormigón alcance su capacidad máxima antes de que el acero logre entrar en fluencia. En tal caso, la profundidad del eje neutro (c) aumenta considerablemente, lo que provoca un aumento de la resultante de compresión, a fin de equiparar la resultante de tracción.

La resistencia a flexión del elemento se alcanza cuando los esfuerzos sobre el hormigón

alcanzan el valor 'ccff = lo que ocurre por lo general para una deformación de la fibra

exterior del hormigón en compresión del orden de 0.003 cm/cm (deformación última

0003=

uε ). Este tipo de falla es frágil y repentina, pues las grietas generadas en la zona

de tracción son imperceptibles debido al bajo esfuerzo sobre el acero. En consecuencia, no existe ninguna advertencia que permita prever la falla.

Cuando ocurre una falla por compresión, por definición ysff < . Por lo que al aplicar las

relaciones de compatibilidad geométrica:

cssss

c

cdEEf εε ···

−

==

Luego, el momento máximo que puede resistir el elemento en flexión (momento último) es:

−=

·'·

··59.0··

bf

AfdAfM

c

ss

ssu




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Donde sf se determina en función de la deformación última del hormigón:

003.0····c

cdE

c

cdEf

suss

−

=

−

= ε

� Falla por Fluencia

Si el área de acero proporcionada a la sección es baja, el refuerzo alcanzará tempranamente su límite de fluencia, antes que el hormigón alcance su resistencia; en

tal caso, la resultante de tracción permanecerá constantes ( )ysfAT ·= . Bajo estas

condiciones, un ligero aumento de carga provocará elongaciones significativas en el acero, aumentando el nivel de agrietamiento y, en consecuencia, disminuyendo la profundidad del eje neutro, pero con un aumento de los esfuerzos sobre el hormigón. Finalmente, la resistencia a flexión del elemento se alcanzará cuando el hormigón presente deformaciones unitarias del orden de 0.003, provocándose el aplastamiento del hormigón. Este tipo de falla es dúctil y va anunciada por una gran cantidad de grietas de espesor significativo en la zona de tracción, lo que aporta un margen de seguridad frente

al colapso. En este caso, se cumple ysff = , por lo tanto el momento máximo que

puede resistir el elemento en flexión (momento último) es:

−=

·b·f

A·f·59.0d·A·fM

c

sy

syu

Ahora bien, podría darse el caso en que la cantidad de acero de refuerzo sea tan reducida que, antes que el hormigón falle por aplastamiento, el acero se corte, pues ha alcanzado su resistencia última. Obviamente este tipo de falla es absolutamente indeseable, pues ocurre en forma súbita, por lo que se debe evitar a toda costa.

� Falla Balanceada

Finalmente, existe una cantidad específica de acero para la cual el hormigón alcanza su deformación última al mismo tiempo que el refuerzo entra en fluencia, este tipo de falla se conoce como “Falla Balanceada”. En tal caso:

003.0=cε y ··

ssysEff ε==

A partir de las ecuaciones de compatibilidad geométrica es posible determinar :

·

b

b

c

s

c

cd −=

ε

ε

·003.0 b

bs

y

c

cdE

f−

=

Luego, la profundidad del eje neutro en una falla balanceada corresponderá a:

( )d

Ef

Ec

sy

sb ·

·003.0

·003.0

+

=




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Considerando que se debe cumplir el equilibrio en la sección:

TC =

sscAfcbf ···· =α

s

c

s

f

cbfA

···α

= � df

cf

bd

A

s

cs

·

··α

=

Si se define la razón bd

As como cuantía de acero ( )ρ , es posible calcular la cuantía de

acero para la cual se presenta una falla balanceada:

df

cf

y

bcb

·

'··αρ =

( )sy

s

y

cb

Ef

E

f

f

·003.0

·003.0'·

+

=α

ρ

En tan caso, la resistencia a flexión del elemento sería:

−=

·'·

··59.0··

bf

AfdAfM

c

sy

syu

−=

·'·

····59.0····

bf

dbfddbfM

c

by

byu

ρρ

−=

'··59.01····

2

c

y

bbyuf

fdbfM ρρ

Sin embargo, este tipo de falla es un caso muy especial y por lo general b

ρρ ≠ , así que

la cuantía balanceada sólo se utiliza como una herramienta para determinar a priori el tipo de falla que presentará un elemento sometido a flexión.

bρρ > Falla por compresión

bρρ < Falla por fluencia




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2.3 Diseño

� Distribución rectangular equivalente de esfuerzos

Como ya se ha explicado, para analizar el comportamiento de un elemento de hormigón armado sometido a cargas de flexión, no es necesario conocer con toda exactitud la forma como se distribuyen los esfuerzos de compresión, sino que basta con definir el valor de la resultante de compresión y su ubicación, lo que se realiza mediante los parámetros empíricos α y β . Se puede pensar, entonces, que es posible reemplazar la

distribución de compresiones real, por una ficticia de geometría mucho más simple que cumpla con la condición de entregar una misma resultante de compresión que aplicada en el mismo punto que la real bajo condiciones de falla. Por ejemplo una distribución rectangular. La distribución rectangular equivalente propuesta es la indicada en la figura

siguiente. La magnitud de los esfuerzos está definida por el valor '·cfγ , aplicada sobre

una profundidad “a” correspondiente a una fracción de la profundidad del eje neutro

( )ca ·1β= .

Para que satisfaga la primera condición impuesta sobre la ubicación resultante de compresión se debe cumplir:

2· ac =β �

2

·· 1

ccβ

β = � ββ 21=

La segunda condición se refiere a la magnitud de la resultante:

eequivalentreal CC = � abfcbfcc

·'···'·· γα = � ac ·· γα =

c

c

a

c

·

··

1β

ααγ == � β

α

β

αγ

21

==

fc’

d

c

fs

cbfCc

·'··α=

ssfAT ·=

c·β

d

c

fs

abfCc

·'··γ=

ssfAT ·=

2ac =·β

'·cfγ

ca1·β=




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Si aplicamos los resultados experimentales obtenidos para α y β , podemos demostrar

que

85.0=γ

[ ]

[ ]

[ ]

≥

≤≤

−−

≤

=

2

2

2

1

/550'65.0

/550'27505.0·75.68

275'85.0

/275'85.0

cmKgfsi

cmKgfsif

cmKgfsi

c

c

c

c

β

Nótese que el valor de 85.0=γ es independiente de la resistencia del hormigón 'cf y

viene a explicar la ecuación establecida para la falla a compresión de un elemento cometido a carga axial. De esta forma, el momento que es capaz de resistir un elemento a flexión queda determinado por el siguiente modelo:

Aplicando equilibrio de fuerzas en la sección:

CT =

abffAcss

·'··85.0· =

bf

fAa

c

ss

'··85.0

·=

Aplicando equilibrio de momentos en la sección:

( )2

· adTM −=

( )2

·· adfAMss−=

−=

bf

fAdfAM

c

ss

ss

'··85.0

·

2

1··

d

c

fs

abf850Cc

·'··.=

ssfAT ·=

2a

'·.cf850

ca1·β=




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Si suponemos que es deseable una falla dúctil y paulatina del elemente se debería imponer condiciones que garanticen una fluencia temprana del acero, de tal manera que la resistencia nominal de la sección corresponderá a:

−=

bf

fAdfAM

c

ys

ysn

'··85.0

·

2

1··

Finalmente, para un diseño adecuado se debería asegurar que:

nuMM ·φ≤

−≤

bf

fAdfAM

c

ys

ysu

'··85.0

·

2

1···φ

Con un factor de reducción de resistencia φ definido por el código ACI 318 (secciones

10.3.3 y 9.3.2).

� Cuantía máxima

Con anterioridad se ha mencionado que una falla por compresión en un elemento sometido a flexión, es repentina y no da ninguna señal de alerta, en cambio si el elemento falla por fluencia del acero, lo hará de forma gradual, mostrando grandes grietas y deflexiones, lo que permitirá tomar las mediadas necesarias que eviten el colapso. A esto se suma, la existencia de una reserva de resistencia debida al endurecimiento por deformación del acero que sigue a la meseta de fluencia, lo que no se ha tenido en cuenta al momento de calcular Mn.

Estas razones justifican que en caso de existir una falla en un elemento a flexión esta sea de preferencia por fluencia del acero, y no por aplastamiento de la cabeza de compresión del hormigón. Este tipo de falla se logra imponiendo que la cuantía de acero sea menor que la cuantía balanceada. Hasta hace muy poco tiempo, el código exigía que la cuantía de acero en vigas no superara una cuantía máxima definida por un 75% de la cuantía balanceada, a fin de garantizar la falla por fluencia del acero, esto es:

bρρ ·75.0

max=

Donde:

( )sy

s

y

cb

Ef

E

f

f

·003.0

·003.0'·

+

=α

ρ

Actualmente el código permite superar este límite, pero ante la eventualidad de una falla

por compresión impone factores de minoración de resistencia (φ) más exigente. El valor de este factor se determina considerando si el acero alcanza la fluencia antes de que el hormigón falle por compresión (falla controlada por tracción, 9.0=φ ) o si el hormigón

falla prematuramente por compresión antes de que el acero alcance la fluencia (falla controlada por compresión, 65.0=φ ). Esto queda especificado en las secciones 10.3.3,

10.3.4 y 9.3.2 del código ACI 318, cuyo extracto se muestra más abajo.




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En el caso de secciones no controladas ni por tracción ni compresión (ytεε ≤≤005.0 , cuando

003.0=uε ), el factor φ se debe interpolar linealmente, tomando como extremos los dos casos

anteriores.

( )( )

7.0005.0

2.0+

−

−⋅

=

y

yt

ε

εεφ elementos con zunchos

( )( )

65.0005.0

25.0+

−

−⋅

=

y

yt

ε

εεφ elementos con estribos

Para efectos de diseño, el código propone que para elementos en flexión la deformación neta

de tracción debe ser mayor a 0.004 ( 004.0≥tε ). Esta limitación tiene por objetivo restringir en

forma indirecta la cuantía máxima de acero de refuerzo (b

ρρ ·75.0< ).




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� Cuantía mínima

Por otro lado, se hace necesario imponer un límite inferior a la cuantía de refuerzo sometido a tracción, pues una baja cuantía de refuerzo podría provocar modos de falla indeseables.

Por ejemplo, supongamos que a una viga se le proporciona una cantidad de refuerzo tal, que su momento resistente (Mn) es menor que el momento de agrietamiento calculado según las ecuaciones establecidas para una sección no fisurada. Si se llega a superar el momento de agrietamiento, una vez que se forme la primera grieta, el acero no será capaz de resistir la carga y se cortará, provocando una falla repentina.

De esta manera se ha llegado a establecer que la cuantía de refuerzo debe ser tal que a lo menos cubra esta demanda de resistencia y evite la falla frágil.

crnMM ≥

)(

·

'··85.0

·

2

1··

yh

If

bf

fAdfA r

c

ys

ys

−≥

−

2

12·

'··85.0

·

2

1··

3

h

bhf

bf

fAdfA

r

c

ys

ys≥

−

Suponiendo que en condiciones normales, por lo general,

dh ·1.1= y dbf

fAd

c

ys·95.0

'··85.0

·

2

1=

−

Entonces:

6

·

'··85.0

·

2

1··

2bhf

bf

fAdfA r

c

ys

ys≥

−

( )6

·1.1··95.0··

2

dbfdfA r

ys≥

dbf

fA

y

r

s···21.0≥

y

rs

f

f

db

A·21.0

·≥

Aplicando valores típicos de rf es posible establecer la cuantía mínima de refuerzo

exigida:

yy

c

ff

f 4.1'25.0

min≥⋅=ρ En unidades de MPa




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� Espaciamiento

Siempre es necesario mantener una distancia mínima entre barras de refuerzo, a fin de garantizar el correcto llenado de los moldajes con el hormigón fresco y evitar la generación de nidos. El código ACI 318 (sección 7.6) exige un espaciamiento entre barras de a lo menos una vez el diámetro de la barra, pero nunca menor que 25 mm.

mmdeb

25≥≥

� Recubrimiento:

Para dar al acero una adecuada protección contra el fuego y la corrosión el código ACI-318 recomienda en su sección 7.7 un recubrimiento mínimo (rmin) de hormigón para las barras. Sin embargo estos recubrimientos han sido refrendados por la norma chilena, siendo esta la que rige el diseño en Chile. Este recubrimiento se mide desde el borde exterior de la barra más externa, que por lo general corresponde a los estribos o zunchos.

d

b

d

b

e

r

r




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3 Vigas Rectangulares Doblemente Armadas Pueden existir situaciones en las cuales se hace necesario proporcionar armadura en ambas caras de la viga. Este es el caso, por ejemplo, de las vigas que por razones arquitectónicas son de poca altura, donde la resistencia a flexión obtenida utilizando la cuantía máxima de acero es insuficiente. Es posible entonces elevar el momento resistente colocando acero a compresión que cubra el déficit de altura (sección transformada).

Otra justificación para el uso de acero en la cara de compresión corresponde al aumento de ductilidad que se proporciona al elemento estructural. Si hay acero a compresión, la profundidad del eje neutro disminuye, pues la fuerza interna de compresión se distribuye entre el acero y el hormigón, en consecuencia la falla de la cabeza de compresión se retrasa y por ende la curvatura última aumenta.

También se utiliza acero a compresión para disminuir las deflexiones en las vigas bajo cargas de servicio. El acero a compresión reduce las deflexiones a largo plazo y reduce las curvaturas debido a la retracción del hormigón.

Finalmente, la principal razón por la cual resulta recomendable utilizar vigas doblemente reforzadas corresponde a la posibilidad de que las cargas a las que está sometido el elemento estructural se inviertan, cambiando el signo del momento flector, convirtiendo la cara comprimida en traccionada y viceversa.

Ahora bien, en la evaluación de resistencia a la flexión de una sección, siempre es más conservador ignorar la presencia de acero a compresión, sin embargo, en ocasiones es necesario afinar el cálculo, por lo que se ha decido incluir esta sección.

Para los análisis de estado último que se presentarán a continuación se considerará la siguiente nomenclatura:

3.1 Acero a tracción y compresión en fluencia ( )yssfff == '

Si la cuantía de acero en tracción es menor o igual a la cuantía balanceada es posible calcular la resistencia de una viga doblemente reforzada omitiendo la armadura en compresión, pues la resistencia será controlada por la fluencia del acero en tensión y en general el brazo del momento resistente se verá muy poco afectado por el refuerzo en compresión.

As

As’ d’

d

b

εc

εs’

εs

As’·fs’

As·fs

0.85·fc’

a




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En cambio si la cuantía de acero es mayor que la balanceada, es necesario realizar un análisis más profundo. Considere la sección previamente mostrada, pero ahora desglosada:

El momento resistente total corresponderá a la superposición de (1) y (2)

21 nnnMMM +=

( )'·'·1

ddfAMysn−=

( )

−−=2

··'2

adfAAM

yssn

Esto es: ( ) ( )

−−+−=2

··''·'·a

dfAAddfAMyssysn

Dónde: ( )

bf

fAAa

c

yss

'··85.0

·'−

=

Se puede demostrar que la cuantía balaceada de una sección doblemente armada es:

'ρρρ +=bb

Dónde b

ρ corresponde a la cuantía balanceada de la sección simplemente armada y bd

As'

'=ρ .

Finalmente, es aconsejable para garantizar una falla dúctil que la cuantía total MAX

ρ de la

sección no supere el siguiente límite superior:

'75.0 ρρρ +=bMAX

(As-As’)·fy

0.85·fc’

a As’·fy

As·fy

0.85·fc’

a As’·fy

As’·fy

d-d’ = +

(1) (2)




Rev: Sem.1/2014

3.2 Acero a tracción en fluencia, acero en compresión por debajo de la fluencia ( )

ysysffff <= ';

Este caso se puede presentar en vigas anchas de poca altura, vigas con recubrimiento de hormigón sobre el acero a compresión mayor que lo habitual o vigas con cantidades relativamente pequeñas de refuerzo a tensión. Se hace necesario entonces desarrollar un análisis más general, válido para el caso en que la armadura de compresión no fluya y determinar la cuantía de acero a tensión mínima para la cual el acero a compresión comienza a fluir.

Imponiendo que ysεε =' , por compatibilidad geométrica (semejanza de triángulos) se puede

encontrar la profundidad del eje neutro:

yc

c

d

c

εε

ε

−

=

'

'dc

yc

c⋅

−

=

εε

ε

Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas:

ysyscfAfAbaf ·'··'··85.0 =+

ysyscfAfAbcf ·'···'··85.0

1=+β

Despejando As se tiene:

'···'·85.0

1 s

y

c

sAbc

f

fA += β

Reemplazando c:

''···'·85.0

1 s

yc

c

y

c

sAbd

f

fA +⋅

−

=

εε

εβ

Al expresar la ecuación anterior en términos de cuantía (para vigas rectangulares):

'·''

··85.01

ρεε

εβρ +

−

⋅=

yc

c

y

c

cy

d

d

f

f

Donde cy

ρ es la cuantía mínima de acero a tensión para que el acero a compresión comience a

fluir y en la condición última (falla) 003.0=cε y Ef

yy=ε .

Por otro lado, si la cuantía de acero a tensión es menor que el mínimo anteriormente definido

cyρ , el acero a compresión no logrará alcanzar la tensión de fluencia, pues la profundidad del




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eje neutro será muy baja. En tal caso es necesario determinar la cuantía balanceada de acero a

tracción de manera de garantizar una falla dúctil, esto es, que ysεε = cuando

ucεε =

Del diagrama de deformaciones:

''dc

sc

c

⋅

−

=

εε

ε

y '

''

sy

ysdd

cεε

εε

+

⋅+⋅

=

Igualando ambas expresiones se tiene

'

'''

'sy

ys

sc

cdd

dεε

εε

εε

ε

+

⋅+⋅

=⋅

−

'

''

''sy

s

sy

y

sc

cd

dεε

ε

εε

ε

εε

ε

+

⋅=⋅

+−

−

( ) ( )

( )dd

s

sc

scysyc ⋅=⋅

−

−−+''

'

''ε

εε

εεεεεε

( )dd

s

sc

sycyscyc ⋅=⋅

−

+−+''

'

''ε

εε

εεεεεεεε

( )d

dyccs

'' ⋅+−= εεεε

( )yuus

d

dεεεε +⋅−=

''

Por otro lado: '·'sss

Ef ε=

Luego: ( )yyuussf

d

dEf ≤

+⋅−= εεε

'·'

Aplicando la condición de equilibrio de fuerzas:

yssscfAfAbcf ·''···'··85.0

1=+β

Reemplazando el valor de c y despejando la cuantía de acero a tensión se obtiene:

y

sbb

f

f ''⋅+= ρρρ

donde b

ρ es la cuantía de acero a tensión para la cual el acero a tensión comienza a fluir.

El cumplimiento de estas condiciones (b

ρρ < y cy

ρρ < ), indican que, si bien, el acero a

tensión está fluyendo, el acero a compresión aún no alcanza su límite de fluencia.




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Finalmente, si:

c

dcEf

sus

'··'−

= ε

Es posible obtener la profundidad del eje neutro (c) de la ecuación cuadrática que se obtiene al aplicar la condición de equilibrio de fuerzas:

yssuscfA

c

dcEAbcf ·

'··'···'··85.0

1=

−+ εβ

De esta forma la resistencia de la viga queda determinada por:

( )''·'·2

··'··85.0 ddfAa

dbafMsscn

−+

−=

Donde ca1·β=

3.3 Acero a tracción por debajo de la fluencia, acero en compresión en fluencia ( )

ysysffff =< ';

En forma análoga se puede demostrar que sib

ρρ > y cy

ρρ > , el acero a tensión no fluye pero

el acero a compresión si fluye. Sin embargo, esta situación conduce a una falla frágil, pues el acero a tracción no alcanza su fluencia y la falla se provoca por un aplastamiento prematuro del hormigón, colapso que es brusco, repentino y obviamente indeseable.

4 Vigas T

En la mayoría de los edificios estructurados en hormigón armado, el hormigonado de las vigas se hace en conjunto con las losas. De esta forma, una parte de la losa va actuar en conjunto con la parte superior de la viga para resistir la compresión longitudinal, conformando una sección tipo T en vez de una rectangular.

Según el código ACI-318 en su art. 8.10, se establece que el ancho efectivo de la losa usada como ala de las vigas T (b) no debe exceder ¼ de la luz de la viga. Además el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:

a) 8 veces el espesor de la losa (hf)

b) la mitad de la distancia libre al siguiente alma.

Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:

a) 1/12 de la luz de la viga

b) 6 veces el espesor de la losa (hf).

c) La mitad de la distancia libre al siguiente alma.

Para vigas T aisladas, en las cuales el ala se utiliza únicamente con el propósito de proporcionar un área adicional de compresión, el espesor del ala (hf) no debe ser menor que la




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mitad del ancho del alma (bw) y el ancho total del ala (b) no debe exceder 4 veces el del alma (bw).

Si se estudia del comportamiento de las vigas T, es posible darse cuenta que según la ubicación del eje neutro deben hacerse dos análisis.

En el primer caso, el eje neutro puede ubicarse en el ala. Si suponemos que la falla esta controlada por la fluencia del acero, entonces el comportamiento de la viga podría modelarse tal como una viga rectangular de ancho igual al ancho colaborante de las alas, esto es:

−=

bf

fAdfAM

c

ys

ysn

'··85.0

·

2

1··

Caso 1: EJE NEUTRO EN EL ALA (c < hf)

El segundo caso corresponde a aquel en que el eje neutro se encuentra por debajo del ala, esto es, c > hf., en tal caso corresponde ver dos situaciones. Si la altura del bloque de compresión (a) resulta ser menor que el espesor del ala, el análisis es similar al realizado anteriormente, es decir, si:

f

c

ss hbf

fAa <=

'··85.0

·

bw

c hf

b

Eje neutro

d

b b

bw bw

hf




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Entonces:

−=

bf

fAdfAM

c

ys

ysn

'··85.0

·

2

1··

En caso contrario se debe proceder de la siguiente manera. Si consideramos que existe una falla dominada por la fluencia, conviene dividir adecuadamente la cabeza de compresión de la viga en una sección correspondiente a las alas (1) y otra al alma (2), tal como se indica en la figura:

Caso 2: EJE NEUTRO EN EL ALMA (c > hf)

De igual manera, el área de acero a tensión se divide en dos parte:

( )sfssfs AAAA −+=

donde sfA representa el área de acero, que al estar sometida a un esfuerzo fy , equilibra a la

fuerza de compresión longitudinal de la porción sobresaliente de las alas (1), y ( )sfs AA −

representa el área de acero, que al estar sometida a un esfuerzo fy , equilibra a la fuerza de compresión longitudinal de la porción del alma (2). Por condiciones de equilibrio de fuerzas sabemos que:

para las alas )·('··85.0· wfcysf bbhffA −=

para el alma ( )wcysfs baffAA ·'··85.0· =−

De la ecuación para las alas es posible despejar el valor de sf

A :

)·(·'

·85.0 wf

y

c

sf bbhf

fA −= .

Y el momento resistente aportado por esta porción es:

−⋅⋅=

21

f

ysfn

hdfAM

c hf

b

bw

Eje neutro d

a (1) (1) (2)




Rev: Sem.1/2014

Por otro lado de la ecuación del alma es posible despeja el valor de la altura de la cabeza de compresión a:

( )

wc

ysfs

bf

fAAa

'··85.0

·−

=

Por lo tanto el momento resistente aportado por esta porción es:

( )

−⋅⋅−=2

2

adfAAM ysfsn

Por lo tanto el momento resistente nominal total queda:

( )

−⋅⋅−+

−=+=

22··

21

adfAA

hdfAMMM ysfs

f

ysfnnn

Finalmente, conviene mencionar que, si bien, la gran superficie de hormigón en compresión proporcionada por las alas logra desarrollar la fluencia, no está demás precisar una forma de determinar el límite superior de armadura a fin de garantizar la fluencia.

Del diagrama de deformaciones unitarias se obtiene:

yu

u

d

c

εε

ε

+

=

Según la condición de equilibrio de fuerzas horizontales:

( ) yswfcwc fAbbhfbaf ··'··85.0·'··85.0 =−+

Reoroenando:

( )wf

y

cw

y

cs bbh

f

fba

f

fA −+= ··

'·85.0··

'·85.0

Expresado en forma de cuantía:

( )

db

bbh

f

f

db

ba

f

f

w

wf

y

c

w

w

y

cwb

·

··'

·85.0·

··'

·85.0−

+=ρ

( )

db

bbh

f

f

d

a

f

f

w

wf

y

c

y

cwb

·

··'

·85.0·'

·85.0−

+=ρ

fbwb ρρρ +=

Donde:

wbρ : cuantía balanceada de acero para vigas T

bρ : cuantía balanceada de acero para vigas rectangulares

( )

dbf

hbbf

wy

fwc

f⋅⋅

⋅−

=

'··85.0ρ




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Se puede demostrar que es adecuado establecer como límite superior:

( )fbMaxw ρρρ += ·75.0

Respecto a la cuantía mínima se aplican las mismas restricción que a las vigas rectangulares.

5 Referencias y Recomendaciones del Código ACI 318-02.

5.1 Límites de deformaciones

Tal como se mencionó en capítulos previos, un buen diseño de vigas debe respetar los requisitos de seguridad y serviciabilidad. Con respecto a la serviciabilidad, el código ACI art.9.5 propone alturas o espesores mínimos (h) para vigas que no soporten o estén ligadas a elementos susceptibles de ser dañados por las deformaciones.

Aquellas deformaciones que ocurran inmediatamente por la aplicación de la carga, deberán calcularse mediante métodos tradicionales para las deformaciones elásticas, considerando el efecto del agrietamiento y de las armaduras en la rigidez, esto es, considerando el momento de inercia efectivo (

eΙ ), el cual puede calcularse según:

cr

a

cr

g

a

cr

eI

M

MI

M

MI ·1·

33

−+

=

Dónde:

t

gr

cry

IfM

·

= : momento de fisuración

aM : momento máximo del elemento

gI : momento de inercia de sección bruta

crI : momento de inercia de sección fisurada

ty : profundidad del centroide de sección bruta

rf : módulo e rotura del hormigón




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Las deformaciones a largo plazo, resultantes de la fluencia lenta y retracción del hormigón se calculan multiplicando la deformación inmediata por el factor:

'ρ

ξλ

501 +=

Dónde 'ρ es la cuantía a compresión en la mitad de la luz o en el apoyo de un voladizo y

≥

=

meses301

meses621

meses1241

años502

.

.

.

.

ξ

Todas estas deformaciones no deben exceder lo valores establecidos en la siguiente tabla:

6 Lecturas Recomendadas

� Diseño de estructuras de concreto A. Nilson Cap. 3 � Estructuras de concreto reforzado R.Park & T. Paulay Cap. 3 y 4 � Código ACI 318S-08 Cap. 10.1-10.7