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  • Hormign Pretensado

    Diego Arroyo

    Mayo 2012

  • ii

  • ndice general

    Introduccin IX

    I HORMIGON PRETENSADO 1

    1. Conceptos Bsicos 31.1. Materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1. Hormign De Alta Resitencia . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Acero De Alta Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2. Ventajas y Desventajas del Hormign Pretensado . . . . . . . . . 41.2.1. Ventajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Desventajas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3. Procedimiento De Diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Tensiones admisibles bajo estados de servicio . . . . . . . . . . . 6

    1.4.1. En el momento del tesado (to) . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.2. Bajo cargas de servicio y t1 . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.5. Perdidas en Hormign Pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    2. Condiciones Fundamentales y Necesarias 112.1. Esfuerzo en el hormigon: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Condiciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Condiciones necesarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Representacin Graca De Las Condiciones Fundamentales . . . 152.5. Zona de paso del cable para un valor de P conocido . . . . . . . . 16

    2.6. Coordenadas de los puntos A, B, C y D . . . . . . . . . . . . . . 172.7. Campo De Variacion De P Para Un Valor De e Conocido . . . . 202.8. Ejemplo para diseo de viga con cable recto (Excel) . . . . . . . 212.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.10.Ejemplo para diseo de viga con cable parabolico (Excel): 24

    iii

  • iv NDICE GENERAL

    3. Vigas Compuestas 293.1. Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.1.1. Condiciones Fundamentales Previas, Ecuaciones Generales. 323.2. Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.2.1. Condiciones Fundamentales (Etapa II) . . . . . . . . . . . 343.3. Zona de paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4. Ejemplo para diseo de vigas compuestas (Excel): . . . . . . . . 39

    3.4.1. Seccion I - Geometra Etapa I . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2. Seccion I - Geometra Etapa II . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4.3. Paralelogramo - Etapa I y Etapa II . . . . . . . . . . . . . 423.4.4. Condiciones Necesarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3.4.5. Cable Parablico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4. Vigas Continuas 454.1. Pretensado en Estructuras Hiperestticas . . . . . . . . . . . . . 454.2. Disenio de cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    4.2.1. Tramos extremos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2. Tramos Interiores: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.3. Momento Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4. Condicion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5. Condiciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    4.6. Viga de 2 tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.1. Tramo Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.6.2. Tramo Interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    4.7. Ejemplo para diseo de vigas continuas (Excel): . . . . . . . . . . 574.7.1. Caracteristicas fsicas de la viga: . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.7.2. Calculo de Mc1 y Mc2 a cada dcimo de la luz . . . . . . 594.7.3. Clculo de Pmn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7.4. Determinacin de la constante superior e inferior Csmn y

    Cimax: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.7.5. Rango donde puede estar el Msp: . . . . . . . . . . . . . . 614.7.6. Clculo de Mc1 y Mc2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.7.7. Clculo de e1:s, e2:s, e1:i, e2:i, determinacin de emax y

    emn zona de paso y clculo del cable parablico . . . . . . 64

  • NDICE GENERAL v

    5. Momento Ultimo 67

    5.1. Deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.1.1. Deformaciones del hormign . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.1.2. Deformaciones en el cable medio . . . . . . . . . . . . . . 685.1.3. Deformacin inicial en pretensado . . . . . . . . . . . . . 695.1.4. Deformacin incial en acero normal . . . . . . . . . . . . . 695.1.5. Deformacin en cualquiero bra . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.6. Calculo de c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    5.1.7. Determinacin del eje neutro (c) . . . . . . . . . . . . . . 715.2. Momento de decompresion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Momento de suracion del hormigon . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4. Momento Ultimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.5. Momento de ruptura (Mrup) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.5.1. Esfuerzo de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.6. En ausencia de cargas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    5.7. Ejemplo de clculo de momento ltimo en una viga de hormign

    pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    Eplogo 79

  • vi NDICE GENERAL

  • Prefacio

    El hormign pretensado es un material relativamente nuevo y no ha sidotan explorado a nivel nacional, pocos ingenieros dominan el tema a plenitud.Tampoco se ven muchas construcciones hechas en este material.Ya que es un material muy efectivo y que est siendo utilizado en el mundo

    entero en construcciones importantes se necesita tener un documento conablepara ingenieros que quieran empezar a disear y construir en hormign preten-sado.En este documento se presenta un ordenamiento de fundamentos, ecuaciones,

    ejemplos y grcos con la nalidad de editar un libro de Hormign Pretensadodenitivo.El mtodo de diseo que se presenta en este trabajo fue realizado por el

    Ingeniero Msc. Fernando Romo.

    vii

  • viii PREFACE

  • Introduccin

    El pretensado se reere cargar intencionalmente esfuerzos de compresionen una estructura de manera permanente y previos a su puesta en servicio,con el objetivo de mejorar las prestaciones de la estructura. Los principios ymetodologas del pretensado se han aplicado a varios tipos de materiales estruc-turales, sin embargo, la aplicacin ms comn ha sido en el diseo del hormignarmado gracias a sus caracteristicas fundamentales en compresin y tensin.Esta tcnica se emplea para superar la debilidad natural del hormign frente aesfuerzos de traccin, y fue patentada por Eugne Freyssinet en 1920.El concepto del hormigon pretensado consisti en aplicar a vigas suciente

    precompresin axial para que se eliminaran todos los esfuerzos de tensin queactuarn en el hormign. Con la prctica y el avance en conocimiento, se ha vistoque esta idea es innecesariamente restrictiva, pues pueden permitirse esfuerzosde tensin en el concreto y un cierto ancho de grietas.El ACI propone la siguiente denicin:

    oncreto presforzado: Concreto en el cual han sido introducidos es-fuerzos internos de tal magnitud y distribucin que los esfuerzosresultantes debido a cargas externas son contrarrestados a un gradodeseado."

    En elementos de concreto reforzado el presfuerzo es introducido comnmentetensando el acero de refuerzo.Dos conceptos o caractersticas diferentes pueden ser aplicados para explicar

    y analizar el comportamiento bsico del concreto presforzado. Es importante queel diseador entienda los dos conceptos para que pueda proporcionar y disearestructuras de concreto presforzado con inteligencia y ecacia.Primer concepto - Presforzar para mejorar el comportamiento elstico del

    concreto. Este concepto trata al concreto como un material elstico y probable-mente es todava el criterio de diseo ms comn entre ingenieros.El concreto es comprimido (generalmente por medio de acero con tensin

    elevada) de tal forma que sea capaz de resistir los esfuerzos de tensin.Desde este punto de vista el concreto est sujeto a dos sistemas de fuerzas:

    presfuerzo interno y carga externa, con los esfuerzos de tensin debido a la cargaexterna contrarrestados por los esfuerzos de compresin debido al presfuerzo.Similarmente, el agrietamiento del concreto debido a la carga es contrarrestado

    ix

  • x INTRODUCCIN

    por la precompresin producida por los tendones. Mientras que no haya grietas,los esfuerzos, deformaciones y deexiones del concreto debido a los dos sistemasde fuerzas pueden ser considerados por separado y superpuestos si es necesario.

  • Parte I

    HORMIGONPRETENSADO

    1

  • Captulo 1

    Conceptos Bsicos

    1.1. Materiales

    1.1.1. Hormign De Alta Resitencia

    La calidad del concreto no debe ser menor de fc= 280 Kg./cm2 , en elhormign la mayor resistencia a la compresin contribuye a menores perdidaspor deformacin del mismo.Las deformaciones que sufre un concreto que es precomprimido son las sigu-

    ientes:

    Deformacin instantnea o elstica.

    La debida a la retraccin del concreto

    La que se produce a travs del tiempo por estar sometida la estructura auna compresin permanente.

    El uso de concreto de alta resistencia permite la reduccin de las dimensionesde la seccin de los miembros a un mnimo, logrndose ahorros signicativos encarga muerta siendo posible que grandes luces resulten tcnica y econmica-mente posibles.Se debe mencionar que en el concreto presforzadose requiere de altas re-

    sistencias debido principalmente a que:

    Primero, para minimizar el costo. Los anclajes comerciales para el acero depretensado son siempre diseados con base de concreto de alta resistencia.De aqu que el concreto de menor resistencia requiere anclajes especialeso puede fallar mediante la aplicacin del pretensado. Tales fallas puedentomar lugar en los apoyos o en la adherencia entre el acero y el concreto,o en la tensin cerca de los anclajes.

    3

  • 4 CAPTULO 1. CONCEPTOS BSICOS

    Segundo, el concreto de alta resistencia a la compresin ofrece una mayorresistencia a tensin y cortante, as como a la adherencia y al empuje, yes deseable para las estructuras de hormign pretensado ordinario.

    Tercero, el concreto de alta resistencia est menos expuesto a las grietaspor contraccin que aparecen frecuentemente en el concreto de baja re-sistencia antes de la aplicacin del presfuerzo.

    1.1.2. Acero De Alta Resistencia

    En lo que se reere al acero que se emplea en el hormign pretensado, ex-isten diferentes tipos de tendones, alambres redondos estirados en fro, cablestrenzados y varillas de acero de aleacin. La alta resistencia del acero se debe alas fuertes fuerzas de pretensado.A continuacin se presenta una tablar de las propiedades de cables mas

    usados en elementos pretensados (H. Nilson 1990) :

    1.2. Ventajas y Desventajas del Hormign Pre-tensado

    1.2.1. Ventajas

    Se tiene una mejora del comportamiento bajo la carga de servicio por elcontrol del agrietamiento y la deexin.

  • 1.3. PROCEDIMIENTO DE DISEO 5

    Permite la utilizacin de materiales de alta resistencia.

    Elementos ms ecientes y esbeltos, menos material.

    Mayor control de calidad en elementos pretensados (produccin en serie).Siempre se tendr un control de calidad mayor en una planta ya que setrabaja con ms orden y los trabajadores estn ms controlados.

    Mayor rapidez en elementos pretensados. El fabricar muchos elementoscon las mismas dimensiones permite tener mayor rapidez.

    1.2.2. Desventajas

    Se requiere transporte y montaje para elementos pretensados. Esto puedeser desfavorable segn la distancia a la que se encuentre la obra de laplanta.

    Mayor inversin inicial.

    Diseo ms complejo y especializado (juntas, conexiones, etc).

    Planeacin cuidadosa del proceso constructivo, sobre todo en etapas demontaje.

    Detalles en conexiones, uniones y apoyos.

    1.3. Procedimiento De Diseo

    Como sabemos existen dos procedimientos de diseo, el uno es el mtodode la resistencia el cual usa factores independientes para cada carga y factorespara la resistencia nominal del elemento. Se debe disear de acuerdo al EstadoLmite ltimo, pero chequear con el Estado Lmite de Servicio. Dentro de susbenecios se cuenta que considera la variabilidad en las cargas y en la resistenciade los materiales. Este es bastante usado en diseo de hormign armado y acero.El otro procedimiento es el mtodo de los Esfuerzos de Trabajo. Usa esfuerzos

    admisibles, por lo general con un factor de seguridad entre 1.8 y 2.2. El esfuerzoltimo del concreto se multiplica por un factor que puede ser menor o igual0.45 para obtener el esfuerzo admisible de diseo, mientras que el esfuerzo deuencia en el acero se multiplica por un factor recomendado menor o igual a0.55 para obtener el esfuerzo admisible del acero. Bajo tales circunstancia, elfactor de seguridad para el concreto es mayor o igual a 2.2 y el del acero mayoro igual a 1.8. En este mtodo las cargas de diseo no se mayoran y presentala inhabilidad para considerar variaciones por tipo e intensidad de carga, ascomo variaciones en la resistencia de los materiales. ste ltimo mtodo es elque emplearemos para disear elementos de hormign pretensado.

  • 6 CAPTULO 1. CONCEPTOS BSICOS

    1.4. Tensiones admisibles bajo estados de servi-cio

    En esta tabla del Reglamento CIRSOC 201-2005 Reglamento Argentino deEstructuras de Hormign"basado en El Cdigo ACI 318-2002 se establece lassiguientes clases de elementos pretensados en funcin de la mxima tensin detraccin que se desarrolle en la zona traccionada por las cargas exteriores yprecomprimida por el pretensado:

    Para facilitar la identicacin de las secciones crticas se utiliza como ejemploun caso particular consistente en una viga pretensada, postesada con un cableparablico con excentricidad no nula en los apoyos.

    En los prrafos siguientes se resumen las tensiones admisibles. En ellos todaslas tensiones admisibles se expresan como mdulos (sin signos). Cabe acotarque esas tensiones podran superarse mediante una justicada demostracinexperimental.

  • 1.4. TENSIONES ADMISIBLES BAJO ESTADOS DE SERVICIO 7

    1.4.1. En el momento del tesado (to)

    A este momento se lo denomina etapa de introduccin o transferencia delpretensado.

    a) Tensin normal de compresin 0;6f 0cib) Tensin de traccin (en general) 14

    pf 0ci

    c) Tensin de traccin en extremos simplemente apoyados 14pf 0ci

    Donde fci es la resistencia del hormign en el momento del tesado.

    En elementos postesados los clculos deben tener en consideracin la prdidade seccin originada por la presencia de las vainas sin inyectar (utilizar la seccinneta de hormign en lugar de la seccin bruta).

    1.4.2. Bajo cargas de servicio y t1A este momento se lo denomina etapa de servicio.Las cargas de servicio varan desde un valor mnimo denominado carga de

    larga duraciny un valor mximo denominado carga total.Se establece que para elementos pretensados Clase U y T solicitados a exin:a) Tensin normal de compresin debida al pretensado ms cargas de larga

    duracin 0;45f 0cib) Tensin normal de compresin debida al pretensado ms la carga total

    0;6f 0ci

  • 8 CAPTULO 1. CONCEPTOS BSICOS

    Las tensiones se calculan en base a secciones no suradas y luego de que sehan producido la totalidad de las prdidas de pretensado.Las tensiones de traccin mximas son las vistas en la denicin de hormigones

    Clase U y T.

    1.5. Perdidas en Hormign Pretensado

    A partir de la fuerza de tensado original en un elemento de concreto pres-forzado se presentarn prdidas que deben considerarse para calcular la fuerzade presfuerzo de diseo efectiva que deber existir cuando se aplique la carga.De cualquier modo, la fuerza efectiva no puede medirse fcilmente; slo se

    puede determinar convencionalmente la fuerza total en los tendones en el mo-mento de presforzarlos (presfuerzo inicial). El presfuerzo efectivo es menor queel presfuerzo inicial y a la diferencia entre estos dos valores se le llama prdidade la fuerza de presforzado.Las prdidas en la fuerza de presfuerzo se pueden agrupar en dos categoras:

    aquellas que ocurren inmediatamente durante la construccin del elemento, lla-madas prdidas instantneas y aquellas que ocurren a travs de un extensoperiodo de tiempo, llamadas prdidas diferidas o dependientes del tiempo. Lafuerza de presfuerzo o fuerza de tensado del gato Pt, puede reducirse inmedi-atamente a una fuerza inicial Pi debido a las prdidas por deslizamiento delanclaje, friccin, relajacin instantnea del acero, y el acortamiento elstico delconcreto comprimido. A medida que transcurre el tiempo, la fuerza se reduce

  • 1.5. PERDIDAS EN HORMIGN PRETENSADO 9

    gradualmente, primero rpidamente y luego lentamente, debido a los cambios delongitud provenientes de la contraccin y el ujo plstico del concreto y debidoa la relajacin diferida del acero altamente esforzado. Despus de un periodo demuchos meses, o an aos, los cambios posteriores en los esfuerzos llegan a serinsignicantes, y se alcanza una fuerza pretensora constante denida como lafuerza pretensora efectiva o nal Pf.

    Tipos de perdida de pretensado:

    p = PPinip = 1 p p: Perdidas de pretensado !

    PinipPini

    = p

    Siendo P ini la fuerza de pretensado al inicio de la transferencia de la cargay P despues de la transferencia.

  • 10 CAPTULO 1. CONCEPTOS BSICOS

  • Captulo 2

    Condiciones Fundamentalesy Necesarias

    2.1. Esfuerzo en el hormigon:

    Consideremos una viga rectangular con carga externa y pretensada por unafuerza de pretensado P en el eje neutro.

    Debido a la carga P, un esfuerzo se producir a travs de la seccin de areaA:

    11

  • 12 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    f = PASi M es el momento externo en una seccin debido a la carga y al peso propio

    de la viga, entonces el esfuerzo en cualquier punto a travs de la seccin debidoa M es:

    f = MhI

    dnde h es la distancia desde el eje baricntrico e I es el momento de inerciade la seccin.

    As la distribucin resultante de esfuerzos est dada por:

    f = PA MhI

    La viga es ms eciente cuando la fuerza P es aplicada a una distanciadeterminada del centroida de la viga, produciendo una excentricidad e:

  • 2.2. CONDICIONES FUNDAMENTALES 13

    Debido a un presfuerzo excntrico, el hormign es sujeto tanto a un momentocomo a una carga directa. El momento producido por el presfuerzo es Pe, y losesfuerzos debido a este momento son:

    f = PehI

    As, la distribucin de esfuerzo resultante est dada por:

    fc = jP jA + jP jehI + MhI

    por consiguiente:

    fc =MhI jP j ( 1A + ehI )

    2.2. Condiciones Fundamentales

    A continuacin se muestran los grcos de los esfuerzos en la viga, con losmomentos que se forman con respecto al eje baricentrico, donde hs es la dis-tancia desde el eje baricentrico a la bra superior y hi la distancia desde el ejebaricentrico a la bra inferior.

  • 14 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    En estas inecuaciones tenemos las desigualdades de los esfuerzos en las brassuperiores e inferiores con los esfuerzos de compresion y tension admisibles.

    Ec.1

    8>>>:(1:s) fcs jfCADj(2:s) fcs jfTADj(1:i) fci jfTADj(2:i) fci jfCADj

    9>>=>>;

  • 2.3. CONDICIONES NECESARIAS 15

    Siendo fCAD el esfuerzo de compresin admisible y fTAD el esfuerzo detensin admisible del hormigon.Remplazamos en las ecuaciones el esfuerzo en el hormigon fc por MhI

    jP j ( 1A + ehI ) en las bras inferiores y por MhI jP j ( 1A ehI ) en las brassuperiores. Siendo los terminos negativos esfuerzos en compresin y los termi-nos positivos los esfuerzos en tensin. Asi tenemos las 4 inecuaciones de lascondiciones fundamentales:

    (1.s) Mc1jhsjI jP jA + jP jejhsjI jfCADj(2.s) Mc2jhsjI jP jA + jP jejhsjI jfTADj(1.i) Mc1jhijI jP jA + jP jejhijI jfTADj(2.i) Mc2jhijI jP jA + jP jejhijI jfCADj

    Donde Mc1 es igual al peso propio de la viga Mg ms la envolvente demomentos mximos algebraicos M1.

    Mc2 es igual al peso propio de la viga Mg ms la envolvente de momentosmnimos algebraicos M2. Y siendo, como vimos anteriormente, P la fuerza depretensado, e la excentricidad, hs la distancia del eje barictrico a la bra su-perior y hi la distancia del eje baricentrico a la bra inferior, A el rea de laseccin transversal, e I la inercia de la seccin transversal.

    2.3. Condiciones necesarias

    Separando las ecuaciones de las bras superior e inferior obtenemos las condi-ciones necesarias:

    (Mc1 Mc2)hsI jfTADj+ jfCADj Fibras Superiores(Mc1 Mc2)hiI jfTADj+ jfCADj Fibras Inferiores

    2.4. Representacin Graca De Las CondicionesFundamentales

    Con las condiciones fundamentales, podemos representar gracamente las4 inecuaciones (1.s, 2.s, 1.i, 2.i) formando un paralelogramo. Gracias a esteparalelogramo podemos determinar la fuerza de pretensado y su excentricidad.

    Paralelo

    ((1:s) jP jA + jP jejhsjI jfCADj+ Mc1jhsjI(2:s) jP jA + jP jejhsjI jfTADj+ Mc2jhsjI

    )

  • 16 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    Paralelo

    ((1:i) jP jA + jP jejhijI jfTADj Mc1jhijI(2:i) jP jA + jP jejhijI jfCADj Mc2jhijI

    )

    2.5. Zona de paso del cable para un valor de P

    conocido

    Cuando tenemos una fuerza de pretensado conocida podemos determinar lazona de paso del cable de acero de alta resistencia, esto lo hacemos despejando laexcentricidad e de cada ecuacin de las condiciones fundamentales y obtenemos:

    e1:s =I

    Ajhsj +Mc1jP j jfCADjIjhsjjP j

    e2:s =I

    Ajhsj +Mc2jP j jfTADjIjhsjjP j

    e1:i = IAjhij + Mc1jP j jfTADjIjhijjP je2:i = IAjhij + Mc2jP j jfCADjIjhijjP j

    La zona de paso estara determinada por las excentricidades mxima y mn-ima siendo:

  • 2.6. COORDENADAS DE LOS PUNTOS A, B, C Y D 17

    emax el menor entre e2:s y e2:iemn el mayor entre ei:s y e1:iGrcamente determinamos de esta manera la zona de paso del cable.

    2.6. Coordenadas de los puntos A, B, C y D

    Paralelogramo de las Condiciones Fundamen-tales:

  • 18 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    Para gracar el paralelogramo de las condiciones fundamentales debemosdeterminar las coordenadas de los puntos de interseccin A, B, C y D. Para estoigualamos las ecuaciones 1.i con 1.s (punto A), i.s con 2.i (punto B), 1.i con 2.s(punto C) y 2.s con 2.i (punto D).Igualando las ecuaciones despejamos jP j y jP j e que seran las coordenadas

    de los puntos del paralegramo jP j en las abscisas y jP j e en las ordenadas:

    Determinamos las coordenadas del punto A:

    Primero determinamos la coordenada jP j e :

  • 2.6. COORDENADAS DE LOS PUNTOS A, B, C Y D 19

    Tenemos las ecuaciones 1.i y 1.s:(1:s) jP jA + jP jejhsjI jfCADj+ Mc1jhsjI

    (1:i) jP jA + jP jejhijI jfTADj Mc1jhijISumamos (1:s) y (1:i), obtenemos:

    jP jeI (jhsj+ jhij) = jfCADj jfTADj+ Mc1I (jhsj+ jhij)despejamos jP j e,

    jP j e = jfCADjIjfTADjI+Mc1(jhsj+jhij)(jhsj+jhij)

    de donde

    jP j e =Mc1 hjfCADj+jfTADj

    jhsj+jhijiI

    Ahora determinamos la coordenada jP j :

    Tenemos las ecuaciones 1.i y 1.s, realizamos la operacin (1:s) + (1:i)

    =) 2 jP jA jP jejhsjI + jP jejhijI = jfCADj jfTADj Mc1jhsj+Mc1jhijI

    2 jP jA +jP jeI ( jhsj+ jhij) = jfCADj jfTADj+ Mc1I ( jhsj+ jhij)

    2 jP jA +Mc1I ( jhsj+ jhij)

    hjfCADj+jfTADj

    jhsj+jhiji( jhsj+ jhij) = jfCADjjfTADj+

    Mc1I ( jhsj+ jhij)

    2 jP jA =hjfCADj+jfTADj

    jhsj+jhiji( jhsj+ jhij) + jfCADj jfTADj

    2 jP jA =2jfCADjjhij2jfTADjjhsj

    jhsj+jhij

    de donde

    jP j = AhjfCADjjhijjfTADjjhsj

    jhsj+jhiji

    Asi tenemos las coordenadas del punto A:

    A:jP j e =Mc1

    hjfCADj+jfTADj

    jhsj+jhijiI

    jP j = AhjfCADjjhijjfTADjjhsj

    jhsj+jhiji

  • 20 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    De la misma manera hacemos para los puntos B, C y D y obtenemos lascoordenadas de los 4 puntos de interseccin que forman el paralelogramo de lascondiciones fundamentales.

    B:jP j e = Mc1jhsj+Mc2jhijjhsj+jhijjP j = A

    hjfCADj+ (Mc2Mc1)jhijjhsjjhsj+jhij 1I

    i

    C:jP j e = Mc2jhsj+Mc1jhijjhsj+jhijjP j = A

    h jfTADj+ (Mc1Mc2)jhijjhsjjhsj+jhij 1I

    iD:

    jP j e =Mc2 +hjfTADj+jfCADj

    jhsj+jhijiI

    jP j = AhjfCADjjhsjjfTADjjhij

    jhsj+jhiji

    2.7. Campo De Variacion De P Para Un ValorDe e Conocido

    Este mtodo es empleado para diseo de puentes en volados sucesivos.Igual que para la zona de paso del cable, tambien tenemos un campo de

    variacin de P cuando tenemos una excentricidad conocida, este campo devariacin lo obtenemos de la siguiente manera.

    Despejamos la fuerza P de las inecuaciones de las condiciones fundamentalesy obtenemos:8>:

    (1:s) P1:s jfCADjMc1jhsj

    I1A jhsjeI

    (2:s) P2:s jfTADjMc2jhsj

    I1A jhsjeI

    9>=>;siendo Ds = 1A jhsjeI8>:(1:i) P1:i jfTADj+

    Mc1jhijI

    1A+

    jhijeI

    (2:i) P1:s jfCADj+Mc2jhij

    I1A+

    jhijeI

    9>=>;siendo Di = 1A + jhijeI jhijeISe determinan valores de Pmin y Pmax que satisface las condiciones funda-

    mentales para un valor de e conocido.

  • 2.8. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGA CON CABLE RECTO (EXCEL)21

    Si:Ds > 0Di > 0

    Pmax es el menor de P1.s y P2.i y Pmin es el mayor de P2.s

    y P1.i.

    Si:Ds > 0Di < 0

    Pmax es el menor de P1.s y P1.i y Pmin es el mayor de P2.s

    y P2.i.

    Si:Ds < 0Di > 0

    Pmax es el menor de P2.s y P2.i y Pmin es el mayor de P1.s

    y P1.i.

    Si:Ds < 0Di < 0

    Pmax es el menor de P2.s y P1.i y Pmin es el mayor de P1.s

    y P2.i.

    2.8. Ejemplo para diseo de viga con cable recto(Excel)

    Viga Seccion I:

    Sea una viga de 25 metros de luz y de seccin I como se muestra en lasiguiente gura, determinar el paso del cable recto y el valor de la fuerza depretensado P y la excentricidad e. La carga viva es 0.8 T/m y la carga muerta1.1 T/m. El esfuerzo admisible a compresin es 1200t=m2 y el esfuerzo admisiblea tensin 0 t=m2.

  • 22 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    b1 h1 b2 h2 b3 b4 b5 h3 h4 h5 b6 h6 h7 b70 0 2 0.1 0 0 0.13 0 0 0.75 0 0 0.35 0.45

    Cargas ValoresCV 0.8CM 1.1L 25Fcad 1200Ftad 0

    Primero calculamos el rea total de la seccion, la inercia en el eje x, ladistancia del eje baricntrico a las bras superior e inferior:

    Viga Tipo I ResultadosArea Total 0.455hi 0.7214hs 0.4786Ixx 0.0901Iyy 0.0694

    Luego calculamos los momentos Mc1 y Mc1 a partir de Mg, M1 y M2 :x= 0 L/4 L/2Mg 0 64.453 85.938M1 0 46.875 62.500M2 0 0 0Mc1 0 111.328 148.438Mc2 0 64.453 85.938

    Con Mc1, Mc2 y las propiedades de la viga determinamos las coordenadasde los puntos A, B, C y D:

    Puntos x=0 x=L/4 x+L/2AP 328.25 328.25 328.25Ape -90.11 21.22 58.33BP 546 477.9 455.2BPe 0.00 83.147 110.86CP 0.00 68.1 90.8CPe 0.00 92.634 123.51DP 217.8 217.75 217.85DPe 90.11 154.56 176.05

    Paralelogramo - Condiciones Fundamentales:

    Chequeamos las condiciones del Cable Horizontal:

  • 2.8. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGA CON CABLE RECTO (EXCEL)23

    1188;433 1200788;3667 1200

    Condiciones Necesarias:

    331;90 1200500;40 1200

    A partir del paralelogramo de las condiciones fundamentales en el extremo,a un cuarto y a un medio de la viga determinado gracamente los valores de Py emax(el punto de interseccin de los paralelogramo en el extremo y a un mediode la viga) :

    P = 215;65

    emax = 0;4138

  • 24 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    Al bajar la altura de la viga de 1.2 metros a 0.75 metros vemos que lascondiciones de cable horizontal no se cumplen:

    1 2653.951

  • 2.10. EJEMPLOPARADISEODEVIGACONCABLE PARABOLICO (EXCEL):25

    Primero calculamos el rea total de la seccion, la inercia en el eje x, ladistancia del eje baricntrico a las bras superior e inferior:

    Viga Tipo I ResultadosArea Total 0.455hi 0.7214hs 0.4786Ixx 0.0901Iyy 0.0694

    Luego calculamos los momentos Mc1 y Mc1 a partir de Mg, M1 y M2:

    x= 0.00 L/10 2L/10 3L/10 4L/10 L/2Mg 0.00 30.93 55.00 72.18 82.50 85.93M1 0.00 22.50 40.00 52.50 60.00 62.50M2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00Mc1 0.00 53.43 95.00 124.68 142.5 148.43Mc2 0.00 30.93 55.00 72.18 82.50 85.93

    Con Mc1, Mc2 y las propiedades de la viga determinamos las coordenadasde los puntos A, B, C y D en cada dcimo de la viga:

    Puntos 0.00 L/10 2L/10 3L/10 4L/10 L/2AP 328.25 328.25 328.25 328.25 328.25 328.25Ape -90.108 -36.67 4.89 34.58 52.392 58.330BP 546.0 513.312 487.888 469.728 458.832 455.20BPe 0.00 39.911 70.952 93.125 106.429 110.863CP 0.00 32.688 58.112 76.272 87.168 90.800CPe 0.00 44.464 79.048 103.750 118.571 123.512DP 217.75 217.75 217.75 217.75 217.75 217.75DPe 90.108 121.045 145.108 162.295 172.608 176.045

    Paralelogramo - Condiciones Fundamentales:

  • 26 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

    Vemos que la coordenada P del punto C en un medio de la viga es 90.8=)P mn = 90;80 =) emax = 1;36Sin embargo elm = 0;671 recalculamos P =) P = 156;92; emax = 0;671,

    a partir de P calculamos e1:s, e2:s, e1:i, e2:i y determinamos la zona de pasodel cable. Y luego calculamos el cable parabbolico, el cual es una parabola conemax = 0;671:

    e 0.00 L/10 2L/10 3L/10 4L/10 L/2x 0.00 2.50 5.00 7.50 10.0 12.5x 25 22.5 20.0 17.5 15.0 12.5e1:s -1.026 -0.685 -0.421 -0.231 -0.118 -0.080e2:s 0.414 0.611 0.764 0.874 0.940 0.961e1:i -0.275 0.066 0.331 0.520 0.634 0.671e2:i 0.681 0.878 1.031 1.141 1.206 1.228emn 0.275 -0.066 -0.331 -0.520 -0.634 -0.671emax -0.414 -0.611 -0.764 -0.874 -0.940 -0.961eparabolico 0.00 -0.242 -0.430 -0.564 -0.645 -0.671

  • 2.10. EJEMPLOPARADISEODEVIGACONCABLE PARABOLICO (EXCEL):27

    De las condiciones necesarias vemos que esta viga est sobredimensionada:

    212.4441

  • 28 CAPTULO 2. CONDICIONES FUNDAMENTALES Y NECESARIAS

  • Captulo 3

    Vigas Compuestas

    En la primera etapa tenemos la viga donde la carga viva ser el de la losafresca, y la carga muerta el peso propio de la viga. Se la analiza de la mismamanera que la viga que se vio en el capitulo anterior, con la diferencia quetenemos estas anotaciones:Etapa I: AI ; II ; hIi ; h

    Is; f

    ICAD; f

    ITAD

    M IC1 =MgI +M I1

    M IC2 =MgI + 0

    29

  • 30 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    8

  • 31

    Esfuerzos en las etapas I y II:

  • 32 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    3.1. Etapa I

    3.1.1. Condiciones Fundamentales Previas, Ecuaciones Gen-erales.

    Igual que para las vigas vistas en el capitulo anterior tenemos las ecuacionespara los momentos totales.

    M IC1 =MIg +M

    I1

    M IC2 =MIg

    fITAD: en etapa de pretensadofICAD: en etapa de pretensado

    Condiciones Fundamentales: Etapa I

    Las condiciones fundamentales son las mismas solo que tenemos notacionesdiferentes.

  • 3.1. ETAPA I 33

    8>>>>>>>>>:(1:s)I Mc

    I1jhsI jI jP j ( 1AI eI

    jhsI jII) f ICAD

    (2:s)I McI2jhsjI jP jp ( 1AI eIjhsI jII) fITAD

    (1:i)IMcI1jhiI j

    I jP j ( 1AI eIjhiI jII) f ITAD

    (2:i)IMcI2jhiI j

    II jP jp ( 1AI eI

    jhiI jII) fICAD

    9>>>>>=>>>>>;Escribiendo en funcion de P y Pe constantes:

    8>>>>>>>>>:(1:s)I Mc

    I1jhsI jI jP j ( 1AI eI

    jhsI jII) f ICAD

    (2:s)I (p)McI2jhsjI jP j ( 1AI eIjhsI jII) fITAD

    (1:i)IMcI1jhiI j

    I jP j ( 1AI eIjhiI jII) f ITAD

    (2:i)I (p)McI2jhiI j

    II jP j ( 1

    AI eI jhi

    I jII) fICAD

    9>>>>>=>>>>>;Paralelo de interseccion condiciones fundamentales: Etapa I

    En las ecuaciones de las coordenadas de los puntos que forman el paralelo-gramo incluimos tambin las perdidas de pretensado p:

    Punto AI : (1:s)I y (1:i)I

    8>>>:jP j eI =McI1

    jfICADj+jfITADjjhsI j+jhiI j

    II

    jP j = AI jfICADjjhiI jjfITADjjhsI j

    jhsI j+jhiI j

    9>>=>>;Ecuaciones iguales a las anteriores

    (p = 1)

    Punto BI : (1:s)I y (2:i)I

    8>:jP j eI = Mc

    I1jhsI j+pMcI2jhiI j+(pjfICADjjfICADj)II

    jhsI j+jhiI j

    jP j = AIjf

    ICADj+pjfICADj

    2 (McI1pMcI2)jhsI jjhiI j

    jhsI j+jhiI j 1II 9>=>;

    Punto CI : (1:i)I y (2:s)I8>:jP j eI = Mc

    I1jhiI j+pMcI2jhsI j+(pjfITADjjfITADj)II

    jhsI j+jhiI j

    jP j = AIjf

    ITADj+pjfITADj

    2 (McI1pMcI2)jhsI jjhiI j

    jhsI j+jhiI j 1II 9>=>;

  • 34 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    Punto DI : (2:s)I y (2:i)I8>>>:jP j eI = p

    McI2

    jfITADj+jfICADjjhsI j+jhiI j

    II

    jP j = AIp jfICADjjhsI jjfITADjjhiI j

    jhsI j+jhiI j

    9>>=>>;Ecuaciones iguales a las anteri-

    ores pero multipicladas por p

    3.2. Etapa II

    3.2.1. Condiciones Fundamentales (Etapa II)

    Por denicin M IIC1 = MIIg +M

    II1 , como tenemos M

    IIg = M

    IC1 ya que el

    peso propio de la viga en la etapa 2 incluye la losa fresca.Entonces M IIC1 =M

    IC1 +M

    II1 :

  • 3.2. ETAPA II 35

    De la misma manera demostramos que M IIC2 =MIC2 +M

    II2 :

    De donde obtenemos las inecuaciones de las condiciones fundamentales parala etapa 2:

    (1:s)II McI1jhsI jI jP j ( 1AI eI

    jhsI jII) M

    II1 jhsII jIII

    f ICAD(2:s)II McI2jhsjI jP jp ( 1AI eI

    jhsI jII) M

    II2 jhsII jIII

    f ITAD(1:i)II

    McI1jhiI jI jP j ( 1AI eI

    jhiI jII) +

    MII1 jhiII jIII

    f ITAD(2:i)II

    McI2jhiI jII

    jP jp ( 1AI eIjhiI jII) +

    MII2 jhiII jIII

    f ICADSiendo hsII la distancia desde el eje baricentrico de la viga ms la losa a la

    bra superior.

    Paralelogramo de Interseccion Etapa II:

    A partir de las inecuaciones de las condiciones fundamentales de la etapa 2determinamos las coordenadas de los puntos del paralelogramo de la etapa 2:

    Punto AII : (1:s)II y (1:i)II8>>>:jP j eI =McI1

    jfIICADj+jfIITADjjhsI j+jhiI j

    II +M II1

    jhsII j+jhiII jjhsI j+jhiI j

    II

    III

    jP j = AI jfIICADjjhiI jjfIITADjjhsI j

    jhsI j+jhiI j

    +

    MII1 AI

    III

    jhiII jjhsI jjhsII jjhiI jjhsI j+jhiI j

    9>>=>>;

    Punto BII : (1:s)II y (2:i)II

    8>>>:jP j eI =McI1 +

    MII1 jhsII jMII2 jhiII j

    jhsI j+jhiI j

    II

    III

    jP j = AI f IICAD MII1 jhsII jMII2 jhsI jjhsI j+jhiI j jhiI jAIIII9>>=>>;

    Punto CII : (1:i)II y (2:s)II8>>>:jP j eI =McI1 +

    MII1 jhiII j+MII2 jhsII j

    jhsI j+jhiI j

    II

    III

    jP j = f IITADAI + MII1III jhiII jjhsI jAIjhsI j+jhiI j MII2III jhsII jjhiI jAIjhsI j+jhiI j 9>>=>>;

    Punto DII : (2:s)II y (2:i)II8>>>:jP j eI =

    jfIICADj+jfIITADjjhsI j+jhiI j

    +McI1 +M

    II2

    jhsII j+jhiII jjhsI j+jhiI j

    II

    III

    jP j = AI jfIICADjjhsI jjfIITADjjhiI j

    jhsI j+jhiI j

    M

    II2 jhsII jAI

    III

    9>>=>>;

  • 36 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    Condiciones Necesarias con P inic =Pp p < 1 = 0;80 y con f

    ITAD >

    f ICAD(2:s)I (1:s)I! (Mc

    I1pMcI2)jhsI j

    II f ICAD+ pfITAD

    (1:i)I (2:i)I! (McI1pMcI2)jhiI j

    II pf ICAD+ f ITAD

    (2:s)II (1:s)II! (MII1 MII2 )jhsII j

    III pf IITAD+ f IICAD

    (1:i)II (2:i)II! (MII1 MII2 )jhiII j

    III f IITAD+ f IICAD

    (2:s)I (1:s)II! (McI1pMcI2)jhsI j

    II+

    McI jhsII jIII

    pfITAD+ f IICAD(1:i)II (2:i)I! (Mc

    I1pMcI2)jhiI j

    II+

    McI jhiII jIII

    f IITAD+ pfICAD

    3.3. Zona de paso

    Como en el capitiulo anterior, despejamos la excentricidad e y suponemosuna fuerza de pretensado constante, as tenemos la zona de paso del cable con:

    emax el menor valor de:

    eI2:s =II

    AI jhsI j + pMcI2jP j + p

    jfITADjIIjP jjhsI j

    eII2:s =II

    AI jhsI j +McI1jP j +

    jfIITADjIIjP jjhsI j +

    MII2 jhsII jIIIII jP jjhsI j

    eI2:i = II

    AI jhiI j +McI2jP j + p

    jfICADjIIjP jjhiI j

    eII2:i = II

    AI jhiI j +McI1jP j +

    jfIICADjIIjP jjhiI j +

    MII2 jhiII jIIIII jP jjhiI j

    emn es el mayor valor de:

    eI1:s =II

    AI jhsI j +McI1jP j

    jfICADjIIjP jjhsI j

  • 3.3. ZONA DE PASO 37

    eII1:s =II

    AI jhsI j +McI1jP j

    jfIICADjIIjP jjhsI j +

    MII1 jhsII jIIIII jP jjhsI j

    eI1:i = II

    AI jhiI j +McI1jP j

    jfITADjIIjP jjhiI j

    eII1:i = II

    AI jhiI j +McI1jP j

    jfIITADjIIjP jjhiI j +

    MII1 jhiII jIIIII jP jjhiI j

    VIGAS COMPUESTAS - ZONA DE PASO p=1

  • 38 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    emax es el menor valor de eI2:s; eII2:s; e

    I2:i; e

    II2:i:

    emn es el mayor valor de eI1:s; eII1:s; e

    I1:i; e

    II1:i:

    De las Condiciones Fundamentales para las Etapas I y II de vigas compues-tas, en el limite despejamos los valores de e:

    emax es el menor valor de:

    (2:s)I : McI2jhsI jII

    jP jAI+ jP j jhs

    I jII

    eI2:s =f ITAD =) eI2:s = IIAI jhsI j +

    McI2jP j +

    jfITADjIIjP jjhsI j

    (2:s)II : McI1jhsI jII

    jP jAI+ jP j jhs

    I jII

    eII2:s MII2 jhsII j

    III=f IITAD =) eII2:s =

    II

    AI jhsI j +McII1jP j +

    jfIITADjIIjP jjhsI j +

    MII2 jhsII jIII

    (2:i)I :McI2jhiI j

    II jP j

    AI jP j jhs

    I jII

    eI2:i MII2 jhsII j

    III= f ICAD =) eI2:i =

    IIAI jhiI j +

    McI2jP j +

    jfICADjIIjP jjhiI j

  • 3.4. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS COMPUESTAS (EXCEL): 39

    (2:i)II :McI1jhiI j

    II jP j

    AI jP j jhi

    I jII

    eII2:i +MII2 jhiII j

    III= f IICAD =) eII2:i =

    IIAI jhiI j +

    McI1jP j +

    jfIICADjIIjP jjhiI j +

    MII2 jhiII jIIIII jP jjhiI j

    emn es el mayor valor de:

    (1:s)I : McI1jhsI jII

    jP jAI+ jP j jhs

    I jII

    eI1:s = f ICAD =) eI1:s = IIAI jhsI j +

    McI1jP j

    jfICADjIIjP jjhsI j

    (1:s)II : McI1jhsI jII

    jP jAI+ jP j jhs

    I jII

    eII1:sMII1 jhsII j

    III= f IICAD =) eII1:s =

    II

    AI jhsI j +McI1jP j

    jfIICADjIIjP jjhsI j +

    MII1 jhsII jIIIII jP jjhsI j

    (1:i)I :McI1jhiI j

    II jP j

    AIjP j jhi

    I jII

    eI1:i =f ITAD =) eI1:i = IIAI jhiI j + McI1jP j

    jfITADjIIjP jjhiI j

    (1:i)II :McI1jhiI j

    II jP j

    AI jP j jhi

    I jII

    eII1:i +MII1 jhiII j

    III=f IITAD =) eII1:i =

    IIAI jhiI j +

    McI1jP j

    jfIITADjIIjP jjhiI j +

    MII1 jhsII jIIIII jP jjhiI j

    3.4. Ejemplo para diseo de vigas compuestas(Excel):

    Disear una viga compuesta de 20 metros de luz con las dimensiones dadasms adeltante. Carga viva: 0.864t/m, carga muerta: 1.296t/m.

    fCAD = 2000t=m2; fTAD = 150t=m

    2; fCAD = 2000t=m2; fTAD = 2000t=m

    2:Se considerarn perdidas p = 0;8:

    3.4.1. Seccion I - Geometra Etapa I

    Valores Etapa ICV 0.864CM 1.296L 20Fcad 2000Ftad 150Fcad 2000Ftad 180p 0.8

  • 40 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    b1 h1 b2 h2 b3 b4 b5 h3 h4 h5 b6 h6 h7 b70 0 1.2 0.2 0.2 0 0.2 0.2 0 0.65 0.1 0.1 0.2 0.6

    Calculamos el rea total de la seccion, la inercia en el eje x, la distancia deleje baricntrico a las bras superior e inferior:

    Viga Tipo I ResultadosArea Total 0.540hi 0.633hs 0.417Ixx 0.0681Iyy 0.0339Luego calculamos los momentos Mc1 y Mc1 a partir de Mg, M1 y M2:x= 0.00 2.50 5.00 7.50 10.0Mg 0.00 28.35 48.60 60.75 64.80M1 0.00 18.90 32.40 40.50 43.20M2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00Mc1 0.00 47.25 81.00 101.25 108.0Mc2 0.00 28.35 48.60 60.75 64.80

  • 3.4. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS COMPUESTAS (EXCEL): 41

    3.4.2. Seccion I - Geometra Etapa II

    b1 h1 b2 h2 b3 b4 b5 h3 h4 h5 b6 h6 h7 b71.8 0.2 1.2 0.2 0.2 0 0.2 0.2 0 0.65 0.1 0.1 0.2 0.6

    Valores Etapa IICV 3CM 2.16L 20FcadII 1800FtadII 0.00

    Calculamos la nueva area total de la seccion que incluye la losa fresca, lainercia en el eje x, la distancia del eje baricntrico a las bras superior e inferior:

    Viga Tipo I ResultadosArea Total 0.90hiII 0.8399hsII 0.4101IxxII 0.1270IyyII 0.1311hsII 0.2101Luego calculamos los nuevos momentos Mc1 y Mc1 a partir de Mg, M1 y

    M2:

  • 42 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    x= 0.00 2.50 5.00 7.50 10.0Mg 0.00 43.20 75.60 97.20 108.00M1 0.00 65.63 112.50 140.63 150.00M2 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00Mc1 0.00 112.88 193.50 241.88 258.00Mc2 0.00 47.25 81.00 101.25 108.00

    3.4.3. Paralelogramo - Etapa I y Etapa II

    Coordenadas de los puntos del paralelogramo de la Etapa I.

    Puntos 0.00 2.50 5.00 7.50 10.0AP 619.12 619.12 619.12 619.12 619.12Ape -139.44 -92.19 -58.44 -38.19 -31.44BP 972.00 923.03 888.05 867.06 860.06BPe -25.94 6.49 29.66 43.56 48.19CP -79.38 -30.41 4.57 25.56 32.56CPe -0.39 37.11 63.89 79.96 85.32DP 296.09 296.09 296.09 296.09 296.09DPe 113.11 135.79 151.99 161.71 164.95

    Coordenadas de los puntos del paralelogramo de la Etapa II.

    Puntos 0.00 2.50 5.00 7.50 10.0AP 586.14 643.83 685.04 709.76 718.00Ape -116.74 -34.30 24.59 59.92 71.70BP 972.00 936.65 911.39 896.24 891.19BPe 0.00 54.29 93.07 116.34 124.09CP 0.00 93.04 159.50 199.38 212.67CPe 0.00 75.40 129.26 161.57 172.34DP 385.86 385.86 385.86 385.86 385.86DPe 116.74 163.99 197.74 217.99 224.74

  • 3.4. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS COMPUESTAS (EXCEL): 43

    P = 277.66e max = 0.57

    3.4.4. Condiciones Necesarias

    Condiciones Neserarias1. 343.75 21442. 522.18 17503. 248.16 18004. 992.08 18005. 591.91 19446. 1514.27 1600

  • 44 CAPTULO 3. VIGAS COMPUESTAS

    3.4.5. Cable Parablico

    Calculamos eI2:s, eII2:s, e

    I2:i, e

    II2:i, e

    I1:s, e

    II1:s, e

    I1:i, e

    II1:i y determinamos la zona de

    paso, nalmente calculamos el cable parablico.e 0.00 L/8 2L/8 3L/8 4L/8x 0 2.5 5 7.5 10x 20 17.5 15 12.5 10eI2:s 0.378 0.469 0.527 0.562 0.574eII2:s 0.303 0.473 0.594 0.667 0.692eI2:i 0.421 0.502 0.561 0.596 0.607eII2:i 0.498 0.668 0.790 0.863 0.887eI1:s -0.874 -0.704 -0.583 -0.510 -0.485eII1:s -0.757 -0.522 -0.355 -0.255 -0.222eI1:i -0.257 -0.087 0.034 0.107 -0.132eII1:i -0.199 0.139 -0.381 -0.526 -0.574emax -0.303 -0.469 -0.527 -0.562 -0.574emn 0.199 -0.139 -0.381 -0.526 -0.574eparabolico 0.000 -0.251 -0.431 -0.538 -0.574

    Zona de paso del cable:

  • Captulo 4

    Vigas Continuas

    4.1. Pretensado en Estructuras Hiperestticas

    El pretensado produce deformacin en sentido longitudinal (V) y de exin(Vo). En las estructuras isostticas estas deformaciones siempre son compatiblescon los vnculos, por lo tanto, el pretensado no produce reacciones. En cambio,en las estructuras hiperestticas las deformaciones pueden no ser compatiblescon los vnculos, en cuyo caso se originan reacciones que producen momentossecundarios en la estructura. Como el pretensado es un sstema equilibrado quese introduce en la estructura, la suma de las reacciones de vnculo debe dar unaresultante nula.

    R = 0 ! sist. equilibradoCuando por la forma del cable no se producen reacciones de vnculo, se

    lo denomina cable concordante. En general, el cable concordante solo tieneinters terico, pues no trae ventajas y en la mayora de los casos no se logra elaprovechamiento ptimo de los materiales.Los esfuerzos isostticos dependen de la fuerza de pretensado y de la excen-

    tricidad del pretensado respecto del centro de gravedad de la seccin, y puedenanalizarse a nivel de seccin, por otro lado, los esfuerzos hiperestticos depen-den, en general, del trazado del pretensado, de las condiciones de rigidez y de lascondiciones de apoyo de la estructura y deben analizarse a nivel de estructura.

    Ventajas y desventajas de la continuidad en pretensado.

    Ventajas:

    Los momentos de diseo son menores que en estructuras isostticas.

    Aumenta la rigidez.

    Disminuyen las deformaciones. Se obtienen luces mayores o menores al-turas de viga a luces iguales.

    45

  • 46 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    Se reducen los costos de materiales y mano de obra al disminuir la cantidadde anclajes y de etapas de tesado.

    La rigidez de nudos en prticos, proporciona un mecanismo ecaz pararesistir esfuerzos horizontales (viento, sismo, explosiones, etc.)

    Desventajas:

    En estructuras prefabricadas es ms sencillo trabajar con elementos isostti-cos, se necesita esfuerzos y gastos adicionales para lograr la continuidad enobra. En puentes se ha solucionado este inconveniente uniendo las dovelasprefabricadas y pretensadas con postesado in situ.

    En otros casos se ha diseado tramos completos prefabricados y preten-sados para soportar el peso propio y las cargas de construccin, dandoluego la continuidad mediante postesado para la superposicin nal de lascargas permanentes y sobrecargas.

    En las vigas contnuas los requerimientos de armadura varan continu-amente, con picos de momento mximo generalmente localizados en losapoyos. Como el rea del cordn de pretensado es constante y determina-do por el momento mximo, puede llevar a diseos no econmicos. No estan simple como en hormign armado.

    4.2. Disenio de cables

    4.2.1. Tramos extremos:

    e1; e3; e4 parabolas de segundo grado

    e2, recta

  • 4.2. DISENIO DE CABLES 47

    Resolviendo simultaneamente las 10 ecuaciones.

    a)

    Como e1 parabola de segundo grado tenemos:e1 = A1x

    2 +B1x+ C1

    y su derivadae10 = 2A1x+B1

    siendo estas las condiciones de borde

    8

  • 48 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    e2 = C2

    teniendo las condiciones

    e2 jx=0= eB

    obtenemos e2 = eB

    c)

    e3 parabola de segundo grado entonces:

    e3 = A3x2 +B3x+ C3

    y su derivadae30 = 2A3x+B3

    teniendo estas condiciones

    8

  • 4.2. DISENIO DE CABLES 49

    Para x = L

    tenemose3 = e4 = eD

    de donde

    (e3 = eD =

    (1)h(22+2)()[1(1)()(2)] + eB =

    (1)()h[1(1)()(2)] + eB

    e4 = eD =h[(2)+f(1)()+(2)g]h(22+2)

    [1(1)()(2)] + eB =(1)()h

    [1(1)()(2)] + eB

    )

    Para x = L

    tenemose4 = eE

    de donde

    (e4 = eE =

    1+(1)()(2)1(1)()(2) + eB = h+ eB

    eD =(1)()h

    [1(1)()(2)] + eB

    )

    eE = eB h

    4.2.2. Tramos Interiores:

    e1; e2; e4; e5 parabolas de segundo grado

    e3, recta paralela al eje neutro

  • 50 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    Resolviendo simultaneamente las 13 ecuaciones.

    a)e1 parabola de segundo grado:

    e1 = A1x2 +B1x+ C1

    derivamos e1e10 = 2A1x+B1

    teniendo estas condiciones de borde

    8

  • 4.2. DISENIO DE CABLES 51

    con estas condiciones

    8

  • 52 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    Para x = L tenemos:

    e2 = eBde donde(

    e1 = eB = h + eC h

    e2 = eB =h (

    2

    2+ ) + eC h = h + eC h

    )eB = h

    + eC h

    Para x = !L tenemos:

    e5 = eE

    de donde:

    ne4 = eE =

    h(!1)( 1) (! )2 + eC = h (! )( 1) + eC

    oeE = h

    (! )( 1) + eC

    4.3. Momento Final

    El momento nal se da por la ecuacion: M = Pe+Msp, donde se tiene elmomento producido por la fuerza de pretensado P con una excentricidad e, y elmomento secundario de pretensado Msp que se produce en las vigas continuascomo se vio en la seccion anterior.

  • 4.4. CONDICION GEOMETRICA 53

    4.4. Condicion Geometrica

    La condicin geomtrica se por esta inequidades.ds e di jdsj e jdij

    Siendo ds el recubrimiento superior y di el recubrimiento inferior.

    4.5. Condiciones Fundamentales

    Teniendo e0 = e MspP despejamos de las condiciones fundamentales laexcentricidad e y obtenemos:

    (1:s) : Mc1jhsjI jP j ( 1A e0 jhsjI ) jfCADj ; e jfCADjIjP jjhsj + IAjhsj +Mc1+Msp

    jP j(2:s) : Mc2jhsjI jP j ( 1Ae0 jhsjI ) jfCADj ; e jfTADjIjP jjhsj + IAjhsj+Mc2+MspjP j

    (1:i) : Mc1jhijI jP j ( 1A+e0 jhijI ) jfTADj ; e jfTADjIjP jjhij IAjhij+Mc1+MspjP j

    (2:i) : Mc2jhijI jP j ( 1A+e0 jhijI ) jfCADj ; e jfCADjIjP jjhij IAjhij+Mc2+MspjP j

    1) Lado derecho condicion (1.s) e Lado derecho condicion (2.i)2) Lado derecho condicion (1.i) e Lado derecho condicion (2.s)

    1) jfCADjIjP jjhsj + IAjhsj + Mc1+MspjP j e jfCADjIjP jjhij IAjhij + Mc2+MspjP j (Compre-sion)2) jfTADjIjP jjhij IAjhij + Mc1+MspjP j e jfTADjIjP jjhsj + IAjhsj + Mc2+MspjP j (Traccion)

  • 54 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    3) jdsj e jdij

    Combinando 1) con 3): Compresion I)

    1.s) jfCADjIjP jjhsj + IAjhsj+Mc1+MspjP j jdij !Msp jP jhjdij Mc1jP j IAjhsj + jfCADjIjP jjhsj

    i2.i) jdsj jfCADjIjP jjhij IAjhij+Mc2+MspjP j !Msp jP j

    h jdsj Mc2jP j + IAjhij_ jfCADjIjP jjhij

    iCombinando 2) con 3): Traccion II)

    1.i) jfTADjIjP jjhij IAjhij+Mc1+MspjP j jdij !Msp jP jhjdij Mc1jP j + IAjhij + jfTADjIjP jjhij

    i2.s) jdsj jfTADjIjP jjhsj IAjhsj+Mc2+MspjP j !Msp jP j

    h jdsj Mc2jP j IAjhsj_ jfTADjIjP jjhsj

    iDespejando el momento secundario de pretensado Msp tenemos la zona de

    paso del Msp.De las ecuaciones I): "Zona de paso del Msp"

    A) jdsj jP j Mc2 + IjP jAjhij jfCADjIjhij Msp jdij jP j Mc1 IjP jAjhsj +jfCADjIjhsj (compresion)

    De las ecuaciones II) :B) jdsj jP jMc2 IjP jAjhsj jfTADjIjhsj Msp jdij jP jMc1+ IjP jAjhij+ jfTADjIjhij

    (traccion)CsA = jdsj jP j+ IjP jAjhij jfCADjIjhij (siempre negativo)CiA = jdij jP j IjP jAjhsj + jfCADjIjhsj (siempre positivo)CsB = jdsj jP j IjP jAjhij + jfTADjIjhsj (siempre negativo)CiB = jdij jP j+ IjP jAjhij + jfTADjIjhij (siempre positivo)

    Csmn el mayor de CsA y CsBCimax el menor de CiA y CiB

    Csmn Mc2 Msp CimaxMc1

    m2 Msp m1

    Pmn el mayor valor de:

    a) (CsA Mc2)x=L (CiAMc1)X=L ! jP jab) (CsA Mc2)x=L (CiB Mc1)X=L ! jP jbc) (CsB Mc2)x=L (CiAMc1)X=L ! jP jcd) (CsB Mc2)x=L (CiB Mc1)X=L ! jP jd

  • 4.6. VIGA DE 2 TRAMOS 55

    4.6. Viga de 2 tramos

    (Csmn Mc2)x=L (CimaxMc1)X=L ' 0;40

    Msp

    (Csmn Mc2)x=L MspMsp (CimaxMc1)X=L

    4.6.1. Tramo Exterior

    a) jP ja Mc1jX=LMc2jX=LjfCADjIjhsjjhij (jhsj+jhij)

    jdsj+jdij IAjhsjjhij (jhsj+jhij)

    b) jP jb Mc1jX=LMc2jX=L Ijhij (jfCADjjfTADj)

    jdsj+jdij+ IAjhij (1)

    c) jP jc Mc1jX=LMc2jX=L Ijhsj (jfTADj+jfCADj)

    jdsj+jdij+ IAjhsj (1)

    d) jP jd Mc1jX=LMc2jX=LjfTADjIjhsjjhij (jhij+jhsj)

    jdsj+jdij+ IAjhsjjhij (jhij+jhsj)

    Pmn es el mayor calor de P y los correspondientes valores serian:

  • 56 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    Csmn y Cimax :

    4.6.2. Tramo Interior

    Msp jX=L=Msp ji1 (1) +Mi()

    1) Msp ji1 m2 ji1= Csmn Mc2 ji1

    2) Msp ji m2 ji= Csmn Mc2 ji

    3) Msp jL m1 jL= CimaxMc1 jL! Msp ji1 (1 ) + Msp ji() CimaxMc1 jL

    Sustituir 1), 2) en 3)

    CsmnMc2 ji1 Csmn+Mc2 ji1 +CsmnMc2 ji CimaxMc1 jL

    Csmn +Cimax Mc1 jL Mc2 ji Mc2 ji1 (1) =M ! Pmn

  • 4.7. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS CONTINUAS (EXCEL): 57

    a) CsA +CiA M ! Pa)b) CsA +CiB M ! Pb)c) CsB +CiA M ! Pc)d) CsB +CiB M ! Pd)8>>>:

    a) CsA +CiA M ! Pa)b) CsA +CiB M ! Pb)c) CsB +CiA M ! Pc)d) CsB +CiB M ! Pd)

    9>>=>>; Mayor P es Pmn del tramo

    Csmn Mc2 jX=LMsp CimaxMc1 jX=L

    Apoyos Tramo

    De donde:a) jP ja

    Mc1jLMc2jiMc2ji1(1)jfCADjI( 1jhij+ 1jhsj )jdsj+jdij IA ( 1jhij+ 1jhsj )

    b) jP jb Mc1jLMc2jiMc2ji1(1) Ijhij (jfCADj+jfTADj)

    jdsj+jdij

    c) jP jc Mc1jLMc2jiMc2ji1(1) Ijhsj (jfCADj+jfTADj)

    jdsj+jdij

    d) jP jd Mc1jLMc2jiMc2ji1(1)jfCADjI( 1jhij+ 1jhsj )

    jdsj+jdij+ IA ( 1jhij+ 1jhsj )

    En apoyo i Csmn Mc2 jiMsp ji

    En apoyo i1 Csmn Mc2 ji1Msp ji1

    En tramo Msp jL CimaxMc1 jL

    4.7. Ejemplo para diseo de vigas continuas (Ex-cel):

    Disear una viga continua de 2 tramos. Luz 20 metros, recubrimiento 0.1metros, fCAD = 1200t=m2, fTAD = 0t=m2, densidad del hormign 2.4 t=m, y = 0;4.

  • 58 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    4.7.1. Caracteristicas fsicas de la viga:

    h2 = 0.3b2 = 0.6h5 = 0.85b5 = 0.2h8 = 0.2b8 = 0.4

    Calculamos el rea total de la seccion, la inercia en el eje x, la distancia deleje baricntrico al las bras superior e inferior:

    Y = hi = 0.768023256 hs = 0.581977Ixx = 0.0846 A = 0.4300di = 0.73 ds = 0.54

  • 4.7. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS CONTINUAS (EXCEL): 59

    4.7.2. Calculo de Mc1 y Mc2 a cada dcimo de la luz

    Distancia x Mc1 Mc2 Mc1-Mc20 0 0 0 01 1.6 82 36 462 3.2 139 57 823 4.8 174 67 1074 6.4 187 64 1235 8 176 48 1286 9.6 142 20 1227 11.2 85 -23 1088 12.8 5 -77 829 14.4 -98 -155 57

    10 16 -219 -281 620 16 -219 -281 621 17.6 -98 -155 572 19.2 5 -77 823 20.8 85 -23 1084 22.4 142 20 1225 24 176 48 1286 25.6 187 64 1237 27.2 174 67 1078 28.8 139 57 829 30.4 82 36 46

    10 32 0 0 0

    Tramo 1 y Tramo 2

    Se verican las condiciones fundamentales y necesarias en el punto ms crti-co, es decir, en L/2:

    (Mc1-Mc2)/I*Ihs I

  • 60 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    4.7.3. Clculo de Pmn :

    Pmn es el mayor valor de los P calculados, y los correspondientes valoressern Csmn y Cimax :

    Tramo 1IPIa >= 142.5412652IPIb >= 224.1583672IPIc>= 168.1046068

    IPId >= 223.8537074IPImin = 224.1583672

    4.7.4. Determinacin de la constante superior e inferiorCsmn y Cimax:

    Csa = -195.8229472Csb = -196.8416386Cia = 262.3179093Cib = 221.0708211Csmin = -195.8229472Cimax = 221.0708211

  • 4.7. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS CONTINUAS (EXCEL): 61

    4.7.5. Rango donde puede estar el Msp:

    Distancia x M1 M2 Msp0 0 221.0708211 -195.8229472 01 1.6 139.0708211 -231.8229472 8.5177052 3.2 82.07082113 -252.8229472 17.035413 4.8 47.07082113 -262.8229472 25.553124 6.4 34.07082113 -259.8229472 34.070825 8 45.07082113 -243.8229472 42.588536 9.6 79.07082113 -215.8229472 51.106237 11.2 136.0708211 -172.8229472 59.623948 12.8 216.0708211 -118.8229472 68.141649 14.4 319.0708211 -40.82294717 76.65935

    10 16 440.0708211 85.17705283 85.177050 16 440.0708211 85.17705283 85.177051 17.6 319.0708211 -40.82294717 76.659352 19.2 216.0708211 -118.8229472 68.141643 20.8 136.0708211 -172.8229472 59.623944 22.4 79.07082113 -215.8229472 51.106235 24 45.07082113 -243.8229472 42.588536 25.6 34.07082113 -259.8229472 34.070827 27.2 47.07082113 -262.8229472 25.553128 28.8 82.07082113 -252.8229472 17.035419 30.4 139.0708211 -231.8229472 8.517705

    10 32 221.0708211 -195.8229472 0

    Grco de M1, M2 y Msp

  • 62 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

  • 4.7. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS CONTINUAS (EXCEL): 63

    4.7.6. Clculo de Mc1 y Mc2 :

    Distancia x0 0 0

    1.6 90.51770528 44.517705283.2 156.0354106 74.035410574.8 199.5531158 92.553115856.4 221.0708211 98.070821138 218.5885264 90.58852642

    9.6 193.1062317 71.106231711.2 144.623937 36.6239369812.8 73.14164227 -8.85835773514.4 -21.34065245 -78.3406524516 -133.8229472 -195.822947216 -133.8229472 -195.8229472

    17.6 -21.34065245 -78.3406524519.2 73.14164227 -8.85835773520.8 144.623937 36.6239369822.4 193.1062317 71.106231724 218.5885264 90.58852642

    25.6 221.0708211 98.0708211327.2 199.5531158 92.5531158528.8 156.0354106 74.0354105730.4 90.51770528 44.5177052832 0 0

    4.7.7. Clculo de e1:s, e2:s, e1:i, e2:i, determinacin de emax

  • 64 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

    y emn zona de paso y clculo del cable parablico

    Distancia x e1s e2s e1i e2i emax emin0.00 -0.440234743 0.338136476 -0.25622605 0.333591959 0.333592 -0.2561.60 -0.036423338 0.536735823 0.147585355 0.532191306 0.532191 0.14763.20 0.255859775 0.668418194 0.439868468 0.663873677 0.663874 0.43994.80 0.44999799 0.751028116 0.634006683 0.746483599 0.746484 0.6346.40 0.545991307 0.775643326 0.73 0.771098809 0.771099 0.738.00 0.534917463 0.742263824 0.718926156 0.737719307 0.737719 0.71899.60 0.42123759 0.655350741 0.605246283 0.650806224 0.650806 0.6052

    11.20 0.204951688 0.501520683 0.388960381 0.496976166 0.496976 0.38912.80 -0.113940244 0.298618175 0.070068449 0.294073659 0.294074 0.070114.40 -0.535438205 -0.011351493 -0.351429512 -0.01589601 -0.0159 -0.35116.00 -1.037236536 -0.535455483 -0.853227843 -0.54 -0.54 -0.85316.00 -1.037236536 -0.535455483 -0.853227843 -0.54 -0.54 -0.85317.60 -0.535438205 -0.011351493 -0.351429512 -0.01589601 -0.0159 -0.35119.20 -0.113940244 0.298618175 0.070068449 0.294073659 0.294074 0.070120.80 0.204951688 0.501520683 0.388960381 0.496976166 0.496976 0.38922.40 0.42123759 0.655350741 0.605246283 0.650806224 0.650806 0.605224.00 0.534917463 0.742263824 0.718926156 0.737719307 0.737719 0.718925.60 0.545991307 0.775643326 0.73 0.771098809 0.771099 0.7327.20 0.44999799 0.751028116 0.634006683 0.746483599 0.746484 0.63428.80 0.255859775 0.668418194 0.439868468 0.663873677 0.663874 0.439930.40 -0.036423338 0.536735823 0.147585355 0.532191306 0.532191 0.147632.00 -0.440234743 0.338136476 -0.25622605 0.333591959 0.333592 -0.256

  • 4.7. EJEMPLO PARA DISEO DE VIGAS CONTINUAS (EXCEL): 65

  • 66 CAPTULO 4. VIGAS CONTINUAS

  • Captulo 5

    Momento Ultimo

    Gco de deformaciones y esfuerzos resistentes del hormign y del acero

    5.1. Deformaciones

    67

  • 68 CAPTULO 5. MOMENTO ULTIMO

    Pretensado

    p1 = p0 + p1pu = p0 + p1 + p0 + p2

    8>:

    p0 =jP jApEp

    p1 =jP jA +

    jP je2I

    1Ec

    p2 ! curva fp p

    9>=>;Au ! Deformacin Ultima del acero

    Pu ! Deformacin Ultima del pretensado

    5.1.1. Deformaciones del hormign

    cu ! Deformacin Ultima del hormigon: ACI: 3%0; CEB: 3;5%0

    fci = jP jA jP jeI jhij

    5.1.2. Deformaciones en el cable medio

    Deformacin en el cable al inicio del pretensado:

    p0 =jP jAp

    Ep= jP jApEp

    Deformacin en el cable al momento de decompresin:

    p1 =jP jA +

    jP je2I

    1Ec

  • 5.1. DEFORMACIONES 69

    Deformacin en el cable al momento nal:p2 =

    jcuj(dpc)c

    De donde:eCAB = p0 + p1 + p2

    5.1.3. Deformacin inicial en pretensado

    pi = pu + p1

    pi =jP j

    APEP+jP jAC

    + jP je2

    I

    1EC

    5.1.4. Deformacin incial en acero normal

    La deformacin inicial en el acero normal es nula.Ai = 0

    5.1.5. Deformacin en cualquiero bra

    Deformacion : = (is)(dc)h

    Signos: (+) Traccion, () CompresionDistancia c :c = hsis =

    jhjjsjjij+jsj

    = jijdjijc+jsjdjsjch

    = dh (jij+ jsj) ch (jij+ jsj)remplazamos c = dh (jij+ jsj) jsjs = jsj

    i = + jij

  • 70 CAPTULO 5. MOMENTO ULTIMO

    5.1.6. Calculo de c

    jsupj+ jnf j = jsupjc H

    c =Hjsupj

    jsupj+jnf j

  • 5.1. DEFORMACIONES 71

    5.1.7. Determinacin del eje neutro (c)

    s = Cmax = 3;5%0 (CEB)s = Cmax = 3%0 (ACI)

    a) Normal o Fuertemente Armado: ! Falla por compresion del hormigonCmax = 3;5%0 (3%0)

    b) Debilmente Armado: ! Falla por traccion en el acero Smax = 5%0

  • 72 CAPTULO 5. MOMENTO ULTIMO

    5.2. Momento de decompresion:

    Denimos como Momento de Descompresin M0 de una seccin, el mximovalor de momento ector que puede aplicarse sin que aparezcan tracciones, esdecir, el momento para el que se anula la tensin en un borde. En una pieza dehormign pretensado, si este borde es el inferior, se tratar de un momento dedescompresin positivo y si es el superior ser un momento de descompresinnegativo. La situacin en que se alcanza el momento de descompresin es elEstado Lmite de Descompresin. Al crecer el momento a partir del Momentode Descompresin M0, las tracciones, inicialmente pequeas, van creciendo hastaalcanzar la resistencia a exotraccin del hormign. Con este valor del momentoector pueden insinuarse las primeras suras en algn punto dbil del borde.Decimos que se ha alcanzado el Momento de Fisuracin.Cuando esto ocurre, la seccin se encuentra en Estado Lmite de Fisuracin,

    o Estado Lmite de Inicio de la Fisuracin para distinguirlo del estado lmitegeneral.

    Como se ha dicho, en una seccin de hormign pretensado, el momento dedescompresin M0 es el valor del momento exterior M que anula la tensin enun borde. Es decir,

  • 5.3. MOMENTO DE FISURACION DEL HORMIGON 73

    0 = jP jA jP jeI e+Msp ei ; Msp =jP jA +

    jP je2I

    Ie

    En h = e :

    fp1 =jP jA +

    jP je2I esfuerzo de decompresion c1 =

    fp1Ec

    5.3. Momento de suracion del hormigon

    Para momentos superiores al de suracin, se abrirn ya claras suras, yhabr que cuidar que su abertura no exceda de los lmites establecidos norma-tivamente. Estaremos en la situacin de Fisuracin Controlada como en el casodel hormign armado. Cuando la abertura de la sura es la mxima admisible,se habr llegado al Estado Lmite de Fisuracin Controlada.La gura siguiente resume lo anterior:

    Como puede verse, en el hormign pretensado existen tres niveles de seguri-dad ante la suracin: El Estado Lmite de Descompresin, que es el que mayor seguridad ofrece,

    ya que si no hay tracciones tampoco puede haber suras de

  • 74 CAPTULO 5. MOMENTO ULTIMO

    origen tensional. El Estado Lmite de Inicio de la Fisuracin, que presenta una seguridad

    media. El Estado Lmite de Fisuracin Controlada, con la mnima seguridad ad-

    misible.

    Sin embargo, no debe olvidarse que el hormign vertido en obra no estpretensado, por lo que las piezas con seccin compuesta de elementos preten-sados y losa superior de hormign vertido en obra debern tratarse, a efectosde suracin, como de hormign pretensado en exin positiva y de hormignarmado en exin negativa.

    El momento de suracin es un valor muy importante ya que establece lafrontera entre seccin sin surar y seccin surada. Por ello se recurrir a l endiversas ocasiones referidas tanto a la suracin como a la deformacin. Comoanteriormente se ha dicho, en una seccin de hormign pretensado, el momentode suracin es el valor del momento exterior M para el que la tensin en unborde iguala a la resistencia a exotraccin del hormign . Es decir,(f 0CFIS) h = hi

    f 0cfis = jP jA jP jeI jhij+ MFIS jhijI ; MFIS = jhijIf 0Cfis +

    jP jA +

    jP jeI jhij

    5.4. Momento Ultimo

    El problema de clculo del momento resistente de una seccin pretensada es,en principio, un problema de exin compuesta. En el lado solicitante se tiene,el momento de las cargas exteriores, el momento hiperesttico de pretensado,el momento isosttico de pretensado y la fuerza de pretensado P. En el ladoresistente, por su parte, se tiene la compresin en el hormign y la capacidada traccin remanente del pretensado, equivalente al rea de la armadura activamultiplicada por el lmite elstico del pretensado menos la tensin debida a lapredeformacin del pretensado en caso de que esta armadura se plastique. Encaso contrario, la traccin debida a la armadura de pretensado sera su reamultiplicada por el mdulo de deformacin del pretensado y por la deformacindel hormign deducida del plano de deformacin de rotura.El problema es formalmante un problema de exin simple que vendra a

    ser una generalizacin del problema ya estudiado para hormign armado. Lasdiferencias son dos:

    A la deformacin de pretensado hay que aadirle la predeformacin 0.

    Al momento debido a las cargas exteriores hay que aadirle el momentohiperesttico de pretensado.

  • 5.5. MOMENTO DE RUPTURA (MRUP ) 75

    c =Hjsupj

    jsupj+jnf ja = (2)c

    = 0;425 0;0257 (f 0c 28)Clculo de la fuerza de compresin resistente del hormign:C = 0;85f 0cab

    Clculo de la fuerza de tensin resistente del acero normal y del pretensado.T = TP + TS =

    Pmf=1 (fPAS)f +

    Pmf=1 (fSAS)f

    Clculo del momento ultimo resitente de una viga de hormign pretensado:Mu = (0;85f 0cab)(c a2 )+

    Pmf=1 (fPAS)f (dpc)f +

    Pmf=1 (fSAS)f (dsc)f

    El momento ltimo tambin se lo puede calcular de la siguiente forma:Mu = 0;9AP fp(dp a2 )donde: Mu es el momento ltimo

    AP el area de los tendones del pretensado

    fP = fPu

    1 P1 p

    fPuf 0c

    fPu es el esfuerzo ltimo del cable de pretensado

    P factor que depende del tipo de pretensado normalmente es 0.4

    para calble ordinario.1 = 0;86 para hormignp =

    APbdP

    a =AP fp0;85f 0cb

    5.5. Momento de ruptura (Mrup)

    5.5.1. Esfuerzo de ruptura

    f 0rup = jP jA jP jeI jhij+ MrupjhijI

    Mrup = (f0rup +

    jP jA +

    jP jeI jhij) Ijhij

    5.6. En ausencia de cargas exteriores

    Mu =R c0fcbdx+

    Pmf=1 f

    SfA

    Sf (d

    f c) +

    Pmf=1 fSfASf (df c)

    MuI = C(c a) + T (z (c a)) = T = C

  • 76 CAPTULO 5. MOMENTO ULTIMO

    5.7. Ejemplo de clculo de momento ltimo en

    una viga de hormign pretensado

    Sea la viga de hormign pretensado estudiada en el primer ejemplo con lassiguientes caractersticas:

    b1 h1 b2 h2 b3 b4 b5 h3 h4 h5 b6 h6 h7 b70 0 2 0.1 0 0 0.13 0 0 0.75 0 0 0.35 0.45

    Viga Tipo I ResultadosArea Total 0.455hi 0.7214hs 0.4786Ixx 0.0901Iyy 0.0694f 0c = 300kg=cm2

    Ap = 0;459cm2

    fpu = 17000kg=cm2

    Determinar el momento ultimo de la viga:c =

    Hjsupjjsupj+jnf j =

    1;20;0030;003+0;005 = 0;45m

    = 0;425 0;0257 (f 0c 28) = 0;425 ( 0;0257 (300 28)) = 0;525a = (2)c = 2 0;525 0;45 = 0;472 5mfP =

    jP jA +

    jP je2I =

    215;650;455 +

    215;650;413820;0901 = 883: 79

  • 5.7. EJEMPLODE CLCULODEMOMENTOLTIMO ENUNAVIGA DE HORMIGN PRETENSADO77

    Sea dp = 1mMu = (0;85f 0cab)(c a2 )+

    Pmf=1 (fPAP )f (dpc)f+

    Pmf=1 (fSAS)f (dsc)f

    Mu = (0;850;3000;472 52)(0;45 0;472 52 )+(0;459 883: 79)(10;45) =223: 16t:m

  • 78 CAPTULO 5. MOMENTO ULTIMO

  • Eplogo

    BIBLIOGRAFA

    Fernando Romo, Ingeniero M.Sc, Universidad San Francisco de Quito, Politc-nico, Fundamentos y Ecuaciones para diseo de Hormign Pretensado.

    Souza Verssimo, G.,Lenz Csar, K. Jr. Concreto Pretendido. FundamentosBsicos.

    A.S.U. Lecture 24 Prestressed Concrete.

    Universidade Federal de Viosa . 4aEd. Noviembre 1998.

    FACULTAD DE INGENIERA, U.B.A., Departamento Construcciones yEstructuras.

    Pretensado en Flexin Ejemplos de Aplicacin del Reglamento CIRSOC201-2005.- 175.

    Prestressed Concrete Institute. Pci design handbook : Precast and pre-stressed concrete. Chicago, 1971.

    ACI Committee 318, Building Code Requirements for Reinforced Concrete,ACI Estndar 318-95. Detroit: American Concrete Institute, 1995.

    79