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Facultad de Ingeniería, Núcleo La Hechicera. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/ingenieria Correo-e: [email protected]. Teléfonos: 0274-2402991 / Telefax: 0274-240.28.72

Guía didáctica: Trigonometría

Curso de Extensión

Sesiones de la 01 a la 04

VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Asdrúbal J. Canache.

MATERIAL EN REVISIÓN

1Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.

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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.

Curso Básico de Nivelación en el área de

Trigonometría

Contenidos desarrollados por: Prof. Asdrúbal Canache

Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares geométricos”

Sesión 1: Preliminares geométricos…………1 Problemas propuestos……………………… 10 Autoevaluación 1…………………………..... 11 Sesión 2: Preliminares geométricos…….….15 Problemas propuestos……………………… 24 Autoevaluación 2…………………………..... 27 Sesión 3: Preliminares geométricos…….….30 Problemas propuestos……………………… 38 Autoevaluación 3…………………………..... 43 Sesión 4: Preliminares geométricos…….….47 Problemas propuestos……………………… 57 Autoevaluación 4…………………………..... 63 Sesión 5: Preliminares geométricos…….….67 Problemas propuestos……………………… 75 Autoevaluación 5…………………………..... 77

Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:

Datos de Identificación Profesores del área:

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Tema 2 “Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo”

Sesión 6: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo………………….……... 81 Problemas propuestos……………………… 85 Autoevaluación 6……………………………. 88

Tema 3 “Funciones trigonometrícas en el círculo”

Sesión 7: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……... 92 Problemas propuestos……………………… 98 Autoevaluación 7…………………………….101 Sesión 8: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..104 Problemas propuestos……………………… 124 Autoevaluación 8…………………………….131 Sesión 9: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..134 Problemas propuestos……………………….146 Autoevaluación 9…………………………….149 Sesión 10: Funciones trigonometrícas en el Círculo ……………….………………….……..152 Problemas propuestos……………………….158

Autoevaluación 10…………………………161 Tema 4 “Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios”

Sesión 11: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios………..………..…165 Problemas propuestos……….……………..171 Autoevaluación 11..…………………..…….174 Sesión 12: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…178 Problemas propuestos……………………..183 Autoevaluación 12 …………………..…….187 Sesión 13: Funciones trigonometrícas de ángulos suplementarios ………………..…191 Problemas propuestos……………………..203 Autoevaluación 11 …………………..…….205

Tema 5 “Suma y diferencia de ángulos” Sesión 14: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………208 Problemas propuestos……………….…… 217 Autoevaluación 14……………………… 218 Sesión 15: Suma y diferencia de ángulos…………………………… …………221

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Problemas propuestos……………….…… Autoevaluación 15………………………

Tema 6 “Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas”

Sesión 16: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 230 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 16………………………… Sesión 17: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 238 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 17………………………… Sesión 18: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas …..…………….. 245 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 18…………………………

Tema 7 “Resolución de triángulos”

Sesión 19: Resolución de triángulos….… 256 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluaión 19…………………………

Sesión 20: Resolución de triángulos….… 261 Problemas propuestos ……………….….. Autoevaluación 20…………………………

Respuestas a las Autoevaluaciones.

Tema 1 Sesión 1……………………………..…………14

Sesión 2……………………………..………...29 Sesión 3……………………………..………...46

Sesión 4……………………………..…………66 Sesión 5…………………………………….....80

Tema 2 Sesión 6…………………………………..…...91 Tema 3 Sesión 7………………………………………103 Sesión 8…………………………………..…..133 Sesión 9……………………………………....151 Sesión 10…………………………………..…164 Tema 4 Sesión 11………………………………..……177 Sesión 12………………………………..……190 Sesión 13………………………………..……207 Tema 5 Sesión 14………………………………..……220 Sesión 15……………………………………

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Tema 6 Sesión 16…………………………………… Sesión 17…………………………………… Sesión 18…………………………………… Tema 7 Sesión 19…………………………………… Sesión 20……………………………………

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Introducción

Este curso está orientado hacia la capacitación del

estudiante para el uso de herramientas básicas de

trigonometría. Esta área, como parte de las

matemáticas trata del cálculo de los elementos de los

triángulos planos y esféricos, siendo las funciones

trigonométricas parte fundamental del análisis y del

cálculo desempeñando un importante papel tanto en las

matemáticas puras, como en las aplicadas.

Las asignaturas de las carreras de ingeniería solicitan que los

estudiantes hagan un hábil manejo de conocimientos básicos de

trigonometría, desarrollando destrezas que permitan aplicaciones

prácticas en su quehacer profesional.

El curso de Trigonometría que abarca los temas: Funciones

Trigonométricas, Suma y Diferencia de Ángulos, Identidades

Trigonométricas, Ecuaciones Trigonométricas y Funciones

trigonométricas Inversas, es un curso de nivelación para estudiantes

de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad de

Los Andes.

Objetivos

Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas

básicas de trigonometría.

Objetivos específicos

* Tema 1: Preliminares geométricos

Formular los conceptos básicos de la trigonometría.

* Tema 2: Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Aplicar todas las funciones trigonométricas a un triángulo

rectángulo.

* Tema 3: Funciones trigonometrícas en el círculo

Emplear las funciones trigonométricas en el círculo.

* Tema 4: Funciones trigonometrícas de ángulos

suplementarios

Resolver problemas aplicados.

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* Tema 5: Suma y diferencia de ángulos

Aplicar las relaciones y operaciones de ángulos en la solución de

problemas.

* Tema 6: Identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y funciones trigonométricas Inversas Formular y aplicar las relaciones trigonométricas.

* Tema 7: Resolución de triángulos

Resolver problemas de triángulos.

Estrategias

Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo,

voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes

satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta

modalidad le permitirá:

1. Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la

comodidad de su domicilio.

2. Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador,

M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.

están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL

CURSO:

Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas por cada

tema, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.

Sesiones: están conformadas por temas que deben leerse, para ser

analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse

en un tiempo determinado.

Objetivos: muestran de manera clara los aprendizajes que se

lograrán durante la interacción con cada sesión.

Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los

diferentes temas que comprende cada sesión.

Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben

seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje

de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los

contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes

(críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos

y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te

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permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada

sesión.

Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el

autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario

empleado.

Evaluación: contiene un enlace, al que se accede después de

finalizar las actividades de cada unidad. Esta la realizarás cuando te

sientas preparado para presentar la evaluación final.

Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se

encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

• Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

• Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el

transcurso de 10 semanas.

• Leer pausadamente cada sesión de clase

• Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y

verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran

al final de cada unidad

• Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con

la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en

cada sesión de clases

• No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran

al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

• Es importante consultar a través del correo electrónico

[email protected] cualquier duda de los temas expuestos.

1Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 1

Objetivos específicos

* Formular los conceptos básicos de trigonometría. * Manejar las diferentes formas de medida de

ángulos.

Actividades

* Leer apuntes sesión1: Preliminares Geométricos. * Practicar los ejemplos resueltos de cada contenido

de la sesión 1. * Realizar los ejercicios propuestos de la sesión 1. * Realizar la autoevaluación de la sesión 1.

Recursos

* Apuntes sesión 1. * Ejercicios Propuestos sesión 1. * Trigonometría de Baldor.

Objeto de la trigonometría

El principal objetivo de la trigonometría es la resolución de

triángulos, esto es: conocidas las magnitudes de algunos de los

elementos de un triángulo, intentar construirlo.

Por esta razón, se dice que la trigonometría es la rama de las

matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos

de los triángulos, además de las propiedades y las aplicaciones de

las funciones trigonométricas de los ángulos.

1. La trigonometría plana, es la que se ocupa de las figuras

contenidas en un plano.

2. La trigonometría esférica, es la que se ocupa de los triángulos

que forman parte de la superficie de una esfera.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se llevaron acabo en

los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las

que el principal problema era determinar una distancia inaccesible,

como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no

podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la

trigonometría se pueden encontrar en la física, la química y en casi

todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de

fenómenos periódicos, como el sonido y el flujo de corriente alterna

2Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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Ángulos

El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio

de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un

radio que gira.

El ángulo se designa por una letra griega (α, β, δ,...) o por tres letras

mayúsculas, de manera que la letra del centro corresponde al

vértice, por ejemplo AOB, CDE, PQR, etc. También, se puede

anteponer el símbolo ∠ para indicar que es un ángulo, por ejemplo:

∠ AOB (ángulo AOB), en la figura 1.2.1 se señala el ángulo α ó

∠ AOB.

O A

B

α Vértice

Lado

Lado

Figura 1.1. Ángulo ∠ AOB ó α

1. Ángulos rectos, llanos, agudos y obtusos

1.1. Ángulo recto: se refiere al ángulo formado cuando las dos

semirrectas OA y OB son perpendiculares, en la figura 1.2.2 se

muestra el ángulo recto.

B

O A

Figura 1.2. Ángulo recto

1.2. Ángulo llano: es el ángulo formado cuando una semirrecta es

prolongación de otra, en la figura 1.2.3 se muestra el ángulo llano.

O A B

Figura 1.3. Ángulo llano

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Tema 1 / Sesión 1

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1.3. Ángulos agudos: son ángulos menores que un ángulo recto,

como se observa en la figura 1.2.4.

O A

B

α

Figura 1.4. Ángulos agudos

1.4. Ángulos obtusos: son ángulos mayores que un ángulo recto,

pero menores que un ángulo llano, ver la figura 1.2.5.

A

B

α

O

Figura 1.5. Ángulos obtusos

2. Medición de ángulos

Para medir los ángulos se pueden utilizar tres unidades de medida:

2.1. El sistema sexagesimal: donde la unidad de medida es el

grado sexagesimal.

2.2. El sistema decimal: donde la unidad de medida es el grado

con expresión decimal.

2.3. El sistema circular: donde la unidad de medida es el radián.

3. Ángulos en el sistema sexagesimal

En el sistema sexagesimal la unidad de medida angular es el grado

sexagesimal, el cual se obtiene al dividir la circunferencia en 360

partes iguales.

Cada grado es dividido en 60 partes iguales llamados minutos y

cada minuto en 60 segundos.

Se simbolizan como:

Grado º

Minuto ’

Segundo ’’

Por ejemplo 30º 15’ 20’’ se lee 30 grados 15 minutos y 20 segundos

4Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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4. Ángulos en el sistema decimal En el sistema decimal la unidad de medida es el grado decimal (con

expresión decimal). No se indican ni los minutos ni los segundos, por

ejemplo:

30,25º

50,126º

124,4º

330,92º

Se puede llevar una medida del sistema decimal al sexagesimal o

viceversa, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.1

Dada la medida angular decimal de 40,25º llevarlo a grados,

minutos y segundos

Paso 1. Convertir las centésimas de grado (0,25º) a minutos. Esto se

puede hacer por una regla de tres directa, aplicando la definición

dada en el sistema sexagesimal:

1º _está dividido en_ 60’

0,25º ______________ x

De donde resulta: '15'60º1

º25,0x == x

Paso 2. El segundo paso sería convertir las décimas o centésimas

de minuto a segundos, pero la solución del paso 1 es exacta (sin

decimales). Luego,

40,25º = 40º 15’ (ó 40º 15’ 0’’)

Ejemplo 1.2

Dada la medida en el sistema decimal de 30,62º, expresarla en el

sistema sexagesimal

Paso 1. Como 30,62º = 30º+0,62º. El primer paso consiste en llevar

0,62º a minutos:

1º _está dividido en_ 60’

0,62º ______________ x

De donde resulta: 37,2'60'1º

0,62ºx x == (igual a 37’+0,2’)

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Paso 2. Convertir 0,2’ a segundos mediante otra regla de tres como

se presenta a continuación:

1’ _está dividido en_ 60’’

0,2’ _______________ x

De donde resulta: '12''60'1'

0,2'x x ==

Paso 3. La conversión final sería: 30,62º = 30º 37’ 12’’

Ejemplo 1.3

Expresar 41º 20’ 45’’ en el sistema decimal

Para la solución de este ejercicio se va a utilizar una forma sencilla

de presentar la regla de tres, utilizando las barras horizontal y vertical

para la multiplicación y división respectivamente, trabajando con las

unidades que se quieren eliminar y la que se quiere obtener. En el

siguiente paso se muestra este procedimiento, se utilizarán letras

para nombrar las unidades de medida con las que se trabaja.

Paso 1. Llevar los segundos (s = 45’’) a minutos, mediante la siguiente

regla de tres:

0,75'60"

'145"s ==

Obsérvese que las unidades segundos ’’ se cancelan en la división,

dando como resultado los minutos ’ como la nueva unidad de s.

Paso 2. Hallar los minutos totales “m” mediante la siguiente suma:

m = s + 20’ = 0, 75’ + 20’ = 20, 75’

Paso 3. Llevar los minutos totales “m” a grados “g”, realizando la

siguiente regla de tres análoga a la del paso 1:

0,346º60'1º20,75'g ==

Paso 4. Hallar los grados totales G, sumando a “g” los 41º que se

dan en la medida:

G = g + 41º = 0,346º + 41º

G = 41,346º

En conclusión: 41º 20’ 45’’ es igual a 41,346º en el sistema decimal.

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5. Ángulos positivos y negativos

Un ángulo es una rotación. La magnitud de la rotación ó giro

alrededor de una circunferencia está dada por la medida del

ángulo; y esta medida puede ser positiva o negativa, dependiendo

del giro.

Una medida angular es positiva si el giro alrededor de la

circunferencia es antihorario (en sentido contrario al movimiento de

las agujas del reloj).

Un ángulo es negativo si el giro alrededor de la circunferencia es en

sentido horario.

En la figura 1.2.6 se muestran los sentidos de giro de medidas

angulares positivas y negativas, partiendo de una semirrecta ó lado

fijo OX.

La semirrecta OX corresponde al eje positivo de las abscisas en un

sistema de coordenadas rectangulares XOY, que se utilizará en el

próximo tema para definir funciones trigonométricas

Giros en sentido antihorario = ángulos positvos

Giros en sentido horario = ángulos negativos

O x

O x

y y

Figura 1.6. Ángulos positivos y negativos indicando el sentido del giro

Les presentamos a continuación algunas equivalencias entre

grados y giro alrededor de una circunferencia (giro antihorario):

360º = un giro completo alrededor de una

circunferencia.

180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia.

90º = 1/4 de vuelta.

1º = 1/360 de vuelta.

En sentido horario podemos encontrar por ejemplo:

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-90º = ¼ de vuelta alrededor de la circunferencia en

sentido horario.

-270º = ¾ de vuelta alrededor de una circunferencia

en sentido horario.

En la figura 1.2.7 se muestran algunos ángulos positivos y negativos al

girar alrededor de una circunferencia.

O x -90º

45º

Figura 1.7. Ángulos positivos y negativos

Los ángulos mayores de 360º indican que han girado más de una

vuelta, por ejemplo:

450º = 360º + 90º = Una vuelta completa + 90º = 1 + ¼ = 1,25 vueltas

Una forma muy sencilla de hallar las vueltas, grados y minutos de

una medida angular es dividiendo la cantidad entre 360º; el

cociente serán las vueltas y el resto será el ángulo adicional. En el

siguiente ejemplo se muestra dicho cálculo.

Ejemplo 1.4

Llevar 1.450º a vueltas y grados

Paso1. Dividir 1450º entre 360º, sin simplificar la expresión, estos nos

dará el número de vueltas y los grados restantes.

1.450º 360º

10º 4

Paso 2. La división da como resultado que: 1450º = 4 vueltas + 10º

alrededor de la circunferencia, en sentido antihorario.

Todo ángulo admite una medida comprendida entre 0º y 180º. Esta

medida se denomina medida angular. La medida de un ángulo se

puede realizar mediante el uso de un instrumento llamado

Número de vueltasÁngulo restante

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transportador (figura 1.2.8 (c)). En los ejemplos 1.2.5 y 1.2.6 se

muestran estas medidas.

Ejemplo 1.5

La medida angular de un ángulo recto es igual a 90º, ver la figura

1.2.8. (a).

Ejemplo 1.6.

La medida angular de un ángulo llano es igual a 180º (2 ángulos

rectos), ver la figura 1.8. (b).

90º

Angulo recto (a)

O A

B

O A B

180º

Ángulo llano (b)

45

90

135

0 180

Medida de un ángulo usando el transportador

(c)

Figura 1.8. Medida de algunos ángulos

Ejemplo 1.7.

Llevar –1.400º a vueltas y grados sexagesimales

El signo negativo nos indica que el giro es en sentido horario, el cual se mantendrá hasta el resultado final pues no cambiaremos el sentido del giro.

Paso 1. Lo dividiremos entre 360º para determinar las vueltas y

grados restantes.

-1.400º 360º

-300º 3

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Tema 1 / Sesión 1

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Paso 2. De la división obtenemos que se han dado 3 vueltas alrededor de la circunferencia, en sentido horario; y restan –300º.

-1400º = 3 vueltas + (-300º)

Ó podemos decir que: -1400º = 3 vueltas + 300º en sentido

horario.

10 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 1: Ejercicios Propuestos

1. Convertir 65,53º en grados, minutos y segundos.

2. Llevar 275,94º al sistema sexagesimal.

3. Expresar 48º 38’ 20’’ en el sistema decimal. 4. Expresar 330º 40’ 15’’ en el sistema decimal. 5. Reducir 3600’’ a grados. 6. Llevar 5830º a vueltas y grados.

7. Convertir 4650,45º en vueltas, grados, minutos y segundos. 8. Convertir -2300º a vueltas y grados. 9. Convertir 2 vueltas en grados. 10. Llevar -1600º a vueltas y grados. 11. Llevar 23/4 de vueltas a grados. 12. Convertir 5000" a grados, minutos y segundos.

11 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 1

Autoevaluación 1 Pregunta Nº 1

Al expresar las medidas angulares 25º 31`12", 45º 50`24" y 300º 55`48"

en el sistema decimal, se obtiene:

a. 25,5º ; 45,85º y 300,94º

b. 25,31 ; 45,8 y 300,9

c. 25,54º ; 45,8º y 300,9º

d. 25,52º ; 45,84º y 300,93º

Pregunta Nº 2

Al expresar las medidas angulares decimales 30,5º ; 100,25º y

320,42º ; en grados, minutos y segundos, los resultados son :

a. 30º 5`, 100º 25` y 320º 42` b. 30º 30` 5", 100º 15` 25" y 320º 25` 42" c. 30º30`, 100º15` y 320º25`12" d. 30º 5` 30", 100º 15` 25" y 320º 25` 42"

Pregunta Nº 3

Al expresar las medidas angulares: 1) 1 1/4 vueltas en sentido

antihorario; 2) 2 vueltas + 60º positivos; 3) 2/3 de vueltas en sentido

horario en grados sexagesimales, se obtiene:

a.

1) 540º

2) 780º

3) -1710º b.

1) -540º

2) -780º

3) 1710º c.

1) -450º

2) -780º

3) 1680º d.

12 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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1) 450º

2) 780º

3) -1680º Pregunta Nº 4

Al expresar las medidas angulares: 1) 400º ; 2) 1400º y 3) -4850º en

vueltas más grados sexagesimales se obtiene:

a.

1) vuelta + 40º en sentido antihorario

2) 3 vueltas +320º en sentido antihorario

3) 13 vueltas + 170º en sentido horariob.

1) 1 vuelta + 45º

2) 3 vueltas + 30º

3) 13 vueltas + 15ª c.

1) 1 vuelta + 40º en sentido horario

2) 3 vueltas + 320º en sentido horario

3) 13 vueltas + 170º en sentido antihorario d.

1) 1 vuelta + 40º en sentido antihorario

2) 3 vueltas + 320º en sentido antihorario

3) 13 vueltas + 17º en sentido horario Pregunta Nº 5

Al expresar las siguientes medidas angulares: 1) 3,25 vueltas

antihorarias; 2) 340,24º y 3) 23544"; en grados sexagesimales,

minutos y segundos, se obtiene:

a.

1) 1200º

2) 340º 10` 20"

3) 6º 30`20` b.

1) 1080º 25` 0"

2) 340º 24` 0"

13 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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3) 60º 32` 24"

c.

1) 1270º

2) 340º 15` 24"

3) 654º 0º 0` 0" d.

1) 1170º 0` 0"

2) 340º 14` 24"

3) 6º 32` 24"

Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final

de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.

Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 1

14 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 1

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Respuestas de la Autoevaluación 1 Pregunta Nº 1

d. 25,52º ; 45,84º y 300,93º Pregunta Nº 2

c. 30º30`, 100º15` y 320º25`12"

Pregunta Nº 3

Pregunta Nº 4

a.

1) vuelta + 40º en sentido antihorario

2) 3 vueltas +320º en sentido antihorario

3) 13 vueltas + 170º en sentido horario Pregunta Nº 5

d.

1) 450º

2) 780º

3) -1680º

d.

1) 1170º 0` 0"

2) 340º 14` 24"

3) 6º 32` 24"

15 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 2

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 2

Objetivos específicos

* Manejar los diferentes tipos de triángulos y sus características principales

Actividades

* Leer apuntes sesión 2. * Practicar los ejemplos resueltos de cada contenido

de la sesión 2. * Realizar los ejercicios propuestos de la sesión 2. * Realizar la autoevaluación de la sesión 2.

Recursos

* Apuntes sesión 2. * Ejercicios Propuestos sesión 2. * Trigonometría de Baldor.

Ángulos en el sistema circular

En el sistema circular se usa como unidad el ángulo llamado

radián. Un radian es el ángulo cuyos lados comprenden un arco de

circunferencia donde su longitud (longitud del arco) es igual al

radio de ésta.

En la figura 2.1. se muestra la definición de un radián como medida

angular.

O A

B

r

r

r

α

Si la longitud del arco AB es igual a r,

entonces α es igual a un radián

Figura 2.1. Ángulo de un radián

16 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 2

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1. Relación entre grados sexagesimales y radianes

En primer término necesitamos definir lo que es el perímetro de una

circunferencia. El perímetro P de una circunferencia de radio r, se

refiere a la medida de la longitud de ella (como si fuera una cuerda

y se midiera su longitud), viene dado como:

P = 2π.r Si tenemos una circunferencia de radio unitario (r = 1), entonces:

P = 2π

Luego, el ángulo de una circunferencia completa, medido en

radianes, es 2π (longitud de la circunferencia). Además, sabemos

que este mismo ángulo en grados mide 360º, entonces podemos

definir una equivalencia entre radián y grado sexagesimal:

2π rad 360º

1 rad.

De donde:

α = 2π360 x1 = 57,29º ó 1 radián = 57,29º (ángulo señalado en

la figura 2.1).

Análogamente,

2π rad 360º

x 1º

De donde, x =180π 1º

360ºrad 2π

x = rad. ó 1º = 180π radianes

Podemos convertir grados a radianes o viceversa, siguiendo las

igualdades anteriores, los cuales se pueden generalizar con la

siguiente regla:

2π rad. 360º

R G

De donde,

3602GR

(1.2.1)

Aquí:

R: es la medida angular en radianes

G: es la medida angular en grados sexagesimales

17 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 2

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A partir de esta igualdad, podemos determinar que:

90º = π/2 radianes

Aquí G = 90º,

Luego: rad 2π rad2π

360º90º 2π

360G R x x ===

De igual manera:

60º = π/3 radianes

45º = π/4 radianes

30º = π/6 radianes

Ejemplo 2.1

Convertir 15º12’ a radianes

Paso 1. Convertir minutos a grados.

Recordando que 1º tiene 60 minutos y cada minuto 60 segundos

podemos aplicar una regla de tres para convertir 12’ a grados.

5º1grad

6012

min60grad112min.'12 === = 0,2º

2do. Paso. Sumar los grados totales G.

5º 76

5º 115º 12' 15º G =+== Ó, G = 15,2º

Paso 2. Convertir los grados totales G a radianes.

Utilizando la ecuación (1.2.1) tenemos que:

2π360GR ⋅=

π22519π

3605276 2π

36076/5 R

x

x==⋅= radianes

Ejemplo 2.2 Convertir 5π/3 radianes a grados

Se tiene como dato que

R = 5π/3 rad

18 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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Utilizando la relación (1.2.1), se tiene que:

3602

⋅=πRG

Sustituyendo a R tenemos:

º300323605360

23/5

=∗∗

=⋅=π

ππG º300

323605360

23/5

==⋅=x

xGπ

π

2. Ángulos complementarios y suplementarios

Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto (90º),

ver la figura 2.2 (a).

Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo llano (180º), ver

la figura 2.2 (b).

Figura 2.2. Ángulos complementarios y suplementarios

Se habla así de:

2.1. Complemento de un ángulo: es el ángulo que falta para formar un

ángulo recto.

2.2. Suplemento de un ángulo: es el ángulo que falta para formar un

ángulo llano.

En los siguientes ejemplos se muestran estas definiciones.

Ejemplo 2.3

El complemento de 18º es 72º por que 18º + 72º = 90º

Ejemplo 2.4

El complemento de 35º 47’ es 54º 13’ pues 35º 47’ + 54º 13’ = 90º

Ejemplo 2.5

El suplemento de 70º es 110º por que 70º + 110º = 180º

Ejemplo 2.6

El suplemento de 125º 10’ 32’’ es 54º 49’ 28’’ puesto que: 125º 10’

32’’ + 54º 49’ 28’’ = 180º

19 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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3. Ángulos adyacentes

Son aquellos formados de manera que un lado es común y los otros

dos lados pertenecen a una misma recta. En la figura 2.3., los

ángulos α y β son adyacentes ya que la recta OC es común a α y β,

y los lados OA y OB forman parte de una misma recta.

B O

A

C

α β

Figura 2.3. Ángulos Adyacentes

Ejemplo 2.7 Dos ángulos adyacentes son suplementarios

Esto se puede comprobar utilizando la figura 1.2.11, donde se definió

a α y β como ángulos adyacentes, de la figura:

α + β = ∠ AOB

Pero el ángulo ∠ AOB = 180º (por definición de ángulo llano entre las semirrectas OA y OB).

Luego, α + β = 180º

Lo que indica que α y β son suplementarios.

4. Ángulos consecutivos

Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado común que separe a

los otros dos lados.

En la figura 2.4. los ángulos ∠AOB y ∠ BOC son consecutivos.

O A

B

C

D

E

F

Figura 2.4. Ángulos consecutivos

20 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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Varios ángulos pueden ser consecutivos si el primero es consecutivo

del segundo, éste del tercero, el tercero del cuarto y así

sucesivamente. En la figura 2.4., los ángulos ∠ AOB, ∠ BOC,

∠ COD, ∠ DOE, ∠ EOF y ∠ FOA son consecutivos.

Ejemplo 2.8

Dos ángulos adyacentes son consecutivos

En la figura 2.3., α y β son adyacentes y consecutivos

Ejemplo 2.9

Un ángulo y su complemento son adyacentes

En la figura 2.2. (a) φ y β son complementarios y además

adyacentes.

Teorema 2.1. La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un

punto es igual a 360º.

En la figura 2.5.

∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD + ∠ DOE + ∠ EOF + ∠ FOA = 360º.

O A

B

C

D

E

F

Figura 2.5. Ángulos consecutivos Ejemplo 2.10

En la figura 2.6., el ángulo AOD es recto. Si el ángulo COD es el

doble del ángulo AOB y el ángulo AOB está en la relación 1:3 con

el ángulo BOC. Determine dichos ángulos.

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O A

B

C

D

Figura 2.6. Ángulos

Solución:

Sea x el ángulo AOB ⇒ ∠ AOB = x

Según los datos del problema:

el ángulo ∠ AOD = 90º.

el ángulo ∠ COD = 2 ∠ AOB = 2 x

Y la relación x31AOB.

31BOC

13

BOCAOB

=∠=∠⇒=∠∠

Aplicando el teorema 2.1 la suma de los ángulos consecutivos debe

ser igual 90º (ángulo recto).

∠ AOB + ∠ BOC + ∠ COD = 90o

Luego, x + 2x + x31

= 90º

90x3

10= º ⇒ x = 27

10390x

= º

Los ángulos pedidos son:

∠ AOB = 27º

∠ COD = 2 x 27º = 54º

∠ BOC = 2731

x = 9º

5. Ángulos opuestos por el vértice

Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos

son la prolongación de los lados del otro.

En la figura 2.7., los ángulos ∠ AOD y ∠ BOC son opuestos por el

vértice, igualmente los ángulos ∠ BOD y ∠ AOC.

A

B D

C

O

Figura 2.7. Ángulos opuestos por el vértice

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Teorema 2.2 Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

En la figura 2.7., el ángulo ∠ AOD = ∠ BOC y ∠ BOD = ∠ AOC

Ejemplo 2.11

En la figura 2.8., si el ángulo BOC es el doble del ángulo AOB. Hallar

∠ AOB, ∠ COD, ∠ BOC, ∠ AOD.

O

A

B C

D

α β

Figura 2.8. Ángulo

Solución:

Sea el ángulo

∠ AOB = α y ∠ BOC = β como se señala en la figura 2.8.

Según los datos del problema β = 2 α

Por la definición de ángulos adyacentes

∠ AOB = ∠ COD = α y ∠ COD = ∠ AOD = β

Por el teorema 2.1, la suma de los ángulos debe ser igual a 360º,

luego:

2 α + 2 β = 360º (1.2.2)

pero β = 2 α (1.2.3)

Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, α y β.

Sustituyendo la ecuación (1.2.3) en (1.2.2) se tiene:

2 α + 2 (2 α) = 360º

de donde, 6 α = 360º

º606

360º==α ⇒ ∠ AOB = 60º

y de la ecuación (1.2.3)

β = 2 (60º) = 120º ⇒ ∠ BOC = 120º

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Ejemplo 2.12

En la figura 2.9., si el ángulo AOB es recto y al ángulo AOC y BOC

están en la relación 1:2. Determinar dichos ángulos.

B

O A

C

α

β

Figura 2.9. Ángulo

Solución:

Paso1. Vamos a llamar

∠ AOC = α y ∠ BOC = β

Por ángulos consecutivos

α + β = 90º (1.2.4)

Paso2. La relación que señala el problema 1:2 nos dice que por

cada 1º de α se tienen 2º en β. Podemos plantear una regla de tres

de la siguiente manera:

1 2 α β

O también: β. 1 = 2. α

β = 2 α (1.2.5)

Nuevamente se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas, que por sustitución se puede resolver:

Sustituyendo la ecuación (1.2.5) en (1.2.4) se tiene:

α + 2 α = 90º

3 α = 90º

α = 90º/3

30ºα =

y de la ecuación (1.2.5), sustituyendo el valor de α encontrado, se

tiene:

º60º302β == x

24 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 2: Ejercicios propuestos

1. Convertir los siguientes ángulos a radianes.

a) 135º

b) 270º

c) 335º

d) 540º

e) 1800º

f) 3600º

g) –800º

h) 5º 30’

k) 18º 30’ 45’’

2. Expresar las siguientes medidas angulares en grados

sexagesimales.

a) 2π/3 rad

b) 7π/4 rad

c) 11π/3 rad

d) 5π/6 rad

e) 13π/2 rad

f) -7π/2 rad

3. Hallar el complemento de los siguientes ángulos:

a) 36º

b) 15º 26’

c) 40º 37’ 50’’

4. Hallar el suplemento de los siguientes ángulos:

a) 76º

b) 120º

c) 130º 45’

d) 178º 40’ 36’’

5. En la Figura 1 se sabe que el segmento ED es perpendicular a DC y que el ángulo EDB mide 25º. Determine los ángulos ADC y BDC en grados.

Figura 1. Ángulo

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6. En la Figura 2, si el ángulo MON y el ángulo NOP están en la

relación 2:5. Determine dichos ángulos.

Figura 2. Ángulos MON y NOP

7. Un ángulo es igual a la tercera parte de su complemento.

Determine dicho ángulo.

8. Un ángulo igual a la cuarta parte de sus suplemento.¿Cuál es

ese ángulo?

9. Un ángulo y su suplemento están en la relación 3:2. Determine

estos ángulos.

10. Dos ángulos están en la relación 3:5 y su suma es igual a 120º.

Hallarlos.

11. En la Figura 3, el ángulo AOD es recto. Si el ángulo COD es el

doble del ángulo AOB y el ángulo AOB está en la relación 2:3

con el ángulo BOC. Determine dichos ángulos.

Figura 3. Ángulos AOD, COD y AOB

12. En la Figura 4 la suma de los ángulos AOB y COD es 65 º y la

suma de los ángulos BOD y AOC es 105 º. ¿Cuánto mide el

ángulo AOD?

Figura 4. Ángulos AOB, COD, BOD y AOC

26 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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13. En la Figura 5, el segmento DE es perpendicular al segmento AB,

FE es perpendicular a BC, y el ángulo DEF es 35º. Determine el

ángulo ß de la figura.

Figura 5. Segmento DE y AB

14. En la Figura 6, si L1 y L2 son dos rectas paralelas, determine al

ángulo.

Figura 6. L1 y L2 Rectas paralelas

15. En la Figura 7, la recta L1 es paralela a L2 y L3 es perpendicular

a L4. Determine el ángulo

Figura 7. Rectas paralelas y perpendiculares

16. En la Figura 8, si: = 3x, = 2xy = 4x Determine dichos ángulos.

Figura 8. Determinar los ángulos

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 2

Autoevaluación 2 Pregunta Nº 1 Expresar en radianes las siguientes medidas angulares: 45º, 135º y

225º

a. /4, 3 /4, 5 /4 b. /3, 2 /3, 5 /3 c. /6, 3 /4, 4 /3 d. /2, , 3 /2 Pregunta Nº 2 Expresar en grado sexagesimales, las siguientes medidas angulares

/2, , 5 /3

a. 60º, 180º y 340º b. 30º, 90º y 300º c. 90º, 180º y 300º d. 90º, 180º y 270º Pregunta Nº 3

Encontrar la medida en grados sexagesimales de - /4, 2 /3, -5

/2

a. 45º, -120º y -90º b. -60º, 150º y -180º c. -90º, 150º y -45º d. -45º, 120º y -90º Pregunta Nº 4 Expresar la medida en radianes de los ángulos: 240º, 300º y 990º

a. 3 /2, 2 , 13 /2

b. 7 /6, 11 /6, 7 /2

c. 4 /3, 5 /3, 11 /2

d. 4 /3, 11 /6, 11 /2

Pregunta Nº 5 En la siguiente figura, si = x, = x/2, = 3/2. Entonces los ángulos

de , y son respectivamente:

28 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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a. 30º, 60º y 90º b. 180º, 90º y 270º c. 60º, 30º y 90º d. 90º, 180º y 270º

Pregunta Nº 6 En la figura siguiente; el segmento DE es perpendicular al segmento

BC y EF es perpendicular a AB. Si el ángulo DEF es 40º, los ángulos y

son respectivos.

a. 140º y 150º

b. 130º y 140º

c. 150º y 160º

d. 120º y 130º

Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final

de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.

29 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 2

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 2

Respuestas a la Autoevaluación 2 Pregunta Nº 1

d. /2, , 3 /2 Pregunta Nº 2

c. 90º, 180º y 300º

Pregunta Nº 3

Pregunta Nº 4

Pregunta Nº 5

b. 130º y 140º

Pregunta Nº 6

c. 4 /3, 5 /3, 11 /2

c. 60º, 30º y 90º

d. -45º, 120º y -90º

30 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 3

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 3

Objetivos específicos

* Manejar y conocer los diferentes tipos de triángulos.

Actividades

* Leer apuntes sesión 3. * Practicar los ejemplos resueltos de cada contenido

de la sesión 3. * Realizar los ejercicios propuestos de la sesión 3. * Realizar la autoevaluación de la sesión 3.

Recursos

* Apuntes sesión 3. * Ejercicios Propuestos de la sesión 3.

Triángulos

Un triángulo se puede definir como la porción del plano limitada

por tres rectas que se cortan dos a dos.

Los puntos de intersección de las rectas se llaman vértices del

triángulo, y se señalan con letras mayúsculas: A, B, C... (Ver figura

3.1)

Los segmentos determinados entre los vértices se llaman lados del

triángulo, y se le asignan letras minúsculas: a, b, c... (Ver figura 3.1)

A B

C

a

b c

α β

γ

Figura 3.1. Triángulos

31 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 3

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1. Perímetro de un triángulo

Se llama perímetro a la suma de las longitudes de los tres lados del

triángulo, en la figura 1.3.1, si a, b y c representan las longitudes de

los lados, entonces el perímetro P del triángulo ABC viene dado

como:

P = a + b + c

Ejemplo 3.1

Considere el triángulo de la figura 3.2, donde los lados a, b y c

tienen longitudes de 10 cm., 6 cm. y 7 cm. respectivamente.

Calcular su perímetro.

A B

C

a

b c

Figura 3.2. Perímetro de un Triángulo

Solución: P = a + b + c = 10 cm + 6 cm + 7 cm = 23 cm

2. Ángulo interior de un triángulo

Un ángulo interior es aquel formado por dos lados del triángulo, así

pues, todo triángulo va a tener 3 ángulos interiores. En la figura

1.3.1, los ángulos interiores del triángulo ABC son: α, β y γ.

Teorema 1.3.1. La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo

es igual a 180º (un ángulo llano). En figura 1.3.3, α, β y γ son ángulos

interiores del triángulo, luego:

α + β + γ = 180º

A B

C

α β

γ

α + β + γ = 180º

Figura 3.3. Ángulos interiores de un triángulo

32 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 3

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Ejemplo 3.2 Determine el ángulo γ en el triángulo de la figura 3.4, si los ángulos

α y β son 75º y 45º respectivamente.

C

A B α β

γ

Figura 3.4. Ángulos del Triángulo

Solución:

Por el teorema 1.3.1 se tiene que: α + β= 180º

75º + 45º + y = 180º

120º + y = 180º

y= 180º - 120º

y = 60º

Ejemplo 3.3 En la figura 3.5 se tiene un triángulo rectángulo, si β es igual a γ

Determine sus ángulos interiores.

A B

C

α β

γ

Figura 3.5. Triángulo rectángulo

Solución:

a) Por ser un triángulo rectángulo, el ángulo α es recto: α = 90º

b) De los datos del problema se tiene que: β = γ (1.3.1)

c) Usando el teorema 1.3, se tiene que: 90º + β + γ = 180º

(1.3.2)

d) Sustituyendo la igualdad (1.3.1) en (1.3.2), se llega a:

90º + 2β = 180º

de donde, º452

º902

º90º180 ==−= β

e) Los ángulos interiores del triángulo son: α = 90º, β = 45º, γ = 45º

33 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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3. Ángulo exterior de un triángulo

Es el ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación del

otro. En la figura 3.6 los ángulos α’, β’ y γ’ son exteriores.

A B

C

α’

β’

γ’

Figura 3.6. Ángulo exterior de un triángulo Ejemplo 3.4 En la figura 3.7 se muestran los ángulos exteriores del triángulo ABC.

A B

C

110º

110º

140º

Figura 3.7. Ángulo exterior de un triángulo

Teorema 1.3.2. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es

igual a 360º.

En la figura 3.8, α’, β’ y γ’ son ángulos exteriores del triángulo ABC,

luego:

α’ + β’ + γ’ = 360º

34 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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A B

C

α’

β’

γ’

Figura 3.8. Ángulo exterior de un triángulo . Ejemplo 3.5 Considere el triángulo de la figura 3.7. Si α’ = β’ = 135º, determine el

ángulo γ’.

Solución:

Por ser ángulos exteriores del triángulo, utilizando el teorema 1.4 se

tiene que:

135º + 135º + γ’ = 360º

γ’ = 360º - 270º

γ’ = 90º

Teorema 1.3.3. Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la

suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

En la figura 3.9, β’ es un ángulo exterior, α y γ son ángulos interiores

no adyacentes, luego: β’ = α + γ

A B

C

α β’

γ

β’ = α + γ

Figura 3.9. Ángulo exterior de un triángulo Ejemplo 3.6 Comprobar el teorema 1.3.3

Solución:

En la figura 3.10, el ángulo en el vértice B vamos a llamarlo α

(ángulo interior del triángulo), y β’ su ángulo exterior.

35 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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A B

C

α β’

γ

β

Figura 3.10. Ángulo exterior de un triángulo

a) Por la definición de ángulos adyacentes: β + β’ = 180º.

de donde, β’ = 180º - β (1.3.3)

b) Aplicando el teorema 1.3 (suma de los ángulos interiores), se

tiene:

i. α + β + γ = 180º

c) de donde, α + γ = 180º - β (1.3.4)

d) Comparando o igualando las ecuaciones (1.3.3) y (1.3.4) se llega

a:

α + γ = β’

Ejemplo 3.7

En la figura 3.11, se tiene un triángulo rectángulo. Si γ = 30º,

determine el ángulo β’

A B

C

β’

γ

α

Figura 3.11. Ángulo exterior de un triángulo

Solución:

a) Por ser un triángulo rectángulo, el ángulo ∠ CAB (α) es recto,

luego: α = 90º.

b) Por el teorema 1.3.3, se tiene que: β’ = 90º + γ

c) Sustituyendo el valor de γ: β’ = 90º + 30º = 120º

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4. Clasificación de los triángulos 4.1. Por sus lados:

a) Isósceles: Triángulo que tiene dos lados iguales.

b) Equilátero: Tres lados iguales

c) Escaleno: Tres lados diferentes.

4.2. Por sus ángulos:

a) Acutángulo: Triángulo con tres ángulos agudos.

b) Obtusángulo: El que tiene un ángulo obtuso.

c) Rectángulo: El que tiene un ángulo recto.

Un triángulo que no tiene ningún ángulo recto se dice que es

oblicuángulo.

En las figuras 3.12 y 3.13 se muestran las diferentes formas de los

triángulos clasificados por sus lados y ángulos.

Isósceles Equilátero Escaleno

Figura 3.12. Clasificación de los triángulos por sus lados

Acutángulo Obtusángulo Rectángulo

Figura 3.13. Clasificación de los triángulos por sus ángulos

En un triángulo rectángulo se habla de:

Catetos: Lados que forman un ángulo recto.

Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto (ver figura 3.14)

Cateto

Cateto Hipotenusa

37 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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Figura 3.14. Triángulo rectángulo Ejemplo 3.8

Determine los ángulos interiores del triángulo equilátero de la figura

3.15

A B

C

α β

γ

10 cm 10 cm

10 cm

Figura 3.15. Ángulos interiores del triángulo

Solución:

• Por el teorema 1.3.1 (suma de los ángulos interiores) se tiene:

α + β + γ = 180º

• Como se tiene un triángulo equilátero (lados de igual longitud),

sus ángulos interiores también son iguales.

Luego:

α = β = γ

Resolviendo: 3 α = 180º

α = 60º

• Finalmente los ángulos interiores del triángulo equilátero serán:

α = β = γ = 60º

38 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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Sesión 3: Ejercicios propuestos

1. En el triángulo isósceles de la figura 3.31, el ángulo ∠ ABC mide 50º. Determine el ángulo ∠ ACB.

A C

B

Figura 3.31. Triángulo isósceles ABC 2. Un triángulo ¿Puede tener dos ángulos internos obtusos? 3. En la figura 3.32, determine la suma X + Y en grados.

A B

C

X Y

30º

Figura 3.32. Ángulos X y Y 4. Los ángulos exteriores del triángulo de la figura 3.33 están en la

relación 7z

6y

5x

== . Determine el valor del ángulo α.

x

y z

α

Figura 3.33. Ángulos exteriores

39 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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5. En la figura 3.34 se tiene el triángulo ABC con los ángulos interiores señalado. Determine el ángulo γ.

Figura 3.34. Triángulo ABC 6. En la figura 3.35 el polígono ABCD es un paralelogramo. Si las

medidas en grados de los ángulos internos se expresan en términos de x; el valor de x es:

a) 54º

b) 60º

c) 75º

d) 30º

Figura 3.35. Polígono ABCD

7. En la figura 3.36 se tiene que AB = BC y CD ⊥ DE, entonces la suma de los ángulos α y β es:

a) + β = 125º

b) + β = 140º

c) + β = 160º

d) + β = 170º

γ

140º

140º

A

C B

x/3 2x

x

A B

CD

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Figura 3.36. Ángulos α y β 8. En los triángulos de la figura 3.37 se tiene AC = BC, AC DE , α =

55º y β = 20º. Entonces el valor del ángulo γ es:

a) 45º b) 50º c) 55º d) 60º

Figura 3.37. Ángulo γ 9. En el triángulo ABC de la figura 3.38, de lados AB= 15 cm, AC=

12 cm y BC= 9 cm, se divide cada lado en tres (3) partes

iguales, y se determinan, en el orden siguiente, los puntos A, M,

S, B, Q, P, C, R, N. Luego, el perímetro del hexágono MSQPRN,

es:

a) 6 cm. b) 12 cm. c) 12 cm. d) 24 cm.

A C

B

D

E

110º

α

β

A B

C

D

E

α

β

γ

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Figura 3.38. Triángulo ABC 10. En la figura 3.39 el segmento DE es paralelo a AB y el ángulo α =

50º. Entonces el ángulo β mide:

a) 100º

b) 110º

c) 120º

d) 130º

Figura 3.39. Ángulos

11. En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 40º.

Uno de los ángulos que determinan dos alturas iguales del

triángulo mide:

a) 20º b) 60º c) 70º d) 35º

C A

B

Q

P

R

S

N

M

C

D

A

E

B α

β

42 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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12. En la figura 3.40, si AP = PC, PB = BC y la medida del ángulo PBC

es 80º, ¿cuál es la medida en grados del ángulo PAC?

a) 15º

b) 20º

c) 25º

d) 30º

Figura 3.40. Ángulo PAC

43 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 3

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 3

Autoevaluación 3 Pregunta Nº 1 En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la base mide 80º. Uno

de los ángulos que determinan dos alturas iguales del triángulo

mide:

a. 40º b. 60º c. 25º d. 50º Pregunta Nº 2 En la figura siguiente las medidas de los ángulos internos del triángulo ABC se expresan en términos de X. El valor de X en grados es:

a. 30º b. 75º c. 60º d. 54º Pregunta Nº 3

La suma de los dos ángulos internos iguales de un triángulo

isósceles de 80º. El tercer ángulo interno mide:

a. 90º b. 140º c. 120º d. 100º

44 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 3

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Pregunta Nº 4

En la siguiente figura, si AB = BC; BD = CD y la medida del ángulo

BDC es 40º. La medida del ángulo BAC en grados es:

a. 25º b. 40º c. 35º d. 30º Pregunta Nº 5 En la siguiente figura, la longitud de los triángulos ABC se expresa en

términos de X y el perímetro de dicho triángulo es de 50 cm. Luego,

el valor de X es:

a. 10 b. 40 c. 30 d. 20

Pregunta Nº 6

En la siguiente figura, el segmento DE es paralelo a DC y el triángulo

ABC es equilátero. Entonces el ángulo mide:

45 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 3

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a. 60º b. 120º c. 110º d. 90º

Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final

de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.

46 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 3

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 3

Autoevaluación 3 Pregunta Nº 1

a. 40º

Pregunta Nº 2

d. 54º

Pregunta Nº 3

d. 100º

Pregunta Nº 4

c. 35º

Pregunta Nº 5

c. 30 Pregunta Nº 6

b. 120º

47 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 4

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 4

Objetivos específicos

* Manejar y conocer los diferentes tipos de triángulos.

Actividades

* Leer apuntes sesión 4. * Realizar los ejercicios prácticos de los contenidos de

la sesión 4. * Resolver los ejercicios propuestos de la sesión 4. * Realizar la autoevaluación de la sesión 4.

Recursos

* Apuntes sesión 4. * Ejercicios Propuestos de la sesión 4.

Segmentos y puntos notables de un triángulo

a) Mediana: Es el segmento trazado desde un vértice al

punto medio del lado opuesto. En la figura 4.1 se

observan las tres medianas AE, BF y CD de un triángulo. El

punto de intersección P de las medianas se llama

Baricentro.

A B

C

D

E F

P

Figura 4.1. Mediana de un triángulo

b) Altura: Se refiere a la perpendicular trazada desde un

vértice al lado opuesto o su prolongación. En la figura

4.2. (a) se muestra la altura h en un triángulo acutángulo

y en la figura 4.2. (b) se puede ver la altura h para un

triángulo obtusángulo.

48 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 4

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A

h

B

C

h

D E

F

Triángulo acutángulo Triángulo obtusángulo (a) (b)

Figura 4.2. Alturas en dos tipos de triángulos

Todo triángulo tiene tres alturas correspondientes a cada lado. El

punto O donde se interceptan los tres segmentos que definen las

alturas se llama Ortocentro, ver Figura 4.3.

O

A B

C

Figura 4.3. Ortocentro e un triángulo

c) Bisectriz: Es el segmento de recta que divide a un ángulo

interior en dos ángulos iguales.

El punto I donde se interceptan las tres rectas bisectrices de un

triángulo se llama Incentro, ver figura 4.3.

I

A B

C

Figura 4.3. Incentro de un triángulo

d) Mediatriz: Es una recta perpendicular que pasa por el punto medio de un lado.

Cada lado tiene una mediatriz, ver figura 4.4.

El punto C donde se interceptan las tres mediatrices se llama Circucentro.

49 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 4

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C

A B

D

Figura 4.4. Circucentro

1. Triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes si tienen la misma forma y el mismo

tamaño, y por tanto, al superponerlas por traslación coinciden

totalmente, ver figura 4.5.

A B

C

A’ B’

C’

α α’ β β’

γ γ’

Figura 4.5. Triángulos congruentes

Teorema 1.3.4. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados

congruentes (sus tres lados coinciden).

Teorema 1.3.5. Dos triángulos son congruentes si tienen un lado

congruente y los ángulos adyacentes a este lado también son

congruentes.

Ejemplo 4.1

En la figura 4.5., el lado AB y los ángulos interiores α y βdel triángulo

ABC, son congruentes con A’B’, α’ y β’ del triángulo A’B’C’,

respectivamente.

1.1. Triángulos semejantes

Son aquellos que tienen igual forma pero diferente tamaño, es

decir, sus ángulos son iguales pero sus lados correspondientes son

proporcionales. En la figura 1.3.21 los triángulos ABC y A’B’C’ son

semejantes.

50 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 4

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A B

C

A’ B’

C’

α α’ β β’

γ

γ’

Figura 4.6. Triángulos semejantes

Teorema 1.3.6. Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes solo sí sus

ángulos interiores son congruentes (ó respectivamente iguales).

Ejemplo 4.2. En la figura 4.6., si α, β y γ son los ángulos interiores del triángulo

ABC y α’, β’ y γ’ son los ángulos interiores del triángulo semejante

A’B’C’, entonces,

α = α’, β = β’ y γ = γ’

Teorema 1.3.7. Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si y sólo si

se satisface la siguiente relación entre las longitudes de los lados

proporcionales:

kC'B'

BCC'A'

ACA'B'AB

===

donde k es una constante positiva.

Ejemplo 4.3

En la figura 4.6., si las longitudes de los lados de los triángulos

semejantes ABC y A’B’C’ son: AB =10 cm., A’B’ =5 cm, AC =8 cm,

A’C’ =4 cm, BC =4 cm y B’C’ = 2 cm, se tiene que:

2cm2cm4

C'B'BC

2cm4cm8

C'A'AC

2cm5cm10

A'B'AB

==

==

==

Luego

Ejemplo 4.4

El triángulo ABC de la figura 4.7. es equilátero y se han trazado dos

de sus alturas. Determine el ángulo β formado por los segmentos CD

y BE

51 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

Tema 1 / Sesión 4

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C

A B D

E

F β

α

Figura 4.7. Triángulo equilátero

Solución:

• Tenemos que, se puede trazar la tercera altura (segmento AG),

como se observa en la figura 4.8.

A B

C

D

E

F β

G

α

Figura 4.8. Triángulo equilátero

• Los ángulos internos (α) de un triángulo equilátero son de 60º,

según el ejemplo 4.1 Por lo tanto, se forman los triángulos

rectángulos AEF y ADF, los cuales son congruentes (ver figura

4.9.).

A D

F

α’

β ’

E

α’

β ’

Figura 4.9. Ángulos internos de un triángulo equilátero

52 Guía didáctico: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Trigonometría Tema 1: Preliminares Geométricos

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• Las alturas de los lados (segmentos AG, BE y CD) del triángulo

aquí, forman las bisectrices de los ángulos interiores.

Por lo tanto, de la figura 4.9., si α’ y β’son los ángulos interiores de los

triángulos rectángulos AEF y ADF, se tiene que:

oo

302

602

' ===α

α

También, β' = 2β

Por el teorema 1.3.1 (suma de los ángulos interiores igual a 180º), se

tiene que:

α’ + β’ + 90º = 180º

β’ = 180º - 90º - α’

β’ = 180º - 90º - 30º

β’ = 60º

Luego, β = 2 β’

β = 2 * 60º = 120º

Ejemplo 4.5 Si L1 y L2 son dos rectas paralelas en la figura 4.9., determine la medida del ángulo α

150º

60º

α

L1 L2

Figura 4.10. Rectas Paralelas

Solución:

• Tenemos que, se va a trazar la recta L3 perpendicular a L1 y L2

de tal manera de construir los triángulos rectángulos AOD y

BOC, como se muestra en la figura 4.11.

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L1 L2

L3 A O B

C

D

β

180º

γ

δ

155º

45º

Figura 4.11. Construcción del triángulo rectángulo

• De las figuras 4.10. y 4.11.: α = 180º + β + γ (1.3.5)

• En el triángulo rectángulo AOD, aplicando el teorema 1.3.1

(suma de los ángulos internos = 180º), se tiene:

β = 180º - 90º - 45º = 45º (1.3.6)

• En el triángulo rectángulo BOC, aplicando la definición de

ángulos suplementarios, se tiene:

155º + δ = 180º ⇒ δ = 25º

• Nuevamente, por el teorema 1.3.1 en el triángulo BOC, se llega

a: δ + γ + 90º = 180º ⇒ γ = 180º - 90º - δ

γ = 180º - 90º - 25º

γ = 65º

• Finalmente, sustituyendo los resultados en (1.3.5) se tiene:

α = 180º + 45º + 65º = 290º

1.2. Área de un triángulo

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base

por la altura.

En la figura 4.12. si la base del triángulo es b y la altura es h,

entonces el área A viene dada como:

2

hb2alturabaseA ∗∗

== (1.3.7)

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A B

C

h

b

Figura 4.12. Área de un triángulo

Teorema 1.3.8. Si dos triángulos son congruentes, entonces tienen

igual base e igual altura, luego sus áreas serán iguales.

Teorema 1.3.9. Si dos triángulos son semejantes, sus áreas serán

proporcionales.

Teorema 1.3.10. Si dos triángulos no congruentes cualesquiera tienen

la misma base e igual altura, entonces sus áreas serán iguales.

Ejemplo 1.3.13. Determine el área de los triángulos ABC y PQR, de

las figuras 4.12. (a) y 4.12. (b) respectivamente, si la longitud de sus

bases miden 12 metros y sus alturas 10 metros.

A B

C

P Q

R

(a) (b)

h

Figura 4.13. Área de un triángulo

Solución:

• El ejemplo presenta triángulos con las mismas bases (longitud de

los segmentos AB y PQ respectivamente), y la misma altura h.

• Usando la ecuación (1.3.7), con b = 12 m y h = 10 m, se tiene:

A = 2m602

m 10 m 122

hb==

∗∗

Ejemplo 4.6

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En la figura 4.14. se presenta el triángulo ABP inscrito dentro de un

cuadrado de lado L. Si A y B son los puntos medios de los lados del

cuadrado, determine el área del triángulo en función de L.

A

B

P

L

Figura 4.14. Triángulo ABP dentro de un cuadrado L

Solución:

• Siendo M, N y O los vértices del cuadrado MNOP como se

muestra en la figura 4.15.

A

B

P

L

M

N O

b1

h1

b3

h3

Figura 4.15. Vértices del cuadrado MNOP

• El área del triángulo ABP se puede determinar restando al área

del cuadrado MNOP la suma de las áreas de los triángulos AMP,

ANB y BOP.

El área del cuadrado, Ac, viene dada como;

Ac = L * L = L2

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El área, A1, del triángulo AMP, tomando como base (b1) la longitud

del segmento AM y como altura (h1) la longitud del segmento MP,

como se muestra en la figura 4.15., se tiene:

b1 = 2L

(por ser A el punto medio del lado MN del cuadrado)

h1 = L (longitud del lado MP del cuadrado)

Luego, A1 = 4L

2

L 2L

2h1b1 2

==∗

• Los triángulos AMP y BOP son congruentes; luego, sus lados y

ángulos interiores también son congruentes. Por el teorema 1.3.8

sus áreas también serán iguales, luego, si A2 es el área del

triángulo BOP, se tiene que:

A1 = A2 = 4

2L

• Si A3 es el área del triángulo ANB, tomando como base (b3) la

longitud del segmento NB y altura (h3) la longitud del segmento

AN, se tiene:

b3 = 2L

(mitad de la longitud del segmento NO)

h3 = 2L

(mitad de la longitud del segmento NM)

Luego, A3 = 8L

22L

2L

2h3b3 2

==∗

• Finalmente, si At es el área del triángulo ABP, se tiene por

diferencia que:

At = Ac – A1 – A2 – A3

At = L2 -4

2L -

4

2L -

8

2L

At = 8

3L8

L2L2L8L 22222=

−−−

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 4: Ejercicios propuestos

1. En el triángulo de la figura 4.16., D es un punto medio del lado

AC, E es el punto medio del lado BC y F es el punto medio de EC.

¿Cuáles de las siguientes parejas de triángulos son semejantes?

A B

C

D E

F

Figura 4.16. Triángulo

a) DEF y AED

b) AED y ABE

c) DEF y ABE

d) DFC y AED

2. En la figura 4.17. se representa el triángulo isósceles ABC, si el

segmento AD es la bisectriz del ángulo BAC. Determine el

ángulo X.

120º

A B

C

D

x

Figura 4.17. Triángulo isósceles

3. En el triángulo ABC de la figura 4.18., se sabe que AC = BC y

que AD y BD son bisectrices de los ángulos CAB y CBA

respectivamente. Determine el ángulo ADB en grados.

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B

C

A

D

60º

?

Figura 4.18. Triángulo ABC

4. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 4.19., AD = 6 cm., BC

= 18 cm. y DE = 4 cm., por semejanza de triángulos determine la

distancia BD.

Figura 4.19. Triángulo rectángulo 5. En el triángulo rectángulo ACD de la figura 4.20., BE CD, AE =

5 cm, BE = 4 cm y CD = 12 cm. Utilizando semejanza de triángulos el perímetro del triángulo ACD es:

a) 16 cm

b) 26 cm

c) 36 cm

d) 46 cm

A

C

B D

4

18 E

6

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Figura 4.20. Triángulo rectángulo

6. En la figura 4.21. el triángulo BCD es isósceles, si AB = DE entonces

los triángulos:

a) ABC y DCE son semejantes

b) ACE y BCD son semejantes

c) ABC y DCE son congruentes

d) ABC y DCE son iguales

Figura 4.21. Triángulo BCD 7. En la figura 4.22., el área de la región sombreada, expresada en

cm2, es:

a) 2 cm2

b) 4 cm2

c) 6 cm2

d) 8 cm2

A

D

C B

4

12 E

5

A E D B

C

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Figura 4.22. Área

8. En la figura 4.23., la altura de la región sombreada es el doble de

la altura del polígono ABCD. Si AB = 16 cm, AM=BM, AD es

paralelo a BC y el área de la región sombreada es de 48 cm2.

Entonces el área del triángulo ACD, en cm2, es:

a) 12 cm2

b) 24 cm2

c) 48 cm2

d) 96 cm2

Figura 4.23. Altura

9. En un triángulo rectángulo los catetos miden (x+4) y (x+5)

unidades y la hipotenusa (x+6). Entonces, el valor de x para que

el área del triángulo sea nula es:

a) 4 ó 5

b) -6

c) 6

d) -4 ó -5

10. En la figura 4.24. los segmentos BC, DE, y EF son paralelos;

además 32

AF2AD

ADAB

== . Si BC = 10 m. ¿Cuáles son las medidas

en metros, de los segmentos DE y FG?

A B

C D

E

M

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a) 20 m y 40 m

b) 15 m y 45 m

c) 30 m y 45 m

d) 15 m y 30 m

Figura 4.24. Segmentos

11. En la figura 4.25. se tiene un cuadrado ABCD de lado 3a; en el

interior del cuadrado se tiene cuatro cuadrados de lado a y

cuatro triángulos isósceles de altura a/2. El área de la estrella es

igual a:

a) 9 a2 b) 3 a2

c) 5 a2

d) 4 a2

Figura 4.25. Cuadrado ABCD 12. Si la figura 4.26. está formada por triángulos rectángulos y el

segmento BC mide 2 2 cm y AB=BC=BD, entonces el área de la región sombreada es igual a:

a) 4 cm2

b) 8 cm2

c) 12 cm2

d) 16 cm2

A

C B

D

F

E

G

a/2

a

A

C D

B

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Figura 4.26. Triángulos rectángulos

A

H K

D

B C

EF

G

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 4

Autoevaluación 4 Pregunta Nº 1

En un triángulo rectángulo los catetos miden (x+2) y (x+4) unidades y

la hipotenusa (x+5). Entonces el valor de x para que el área del

triángulo sea igual a 4 unidades cuadradas es:

a. 0 ó 6 b. 0 ó -6 c. -2 ó -4 d. 2 ó 4

Pregunta Nº 2

En la siguiente figura 1, el área de la regla sombreada, expresada en

cm2, es:

Figura 1. Área de la regla

a. 12 b. 14 c. 11 d. 18

Pregunta Nº 3

En el triángulo MNO de la siguiente figura se tiene que MO = NO y

que MR y NP son la bisectrices de los ángulos OMN y MNO

respectivamente. El ángulo PQR en grados mide:

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Figura 2. Triángulo MNO

a. 110 b. 130 c. 150 d. 120

Pregunta Nº 4

En el triángulo rectángulo ABC de la siguiente figura. CD=2cm,

DE=3cm y AB=24cm. La distancia del segmento AD mide:

Figura 3. Triángulo rectángulo ABC

a. 14 cm b. 12 cm c. 8 cm d. 10 cm

Pregunta Nº 5

En la siguiente figura se presenta el triángulo isósceles ABC, si el

segmento BD es la bisectriz del ángulo ABC. Determine el ángulo X

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Figura 4. Triángulo isósceles ABC

a. 140º b. 120º c. 160º d. 100º Una vez contestadas las preguntas, puede ver las respuestas al final

de la sesión. Si sus respuestas han sido correctas, continué con la

sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión

antes de continuar.

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Tema 1: Preliminares Geométricos

Sesión 4

Respuestas de la Autoevaluación 4 Pregunta Nº 1

c. -2 ó -4

Pregunta Nº 2

c. 11

Pregunta Nº 3

b. 130

Pregunta Nº 4

a. 14 cm

Pregunta Nº 5

b. 120º