INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL SECRETARIA ACADEMICA
CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ”
Departamento de Matérias Básicas
GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa
33ºº.. SSeemmeessttrree
GUÍA DE APRENDIZAJE Alma Alicia Benitez Pérez. Ofelia Santiago Escoto. J. Ventura Ángel Felícitos.
Guía de Estudio
Geometría Analítica
A. Benítez O. Santiago Academia de Matemáticas V. Ángel Matutino
Objetivo General del Curso. El curso permitirá al alumno introducirse al estudio de los sistemas de coordenadas y los métodos de la Geometría Analítica, favoreciendo el uso e integración de los conocimientos adquiridos en aritmética, álgebra, geometría y trigonometría y al mismo tiempo. El desarrollo de sus habilidades para el análisis, el razonamiento y la comunicación de su pensamiento, a través de la solución de problemas que permitan percibir e interpretar su entorno espacial desde un enfoque geométrico analítico y a su vez facilite a futuro la asimilación de aprendizajes más complejos y la resolución de problemas en el área tecnológica. Justificación. El desarrollo del programa de Geometría Analítica se centra fundamentalmente en el planteamiento y solución de problemas, que promoverán las habilidades del pensamiento tales como: análisis, interpretación y síntesis, así como las preceptúales y también las de elaboración de conjeturas, argumentación, abstracción y generalización, incorporando con ello las líneas de orientación curricular propuestas en el modelo educativo. Indicaciones Generales. En este guía se presentan definiciones breves de cada uno de los temas del programa de Geometría Analítica por unidades, así como ejercicios resueltos, presentando un desarrollo claro de cada uno de ellos. Igualmente se integran ejercicios para su solución, con los cuales los alumnos podrán reforzar los conocimientos adquiridos.
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Geometría Analítica
A. Benítez O. Santiago Academia de Matemáticas V. Ángel Matutino
PROGRAMA
UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS. Objetivo: conocer el plano cartesiano, la representación de los puntos en el, para calcular distancias, perímetros y áreas, así como la división de un segmento en una razón, que tenga aplicación en problemas teóricos, como en la vida real. 1.1 Distancia Entre Dos Puntos. 1.2 Perímetros y Áreas de Figuras Rectangulares. 1.3 División de un Segmento en una Razón Dada. 1.4 Aplicaciones. UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS. Objetivo: desarrollar habilidades para analizar y describir las relaciones existenciales entre subconjuntos de puntos en el plano que cumple con una condición y las ecuaciones que los definen, para así comprender los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. 2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. 2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. UNIDAD 3. LA RECTA. Objetivo: identificar, obtener y transformar las diferentes formas de la recta, para interpretar y resolver problemas. 3.1 Formas de la Ecuación de la Recta. a) Punto Pendiente. b) Pendiente Ordenada al Origen. c) Abscisa y Ordenada al Origen. d) Ecuación General. e) Ecuación Normal.
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f) Distancia de un Punto a una Recta. 3.2 Aplicaciones. UNIDAD 4. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES. Objetivo: deducir y aplicar las ecuaciones de las cónicas incluida la circunferencia en la resolución de problemas teóricos y de la vida real. 4.1 Circunferencia. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Circunferencia, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Circunferencia. e) Aplicaciones. 4.2 Parábola. a) Con Vértice en el origen. b) Con Vértice Fuera del Origen. c) Dada la Parábola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Parábola. e) Aplicaciones. 4.3 Elipse. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Elipse, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Elipse. e) Aplicaciones. 4.4 Hipérbola. a) Con Centro en el origen. b) Con Centro Fuera del Origen. c) Dada la Hipérbola, Hallar su Ecuación General. d) Dada la Ecuación General, Trazar la Hipérbola. e) Aplicaciones.
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UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES. Objetivo: conocer la importancia de las coordenadas polares y la relación con el plano cartesiano con la finalidad de resolver problemas teóricos y de la vida real. 5.1 Relación de Sistemas Rectangulares y Polares. 5.2 Trazo de Gráficas en el Sistema Polar. 5.3 Transformación de Ecuaciones de Segundo Grado con Dos Variables, de Rectangulares a Polares y Viceversa. UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS. Objetivo: aplicar ecuaciones paramétricas en la resolución de problemas teóricos y reales. 6.1 Gráficas de Curvas en Forma Paramétrica 6.2 Ejercicios de Eliminación del Parámetro. 6.3 Aplicaciones en la Física. BIBLIOGRAFIA.
1) Geometría Analítica. Lehmann Charles H. LIMUSA. 2) Geometría Analítica. Joseph Kindle Mc. Graw Hill (libro de
texto). 3) Geometría Analítica. Gordon Fuller CECSA.
UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS.
1.1 Sistema Coordenado Bidimensional (Plano). Ejemplo. Trazar en el plano coordenado los siguientes puntos.
1) P (2,1); Q (-1,2); R (-2,-1) y S (1,-2) y une los puntos indicados, ¿qué figura representa?
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−3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
P
Q
R
S
Un cuadrado
1.2 Distancia Entre Dos Puntos. Definición: Si )y,x( 11 y ( )y,x 22 son las coordenadas de dos puntos, la distancia entre ellas está dad por:
212
212 )yy()xx(d −+−=
Ejemplos. 1) Encontrar la distancia del segmento de recta definida por los puntos A (-2, 5) y B (12, -15).
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B(12,-15)
2
4
2
4x
y
A(-2,5)
0
A) Comprensión
212
212 )()()( yyxxABd −+−=
B) Planteamiento
uABdABa
ABd
ABd
41.24)(596)(
)20()14()(
)515())2(12()(22
22
==
+=
−−+−−=
2) Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1,3), (7,3), (9,8) y (3,8). Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su perímetro.
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D(3,8) C(9,8)
A(2,3) B(7,3)
x
y
0 Solución:
A) comprensión
B) Planteo Se determinan las distancias de los lado, para el perímetro
C) Resultados Distancia AB = 22 )33()71( −+−
= 0)6( 2 +− = 6 Distancia DC = 22 )88()93( −+−
= AB
3) Comprobar que los puntos A(1,1), B(0,5) y C(-3,0) son los vértices de un triángulo rectángulo. Dibujar las alturas del triángulo y calcular sus longitudes.
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B(0,5)
A(1,1)
C(-3,0) 0 x
y
A) Comprensión Por la distancia de vértice a vértice o longitudes de sus lados y le teorema de Pitágoras.
B) Planteamiento
17116)1()31(
17161)51()1(
34259)5()3(
:)()()(
22
22
22
222
=+=++=
=+=−+=
=+=+−=
+=
AC
AB
CB
LuegoACABCB
171734)17()17()34( 222
+=+=
Lo que se quiere demostrar
1.3 División proporcional de un segmento de recta.
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Definición: Las coordenadas del punto 0P que divide al segmento 21PP en la
proporción 2
1
rr están dadas por:
21
12210 rr
rxrxx++
= y 21
12210 rr
ryryy++
=
Ejemplos. 1) Si B es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos ),( 11 yxA y
)( 2,2 yxC , determinar las coordenadas de B.
A) Comprensión Supongamos que B tiene de coordenadas (x,y) y puesto que B es un punto medio del segmento AC, se tiene:
AB = BC
Y por lo tanto
1====BCBC
ABAB
BCABr
sustituyendo este resultado en las formulas :
1,1
21 −≠++
= rrryx
x 1,1
21 −≠++
= rrryy
y
Se tiene que:
211)(1 2121 xxxx
x+
=+
+=
2121
11)1(
yyyy
y +=+
+=
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2) Si el punto P1 (-4,2) y P2 (4,6) son los puntos extremos de un segmento dirigido P1P2, hallar las coordenadas del punto P que divide a este segmento en la razón P1P: PP2 =-3.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
P1
P2
P
PLANTEAMIENTO: r =P1P/ PP2=(x-x1)/(x2-x)=-3 ; r = P1P/ PP2=(y-y1)/(y2-y)=-3 DESARROLLO: (x +4)/(4-x)=-3; (y-2)/(6-y)=-3; x +4=-3(4-x); y-2=-3(6-y)
X +4=-12 +3x; y-2=-18 +3y 3x-x =4+12; 3y-y =-2+18 2x=16; 2y=16 x =8 ; y =8
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3) Los vértices de un triángulo son A (-1,3); B (3,5) y C (7,-1). Si D es el punto medio del lado AB y E del lado BC, demostrar que la longitud del segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
2
−1
1
2
3
4
5
x
y
B
D
A
E
C
PLANTEAMIENTO: xD =(x1+ x2)/2; yD =(y1+ y2)/2; xE =(x1+ x2)/2; yE =(y1+ y2)/2; d =√((x2-x1)2+(y2-y1)2). DESARROLLO. xD =(3-1)/2; xD =2/2; xD =1. yD =(5+3)/2; yD =8/2; yD =4. xE =(3+7)/2; xE =10/2; xE =5.
yE =(5-1)/2; yE =4/2; yE =2. DE =√((5-1)2+(2-4)2); DE =√(42+(-2)2); DE=√(16+4); DE=√20; DE=4.472 u. AC/2=(√((7-(-1))2+(-1-3)2)/2; AC/2=(√(82+(-4)2))/2; AC/2=(√(64+16))/2; AC/2=(√80)/2; AC/2=8.944/2; AC/2=4.472 u. Demostrado.
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Ejercicios Propuestos.
1) A (0,0); B (3,4); C (8,4) y D (5,0) y; une los puntos indicados, ¿qué figura representa? Sol. » Un paralelogramo.
2) Uno de los dos extremos de un segmento es el punto P (7,8) y su punto medio M (4,3). Hallar las coordenadas del otro extremo Q. Sol. » Q (1, -2).
3) Una circunferencia tiene como diámetro al segmento con extremos P (-
3,4) y Q (5,-2). Encuentra las coordenadas del centro y el radio. Sol. » C (1, 1) y r =5 u.
4) Calcular el área del polígono si las coordenadas de sus vértices son: A(-
8,2), B(-1,5), C(7,-1) y D (-2,-6) y las longitudes de los lados AD y BC.
Sol.
uBC
uAD
uA
10
10
84 2
=
=
=
5) El segmento que une A(-2,-1) con el punto B(3,3) se prolonga hasta C.
Sabiendo que BC = 3AB, determinar las coordenadas del punto C. Hacer gráfica.
Sol. c(18, 15).
6) Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en tres partes iguales al
segmento formado por A82,-4) y B(8,12).
Sol. )3
20,6()34,4( 21 yPP .
7) Los puntos M(2,-1) y P (-2,2) son los puntos medios de los lados de un triángulo. Hallar sus vértices.
Sol. A(-5,7), B(3,1) y C(1,-3)
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UNIDAD 2. LUGARES GEOMÉTRICOS.
2.1 Dada una Ecuación, Hallar su Lugar Geométrico. Ejemplos. 1) Construir la curva cuya ecuación es: 1=xy .
Primer Paso. Intersección con los ejes. x
y 1= ; si x =0 es infinito; y si
yx 1= ; y
=0 es también infinito; por lo tanto no pasa por el origen.
Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; x
y−
=1 ; como se altera la
ecuación; entonces la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por
–y; y
x−
=1 ; también se altera, por lo tanto la curva tampoco es simétrica con el
eje x. consecuentemente no hay simetría con el origen.
Tercer Paso. Extensión de la curva: x
y 1= ; para “x” todos los nos. Reales
excepto x =0 y; y
x 1= ; todos los nos. Excepto en y =0.
Cuarto Paso. Asíntotas. x
y 1= ; x ‡0; entonces se tiene una asíntota vertical en x
=0 y; y
x 1= ; y‡0, entonces se tiene una asíntota horizontal en y =0.
Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para x
y 1= ; Sí x =2 ; y =0.5 ; x =-
2 ; y =-0.5 ; ahora si y
x 1= ; y =2 ; x =0.5 ; y =-2 ; x =-0.5 ; etc.
−3 −2 −1 1 2 3 4
4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
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2) Construir la curva cuya ecuación es: 32 xy = . Primer Paso. Intersección con los ejes. 3xy = ; si x =0; y =0; y si 3 2yx = ; si y =0; x =0; por lo tanto, pasa por el origen.
Segundo Paso. Simetría: Al sustituir x por –x; ( )3xy −= ; la ecuación se altera; por lo tanto la curva no es simétrica con el eje y. ahora sustituyendo y por –y;
( )3 2yx −= ; la ecuación no se altera; por lo tanto, la curva es simétrica con el eje x. Tercer Paso. Extensión de la curva: 3xy = ; x≥0 y; para 3 2yx = ; y son todos los nos. Reales. Cuarto Paso. Asíntotas. La ecuación no tiene denominadores ni para “x” ni para “y”. Por lo tanto, no hay asíntotas. Quinto Paso. Algunos puntos de la gráfica. Para 3xy = ; si x =1; y =1; si x =2; y =2.8; x =3; y =5.2; si x =4; y =8. etc.
−1 1 2 3 4 5
5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
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A. Benítez O. Santiago Academia de Matemáticas V. Ángel Matutino
2.2 Dada las Condiciones Geométricas. Hallar la Ecuación. Definición: Para obtener la ecuación de un lugar geométrico:
• Se escogen los ejes coordenados que simplifiquen la forma de la ecuación resultante.
• Después de construir los ejes, se ubica el punto P(x,y) cuyo lugar geométrico se desea determinar en una posición representativa.
• Se expresa la solución que P debe cumplir en función de las coordenadas (x,y) y de otras constantes cualquiera que aparezcan en la definición del lugar geométrico.
Ejemplos.
1) Hállese la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia al punto (-4,0) sea igual al valor absoluto de su distancia al eje y.
Solución Sea P(x,y) un punto del lugar geométrico. Sea A el punto (-4,0) y B el pie de la perpendicular de P al eje y
La condición dada es, entonces, PA=PB
De donde;
22)4( yxPA ++= De acuerdo con la definición de abscisa, la distancia de P al eje y es x. Por tanto PB= x Utilizando (1),(2) y (3) se tiene
xyx =++ 22)4( Elevando los dos miembros de esta última expresión al cuadrado y simplificando, se obtiene y²+8x+16=0
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2) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (-1,2) y B (4,-1).
−1 1 2 3 4 5
3
−2
−1
1
2
3
x
y
A
B
PLANTEAMIENTO: Si P(x, y) es un punto cualquiera del lugar geométrico, entonces PA =PB;
( ) ( )22 21 −++= yxPA ; ( ) ( )22 14 ++−= yxPB . DESARROLLO:
( ) ( ) ( ) ( )2222 1421 ++−=−++ yxyx ;
12168
4412
22
22
++++−
=+−+++
yyxx
yyxx
0121684412
2
222
=−−−−+
−+−+++
yyxxyyxx
012610 =−− yx ; 0635 =−− yx ;
365 −
=xy ;
si x =0, entonces y =-2 y, si x =3, entonces y =3.
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3) Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje “y” es siempre igual a su distancia del plano A (4, 0). Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico y, sea B el pie de la perpendicular bajada de P al eje “y”. Entonces PB = PA; por definición PB = x y PA =√((x-4)2+(y-0)2); de donde x =√((x-4)2+y2); x2 =x2-8x+16+y2;
8x-16 =y2; y2-8x+16=0;
8162 +
=yx ;
si y =0 entonces x =2; si y =±2 entonces x =2.5; si y =±4 entonces x =4
1 2 3 4 5 6
5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
A
BP
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4) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A (-1, 3) y B (5, 1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.
bcac mm =
12
12
xxyym
−−
=
13
+−
=xymAC
51
−−
=xymBC
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
=+−
512
13
xy
xy
( )( ) ( )( )11253 +−=−− xyxy 22221535 −+−=+−− yxxyxyxy
021525232 =++−−+−− yyxxxyxy 0177 =+−−− xyxy
0177 =−++ yxxy
717+−
=x
xy
si x =0 entonces y =2.4 si x =3 entonces y =1.4 si x =-3 entonces y =5 si x =-7 entonces y =∞ se tiene una asíntota vertical. Y en y =-1 se tiene una asíntota horizontal.
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
1
2
3
4
5
6
x
y
A
B
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5) Los extremos A y B de una barra de longitud 21 se mueve a lo largo de los ejes coordenados. ¿ Qué lugar geométrico describe C. Punto medio de la barra? Solución Dada la figura de acuerdo a las condiciones del problema
La figura da: X= tcosΦ Y= tsenΦ Las ecuaciones representan paramétricas representan el lugar geométrico buscado.
El ángulo Φ se llama parámetro De las ecuaciones se tiene
;cosφ=tx φsen
ty=
de las cuales
φ22
2
cos=tx φ22
2
senty
=
Y sumando
12
2
2
2
=+ty
tx
o sea, x²+y²=t² C describe, pues una circunferencia de centro (0,0) y radio 1.
Ejercicios Propuestos.
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1) Construir la curva cuya ecuación es: a) 022 =−− yxyx b) 032 =−− yxy c) 012 =−− xxy d) 04 24 =−− yxx 2) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “y” disminuida en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje “x”. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar su interpretación geométrica. Sol. » x-2y-3 =0. 3) Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el cuadrado de su distancia al punto (4, 1) es siempre igual a su distancia del eje “y”. Sol. » 0172922 =+−−+ yxyx .
4) Una circunferencia de radio 3 tiene su centro en el punto C (-3, -2). A partir d su definición, hallar la ecuación de esta circunferencia. Sol. » 044622 =++++ yxyx .
5) Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje “x” es siempre igual a su distancia del punto A (0, 4). Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Sol. »
01682 =+− yx .
6) Determinar la ecuación del lugar geométrico del punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (2,4) y (2,-2) es siempre igual a 8. Sol. 0411464716 22 =−−−+ yxyx 7) Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C, si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC. Sol. xy + x +7y – 17=0
UNIDAD 3. LA RECTA.
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3.1 Inclinación y Pendiente. Definición: La inclinación (α ) es el ángulo( menor de 180° y medido en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) formado por una recta y por la parte positiva del eje X La pendiente (m ) de la recta que pasa por dos puntos está expresa por
12
12
xxyytanm
−−
=α=
Si dos rectas con pendiente 1m y 2m no nulas, son perpendiculares, sus
pendientes son recíprocas opuestas o negativas, entonces 1
21
mm −= y
121 −=mm Ejemplo. Una recta 1l pasa por los puntos A(3,2) y B(-4,-6), y otra recta, 2l , pasa por el punto C(-7,1) y por el punto D cuya ordenada es –6. Hallar la abscisa del punto D, sabiendo que 1l perpendicular a 2l . Puesto que
12
12
xxyy
m−−
=
se tiene que
78
4362
1 =++
=m
........(1)
xxm
+=
−−+
=7
77
612
Ahora bien, si dos rectas perpendiculares se debe satisfacer
121 −=mm ........ (2) sustituyendo (1) en (2) se tiene:
,1)7
7)(78( =
+ x
de donde resulta: x=1
3.2 Angulo entre rectas.
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Definición: Si β es el ángulo formado por las rectas 1l y 2l con pendientes 1m y
2m respectivamente, entonces el ángulo que forman está dado por
21
12
1 mmmmtan
+−
=β
Ejemplos. 1) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos (-2,1) y (9,7); La recta final pasa por el punto (3,9) y por el punto A cuya abscisa es –2. Hallar la ordenada de A.
Planteamiento
Llamemos B(3,9), C(9,7) y D(-2,1) los puntos dados, y si, designamos por 1my por 2m las pendientes de CD y AB respectivamente, entonces
116
116
9271
1 =−−
=−−−
=m .......(1)
puesto que ω = 45° se tiene que tan 45° = 1 .........(2) y como
12
12
1tan
mmmm
+−
=ω .......(3)
sustituyendo (1) y (2) en (3), obtenemos:
517
1161
1116
=−
+=m ..........(4)
y puesto que
12
12
xxyy
m−−
=
se tiene
11222 )( yxxmy +−= .........(5) Resultado
Sustituyendo (4) y las coordenadas de A y B en (5) resulta:
89)32(5
172 −=+−−=y
3.3 La recta como una curva de pendiente constante.
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Definición: Para encontrar la pendiente de una recta no vertical, se toman dos puntos P( ),( 11 yx y Q ),( 22 yx de la recta, formándose un triángulo rectángulo. Si se toma otro par de puntos 1P y 1Q en la misma recta, se obtiene otro triángulo rectángulo, el cual es semejante con el anterior. Y por tanto, la razón de sus catetos es la misma. Es decir, la pendiente de una recta es constante y puede determinarse usando dos puntos cualesquiera.
1
1
xxyy
m−−
=
3.4 Condiciones que determinan una recta.
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Definición: Por dos puntos, pendiente y un punto Ejemplos. 1) Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos
i) (3,4), (1,-2) ii) (0,-5), (2,1) iii) (4,7), (0,-5)
Comprensión Se identifican los puntos en un plano cartesiano y se traza la recta que pasa por esos puntos
Planteamiento Se sustituye cada una de las combinaciones de puntos en la fórmula de la pendiente
1
1
xxyy
m−−
=
Resultado
326
13)2(4
==−−−
=m
326
2015
=−−
=−−−
=m
34
1204
)5(7==
−−−
=m
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2) Trabajando sólo con el valor de la pendiente y el valor del punto que se proporciona graficar las siguientes rectas:
a) Trazar la recta de pendiente igual a 2, y que pasa por el punto por el punto Q(3,5)
Para graficar sin tabular se localiza el punto en un plano cartesiano para tomarlo como referencia para posteriormente trabajar con el valor de la pendiente.
b) Trazar la recta de pendiente igual a 2/3 y que pasa por el punto (0,-2)
32
=m P(0,-2)
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3.5 Formas de la Ecuación de la recta. Definición: Forma de punto y pendiente
)( 11 xxmyy −=−
Pendiente Intersección
bmxy +=
Forma de dos puntos
21
21
1
1
xxyy
xxyy
−−
=−−
Forma con dos intersecciones 1=+
by
ax
Forma General
0=++ CByAx
en donde A, B y C son constantes
arbitrarias, m= BA
− y su ordenada al
origen BCb −=
Ejemplos. Escribir las ecuaciones de las rectas que pasan por los siguientes puntos y tienen las
pendientes indicadas: a) (-3,2), m= 32
, b) (2,4), m=3
a) (-3,2), m= 32
,
a) Comprensión
La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura
b) Planteamiento
)3(322 +=− xy o 2x – 3y + 12 = 0
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b) (2,4), m=3. a) Comprensión
La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura
b) Planteamiento
y-4 = 3(x-2) o 3x-y-2 = 0
c) Hallar la pendiente y la intersección con el eje Y de la recta cuya ecuación
es 2x + 3y – 12 =0. a) comprensión
Despejamos y en la ecuación 2x + 3y – 12 =0
y= 432
+− x de donde m= 32
− y b=4
b) Planteamiento
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d) Hallar la ecuación de la recta determinada por los dos puntos (-2,-2) y (5,2) . a) Comprensión
La recta citada en el texto se indica en la siguiente figura
b) Planteamiento
67414784
)2(7)2(45222
22
21
21
1
1
=−−−=−−
+−=+−−−−−
=++
−−
=−−
yxyx
yxxy
xxyy
xxyy
e) Cambiar la ecuación 4x – 5y – 8 = 0 a su forma de dos intersecciones. a) Comprensión
15
82
1
18
52
854
=−
+
=+
=−
=−
yxby
ax
yxyx
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f) Los vértices de un cuadrilátero son: A(-2,1), B(2,5), C(9,6) y D(7,2). Determinar:
a) La pendiente del lado BC b) La ecuación del lado BC c) La ecuación del lado CD d) El punto medio del lado AB e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del
lado AB f) La ecuación del lado AB en la forma:
i) Pendiente- ordenada al origen ii) General iii) Simétrica y iv) Determinar la abscisa y ordenada al origen
g) La ecuación del lado CD en forma simétrica
Solución
a) Comprensión: El cuadrilátero antes citados, se ilustra a continuación.
a) La pendiente del lado BC Planteamiento
Resultado La pendiente del lado BC es:
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12
12
xxyym
−−
= 2956
−−
=m
71
=m
b) La ecuación del lado BC
Planteamiento De la ecuación de la recta se conoce la pendiente y dos puntos.
)2(
715
)( 11
−=−
−=−
xy
xxmyy
Resultado
033723572)5(7
)2(715
=+−−=−−=−
−=−
yxxyxy
xy
c) La ecuación del lado CD Planteamiento La ecuación de la recta tiene la forma
)7(79262
)( 112
121
−−−
=−
−−−
=−
xy
xxxxyyyy
Resultado
1422
)7(242
−=−
−=−
xy
xy
De donde la ecuación 2x-y-12=0
d) El punto medio del lado AB
Planteamiento A(-2,1) y B(2,5)
222
212
+−=
+=
m
m
x
xxx
2512
12
+=
+=
m
m
y
yyy
Resultado
020==mx 3
26==my
La pareja ordenada del punto medio es
)3,0(mP
e) La ecuación de la recta que parte del vértice D hacia el punto medio del
lado AB
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Planteamiento D(7,2) y )3,0(mP
)0(07323
)( 112
121
−−−
=−
−−−
=−
xy
xxxxyy
yy
Resultado
xyxy
xy
−=−−=−
−=−
217)3(7
713
La ecuación es: x+ 7y –21 = 0
f) La ecuación del lado AB ecuación de la recta en la forma :
i) Pendiente-ordenada al origen ii) General iii) Simétrica iv) Determinar la abscisas y ordenada al origen
Planteamiento A(-2,1) y B(2,5)
)2(441
))2(()2(2
151
)( 112
121
+=−
−−−−−
=−
−−−
=−
xy
xy
xxxxyy
yy
y-1 = x+2
Resultado Pendiente – Ordenada al Origen
3+= xy General
x- y + 3 = 0
Simétrica x- y = -3
333
−=−
−−
yx
Abscisa al origen = -3 Ordenada al origen = 3
g) La ecuación del lado CD en forma simétrica.
Planteamiento C(9,6) y D(7,2)
Resultado
2x- y = 12
la ecuación pedida es
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01221422
)7(79262
)( 112
121
=−−−=−
−−−
=−
−−−
=−
yxxy
xy
xxxxyyyy
1126
=−yx
3.6 Forma Normal de la ecuación de la recta. Definición: Una recta está determinada por dos cantidades: (1) la distancia perpendicular desde el origen hasta la recta y (2) el ángulo que forma esta perpendicular con la parte positiva del eje X.
Ecuación de la Forma Normal pysenx =+ ωωcos
Fórmula de conversión de la 022=
+±
++
BACByAx
forma general a la forma normal
Ejemplos. Cambiar las siguientes ecuaciones a su forma normal:
a) 3x + 4y +5 = 0 b) 5x-12y –10=0 c) –5y + 7= 0 d) –3x-2 =0
Solución a) A=3 y B=4, aplicando la fórmula antes descrita se tiene:
05
54343
5432222
=++
=+
++=
+±
++ yxyxBACByAx
b) 013
1012514425
10125=
−−−
=+−−− yxyx
c) 057
2575
=−=−
+− yy
d) 032
923
=+=−
−− xx
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3.7 Distancia de un punto a una recta. Definición: Fórmula de la distancia de un punto a una recta
22
1111 cos
BA
CByAxpsenyxd
+±
++=−+= ωω
Ejemplo. Hallar las distancias desde los puntos (2,3) y (1,-4) hasta la recta 3x – 4y –8 =0. Planteamiento
Resultado Empleando la fórmula antes mencionada se tiene que:
05
843169
843
022
=−
−−+−−−
=+±
++
yx
yxBACByAx
Sustituimos a x=2 y y=3 para obtener la distancia desde (2,3)
514
58)3(4)2(3=
−−−
=d
El signo de d nos indica que el punto (2,3) está arriba de la recta. Sustituir a x=1 y y=-4 para obtener la distancia desde (1,-4)
511
58)4(4)1(3
−=−
−−−=d
El signo negativo indica que el punto está debajo de la recta
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3.8 Sistemas de Rectas. Definición: Una ecuación de primer grado en x y y que contiene una constante, representa un sistema de rectas y la constante arbitraria es un parámetro. Ejemplo. Escribir la ecuación del sistema de rectas paralelas a la recta 2x – 3y + 6= 0. Hallar la ecuación del sistema que pasa por el punto (4,3). Solución Cualquier recta paralela a la recta dada debe tener la misma pendiente y se puede escribir como
2x – 3y = k Por lo que para cada valor de k esta ecuación representa una recta con
pendiente constante igual a 32 . Esto
dará un sistema de rectas paralelas a la recta dada con k como parámetro
Para obtener una recta del sistema que pase por el punto (4,3), se sustituye esas coordenadas en la ecuación del sistema a fin de encontrar el valor de k.
1)3(3)4(2
32
−==−
=−
kk
kyx
La ecuación pedida será
2x – 3y + 1= 0
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3.9 Rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas. Definición: La ecuación para hallar el sistema de rectas que pasa por la intersección de dos rectas dadas es 0)(( 222111 =+++++ CyBxAkCyBxA . Ejemplos 1) lar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas x – 2y + 4 = 0 y 2x + y + 6=0 y por el punto (3,-2). Solución Se escribe la ecuación del sistema de rectas que pasa por la intersección de las rectas dadas:
0)62()42( =++++− yxkyx Para escoger la recta del sistema que pasa por el punto (3,-2), se obtiene a k sustituyendo x=3 y y=-2 en la ecuación
(3+4+4)+ k(6-2+6)=0
10 K = -11 o k=1011
−
y este valor de k lo reemplazamos en la ecuación del sistema para obtener la recta solicitada
0263112
0)62(1011)42(
=++
=++−+−
yx
yxyx
2) Obtener ecuación de la recta que tiene pendiente 34 y pasa por la intersección
de las rectas 4x – 5y – 5 = 0 y 2x + 3y –11 = 0. Solución Aplicando la ecuación antes descrita se tiene:
0511)53()24(0)1132(554
0)( 222111
=−−−++=−++−−
=+++++
kykxkyxkyx
CyBxAkCyBxA
Se despeja para obtener la ecuación de la recta y = mx + b
53511)
3524(
−+
+−+
=kkx
kky
Entonces la pendiente es m = kk
3524
−+ .
Esta de debe ser igual a 34 y, así ,
kk
3524
−+ =
34 y k=
34 , Se sustituye este
valor de k y la ecuación se conviertes en:
0893344
0)1132(94)554(
=−−
=−++−−
yx
yxyx
Ejercicios Propuestos.
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1.- Hallar el valor de la ordenada para que la recta que pasa por los puntos (3,y) y (-4,5) forme un ángulo de 135° con la recta que pasa por los puntos (-2,4) y (9,1) Sol. y=9 2.- Determinar el valor de los coeficientes de A y B de la ecuación Ax – By + 4 =0. De una recta. Si debe pasar por los puntos C(-3,1) y D(1,6) Sol. A= 29/19 B= 16/19 3.- Encontrar las ecuaciones de las medianas y un punto de intersección del triángulo cuyos vértices son los puntos A(3,-2), B(-3,6) y C(4,4) 4.- Para un triángulo equilátero ABC, se conoce la ecuación de la lado AC: 2x – 3y –5 =0, y la del lado AB: x + y +1=0; Obtener la ecuación del lado BC si se sabe que éste pasa por el punto (1,1) Sol. 17x + 7 y –24 = 0 5.- Dados dos vértices de un cuadrado A(-1,3) y B(6,2) , determinar las ecuaciones de sus lados. Sol. 3x-4y+15=0; 4x+3y-30=0; 3x-4y-10=0, 4x+3y-5=0 6.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,-2) y determina sobre los ejes coordenados dos segmento cuya suma algebraica es 12. Sol. x-5y-15=0; 2x+y-8=0 7.- Se instala una empresa con una inversión de $ 50, 000, el costo de producción de un artículo es de $3,00 y se venderá al mercado en un precio unitario de $4,50. Determina la ecuación que representa la ganancia considerando que los artículos producidos son igual a los vendido y cuantos artículos hay que producir para tener una ganancia de $ 10,000. Sol. y =1.50x-5000 X= 40 000 artículos 8.- La pendiente de la recta que pasa por el punto A(3,2) es igual a ¾. Hallar las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades de distancia de A. Sol. (5,7) y (-1,1)
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UNIDAD 4. ECUACIÒN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CON DOS VARIABLES 4.1 Circunferencia. Definición. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano. El punto fijo se llama Centro de la Circunferencia y la distancia constante se llama radio. Toda ecuación de segundo grado con dos variables (x , y) y sin termino en xy representa una circunferencia, si los coeficientes de x² y y² son iguales. La ecuación de la circunferencia en forma ordinaria donde el centro (h , k) y radio r es: 222 )()( rkyhx =−+− Si el centro esta en el origen de coordenadas, o sea, h = 0 y k= 0, la ecuación toma la forma: 222 ryx =+ La ecuación de la circunferencia en su forma general es: 022 =++++ FEyDxyx Si tenemos la ecuación ordinaria de la circunferencia 16)3()2( 22 =−++ yx Resolviendo los binomios tenemos 0169644 22 =−+−+++ yyxx Reduciendo términos determinamos así la ecuación general de la circunferencia. 0364 22 =−−++ yyxx
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Ejemplo 1) Los extremos de el diámetro de una circunferencia son los puntos A(2,3) , B(-4,5). Hallar la ecuación de la curva.
1
2
3
4
5
6
7
8
01234 1 2 3 4
c(-1,4)(-4,5)
(2,3)
X
Y
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Planteamiento: A (2,3) , B (-4,5) Por punto medio encontramos el centro de la circunferencia.
xm = 2
21 xx + ym =
221 yy +
= 2
42 − = 2
53 +
= 22− =
28
= -1 = 4 C ( -1 , 4 ) Desarrollo: Con el centro C ( -1 , 4 ) y un punto A ( 2 , 3 ) determinamos el radio con la fórmula de distancia entre dos puntos
d = 22 )()1( yyxx −+− r = 22 )34()21( −+−− r = 19+ r = 10 Resultado: Sustituimos en la ecuación general de la circunferencia, centro y radio. 222 )()( rkyhx =−+− 10)4()1( 22 =−++ yx Ecuación de la circunferencia
Ejemplo 2) La ecuación de una circunferencia es 20)3()4( 22 =−+− yx . Hallar la ecuación de la tangente a este circulo en el punto ( 6 , 7 ).
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Y
9
10
X
C(4,3)
(6,7)X + 2Y - 20 = 0
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Planteamiento: De la ecuación 20)3()4( 22 =−+− yx determinemos Centro y Radio. C ( 4 , 3 ) r = 20 Con el C ( 4, 3 ) y el punto de tangencia ( 6 , 7 ) determinamos su pendiente con la relación.
m = 12
12
xxyy
−−
m = 6473
−−
m = 24
−−
m = 2 Desarrollo:
Como el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia la pendiente de la recta tangente es :
m = -21
Con la ecuación punto pendiente )( 11 xxmyy −=− Determinamos la ecuación de la recta tangente en el punto ( 6, 7 ) Resultado:
020206142
6142
)6(217
)( 11
=−+=−−+
+−=−
−−=−
−=−
yxyx
xy
xy
xxmyy
Ejemplo 3) Determinar centro y radio de la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos A (1 , -2) , B (5 , 4) y C (10 , 5) Planteamiento: Como los tres puntos dados están sobre la
circunferencia sus coordenadas deben satisfacer la
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
7
8
9
10
11
12
13
11 12 13 14 15 16 17
(10,5)(5,4)
(1,-2)C(9,-3)
X
Y
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ecuación
051025100)5,10(0451625)4,5(
0241)2,1(022
=++++=++++
=+−++−=++++
FEDCFEDB
FEDAFEyDxyx
Deduciendo:
3.........1255102............41451................52
−=++−=++−=+−
FEDFED
FED
Desarrollo: Resolviendo el sistema de ecuaciones. Con 1 y 2 D – 2E + F = -5………Mult (-5) 5D + 4E + F = -41 -5D +10E - 5F = 25 5D + 4E + F = -41 14E – 4F = -16………. 4 Con 4 y 5 14E – 4F =-16…………Entre (2) -3E - F = -43…………Mult (-2) 7E – 2F = -8 6E + 2F = 86 13E =78
E = 1378 E = 6
Resultado: Cálculo de F
2525
18434318
43)6(3433
=−=−
+−=−−=−−−=−−−=−−
FFF
FF
FE
Cálculo de D
181230
12255525)6(2525
−=+−=
+−−=−=+−−=+−
DDDD
FED
Sustituyendo en la Ecuación General E, D Y F
025618
0
22
22
=++−+
=++++
yxyx
FEyDxyx
Ejemplo 4) Una circunferencia pasa por los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4) y su centro esta sobre la recta 02323 =−− yx . Hallar la ecuación, graficar.
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
12346 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7891011 11 12 13 14 15 16 17
Y
9
10
X
(1,4)
(-3,3)
C(2,8.5)
3x -
2y -
23 =
0
8x + 3y + 1 = 0
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Planteamiento: Por lugar geométrico determinamos otra recta que pasa por el centro, con los puntos A(-3 , 3) y B(1 , 4)
22 )3()3( −++ yx = 2)4()1( 2 −+− yx Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:
2222 )4()1()3()3( −−=−++ yxyx Desarrollando binomios
168129696
22
22
++++−
=+−+++
yyxxyyxx
Reduciendo 0128 =++ yx
Y con la ecuación que pasa por el centro 3x – 2y – 23 = 0 resolvemos el sistema para encontrar el centro. Desarrollo: 8x + 2y + 1 = 0 3x – 2y – 23 = 0 11x - 22 = 0
x = 1122
x = 2 8(2) + 2y + 1 = 0
16 + 2y +1 = 0 2y = -17
y = 2
17 C ( 2 ,
217
− )
Determinamos el radio con el centro y el punto A(-3,3)
r = 22 )32
17()32( −−++
r = 2)223(25 +
r = 4
5294
100+
r = 2629
Resultado Sustituyendo en la Ecuación ordinaria
4629)
217()2( 22 =++− yx
Ecuación de la circunferencia Ejemplo 5) Una circunferencia es tangente a la recta 2x – y + 1 = 0 en el punto (2 , 5), y el centro esta sobre la recta x + y = 9. Hallar la ecuación de la circunferencia. Graficar.
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
123 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17X
Y
9
10
x + y = 9
x + 2y - 12 = 02x -
y +
1= 0
C(6,3)
(2,5)
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Planteamiento De la ecuación de la tangente determinamos la pendiente 2x – y + 1 = 0 Despejamos “y” -y = -2x – 1 y = 2x + 1 m = 2 La recta que es perpendicular a la tangente es la recta del radio y pasa por el centro, por lo tanto su
pendiente será21
−
Desarrollo: Con la ecuación punto pendiente, determinamos la ecuación del radio que pasa por el punto (2 , 5) punto de tangencia.
0122)2(102
)2(215
)1(1
=−++−=−
−−=−
−=−
yxxy
xy
xxmyy
Resolviendo el sistema.
x + 2y – 12 = 0 x + y - 9 = 0……. Mult (-1) x + 2y – 12 = 0 -x – y + 9 = 0 y - 3 = 0 y = 3 x + 2(3) =12 x =12 – 6 x = 6 C (6 , 3) Resultado: Calculo del radio
r = 22 )53()26( −+− r = 416+ r = 20 Sustituyendo centro y radio en la Ecuación ordinaria
20)3()6( 22 =−+− yx Ecuación de la circunferencia
Ejemplo 6) Reducir la ecuación 02561822 =++−+ yxyx a su forma ordinaria.
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
7
8
9
10
11
12
13
11 12 13 14 15 16 17
r = 8.09
X
Y
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Geometría Analítica
A. Benítez O. Santiago Academia de Matemáticas V. Ángel Matutino
Planteamiento: Completando el trinomio cuadrado perfecto factorizamos para reducir la ecuación. Desarrollo: Ordenamos términos La mitad del coeficiente del término lineal se eleva al cuadrado y se suma a ambos miembros de la igualdad.
98125968118 22 ++−=++++− yyxx Se factoriza el trinomio 65)3()9( 22 =++− yx
Resultado: 65)3()9( 22 =++− yx C(9 , -3) r = 65
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Ejercicios Propuestos. 1) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (5,-2) que pasa por el punto (-1,5). Sol. 5641022 =+−+ yxyx 2) Hallar la ecuación de la circunferencia de manera que uno de sus diámetros sea el segmento que une los puntos (5,-1) (-3,7) Sol. 226222 =−−+ xyx 3) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (5,3), (6,2) y (3,-1) Sol. 0122822 =+−−+ yxyx 4) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos, (2,3) y (-1,1) y cuyo centro esta situado en la recta 0113 =−− yx Sol. 0145722 =−+−+ yxyx 5) Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyos lados son las rectas 02132 =+− yx , 0623 =−− yx , 0932 =++ yx Sol. 13)2()1( 22 =−++ yx 6) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,2) y que sea tangente a la recta 01643 =−+ yx Sol. 16)2()4( 22 =−++ yx 7) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro el punto (-4,3) y que sea tangente al eje “y” Sol. 096822 =+−++ yxyx 8) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pase por el punto (6,0) Sol. 03622 =−+ yx 9) Hallar de la circunferencia que pase por el origen de radio r=10 y cuya abscisa de su centro sea -6 Sol. 0161222 =−++ yxyx , 0161222 =+++ yxyx 10) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4,5), (3,-2), (1,-4) Sol. 0445722 =−−++ yxyx 11) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1,-4) y (5,2) y que tiene su centro en la recta 092 =+− yx Sol. 0476622 =−−++ yxyx 12) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11,2) y es tangente a la recta 2x + 3y – 18 = 0 en el punto (3,4) Sol. 07371429855 22 =+−−+ yxyx 13) Una circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0, 2x + 7y + 9 = 0, hallar su ecuación. Sol. 25)3()6( 22 =++− yx 14) Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes que tienen pendiente 5 y son tangentes a la circunferencia 2622 =+ yx Sol. 5x – y -26 = 0 , 5x – y + 26 = 0 15) Determina las ecuaciones de las circunferencias que tienen sus centros en el origen y son tangentes a la circunferencia 074422 =++−+ yxyx
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Sol. 82922 −=+ yx , 82922 +=+ yx 4.2 Parábola. Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. El punto fijo se llama “foco” y la recta fija “directriz” de la parábola.
En donde; V es el vértice, F el foco, P un punto cualquiera, LL’ lado recto ┴ al eje focal, NN’ cuerda focal, MM’ cuerda y, FP radio focal o radio vector. 4.2.1 Ecuación de la Parábola con Vértice en el Origen y Eje Focal un Eje Coordenado. ∆ Si el eje focal coincide con el eje “x” la ecuación será pxy 42 = .
En donde; el F(p, 0); la ecuación de la directriz es x=-p; LR=l4pl y;
Si p>0 la parábola abre a la derecha. Pero si p<0 la parábola abre a la izquierda. ∆ Si el eje focal coincide con el eje “y” la ecuación será pyx 42 = .
En donde; el F(0, p); la ecuación de la directriz es y=-p; LR=l4pl y;
Si p>0 la parábola abre hacia arriba. Pero si p<0 la parábola abre hacia abajo.
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Ejemplos.
1) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “y”, pasa por el punto (4, 2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto. Trazar la gráfica correspondiente.
Planteamiento:
pyx 42 = Desarrollo: ( ) p44 2 = (-2); 16=-8p; p =16/-8; p =-2
Por tanto la ecuación buscada es:
yx 82 −= ; F (0, -2); y =-(-2); y =2 directriz. LR =4(-2); LR =8
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
4
−3
−2
−1
1
2
x
y
F
V
y=2
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2) Discutir la ecuación xy 62 −= y dibujar la curva. Planteamiento: De acuerdo con el análisis la curva coincide con el eje “x” y p es (-). Por lo tanto la curva abre hacia la izquierda. Desarrollo:
6
2
−=
yx : si y =0; x =0: si y =±2; x =-0.7:
si y =±4; x =-2.7 LR =4p; LR =4(-6); LR =-24 Directriz: x =-p; x =-(-6); x =6 F (p, 0); F (-6, 0) V (0, 0).
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=6
V
F
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4.2.2 Ecuación de la Parábola con Vértice fuera del Origen y Eje Focal Paralelo a un Eje Coordenado.
( ) ( )hxpky −=− 42 ; ( ) ( )kyphx −=− 42
Ejemplos.
1) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (3, 4) y cuyo foco es el punto (3, 2). Hallar también la ecuación de su directriz, la longitud de su lado recto y la gráfica correspondiente.
Planteamiento: ( ) ( )kyphx −=− 42 Desarrollo: P=-2; ( ) )4)(2(43 2 −−=− yx
)4(8962 −−=+− yxx
02386032986
32896
2
2
2
=−+−
=−++−
+−=+−
yxxyxx
yxx
y=6 LR=4p; LR=4(2); LR=8
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
PF
V
y=6
Eje Focal
Directriz
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2) Determinar la ecuación de la parábola cuyo foco es el punto (-3, 1) y cuya directriz es la recta x=3. Hallar también su lado recto y trazar la gráfica correspondiente.
Planteamiento: ( ) ( )hxpky −=− 42 p=-3; ( ) )0)(3(41 2 −−=− xy Desarrollo:
)(12122 xyy −=+−
011221212
2
2
=++−
−=+−
xyyxyy
( )12
;34;4
=−=
=
LRLR
pLR
V (0, 1).
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Dire
ctriz
x=3
VF
Eje Focal
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4.2.3 Ecuación General de la Parábola. 022 =++++ FEyDxCyAx
Δ Sí A=0; C≠0 y D≠0; La Ecuación representa una Parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “x”.
02 =+++ FEyDxCy
Δ Sí A≠0; C=0 y E≠0; La Ecuación representa una Parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje “y”.
02 =+++ FEyDxAx
Ejemplos. 1) Demostrar que la ecuación 09724204 2 =+−− yxx representa una parábola y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica correspondiente. Planteamiento:
;09724204 2 =+−− yxx es una parábola cuyo eje focal es paralela o coincide con el eje “y”. Dividiendo entre 4;
04
97652 =+−− yxx
Desarrollo:
497
4256
25
;04
976425
4255
2
2
−+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+−−+−
yx
yxx
( )
( )
.29,
25;3,
25
23;6;4
;23;
46;64
;3625
;3424
25;
2726
25
2
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
===
===
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
FV
yDirectrizLRpLR
ppp
yx
yxyx
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
V
F
Directriz y=3/2
Eje
Foca
l
(5/2, 3)
(5/2, 9/2)
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2) Verificar que la ecuación 7120484 2 =−− yxy representa una parábola y hallar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Trazando la gráfica correspondiente. Planteamiento:
7120484 2 =−− yxy es una parábola cuyo eje focal es paralela o coincide con el eje “x”.
Dividiendo entra 4; 4715122 =−− yxy
Desarrollo:
49612
25
;425
47112
4255
2
2
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++=+−
xy
xyy
( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−===
===
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
25,1
;25,2
;5;12;4
;3;4
12;124
;21225;2412
25 22
F
V
xDirectrizLRpLR
ppp
xyxy
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
FV
Eje Focal(1, 5/2)(-2, 5/2)
Dire
ctriz
x=-5
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4.2.4 Dado tres puntos de la Parábola y cuyo eje es paralelo a uno de los ejes coordenados.
022 =++++ FEyDxCyAx ;
Δ Sí el eje focal es paralelo al eje “x”, entonces A=0; y la ecuación queda
02 =+++ FEyDxCy ;
Dividiendo la ecuación entre C;
02 =+++CFy
CEx
CDy ;
y tomando CFF
CEE
CDD === ';';' ;
la Ecuación finalmente queda.
.0'''2 =+++ FyExDy
Δ Sí el eje focal es paralelo al eje “y”, entonces C=0; y la ecuación queda
02 =+++ FEyDxAx ;
Dividiendo la ecuación entre A;
02 =+++AFy
AEx
ADx ;
haciendo AFF
AEE
ADD === ';';' ;
la Ecuación finalmente queda.
.0'''2 =+++ FyExDx
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Ejemplos .
1) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralela al eje “x” y pasa
por los puntos ( ) ( )7,65,0;1,23
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − y .
Planteamiento:
.0'''2 =+++ FyExDy
( )
( )( )349''7'6;0''7'649
225''5;0''525
11'''23;0'''
231
−=+−−=+−−−=+=++
−=+−=+−+
FEDFEDFEFE
FEDFED
Desarrollo: Tomando la (1) y (3), al multiplicar (1) por
4.
( )453'5'11_________________
49''7'64'4'4'6
−=+−
−=+−−−=+−
FE
FEDFED
Ahora tomando la (2) y (4), al multiplicar (2) por -5
72'36_______________
53'5'11125'5'25
=−
−=+−=−−
E
FEFE
; ;36
72'−
=E
E’=-2; sustituyendo E’ en (2) 5(-2)+F’=-25; F’=-25+10; F’=-15 sustituyendo E’ y F’ en (1)
8'
)12(32';2151'
23
;1)15()2('23
=
=−+−=
−=−+−−
D
DD
D
( ) ( )( ).1,0;4
;2;8;281
16812115812
;158201528
2
2
2
2
2
FxDirectrizpLRxy
xyyxyy
xyyyxy
=−==−−=−
+−=+−
++−=+−
+−=−
=−−+
−2 −1 1 2 3 4 5
4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
Dire
ctriz
x=
4
V (2, 1)F (0, 1)Eje Focal
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2) Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje “y” y pasa por los puntos ( ) ( ) ( )1,34,8;0,0 y− .
Planteamiento:
.0'''2 =+++ FyExDx
( )( )29''3;0'''39
164''4'8;0''4'864;0'
−=++=+++−=+−=+−+
=
FEDFEDFEDFED
F
Desarrollo: Tomando la (1) y (2), al multiplicar (2)
por 4.
( )3100'5'20_________________
64''4'836'4'4'12
−=+
−=+−−=++
FD
FEDFED
Sustituyendo F’ en (3).
5';20100'
100)0(5'20
−=−
=
−=+
DD
D
Sustituyendo D’ y F’ en (2) 3(-5)+E’+0=-9; E’=-9+15; E’=6 Quedando la ecuación:
.2411,
25;
2461
;23;6;
24256
25
61*
4256
25
4256
4255
;65065
2
2
2
2
2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−=+−
−=−
=+−
FyDirectriz
pLRyx
yx
yxx
yxxyxx
−1 1 2 3 4 5 6 7
4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
V (5/2, 25/24)
F (5/2, -11/24)
Directirz y=61/24
Eje
Foca
l
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4.2.5 Aplicaciones. Ejemplos.
1) Determinar la ecuación del arco parabólico formado por los cables que soportan un puente colgante cuando el claro es de 150 m., y la depresión de 20 m.
( ) ( )
.4
1125;)16
1125(4
.16
1125;80
5625;805625;20475;4
22
22
yxyx
pppppyx
==
=====
2) Un arco de forma parabólica mide 6 m de largo en su base, su vértice está a 2.4 m arriba de la misma. Hállese la longitud de una viga paralela a la base y 1.8 m arriba de la misma.
( ) ( )
( ) .3;232;2.
23;
49;6.0
16154
.1615;
6.99;6.99;4.243;4
2
22
mllxlxxx
pppppyx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==∴==−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−=−=−=−=−=
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Ejercicios Propuestos.
1) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje “x”, pasa por el punto (-4, 2). Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto.
Sol. » xy −=2 ; F (-1/4, 0); x=1/4 y; LR=1. 2) Discutir la ecuación 042 =− yx y trazar la curva correspondiente. Sol. » p=1; F (0, 1); y=-1 y; LR=4. 3) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen,
Siendo su directriz la recta y-5=0. Así como sus demás elementos. Sol. » p=-5; F(0, -5); LR=20; .202 yx −= 4) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (-4, 3) y (-1, 3), respectivamente. Hallar también las ecuaciones de su directriz y de su lado recto, trazando la gráfica correspondiente. Sol. » .12;7;0391262 =−==−−− LRxxyy 5) La directriz de una parábola es la recta y-1=0 y su foco es el punto (4, -3). Hallar la ecuación de la parábola, su lado recto y trazar la gráfica correspondiente.
Sol. » .2;8;024882 −===++− pLRyxx
6) Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos (3, 3) y (3, 1), respectivamente. Hallar también la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto, trazando la gráfica correspondiente. Sol. » 7) La directriz de una parábola es la recta x+5=0 y su vértice es el punto (0, 3). Hallar la ecuación de la parábola, su lado recto y trazar la gráfica correspondiente. Sol. »
8) Verificar que la ecuación indicada represente una parábola, encontrando sus elementos y la gráfica correspondiente.
a) 01672249 2 =+++ yxx
Sol. » ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −==−=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − 2,
34;2,;8;2;8
34 2
FyDirectrizLRpyx
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b) 742 =+ xy
Sol. » ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= 0,
43;
411,;4;1;
4742 FxDirectrizLRpxy
c) 15948124 2 =++ yxx Sol. »
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
21,
23;
213,;12;3;
2712
23 2
FyDirectrizLRpyx
9) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (0, 6), (4, -2) y (6, -3) y cuyo eje focal es paralela al eje “y”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. »
( ) ( ) ( )2,6;4,;4;1;346;024412 22 −−===+=−=+−− FyDirectrizLRpyxyxx 10) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (6, 7), (7/2, -3) y (8, 3), cuyo eje focal es paralela al eje “x”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. »
( ) ( ) ( )3,6;10,;8;2;883;0556 22 FxDirectrizLRpxyyxy ==−=−−=−=−−+ 11) Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (7, 17), (1, 5) y (7, -7), cuyo eje focal es paralela al eje “x”. Así como sus demás elementos y la gráfica correspondiente. Sol. »
( ) ( ) ( )2,6;4,;4;1;346;024412 22 −−===+=−=+−− FyDirectrizLRpyxyxx 12) Una cuerda de la parábola 042 =− xy es un segmento de la recta x-2y+3=0. Hallar su longitud. Sol. » 13) Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola 082 =+ yx que es paralela a la recta 0743 =−+ yx . Sol. » 14) Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola 092 =− xy , cuya ordenada es igual a 6. Sol. »
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4.3 Elipse. Definición Es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Los puntos fijos se llaman focos de la elipse y la suma constante es igual a “2a” que equivale al eje mayor. Teorema: Toda ecuación de segundo grado con dos variables (x,y) y sin termino x,y, representa una elipse, si los coeficientes de las variables al cuadrado son numéricamente distintos, pero de igual signo. La ecuación general es: 022 =++++ FEyDxCyAx A y C ≠ 0 Ecuaciones de la elipse forma ordinaria, ejes de la elipse son paralelos al los ejes cartesianos: >
1)()(2
2
2
2
=−
+−
bky
ahx → Elipse con eje focal paralelo al eje X
1)()(2
2
2
2
=−
+−
aky
bhx → Elipse con eje focal paralelo al eje Y
Si el centro C( h , k ) esta en el origen, las ecuaciones anteriores se reducen a:
12
2
2
2
=+by
ax ; 12
2
2
2
=+ay
bx
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V2 V1
B1
B2
F2 F1Cc a
b
R
L L
R
Elementos de la ELIPSE: a = Distancia del centro a cualquiera de los vértices. b = Distancia del centro a cualquiera de los extremos del eje menor. c = Distancia del centro a cualquiera de los focos V1V2 = Eje mayor B1B2 = Eje menor
C ( h , k ) LR = ab22
ace = y e < 1 22 ba >
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X
Y
L
R
B1
L
R
CF2 F1
B2
V2
V1
Ejercicio 1 En la siguiente ecuación 4002516 22 =+ yx . Hallar las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, la excentricidad y la longitud de cada lado recto. Graficar. Planteamiento y Desarrollo:
400400
40025
40016 22
=+yx
11625
22
=+yx
39
1625
1625
22
2
2
==
−=
−=
=
=
cc
c
bac
ba
Resultado: Eje mayor = a2 = 10 Eje menor = b2 = 8
TR = 4.65
325
)16(22 2
===ab
e = 53
=ac
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X
Y
L
R
B1
CF2 F1
B2
V2 V1
R
L
Ejercicio 2 Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos (2,0), (-2,0) y su
excentricidad es igual 32
Planteamiento:
ace =
32
=e
23
==
ca
92 =a
22 cab −=
Desarrollo:
5
49
=
−=
b
b 52 =b
3
103
)5(22 2
===abTR
Resultado:
159
22
=+yx
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Geometría Analítica
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X
Y
B1 C
F2
F1
B2
V2
V1
Ejercicio 3
Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto )3,27( tiene su centro en
el origen, su eje menor coincide con el eje “x” y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. Planteamiento: Si C(0,0) y eje menor coincide con eje “x”, su ecuación es:
12
2
2
2
=+ay
bx
Si pasa por )3,27(
Sustituimos “x” y “y” en la ecuación de la elipse.
13)27(
2
2
2 =+ab
Desarrollo:
baba
ba
24
)2(22
===
:
2164
497
4149
47
149
47
1)2(
947
2
222
22
22
=
==+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ =+
=+
=+
bb
b
bbb
bb
bb
12
416
22
=
−=
−=
c
c
bac
42
)4(22
2 2
=
=
=
LR
LR
bLR
Resultado: 1164
22
=+yx
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Ejercicio 4 El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto (3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, hállese la ecuación de la elipse, se excentricidad y las coordenadas de sus focos. Planteamiento: C (-2,-1) V (3,-1) a = 5
1.310
10202
524
24
2
2
2
2
==
=
=
=
=
=
bb
bb
babLR
LR
Desarrollo y Resultado:
7.0515
8.315
1025
22
=
=
=
==
−=
−=
e
e
ace
cc
c
bac
)1,8.5()1,8.1(
),(,:cos
2
1
−−−±−
FF
KhCFfo
sCoordenada
110
125
2=
++
+ yxipseEcuaciónEl
X
Y
B1
CF2 F1
B2
V2 V1
L
R
L
R
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X
Y
B1
CF2 F1
B2
V2 V1
L
R
L
R
Ejercicio 5 Reducir la ecuación dada a la forma ordinaria de la ecuación de la elipse, determinar todos sus elementos y graficar.
037183294 22 =+−++ yxyx Planteamiento:
24
39
)1,4(
4)1(
9)4(
.3636
36)1(9
36)4(4
96437)12(9)168(437_189_324
tan037183294
2
2
22
22
22
22
22
==
==
−
=−
++
=−
++
++−=+−+++
−=+−+++
=+−++
bbaaC
yxElipseEc
yx
yyxxyyx
trinomiodoComple
yxyxDesarrollo:
6.238
3)4(2
2
5
49
2
22
=
=
=
=
=
−=
+=
LR
LR
LR
abLR
c
c
bac
74.0335
=
=
=
e
ace
Eje mayor = 6 Eje menor = 4
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X
Y
(-40,0)
(-15,y)(0,30)
(15,y)
(40,0)
Ejercicio 6 Un arco de 80m de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura es de 30 metros hallar la altura del arco en un punto situado a 15m del centro. Planteamiento:
900)16001375(
16001375
900
16002251
900
19001600
225
19001600
1
2
2
2
2
22
2
2
2
2
=
=
−=
=+
=+
=+
y
y
y
y
yxby
ax
Desarrollo:
my
y
y
y
y
81.27455154
1237516
123751600
12375002
=
=
=
=
=
y = 27.81 m de altura
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Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Para cada uno de los ejercicios, hallar las coordenadas de los focos, los extremos de los ejes mayor y menor, los extremos de cada lado recto y graficar.
12549
22
=+yx Sol: F ( )0,24± , ( )0,7±V
( )5,0 ±B
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
725,24 ,
1925
22
=+xy Sol: F )4,0( ± , V )5,0( ±
)0,3(±B
)4,59(),4,
59( −±±
44 22 =+ yx Sol: F )0,3(± , V )0,2(± )1,0( ±B
)21,3(),
21,3( ±−±
1832 22 =+ yx Sol: )0,3(),,3( ±± VOF )60( ±B )2,3(),2,3( ±−±
( ) ( ) 19
216
3 22
=−
+− yy Sol: )2,43(),73( ±± VF
)32,3( ±B
)492,73(),
492,73( ±−±+
2.- Reducir la ecuación y graficar.
04002001602516 22 =++++ yxyx Sol: 116
)4(25
)5( 22
=+
++ yx
0321632416 22 =−−++ yxyx Sol. 116
)2(4
)1( 22
=−
++ yx
060122423 22 =+−++ yxyx Sol: 13
)3(2
)4( 22
=−
++ yx
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3.- Escribe la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas en cada uno de los ejercicios.
Centro en (5,1) vértice en (5,4), extremo de su eje menor (3,1).
Sol: 14
)1(4
)5( 22
=−
+− yx
Vértice en (-1,3) y (5,3), la longitud del eje menor es 4.
Sol: 14
)3(9
)2( 22
=−
+− yx
Centro en (-2,2), un vértice en (-2,6), extremo en un eje menor (0,2)
Sol: 14
)2(16
)2( 22
=−
+− xy
4.- Resuelve los siguientes problemas.
La orbita de la tierra es una elipse con el sol en uno de los focos. La longitud del eje mayor es 186 000 000 mi y la excentricidad es o.o167. Hallar las distancias de los extremos del eje mayor al sol.
Sol:91.4millones de millas 94.6millones de milas El arco de un paso subterráneo es una semielipse de 60 pies de ancho y
20 pies de altura. Hallar el claro de la orilla de un carril si la orilla esta a 20 pies del punto medio.
Sol: pies53
20
Hallar la ecuación de la trayectoria de un punto P(x,y) que se mueve de tal manera que su distancia a (-4,0) es igual a dos tercios de la distancia de la recta x=-9
Sol: 12036
22
=+yx
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4.4 Hipérbola. Tema: Definición Definición: Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el valor absoluto de la diferencia a dos puntos fijos, es una constante. Los dos puntos fijos se denominan focos y el punto medio del segmento que los une se llama centro de la hipérbola.
12
2
2
2
=−by
ax
V
F(c,0)F´
x=ax= -a
a
bc
(0,b)
(a,0)V´
(0,-b)
L
R
La asíntotas de una curva es una línea recta tal, que la distancia perpendicular trazada desde la recta a un punto sobre la curva es, y permanece, menor que cualquier valor positivo que se le asigne a medida que el punto en la curva se aleja indefinidamente del origen.
bx – ay = 0 y bx + ay =0
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Ejemplos: Dada la hipérbola 1961649 22 =− xy , hallar: (a) los valores de a, b y c; (b) las coordenadas de los focos, de los vértices y delos extremos de los lados rectos; c) la longitud del lados recto y d) las ecuaciones de las asíntotas, e) Dibujar la curva
a) Reducir la ecuación a la forma ordinaria
1
4494196
1619640 2222
=−=−xyxy
Por lo tanto, a = 24 = y
27
449 ==b
Y así
6521
449
41622 =+=+= bac
y 6541
==ace
b) Como el término que
contiene a y es positivo, sabemos que el eje transverso está incluido en el eje Y. Podemos ahora obtener las coordenadas de los puntos buscados:
Focos: FF´= )6521,0(),0( ±=±c
Vértices VV´= )2,0(),0( ±=±a Extremos de los latera recta L,R y L´R´=
)6521,
849(),(
2
±±=±± cab
c) La longitud del lado resto es
4492 2
=ab
d) Las ecuaciones de las asíntotas son: 7y-4x=0 y 7y+4x=0
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Tema: Hipérbola, c (h,k) Definición: Utilizando las fórmulas de traslación x´=x-h y y=y-k, como en el caso de la elipse, se puede obtener la ecuación de la hipérbola con centro en C(h,k) y el eje transverso paralelo al eje X:
1)()(2
2
2
2
=−
−−
bky
ahx
Y si el eje transverso es paralelo al eje Y, la correspondiente ecuación es:
1)()(2
2
2
2
=−
−−
bhx
aky
Forma General de la Hipérbola 022 =++++ FEyDxCyAx
Ejemplos Dada la hipérbola 029181694 22 =−+−− yxyx , determinar: a) los valores de a, b, c y e; (b) las coordenadas del centro de os focos y delos vértices; (c) las longitudes de los lateras recta y los ejes transverso y conjugado; (d) las ecuaciones de los ejes principales y de las asíntotas de la hipérbola, (e) Obtener la ecuación de la hipérbola conjugada y dibujar ambas curvas Completando cuadrados para expresar en su forma ordinaria
14
)1(9
)2(36)1(9)2(4
22
22
=−
−−
=−−−
yxyx
El término que contiene a x es positivo, puesto que indica que el eje transverso es paralelo al eje X y la ecuación es de la forma
1)()(2
2
2
2
=−
−−
bky
ahx
Entonces:
1331,13
24,39
22 ===+=
====
acebac
ba
b) Las coordenadas del centro son (h,k)=(2,1)y, por consiguiente, los focos son FF´= ykch ),1,132(),( ±=± los vértices V(h+a,k)=(5,1) y V´(h-
b) Las longitudes del lado recto y los jes transverso y conjugado son: respectivamente:
382 2
==abLR , 2ª = 6 , 2b = 4
c) La ecuación del eje principal es y – 1 = 0.
Las asíntotas son los factores del miembro izquierdo de la ecuación ordinaria igualado a cero:
4(x-2)²-9(y-1)²=(2x-3y-1)(2x+3y-7) entonces las asíntotas serán: 2x-3y-1=0 y 2x+3y – 7=0
d) La forma ordinaria de la ecuación es:
19
)2(4
)1( 22
=−
−− xy o 1
4)1(
9)2( 22
−=−
−− yx
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a,k)= (-1,1)
Determinar la ecuación de una hipérbola con centro en (-3,2) y una distancia del centro al foco de 5 unidades. La longitud del semieje conjugado es de 3 unidades. El problema no menciona si eje es paralelo al eje X o al eje Y, de donde
a) 1)()(2
2
2
2
=−
−−
bky
ahx
b) 1)()(2
2
2
2
=−
−−
bhx
aky
Para ambos casos se requiere el valor de los parámetros a, b, h y k. Se tienen los valores de h= -3, k= 2 y b= 3, faltando el valor del parámetro a , pero se sabe que la hipérbola cumple la relación c² = a²+ b², entonces se puede calcular el valor de a
a² = c² - b² luego entonces a² = 5² - 3² = 16; a=4 Con este valor se tiene que:
19
)2(16
)3( 22
=−
−+ yx
si se desarrolla 9(x+3) ² - 16(y-2) ² = (16)(9)
que equivale a
9x² - 16y² + 54x + 64y –127=0
Para el caso b se obtiene la siguiente ecuación
-16x² +9y² -96x +36y + 36 =0
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Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a las
rectas 4x – 3x + 11 = 0 y 4x + 3y + 5 = 0 sea igual a 25
144
Sea P(x,y) un punto cualquiera
25144)
5534)(
51134( =
−++
−+− yxyx
Simplificando
116
)1(9
)2(
0891864916
22
22
=−
−+
=−++−
yxobien
yxyx
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Problemas Propuestos
1.- Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que satisfacen las condiciones siguientes: a) Eje real 8, focos ( )0,5± Sol. 9x²-16y²=144 b) Centro (0,0), un foco (8,0), un vértice (6,0) Sol. 7x²-9y²=252 2.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen, eje real sobre el eje de coordenadas y, longitud del lado recto 36 y distancia entre los focos igual a 24.
Sol. 3y² -x² = 108 3.- Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices ( )0,6± y asíntotas 6y = +7x.
Sol. 49x² - 36y² = 1.764 4.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de las pendientes de las rectas que los une con los puntos fijos (-2,1) y (3,2) es igual a 4, representa una hipérbola
Sol. 4x²-y²-4x+3y-26=0 5.- Hallar las ecuaciones de las hipérbolas cuyos focos y vértices son: (a) F, F´=( )1,5(),1,3´();1,7(),1,5(´)();
21,0(´),1,0(´);0,2(´),0,3( =−=−=±=±=±=± VVFFcVVFFVV
Sol.
120
)1(16
)1(3412
154
22
22
22
=−
−−
=−
=−
yxxy
yx
6.- 2.- Determinar las ecuaciones de las hipérbolas conjugadas de: (a) 0789)(;14/)(;1)(;3694 22222222 =−+−=−=−=− xxydxycyxbyx
Solución
19
)4()
14
)
1)
194
)
22
22
22
22
=−−
=−
=−
=−
yxd
yxc
xyb
xya
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7.- Escribir la ecuación de la hipérbola cuyos focos están situados simétricamente con respecto al origen sobre el eje X, tal que satisfaga las siguientes condiciones:
a) 2a= 10, 2b = 8 b) La distancia entre los focos es 10 unidades y el eje conjugado mide 8
unidades. c) La excentricidad es 3/2 y 2c = 6 d) El eje transverso mide 10 unidades y e = 5/4
Soluciones.
13664
)
154
)
1169
)
11625
)
22
22
22
22
=−
=−
=−
=−
yxd
yxc
yxb
yxa
8.- Dada la hipérbola 144916 22 −=− yx , hallar: a) las longitudes de los semiejes; b) las coordenadas de los focos; c) la excentricidad, d) las ecuaciones de las asíntotas.
Soluciones.
xyd
ec
FFbbaa
34)
35)
)0,5(´,)3,4)
±=
=
±===
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Y
Xx
yr
P(x,y)
UNIDAD 5. COORDENADAS POLARES. Ecuaciones de Transformación.
22
222
yxr
yxr
+=
+=
sen Ө = ry y = r sen Ө
cos Ө = rx x = r cos Ө Ө
tan Ө = xy Ө = arc tan
xy
sen Ө =22 yx
y+
cos Ө =22 yx
x+
Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa. P ( x,y ) coordenadas rectangulares, Q ( r, Ө ) coordenadas polares. Ejercicio 1 Hallar las coordenadas rectangulares del punto P cuyas coordinas polares son; ( 4,120° ). Solucion: r = 1 Ө=120° Por tanto x = r cosӨ y = r senӨ x = 4 cos120° y = 4 sen120°
x = 4 (-21 ) y = 4 )
23(
x = 2 y = 2 3
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Ejercicio 2 Hallar un par de coordenadas polares del punto P cuyas coordenadas rectangulares son (3,-5). Solución: X = 3 y = -5 r = 22 yx +± r = 259+± r = 34±
Ө = arctan xy
Ө = arctan (35− )
Ө = 300° 58´
Ө 34±
Ejercicio 3 Hallar la ecuación polar del lugar geométrico cuya ecuación rectangular es
012422 =+−−+ yxyx Solución: Podemos remplazar
22 yx + por 2r , y Y por r senӨ Por lo tanto la ecuación polar buscada es:
2r - 4 r cosӨ - 2r senӨ + 1 = 0
222 yxr += y = r senӨ
Y
X
-5
3
P(3,-5)
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Ejercicio 4 Pasar la ecuación rectangular dada a su forma polar. 036222 22 =+−++ yxyx Solución :
0362)(2036222
22
22
=+−++
=+−++
yxyxyxyx
Sustituimos por las ecuaciones de transformación
222 yxr += x = r cosӨ y = r senӨ
+22r 2 r cosӨ - 6 r senӨ + 3 = 0
Ejercicio 5 Pasar la ecuación rectangular dada a su forma polar 0222 =−+ yyx Solución:
yyx 222 −+ Sustituyendo ecuaciones de transformación:
222 yxr += y = r senӨ 2r -2 r senӨ = 0 Dividiendo entre r r – 2 senӨ = 0 r = 2 senӨ
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Ejercicio 6 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es:
φcos12
−=r
Solución: antes de sustituir quitar decimales
φcos12
−=r
r ( 1 - cosӨ) = 2 r – r cosӨ = 2 Sustituyendo R = 22 yx + y x = r cosӨ
xyx
xyx
+=+
=−+
2
222
22
Elevamos al cuadrado ambos miembros
( ) ( )
4444
2
2
222
2222
+=
++=+
+=+
xyxxyx
xyx
Ecuación rectangular (Parábola)
Ejercicio 7 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es :
φcos22
−=r
Solución:
( ) ( )( )
222
222
2222
22
22
4444444
22
cos22
2cos2
2cos22)cos2(
cos22
xxyxxxyx
xyx
ryx
ryx
rrr
r
++=+
++=+
+=+
+=+
=−+
=−=−
−=
φ
φ
φφφ
04443 22 =−−+ xyx Ec. Rectangular (Elipse)
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Ejercicio 8 Hallar la ecuación rectangular del lugar geométrico cuya ecuación polar es: r = 2(1-cosӨ) Solución :
)cos1(2 φ−=r Multiplicamos la ecuación por ( r )
φ
φ
cos22)cos1(2
2
2
rrrrr−=
−=
Sustituimos por las ecuaciones de transformación
xyxyx 22 2222 −+=+
( ) ( )( ) ( )xyxyx
xyxyx
xyxyx
24
22
22
2222
222222
2222
++=+
++=+
++=+
Ecuación Rectangular (Cardioide)
Ejercicio 9 Escribir la ecuación siguiente en coordenadas rectangulares e identificar la
curva. φsen
r211
−=
Solución:
( ) ( )
01443441
21
21
121)21(
211
22
222
2222
22
=−−−
++=+
+=+
+=+
=−=−
−=
yxyyyx
yyx
rsenyx
rsenrsenr
senr
φ
φφφ
Ec. Hipérbola
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Resuelve los siguientes ejercicios: 1.- Hallar las coordenadas rectangulares del punto determinado por las coordenadas polares (6,120°). Sol: (-3 , 3 3 ) 2.- Expresa las coordenadas rectangulares (-2 , 2) en terminos de coordenadas polares. Sol: (2 2 , 45°) 3.- Transformar la ecuación r = 4senӨ a coordenadas rectangulares. Sol: yyx 422 =+ 4.- Trasformar la ecuación en coordenadas polares a rectangulares:
φφ sen
r3cos
1+
= Sol: x + 3y = 1
5.-Transformar las ecuaciones siguientes a las correspondientes ecuaciones en coordenadas polares.
32 =+ yx Sol: φφ sen
r+
=cos2
3
03 =+ yx Sol: ( ) 0cos3 =− φφ senr yx 42 = Sol: φφ senr 4cos2 = 922 =+ yx Sol: 3=r 092 =− yx Sol: 09cos2 =− φφ senr 42 22 =− yx Sol: 4)31( 22 =− φsenr yyx 222 =+ Sol: φsenr 2= 6.- Transformar la ecuaciones a las correspondientes ecuaciones en coordenadas rectangulares. 4cos =φr Sol: 4=x φcos6=r Sol: xyx 622 =+ φsenr 8= Sol: yyx 822 =+
φcos1
2−
=r Sol: ( )142 += xy
φφ cos43
3+
=sen
r Sol: 334 =+ yx
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φsen
r212
+= Sol: 483 22 =+− yyx
∆ Ecuaciones Polares de la Recta, la Circunferencia y las Cónicas. ● Ecuación de la Recta. ( )ωθ −= cosrp . 1) Si ω=0° » p = r cosθ y la recta es ┴ al eje polar y a p unidades a la derecha del origen. 2) Si ω=180° » -p = r cosθ y la recta es ┴ al eje polar y a p unidades a la izquierda del origen. 3) Si ω=90° » p = r senθ y la recta es ║ al eje polar y a p unidades arriba del origen. 4) Si ω=270° » -p = r senθ y la recta es ║ al eje polar y a p unidades debajo del origen. Ejemplos. 1) Basándose de una figura hállese la ecuación de la recta ┴ al eje polar. a) 4u a la derecha del polo. b) 4u a la izquierda del polo.
a) si ω=0° » p=r cosθ; r cosθ=4
−4 −3 −2 −1 1 2 3
2
−1
1
2
x
y
P
R
pO
) t
l
A
(r, t)
b) si ω=0° » -p=r cosθ; r cosθ=-4
−2 −1 1 2 3 4 5
2
−1
1
2
x
y
P
R
O
A
l
-p
t)
(r, t)
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Geometría Analítica
A. Benítez O. Santiago Academia de Matemáticas V. Ángel Matutino
2) Basándose de una figura hállese la ecuación de la recta ║ al eje polar. a) 4u debajo del eje. b) 4u arriba del eje.
a) si ω=270° » -p=r senθ; r senθ=-4
−1 1 2 3 4 5
2
−1
1
2
3
4
x
y
R
OA
l
p
b) si ω=90° » p=r senθ; r senθ=4
−1 1 2 3 4 5
5
−4
−3
−2
−1
1
x
y
AO
R
l
p
Si una recta no pasa por el origen, puede deducirse a.
.cos θθ senBA
cr+
=
Esto es, si Ax + By = C cuando C ≠ 0 y A y B ambas no igual a cero. Ejemplos. 1) Trazar la gráfica de la ecuación polar y encontrar la ecuación rectangular correspondiente.
Planteamiento y Desarrollo:
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.442.44
;2;4cos2
4
=−∴=−=
=−
=
yxCyB
Asen
rθθ
−1 1 2 3 4
3
−2
−1
1
x
y
O
A
2) Escribir la ecuación polar de la recta horizontal que pasa por el punto (3, 90°).
Planteamiento y Desarrollo:
.
190;090cos90
;3;cos
BCr
sen
rsenBA
Cr
=
∴=°=°∴°=
=+
=
θθθ
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
l
A
0
-p=rseno
● Ecuación de la Circunferencia. ( )αθ −−+= cos2222 rccra . O bien
( ) 222 cos2 acrcr =+−− αθ 1) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar, su ecuación es de la forma θcos2 ar ±= ; debiéndose tomar el signo positivo o el negativo según que el centro esté a la derecha o a la izquierda del polo. 2) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está sobre el eje polar, su ecuación es de la forma θcos2 ar ±= ; debiéndose tomar el signo positivo o el negativo según que el centro esté a la derecha o a la izquierda del polo. Ejemplos. 1) Hallar la ecuación del círculo con centro en (5, 60°) y radio 3.
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Planteamiento:
( ) 222 cos2 acrcr =+−− αθ
Desarrollo:
( ).016)60(cos10
92560cos)5(22
=+°−−
=+°−−
θ
θ
rrrr
2) Si θcos4=r . Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente.
Planteamiento:
.cos2 θar ±=
Desarrollo:
.2)0,2(;02.
;2;cos)2(2
=°===
==
ayCdeciresyacpolarejeelsobreestacentrosuypoloelporpasa
nciacircunferelaar
θ
θ
● Ecuaciones de las Cónicas.
1) Si un foco está en el polo y la directriz D es ┴ al eje polar y esta situada p unidades a la izquierda del polo, la ecuación es:
.cos1 θe
epr−
=
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2) Si un foco está en el polo y la directriz está a p unidades a la derecha del polo, la ecuación es:
.cos1 θe
epr+
=
Eje Polar
P (r, O)
Direc
triz
pOrigen
r
O)B
_
_
>
>
3) Si un foco está en el polo y la directriz D es ║ al eje polar y a p unidades arriba del eje polar, la ecuación es:
.1 θsene
epr+
=
4) Si un foco está en el polo y la directriz D es ║ al eje polar y a p unidades debajo del eje polar, la ecuación es:
.1 θsene
epr−
=
Directriz
A
Eje Polar
R
P (r, O)p
Origen
r
O)
_
_
Ejemplos. Trazar la gráfica de las ecuaciones.
1) θcos33
8+
=r .
Planteamiento y Desarrollo: Dividiendo el numerador y denominador entre 3.
7.238270
180
;7.23890
==∴°=
=∴°=
==∴°=
r
yerrorr
rSi
θ
θ
θ
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.3.1340.
.381;
38
.1;cos138
==∴°=
=∴==
∴=+
=
rSi
pecomoep
parábolaunaeser
θ
θ
1 2 3 4
x
y
F
180°
90°
270°
0° A
2) θcos23
15−
=r .
Planteamiento y Desarrollo: Dividiendo el numerador y denominador entre 3.
150
.2
1532;5
.32;
cos321
5
=∴°=
=∴==
∴=−
=
rSi
pecomoep
elipseunaeser
θ
θ
52703180
;590
=∴°==∴°==∴°=
ryr
rSi
θθ
θ
1 3 4 6 7 9 10 12 13 15 16
x
y
A
0°
90°
180°
270°
F
3) θsen
r32
4+
= .
Planteamiento y Desarrollo: Dividiendo el numerador y denominador entre 2.
42702180
;8.05490
−=∴°==∴°=
==∴°=
ryr
rSi
θθ
θ
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;20.
.34
23;2
..23;
231
2
=∴°=
=∴==
∴=+
=
rSi
pecomoep
hipérbolaunaesesen
r
θ
θ
1 2 3 4 5
x
y
F0°
A
90°
180°
270°
Ejercicios Propuestos. 1) Escribir la ecuación polar de cada una de las rectas descritas:
a) recta horizontal que pasa por el punto (-3, 90°). b) recta vertical que pasa por el punto (4, Π). 2) Hallar la ecuación del círculo con centro en (4, 0°) y radio 4. 3) Si .32cos2 θθ senr += Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente. 4) Hallar la ecuación del círculo con centro en (7, 120°) y radio 5. 5) Si .0522cos222 =−−− θθ senrrr Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente.
6) Hallar la ecuación del círculo con centro en ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
43,6 y radio 4.
7) Si .033cos2 =−−+ θθ senrrr Hallar las coordenadas del centro del círculo y el radio correspondiente.
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8) Hallar la ecuación del círculo con centro en ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
67,3 y pasa por el punto
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
34,2 .
9) .cos44
8θ+
=r S » Parábola.
10) .cos236
θ−=r S » Elipse.
11) .4515
θsenr
−= S » Hipérbola.
12) .cos22
9θ+
=r S » Parábola.
13) .cos212
θ−=r S » Elipse.
14) .cos324
θ+=r S » Hipérbola.
15) .3310
θsenr
−= S » Parábola.
16) .2
12θsen
r+
= S » Elipse.
17) .cos212
θ−=r S » Hipérbola.
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UNIDAD 6. ECUACIONES PARAMÉTRICAS. 6..1 Ejercicios de Graficación. Ejemplos. Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas. 1)
712310
32;1
==∴==−=∴=
+=−=
yyxtyyxt
tyytx
−3 −2 −1 1 2 3 4
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
2)
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142320
1023;2 2
−==∴===∴=
−==∴−=−=+=
yyxtyyxtyyxt
tyytx
−1 1 2 3 4 5 6
4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
6.2 Eliminación del Parámetro. Ecuación Cartesiana de una Trayectoria Dada Parametricamente. Ejemplos. Hallar la ecuación rectangular de la curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: (trazar las gráficas correspondientes). 1)
( )( ) .0623;32;132
.
1sec;2
sec;3
.sec23 222222
=−−=−∴
=−====
xyxyricatrigonométidentidadlapor
tgcomoyxtgyytgx θθθθθθ
−1 1 2 3 4 5 6
1
1
2
3
4
x
y
2)
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( )
.04
;1;44;44;4;4;14;44
;44;14
4;14
;
;1cos;4
;2
;cos.2;cos
22
222
222
222
==
−=−=−===−−=+−=
=+=+
=+∴
=+=====
kyh
pppLRpLRxyxy
xyxyxyricatrigonométidentidadlapor
sencomoysenysenxsenyx θθθθθθθ
−3 −2 −1 1 2 3 4
4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
6.3 Ecuaciones Paramétricas. Ejemplos. Encontrar las ecuaciones paramétricas y/o cartesianas, dada las siguientes condiciones y trazar las gráficas correspondientes: 1) La recta que pasa por los puntos (2, 6) y (-3, -4).
( ) ( ).610;106);64(6
.25;52);23(2;4,36,2 21
+−=−=−−−=−+−=−=−−−=−−−
tytytytxtxtxPyPSí
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
2)
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( ) ( ) ( ).241;481
;24
1;4
1;2;2
1.221
22
22222
−−=−−=−
−=−−
=−=−
=−=+=
yxyx
yxigualandoxtytxttyytx
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
4
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
∆ Tiro Parabólico. Ejemplos. 1) Se lanza una piedra con una velocidad de 160 ft/seg, con una dirección de 45° respecto a la horizontal. Hallar la distancia hasta la cual llega la piedra y su altura máxima. Planteamiento y Desarrollo:
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( )
( )
( )( )
( )( ) ( ) .200400.200800400
;160000800400;800400400800;800800
;800800.Re.800
;2560032;
2125600
16
;
4225600
16;
2225600
16;45cos160
322145
...200200400
22516
225280.
;0800800;251625280
.800;25280;.25;16
280
;28016;1628000,
;16280.280;2216032
2145160
;45cos160./32;45;/160
2
22222
2222
2
2
2
22
2
2
2
2
22
22
0
==−−=−
+−=−−=−+−−=−
−=−=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
°−°=
=−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∴
=−=−=
====
=−=∴=
−===−°=
°==°==
kyhenvérticeConyx
yxyxxyxx
xxyduciendoxxyxxyxxy
xxyxxyxxtgy
rrectángulaEcuaciónmáximaalturafty
ymáxinaalturaladaránostiempodelmitadla
simétricaesparábolaunacomoyy
ftxxxentdosustituyenttt
ttttysueloalllegapiedralacuando
ttytxtxttseny
txsegftgsegftV α
100 200 300 400 500 600 700 800 90
50
50
100
150
200
x
y
2) Un picher lanza una a horizontalmente con una velocidad inicial de 108 ft/g. Si el punto del disparo está 6 ft arriba del suelo: a) ¿a qué altura llega la pelota a la base meta, que está a una distancia de
60.5 ft del montículo? b) ¿cuál será la respuesta a esta pregunta si la velocidad inicial fuera de
132 ft?
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Planteamiento.
( )
.56.0
;108
5.60;1085.605.60
.108;1108;0cos108.
.21cos
./32;0;/108
200
0
segt
ttxSi
txtxtxDesarrollo
tgtsenVyytVx
segftgsegftV
=
===
==°=
−==
=°==
θθ
θ
( ) ( )( )
( )( ) .386.3;46.03221
.46.0;132
5.60;132;/132)
.018.5
56.0322156.00108
2
0
ftyy
segtt
txsegftVafty
seny
=−=
==
===
−°=
Ejercicios Propuestos: 1) Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones paramétricas.
tyytsenxdsenyyxctyytxbtyytxa
cos);2cos)134);11) 2
====+=−=+=+=
θθ
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2) lar la ecuación rectangular de la curva, cuyas ecuaciones paramétricas son: (trazar las gráficas correspondientes).
( ) ( )
6.2;3;4;5.4;1169
;cos43)
.2;2;122;2cos2)22
22
=====+⇒==
===−+−⇒+=+=
cbaLRyxSyysenxb
khxySsenyyxa
θθ
θθ
3) Encontrar las ecuaciones paramétricas y/o cartesianas, dada las siguientes condiciones y trazar las gráficas correspondientes:
( ) ( )
( ) ( )
.1.sec)
.14
34
2.cos2322)
.19
416
3.cos3443)
22
22
22
=−⇒==
=−
++
⇒+=+−=
=+
+−
⇒+−=+=
xySyytgxc
yxSyysenxb
yxSyysenxa
θθ
θθ
θθ
4) Un proyectil se dispara con una velocidad inicial de 192 ft/seg y con un
ángulo de 30° arriba de la horizontal. Hallar las coordenadas de su posición al final de:
a) 2 seg. b) ¿en qué tiempo está el proyectil a 96 ft arriba del suelo? c) ¿cuál es el alcance máximo que alcanza el proyectil? d) ¿cuál su altura máxima?
S » a) x=332.554 ft; y=128 ft. b) t1=4.7 seg. y t2=1.3 seg. c) x=997.661 ft. y d) y=144 ft.
5) Un proyectil que se dispara formando un ángulo de 12 ° con la horizontal, tiene una velocidad inicial de 678 mts. Háyanse: a) las ecuaciones paramétricas de su trayectoria. b) la altura máxima alcanzada. c) su alcance horizontal hasta los 91.4 m, más próximos.
S » a)
.2;2;2
;21;cos 00
2202
00 gsenvt
gsenvD
gsenvHtgtsenvytvx θθθθθ ===−==
b) x=19033.4 m.; c) y=5.5 m.