7/21/2019 Guia de Docente Matematica 9no
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PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA
Rafael Correa Delgado
MINISTRO DE EDUCACIÓN
Augusto Espiosa Adrade
!ICEMINISTRO DE EDUCACIÓN"redd# Pe$a%el Larrea
!ICEMINISTRO DE &ESTIÓN EDUCATI!A
'ai(e Ro)a &uti*rre+
SUBSECRETARIA DE "UNDAMENTOS EDUCATI!OSPaulia Due$as Motero
DIRECTORA NACIONAL DE CURR,CULO -E.Isa/el Ra(os Casta$eda
GRUPO EDEBÉProyecto: Matemáticas 1,2,3 y 4
Educación Secundaria Obligatoria
D!E""#$ %E$E! &' &ntonio %arrido %on(ále(
D!E""#$ ED)O! &'*os+ 'uis %óme( "utillas
D!E""#$ DE ED"#$DE ED"&"#$ SE"$D&!&
*os+ -rancisco ./lc0e( !omán
D!E""#$ PED&%#%" &Santiago "entelles "erera
D!E""#$ DE P!OD""#$*uan 'óe( $aar r o
EPO DE ED"#$ %!PO EDE56 %ruo edeb+, 2778
Paseo San *uan osco, 927871 arcelona;; ;<edebe<com
En alian(a conED)O!&' DO$ OS"O
O!&S S&'ES&$&S DE "OM$" &"#$
%E!E$)E %E$E!&'Marcelo Me=/a Morales
D!E""#$ ED)O! &'
Mar/a &le>andra Prócel &lar cón &D&P)&"#$ ? ED"#$ DE "O$)E$DOS
E@uio Editorial Don oscoAumberto uitrón &<
"!E&"#$ DE "O$)E$DOS $E.OSMarcia PeBa &ndradeSaCl Serrano &guirr e
'orena .alladares Perugac0i
!E.S#$ DE ES)'OAernán Aermosa Mantilla
sabel 'una !ior/oPablo 'arreátegui Pla(a
"OO!D$&"#$ %!-" &? !ED&%!&M&"#$ ED)O! &'
Pamela "uea .illaicencio
D&%!&M&"#$ DE P%$&S $E. &SSusana Furita ecerra
-ranGlin !am/re( )or r esPatricio 'liicura Piedra-reddy 'óe( "anelosEriGa Delgado "0áe(
So/a .ergara &nda'S)!&"#$ DE PO!) &D&
Eduardo Delgado PadillaDar;in Parra O=eda
6 Editorial Don osco, 2711
2
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL ECUADORPrimera edición, ebrero 2711S+tima reimresión ebrero 2714
uito H Ecuador
Impreso por: EL TELÉGRAFO
'a reroducción arcial o total de esta ublicación, en cual@uierorma @ue sea, or cual@uier medio mecánico o electrónico, noautori(ada or los editores, iola los derec0os reserados< "ualI@uier utili(ación debe ser reiamente solicitada<
DS)!"#$ %!&))&
IMPORTANTEEl uso de un lengua=e @ue no discrimine ni rerodu(ca es@uemas discriminatorios entre 0ombres ymu=eres es una de las reocuaciones de nuestra Organi(ación< Sin embargo, no 0ay acuer do entr elos lingJistas acerca de la manera de 0acerlo en esaBol<
or usar la orma masculina en su tradicional aceción gen+rica, en el entendido @ue es de utilidadara 0acer reerencia tanto 0ombres y mu=eres sin eitar la otencial ambigJedad @ue se d er iar /ade la oción de usar cuales@uiera de las ormas de modo gen+rico<
)omado de $ES"O, Situación educatia de &m+rica 'atina y El "aribe: %aranti(andoa leducación decalidad ara todos< $ES"O< Santiago de "0ile, agosto 2778<
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Pr esentación
'os te>tos Matemática 8, K y 17 están orientados a traba=ar, de manera rogresia, distintas
destre(as con criterios de desemeBo, a artir de situaciones de arendi(a=eIenseBan(a @ue
e>igen conocimientos, ra(onamientos y alicaciones en la ráctica<
'a estructura metodológica se undamenta en el arendi(a=e signiicatio, siemre dentro de uneno@ue globali(ador e interdiscilinar, @ue ermita a los y las estudiantes adotar r ogr esiaImente m+todos y estrategias matemáticos, a la ar de alores como la e@uidad etaria, la demoI
cracia y el reseto a la naturale(a, al ser 0umano, a la sociedad y a las culturas<
'os te>tos buscan otenciar actitudes y 0ábitos de traba=oL desarrollar la autonom/a ersonalara construir relaciones interersonales dignasL aian(ar un comortamiento articiatio y de
reseto a las dierencias, alorar la imortancia de las 0erramientas tecnológicas y de la ciencia
en la ida cotidiana y omentar un es/ritu cr/tico y rele>io<
Persiguen un trile ob=etio:
-ormatio< "ontribuir al desarrollo de las caacidades cognitias abstractas y ormales de raI(onamiento, deducción y análisis @ue ermiten construir una isión alternatia de la realidad, atra+s del desarrollo de modelos matemáticos< 'o anterior se encamina a cubrir las macr odesI
tre(as de comrensión de concetos y comrensión de r ocesos<
-uncional< Desarrollar un con=unto de rocedimientos, estrategias de resolución de roblemas yt+cnicas de cálculo @ue ermiten solucionar roblemas de la ida cotidiana y sistemati(ar r oI
cesos de roducción, es decir, se enoca a la macrodestre(a de alicación de conocimientos<
nstrumental< Por una arte, interretar 0ec0os de la ida cotidiana y, or otra, e>resar y coI
municar los conocimientos matemáticos en otros ámbitos del arendi(a=e< Se incula con la
maI crodestre(a de arender a arender<
Me to d o lo g /a
M De acuerdo con la rouesta ara el área de Matemática del nueo documento de &ctuali(aI
ción y -ortalecimiento "urricular de la Educación %eneral ásica, los te>tos de Matemática de
2<N a 17<N aBos traba=an los conocimientos en módulos, es decir, integrando los blo@ues curriI
culares matemáticos !elaciones y -unciones, Estad/stica y Probabilidad, $um+rico, %eom+I
trico, de Medida ara comrender la uerte relación @ue guardan entre s/< En este sentido, encada módulo de los te>tos se relacionan, al menos, dos blo@ues curriculares matemáticos<'os rocedimientos @ue se arenden y se utili(an acilitan esta interrelación<
M El roceso de arendi(a=e recurre inicialmente a m+todos inductios @ue arten siemre del
entorno conocido or los estudiantes<
M 'a maniulación y la e>erimentación son instrumentos básicos ara el conocimiento y domiI
nio de concetos y t+cnicas de traba=o necesarios en matemáticas<
M 'os m+todos deductios y el uso de lengua=es abstractos se conierten en un unto de llegaI
da y en la culminación del arendi(a=e<
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E>licación de las secciones generales en el te>to ara estudiantes
M &ct iidad inicial
Plantea una actiidad relacionada con la ida cotidiana, a tra+s de la cual se ueden inerir los conocimientos @ue se traba=arán en el módulo< El estudiante intentará resolerla antes de
comen(ar con el arendi(a=e, utili(ando las estrategias @ue cono(ca 0asta ese momento, ya
@ue esto le ermitirá tener conciencia de sus caacidades y limitaciones< En este sentido, esun reto de motiación ara los nueos conocimientos<
M Pr err e@uisitos
&ctiación de conocimientos reios, tanto de concetos como de rocedimientos ara elestudio del módulo< Se sugieren actiidades de ealuación diagnóstica<
M "óm o resoler r oblemas
Esta sección es de gran ayuda ara los docentes y ara los estudiantes, ya @ue omenta elautoarendi(a=e y ermite ad@uirir 0erramientas ara la resolución de roblemas< &un@ue seenoca al ámbito matemático, la metodolog/a uede ser alicada en cual@uier área o tio de
r oblema<
M En resumen
S/ntesis de los rinciales conocimientos de la unidad y un es@uema gráico @ue muestra larelación entre estos<
M E=ercicios y roblemas integr ador es
Sección en la @ue se desarrolla un roblema @ue integra los conocimientos @ue son arte de
los blo@ues curriculares traba=ados en el módulo< Se sigue un m+todo ara la resolución de
roblemas, @ue ermite llegar al resultado< &l inali(ar, se lantea un roblema de caracter/sI
ticas similares @ue deberá ser resuelto en orma autónoma o en gruo or los estudiantes<
M E=ercicios y r oblemasna e( inali(ada la comrensión de concetos y rocesos, se resenta esta sección en la@ue se alican los conocimientos< 'a resolución de e=ercicios y roblemas se conierte en unindicador ara los docentes sobre el aance logrado o de la necesidad de reuer(o<
M Demuestra tu ingenio
Plantea actiidades en donde los estudiantes ondrán a rueba su ra(onamiento y lógicamaI temática y alicar dierentes rocedimientos y estrategias ara resoler acerti=os,enigmas, =uegos, r oblemasQ
M uen .iir
Sección en la @ue se articulan los rinciios undamentales del uen .iir con asectos de la
realidad de nuestro a/s< usca motiar la rele>ión, la toma de decisiones y osterior e=ecuIción de acciones ositias a aor del ambiente, de la sociedad y de las relaciones democráI
ticas y ara la a(<
&l inicio de cada módulo se muestra un art/culo de la "onstitución de la !eCblica delEcuador relacionado con el e=e elegido y al inali(ar el módulo se desarrolla el tema conr oundidad<
M &utoealuación y coealuación
Permite comrobar la ad@uisición de conocimientos básicos rouestos y, en consecuencia,
la asimilación de las destre(as con criterios de desemeBo reistos ara cada módulo<
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M Sección de 0istoria
na reseBa de la eolución 0istórica de los conocimientos @ue se arenden en el módulo<
M "rónica matemática
"on=unto de noticias, curiosidades, an+cdotas relacionadas con los conocimientos del módulo<
M &dicionalmente, al interior de cada módulo, se utili(an estrategias relacionadas con el cálculomental, el uso de la calculadora, el uso de las )", el traba=o grual, entre otras<
!esultados eserados con el uso de los te>tos Matem ática 8, K y 17
Se busca una ormación integral de los estudiantes, mediante el desarrollo de:
M Destre(as matemáticas<
M Destre(as de comunicación<
M Destre(as de interacción interersonales<
M Destre(as de interacción con el mundo /sico<
M Destre(as ara el tratamiento de la inormación<M Destre(as ara la comrensión del mundo digital<
M .alores sociales y ciudadanos<
M .alores culturales y art/sticos<
M &utonom/a e iniciatia ersonal<
M &utoealuación y ealuación con=unta<
M "aacidad de arender a arender<
Estrate!as mot!"a#!o$a%es para %a e$se&a$'a (e %a matem)t!#a
SegCn %ood y ro0y 1KK8, los docentes en el roceso de enseBan(a deben lograr seis ob=etiIos motiacionales:
1< "rear un ambiente de arendi(a=e aorable en el aula ara minimi(ar la ansiedad 0aciendo@ue los alumnos logren un me=or desemeBo<
2< 'os docentes necesitan estimular la motiación ara lograr arender en cone>ión con conteInidos o actiidades esec/icas royectando entusiasmo, induciendo curiosidad, disonancia,ormulando ob=etios de arendi(a=e y roorcionando retroalimentación inormatia @ueayude al alumno a arender con conciencia, sensate( y eicacia<
3< El educador debe discutir con los alumnos la imortancia e inter+s de los ob=etiosimartidos, relacionándolos con el @ue0acer diario, incentiándolos 0acia la bCs@ueda denueas inorI maciones en libros, nternet, ideos, rogramas de teleisión en donde se tratentemas actuaI les @ue se relacionen con la asignatura<
4< E>licar y sugerir al estudiante @ue se esera @ue cada uno de ellos disrute el arendi(a=e<
R< E=ecutar las ealuaciones, no como una orma de control, sino como medio de comrobar elrogreso de cada alumno<
9< &yudar al estudiante a ad@uirir una mayor conciencia de sus rocesos y dierencias reerenteal arendi(a=e, mediante actiidades de rele>ión, estimulando la conciencia metacognitia delos alumnos<
En irtud de lo seBalado, el docente uede alcan(ar una enseBan(a eica(< Debe oner en rácItica su creatiidad ara diersiicar la enseBan(a con un oco de imaginación los traba=os de uIitre rutinarios los uede transormar en actiidades desaiantes ara el alumno<
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Módulo1 lo@ues: $um+rico< Estad/stica y robabilidad
N+meros ra#!o$a%es
Me(!(as (e te$(e$#!a #e$tra%✎
DDCCDD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o
M 'eer y escribir nCmeros racionales de acuerdo con su deinición<
M !eresentar nCmeros racionales en notación decimal y raccionaria<
M Ordenar y comarar nCmeros racionales<
M !esoler oeraciones combinadas de adición, sustracción, multilicación y diisión e>acta con nCmeIros racionales<
M Simliicar e>resiones de nCmeros racionales con la alicación de las reglas de otenciación y de raIdicación<
M Eectuar aro>imaciones de nCmeros decimales y calcular el error cometido<
M "alcular la media, mediana y moda de un con=unto de datos estad/sticos conte>tuali(ados en robleImas ertinentes<
M !econocer y alorar la utilidad de las racciones y decimales ara resoler situaciones de la ida cotidiana<
Estrate!as meto(o%,!#as!elacionada con la D"D: Reso%"er opera#!o$es #om-!$a(as (e
a(!#!,$. s/stra##!,$. m/%t!p%!#a#!,$ 0 (!"!s!,$e1a#ta #o$ $+meros ra#!o$a%es
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!osM Preiamente, deina lo @u+ es un nCmero racional: a@uel @ue se uede e>resar como cociente de dos
nCmeros enteros<
Q T > U > b
L donde a, b, ∈ Z y b ≠ 7 V
El con=unto Q de los nCmeros racionales incluye a los nCmeros enterosL tambi+n se los conoce como
nCmeros raccionarios< )odo nCmero entero es racional, ues se uede e>resar como cociente de enIteros, el mismo nCmero ara la unidad: a a _<1M !euerce el 0ec0o de @ue se ueden sumar, restar, multilicar y diidir salo ara cero y el r esultado
de todas esas oeraciones entre dos nCmeros racionales es siemre otro nCmero racional, ues estasoeraciones son cerradas en el con=unto de los nCmeros racionales cumlen con la roiedad de clauIsura o clasuratia<
M !ecuerde @ue la ley de signos ara la multilicación diisión oera nCmeros y no solo signos:
+ a W + b P + c L − a W − b P + c L + a W − b P − c L − a W + b P − cDonde a, b y c nCmeros racionales ositios<
M Es imortante tambi+n traba=ar racciones e@uialentes, amliación y simliicación, los ouestos y los inIersos de racciones<
O-et!"o (e% m,(/%oM 'eer, escribir, reresentar, ordenar, comarar nCmeros racionales, resoler oeraciones combinadas
de adición, sustracción, multilicación y diisión e>actaL simliicar e>resiones de nCmerosracionales con la alicación de las reglas de otenciación y de radicaciónL eectuar aro>imaciones denCmer os decimales y calcular el error cometido, reconocer y alorar la utilidad de las racciones ydecimales ara resoler situaciones de la ida cotidianaL calcular la media, mediana y moda de uncon=unto de daI tos estad/sticos conte>tuali(ados en roblemas ertinentes<
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Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M En general, surimir signos de agruación resenta diicultades en el traba=o de los estudiantes, or locual es imortante insistir en @ue se cumlan las siguientes normas: cuando una e>resión está agruaIda mediante un ar+ntesis y este se encuentra recedido de un signo ositio se elimina el ar+ntesissin modiicar a los t+rminos de la e>resiónL si el ar+ntesis está antecedido or un signo menos, se losurime cambiando cada uno de los t+rminos or sus ouestos< Proonga la resolución de e>resiones
usando una tabla como la @ue se muestra a continuación<E=emlos:
E>resión algebraica con agruaciones E>resión algebraica sin agruaciones
X
⎛ 1I 4
⎞⎜ ⎟K ⎝ 2 ⎠
X
1I 4
K 2
8 − 4 +⎛ 2
− 8⎞
⎜ ⎟
3⎝ ⎠
8 − 4 +2
− 83
8 − 4 −2
+ 83
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$toSugerimos utili(ar e=ercicios del siguiente estilo:
5 El roducto de dos nCmeros racionales es UR, si un actor es 2U3, Ycuál es el otro actorZ
& 21U17 11U1R " 31U1R D 14U1R
25 Si a un rectángulo tiene un determinado anc0o y UK m de largo, Ycómo cambia el área al dulicar su anc0oZ
& Disminuye a la mitad Es 2U3 mayor
" Se dulica D Disminuye 2U3
35 EectCa en el caso de G reemlá(alo or un d/gito y resuele
1 − 1
1 − 11 − 1
4
Para %a e"a%/a#!,$
G − 1
G − 1 G + 1
G
M El siguiente es un e=emlo de una ronda de resolución de e=er cicios:
⎛ 3a
⎝ 4
1⎞⎟⎠
⎛ 2 ÷⎝ 9
1⎞⎟ =⎠
2 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 1⎞b ÷ R ÷ ⎜ + 1⎟ − 3 ⎜ − ⎟ =
3
⎛ 2 −1⎞
4⎝ ⎠
2⎝
⎛ 9 R 2
4⎠ 1 ⎞
⎜ ⎟ .−⎝ ⎠ ⎝4
c ÷
÷ ⎟ ⎠ 1− R =
⎛ 2⎞⎜ 3 ⎟⎝ ⎠
⎛ 1
⎝ 2.−
1
.3
1 1 ⎞
4 ⎠
M Pida a los estudiantes conormar gruos de tres, indi@ue @ue en con=unto resuelan cada uno de lose=er ciI cios lanteados en una misma 0o=a< Solicite al gruo @ue lanteen tres e=ercicios similares a losanteriores, cada uno en 0o=as searadas y @ue se diidan uno or integrante, luego @ue cada uno realiceun solo aso en la resolución y @ue intercambien entre si los rocesos en cada aso 0asta obtener laresuesta<
÷⎜ +
2 R⎜
R ⎜ 2
÷ ⎟
− ⎜K R
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!elacionada con la D"D: Ca%#/%ar %a me(!a. me(!a$a 0 mo(a (e /$#o$/$to (e (atos esta(7st!#os #o$te1t/a%!'a8(os e$ pro-%emas pert!$e$tes9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
!ease los rocedimientos @ue ermiten e>resar un nCmero racional en orma decimal y en tanto or ciento, lo @ue ermite reresentar un sector circular utili(ando grados y d+cimas de grados< Es osible@ue en esta destre(a or rimera e( se use sub/ndicesL es necesario e>licar a los alumnos @ue utili(aIrán esta orma de lengua=e en muc0as situaciones y en dierentes áreas, como or e=emlo ara e>resar un cambio de temeratura entre dos instantes: temeratura inicial, )i, y temeratura inal, )<Presente la siguiente tabla:
)otal
!ealice los siguientes cuestionamientos:Yu+ inormación e>isteZ, Y"ómo se organi(ó la inormaciónZ, Yu+ cálculos se reali(aronZ De ser elcaso, describa cada elemento de la tabla< Se uede traba=ar con la inormación de la tabla ara r er esenIta gráicamente los orcenta=es usando diagramas circulares< &demás, uede usarse la inormación aracalcular la media aritm+tica y anali(ar la inormación @ue esta nos roor ciona<Muestre cómo se uede reali(ar el cálculo de la media arim+tica a artir de la tabla de recuencias, estoreara el camino ara @ue, en cursos osteriores, utilicen las tablas ara el cálculo de las medidas, tantode tendencia central como de disersión<
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$toM Proonga una inestigación en eriódicos, reistas usadas, libros, etc<, con diersos tios de r eresentaI
ciones estad/sticas< Este material, con la inormación @ue consta en el te>to del estudiante, debenidentiiI car cada tio de conocimiento, reconocer los elementos y caracter/sticas de cada uno de ellos<
M Aaga notar la necesidad de conocer arámetros estad/sticos< Para esto, roonga situaciones @ueermiI tan reconocer las enta=as y desenta=as @ue resenta el uso de cada una de ellos< Por e=emlo:si usted es un roductor de roa, @u+ estad/grao utili(ar/a ara royectar sus nueos roductosL eneste caso roonga la osibilidad de usar la media arim+tica, la mediana o la moda< E=emlos similaresdeben usarI se ara traba=ar con la media y con la mediana< Es muy imortante @ue los estudiantes eanla alicación de la estad/stica en la ida cotidiana< Se aconse=a @ue el roesor onga e=emlos desituaciones en las @ue se re@uiere de la estad/sticaL or e=emlo, el censo recuerde @ue el más recienteue en el 2717 y sus resultados se leantaron oicialmente en 2711, el análisis de mercado ara introducir
un nueo roducto, el estudio del rating de sinton/a de un rograma, entre otr os<M Enrente a los estudiantes situaciones amiliares en las cuales ali@uen sus conocimientos estad/sticos,
or e=emlo: sugiera reisar el resultado obtenido or un estudiante en una determinada materia, durantecuarI to, @uinto, se>to y s+timo aBos de E%< Para esto, uede solicitar a sus estudiantes @ue lleen susr egisI tros escolares ara 0acer la tarea< )ambi+n uede utili(arse otras 0erramientas de ácil consecucióncomo laI nillas de agua, lu(, tel+ono ara mostrar estos arámetros< !esulta muy imortante @uedurante la ase de construcción del conocimiento se lanteen situaciones roblema @ue deben ser resueltas de manera con=unta con el roesor< &s/, se detectará las diicultades @ue generan los nueosconcetos y se uede reor(ar a@uello @ue sea necesario<
;$(!#e!
N+mero (e <! os
por =am!%!a $!
N+mero (e = am!%!as
= !Por #e$ta e
>?$/%o #e$tr a%
@1 7 2 17 392 1 R 2R K73 2 8 47 144
4 3 4 27 2R R 1 R 1827 177 397
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Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Para amliar la construcción de gráicos estad/sticos y su interretación, el roesorUa uede rooner alos alumnos la siguiente actiidad:
M uscar inormación sobre la comosición de la &samblea $acional<
M & artir de esos datos, los alumnos ueden elaborar los siguientes gráicos:
[ n diagrama de sectores con la distribución de asamble/stas or artidos y agruaciones ol/ticas<
[ n gráico estad/stico con la distribución de los asambleistas de un determinado artido ol/tico<
M & artir de la inormación rocesada a ra/( del censo de noiembre de 2717, se ueden reali(ar analisiscomaratios de e@ueBas inestigaciones @ue ueden reali(ar los estudiantes de asectos @ue seande su inter+s y @ue ueda reali(arse en su entorno con los datos nacionales oiciales, ara ello se uedeacceder a la ágina ;; ; <inec<gob<ec y de acuerdo a los dierentes asectos ealuados, establecer conIcluciones y recomendaciones ara me=orar la toma de muestras @ue ermitan me=orar las ar o>imacioInes @ue seguramente se obtendran< En láminas de cartulina, tamaBo &4 se resentarán los r esultadosde las inestigaciones y se las e>ondrá en el salón<
Para %a e"a%/a#!,$
M Proonga a los alumnos @ue mediante el emleo de un rograma de sot;are libre o roietario dedicaIdo a la creación y isuali(ación de resentaciones, elaboren diaositias donde integren te>to, imagen,soI nido, /deo<<< sobre media, mediana y moda, su deinición, órmulas emleadas ara sudeterminación y e=emliicación @ue ermitan reor(ar el conocimiento ad@uirido y @ue será e>uesto alresto de comaI BerosL los cuales tambi+n emitirán sus oiniones sobre el traba=o de cada gruo<!ecomendaciones, eliI citaciones, cr/ticas constructias acerca de la orma elegida ara mostrar, lae>osición de la inormaI ción, la creatiidad de su diseBo, comle=idad en la elaboración<
M Pida a sus estudiantes @ue analicen la siguiente inormación tomada del nstituto $acional de Estad/stiIcas y "enso 0tt:;; ; <inec<gob<ec sobre el costo de la canasta amiliar ara el análisis de la relaciónentre remuneraciónIinlación< !eresenten sus análisis en diagramas o gráicos estad/sticos y estable(Ican media, mediana y moda<
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Re#ome$(a#!o$es para (o#e$tes Se##!,$ para /so e1#%/s!"o (e% e(/#a(or
La =ra##!,$ e$eratr!'
Es la racción irreducible de la @ue rocede un nCmer odecimal limitado, eriódico uro o eriódico mi>to<Para calcular la racción generatri(:
De /$ $+mero (e#!ma% %!m!ta(oM 'lamamos x al nCmero decimal<M Multilicamos la e>resión de x or la otencia de 17
necesaria segCn el nCmero de ciras decimales araeliminar la coma<
M Dese=amos x y simliicamos la racción<E=emlo: 2,R
x 2,R
177 x 2R
x2R 11177 4
De /$ $+mero (e#!ma% !%!m!ta(o per!,(!#o p/ro
E=emlo: 1,8 x 1,888<<<
17 x 18,888<<<
17 x 18,888<<< x 1,888<<<
K x
191 x
191
De /$ $+mero (e#!ma% !%!m!ta(o per!,(!#o m!1to
M 'lamamos x al nCmero decimal<M En rimer lugar, multilicamos la e>resión de x or
la otencia de 17 necesaria ara @ue la coma @uede =usI to desu+s del rimer er/odo<
M & continuación, multilicamos la e>resión de x or laotencia de 17 necesaria ara @ue la coma @uede =usIto antes del rimer er/odo<
M !estamos las dos e>resiones obtenidas<
M Dese=amos x y simliicamos la racción<M 'lamamos x al nCmero decimal<M Multilicamos la e>resión de x or la otencia de 17
necesaria ara @ue la coma @uede =usto desu+s del
x 1,23R ⇒ 17 x 12,3R3R<<<1 777 x 123R,3R3R<<<
rimer er/odo<M & la e>resión obtenida le restamos la e>resión inicial<M Dese=amos x y simliicamos la racción<
B/e$ !"!r: B!o(!"ers!(a( 0 am-!e$te sa$o
1 777 x 123R,3R3R<<< 17 x 12,3R3R<< < ⇒ x
KK7 x 1 793
1 793
M 'os alumnosUas reali(arán diersas oeraciones de orma aro>imada @ue se relacionen con el ambienIte< En ellos deben calcular los orcenta=es de contaminación, estimar resultados en oeraciones r elacioInadas con el tiemo atmos+rico, la temeratura de la )ierra, etc< En relación con el tema de las áreasrotegidas en nuestro a/s, motie un traba=o interrelacionado con las áreas de Estudios Sociales y"iencias $aturales, ya @ue esto le ermitirá llear adelante una inestigación en la @ue se encontrarándiersos datos num+ricos de nCmeros enteros y racionales< bicar esacialmente las (onas y alorar laenorme biodiersidad del a/s<
M P/dales @ue bus@uen lecturas relacionadas con el tema rouesto< Pueden ingresar a las áginas ;eb0tt:UU;; ; <natura<o rg U o ;; ; <ambiente<gob<ec < !ele>ionen sobre la inormación< Se recomienda seIguir el siguiente es@uema de traba=o:
M 'ectura indiidual del te>to<
M "omentario en mesa redonda o oro abierto en el aula<
M "onclusiones<
M -inalmente, motie a sus estudiantes ara @ue se roongan un comromiso indiidual y lo lleena cabo<
M Es imortante @ue asuman la resonsabilidad de deender los derec0os de la naturale(a<
B!-%!ora=7a 0tt:UU;; ;<mendomat ica<mendo(a<edu<arUn ro18Un rosracionales\27ositiosE%<d
0tt: UU;; ;<ituto r<netU2U11Umoda]media<0tml
0tt: UU;; ;<=untadeandalucia<esUaer roesUiesar r oyoUmatemat icasUmaterialesU3esoUnume rosUdecimalesUnume rosdecimales<0tm
0tt:UU r ecursostic<educacion<esUdescartesU;ebUmateriales]didacticosU1]24]$&MUinde><0tm
P&!!&, "< y S&F, <, Didáctica de las matemáticas, aortes y rele>iones, Paidós, uenos &ires, 2778<
P!&D&, D<, "E'&, P<, Matemáticas 4<^ curso, $arcea Ediciones, EsaBa, 1K1
S&$)''&$&, Y"ómo traba=ar el área de MatemáticaZ, %ruo Santillana S< &<, Ecuador, 2717<
SPE%E', M<, Estad/stica, Mc%ra; Aill, M+>ico, 2777<
K
KK7
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Re=/er'o Opera#!o$es #o$ =ra##!o$es 0 (e#!ma%es
-ic0a
1$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
& la 0ora de oerar con racciones, elegimos la racción irreducible ara agilitar los cálculos<
!ecuerda, además, @ue ara sumar o restar racciones, estas 0an de tener el mismo denominador <
1< EectCa gráicamente las oeraciones indicadas en la igura R y comleta esta oración<Para sumar o restar racciones con el mismo denominador, se suIman los <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< y se de=a el mismo <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
2< "omleta los asos @ue altan ara recordar cómo se suman racIciones de dierente denominador:
X
1X
2
R 3+
12 27
4 4
_ "alculamos el m<c<m< de los denominadores: m<c<m< 12 y27 97<
_ )ransormamos las dos racciones en otras e@uialentes con coI
mCn denominador:
• Para 0acerlo, diidimos el m<c<m< 97 or el denominador de larimera racción 12 y multilicamos el resultado or su numeIrador R<
X
3 X R 8 8
X
97 ` 12 = R L R ⋅ R =2R L
R <<<<<<<<=
12 97 2X
3
• & continuación, diidimos el m<c<m< 97 or el denominador dela segunda racción 27 y multilicamos el resultado or su nuImerador 3<
9 9
X
97 ` 27 = 3 L 3 ⋅ 3 = KL
3 <<<<<<<<
=27 97 1 X R
_ Sumamos las racciones obtenidas y simliicamos elresultado<
Simliicamos
12
Fig. 5.
12
<<<<<<<<+
<<<<<<<<=
<<<<<<<< + <<<<<<<<=
34
97 97 97 97
<<<<<<<<=
` 2 37
3< Para restar dos racciones de dierente denominador, las simliicaremos ara obtener sus corresondientesracI ciones irreducibles, las reduciremos a comCn denominador y las restaremos< "omleta los asosindicados en la igura 9 y los asos indicados a continuación<
Simliicamos
4 1 2 <<<<<<<< <<<<<<<< −1 m<c<d< y 21 = m<c<d< 4 y 17 = 2− = − = − =
21 17 3 R"omCn
denominador
1R 1R 1R ` = 1 4 ` 2 = 2
21 ` = 3 17 ` 2 = R
4< EectCa las siguientes oeraciones< m<c<m< 3 y R = 1R
2 1 <<<<<<<< <<<<<<<< 1 1 <<<<<<<< <<<<<<<< 1R ` 3 = <<<<<< L <<<<<< ?1 = <<<<<<
a + = +K R 4R 4R
bP − = −3 4 12 12
1R ` R = <<<<<< L <<<<<< ?2 = <<<<<<
R< "alcula: Fig. 6
a ,2R + 21,14 b 12,2 − 17,2R c 3,12 W 2,1R d ,14 ` 2,7R
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-ic0a
2 Re=/er'o ar!a-%es 0 (atos esta(7st!#os
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< Pregunta a tus comaBeros o comaBeras los siguientes datos y comleta la tabla< -/=ate en el e=emlo:
'aura tiene 13 aBos, tiene cabello castaBo, mide 1,R4 m y esa 48 Gg<, ie en "uenca, estudia en K<o de E%,
le gusta =ugar al bás@uetbol y su cantante aorita es S0aGira<
$ombre Edad "olor del cabello Estatura m Peso Gg !esidencia "urso Deorte reerido "antante aorito
"uenca K<o E% ás@uetbol S0aGira
"ada una de las caracter/sticas anteriores es una ariable estad/stica<
2< ¬a las caracter/sticas anteriores cuyos alores ienen reresentados or nCmer os<
_ Edad <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Estas caracter/sticas son ariables estad/sticas cuantitatias<
3< ¬a las caracter/sticas cuyos alores no son num+ricos<
_ <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
Estas caracter/sticas son ariables estad/sticas cualitatias<
4< Escribe tres ariables estad/sticas cualitatias y tres cuantitatias, y on e=emlos de los alores @ue uedetomar cada una de ellas<
R< ndica si las siguientes airmaciones son correctas y corrige las incorr ectas<
a na ariable estad/stica son los resultados de un estudio reali(ado en dierentes estados<b El estado ciil es una ariable estad/stica cualitatia<c 'as marcas de auto más endidas en el aBo 277 es una ariable estad/stica cuantitatia<
9< "omleta la siguiente tabla<
Pel/cula -recuencia absoluta -recuencia relatia
La amenaza fantasma 8R 8R
= 7 ,R3197
T itanic
Hombres de negro
ndierentes
El nCmero de eces @ue se reite un alor determinado de la ariableestad/sI tica es su recuencia <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
El resultado de diidir la recuencia absoluta de un alor entre el nCmerototal de datos es la <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de dic0o alor<
2
La amenaza fantasma:
8R alumnos
Titanic:
47 alumnos
Hombres de negr o:
37 alumnos
I$(!=er e$tes:
R alumnos
Fig. 1.
'aura 13 "astaBo 1,R4 48
)C
"omaBero 1
"omaBero 2
"omaBero 3
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F!#<a (e e"a%/a#!,$
Módulo
1$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< Aalla la racción irreducible e@uialente a cada una de las siguientes racciones<
a
39
8 bP
44
11 cP
12R
R d P24
14
2< EectCa estas oeraciones<
a3
2 1+ − bP 2
`3
c PR
⋅−12
+1
`2
−R ⎛ 3
d P ⎜ 1 ⎞ 1 3+ ⎟ ⋅ +
21 14 9 3 2 3 K ⎝ R 3 ⎠ 2 2
3< EectCa estas oeraciones<
a 1,3 R 2,4 2
b 4,82 1,3 c 7,2 97,82 4
d R,24
4< Miguel 0a comletado las tres cuartas artes de su colección de cromos< 'a @uinta arte de los cromos @ue lealtan son de motos y los otros 32 son de automóiles< "alcula el nCmero de cromos @ue orman la colecciónde Miguel< Aa( un es@uema del roblema<
R< !edondea los siguientes nCmeros 0asta las centenas, y calcula el error absoluto @ue se comete con el
r edondeo< a K,384 R b 3,4R9 2 c 1,7KR 27 d 11,777 34
9< Se 0a reguntado a 2R alumnos de K<o de E% el nCmero de libros @ue leen, en romedio, al aBo< 'asresuestas 0an sido: 3, 2, 1, 4, 3, 4, R, 1, 2, 3, 3, 9, 3, 4, R, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 1, 1, 3<
a Organi(a estos datos y construye la tabla de recuencias absolutas y relatias<
b "alcula la recuencia relatia acumulada del alor 3< Yu+ signiicado tiene esta r ecuenciaZ
cP !eresenta los datos en un diagrama de barras y construyeel ol/gono de recuencias corr esondiente<
< Deine media aritm+tica, moda y mediana de un gruo dedaI tos< & continuación, escribe dos con=untosestad/sticos diI erentes con más de cinco datos @uetengan la misma meI dia y la misma moda<
_ "alcula la mediana del con=unto estad/stico de laactiidad
9<
8< Obsera el cartograma de la igura y resonde a lassiguienI tes reguntas sobre la cosec0a de látanos enese aBo en la !eCblica de anania<
a YEn @u+ (ona se 0a conseguido la me=or cosec0aZYEn @u+ (ona se 0a dado la eorZ
b Yu+ (onas 0an tenido una cosec0a comrendidaentre las 17 777 y las 27 777 toneladas m+tricasZ
cP Sabiendo @ue el asado aBo la cosec0a total ue de 321
777 toneladas m+tricas, Ycómo crees @ue 0a ido lacosec0a
Producción de látanos en el 2717en toneladas m+tricas
7 I 17 777
17 777 I 27 777
27 777 I 37 777
37 777 I 47 777
47 777 I R7 777
"entro$orte
Oeste
Mar occidental
Sur
$orte
"entroEste
Mar oriental
Este
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3
del aBo actualZ
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Módulo
1 F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario
1< aP K
L b P2
4L c P 2RL d P 12
2< aP
bP
18 + 4 − 3
42 14
=
1K=42
18 K
− 97 3R
−187 + 2 −27
13
cP + − = = − − 12 4 K
14 1 3 14
39 39
3 RK
= 7,78
d ⋅ + =+ =
= 7,74
1R 2 2 37 2 37 bP 'a recuencia r elatia acumulada del alor 3 es 7,2<
3< aP 1, 3R + 2, 42 = 134
+ 247
= 34
KK KK KKEsto @uiere decir @ue el 2 \ de los alumnos
de la clase 0a le/do 3 o menos libros<bP 4 ,82 − 1, 3 =
434−12
314 1R= =
Frecuencia
K7 K K7 4R
c 7 , 29 + 7 ,8 24 =29
+819
=179
=
c absoluta
9
R38=
4KR
KK KK7 KK7 R
4
3
2
d ⋅ R, 24 = ⋅42
3374 19R2= = 1
K7 K7 4R 1 2 3 4 R 9 Librosleídos
4<
32 ` 4 R 4 197 &utos: 32 Motos
< 'a media aritm+tica de un con=unto de datos es lasuma de los alores de los datos diidida or elnCI mero total de datos<
'a colección consta de 197 cr omos<
R< a K,38 error: 7,774R
b 3,49 error: 7,7738
c 1,1 error: 7,7748
d 11 error: 7,77734
'a moda de un con=unto de datos es el alor de losdatos @ue tiene mayor recuencia absoluta<
'a mediana de un con=unto de datos, desu+s orIdenarlos de menor a mayor es:M El dato @ue ocua el lugar central, si el nCmero
de datos es imar <M 'a media aritm+tica de los dos datos centrales, si
el nCmero de datos es imar <!esuesta sugerida:a 1, 1, 1, 1, 2, 2,
3< b 1, 1, 1, 1, 1,1, R<M 'a mediana del con=unto es 3<
8< a En la (ona $orte se 0a conseguido me=or coseIc0a y en la (ona "entro Este la eor . bP "entro$orte y Sur< cP SegCn el cartograma l roducciónde látaI nos total oscila entre 117 777 y 17 777toneladas m+I tricas< Por tanto, la cosec0a del aBoactual 0a sido eor @ue la del aBo anterior<
P/e(e#o$t!$/ar
Ne#es!tar e=/er'o
I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M &lica las oeraciones con nCmeros reales y raccionarios en la resolución de r oblemas<
M &lica correctamente los algoritmos de la suma, la resta, la multilicación y la diisión de raccioI
nes ositias y negatias< EectCa oeraciones combinadas con racciones ositias y negatias<
'ibros le/dos -r ecuenciaabsoluta
-r ecuenciarelatia
1 R R
2R = 7, 2
2 99
2R= 7 ,24
3
= 7 ,282R
4 4 4
= 7,192R
R 2 2
2R
9 1 1
2R
'ibros le/dos !ecuento $Cmer o
1 R
2 9
3
4 4
R 2
9 1
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ula media, mediana, moda y rango<
M "omrende la dierencia entre ariable cualitatia y cuantitatia<
4
> (e a%/m$osEas
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Módulo2 lo@ues: $um+rico< %eom+trico
N+meros !rra#!o$a%es
Per7metros 0 )reas (e po%7o$os✎
DCDDCD Dest r e'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o
M 'eer y escribir nCmeros irracionales de acuerdo con su deinición<
M !eresentar gráicamente nCmeros irracionales con el uso del teorema de Pitágoras<
M Ordenar, comarar y ubicar en la recta num+rica nCmeros irracionales con el uso de la escala adecuada<
M !esoler oeraciones combinadas de adición, sustracción, multilicación y diisión e>acta con nCmeIros irracionales<
M Deducir las órmulas ara el cálculo de áreas de ol/gonos regulares or la descomosición en triángulos<
M &licar las órmulas de áreas de ol/gonos regulares en la resolución de r oblemas<
M tili(ar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos r ectángulos<
Estrate!as meto(o%,!#as
!elacionada con la D"D: Reso%"er opera#!o$es #om-!$a(as (e a(!8#!,$. s/stra##!,$. m/%t!p%!#a#!,$ 0 (!"!s!,$e1a#ta #o$ $+meros !rra#!o$a%es9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M &ntes de iniciar este tema, uede ser coneniente reisar la relación entre los nCmeros decimales y losnCmeros racionales, 0aciendo 0incai+ en @ue todos los nCmeros decimales @ue ueden e>resarsemediante un nCmero racional son limitados o ilimitados ero eriódicos< &s/, uede edirse el cálculode la racción generatri( de diersos nCmeros decimales limitados, eriódicos uros y eriódicos mi>Itos y la determinación de los nCmeros decimales corresondientes a diersos nCmeros racionales<
M !ealice un reaso de la obtención de la racción generatri(<
M Proonga e=emlos sencillos en los cuales se eidencie @ue se cumlen las roiedades de la suma y laotencia en el con=unto de los nCmeros racionales<
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M us@ue e=ercicios @ue combinen las oeraciones estudiadas en el módulo< !esuela con los estudianItes uno de los e=ercicios =ustiicando cada aso< Por e=emlo, en el e=ercicio, deben eidenciarse lasroiedades de las oeraciones, la ley de los signos, las reglas ara surimir signos de agruación, y laconersión de un nCmero decimal eriódico a raccionario y algunos nCmeros irracionales<
Puede utili(ar e=ercicios como los siguientes:
*
O-et!"os (e% m,(/%o
M &licar las oeraciones básicas en la resolución de roblemas con nCmeros irracionales ara desarr oIllar un ensamiento cr/tico<
M &licar el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos rectángulos ara el cálculo de er/metr osy áreas<
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aR
9 X 34
R
39
− 1,3
b R 1,4 H12
R39 R
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M &nime a sus estudiantes a llear adelante las actiidades rouestas en el te>to del alumno<
M Puede organi(ar gruos de estudiantes< Preiamente, usted rearará unas tar=etas con el roceso dediersas oeraciones combinadas< "ada gruo debe organi(ar el roceso de resolución del e=ercicio @ueles corr esonde<
M Solicite @ue intercambien, entre gruos, los e=ercicios reali(ados y @ue =ustii@uen la organi(ación del
roceI so r ouesto<
M !ealice una eria de entas en el aula< %u/ese or la actiidad lanteada al inicio del módulo< En la eria secoI merciali(arán roductos roios de su localidad y se reali(arán diersas oeraciones @ue ustedr oonga ara e=ercitar el traba=o con nCmeros irracionales<
Para %a e"a%/a#!,$
M -orme gruos de traba=o
M Solicite a los estudiantes @ue lanteen un e=ercicio en el cual se combinen arias de las oeraciones esItudiadas<
M Preia la ealuación usted debe laniicar ara cada gruo condiciones @ue deben tener los e=er cicios
@ue se lantearán as/ como la orma de ealuación<
E=emlo:
Oeraciones: suma, resta, multilicación, diisión, otencia y radicación<
Dos nCmeros irracionales y un decimal eriódico<
Par+ntesis y cor c0etes<
Eidenciar al menos una roiedad de la otenciación<
!esolución del e=ercicio argumentando los r ocesos<
Obseraciones
"umlen con todas las condiciones solicitadas<
&lican roiedades y leyes en la resolución del e=er cicio<
'as =ustiicaciones tienen relación con los conocimientos desarr ollados<
M -orme gruos de tres o cuatro estudiantes< Entregue 0o=as con e=ercicios a cada gruo< Determine untiemo ara la reali(ación del traba=o< Obsere cómo es el aorte de los integrantes, @ui+nes necesitanayuda, @ui+nes ueden aoyar a otros comaBeros<
O
O O
D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a
l a 1 e n t a
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!elacionada con la D"D: Ut!%!'ar e% teorema (e P!t)oras e$ %ar eso%/8 #!,$ (e tr!)$/%os re#t)$/%os9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M Para oder 0allar aro>imadamente el lado desconocido de un triángulo rectángulo es coneniente @uerecuerden reiamente el cálculo de la ra/( cuadrada de un nCmero natural<
M !ease reiamente con los estudiantes la deinición de teorema< Se sugiere utili(ar la siguiente:teorema< Del lat< t0eor ēma, y este del gr< θεώρηµα< Proosición demostrable lógicamente artiendo dea>iomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inerencia acetadas< )omada de!eal &cademia de 'engua EsaBola, ersión en l/nea 0tt:UU;; ;<rae<es<
)ambi+n es coneniente recordar la biogra/a de Pitágoras< na de las diicultades con la Matemática es@ue los estudiantes no suelen establecer relaciones con otras áreas del saber< En este caso esec/ico esmuy imortante @ue se logre comrender el ensamiento itagórico y su inluencia no solo en la MatemáItica, sino tambi+n en la MCsica, la 'iteratura, las "iencias Pol/ticas< Pida a sus estudiantes @ue ormen aI
re=as e inestiguen en encicloedias o nternet la ida y obra de este ensador clásico<
Se debe insistir en @ue el teorema de Pitágoras solo uede alicarse a triángulos rectángulos< "on este ines Ctil alicar el rec/roco del teorema de Pitágoras mediante actiidades, como, or e=emlo: comruebasi el triángulo cuyos lados miden 12 cm, 19 cm y 27 cm es r ectángulo<
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M )raba=e con arios tangrams ara comrobar geom+tricamente la alide( del teorema de Pitágoras ore@uiI alencia entre áreas de iguras lanas, en el caso articular del triángulo rectángulo isósceles<
2 3
4
M Obsere la alicación del teorema de Pitágoras al cálculo de longitudes en triángulos r ectángulos<
M Plantee e=ercicios sencillos ara eriicar la comrensión de los concetosL or e=emlo:
1< "alcula la altura de un rectángulo cuya diagonal mide 4,8 cm y la base 4 cm<2< El er/metro de un traecio isósceles es de 117 m, las bases miden 47 y 37 m resectiamente< "alcuI
la los lados no aralelos y el área<
M Se debe insistir en @ue el teorema de Pitágoras solo uede alicarse a triángulos rectángulos< "on estein es Ctil alicar el rec/roco del teorema de Pitágoras mediante actiidades, como, or e=emlo: comIrueba si el triángulo cuyos lados miden 12 cm, 19 cm y 27 cm es r ectángulo<
6
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Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
Plantee los siguientes r oblemas:
M )res nCmeros a, b y c orman una terna itagórica si están relacionados or el teorema de Pitágoras,es decir, si a2 b2 X c2:
YEs itagórica la terna 37, 24, 18Z
Encuentra tres ternas itagóricas dierentes ormadas or nCmeros naturales comrendidos entre 1 y 177<
M Dado un triángulo de lados a, b y c, de los cuales a es el mayor, será acutángulo si a2< b2 X c2< Estoara demostrar @ue el teorema de Pitágoras tambi+n uede utili(arse ara clasiicar un triángulo enacutánguI lo, rectángulo u obtusángulo<
)ambi+n lantee otros roblemas de alicación ara @ue los estudiantes analicen los datos, los grai@uen yencuentren la resuesta< Este tio de e=ercicio será retomado ara la ealuación:
M Se @uiere construir una rama @ue cubra una lataorma, desde un unto situado a 3,2 m de ella< 'alaI taorma tiene 2,4 m de altura< YDe @u+ longitud se construirá la ramaZ
M na antena de un teleisor mide 1R cm y está sostenida or alambres: uno de estos mide 2R cm< Y& @uédistancia se i=ará el otro alambre a artir de la base de la antenaZ
M na escalera de ,2 m de longitud está aoyada contra una ared, distando en su ie 4 m< "alcula la alItura de la ared<
M Demuestra si el siguiente roblema uede ser resuelto:
)ienes un cubo cuya arista es igual a 3 cm< Su olumen es 2 cm3 y este cubo uede ser cortado en 2cubos e@ueBos< 'a arista de cada cubo e@ueBo es igual a 1 cm<
Para %a e"a%/a#!,$
M Pida a sus estudiantes @ue elaboren una escalera a escala @ue cumla las condiciones del e=emlo 17,
ágina 9 del te>to< & la e( @ue construyan otras tres de dierente tamaBo y se lanteen sus r oioscuestionamientos y los resuelan<
M Pida a sus estudiantes @ue analicen, discutan los siguientes enunciados y los comrueben con una aliIcación del teorema de Pitágoras:
M 'os rinciios del teorema de Pitágoras ermiten reconocer el ángulo de eleación y el ángulo de deIresión en relación con un unto determinado<
M 'os rinciios del teorema de Pitágoras se ueden alicar a la solución de roblemas sobre alturas ydistancias<
M 'os rinciios del teorema de Pitágoras ermiten 0allar el área de iguras como el rectángulo, el rismay el cuadrado<
Re#ome$(a#!o$es para (o#e$tes Se##!,$ para /so e1#%/s!"o (e% e(/#a(or
Represe$ta#!,$ r)=!#a (e %os $+meros !rra#!o$a%es & cada nCmero racional le corresonde un unto en la recta, ero en realidad estos no la comletan< )ambi+n laconsI tituyen los irracionales< En general, reresentar un nCmero con ininitas ciras decimales no eriódicas esimosiI ble y or lo tanto nos tendr/amos @ue conormar con una aro>imación< De todas maneras, 0ay m+todosgeom+I tricos @ue ermiten reresentar algunos nCmeros irracionales en la recta num+rica< E=emlo<
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tReprese$ta#!,$ (e 2
_ Aay @ue tener claro@ue
2 1,414<<<, es decir, 1 1,414 2,
entonces tra(amos una recta, marcamos en ella los untos 7,1 y 2<
_ 'eantamos sobre el unto 1 un segmento erendicularde una unidad de longitud<
_ nimos el e>tremo suerior de este segmento con el oriIgen 7<
_ Obseramos el triángulo rectángulo cuyos catetos miden
una unidad cada uno<
_ &licamos el teorema de Pitágoras ara calcular la 0ioteI
nusa del triángulo<
x 2 = 1 2 + 1 2 = 2 ⇒ x = 2
_ )rasladamos el segmento x sobre la recta con un comás<
_ El unto de intersección del arco y la recta num+rica coI
rresonde a la ra/( de dos<
_ "uando un nCmero irracional está dado or su e>resióndecimal odemos reresentarlo de orma aro>imada meIdiante el roceso @ue describimos a continuación<
Obseremos @ue la ra/( de tres está situada en el segmento
ro=o @ue es una cent+sima arte del interalo 1,I1,8<
B/e$ !"!r: Dere#<os (e% #o$s/m!(or
'a actiidad inicial uede serir ara @ue el roesor desta@ue la imortancia de las aro>imaciones en laida cotidiana< &s/, uede rooner a sus alumnos @ue eectCen diersas oeraciones: calcular el imortear o>iI mado de una comra, aeriguar si una cantidad de dinero será suiciente ara agar el alor de
una actura con sus imuestos, detectar errores en acturas, etc< De la misma manera, debe aroec0arseesta actiidad ara desertar en sus estudiantes el inter+s or conocer los derec0os del consumidor< Estosse relacionan con la calidad, recio, oerta, atención y otros beneicios @ue se generan or la comra o eluso de un deterI minado bien o sericio< Esec/icamente en el tema del consumo de bienes alimentarioses muy imortante ad@uirir los conocimientos acerca de los estándares de calidad relacionados con larearación, el embala=e, la resentación, el transorte, el e>endio, los registros sanitarios, ya @ue, deestos deenden la salud de los consumidores y aectan directamente a la conseración del medioambiente<
Para traba=ar sobre el tema de la econom/a amiliar, entren en la ágina ;eb0tt:UU;; ; <mici<gob<ecUinde><0Zotioncom]contentie;articleid4R8temid13R del Ministeriode ndustrias y Productiidad, all/ encontrarán algunos olletos inormatios @ue ueden serir de gu/aara conocer diersas estrategias de a0orro dom+stico y ara elaborar unas recomendaciones r oiassobre cómo aliiar los gastos en la casa< Es un traba=o de creatiidad y a la e( de comromiso, ues deI
ben ser tareas @ue se lleen a cabo or arte de los integrantes de la amilia<
B!-%!ora=7a0tt:UU;; ;<0y9<o r gUsta r ga(eUMyt0<0tm
0tt:UU;; ;<cidse<itc r<ac<crU r eistamateU%eometrianteractiaU"icloU$ielU&licacionesdePitagorasU&licacionesdePitagoras<0tm
0tt:UU;; ;<monlau<esUbtecnologicoUmatesU realytrigoU r e]gra<0tm
0tt:UU;; ;<educa<madrid<o rg
DEP'&$"AE, ?<, Diccioórmulas, Edunsa, EsaBa, 1KK9<
M$S)E!O DE ED"&"#$, &ctuali(ación y -ortalecimiento "urricular de la Educación ásica, uito, 2717<
A
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-ic0a
1 Re=/er'o N+meros !rra#!o$a%es
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
En una estación de es@u/ 0ay 3 istas<
4 Gm
3 Gm3 Gm
2 Gm
3 Gm
1 Gm
& "
1< "alcula la distancia @ue recorre un es@uiador si ba=a or la ista &<
0 2 = <<<<<<<<<<<<<<<P2 + <<<<<<<<<<<<<<<P2
_ YEs un nCmero natural la longitud de la ista &Z
2< "alcula la distancia @ue recorre un es@uiador si ba=a or la ista <
_ YEs un nCmero natural la longitud de la ista Z_ YPuedes escribir en orma de racción dic0a longitudZ
3< "alcula la distancia @ue recorre un es@uiador si ba=a or la ista "<
_ YEs un nCmero natural la longitud de la ista "Z
_ YPuedes escribir en orma de racción dic0a longitudZ
"omo no uedes escribir esta medida en orma de racción, se trata de un nCmero !rra#!o$a%9
4< Escribe la deinición de nCmero irracional<R< De igual manera, @ueremos construir una ista con una longitud de
tura deberá tener la istaZ3 Gm< Si la base mide 2 Gm, Y@u+ alI
( 3 ) = ( 2 )+ <<<<<<<<<P2
3 = 2 + <<<<<<<
_ Y"uáles ueden ser la base y la altura de una ista @ue mida
_ EectCa el dibu=o corr esondiente<
R GmZ
El roceso @ue acabamos de er sire ara reresentar nCmeros irracionales sobre la recta real<
&s/, ara reresentar 2 cm, dibu=amos el triángulo rectángulo de catetos 1 cm como indica la igura a y,con un comás, trasladamos la 0iotenusa del triángulo sobre la recta igura b<
a b
1
7 1 2
2
7 1 2
2
2
2
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Re=/er'o ?reas (e #/a(r!%)teros 0 tr!)$/%os
-ic0a
2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< na igura ormada or cuadrados recibe el nombre de oliminó< Si el nCmer ode cuadrados es cuatro, se trata de un tetraminóL si es de cinco, de un entoIminó<<< E>isten cinco tetraminós dierentes< no de ellos es el reresentado en
la igura de la derec0a< &0ora resuele los siguientes aartados<a Dibu=a los restantes tetraminós<
b ntenta construir un cuadrado con los cinco tetraminós< YPor @u+ crees @ueno es osibleZ Si aBades un entominó, Yodrás ormar un cuadradoZ
2< Aalla una órmula ara calcular el área del traecio de la igura de la der ec0a,como dierencia de áreas de triángulos<
3< Aalla el área de un cuadrado cuyo er/metro es 18 cm< 0f
b4< Aalla el lado y el er/metro de un cuadrado cuya área es 94 cm2<
0
R< El área de un rectángulo es 12 cm2 y la longitud de su base es 4 cm< "alcula su
er/metro<
9< "on un cordel de 19 cm odemos ormar distintos rectángulosL or e=emlo, un rectángulo de base 1 cm yde altura cm, un rectángulo de base 2 cm y de altura <<<<<<<<<<<<<<<<<<< cm<
"onsiderando @ue el er/metro de los rectángulos @ue se ueden ormar es siemre de 19 cm, comleta lasiguiente tabla<
ase del rectángulo <ura del rectángulo Per/metro del rectángulo rea del rectángulo
1 cm cm 19 cm cm2
2 cm 19 cm
3 cm
4 cm
R cm
9 cm
cm
_ Y"uál es el rectángulo con mayor área @ue se uede ormarZ
< !ecorta 19 cuadrados de 1 cm de lado y orma con todos ellos distintos rectángulos< & continuación, comIleta la siguiente tabla<
ase del r ectángulo <ura del r ectángulo rea del r ectángulo Per/metro del r ectángulo
1 cm 19 cm 19 cm2 34 cm
2 cm 19 cm2
4 cm
8 cm
19 cm
_ Y"uál es el rectángulo de menor er/metr oZ
2
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Módulo
2 F!#<a (e e"a%/a#!,$
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< !eresenta, sobre la recta, los siguientes nCmeros reales: − 13 L 1,RL L −3L π L 7, 9 <
!ecuerda @ue 13 22 + 32 L = 22 +
(3
)L 3 = 12 +
(2
)L
2 = 12 + 12 <
2< Elige, de entre las siguientes, la reresentación correcta del nCmero R <
1 1 1
7 1 2 7 1 2 2 7 1 3
3< !eali(a las siguientes oeraciones<
⎛
5
⎞ ⎛12
⎞
a. ⎛ R W ⎞ R9 − 3 W=
c.
⎜⎝
9 W9
⎟ − ⎜ R − R ⎟ =
⎜ ⎟ ⎠ ⎝
⎝ ⎠
⎛b. ⎜⎝ 2
⎞9 ⎟ −⎠
R− R 3 =
39
2 { ! " 2 − ! 2 "# −
2 ! 2! +
2
4< )res 0ermanos se rearten una 0erencia< El rimero recibe 1R7 0a de terrenoL el segundo, 147 0a 2R a, yel
tercero, 1 Gm 2
3 0m 2
R dam 2
<a Ordena de mayor a menor la e>tensión de las tres incas<
b "alcula las 0ectáreas @ue ocua la e>tensión total de las tierras @ue 0an 0er edado<
R< &erigua el er/metro y el área del recinto de la igura de la der ec0a<)en en cuenta @ue una de las iguras de las @ue está comuesta esun triángulo e@uilátero y otra un cuadrado< 4 cm
1,9 cm 3 cm
2,3 cm R cm
9< Se @uiere cubrir una ared de una cocina con baldosas cuadradas de 1R cm de lado< Y"uántas baldosas seIrán necesarias si la ared tiene la orma de un rectángulo de 4R dm de base y 3 m de alturaZ
< Enumera ob=etos de tu alrededor cuya suericie estimes @ue sea:
a Mayor @ue 1 m 2< b Menor @ue 1 m 2 ero mayor @ue 1 dm 2< c Menor @ue 1 dm 2<
8< "alcula la distancia @ue 0a de recorrer el caminante ara llegar al castillo<
87 m
2 2
−
2
−39
+
$.
RW −
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22
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F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario
Módulo
21<
] 4 ] 3 ] 13
2<
] 13
] 2 ] 1
2
7 7,9 1
3
1,R 2 3 4
1 1 1
7 1 2 7 1 2 2 7 1 3
'a rimera reresentación corresonde a R , uesto @ue:
22
+ 12
=
R
3< a. ⎛ R · ⎞9 − 3
W
R= 1R c.
⎛R
⎞ ⎛
12
−−
R⎞
− 2 3
⎜ ⎟ ⎜ W ⎟ ⎜ ⎟ =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2⎛b.
⎜⎝ 2
⎞9⎟ −⎠
R− R 3 =
R
39 9$. 2 { ! " − ! + 2 "# − 2 !
= 2! + 2
4< a 1R7 0a 147 0a 2R a 1 Gm 2 3 0m 2 R dam 2
9< &ared 4R7 W 377 13R 777
b 1R7 147,2R 173,7R 3K3,3
'a e>tensión total es de 3K3,3 0a<
&baldosa 1R W 1R 22R
R< P 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 4 3 R2,3 28,1 cm<
El er/metro del recinto es 28,1 cm<
&cuadrado 2,3 2 R,2K
13R 777
97722R
Serán necesarias 977 baldosas<
< !esuesta sugerida: a el comedor de una casaL buna caretaL c una tar=eta de cr+dito<
&triángulo1
W 2,3 W 2 2,32
8< d R72 X 872 K4,34
R ⋅ 2, 3 ⋅1,9
entágono2
&R X 4 ⋅ 3
13,R
2 & R,2K 2,3 K,2 13,R 37,2K
El área del recinto es 37,2K cm 2<
'a distancia @ue 0a de recorrer es de K4,34 m<
P/e(e#o$t!$/ar
Ne#es!tar e=/er'o
I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M !eresenta sobre la recta nCmeros irracionales<
M !esuele oeraciones con nCmeros irracionales<
M Deduce las órmulas del área de ol/gonos regulares y las alica en la resolución der oblemas<
M "alcula el er/metro y el área de las distintas iguras lanas<
M &lica el teorema de Pitágoras en la resolución de triángulos r ectángulos<
M &lica el teorema de Pitágoras en la resolución de roblemas de la ida cotidiana<
> (e a%/m$osEas
23
99
−39
R −
2
RW
−
&
traecio
D
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Módulo lo@ues: $um+rico< !elaciones y unciones
N+meros rea%es
Po%!$om!os✎
DDCCDD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o
M Simliicar e>resiones de nCmeros reales con la alicación de las oeraciones básicas<
M !esoler las cuatro oeraciones básicas con nCmeros reales<M nterretar y utili(ar los nCmeros reales en dierentes conte>tos, eligiendo la notación y la aro>imación
adecuadas en cada caso<
M tili(ar las )" ara reali(ar oeraciones con cual@uier tio de e>resión num+rica<
M Desarrollar estrategias de cálculo mental<
M "alcular el error cometido con aro>imaciones de nCmeros reales<
M Simliicar olinomios con la alicación de las oeraciones y de sus r oiedades<
M !eresentar olinomios de 0asta segundo grado con material concr eto<
M -actori(ar olinomios y desarrollar roductos notables<
Estrate!as meto(o%,!#as
!elacionada con la D"D: Ca%#/%ar e% error #omet!(o #o$ apro1!ma#!o8$es (e $+meros rea%es
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M !ecuerde cómo 0acer el redondeo y el truncamiento de nCmeros decimales alicándolos a los nCmer osirracionales<
M Para truncar un nCmero decimal 0asta un orden determinado se onen las ciras anteriores a ese ordeninclusie, eliminando las demás< &s/: 4R,1234 truncar 0asta las d+cimas es 4R,1<
M El alumno obserará, en este caso, @ue se trata de una necesidad deriada del 0ec0o de @ue los nCmeIros irracionales tienen ininitas ciras decimales no eriódicas< Esta es la ra(ón or la @ue no odemosescribir todas las ciras decimales ni tamoco simboli(arlas mediante un er/odo<
24
3O-et!"os (e% m,(/%oM -actori(ar olinomios y desarrollar roductos notables ara determinar sus ra/ces a tra+s de material
concreto, rocesos algebraicos y gráicos<
M &licar las oeraciones básicas con nCmeros reales ara utili(arlos en dierentes conte>tos or mediode las )"<
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Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Distinguir las aro>imaciones de nCmeros reales, determinar su orden de aro>imación y utili(arlo araeectuar truncamientos y redondeos< Puede utili(ar la siguiente tabla<
N+mero Re(o$(ear E(e#!ma%es Tr /$#ar E(e#!ma%es
4 3 2 1 4 3 2 1
1,234R9 1,2349 1,23R 1,23 1,2 1,234R 1,234 1,23 1,2
37,44737 37,4473 37,4477 37,4477 37,4777 37,4473 37,4477 37
R,1872R R,1873 R,187 R,18 R,2 R,1872 R,187 R,18 R,1
R7,48K11
(UHSPJL SH PUMV!HJP"U #$L %L &V&VUL LU LS 'L'V )L SH &*+ LMLLU'L HS LV H,%VS$'V - LV LSH'P.V
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M *unto con el roesor de "ultura -/sica, se uede rearar carreras de 177 m lanos< nos cincoestudianI tes se encargarán de cronometrar las cometencias y anotar los resultados indiidualmente, araluego comI ararlos con el resto de la clase y obserar si coinciden o e>isten e@ueBas dierencias en eltiemo<
M &nalice la utilidad de reali(ar aro>imadamente y la coneniencia de redondear o truncar <M Mencione situaciones en donde se re@uiere de e>actitud ara las mediciones<
nálisis del e=ercicio integrador de la ág< 178 y argumenten el roceso @ue se
ue, utili(ando la calculadora, e>resen racciones en orma decimal y comletenel e=emlo<
E1pres!,$ (e#!ma% Tr /$#am!e$to Re$(o$(eo
!elacionada con la D"D: S!mp%!=!#ar po%!$om!os #o$ %a ap%!#a#!,$(e %as opera#!o$es 0 s/s prop!e(a(es9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M !ealice un resumen de todo lo arendido sobre los olinomios 0asta este momento<Puede utili(ar el r eIsumen de la ág< 17 del te>to del estudiante<
M !ecal@ue @ue sumar y restar olinomios es sumar y restar sus t+rminos
seme=antes< !esuela 4> X 3y + R> X y
4> X 3y
X R> X y
K> X 4y
M Pida a sus estudiantes @ue colo@uen en orma ertical los t+rminos seme=antes de los diersosolinomios, uno deba=o del otro, de=ando un esacio libre si el olinomio carece de ese t+rmino< 'uegose rocede a sumar< Por e=emlo ara sumar los olinomios: R>4 − 19>3 + 8>2 − K> + 3L >4 + 3>2 − 11> +
9L
K>4 + R>3 + 17>2 + 9> + K rocedemos as/:
R>4 − 19>3 + 8>2 − K> + 3
>4 + 3>2 − 11> + 9
K> 4 + R> 3 + 17> 2 + 9> + K
21>4 − 11>3 + 21>2 − 14> + 18
Para %a e"a%/a#!,$
M Solicite @ue realice un autili(ó en su r esolución<
M Pida a sus estudiantes @la tabla con base en la d
N+mero
2UR
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M Para la sustracción de un olinomio P, denominado minuendo, otro denominado sustraendo sesuma al minuendo el ouesto al sustraendo< Se uede utili(ar el m+todo de colocación erticalL or e=emlo ara restar los olinomios: 3a2 9ab b2 de Ra2 2ab Rb2 se rocede as/:
Ra2 2ab Rb2
3a2 9ab b2
2a2 8ab 2b2
M .alor num+rico de una e>resión algebraica es el nCmero @ue se obtiene al sustituir en esta el alor nuIm+rico dado y reali(ar las oeraciones indicadas<
> H 3a ara > 2L a R
2 H 3R 8 H 312R 8 H 3R [39
M n olinomio está ordenado si los monomios @ue lo orman están escritos de mayor a menor grado<
P> 2> X R> [ 3
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M En el e=ercicio resuelto, uede establecer los asos @ue se siguen en una diisión de olinomios< 'a inIormación se consigna en la ágina K8 del te>to del estudiante<
3> [2> [4>h X2> [2 >h [2>h [2
[2> X9> [3>h7 4> X>h X2> [3
[4> X8>h [4>
7 1R>h X9> [3
1R>h X37> X1R
X39> X12
3>h X4> X1R
!egla de !u Dini
'a regla de !uini conocida tambi+n como diisión sint+tica se utili(a cuando el diisor es de la orma>Iaj<Permite obtener más ácilmente los coeicientes del cociente en una diisión de olinomios< En el e=emlo3>4 R>2 4> 9 ` > 4 se uede roceder de la manera 0abitual o utili(ando la regla de !uini<
Proceso algoritmoSe disone los coeicientes del diidendo y el t+rmino indeendientedel olinomio diisor, este Cltimo cambiado de signo< Si el olinomio 4
diidendo es incomleto se one un 7 en el lugar corresondiente alt+rmino @ue alta<
Se ba=a el rimer coeiciente 3 se multilica or 4 y se suma el 4
roducto obtenido 12 al segundo coeiciente 7<
'a suma obtenida 12 se multilica or 4 y este roducto se 4suma al siguiente coeiciente R<
3 7 R 4 9
3 7 R 4 9
12
3 12
12 48
Se continCa este roceso 0asta eectuar la suma corresondiente al Cltimo coeiciente<
4
'a Cltima suma obtenida 999 es el resto de la diisión< "on los coeicientes restantes 3, 12, 43, 198se construye el olinomio cociente, teniendo en cuenta @ue su grado será una unidad menor @ue el gradodel diidendo, ues el diisor es de grado 1<3>4 R>2 4> 9 ` > 4 > 4 3> 4 R> 2 4> 9 999
! > 999 3>3 12>2 43> 198 " > > 4 > 4
2
3 7
R 4
9 3 7 R 9
4
12 48 12
4
12 48 12
92
3
12
43 198 3
12
43 198
999
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diisiones:
b< >3 H R>2 X> P ` >2 H 1
reroducción de roblemas de la ág< 179, solicite @ue comleten la tabla<
"!sor Co#!e$te Resta
2> X H 2R> H 37
Re#ome$(a#!o$es para (o#e$tes Se##!,$ para /so e1#%/s!"o (e% e(/#a(or
En octao de ásica se traba=a la siguente deinición de ra/( cuadrada: se suguiere @ue el docente d+ el mismotraI tamiento ero con los nCmeros racionales<
Sea b un nCmero entero ositio o cero, su ra/( cuadrada entera si e>iste, es el nCmero entero ositio a o
cero, tal @ue el cuadrado de a sea b<% b = a, si y solo si: a 2 = b L con a, b ∈R+
a % 4 =2
b % 22 = % 4 =2
c %−22 = % 4 = 2
d − % 4= −2
e %−4 , no tiene ra/( cuadrada en los reales<
!ecuerde @ue es un error airmar @ue la % 4 es 2 y −2<
Obsere las ra/ces cuadradas de algunos nCmeros racionales<
% 7 = 7 4
= 2
K 3
%2R =R
1= 1
K 3
B/e$ !"!r: C/%t/ra F7s!#a 0 t!empo %!-re
'a actiidad inicial uede serir ara @ue el roesor aborde el tema de la necesidad de cuidar la salud inItegral de las ersonas, a tra+s del deorte y del aroec0amiento del tiemo libreL en concordancia conel cuidado y rotección del medioambiente sano< En este sentido, es necesario e>licar la obligación delEstado de romoer la cultura /sica y el derec0o de los ciudadanos a disrutar de esacios y alternatiasde r ecr eación<
Es muy imortante conersar al resecto de los roblemas de salud originados or la alta de e=er cicio/sico, como roblemas cardiosculares, 0iertensión, obesidad y otros< Este unto debe serir ara motiIarlos a la ráctica de actiidad /sica, no necesariamente un deorte, sino acciones sencillas como subir
gradas, caminar, asear al aire libre, entre otras< De ser osible, inite a un esecialista al aula ara @ueueda e>licar a sus estudiantes las consecuencias ara la salud or la inactiidad< Se sorrenderán alconocer las ciras y los datos inculados con esta situación<
Pida @ue realicen las actiidades rouestas en la ágina 111 de la sección uen .iir y a la e( @ue asuIman el comromiso de articiar en las =ornadas deortias de la institución< !ele>ionen sobre el lemaMente sana en cuerosano<
B!-%!ora=7a0tt:UUsauce<ntic<mec<esU=diegoUcalculoUcalculo<0tm
0tt:UUmatematicasies<comUZIPolinomios,92I
M$S)E!O DE ED"&"#$, &ctuali(ación y -ortalecimiento "urricular de la Educación ásica, uito, 2717<
'E)AO'D, 'ouis, lgebra y )rigometr/a anal/tica, Aarna M+>ico,1KKK<SE$F !<, '&!& *<,E$&'"F&! A<, 'E#$ A<, Módulo de Matemática ac0illerato, "entro de Matemática I niersidad "entral del
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Plantee e=ercicios como el e=emlo:
"alcular el cociente y resto en cada una de
estas a< >R X >3 H R> X 1 ` > X 2>
Para %a e"a%/a#!,$M tili(ando el roceso de
D!"!(e$(o D!
R>3 X 2>2 H > X R
% %
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Ecuador, uito, 277<
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-ic0a
1 Re=/er'o N+meros rea%es. apro1!ma#!o$es 0 err or es
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< Aalla un nCmero racional comrendido entre R y 9 <
2< Aalla un nCmero irracional comrendido entre 1,R y 1, R <
$os encontramos a un atinador y le reguntamos @u+ distancia 0a r ecorrido<
3< ndica cuál de las tres resuestas te arece más adecuada<
a Ae r ecorrido2 Gm< b Ae recorrido 1,414 2139 Gm< c Ae recorrido 1,4 Gm<
esar un resultado con muc0as ciras decimales no siemre tienedo<
4< "on la calculadora, busca el alor de los siguienItes nCmeros, con cuatro ciras decimales, y anótaIlo en la segunda columna de la tabla<
_ En la tercera columna, escribe el nCmero con
sólo dos ciras decimales<_ "alcula la dierencia entre los alores de la seI
gunda columna y la tercera, y anótala en lacuarta columna<
ite la actiidad anterior modiicando un oco el m+todo:
_ De=a la rimera cira decimal igual<
_ Obsera la tercera cira decimal<
M Si la tercera cira decimal es menor @ue R,de=a la segunda cira igual<
M Si la tercera cira decimal es mayor o igual @ueR, sCmale 1 a la segunda cira decimal<
9< Obsera las tablas anteriores y r esonde:
_ YEn cuál 0as obtenido los errores menoresZ
_ Yu+ m+todo te arece me=or, el truncamiento o el r edondeoZ
_ YEn @u+ casos coinciden los erroresZ
< EectCa las siguientes oeraciones, sustituyendo los nCmeros irracionales @ue aarecen aro>imados or r eIdondeo con tres ciras decimales<
a2
+3 R
−13
= c2 R + 1 13 − 1R =
/) 2 0 + 3 2 +⋅3 = ⎛
1
⎞
d 3 ⋅− 2 R=
$Cmer o .alor calculadora )runcando Err or
2 1,4142 1,41 1,4142 − 1,41 = 7,7742
3
R
8
11
12
14
$Cmer o.alor
calculadora!edondeando Err or
2
3
R 2,2397 2,24 2,24 − 2,2397 = 7,774
8
11
12
14
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⎜
⎟⎝ 2 ⎠
8< !edondea 2 , R , y 17 0asta las mil+simas y calcula 2 R y R 2 <
_ YEs
2
2 + 5 =
Z YEs
5 2 =⋅
17 Z
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Re=/er'o Opera#!o$es #o$ po%!$om!os. $+meros !rra#!o$a%es
-ic0a
2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< "omleta estas oeraciones con olinomios<
a Suma los olinomios P> 3>2 2> 1 y > R>3 > 8<
> R> 3 <<<<<<< <<<<<<< X 8
b !esta los olinomios P> >R 2>4 >3 8 y > >R R>4 4>2 R<P> = >R
<<<<<<< − > 3<<<<<<< <<<<<<< <<<<<<<
> = > R + R> 4 <<<<<<< − 4> 2 <<<<<<< + R
P> − > =<<<<<<<
H 3> 4
<<<<<<<+ 4<<<<< <<<<<<< + 3
c Multilica los olinomios P> >3 R> 2 y > 2>2 R> 1<
P> > 3<<<<<<< − R> + 2
> 2 > 2 + R > − 1
− > 3 <<<<<<<
<<<<<<< <<<<<<< <<<<<<<
+ R> − 2
+17>
<<<<<<< <<<<<<< H 17> 3
+ 4> 2<<<<<<< <<<<<<
P> W > 14>R 3R>4 <<<<<<< <<<<<<< <<<<<<< 2
d Aalla el cociente y el resto de la diisión entre &> 8>4 9>3 4 y > 2>2<
8 >4 X 9 >3 4 2 >2
<<<<<<<< 4 >2<<<<<<<<
7 9 >3
9 >3
2< "omleta:
<<<<<<<< <<<<<<<<
Es ácil comrobar @ue 27 x R + x 4 H 3 x 3 H 24 x 2 9 x R x 3 3 x 2 9 W 4 x 2 x L or tanto,
4 x 2 x es un <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de 27 x R x 4 3 x 3 24 x 2 9 x , y R x 3 3 x 2 9 tambi+n es un <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
de <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
De orma similar, 27 x R x 4 3 x 3 24 x 2 9 x es un <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de 4 x 2 x , y tambi+n lo es de
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
3< "omleta:
a x 1 es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< de P x x R H x 3, uesto @ue P1 1R <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< )ambi+n x 1 es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
de P x , or@ue P<<<<<<<<<<<P <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 7< Pero x <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<no es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<de P x , ya @ue P2 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
23 24 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
bP Si consideramos P x x 3 x 2 14 x 24, las osibles ra/ces son<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "omo
P2 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<, entonces 2 es una ra/( de P x y P x x H 2 x < Si alicamos la regla de!uini ara calcular x , obtenemos:
x <<<<<<<<<<<<<<<< x 12 cuyas ra/ces son x 1 3, x 2 <<<<<<<<<<<<<<<<<<< < 'uego, odemos e>resar x como sigue:
P> <<<<<<< <<<<<<< X 2> X 1
P> X > <<<<< > 3 X 3> 2 <<<<<<< X K
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2A
x x <<<<<<<<<<<<<<P x 4< Por tanto: P x x <<<<<<<<<<<<<<P x <<<<<<<<<<<<<<P x <<<<<<<<<<<<<<<
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Módulo
3 F!#<a (e e"a%/a#!,$
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< Si a = 7,3 y b = −7,, reresenta gráicamente:
a b, a
b ka + b, a − b
c ka, − b
d El interalo de centro b cuyos e>tremos distan 1,R unidades de b<
2< Di si es necesario redondear o truncar nCmeros decimales y, si lo es, e>lica en @u+ circunstancia o circunsItancias y on un e=emlo<
3< !edondea 0asta las cent+simas los siguientes nCmeros decimales<
a 2,32R4
b 21,824
c −12,3123
4< Medimos la altura de un =ugador de baloncesto y la anc0ura de una 0o=a de ael< 'os resultados obtenidosson los siguientes:
2,77 7,74 m 21,2 7,9 cm
"omara el error absoluto y el error relatio de ambas medidas< Y"uál de las dos medidas es me=orZ
R< E>resa en lengua=e algebraico:
a El doble de la suma de x es ! <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
b El cubo del doble de a ! <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
c El cociente del doble de a entre b es igual a : <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
d El trile de un nCmero más 8 es igual a siete eces dic0o nCmero: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
9< Proón un enunciado @ue corresonda a la siguiente igualdad<3 > − 2 = 2 > + 4
< Sean P > P = >3 − >2 + 2> − 1R,
> P = > 4 − R>2
y ! > P = 2> 3 − 3> 2 + 2> − R < "alcula:
a P> + > − !> b P> W > c −P> + 2 >
8< Dados los olinomios P x 3 x 2 2 x 1 y x 9 x 3 13 x 2 X 4 x 3, calcula:
a P> > c P> >
b > P> d P>2
K< Diide estos olinomios entre x H 1 utili(ando la regla de !uini<
a 9>3 17>2 2> 2 c 8>3 4>2 > 1b 2>4 H 3>2 2> 1 d 3>4 3>3 2>2 > 1_ YEs x 1 ra/( de estos olinomiosZ *usti/calo<
17< -actori(a los siguientes olinomios<
a >4 17>3 3R>2 R7> 24b >3 R>2 > Rc 12>3 19>2 27> 8_ ndica, a continuación, sus ra/ces<
3
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F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario
Módulo
31< a H1 H7, 7 7,3 1
8< a P> + > = 9>3 + 19>2 + 9> − 4
b H1
H7,4 7 1
b > − P> =9>3
+17>2
+ 2> − 2
c H1 7 7,3 7, 1
d
c P> ⋅ > = 18>R + R1>4 + 32>3 − 14>2 − 17> + 3
d P>2 = K>4 + 12>3 − 2>2 − 4> + 1 H3 H2,2 H2 H1 7 7,8 1
K< a 9 17 2 −22< Es necesario, or@ue e>isten nCmeros reales con
ininitas ciras decimales no eriódicas @ue sóloodemos simboli(ar o aro>imar< &demás, uedeser adecuado redondear o truncar nCmeros deciImales e>actos, eriódicos uros o eriódicos mi>Itos si tienen muc0as ciras decimales y tenemos@ue traba=ar con ellos<
3< a 2,33L b 21,83L c −12,3<
4< Primera medida Segunda medida
Ea = 7 ,74 m = 4 cm Ea = 7 ,9cm
1 9 19 18
9 19 18 19
! = 19
"> = 9>2 + 19> + 18
b 2 7 −3 2−1
1 2 2 −1 1
2 2 −1 1 7
! = 7
Er=
7 , 74m
2, 77m
= 7 , 72
Er= 7 , 9
cm
21, 2cm
= 7 , 73
"> = 2>3 + 2>2 − > + 1
Para comarar los errores absolutos debemos calIc 8 4 −1 −1
cularlos en la misma unidad, en este caso en cm< 1 8 12 11Obseramos @ue el error absoluto de la rimeramedida es muc0o mayor @ue el de la segunda<
$o obstante, el error relatio de la rimera medida
8
! = 17
12 11 17
es menor @ue el de la segunda<
Está me=or eectuada la rimera medida, or @ue0ay un error de 7,72 unidades or cada unidadmeI dida, mientras @ue el error de la segundaes de7,73 unidades or cada unidad medida<
"> = 8>2 + 12> + 11
d 3 −3 −2 −1 −1
1 3 7 − 2 − 3
3 7 −2 −3 −4
R< a 2 > + yL b 2 a 3L c2 a
b
= L d 3 > + 8 = > ! = −4
9< El trile de un nCmero menos 2 es igual al doblede dic0o nCmero más 4<
b
P > P W > P = > − >9 − 3 >R − 17 > 4 −17 > 3 − R > 2
"> = 3>3 − 2> − 3
> = 1 es una ra/( del olinomio del aartado b",er o no de los aartados a"# c"# y d"# ues, segCnel teI orema del resto, el resto de la diisión del
olinoI mio entre > − 1 deber/a ser cero<
17< a > − 1 ⋅ > − 2 ⋅ > − 3 ⋅ >− 4
_ !a/ces: 1, 2, 3, 4
b > + R ⋅ >2 + 1
_ !a/ces: −R
c 4 ⋅ > + 1 ⋅ > − 2 ⋅ 3>− 1
_ !a/ces: −1, 2,1
3P/e(e
#o$t!$/ar Ne#es!tar e=/er'o
P > 3 − > 2 + 2 > −
1R > 4 − R > 2
− 2 > 3
+ 3 > 2
− 2 > +
> 3 − 3 > 2 − 17
> 4 − > 3 − 3 > 2 −
17
− 4
P > 3 − > 2 + 2 > − 1R
> 4 − R > 2
− R >R + R > 4 − 17 > 3 − R >2
> − >9 − 3 >R − 17 > 4 − 17 > 3 − R >2
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I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M &lica las oeraciones con nCmeros reales a la resolución de r oblemas<
M &lica correctamente los algoritmos de cálculo con olinomios<
M -actori(a olinomios y desarrolla roductos notables<
> (e a%/m$osEas
3
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Módulo lo@ues: $um+rico< !elaciones y unciones<
N+meros rea%es
Patro$es (e #re#!m!e$to %!$ea%✎
DCDDCD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o
M Simliicar e>resiones de nCmeros reales con e>onentes negatios con la alicación de la reglas deotenciación y radicación<
M !econocer atrones de crecimiento lineal en tablas de alores y gráicos<
M %raicar atrones de crecimiento lineal a artir de su tabla de alores<
M Presentar de manera clara y ordenada los e=ercicios reali(ados<
M "oniar en las roias caacidades ara eectuar oeraciones matemáticas<
M sar la calculadora de orma racional ara oerar con otencias<
Estrate!as meto(o%,!#as
!elacionada con la D"D: S!mp%!=!#ar e1pres!o$es (e $+merosrea%es #o$ e1po$e$tes $eat!"os #o$ %aap%!#a#!,$ (e %a re%as (e pote$#!a#!,$ 0ra(!#a#!,$9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M Es necesario @ue los alumnos sean caaces de alicar el conceto de otencia a la descrición de siItuaciones de la ida real< Por este motio, ser/a interesante lantearles actiidades oeratiamente senIcillas en un conte>to realL or e=emlo, describir en orma de otencia situaciones del tio: na escueIla tiene seis aulas, en cada aula 0ay seis alumnos y cada alumno tiene seis láices de color es<Y"uántos láices tienen entre todosZj<
M )ambi+n es muy imortante @ue relacionen las roiedades de las otencias con las roiedades de la
multilicación< &s/ mismo, uede ser Ctil utili(ar e=emlos de alicación incorrecta de las r oiedades
6789:;:;<9 (67 >*67, (2 + 3)2 ? 22 + 32)@M Aay @ue insistir en el uso ra(onable de la calculadora, la cual 0a de ser una 0erramienta utili(ada solo
cuando sea necesariaL se tiene @ue restar muc0a atención, en este caso, a los asos @ue 0ay @ue seIguir ara introducir una e>resión num+rica< nsistir, de nueo, en la necesidad de eectuar todas lasoeraciones sencillas o inmediatas sin el recurso de la calculadora< En cual@uier caso, 0ay @ue oner +nasis en el roceso de introducir ar+ntesis con el in de modiicar el orden en @ue se eectuarán lasoeraciones<
M Presenta un cuadro en el cual el estudiante ueda comletar las roiedades de la otenciación< tilicela inormación de la ág< 127 y 121<
32
4O-et!"os (e% m,(/%oM &licar las reglas de otenciación en la resolución de roblemas de nCmeros reales con e>onentes
negatios ara desarrollar un ra(onamiento lógicoImatemático<
M !econocer una unción lineal or medio del análisis de su tabla de alores o de su gráico ara comIrender y redecir ariaciones constantes<
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Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M "onsidere las reglas ara traba=ar con e>onentes negatios y resuela e=ercicios como:
1 1
I2
⎛ 2 ⎞K
a I3 = b ⎜ ⎟ =2 2 8 ⎝ 3 ⎠ 4
I4 K 1⎛ ⎞ =
=
2 2 2 X 2
c ⎜ ⎟ I4
⎛ ⎞
⎜I3⎟ 81
d 2 > 2=
2 > 2
22 X 4
⎝ ⎠33 4
2
4
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⎝ ⎠
Es decir, elcociente
24
2
2I3
= 2
2
Procede a =ustiicar cada uno de los asos de solución mencionando las roiedades de la otencia @ue emlea<2
M "on un e=ercicio como: 2 > 43 4 =
4 4=
19=
1
2 > 2 2 19 128 8M Aaga notar a los estudiantes como or transitiidad es osible establecer @ue 2 I3
1, luego 2 I3
1
8 23
M 'legue con los estudiantes a concluir:
%eneralidad:a In 1 L a 7
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$toM Solicite a los alumnos @ue desarrollen los e=ercicios 1 y 2 de la ágina 121 del te>to<
M Presente el siguiente cuadro a los estudiantes, deberán comletarlo con lo solicitado segCn corresondael e=emlo dado<
Pote$#!a Desarro%%o (e %a pote$#!a a%or $/mr!#o (e %a pote$#!a
22 2 2 4
2I2 27 : 22 2B22
27 1
22 4
32
3I2
42
4I4
R2
RIR
Para %a e"a%/a#!,$
M Solicite a los estudiantes la reali(ación de un resumen de los contenidos tratados en esta sección y lueIgo la e>osición de los mismos<
M Para llear adelante la obseración del traba=o rouesto anteriormente, se debe rearar antes la listade control bien elaborada or el roio obserador, o bien recogida en algCn te>to @ue trate de los asIectos a obserar<
'a lista de control eita la +rdida de inormación @ue conllea la simle retención memor/stica: muc0osdatos se ierden o se recuerdan deormados< Durante la sesión, en silencio y de modo @ue su r esenciaase lo más desaercibida osible, rodea los corresondientes s/j o noj segCn lo @ue obsera<
33
an
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!elacionada con la D"D: Gra=!#ar patro$es (e #re#!m!e$to %!$ea% apart!r (e s/ ta-%a (e "a%ores9
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
otie el reconocimiento de atrones linealesos, tiemo emleado or un auto en un deI
M Solicite @ue comleten tablas de datos en base a e=ercicios rácticos< E=emlo:tili(ando una cuerda anudada con una medida de R7 cm, ormen rectángulos de tal orma @ue ar/e labase y la altura<
Base x 2 3 999
A%t/ra 24 23 999 999
M nterretar el signiicado de ares ordenados de la tabla<
M !eresentar ares ordenados en el lano cartesiano<
M !econocer atrones cr ecientes<
M !econocer atrones decr ecientes<
M %raicar atrones lineales<
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Solicite @ue elaboren tablas y analicen gráicas con base a inormación de situaciones reales<E=emlo: El al@uiler de auto iene dado or un recio i=o de R y se cobra 1 or cada 17 Gm der ecorrido<
M uscar en libros, eriódicos, reistas, nternet, consultar con roesionales m+dicos, encontrar tablas dealores @ue uedan ser usados ara graicar atrones de crecimiento lineal< Estos deberán ser elaboraIdos en materiales alternatios, con dibu=os alusios al tema, colores a libre elección y resentados en elaula de clase con la e>licación de cómo ueren 0ec0os<
Para %a e"a%/a#!,$
M Presenten graicos de crecimiento o decrecimeinto lineal y solicite @ue elaboren una tabla de alores ycreen roblemas con la inormacion @ue se resenta en la graica<
Re#ome$(a#!o$es para (o#e$tes Se##!,$ para /so e1#%/s!"o (e% e(/#a(or
Co$#eptos -)s!#os (e =/$#!o$es
Re%a#!,$: na relación establece la corresondecia entre los elementos de dos con=untos no ac/os & y <
sualmente, al con=unto & se lo denomina con=unto de artida, y al con=unto , de llegada< Simbólicamente, la r eI
lación se reresenta or ! y se cumle @ue: ! & >
34
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
.erii@ue la comrensión de sucesiones< Se sugiere @ue se
en la ida diariaL or e=emlo, gastos or consumo de alimeterminado r ecorrrido<
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F/$#!,$: Sean y ? dos con=untos no ac/os, subcon=untos de los nCmeros reales< na unción de ariable
real de en ? es una regla de corresondencia @ue asocia a cada elemento de un Cnico elemento de ?< Esto
se r eI
resenta simbólicamente or:
f : ?
x f x P
& la ariable x se le llama ariable indeendiante a la ariable y se la conoce como ariable deendiente<
Dom!$!o: Sea f una unción de la ariable real f! ?< El con=unto ara el cual se encuentra deinida,
constiI tuye el dominio de la unción< Este con=unto se reresenta simbólicamente $or dom f.
Ra$o: Sea f una unción de la ariable real f! ?, el con=unto de todos las imágenes de los elementos del
dominio, constituye el rango de la unción< Este con=unto se reresenta simbólicamente or rg f.
F/$#!,$ Estr!#tame$te Cre#!e$te: na unción f es estrictamente creciente en un interalo , si ara cualI
@uier elección de x 1# x % en , siemre @ue x 1, x 2, tenemos x 1 x 2< Esto es:
x 1, x 2 k x 1 x 2 ) f x 1 f x 2
f es estrictamente cr eciente
f f &x % "
f &x % "
f f no es estrictamente cr eciente
f &x 1 "
x x 1 x %
f &x 1 " x
x 1 x %
F/$#!,$ Estr!#tame$te De#re#!e$te: na unción f es estrictamente decreciente en un interalo , si ara
cual@uier elección de x 1# x % en , siemre @ue x 1, x 2, tenemos x 1 x 2< Esto es:
x 1, x 2 k x 1 x 2 f x 1 f x 2
f es estrictamente decreciente f no es estrictamente decr eciente
x
x f &x
1 "
F/$#!,$ Mo$,to$a: Se dice @ue f es una unción monótona en un interalo , si y solo si f es o estrictamente
creciente o estrictamente decreciente en ese interalo<
B/e$ !"!r: )-!tat 0 "!"!e$(a
& lo largo del módulo, el roesor uede traba=ar con el tema de la necesidad 0umana de una iienda,as/ como enrentar la realidad del a/s en torno a este tema< Es reciso @ue los =óenes cono(can lasituación actual de muc0os 0ogares ecuatorianos @ue carecen de iienda y se lanteen soluciones digInas a este r oblema<
Es muy imortante @ue siemre @ue se traba=e un roblema latente de la sociedad, motiando a los estuIdiantes a buscar soluciones y a ser arte actia de ellas, ara @ue arendan @ue es osible cambiar la r eI
alidad con esuer(o y traba=o< Este tio de ráctica les ermitirá asumir, oco a oco, e=ercer su derec0oa la articiación en la ida social y les motiará a e>igir cumlimiento de las autoridades de la localidad<El derec0o a la iienda está ligado intr/nsecamente con la garant/a de llear una ida digna y tambi+n lleIa consigo otros de tio económico y social, como el acceso a sericios básicos, /as y carreteras, transIorte, moilidad, seguridad< En este sentido, desde la ráctica educatia es reciso crear r esonsabilidadciudadana<
B!-%!ora=7a"MIESPO', -undamentos de Matemáticas ara bac0illerato, 2779<
!EES, PaCl y SP&!S, -red, lgebra elemental, Mc%ra; Aill nteramericana, M+>ico, 1KK4<
3*
f &x 1 "
f &x % " f
x 1 x %
f &x % "
f
x 1 x %
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-ic0a
1 Re=/er'o Opera#!o$es #om-!$a(as 0 opera#!o$es #o$ pote$#!as9 S/#es!o$es
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< EectCa las siguientes oeraciones con otencias<
2
3 17
1
⎛ 2 ⎞ 3 ⎛ − 9
2 ⎞ R
−R P
5⋅ −R P
4
⋅ −R P3
=
c P ⎜ −
⎟ ⎝⎠
` ⎜ − ⎟ =⎝ ⎠
2
&⎛
3⎞
− 3 '9⎡
30
b P(
) '
d P 2 R 2 =
(⎜ ⎟ ) = ( ⋅ − ⋅ )
*⎝ R ⎠ (* R )
2< E>resa en orma de otencia de base real y e>onente racional:
3< EectCa estas multilicaciones<
a RR R9 R<<<<< <<<<<P R<<<<< c 39 W 38 3<<<<< <<<<<P
b⎛ R ⎞
−2 3⎛ R ⎞ ⎛ R ⎞
<<<<< + <<<<<
d⎛
2 2 ⎞ ⎛
− 9 2 ⎞
⎜ ⎟ ` ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟=⎜ − ⎟ ` ⎜ − ⎟ =
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠
4< EectCa estas diisiones<
a 32
` 34
3<<<<< <<<<<P
3<<<<<
c
R
`
3
<<<<< <<<<<P
b ⎛ 9 ⎞−3 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 9 ⎞
<<<<< −
<<<<<
4⎛ 3 ⎞⎛
−1R
3 ⎞
⎜ ⎟ ` ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟=d ⎜ − ⎟ ` ⎜ − ⎟ =
⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
R< "onsidera la sucesión 2, 4, 9<<< .eamos cómo determinar su t+rmino general< Obsera @ue, si @ueremosrolongar la sucesión, odemos considerar dos ociones:
a "ada t+rmino se obtiene multilicando or <<<<<<<<<< el nCmero del lugar @ue ocua< 'uego la sucesión es:
2, 4, 9, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<
? la e>resión del t+rmino general será:
a n = <<<<<<<<<< W <<<<<<<<<<
b "ada t+rmino, a artir del tercero, se obtiene sumando los dos t+rminos <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< 'uego la sucesiónla odemos continuar como sigue:
2, 4, 9, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<, <<<<<<<<<<
? la e>resión del t+rmino general será:
a n = a n − 1 + <<<<<<<<<<
9< "onsidera la sucesión 1, 1, 2, 3, R<<<, denominada sucesión de -ibonacci, y escribe la e>resión de un t+rImino a artir de otros t+rminos anteriores<
:
R
4
: :
:
: :
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3
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Re=/er'o Patro$es (e #re#!m!e$to %!$ea% 0 r)=!#a (e /$a =/$#!,$
-ic0a
2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< 'as sucesiones ueden reresentarse en un sistema de coordenadas cartesiaI an
al lugar @ue ocua el t+rmino y cuya ordenada es el alor de +ste<
Obsera la imagen de la derec0a, @ue corresonde a la reresentación gráicade una sucesión<
a Escribe los cuatro rimeros t+rminos<
b Escribe la e>resión del t+rmino general de la sucesión<
1
7,R
7,R
7,2R
aan(adoZ 77 1 2 3 4 R 9
2< !eresenta, en un sistema de coordenadas, la sucesión cuyo t+rmino general es a = 2 −1
<n
_ YPodr/as decir @u+ le ocurre al alor de un t+rmino @ue ocua un lugar muy aan(adoZ
3< Elabora una tabla de alores y dibu=a las gráicas de las siguientes unciones<
a y = −4 b y = 1
>3
c y = > − R dP y = − 2 >R
_ ndica el alor de la endiente de cada una de las unciones anteriores<_ Ordena las unciones de menor a mayor endiente<
_ Y"uáles de las unciones son crecientesZ Y"uál es el signo de la endienteZ
_ Y"uáles de las unciones son decrecientesZ Y"uál es el signo de la endienteZ
_ Y"uál de las unciones no es creciente ni decr ecienteZ_ "omleta:
M na unción de rimer grado es creciente si su endiente es QQQQQQQQQQQ y es decreciente si suendiente es QQQQQQQQQQQ
M
M 'a unción = −4 tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<<< 'a recta asaor los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ
M 'a unción y =1
>3
tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<< < 'a r ecta
asa or los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ
M 'a unción = : x − R tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<<< 'a rectaasa or los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ
M 'a unción y = −2
>R
tiene endiente igual a <<<<<<<<<<<<<, su ordenada en el origen es b = <<<<<<<<<<< 'a r ecta
asa or los cuadrantes <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Es una unción QQQQ<<<QQQQQ
4< Obt+n la e>resión algebraica de cada una de las unciones dadas or las siguientes tablas de alores<
a b c
36
n
-unción Pendiente Ordenada en el origen "uadrantes
y = −4 7 −4 3^ y 4^
y =1
>3
y = > − R
y = −2
>R
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> 1 2 3 4
y4−R
4−R
4−R
4−R
> −2 2 4 9
y1−2
3
2
R
2
2
> −3 2 K 12
y1
2
1−3
3−2
−2
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Módulo
4 F!#<a (e e"a%/a#!,$
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< na atrulla esacial se e obligada a disarar contra un meteorito @ue está a unto de c0ocar contra unsat+lite 0abitado< 'a atrulla está ormada or una nae caitana y una escolta de seis naes más< )odas las
naes tienen el mismo sistema de deensa: tres láseres en cada una de sus dos alas y otro en la artedelantera< El comandanI te ordena @ue ata@uen en ráagas de siete disaros< Y"uántos disaros se roducenen cada ráagaZ E>resa el resultado en orma de otencia<
2< !ecuerda @ue las otencias cuyo e>onente es un nCmero racional negatio ueden transormarse en otenI
cias de e>onente un nCmero racional ositio<
_ Obsera y comleta: 2−
⎛ K ⎞ R
2
⎛ 1 ⎞R
2
⎛ 4 ⎞ R
1−⎛ R ⎞ R
⎛ 1
⎞
<<<<<
⎛ <<<<< ⎞
<<<<< 2−⎛ 9 ⎞ 3
3−⎛ −K ⎞ 2
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜⎟
L ⎜ ⎟ =⎜
⎟ =⎜
⎟ L⎜
⎟ = <<<<<<<<< L ⎜ ⎟ = <<<<<<
4⎝ ⎠ K
⎝ 4⎠
C⎝
⎠
3⎝
⎠
<<<<<
⎝ <<<<<⎠
@@@@@⎝
⎠
4⎝
⎠
5⎝
3< &l calentar un determinado l/@uido con una temeratura inicial de 7 ^", su temeratura aumenta 2 ^" cada 3 s<
a 'as magnitudes temeratura y tiemo, Ysiguen una relación de roorcionalidad directaZ Y"uál es laconsI tante de roor cionalidadZ
b Obt+n la e>resión algebraica de la unción @ue 0ace corresonder a cada temeratura el tiemo inertidoen alcan(arla< YEs una unción de roorcionalidad dir ectaZ
c Dibu=a la gráica de esta unción<
bt+n la e>resión algebraica de las unciones e>resadas mediante las siguientes gráicas<
?
a
R< Obt+n la ordenada en el origen y escribe las coordenadas deun unto de la recta reresentada en la igura<
a Aalla la ecuación de la recta a artir de los datos obtenidosanteriormente< ndica los asos seguidos<
b )ra(a una recta aralela a la anterior y @ue ase or el unIto 1, −2< Y"uál será su ecuaciónZ
9< na tortuga se 0alla a 17 m de una seBal de un cruce de carreteras y emie(a a desla(arse en l/nea r ecta,ale=ándose de la seBal a una elocidad de 7,72 mUs<
a "onstruye una tabla de alores @ue relacione la distancia de la tortuga a la seBal, medida en metros, r esIecto del tiemo transcurrido, medido en minutos<
b !eresenta gráicamente la unción y obt+n su e>resión algebraica<
c Y&l cabo de cuánto tiemo se 0allará a 22 metros de la seBalZ
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
?
-
?
#
?
HR R
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a t u i t a I P r o 0 i b i d a
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d Yu+ esacio recorrerá en R minutosZ Y& @u+ distancia se 0allará de la seBalZ
3
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F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario
Módulo
41< 3 343< En cada ráaga se roducen 343 disaros<
1−2< ⎛ R ⎞ R
1
⎛ 1 ⎞R
1
⎛ 3 ⎞ R9< a 97 s
7, 72 m U s ⋅ = 1, 2m U min1min
⎜ ⎟=
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
3⎝ ⎠
R⎝ 3
⎠
5⎝
⎠
x , )iemo transcurrido en minutos
, Distancia a la seBal en metros
2 3 3− −
⎛ 9 ⎞ 3 ⎛ 4 ⎞ 3 ⎛ −K ⎞2
⎛ −R ⎞ 2
⎜ ⎟ =⎜
⎟ L ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎝ 4 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ R ⎠ ⎝ K ⎠
3< a S/, G=
2L b y
=2
c
># s/<
?
2
b ?
19
1R y 17 X 1,2>
H4 H2
H2
2 4 14
13
12
11
4< a y = −3 >L b y = −3 > + 3L c y = 3 17
R< b = 1, P −1,7"< a y = m >
+ b'b = 1 ⇒ y = m >+ 17 = −m + 1 ⇒ m= 1
1 2 3 4 R
c 22 = 17 + 1,2 >
22 − 17
'a ecuación de la recta es = x +1<
> =1, 2
= 17
b?
H4 H2 2 4
&l cabo de 17 min<
d 1,2 mUmin ⋅ R min = 9
m y = 17 + 1,2 ⋅ R =
19 m
H2 y > H3
H4
P/e(e#o$t!$/ar
Ne#es!tar e=/er'o
I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M "alcula otencias de base real y e>onente negatio<
M "alcula otencias de base real y e>onente entero alicando las roiedades de estasoeraciones<
M tili(a racionalmente la calculadora ara 0allar otencias<
M "onstruye sucesiones y las clasiica en crecientes y decr ecientes<
M Aalla el t+rmino general de una sucesión<
M !eresenta gráicamente sucesiones<
M &lica correctamente las sucesiones en la resolución de r oblemas<
M Distinentre uconstanlineales
M Obtiee>resialgebrae>resiconstanlineales
⎜ ⎟
> 7 1 2 3 4 R
y 17 11,2 12,4 13,9 14,8 19
> y
7
1
7
3
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M !eresenta gráicamente unciones constantes y lineales<
M dentiica unciones constantes y lineales en situaciones de la ida cotidiana<
M Muestra inter+s y erseerancia en el traba=o con unciones constantes y lineales<
> (e a%/m$osEas
3A
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Módulo lo@ues: !elaciones y unciones<Estad/stica y robabilidad
E#/a#!o$es e !$e#/a#!o$es (e pr!mer ra(oD!aramas (e ta%%o 0 <oas✎
DCDDCD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o
M !esoler ecuaciones de rimer grado con rocesos algebraicos<
M !esoler inecuaciones de rimer grado con una incógnita con rocesos algebraicos<
M tili(ar el lengua=e algebraico ara generali(ar roiedades y simboli(ar relaciones en conte>tos dierIsos como la ida cotidiana y los ámbitos socioeconómico, cient/ico y social<
M !esoler roblemas de la ida cotidiana utili(ando ecuaciones e inecuaciones<
M )ener redisosición ara comrobar los resultados obtenidos en la resolución de r oblemas<
M tili(ar los s/mbolos roios de las desigualdades as/ como sus rinciales caracter/sticas<
M !eresentar datos estad/sticos en diagramas de tallo y 0o=as<
M .alorar la utilidad del lengua=e algebraico ara e>resar dierentes situaciones de la ida cotidiana<
Estrate!as meto(o%,!#as
!elacionada con la D"D: Reso%"er e#/a#!o$es (e pr!mer ra(o#o$ pro#esos a%e-ra!#os9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M !eise lo concerniente a las roiedades de las igualdades<
M "uando se 0abla de igualdad matemática se establece una comaración de e>resiones reresentadaor el signo igual, @ue seara el rimer del segundo miembro<
M En la igualdad se dan cinco r oiedades<
1< Proiedad id+ntica o rele>ia: toda e>resión es igual a s/ misma<
9b 9b2< Proiedad sim+trica: consiste en oder cambiar el orden de los miembros sin @ue la igualdad se
alter e<Si 3K X 11 R7, entonces R7 3K X 11
3< Proiedad transitia: enuncia @ue si dos igualdades tienen un miembro en comCn, los otros dos
miembros tambi+n son iguales<Si 4 X 9 17 y 17 R X R, entonces 4 X 9 R X R
4< Proiedad uniorme: establece @ue si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambosmiembros, la igualdad se consera<
Si 2 X R , entonces 2 X R X 3 X 3
4
RO-et!"o (e% m,(/%oM &licar y demostrar rocesos algebraicos utili(ando ecuaciones e inecuaciones ara la resolución de
r oblemas<
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R< Proiedad cancelatia: indica @ue en una igualdad se ueden surimir dos elementos iguales en amIbos miembros y la igualdad no se altera<
Si 2 p 9 [ 4 12 [ 4, entonces 2 p 9 12
M Estas roiedades y su correcto mane=o serán undamentales ara la solución de ecuaciones< Puede r eImitirse a la ágina ;eb 0tt:UU;; ; <s<G12<o r<us de donde se 0a tomado esta inormación r esentada<
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Este es@uema de resolución debe ser usado y alicado or los estudiantes en los traba=os, lecciones yen general en todas las tareas @ue los estudiantes realicen y desde luego en las e=emliicaciones @ueusted roonga en sus clases< Este traba=o al inicio uede causar ciertas molestias, ero los rutos @ue seobtenI drán en el corto la(o son imortantes, esto =ustiica imulsar el es@uema de traba=o rouesto<'a conI ciencia de las roiedades de las oeraciones y de las igualdades, el mane=o adecuado de lasimbolog/a, la comunicación matemática se e aorecida, las demostraciones irán ganando en ormalidad,ues los ra(oI namientos, argumentos y =ustiicaciones se reali(arán con bases matemáticas adecuadas<
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Pida a los estudiantes @ue resenten or escrito todo el roceso ara resoler las ecuaciones de rimer
grado< &s/ or e=emlo:1< &gruar la incógnita<
El rimer aso será agruar en un miembro todos los t+rminos @ue tengan la incógnita y =untar en el otrotodos los t+rminos en los @ue no aarece< Para 0acer esta transosición los t+rminos @ue suman setransoI nen restando y iceersaL los t+rminos @ue multilican se transonen diidiendo y iceersa<
E=emlo: R> − K − 174 + 27> = 4R − 9+ R>
)rasosición: R> + 27> [ R> = 4R − 9 + K +174
2< Dese=ar cada lado, una e( 0ec0o esto se reali(a las oeraciones de cada lado<
R + 27 − R> = 4R − 9 + K + 174
27> = 1R2
4
M & continuación resentamos un e=emlo de resolución de una ecuación en la @ue se roone =ustiicaIciones a los rocesos @ue se an reali(ando
Proceso de solución$ombre de la r oiedad
o r ocedimiento$otación de la r oiedad
o r ocedimiento
4> + 1=
2+
2>
+ 1niorme - de la igualdad or
el mcm de los denominador es
a = b ⇒ a - c = b
- c
=
3 4> + 1 = R 2 + R 2> + 1Distributia y clausuratia
de la multilicación
a b + cP = ab +ac
12> + 3 = 17 + 17> + R niorme + de la ilgualdad a = b ⇒ a + c = b + c
12> + 3 − 3 − 17> = 17 + 17> + R − 3− 17>
"onmutatia y asociatia de laadición
a + b = b +a
=
12> − 17>P + 3 − 3 = 17> − 17>P + 17+ R − 3
nerso aditio y clausuratiade la suma
a + −a = −a + a = 7
a, b ∈R, a + b ∈R
2> + 7 = 7 + 12 Elemento neutro de la suma a + 7 = 7 + a = a
2> = niorme - de la igualdad a = b ⇒ a - c = b - c
12> = 1
1222
nerso multilicatioy clausuratia
de la multilicación
a a P = a P a =1
!ecuerde @ue:1 =
−1
> =
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3< Determinar el alor de la incógnita<
Para dese=ar la incógnita, el nCmero @ue multilica a la > se transone al otro miembro diidiendo<
> 1R2U27, or lo @ue > ,9<
Para %a e"a%/a#!,$
M Debe lograrse @ue el estudiante en la resolución de roblemas ueda:1< !esoler ecuaciones de rimer grado con una incógnita sencillas, con ar+ntesis y con denominadores<
2< )raducir enunciados al lengua=e algebraico<
3< Escribir rases @ue reresenten a e>resiones algebraicas<
4< !esoler ecuaciones de rimer grado con una incógnita sencillas, con ar+ntesis y con denominadores<
R< !esoler un roblema mediante el lanteamiento de una ecuación<
9< !esoler oralmente ecuaciones del tio ax b 7<
< Determinar si dos inecuaciones son e@uialentes<
!elacionada con la D"D: Represe$tar (atos esta(7st!#os e$(!ara8 mas (e ta%%o 0 <oas9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M Es imortante @ue losUas estudiantes comrendan @ue el diagrama de tallo y 0o=as ermite obtener siImultáneamente una distribución de recuencias de la ariable y su reresentación gráica< Este tio dereresentación es similar a un 0istograma debido a @ue los alores de los datos se resentan en interIalos y deslegados en barras< Sin embargo, de un diagrama de tallo y 0o=a se uede recobrar más inIormación de los d/gitos de cada uno de los nCmeros y tambi+n se uede er si algCn alor es identiiIcado como at/ico<
M Se sugiere @ue el roesorUa traba=e este conocimiento con inormación roia de su entornoL or e=emI
lo, las edades de un gruo 0umano, entre otr os<
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M !econocer la estructura del diagrama de tallo y 0o=as<
M "onstruir diagramas de tallo y 0o=as con inormación real, en @ue se mane=e la inormación en dos o tr esciras, or e=emlo, las edades de los estudiantes<
M !eali(ar el diagrama, colocando en la rimera columna, el tallo, la cira de las decenas en caso denCmeros de dos ciras y en la segunda columna, las 0o=as, la cira de las unidades< Si los datos tienentres ciras, el tallo tiene dos ciras y las 0o=as una<
M -inalmente y lo @ue imorta, es @ue se debe interretar la inormación resumida en el diagrama<
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M 'os estudiantes e>licarán la inormación resumida en un diagrama de tallo y 0o=as, e>resarán sus oiIniones sobre las enta=as de este tio de resentación de datos<
M &lgunas enta=as son:
1 "on una ráida obseración, conocemos la inormación cuantitatia del enómeno<
2 Es Ctil esecialmente si el nCmero de datos es e@ueBo, 0asta 47 datos< "uando las cantidades sonmuy grandes, la obseración de datos se diiculta<
42
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escriban inormación ertinente a su condición, a artir del diagrama de taI ación incluirá su edad, estatura, eso,del cal(ado entre otros< Si su a ciertos casos estatura debe tratarse or searado, ues la dierencia de g+I datos<
Re#ome$(a#!o$es para (o#e$tes Se##!,$ para /so e1#%/s!"o (e% e(/#a(or
Para reso%"er /$a !$e#/a#!,$
!esoler una inecuación es 0allar los alores @ue satisagan la inecuación<'as inecuaciones se resuelen en orma seme=ante @ue las ecuaciones< !eali(ar las oeraciones indicadas si las0ay, surimir signos de agruación, transoner t+rminos, etc<, con la dierencia ya anotada de @ue al multilicar odiI idir los dos miembros or un nCmero negatio, esta cambia de sentido si el signo es , se escribe yiceersa< )enga en cuenta @ue las inecuaciones oseen, en general, ininitas soluciones y @ue estas see>resan de dos ormas: a Mediante una inecuación sencilla, elemental< b En orma gráica, reresentada enuna recta donde se da +nasis al con=unto solución<!esolamos algunos e=emlos: R> 17 7Dese=ando la incógnita y simliicando:R> 17 7 ⇒ R> 17 X 17 7 X 17 ⇒ R> 17⇒
> 17
R⇒ > 2
El con=unto de los nCmeros reales menores @ue 2 son soluciones de la inecuación<2 es el l/mite suerior de >L es decir, @ue la inecuación dada desigualdad, solo se eriica ara los alores de >menores @ue 2<.erii@uemos sustituyendo > 2 en la inecuación, or e=emlo: > 1<%ráicamente r er esentado: 4 3 2 1 7 1 2 3 4
!ecuerde:1< Si a los dos miembros de una inecuación se suma o se resta un mismo nCmero, se obtiene otra inecuación
e@uialente< En consecuencia, un t+rmino cual@uiera de una inecuación uede transonerse de un miembro aotro cambiándose or su ouesto<
2< Si se multilican o diiden a los dos miembros de una inecuación or un nCmero ositio, resulta otrainecuación e@uialente< En consecuencia, se uede surimir denominadores ositios sin @ue arie la relación deor den<
3< Si se multilican o diiden los dos miembros de una inecuación or un nCmero negatio se obtiene otra ineIcuación e@uialente al cambiar el signo de la relación de orden or su contrario<
B/e$ !"!r: Tra-ao 0 se/r!(a( so#!a%
El roesorUa uede utili(ar la actiidad inicial del módulo, as/ como los conocimientos de este, ara r eleI>ionar acerca de la imortancia del traba=o en los seres 0umanos< Es necesario reor(ar alores transerIsales como la discilina, la constancia, el orden y otros @ue ayudan a las ersonas a cumlir sus labor escon eiciencia< Es muy imortante @ue se aroec0e este tema ara ortalecer la necesidad de educaciónara @ue los estudiantes se motien a arender< E>li@ue tambi+n @ue 0ay dierentes osibilidades de deImostrar los talentos y caacidades, es decir @ue 0ay traba=os /sicos, intelectuales, manuales, mecánicos,etc< y @ue todos son comlementarios< !ecuerde a los alumnosUas @ue el traba=o y la organi(ación sonormas de coe>istencia armónica en todos los tiemos y sociedades<
&roec0e tambi+n este tema ara rele>ionar acerca de la inclusión de las ersonas con caacidades esI
eciales en el traba=o, más aun si en el aula e>iste una< !euerce el sentido de dignidad, reseto,igualdad, integración y cumlimiento de derec0os or arte de la sociedad y del Estado 0acia lasersonas con caI acidades eseciales< &nalice si en la escuela y uentes de traba=o de la localidade>isten las condiciones adecuadas ara @ue se d+ la integración de ersonas con diersas caacidadesen su institución< Yu+ es necesarioZ Y"uál es el comromiso @ue como comaBeros deben asumirZ
B!-%!ora=7a0tt:UU;; ;<irtual<unal<edu<coUcursosUcienciasU277179RU0tmlUun1Udiagrama]tallos]y]0o=as<0tml
0tt:UU;; ;<estadisticaaratodos<esUtallerUgraicasUtallos]0o=as<0tml
0tt:UUt0ales<cica<esU r dU!ecursosU rdK8UMatematicasU33UmatematicasI33<0tml
43
Para %a e"a%/a#!,$
M Pida a los estudiantesllos y 0o=as< 'a inormnstitución es mi>ta, ar nero rele=a dierencia de
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-ic0a
1 Re=/er'o Reso%/#!,$ (e pro-%emas #o$ e1pres!o$es a%e-r)!#as
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
El uso de e>resiones algebraicas es de gran ayuda a la 0ora de lantear la resolución de un r oblema<
1< "omleta los asos @ue altan en los diersos lanteamientos @ue odemos seguir ara resoler el roblemadel enunciado siguiente<
(l $adre de )aría *a com$rado dos tablas de madera cortas una larga. Ha $agado 1%#6 $or todas ellas. ,ila tabla larga cuesta 1#- ms /ue cada una de las cortas# calcula el $recio de cada tabla.
)abla corta: )abla corta:
2< !esuele los roblemas de cada uno de estos aartados<
a 'a suma de dos nCmeros ares consecutios es 34< Y"uáles son estos nCmer osZ
b n andinista llega a la cima de una montaBa desu+s de cuatro d/as de ascensión< El rimer d/a recorrió lamiI tad del trayectoL el segundo d/a, un cuartoL el tercer d/a, un octao, y el cuarto d/a, los 1 777 m @ue losearaI ban de la cima<
Y"uál es la distancia @ue 0a recorrido el andinista durante la ascensiónZ
c El nCmero de autobuses de una determinada l/nea @ue circulan cada d/a se reduce durante el erano< &s/, el mes de =unio circuló la mitadL el mes de =ulio, una tercera arte, y el mes de agosto sólo circularonK<
Y"uál es el nCmero de autobuses de esta l/nea @ue circulan los meses @ue no son eranoZ
3< !elaciona con lec0as cada e>resión num+rica con su e>resión algebraica corr esondiente<
44
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Muc0as eces una reresentacióngráica, es@uemática y simliicada nosayudará a resoler el r oblema<
Se aro>ima el lanteamiento gráico yel simbolismo algebraico, y se da sentiIdo a la introducción de incógnitas arainI dicar las cantidades desconocidas<
)abla corta: 12,9
)abla larga:<<<<<<
3 tablas cortas + 1,8 = <<<<<<<<
3 tablas cortas = 12,9 − 1,8
3 tablas cortas = 17,87 L entonces,
1 tabla corta = 17,87 ` <<<<<<<<<
x
)abla corta: <<<<<<< x
)abla larga: x 1,8
Ecuación: x + x + x + 1,8 = 12,9
<<<< x = 12,9 − <<<< 3 x = <<<<
x = 17,8 ` <<<< x = 3,9
'a tabla corta ale <<<< y la larga, <<<<<
3 W 4 + R W 12 W 94 + 9 W 2
43 W 9R + 11 W 4R 3 a + R b
3 W 24 + R W RR 12 a + 9 b
12 W 9 − 4 W R 34 a − 9 b
12 W 33 + 9 W 2 4 a + R b
12 W R9 − 9 W 43 a + 11b
34 W 1R − 9 W 3K 12 a − 9 b
4 W 12 + R W 9R 12 a − 4 b
12 W 9 H 9 W 44 13 a + b − 123 W K1 + 8 W RR 3 a + 8 b
4 W 39 + R W 3313 W 4 + W 84 H 12 W 99
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Re=/er'o S!stemas (e !$e#/a#!o$es
-ic0a
2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< !esuele este sistema de inecuaciones< Sigue los asos indicados y comleta:
_ !esuele cada una de las inecuaciones<
2 > + 1 3 ./0
+ 2 2 ⎭
Primera inecuación: 2 > 1 3L 2 > 3 <<<<<<<L > <<<<<<<<<<<<<<L S <<<<<<<<<<<<<,
P Segunda inecuación: > 2 2 >L <<<<<<<< 2L > <<<<<<<<<<<<<<L S2 , <<<<<<<<<<<<<
_ !eresenta en una misma recta num+rica el con=unto solución de cada inecuación<
H1 7 1 2 3
_ Determina las soluciones comunes a las dos inecuaciones< Para 0acerlo, dibu=a la intersección de los interIalos solución de cada inecuación< 5ste será el con=unto solución del sistema<
H1 7 1 2 3
_ El con=unto solución es, entonces: S <<<<<QQ<<<<<<, <<<<<<<<<<<<<<<<<<
"uando no 0ay ningCn alor @ue erii@ue todas las inecuaciones del sistema al mismo tiemo, decimos @ue
el sistema no tiene solución<
2< !esuele el siguiente sistema de inecuaciones<
_ !esuele cada una de las inecuaciones<
4 > + 3 − R./0
3 + 2 F 2 ( − 1)1/
Primera inecuación: 4> 3 RL 4> <<<<<<<<<<<<<<<< L > <<<<<<<<<<<<<<L S <<<<<<<<<<<<<, P
Segunda inecuación: 3> 2 2> 2L <<<<<<<<<<<<<<< <<<<<<<<<<<<<<<L > <<<<<<<<<<<<<<L S2 , <<<<<<<<<<<<<
_ !eresenta en una misma recta num+rica elconI =unto solución de cada inecuación<
_ Determina las soluciones comunes a las dos
inecuaciones<
H4 H3 H2 H1 7
_ "omo no e>isten alores @ue sean a la e( solución de las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución<
S <<<<<<<<<<<<<
3< !esuele a0ora los siguientes sistemas<
a 3 > − 1 > +
1./
0
b − > 2 −
R./
c 3 > − 1 2./0
2 > − 1 K 1 > − 8 P 2 3
0 > + 2 3
2 ⎭
4*
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Módulo
R F!#<a (e e"a%/a#!,$
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< En una oicina se instalan m mesas, de seis atascada una, y el trile de sillas, de cuatro atas
< ndica cuáles de los siguientes alores son soluI
R > − 4cada una, ara @ue traba=en dos ersonas en
cada mesa< Escribe en lengua=e algebraico:
ciones de la inecuación G 3 > <3
a El nCmero de sillas<
b El nCmero de ersonas @ue traba=arán en laoicina<
c El nCmero de atas de sillas y de mesas @ue0abrá en total<
2< "alcula el nCmero de sillas y de ersonas @uetraba=arán en la oicina del e=ercicio 1 si en totalse instalan 8 mesas<
a > 1 b > 7 c > 1 d > 2
8< Determina si estas dos inecuaciones son e@uiaI
lentes<
a 2> 3 1 3> b R> 2 8
K< !esuele los siguientes sistemas indicando losaI sos del rocedimiento @ue 0as utili(ado<!er eI senta gráicamente las soluciones<
a > 1 3 3 .3< !esuele las ecuaciones siguientes<
a 2 3 > R> 9b 3 2 > R 4
c 3 > R > 2 9 > 3
− − /
4 > + 2 < 3⎬
0 0 ⎭
b P 3 y < 2 − y ./
H + 1 F 3 + 5 H ⎬
d 2 > > 3 R > 1
4< !esuele estas ecuaciones<
a P>
−>
= − 3R 2
b P > + 2 +>
= 2⎛ >
+ 8⎞
17< Escribe una inecuación o sistema de inecuacionesde rimer grado con una incógnita ara cada unode los interalos reresentados en la igura<
H2
a3 ⎝ 3
⎟
c P> − 1
−> + 1
= −
1
H4 H1
2
d P> − 3
+ I
2
R=19
-
11< ueremos construir una iscina de 177 m2 de suI
ericie como má>imo< Si la longitud es de 12 m,
R< nti dice a un comaBero:
(l doble de mi edad ms 0 es igual al tri$le de
mi edad menos 10.
Yu+ edad tiene ntiZ
9< E>resa algebraicamente las situacionesdescritas or las siguientes rases<
a 'a madre de qrsula es muy =oen< &un@ue asu edad le aBadas 17, no llega a los 4R aBos<
bP *uan guarda en su cartera dos billetes de Rdólares< Si a esta cantidad le suma la calderilla@ue llea en el bolsillo de los antalones,uede comrar una entrada de 1R ara elart ido del domingo, y toda/a le sobradiner o<
4
1/
⎜
> +
⎠
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cuánto uede medir de anc0oZ
Plantea un con=unto de datos tomados de una siI
uación de la ida diaria @ue ueda ser r eresentaI domediante la t+cnica del diagrama de tallo y 0o=as<
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F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario
Módulo
R1< a 3 m' b 2 m' c 9 m 4 3 m 18m
2< 24 sillasL 19 ersonas<
K< a> 3 −2
./0
2I + 2 G 3 +
0⎭⎪
> 3 −2 .
/
3< a 2> 8L > 4
b 3 2> 17 4L 2> KL > 4,R
c 3 > R> 17 9> 18L 2 > 8L >
4 d 2 > > 3 R> RL 4> 8L >
2
4< a 2 > R> 37L 3> 37L > 17b 3 > 9 > 2> 48L 2 > 42L >21
& 1 ⎞S = (−2, ⎟
⎣⎢ ⎠
H2 H1
1 0> <
/⎭
7 1 2 1R
c > 1 > 1 2L 7 > 7 ininitas soluciones
dP 19 > 3 R > 8L 19 > 48 R>
47L11 > 88L > 8
R< Si x es la edad de nti, la ecuación @ue 0emos delanI tear es:
2> 3 3> 13
b 3y y 2L 4y 2L y 1
2
y Ry 3 1L 4y 2L 4y 2L y −1
2& 1 1 ⎞(− , ⎟( 2
!esolución: > 19L > 19
_1 7 1
'a edad de nti es 19 aBos<
9< a > 17 4RL b" 17 > 1R<
_1 2
1
2
< a 3 3L b 4
3
7L c 1
3
3L d 2 9< 17< !esuesta sugerida<
a 2> 1 3
Son solución > 7, > 1 y > 2<
8< a 2> 3 1 3>L 2> 3> 1 3L
> 2L > 2
b R> 2 8L R> 8 2L R> 17L
b 2 > 2 −2 ./0
4 − F I⎭⎪11< 'lamamos a a la anc0ura<
> 2
En eecto, las dos ecuaciones son e@uialentes<
Entonces, 12 W a 177L
12<!esuesta abierta<
2Ra 23
P/e(e#o$t!$/ar
Ne#es!tar e=/er'o
I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M Escribe ecuaciones corresondientes a enunciados erbales sencillos<
M dentiica la incógnita y los miembros de una ecuación< !econocer las soluciones de una ecuación<M &lica los m+todos del ra(onamiento inerso y de tanteo ara resoler ecuaciones sencillas<
R
R
2* ⎠
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M !esuele ecuaciones de rimer grado con una incógnita alicando las roiedades de lasigualI dades<
M !esuele inecuaciones<
M !esuele roblemas de la ida cotidiana mediante el lanteamiento y la resolución de ecuacionesde rimer grado con una incógnita<
M Elabora digramas de tallo y 0o=as<
> (e a%/m$osEas
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Módulo lo@ues: %eom+trico< De medida
L7$eas (e s!metr7a
?reasMe(!(as e$ ra(os (e )$/%os $ota-%es✎
DCDDCD Destre'as #o$ #r!ter!os (e (esempe&o
M !econocer l/neas de simetr/a en iguras geom+tricas<
M "onstruir irámides y conos a artir de atrones en dos dimensiones<
M "alcular áreas laterales de rismas y cilindros en la resolución de r oblemas<
M !econocer medidas en grados de ángulos notables en los cuatro cuadrantes con el uso de instrumentalgeom+trico<
M &rontar roblemas geom+tricos con conian(a en las roias caacidades<
Estrate!as meto(o%,!#as
!elacionada con la D"D: Re#o$o#er %7$eas (e s!metr7a e$ =!/raseo8 mFtr!#as9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!os
M &lgunos alumnos tienen diicultades ara asimilar el conceto de moimiento en geometr/a, sobre todoen el caso de las simetr/as< Para suerarlas, es Ctil el uso de iguras lanas recortadas en cartulina<
M Este tio de material maniulatio ermite isuali(ar los momentos intermedios del roceso de transorImación, insistiendo en el 0ec0o de @ue en geometr/a +stos no se consideran<
M &s/, el roesorUa uede rooner actiidades en las @ue, or gruos, los alumnos comartan sus e>eIriencias al eectuar moimientos en el lano con diersas iguras r ecortadas<
M &dicionalmente, es recomendable @ue el roesorUa inorme de @ue las simetr/as a>iales tambi+n r eciIben el nombre de rele>iones, y @ue les sugiera e>erimentos sencillos con ese=os<
M Este tio de e>eriencias ermite comrender más ácilmente algunas roiedades de las simetr/asa>ialesL or e=emlo, @ue la transormación inersa de una rele>ión es ella misma< ? a continuación, si
el roesorUa lo considera coneniente, introducir ya el conceto de transormación inersa<
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Deinir los concetos de transormación geom+trica, transormación isom+trica, ector y sentido de unaigura, y utili(arlos ara eectuar moimientos en el lano<
M 'as transormaciones geom+tricas son la o las oeraciones geom+tricas @ue ermiten crear una nueaigura a artir de una reiamente dada< 'a nuea igura se llamará 0omólogo de la original<
M Aay arios tios de transormaciones geom+tricasL de estas, anali(aremos la simetr/a, la traslación y lar otación<
4
9O-et!"o (e% m,(/%oM !esoler roblemas de áreas de rismas y cilindros y anali(ar sus soluciones ara roundi(ar y r elaI
cionar conocimientos matemáticos<
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l a 1 e n t a
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1< Simetr /a: corresondencia biun/oca entre dos untos del lano o del esacio, situados a uno y otrolado del centro, e=e o lano de simetr/a y a la misma distancia de +l<
2< )raslación: es un moimiento en el lano @ue uede ser entendido como un desli(amiento en l/nearecta sin @ue se rodu(can giros<
3< !otación: es el moimiento al rededor de un unto i=o o de una recta i=a reali(ando un giro<
M &nali(ar el rocedimiento ara construir la igura sim+trica de una dada< Estudiar las roiedades @ue
se cumlen en una simetr/a central y en una simetr/a a>ial<M Obserar en un e=emlo el rocedimiento ara trasladar una igura lana< &nali(ar las roiedades @ue
se cumlen en una traslación<
M &nali(ar el rocedimiento al rotar un segmento & al rededor de un unto &, un ángulodeterminado<
Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
E>iste una ariedad de actiidades reerentes a la simetr/aL or e=emlo se uede dibu=ar, en una 0o=a doIblada or la mitad, la mitad de una igura geom+trica y luego cortarlaL dibu=ar triángulos dados segmentossim+tricosL identiicar los e=es de simetr/a en iguras dadas< & continuación resentamos una actiidad inIteresante tomada de la ágina ;eb: 0ttUUcurso778<;iGisaces<com<
Mo"!m!e$tos so-re </e%%aEl ob=etio es @ue los alumnos cono(can la deinición y las caracter/sticas generales de la simetr/a y laubi@uen< &demás sean dierenciar la simetr/a rotacional de la a>ial, y comrueben cuántos órdenes desimetr/a tienen<
$ecesitan una cartulina de orma oligonal or e=< rombo, cartón, ti=eras, mar cador es<
El modelo se detalla a continuación< Se recorta la cartulina con la orma oligonal y se identiican los +rItices or ambas caras, de manera @ue se onga la misma letra en cada +rtice en las dos caras en @ue seuede ostrar la 0uella de la igura sobre la 0o=a< Se cuenta el nCmero de moimientos en @ue se uedeenca=ar sin @ue se reitan, y ese será el nCmero de l/neas de simetr/a @ue tiene<
En este e=ercicio los alumnos comrueban otra manera de describir e=es de simetr/a en un lanoL 0ay tanItas l/neas de simetr/a como maneras dierentes en @ue se ueda moer la igura ara @ue uela a coinIcidir con su 0uellaj<
0uella
"
D &
-igura en
cartulina" "
D & D &
)omado de:0tt:UUcurso778<;iGisaces<comU& licaci\"3\3nXenXelXaulaXdeXlaXsimetr\"3\ & Da
a @ue realicen las actiidades y roblemas lanteados en este módulo y @ue 0aIa de las iguras< Podr/a usar el tangram<
aba=o ráctico similar al @ue se lanteó en la sección anterior< 'os elementoso< 'a creatiidad es uno de los recursos @ue más debe ser considerado<
4A
Para %a e"a%/a#!,$
Motie a sus estudiantescen reerencia a la simetr/
Solicite @ue realicen un trdeberán ser los del entor n D
i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a
l a 1 e n t a
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!elacionada con la D"D: Re#o$o#er me(!(as e$ ra(os (e)$/%os $ota-%es e$ %os #/atro #/a(ra$tes#o$ e% /so (e !$str/me$ta% eomFtr!#o9
Para %a a#t!"a#!,$ (e #o$o#!m!e$tos pre"!osM !ecuerde el teorema de Pitágoras, el cual dice: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida
de la 0iotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetosj
M Determinen las ra(ones trigonom+tricas en un triángulo rectángulo< Para ello ser/a coneniente reali(arun e=ercicio ráctico<
M Si miramos el triángulo odemos describir tres ra(ones @ue son intr/nsecas de los ángulos agudos, ya@ue las ra(ones solamente deenden del ángulo α debido al teorema de )ales<
longitud del cateto ouesto a J asen J P L sen J P
longitud de la 0iotenusa c
c
a longitud del cateto adyacente a J bcos J P L cos J P
longitud de la 0iotenusa cJ
b longitud del cateto ouesto a J atan J P L tan J P
longitud del cateto adyacente a J b
M & artir de estas deiniciones odemos calcular ra(ones trigonom+tricas aro>imadamente dibu=ando ymidiendo simlemente<
M Estas ra(ones trigonom+tricas eidentemente no deenden del triángulo @ue tracemos sólo deendendel ángulo<
M )ambi+n deben seBalarse desde el rinciio algunas roiedades sencillas e intuitias, el seno y elcoseI no roeen alores entre 7 y 1<
M 'as ra(ones trigonom+tricas son sólo nCmeros y no tienen una magnitud asociada< Por tanto, nunca deI
ben acomaBarse de unidades de medida<
M Si en el cálculo de las ra(ones trigonom+tricas aarecen ra/ces, coniene recordar @ue estas debenconI serarse y, como muc0o, uede calcularse una aro>imación desu+s de simliicar al má>imo lae>r eI sión con ra/ces< Esto es esecialmente imortante en los roblemas or@ue la simliicaciónuede lleI ar a errores< En cual@uier caso, si se llea a cabo la aro>imación, debe darse un nCmerom/nimo de ciras signiicatias<
Para %a #o$str/##!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M Obseren las deiniciones de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo, y saberlas alicar< Dedu(cana artir de estas las ra(ones trigonom+tricas inersas<
M Obtengan las ra(ones trigonom+tricas de los ángulos de 37^, 4R^ y 97^ a artir de construcciones geoIm+tricas sencillas<
M Dibu=e las ra(ones trigonom+tricas de ángulos notables<
*
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Para %a ap%!#a#!,$ (e% #o$o#!m!e$to
M !econo(can, a tra+s de e=emlos, las alicaciones de la trigonometr/a en otras ciencias< &s/: En)oogra/a se uede determinar la altura de un ediicio, teniendo la base y el ángulo< Por e=emlo, la toIrre de Pisa, ue construida sobre una base de arena oco consistenteL debido a ello +sta se aarta cadae( más de su ertical< Originalmente ten/a una altura de R4,9m, aro>imadamente< En 1KK7 un obserIador situado a 49 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de eleación de R4N a launta de la torre, el obserador ara determinar al desla(amiento 0undimiento en el suelo es muy eI
@ueBo, comarado con la altura de la torre alicó la ley del seno ara determinar el ángulo de inclinaIción y la ley del coseno ara determinar el desla(amiento de la torr e<
M En la aiación, si dos aiones arten de una base a+rea a la misma elocidad ormando un ángulo y siIguiendo en trayectorias rectas, se uede determinar la distancia @ue se encuentran entre los mismos<
en en triángulos rectángulos y la alicación de las relaciones trigonom+tricas<
Re#ome$(a#!o$es para (o#e$tes Se##!,$ para /so e1#%/s!"o (e% e(/#a(or
Ra'o$es tr!o$omtr!#as e$ %a #!r#/$=ere$#!a o$!omtr!#a
Se llama circunerencia goniom+trica a la @ue tiene or radio la unidad r1 y su centro coincide con el origen delsisI tema de coordenadas cartesianas< 'os e=es del lano delimitan cuatro cuadrantes @ue se enumeran en elsentido anI ti0orario<
En la construcción obseramos lo s triá ngulos seme=antes: O&P, O" y DEO con sus ángulos 0omólogosr esI ectiamente< 'os lados O, OP y OE corresonden al radio y su medida es la unidad<
y
&P &P ED ED E D sen J &P cot J ED
P "
O & >
OP
O&cos J
OP
1
O& O&
1
OE
O"sec J
O
1
O" O"
1
r1 " " OD OD
tan J " csc J ODO 1 OE 1
'a ordenada del unto P de la circunerencia corresonde al seno y la abscisa al cosenoL dic0as unciones tomanalores entre I1 y 1 incluidos<
B/e$ !"!r: B!o(!"ers!(a( 0 am-!e$te sa$o
Co$ser"a#!,$ (e% patr!mo$!o $at/ra%
Este módulo ermite al roesorUa aian(ar en sus estudiantes la imortancia de los bienes atrimonialesen el sentido de ertenencia e identidadL a la e(, es necesario tratar el tema de las obligaciones de toIdosUas los ecuatorianosUas or conserarlos y cuidarlos ara @ue de esta manera sigan trascendiendo en
el tiemo y sigan siendo un s/mbolo del a/s<Establecer dos bandos, el uno a aor de la e>lotación del Par@ue $acional ?asun/I)) y el otro en conItra de la e>tracción de los recursos< Deberán resentar un debate, con argumentos ecológicos, económiIcos, resentar en tablas, imágenes, royecciones< nitar a alumnos de otros cursos ara @ue sean el =uIrado y determinen @ui+n realmente tiene la ra(ón< Otra oción ser/a la de initar a un ambientalista @ue d+una conerencia sobre el tema<
B!-%!ora=7a0tt:UU;; ;<aulaacil<comUmatematicasIbasicasUgeometriaUcursoU'eccI37<0tm
0tt:UUcurso778<;iGisaces<comU&licaci\"3\3nXenXelXaulaXdeXlaXsimetr\"3\&Da
0tt:UUlatea<ntic<mec<esU=cariasUcns1U72e>celU7Rtrige>cel<0tm
0tt:UU;; ;<ama(oniaorlaida<o r gUesUPa r@ueInacionalI ?asuniUElIPa r @ueI$acionalI ?asuni<0tml
*
Para %a e"a%/a#!,$
!esuela roblemas @ue s
D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a
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-ic0a
1 Re=/er'o Tra$s=orma#!o$es !somtr!#as 0 s!metr7as
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< 'as transformaciones isomtricas o mo2imientos transorman una igura en otra de la misma <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< y delmisI mo <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Para reor(ar la comrensión de sus roiedades, comleta la siguiente tabla<
Moimiento Elementos Puntos inariantes !ectas inariantes Sentido
R .ector traslación: 2
'as rectas aralelas al
ector de traslación<Dir ecto
Simetr/a central El centro: 3
Simetr/a a>ial E=e de simetr/a: e
%iro ?187^
Obsera el cuadrilátero de la igura siguiente:D D
" "
& &
_ El moimiento @ue 0a descrito el cuadrilátero es una <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
_ n ector de <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< ser/a, or e=emlo, 44. Otros ectores ser/an: <<<<<<<<<<<, <<<<<<<<<< o <<<<<<<<<<<
_ 'as rectas aralelas al ector de traslación, como la recta @ue contiene a los lados 7 y 7 , son <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
_ Es un moimiento <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<, ya @ue consera el sentido de la igura<
2< YPor @u+ las ambulancias llean escrita la alabra de esta maneraZ
_ Si escribimos la alabra &M'&$"& con mayCsculas, Y@u+ letras se erán igual a tra+s de un ese=oZYu+ caracter/stica tienen estas letrasZ
3< ndica el moimiento @ue se 0a alicado en cada caso y seBala suscaracter/sticas<
la igura de la derec0a tienes dibu=ados dierentes ol/gonos<
_ nestiga cuáles siren ara embaldosar y cuáles no<
_ DiseBa otros ol/gonos @ue siran ara embaldosar <
R< Obsera, en la igura de la derec0a, cómo, a artir de untriángulo e@uilátero, odemos obtener la baldosa @ue sedenomina $a8a9 rito<
_ &erigua cómo se 0an obtenido las baldosas $ez 2olador#*ue9 so y a2i:n, reresentadas en la igura de la der ec0a<
_ !ecorta arias coias de cada una de ellas y orma los mosaiIcos corr esondientes<
a - #
*2
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Re=/er'o Tr!)$/%os re#t)$/%os 0 =a#tores (e#o$"ers!,$
-ic0a
2$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< 'a suma de los ángulos de un triángulo cual@uiera es siemre 187^< Sabes @ue un triángulo rectángulo es a@uel@ue tiene un ángulo de K7^< Por tanto, la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo r ectángulo es: 187K7
K7^< "omleta las l/neas de untos siguientes:
M Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 97^, el otro mide K7 <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
M Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 37^, el otro mide <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
M Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 4R^, el otro mide <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
2< n oerario 0a de colocar un cartel en la a(otea de un ediicio< Para ello, debe subir dos tramos de escalera de
la misma longitud ero distinta inclinación, tal como muestra la igura<
"artel
Es
Y"uál es la altura má>ima a la @ue se llega con la segunda escalera resecto del sueloZ
3< "uatro estacas están unidas or sus e>tremos ormando un cuadrilátero< 'as estacas miden 3, 4, R y 9 metros,
y están colocadas de la orma @ue se indica en la imagen<
93
s @
4 R
Yu+ alores ueden tener los ángulos s y /Z
'as estacas toman a0ora esta otra coniguración: las estacas de 3 y 4 metros orman un ángulo de 97N<
3 9
97K
4R
Y"uáles son a0ora los ángulos internos del cuadriláteroZ
*3
Escalera 2
3RK
calera 1
4KK
2 m
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Módulo
9 F!#<a (e e"a%/a#!,$
$ombre: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< "urso: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< -ec0a: <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
1< "alcula el área total de los cueros siguientes<
$ota: cotas en metros
4
9
K,9
2< "alcula el área del cuero geom+trico @ue se obtiene al girar la siguiente iIgura lana alrededor del e=e de reolución dibu=ado<
4 cm
3< ndica la medida de los ángulos de estos triángulos rectángulos, sabiendo@ue tienen un ángulo de 4R^ @ue debes seBalar<
4 cm
E=e de r eolución
-ig< 3-ig< 4
9 cm3 cm
Sabemos @ue sen 4R^ cos 4R^2
2
< "on ello odemos deducir @ue si * es el alor de la 0iotenusa, ambos
catetos de un triángulo rectángulo con un ángulo de 4R^ deben medir 2*<
2a Y"uánto miden los catetos en el triángulo de la igura 3Z <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
b Y"uánto miden la 0iotenusa y el otro cateto del triángulo de la igura 4Z <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
c "omrueba @ue ambos triángulos cumlen el teorema de Pitágoras<
alcula, utili(ando siemre un ángulo del rimer cuadrante,s ra(ones trigonoI m+tricas de los ángulos siguientes<
R< Aalla todos los ángulos comrendidos entre 7^ y 397^ @ue eriican:
a cos J =−1
2
*4
− 3b sen J = 2− 3c tan J = 3
2 , 4
4 , 8
3
sen cos tan
127^
R πrad
3
R πrad
4
R7^
2 38R^
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F!#<a (e e"a%/a#!,$Solucionario
Módulo
91< & 1 = 2 ⋅ 4 m ⋅ 2,4 m + 2 ⋅ K,9 m ⋅ 2,4 m +
+ K,9 m ⋅ 4 m + ! ⋅ 4,8 m" 2 + ! ⋅ 4,8 m ⋅ 4 m
& 1 = 239,38 m 2
c "omrobemos mediante el teorema de
Pitágoras:
M 3 2 " + 3 2 " = 92
& 2= 9⋅ 9m⋅ 3m
+ 2⋅
39m ⋅ R,2m
−2
32 ⋅ 2 + 32 ⋅ 2 =39 L
2
39 = 39
− 2⋅ ! ⋅ 2m P2+ 2 ⋅ ! ⋅2
m ⋅ 3mM
32 +
33
= 3 2 "
& 2 = 37, m 2
4<
2< 'a igura lana genera dos troncos de cono unidosor la base menor<
"alculamos el área de cada uno sin la base comIartida<
& tronco = ! g ! + r " + ! ! 2
K + K = K ⋅2L
18 =18
2
2
2 2 & tronco = ! ⋅2
2 ⋅ 4 + 2" + ! ⋅ 4 2" cm 2
2 2 & tronco = 173,R8 cm 2
& total = 27,19 cm 2
3< a Si el alor de la 0iotenusa es de 9 cm, los dos
catetos de un triángulo rectángulo con un ánguI
lo de 4R^ deben medir:
2 2
R< a 1277b 3777
c 1R7^, 337^
29 = 3 2 cm
2
b Si el cateto contiguo al ángulo de 4R^ mide 3cm,la 0iotenusa mide * 3 2 cm, y el otro
cateto, eiI dentemente, mide lo mismo @ue elrimero: 3 cm<
P/e(e#o$t!$/ar
Ne#es!tar e=/er'o
I$(!#a(ores ese$#!a%es (e e"a%/a#!,$M !econoce los moimientos del lano y sus r oiedades<
M &lica los distintos moimientos del lano a la construcción de iguras<
M !econoce oliedros regulares, rismas y irámidesL distingue sus elementos y los clasiica<
M "alcula áreas y olCmenes de iguras y cueros geom+tricos<
M Obtiene los cueros de reolución a artir de sus iguras lanas generatrices, e identiica cilindroscoI nos y eseras<
M )ransorma unidades angulares en grados<
M "alcula las ra(ones trigonom+tricas de un ángulo agudo<
M Determina un ángulo conocida una de sus ra(ones geom+tricas<
M "alcula las ra(ones trigonom+tricas de un ángulo cual@uiera conocidas las coordenadas de un
unto de su lado e>tr emo<M !econoce la utilidad de la geometr/a en dierentes situaciones de la ida cotidiana<
M &d@uiere el 0ábito de resentar de manera clara y ordenada el roceso de resolución de unrobleI ma geom+trico<
> (e a%/m$osEas
2 2
sen cos tan
127^ 3 2 4
14
R πrad
3 4 3 1
2 4 R π
rad4
24 24 1
R7^ 1 4 32 4
2 38R^ 42
4 2 1
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Módulo
N+meros ra#!o$a%esMe(!(as (e te$(e$#!a #e$tra%
Solucionario
A#t!"!(a( !$!#!a%
'a suericie isible del I1R& será 1UK de 3 177 Gm2< El alorr esultanI te es de 344,44 Gm2 <
'a suericie sumergida del iceberg será 8UK de 3 177 Gm2< Por lotanto,
−12
R <
8
−5
− 4
< R <
3
1R <
3
1
están ba=o el agua 2 RR,R9 Gm2 de suericie< 27< aP −3
−27
=−1 92
−147
=−372
=−1R 1
E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a R4
−2
38
−19
38
14
38
131
18K
M
_R _3 _17 X2 X4 X
bP +=
21 8
+198 198
=198
Se diide la recta en artes iguales y se seBala el unto 7< & artir deeste unto, 0acia la derec0a se reresentan los nCmeros ositios y
22<⎛ 2 2 ⎞ 1 1 2
+
11
⎜ ⎟ ⋅ − + =
0acia la i(@uierda los negatios, contando tantas articiones como inIdica el alor absoluto del nCmero @ue se a a reresentar<
⎝ 3 R ⎠ 3 3 K 4R
1 2 3 11 ⎛ 1 1 ⎞ RM L L y
3 R 2 13
24< 187 ⋅ ⎜ 1 −−
⎟ ⋅ 3 = 187 ⋅ ⋅ 3 = 22R
3 4 2
⎝ 3 4 ⎠ 12
M L L4 4
.alentina tardará 22R min en terminar de leerlo<
M 7,RL 7,73L 7,RL R,9L 7,2 29< a2R
L bP 19
L cP K
+8
=38
=1K
M El 3< 4K K 4 94 19 8R −1 3
A#t!"!(a(es 28<⎛ 2 ⎞
aP
⎛ 1 ⎞L bP
= 4 L cP 2
L⎛ 4 ⎞
dP⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2< 17=
2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 3 ⎝ ⎠
RR 1137<
1L8
L1
L1 4
L1 7 8
L2R
L27
L2
4< a 2 R27L b 47R7 R7 4 2 R 94 4R R7
9< Positias:R
,−1
,
32< 7 ,8491R3L 1,1428RL − 7 , 3 R1428 L − 7 ,RL 1, 4 L
4 −8 37 , 3 R1428
$egatias:−2
, − 1
,−3
,2
3 2 4 −R 34< 4=
3L
L
−4R92=
−2 281L
2 −2 −1
1= , =
17 R 177 1777 R77
−R
8<−48
1R9
R −8 8−R
K77
−1=
187L
212L
KK
322K
KK7
17< a −8L b 9L c −RL d 9 ó
−9
39< a 17,32b 1,K2
12< − 24 : 12
−2 =
L17R : 1R
= c 3,44
39 : 1242 : 9 =18 : 9
3 R47 : 1R 39
L13
3 2R2
d 2,22R
e 7,99
R,87K R
1
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397 : 127=
3L
188 : 4=
4 g 7,281 4487 : 127 4 7R : 4 1R
14< 1R 9
3 27 3 1 7 H3 1
38< a 2,8L el error es de 7,71R<
b 3,RL el error es de 7,7R<
c 9,KL el error es de 7,778<R H4
7 H2
1 H3 H1R H2
47< a 12,3K
b 1K,372R
19< a9
4
14bP −
9
H14 9
42< a "ualitatia<
b "uantitatia discr eta<
c "uantitatia continua<18< 12 R 8 R
2 2 3 1
8 HR
<<<
H12R
*
H4R
3 1R
7 3 1
<<<
d SegCn cómo se ormule la regunta, uede ser cualitatia o
cuantitatia<
44< !esuesta abierta D i s t r i b u c i ó n g r a t u i t a
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49< a Si la emresa no es muy grande, no 0ace alta escoger unamuestra< Se uede llear a cabo una encuesta a todos lostraI ba=ador es<
b $o 0ace alta coger una muestra< Se ueden obtener los daItos de la secretaria del centro<
c Obligatoriamente 0ay @ue elegir una muestra cogiendo bomIbillas al a(ar<
d $o 0ace alta coger una muestra< Se uede eectuar una enIcuesta a todos los alumnos<
Eer#!#!os 0 pro-%emas
97< a 877L b 2 R77L c 11 2R7L d 947
92< a 9 - 1R = 17 - K , s/ son e@uialentesL b no son e@uialentes<
94< −3
8_ S/, son todas e@uialentes
48< 99<
−3
= 1
1
LK
−2 2 −
= −1
2
H2 K H1 HR7 3 1 H3 2
H 8 R H2
H H3 H
R7< 'lamamos x a la recuencia absoluta del alor $ocas# a la delaI lor bastantes y z a la del alor muc*as<
98< a <<<
H3 R H2
H2
R
9 4
H1 7
− −3
H9
3 14
3 −
2 R 2
R
<<<
3
'a recuencia absoluta del alor $ocas es R, la del alor bastan9tes es 1R y la del alor muc*as es 17< b
<
−2
L
< <<4 4
2 H3
<
−L
2> y ( > + y +
( = = =1 3 2 1 + 3 +2
37= =R
9
H2 H1 H34
1 7 H2
1 2
1 R 4 24 3
> = R ⇒ > = 1 ⋅ R =R
− 3 <
2<
1<
1 <
R<
4 < 2
1y
= R ⇒ y = 3 ⋅ R =1R
4 −3 −2 2 4 3
3 7<a
−3L bP
13L cP −
98L dP
17
( = R ⇒ ( = 2 ⋅ R =17
2
17 12R K 3
R
,44 3LB = 15I,4
Publicidad ).44\
"ine7,4\
E>terior
2< ⎛a ⎜ −
⎝ 1 ⎞
⎟=⎠
R
−1
2R
−3
1= − 32
−4 2 4
2,2\ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞bP ⎜ ⎟ ⋅ ⎜
⎟: ⎜ ⎟ =⎜
⎟ : ⎜ ⎟ =
Diarios
!eista
!adio9,4\
4⎝
⎠⎛ 3 ⎞
⎝ 4 ⎠9 2K 4⎝
⎠
4⎝
⎠
4⎝
⎠33\14\ = ⎜ ⎟ =
397
4 ⎠
⎛ ⎞c − − 4 7K9
−14 K⎛ ⎞
3⎛ ⎞=
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟R4< "alculamos el consumo medio bimensual: ⎝ 8 ⎠
⎛ ⎞⎝ 8 ⎠
−14 12
⎛ ⎞
⎝ 8 ⎠−2
⎛ ⎞
2⎛ 8 ⎞
> =2K + R7 + 28 + 4 1 + 2 K +
3
= 3R ,
9
= − ⎜ ⎟ ⋅
⎜
⎟ = −
⎜
⎟ = − ⎜ ⎟ =
9
Por lo tanto, el consumo medio mensual será
⎝ 8 ⎠ 82
⎝ 8 ⎠ 94
⎝ 8 ⎠ ⎝ ⎠
3R,9<
2= 1,83
m3
= − = − 2 4K
Deorte
r eerido
-recuenciaabsoluta
-recuenciarelatia
Porcenta=e
aloncesto 4 7,19 19 \
$atación 17 7,4 47 \
-Ctbol 9 7,24 24 \
.oleibol R 7,2 27 \
2R 1 177 \
7,33 397 = 118,8
7,14 397 = R7,4
7,794 397 = 23,74
7,722 397 = ,K2
7,774 397 = 1,44
____
2
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<R9< 19,1RKL 14 y 1RL 11
19,3L 14, 1R y 27L 11 y 22
4< aP 2R
2R+
11=
2R 39
2R= 5
9
R
RbP − = 14 R−
= K 3= 5
R8< E% e$/$#!a(o es =a%so9
E$ res/me$
PoblaciónL muestraL absoluta, relatia, absoluta acumulada, relatia
2
c127
4K
4
−27
4K
21
4 4
= 177
4K
42
4 2
= 5 17
4K acumulada< d + = + = = 5
4 2 4 4 4 2
*6
D
i s t r i b u c i ó n
g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a
l a 1 e n t a
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alculamos los resultados de las oeraciones:
7 ,R + 1,73 =23 − 2
+R
+173 − 17
=
K2<
21 R
K
K3 217
17
4R K3
K7
348 R8= ++
= + + = =
K 17 K7 K7 K7 K7 K7 1R
4 ,89 − 1, 34 =489 − 48
−134 − 13
=
438121 K7 K7
31
= − =K7 K7 K7
1,9 ⋅ 2, 1 =19 − 1
⋅21
− 2 1R 1K= ⋅ 28R= KR=
K K K K 81 2
,9 : 2, 2 =9 −
:22
− 2 9K 27 921 9K
= : = =
K K K K 187 27
'a relación @ue se establece entre los nCmeros 1, 2, 3 y 4, y lasletras a, b, c y d es:
1 − b 2 − c 3 − d 4 − a
8< !esuesta sugerida: 1−R
= 7 , 3L
= −1,9L
Moda: abrilL media: 2 nacimientosUmes<
3 3
K = 33
K4<
Se trata de nCmeros decimales eriódicos uros de er/odo 3 o9, siemre y cuando no sean enteros<
1 3 13= 7 , 2RL = 7 ,79 L = −1,3< Obtenemos nCmeros decimales4 R7limitados< −1
82< a 12,RL el error es de 7,744<
b 7,3L el error es de 7,72<
c K,9L el error es de 7,74<
d 1,1L el error es de 7,749<
84< Ser/a coneniente tomar una muestra en el estudio estad/sticosobre el niel cultural de los 0abitantes de un a/s y en el estudiosobre el lugar reerido or los ecuatorianos ara asar las acaIciones, or@ue, en ambos casos, la oblación es e>cesiamentegrande ara entreistar a toda<
-alsaL b alsaL c ciertaL d cierta< Datos
7,78 397 = 28, 8
7,74 397 = 14,4
8\9
4\
17\
3
28\
b 12
7,79 397 = 21,9 7,14 397 = R7,4 7,78 397 = 28,8 7,1 397 = 39
7,78 397 = 28,8
8
9\ K
14\
12 8\
11
17 17\
8\
17 Media aritm+tica: 9,8KL bimodal: 4 y KL mediana: 9, R<
8
K9< !esuesta abierta< & artir de los datos obtenidos, cada alumI9 noUa construir/a una tabla de distribución de recuencias, un diaI4 grama de sectores y la media aritm+tica, de manera similar a
como resolieron la actiidad R1<2
77 1 2 3 4
$Cmero de el/culas
K8< Edad media: 43 aBosL moda: RK aBosL mediana: 43,R aBos<
*
Mes de
nacimiento
-r ecuencia
absoluta
-r ecuencia
absoluta
acumulada
-r ecuencia
r elatia
-r ecuencia
r elatia
acumulada
Ener o 27 27 7,791R 7,791R
-ebrer o 37 R7 7,7K23 7,1R38
Mar(o 17 97 7,7378 7,1849
&bril R7 117 7,1R38 7,3384
Mayo 2R 13R 7,79K 7,41R3
*unio 37 19R 7,7K23 7,R79
Mes de
nacimiento
-r ecuencia
absoluta
-r ecuencia
absoluta
acumulada
-r ecuencia
r elatia
-r ecuencia
r elatia
acumulada
*ulio 27 18R 7,791R 7,R9K1
&gosto 4R 237 7,138R 7,79
Setiembr e 17 247 7,7378 7,384
Octubr e 2R 29R 7,79K 7,81R3
$oiembr e 3R 377 7,17 7,K23
Diciembr e 2R 32R 7,79K 1
Dato
-r ecuenciaabsoluta
-r ecuencia
absoluta
acumulada
-r ecuenciarelatia
-r ecuencia
relatia
acumulada
4 19 7,14 7,32R R 21 7,1 7,429 4 2R 7,78 7,R 2 2 7,74 7,R4
17 4 41 7,78 7,8211 R 49 7,1 7,K2
- r e c u e n c i a
a b s o l u t a
$<N de el/culas 7 1 2 3 4
-recuencia absoluta 1 4 3 1 1
-recuencia absolutaacumulada
1 R 8 K 17
-recuencia relatia 7,1 7,4 7,3 7,1 7,1-recuencia relatiaacumulada
7,1 7,R 7,8 7,K 1
88< !esuesta abierta< 'as amlitudes de los sectores serán:7,78 397 = 28,8
K7< a7,1 397
7,14 397
7,1 397R
14\
4
- r e c u e n c i a
a b s o l u t a
a c u m u l a d a
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11177<'os 24 @ue tiene en estos momentos son la suma de la toI
talidad del dinero @ue ten/a 0ace una semana más1 11
ese diI
112< a "alculamos la media aritm+tica:
11nero @ue 0a a0orrado esta semana< Por lo tanto, en estosmomenI
3 + R + 2 + 4 + 9 + 8 +
> == R
tos tiene 11 1 12+=
11 11 11
del dinero @ue ten/a 0ace una semana< b &l sumar 2 unidades a cada uno de los datos obtenemos la siI
&s/ ues, si resolemos, tenemos:
12 6/ 24 : 12 =2
<<<<<<<<<
guiente serie R, , 4, 9, 8, 17, K<
R + + 4 + 9 + 8 + 17 +K
> = = 11 7/2 ⋅ 11 = 22
Aace una semana ten/a 22<
172< 1 −1
=3
−1
=2
3 3 3 3
Se obsera @ue la media aritm+tica 0a aumentado 2 unidades<
c &l multilicar or 3 cada uno de los datos obtenemos la siIguiente serie: K, 1R, 9, 12, 18, 24, 21<
"alculamos el nCmero total de bolas @ue 0ay en la ca=a:
2 6/97 : 2 = 37
<<<<<<<<< 8
K + 1R + 9 + 12 + 18 + 24 +21> =
= 1R
3 7/ 37 ⋅ 3 = K7
nicialmente en la ca=a 0ay K7 bolas<
olas ro=as:1
de K7 = 373
Se obsera @ue la media aritm+tica 0a @uedado multilicadaor 3<
114<"alculamos a @u+ e@uialen los2
de los4
de la racción @ue
olas amarillas: de K7 = 27
debemos 0allar<
−1 − ⎛ −R ⎞ −1 R
3
−1 2R
R
8
olas erdes: K7 − 37 − 27 =
47
4R ⎝⎟
=
+=
4R K
+=
4R 4R 4R
En la ca=a 0ay 37 bolas ro=as, 27 bolas amarillas y 47 bolas erI 2 4⋅ 8=des<
174< Aemos caminado4
del trayecto< ueda or
3 R
8
1R
8
6 8/
4R: 8 = 8
=1
397 4Rde <<<<<<<<< = , 81R 4R 1
1R 1
/
recorrer 1 −4
=R7
−4
=3
del
total<
⋅ 1R = =
/4R 4R 3
R7 R7 R7 R7 7
R 1En bicicleta recorremos de9
ueda or r ecorr er: 3
= R
⋅ 3
= 1R
=1
Se trata de la racción 3 <
1 1
R7 9 R7 377 27 119< 'a rimera llena
del deósito en una 0ora, y la segunda < SiR
4 1 17 7 K4 R 1
1 − − = − −=
del total< Por lo manan las dos a la e(, llenarán1 1 12+
= R 3R
del deósito or
R7 27
tanto:
177
⎧
⎪
177 177 177 0ora<
Dem/estra t/ !$e$!o
1
1772 : 1 = 2de <<<<<<<<< = 2 , 87/2 ⋅ 177 =
277 L%e$a 0 "a#7a re#!p!e$tes
ancia @ue seara la ciudad del ueblo es de 277 Gm<
179< Entre el comedor y la cocina, Elisa destinará
4+
1=
3 2+
=
3K
Aay arias soluciones osibles< na de ellas es la @ue se resenta acontinuación, indicando con tres alores la cantidad de agua @ue a@uedando en cada r eciiente:
8 R9 R9 R9
del resuuesto< El resto, es decir 1 −3K
=
1
R9 R9
, a los tr es
dormitorios, destinando, or tanto,1
: 3 =1
del r esuIR9 198
uesto a cada 0abitación< Ordenando las racciones tenemos:
de
de = 24 ,
de = 97 ,
K⎜⎠
/R7
Re#!p!e$te 9@ 29@ 39@
Capa#!(a( 6.* 2 *.*
Situación inicial ,R 7 7
Se llena el 3<er r eciiente 2 7 R,R
Se llena el 2<N con el 3<N 2 2 3,R
Se llena el 2<N en el 1<N 4 7 3,R
Se llena el 2<N con el 3<N 4 2 1,R
Se ac/a el 2<N en el 1<N 9 7 1,R
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4 K91 21 1
= 9 = 9 198 8 198 198
178<
Es decir, el resuuesto destinado al comedor es el mayor y eldestinado a cada uno de los dormitorios el más e@ueBo<
&s/, odemos obtener un olumen de agua de 9 litr os<
a0 H/e sa-er %eer %as esta(7st!#as
Tama&o p!e< $o< El estudio se llear/a a cabo robablemente en escoI
7 2 17
R
9 1 7 4
1 K
lares y los niBos mayores, cuyos ies son más grandes, leen me=or@ue los menores, con ies más e@ueBos<
A##!(e$tes< $o< Se usa el auto más or los alrededores de casa<
Po%7t!#os< $o< & no ser @ue todos cobren e>actamente lo mismo<117< Puesto @ue los datos están ordenados y la mediana es:
R ⇒ a = R
'a moda de la serie estad/stica es ⇒
b =
Se&a%< Puede 0aber lugares en el r/o donde la roundidad sea muygrande<
*A
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A/toe"a%/a#!,$ M 32 dam = 32
dam
17 m
1 dam= 327 m
2< a 221
127
1 Gm 2
R42, 3 0m2 = R42, 3 0m2 = R, 423 Gm2177 2
b 23
27
* = 15, 5 *
10m
1777 dm
0m
= B, B1551M*
2
Coe"a%/a#!,$
17 7 7 7 cm 7 ,721 m2
= 7 , 721 m2
= 217 cm21 m2
M ngulo
2< −3, 4R G −3, 4 G −3, 444 G−9
4
1G − G
2 &rista
Diagonal
.+rtice
G 7 , 4 GR
3
4< a11 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 2 + 13 ⋅ 3 + a
⋅ 2 3 + 2 + 3 + 2
= 12, 4A#t!"!(a(es
K9 + 2 a= 12,4 ⇒ a = 14
172< 27
2+ 3R
2
=
192R = R 9R = 47 , 311<<<
El alor de a es 14<
b Moda< E>isten dos modas: 11 y 13<
Mediana< Aay dos datos centrales, 12 y 13<
El tercer lado mide 47,311<<< cm<
4< 2 ! 3 = 9 ! = 18,84K<<<
'a longitud de la circunerencia es 18,84K<<< cm< 12 + 13
2= 12,R Se trata de un nCmero irracional, uesto @ue es el roducto de
un nCmero racional or uno irracional<'a mediana es 12,R<
9<Módulo N+me r os =ra##!o$ar!osA#t!"!(a( !$!#!a%
Para aeriguar @u+ miembro de la amilia se aro>ima más al r ecio
real, amos a calcular el error absoluto cometido or cada uno de ellos<El recio e>acto de los art/culos comrados es:1,92 + 2,72 + 7,34 + 7,34 + 7,92 + 12,8R + 1,11 =
8,K7
El 0i=o aro>ima or truncamiento< Es decir, aro>ima todos losr eciosor deecto< Su error es: ⎜9 − 8,K7/ 2,K7<'a 0i=a aro>ima todos los recios or e>ceso< Su error es: ⎜13 − 8,K7/ 4,17<
El adre aro>ima una mitad de los recios or deecto y la otra mitad
or e>ceso< Su error es: ⎜K,R7 − 8,K7/ 7,97<'a madre aro>ima or redondeo< Su error es: ⎜K − 8,K7/ 7,17<
Obseramos @ue la madre, @ue aro>imó or redondeo, ue @uien seacercó más al recio real<
1
8< 'a rimera reresentac ión corresonde a R uesto @ue
E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a
M $aturales, enteros y racionales<
22
+ 12
= R@
17< !.M )odo nCmero racional uede e>resarse mediante el nCmero deciI
1 1 3 1 1
mal @ue resulta de diidir el numerador or el denominador de unocual@uiera de sus r er esentantes<
12< a L b2 4
2
21 R
L c K L d L e L L g <4 πI
$o todo nCmero decimal uede e>resarse como uno racional< Sólolos decimales limitados o ilimitados eriódicos<
14< a 7L b L c !<21
RM = 7, 278324
1+3
= 1,R4
2 = 1, 414<<<
22
7 1 2 2
2
9 1
7 1 2 2 9
2
8
7 1 2 8
12R
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esuesta abierta< 18< !esuesta abierta<
27< a 7L b 2
3 R = 9 ,78<<<
! = 3,141<<<
22< & = ⋅ R
= 1:, R cm2
2
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39 724< = 9
97: se trata de un 0e>ágono< 34< Para resoler el roblema diidimos la igura en 1 triángulo y 2
r ecI tángulos< &s/, odemos descomoner el roblema en dossubI
29<
9 ⋅ 11, R ⋅1 7
& =2
= 345:*2
r oblemas:
1<"a
lcular el área de cada una de estas iguras: 18 cm2, 2cm2 y 37 cm2<
2< Sumar estas áreas: 18 + 2 + 37 = R cm2<
2,8 cm 2,3 cm
"
&
4,1 cm
P = 4 ,1 + 2, 8 + 3 + 2, + 3, R = 19,1 cm
39< Descomonemos el roblema en las siguientes artes:
1< Aallamos el área del cuadrado: 19 m2
2< "alculamos las dimensiones del r ectángulo:
b W 0 = 19
El área del entágono es la suma de las áreas de los tres triánI2 0 W 0 = 19 ⇒ 0
=8 = 2, 83 m
gulos<
& = & & + & + & "
=
E$ res/me$
/ = 2 · 2,I3 = 5,LL
* 4 , 1 ⋅ 2 , 9 4 ⋅ 2 , 8 4 ⋅2 , 3= ++
= 1R, R cm2 M De i(@uierda a derec0a: metro, aralelogramos, ol/gonos regulares,
2 2 2
28< a Estimación de longitudes y alicación de órmulas< El intor estima la anc0ura y la altura de la ared ara calcular suárea< Si conoce el área @ue uede intar con cada bote,odrá saI ber cuántos botes necesita ara intar la ared<
bP &dición reetida< "ontamos el nCmero de cuadr/culas @ueocuI a el bos@ue en el maa< "omo sabemos el área @uecorresI onde a cada cuadr/cula, odremos estimar el áreadel bosI
metro cuadrado<
Eer#!#!os 0 pro-%emas38< n nCmero irracional s/ @ue uede e>resarse en orma deciI
mal, como un nCmero decimal ilimitado y no eriódico< Sin emIbargo, no uede e>resarse en orma raccionaria, ues esto esroiedad e>clusia de los nCmeros racionales<
@ue< 47< d = 22 + 22 = 8
as suericies de las roincias son las siguientes<El resultado es un nCmero irracional<
42< !acionales: 4,482R2L 8,4R4R4RL7, L 32, 2K L ,R9211 <
rracionales: R4,23R412<<<L 7,48R12R<<<
44< es un nCmero irracional< Demostración: Suongamos @ue
es un nCmero racional<
= a
b
con a y b nCmeros rimos entre s/
2
2 ⎛ ⎞ 2
" = ⎜a
⎟⎜
b⎟⇒ =
a
b2
⎝ ⎠ a
a2 a ⋅ a
Sib
es irreducible, tambi+n lo esb 2
=b ⋅ b
, luego es imosiI
a 2 =
a
ble @ue y, or tanto, es also @ue < En consecuenIcia, b2 b no es un nCmero racional y or ello
es un nCmer o
irracional<
_ $o, ya @ue es imosible obtener todas sus ciras decimales
y, or tanto, no odemos saber si más adelante emie(an a
r eI etirse<
49< a 17 12 X 321
17
7 1 2 3
17
32< "alculamos la longitud del otro lado de la inca< b 13 = 32 + 22 213
1K32 − KR2 = 198 m 1
'a suericie de la inca será:
2
, 9 c
m 4 c
m
$ombr e Suericie Gm2P
Pasta(a 2K R27
Morona Santiago 2R 9K7
Famora "0inc0ie 23 111Orellana 27 33
Sucumb/os 18 912
Manab/ 18 477
%uayas 1 13K
Esmeraldas 1R 219
$ao 13 21'o=a 11 72Pic0inc0a K 4K4
&(uay 8 93K%aláagos 8 717"otoa>i 9 R9K
'os !/os 9 2R4
El Oro R K88
"0imbora(o R 28"aBar 3 K78
mbabura 4 RKKSanto Domingo de los)sác0ilas 3 8R
Santa Elena 3 93
"arc0i 3 9KK
)ungura0ua 3 333,9ol/ar 3 2R4
2R3
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R ⋅ 198 = 1R K97 m2
7 1 2 3 13
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l a 1 e n t a
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c 27 = 42 + 22 2
27 c
& =17 ,
K
= 2 ,18 ⇒a
=, R
= 3 ,44 cm
1 2,18
] 4 ] 27
] 3 ] 2 ] 1 7 P = R W R = 2R cm
& =2R W 3, 44
= 43 cm2
48< a 2 3 13 L b 1 1R 4L c 3 3 3 9, en los dos 2tiángulos r ectángulos< P
& R4 , R cm
R7< a2 π L b
1 X R
R 2
_ =P 2R cm
= 2,18
R2< a 1 L b 3 L c L d & 274, 38 cm2
2 R2
R & = = 4 ,R
R4< a
1R L b R L c I2 R L d I 2 & 43 cm2
R9< r1 3
2
9 9
L r2 2<
_ 'a ra(ón entre er/metros de ol/gonos seme=antes es iguala la ra(ón de roorcionalidad entre los lados, @ue recibe elnombre de ra(ón de seme=an(a< 'a ra(ón entre las áreas deol/gonos seme=antes es igual al cuadrado de la ra(ón de
R8< a P = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 14cm
& = 4 ⋅ 2 , 9 = 17 , 4cm2
7< _ seme=an(a<2
0
b P = R1, R + R1, R + R7 =1R3 cm
& =R7 ⋅ 4R
= 112R
cm2
2
c P = 9 ⋅ 12 = 2 m
1,R 2 2 1,R :1,R
R
2 ⋅ 1 7 , 3K & =
2
= 34m2
;
1,R
d P = R + 2 + 1, 3 + 4 + 1, 3 + 2 = 1R, 9 cm
R + 4 P 1,
2 & 1 = =R, 4 cm2
2
& 2= R ⋅ 2 = 17
cm2
2
_ Aallamos la altura * alicando el teorema de Pitágoras:
& = & 1 + & 2 = R, 4 + 17 = 1R,4 cm2 "alculamos las áreas de las caras:
97< & =27 ⋅ 1 R
= 1R7
cm2
* = 22 −1,R2
= 1,32 m
2 &1 = &4 = 1,R W R = ,R m2
92< a 128 dm = 12,8 mL 82R cm = 8,2RmL
&2 = &3 = 2 W R = 17 m2
&R = 3 W R = 1R m2
14 + 1 2 , 8 P ⋅ 8 ,2R
& =2
= 117,RRm2
&9 = &
= 3 W 1,R +1
2
W 3 W 1,32 = 9,48 m2
94<
b 1,2R 0m = 12R mL 1R,2 dam = 1R2mL
12R + 1R 2 P ⋅89
& = =11 K11 m2
2
P = R ⋅ 477 = 2777 cm
&)otal = 2 W ,R + 2 W 17 + 1R + 2 W 9,48 = 92,K9 m2
Se necesita una suericie de madera de 92,K9 m2<
2< 'as áreas son iguales, mientras @ue la igura a tiene un er/meItro mayor<
2 777 ⋅ 2R & = = 2R777 cm2
2
4< d = K2 +142
= 19 , 94 cm
99< 7,9 cm
9< P = + 9 + 4 + 4 +2 +
& = & cuadrado
+ & traec
o =
+ 9 ⋅
2= 4 ⋅ 4 +2
12 +22
= 2Km2
= 2R, 24 m
3,8 cmP8
1, + 1+ 4 + 2 , 2 + 2 ,1R,1cm
c R
= > ?
3
@
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2, 3⋅ 7, 9 4, 1⋅ 2 R , 8⋅ 1, R R , 8⋅ 1 & = + ++ =
8< 02 X 12 22
0 22 − 12
=3 cm
2 2 2 2
= 12 ,74cm2
Obtenemos un nCmero irracional<
_ 0 1,32< De esta manera tenemos un nCmero racional<
98< _ P & = R W 17,K = R4,Rcm
84< 127 2 +1472
= 184 , 3K m
R4, R W , R & & =
2
= 274,
38
cm2
127 2 +1772
= 1R9 , 27 m
'a aotema del entágono 7 se obtiene a artir de la r elaIción entre ol/gonos seme=antes<
&s/, la longitud del cable seBalado en ro=o es:
184,3K + 1R9,27 = 347,RK m
2
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8789< 'ado del cuadrado = = 27cm
P = 2+
2 +2
= 4,8 cm
4
'as longitudes de los lados de los rectángulos serán de 27 cm y17 cm< Por lo tanto, el er/metro de uno de ellos será:
& = 1 2 W 1 = 1 cm2
2
P = 2 W 27 + 2 W 17 = 97cm
P8 = 2 + R +R
= R,K cm
88< !esuesta abierta<
K7< "omo las alturas de los tres triángulos coinciden, las bases delos triángulos guardan entre s/ la misma relación @ue sus áreas<
&s/, la base de 74( es 3 eces la base de 7(# es decir 3 3 =K cm< Del mismo modo, la base de 7;4 es 4 eces la de 7( ,es deI cir, 4 3 = 12 cm< Por tanto, las dimensiones deltraecio son:
= &" 12 + 3 = 1R
cm b = ED = K cm
&8 = 2 W 2 − &1 − &2 − &2 = 4 − 7,R − 1 − 1 = 1,R cm2
El menor triángulo rectángulo es el rimero de estos triángulos< El
área de los otros triángulos en unción de +sta se e>resa as/: &2 = 2 & &3 = 2 & &4 = &
&R = 4 & &9 = 4 & & = 2 & &8 = 3 &
El área de los cuadriláteros en unción de +sta se e>resa
as/: &1 = 2 & &2 = 8 & &3 = 4 & &4 = 4 &
A/toe"a%/a#!,$
0 = E = 4cm
2< n lado de la estrella midemetro es: P = R 17 = R7cm<
32 +42
= R cm< Por tanto, su er/I
Dem/estra t/ !$e$!o
Geop%a$o
a E>isten 3 cuadrados y 1 rectángulo dierentes no sueronibles @uese reresentan en la igura<
Si la searación entre los claos es de 1 cm, el er/metro y el áreade estas iguras es:
P1 = 4 W 1 = 4 cm &1 = 12 = 1 cm2
P2 = 4 W 2 = 8 cm &2 = 22 = 4 cm2
El área de los cinco triángulos es:
& = R9 ⋅ 4
= 97 cm2
2
El área del entágono central es:4< 'a reresentación correcta es la del aartado a.
Coe"a%/a#!,$
2< P = 4 + 3, 3 + 1 + 3, 3 = 11, 9 cm
P3 = 4 ⋅2 = R ,cm
&3 = 2&1 = 2cm2
0 = 3 , 32 −1, R2
= 2, K cm
P4 = 2 W 1 + 2 W 2 = 9 cm &4 = 1 W 2 = 2 cm2
b E>isten 8 triángulos dierentes no sueronibles @ue se r er esenI4< 1R7 2 +2972
= 377 ,1999274<<<
tan en la igura<
Si la searación entre los claos es de 1 cm, el er/metro y el áreade los triángulos será:
.alor aro>imado: 377 cm
P1 = 1 + 1 +2
= 3,4cm
A & artir de +ste módulo, se colocarán en la sección Solucionario,CniI camente las resuestas corresondientes a los aartados &ctiidad inicial, Ealuación diagnóstica y E=ercicios y roblemas,uesto @ue &1 = 1 1 W 1 = 7,R cm2
2 ara este momento, losas estudiantes 0abrán desarrollado la autoInom/a necesaria ara encontrar las soluciones de las actiidades, taI
P2 = 1 + 2 +R
2
= R,2cm
reas y ealuaciones de los modulos or s/ solos<
3c
2 = 12 + 22 =
R
N+meros rea%es
&2 = 11 W 2 = 1 cm2 Módulo Po%!$om!os
P3 = 1 + R +8
= 9,1cm
A#t!"!(a( !$!#!a%
b3= 12 + 22 =
R
L c3= 22 + 22 =
8
_ El nCmero de oro aarece en la irámide de eos, en el Partenón
&3 = 1 1 W 2 = 1
cm2
2
cuyo al(ado se inscribe en un rectángulo áureo, en el boceto delcuaI dro de Dal/ Leda at:mica# en las tar=etas de cr+dito dondelos laI dos están en relación aro>imadamente igual a B, en larelación
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P4 = 1 + 2 +R
= 4,cm
entre las longitudes de las alanges 0umanas y en el cálculo del nCI
mero de descendientes de una abe=a mac0o< &4 =
11 W 1 = 7,R
cm2
2
_ 'a relación entre los lados de un carn+ de identidad es:8 ,9 cm
PR = 2 + 2 +8
= 9,8cm
R, 4 cm = 1,9 C B
&R =
12 W 2 = 2 cm2
2
E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a
P9 = 2 + R +R
= 9,Rcm
M !acionales: 2
− L −1,2RL
Rπ
9 , 34
&9 = 12 W 2 = 2
cm2
2
rracionales: − 11 L L 1 −3
2 L −1, 272 772<<
3
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P r o 0 i b i d a
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M $o, or@ue en rinciio la cinta m+trica elegida sólo ermite medir 0asta los cent/metros: 1 cm, 2 cm, 3 cm<<<
M 1,414213 es ilimitado no eriódicoL
7 ,11R3849 es ilimitado eriódico mi>toL
3,141RKR<<< es ilimitado no eriódicoL
1,8 es limitadoL
K,48983<<< es ilimitado no eriódico
88<
−17b −2ab + 2b
M 2 W 4 = 8L 3 W 2R = RL1
94 = 19L 2aL 3aL1
a
<
CB@ ) N /) 1 − L/N :) C/ 2 + 3 − 20 / + 0/
L4 4 K2< a P1 = 2 W 13 + 8 W 12 + 2 W 1 − 12 = 73 2
M R −12 + 3 −11
= R −3
= b P2 = 2 W 2 + 8 W 2 + 2 W 2 − 12 = 47
2 2 2
M 4 a coeiciente:
4 arte literal:
a
9 a b coeiciente: 9
arte literal: a b− 2a b
2coeiciente: − 2
arte literal: a b2
Ma R a + 2b − 2a + 4b2 − 4b = 3a − 2b + 4b2
/) 5H + 2 − 2H + 4 − 4/ = 3H + L
Eer#!#!os 0 pro-%emas
99< Es erdadera< Entre dos nCmeros reales distintos siemreodeI mos encontrar otro nCmero real< na orma de 0acerloes 0allar el unto e@uidistante entre ellos, @ue es la semisumade ambos<
98< !esuesta abierta<
:) P(3) = 2 · 33 + I · 32 + 2 · 3 − 12 = 12BK4< S/, or e=em lo la suma de los olinomios x
5+ 2 x
2
H −5 + O9 67;97*;7 7 2Q 22 + @K9< El grado del olinomio cociente es la resta del grado del diidenI
do menos el grado del diisor <
K8< a P> W > =2>
2+ 4> − 8
3 − + 24>
2+ 8> − 19
− 2>3
− 4>2+ 8>
25 + 44 − I3
25 + 44 − 1B3
+ 1L − 1LbP En el anterior aartado se 0a obtenido P> W >, or tanto,
ara 0allar P> W >, basta multilicar el resultado de a or1
:2
7< − 1 <−3
< 7 <2
< 7 ,R
<
R < 3 = K < R
1P > P ⋅ > P = >R + 2 >4 − R >3 + 8 > − 8
2
4 1 2 − 3
k−2, RL b −3, −1L c 2, 9L d k−2,−1
4< a −9, 3< "entro = −1,R< &mlitud = Kk−2, 17< "entro = 4< &mlitud = 12
/) '−2,
3)9< a 2,787<<< , 2
b 7,2R , 7,3
:) C,5I04@@@ C,5C
>2
+ 2> − 3 : > + 3 = > − 1
/) 1 B − 0 L
>3 − > − 9 : > − 1 = >2 + > −9 c
8< 3 = 1, 32 7R7 878<<
&ro>imación: 1,3"ota del error absoluto: 7,773 >3 + 8>2 − 23> − 37 : > + 17 = >2 − 2> − 3
87< a 2 >L b 2 > + 1L c 2 >2L d 3 2 > +
1L
172< a > + 1P2 = > 2 + 2 > +1L
& > P = > 2 + 2 > + 1
) + ( + 1) + ( + 2)N R) 2
( + 1)2
b Suma de x con el anterior a x :> + > − 1 = 2 > − 1<
82< a −2 L b 7 &s/, ues: 2 > − 1P2 = 4 >2 − 4 > + 1
c )rile del nCmero siguiente a x :84< a 17 a − 27 bL b x − 17 ' c x − R + 4L d 2 b − a b
3 ⋅ > + 1 = 3 >+ 3
< Se tiene:
a a2 − b2 = a + b P a
− b P
89< b P a2
− 2R = a + R P a − R P
W a Rb −3a a − b
4 4a 27b −12a 4a − 4b
3a 3a2 1Rab −Ka2 3a2 − 3ab
−2b −2ab 2 9ab 2
a + b a2 + ab Rab + Rb2 −3a2 − ab a2 − b2
− 3 − 3 3
1 − 1 7
1 1 1 − 9
1 1 − 9 7
− 171 8 − 23 − 37
− 17 27 37
1 − 2 − 3 7
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− 1 ⋅ 3 > + 3 P = 3 > 2 + 3 > − 3 > − 3 = 3− 3L
" > P = 3 > 2 − 3d "ubo del nCmero anterior a x :
c P a ⎛ a
=+
⎞ ⎛ a ⎞> − 1
3
=
> − 12
⋅
> − 1
=
> 2
− 2 > + 1 ⋅
− 19K ⎝
4⎟ ⎜⎠ ⎝ 3
− 4⎟⎠
P P P P
⋅ > − 1 = >3 − 2 >2 + > − > 2 + 2 > − 1 =d P 4 a
2− 81b
2= 2 a + K b P 2 a
− K b P
= >3 − 3 >2 + 3 > − 1
4
2
3⎜
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Se tiene:
> 3 − > − 1P3 = >3 − > 3 − 3 >2 + 3 > − 1=
= 3 > 2 − 3 > +
1L
D > P = 3 >2 − 3 > + 1
Si utili(amos el m+todo de r educción:2a + b = 4 2a + b = 4 − a − b = 1 − 2a − 2b
=−2a = 3 − b =
2
b =−2
174< Para calcular Pa odemos roceder de los siguientes modos:
1 Sustituimos a en el olinomio P x y eectuamos las oeraI
ciones corr esondientes<2 Diidimos P x entre x − a< El residuo @ue se obtiene es igual aPa<
179< 'as osibles ra/ces enteras del olinomio serán los diisores delt+rmino indeendiente: 5 1L 5 2L 5 4<
El olinomio es P> = 3> − 2<
124< El olinomio debe tener los actores > − 3 > + 1 y > −2: P> = > − 3 > + 1 > − 2 = >3 − 4>2 + > + 9
129< Sea x el dinero @ue tiene el rimer amigo< El dinero del segundo
amigo es: >2 − R>
178< P 1 = 2 ⇒ a ⋅ 1 + b = 2 ⇒ a + b =
2
P 2 P = R ⇒ a ⋅ 2 + b = R ⇒ 2 a + b= R
El dinero @ue tiene el tercer amigo es:
2
.⎛ > 2 − R > ⎞ >4 − 17 >3 + 2R >2
a + b = 2 − a − b = −2/ ⎜ ⎟ = =
0 ⇒
0
2 a + b = R 2 a + b =R
⎝ 17⎠
177
1/ a = 3 1 17 2R = >4 − > 3 + >2 =
a + b = 2 ⇒ 3 + b = 2 ⇒ b = 2 − 3 =−1
177 177 177
El olinomio P> es: P> = 3> −1
117< a 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : >
− 3 "ociente: 3>2 + 2> +114
!esto: 397$o es diisor <
1 1 1 = >4 − >3 + >2177 17 4
'a cantidad de dinero @ue odrán reunir e>resada mediante un
olinomio es:
b 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : >
+ 1 "ociente: 3>2 + 1R> +18
D ( ) =
+
− 5
+
1 1 1> − > + >
⇒17 4
2 4 3 2
177!esto: 7
S/ @ue es diisor <
c 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : 3>2 + 3>+ 9
D⇒
( ) =
1
177 4
−
1 >3+
17
R >2 − 4 >4
"ociente: > + R
!esto: 12> − 12
$o es diisor <
d 3>3 + 18>2 + 33> + 18 : >2 − 4>
− 1 "ociente: 3> + 37
!esto: 1R9> + 48
$o es diisor <
112< a > > − 12
b > − 3 > + 1 > +3
c >2 − 3 >2 + 3 tambi+n odr/amos
escribir: > − D " > + D " >2 + 3
d 3mt 2+ 4t −9 = 3mt + 4t −9
e u2 − Ku + 14 + u2 − 2 P = u − u − 2 + 2 u − = u − u + 2 − 2
mnn2 − Rn + 9 = mnn − 3 n − 2
Aallamos la cantidad de dinero @ue odrán reunir si el rimer
amigo disone de 17 2<453SQ 1 1
> = 17 ⇒ D 17 P = ⋅ 174 − ⋅ 173 +177 17
R+ ⋅ 172 − 4 ⋅ 17 = 177 − 177 + 12R − 47 = 8R4
Podrán reunir 8R 2<453SQ
137< 'a e>resión algebraica de la diagonal e>istente, @ue es la @uecumlirán todas las ilas, columnas y la otra diagonal es:
2 > 2 − 1 + R> 2 + 1 + 4 2 > 2 + 1 =
= 2> 2 − 2 + R> 2 + 1 + 8> 2 + 8 = 1R > 2 + 3
114< a X bP2 a2 + 2ab + b2
118< a 2abL b R7>yL c >2L d 2Ry2
127< a3 1 3 P 2
2 1 2 P 3R 1 P 2
46 > 12 >
17 > 4 41 3 2 1 2
>
122< Sea P> = a> + b
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A1 132< a >2 − 2> −
8 b 3> + 9
c 9>2 − 4> − 2
+ *R>
+ 1 1 − 3
P1 = a W 1 + b =1
P2 = a W 2 + b =4
Para obtener los coeicientes a y b debemos resoler el sistema:a + b =
1
2a + b =4
134< a3
2
e2
>
b1
c>
m
gm [3
u 2
;
R b2d
2
1u X 1 0
*
2 > 2 − 61 2 + 3 1 2 + 2
2 2 2
41 2 31 2 − 4 2 > 2 +1
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N+meros rea%esPatro$es (e #re#!m!e$to %!$ea%
A#t!"!(a( !$!#!a%El nCmero de nenCares iene dado or:
$ = $7 ⋅ 2d U 2 , donde $7 es el nCmero de nenCares en un d/adetermiI nado y d es el nCmero de d/as transcurridos desde dic0o d/a<
a 9 ≠ 3 W 4< $o
ertenece< b 3 = 3 W 1< S/
ertenece< c 4 ≠ 3 W 2<
$o ertenece<
28< a
Precio ?
&l cabo de 27 d/as 0abrá: $ = 47 ⋅ 227 U 2
= 47 K97 nenCares<1R7 777
Seis d/as antes del d/a en @ue 0ay 47 nenCares0ab/a:nenCares<
E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a
$ = 47 ⋅ 2−9 U 2 =R
112 777
R 777
3 R77
+4 & −1
−2 ' −
R ⎛ 14 ⎞ = −5 + −3−
3R= −R11
2R R7 R 177 12R
Suericie m2
( ) ⎜ ⎟R * 4 4 3 ⎝ 8
⎠
R 12 97b
Ma R > L b P b3 L
−4
c P1
yR
M ⎛ 1 ⎞ 134
⎜ ⎟ = = L
3⎝ ⎠⎛ 2 ⎞
3−4
−K ⎛ 3 ⎞K
morte
?
8
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ L 9
⎝ 3 ⎠
3
⎝ 2 ⎠
−4
R
4
−11 3−−4" 113
⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ K ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2
⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⋅
⎜
⎟ = ⎜−
⎟
⋅ ⎜ ⎟ = 1
⎝ K ⎠ ⎝ −K ⎠
11
⎝ ⎠⎛
⎞18 ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠2R R7 R 177
Distancia Gm
=−
⋅
= − ⎜
⎟ 37< a "ada t+rmino se obtiene multilicando or 3 el nCmero @ue inI
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠ ⎝ K ⎠ dica el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en la sucesión: a n = 3 n <
M !acionales: 1L 4 L
−4L
L 2, 333
33<<<
bP "ada t+rmino se obtiene sumando a 98 el roducto de −4
rracionales: 3
2 L −
R 2
R L !
or el nCmero @ue indica el lugar @ue ocua dic0o t+rminoen la sucesión: a n = 98 − 4 n <
c "ada t+rmino se obtiene eleando al cuadrado el nCmero @ue inI19 4 1 1 4 2
L L = 5 dica el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en la sucesión: a 9
= n 2<
M 2R=
R
= 5 81 K 19K 13 d "ada t+rmino se obtiene sumando a −1 el roducto de 2 or
M 17> 177 > 2M 11, 22, 33 y 44L 1, R, 2R, y 12R
el nCmero @ue indica el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en lasucesión: a n = −1 + 2 n <
M aP
b
32
− 3 ⋅ 3 +
2
32 +
1 R2
− 3 ⋅ R +
2
R2 + 1
=2
=17
=
12
=29
1
R
9
13
e "ada t+rmino, e>ceto los dos rimeros, se obtiene sumanIdo los dos t+rminos inmediatamente anteriores: a n = a n −1
+ a n −2, si n 3 3<
"ada t+rmino se obtiene multilicando el nCmero @ue indica
c17
2− 3 ⋅ 17 +
2
172 + 1
= 2
171
el lugar @ue ocua dic0o t+rmino en la sucesión or este misImo nCmero disminuido en una unidad: a n = n ⋅ n − 1<
Eer#!#!os 0 pro-%emas 32< a a 1 = 4 − 3 ⋅ 1 = 1bP a1 =
R ⋅ 1 −
3
2 ⋅ 1
=2
= 12
18< a XR 2 +R R +R P−2 = +R P2+ R− 2 = +R R L
−K R ⋅ −K P4
a 2 = 4 − 3 ⋅ 2 =−2
a 3 = 4 − 3 ⋅ 3 =−R
a2
=R ⋅ 2 − 3
=
2 ⋅ 2 4
b −K P−3 ⋅ −K P2 = −K P ⋅ −K P ⋅ −K P ⋅ −K P =
M ódulo 4Suericieen m2 &x"
2R R7 R 177
Precio endólares &"
3 R77 R 777 112 R77 1R7 777
Distanciaen Gm &x"
2R R7 R 177
morte endólares &"
2 4 9 8
⎛ ⎞
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4 − 3 ⋅ 4 = −8 5 3 − 3⋅ 12
= −K PR+ 4+ 3− 2 =
−K P17R 4 3 −2 a R = 4 − 3 ⋅ R =
−11
3 =
a4 = 2 ⋅ 3
R ⋅ 4 − 3
= = 29
=1
27< a L b H 22 x 2z 2L c H R Ld
x
1Rc + 217a
1 3 a5
=
2 ⋅ 4
R ⋅ R − 3
8
=22
=11
22< a 1L 1L
1L
1L b
L
11L
RL1K
L c 7L L 1L L 2 L c 3 ⋅ 1 − 21
2 ⋅ R 17 R
2 3 4 2 4 2 8 2 2 a1 = = =
11 1
d 12 − 2 −1
d H 3L H 1L 1L 33 ⋅ 2 − 2
4
a1
= =2 ⋅ 1 2
a2
= = =2 22 2 2 1
24< Para deducir la e>resión algebraica de una unción lineal, esneceI
2 2a =
−= =
sario conocer dos untos: el 7, 7 y otr o<
Para deducir la e>resión algebraica de una unción a/n nolineI al, es necesario conocer dos untos<
3 ⋅
3 −
2
3
3 ⋅ 4 − 2 =
3
17 R
a 3
=
2 ⋅ 2 4 2
32 − 2 =2 ⋅ 3 9
42 − 2 14
29< 'a gráica de la unción lineal asa or el unto 2, 9 y, or tanI
to, cumle:
y = m>L 9 = 2m , m = 3
'a unción lineal es = 3 x <
5
=
4
3 ⋅ R − 2R
= =
4 2
=13
R4 =
5 =
2
⋅4R2− 2
2 ⋅5
= =
8 4=
23
17
2
D i s t r i b u c
i ó n
g r a t u i t a
I P r o 0 i b i d a
l a 1 e n t a
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34< 'a p!e'a es un triángulo de base igual a la mitad del lado delcuaI drado @ue limita el tangram y de altura igual a la cuartaarte del lado de dic0o cuadrado<
Su área es: &=
2 R ⋅ R
2
2 ⋅ R = = R cm2
2
P!e'a 2: 4 R ⋅ 2 R 8 ⋅ R = 27 cm
'ongitud m?
2R
27
1R2 217
'a p!e'a 3 es un cuadrado< Para 0allar la medida de su lado 0ay@ue calcular la diagonal del tangram ya @ue el lado de la ie(a 3es una cuarta arte de la diagonal del tangram:
R
9 12 18 24 <ura m
Pendiente: 27=
R
d2 = 4 R 2 + 4 R 2 = 19 ⋅ R − 19 ⋅ R =197
24 9
d = 197 =2R ⋅ R =22
17 = 417
& las 11 de la maBana el Sol está más alto, or lo @ue laendiente de la unción es menor y, or tanto, las sombras seránmenores<
El área de la ie(a 3 es: &=
17 ⋅ 17 = 17 cm2 , resultadoco0er ente
44< a t = R min = 377 s
uesto @ue tiene el doble de suericie @ue la ie(a 1<
El área de la p!e'a 4 es la misma @ue la de la ie(a 2< Su alor
es 27 cm2<
e = W t = 1,R W 377 =
4R7 es = 4R7 + 177 =
RR7!ecorrerá 4R7 m y se encontrará a RR7 m de la seBal<
El área de la p!e'a * es la misma @ue la de la ie(a 1< Su alor es Rcm2<
b 377 = 1,R W t,
t =377
=277
1,R
'a p!e'a es un triángulo de base y altura iguales a la mitad del
&l cabo de 3 min 27 s<
c e = 1,R W t + 177
lado del cuadrado @ue limita el tangram< Su área es:
2R⋅ 2 R & = =
17 cm2
2
'a p!e'a 6 es un aralelogramo de base igual a la mitad del lado
del cuadrado @ue limita el tangram y de altura igual a la cuarta
arI
d Distancia Gm
2 777
1 977
1 277
877
477
277
477 977 877 1 777
)iemo min
te de dic0o lado< Su área es:
38<'os datos conocidos son:
a 1 = 27L a 9 = 3RL n = 9
3R = 27 + Rd
1R = R d ⇒ d = 3
& = 2 R⋅
R = 17cm2
49< _ 1, 4, K, 19, 2R, 39, 4K, 94, 81, 177$o es una rogresión aritm+tica<
_ 3, R, , K, 11, 13, 1R, 1, 1K
Obtenemos una rogresión aritm+tica de dierencia 2 y cuyorimer t+rmino es 3<
_ 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2Se obtiene un alor constante, 2<
'as etaas serán de: 27, 23, 29, 2K, 32 y 3R Gm<27 + 3R P ⋅ 9 E#/a#!o$es e !$e#/a#!o$es (e
Sn = =19R2 R pr!mer ra(o
Aabrán recorrido 19R Gm<
47< a
Módulo D!aramas (e ta%%o 0 <oas
morte P12
17
8
9
4
2
1 2 3 4 R)iemo 0
Sin lantear toda/a una ecuación odemos ra(onar de la siguientemanera: Si el lado desigual del triángulo es una arte del total del er/Imetro, cada uno de los dos lados iguales serán tres artes de ese toItal< Por lo tanto, 0emos diidido el er/metro en artes iguales 1 +3
42<
b m =7<
'ongitudm
?
37
de 37 m y dos lados de K7 m 37 W 3 cada uno<
M El doble de 9 es 9 W 2 = 12<
El trile de 12 es 12 W 3 = 39<
'a @uinta arte de 2R es 2R : R = R<
_ Doble: 2 W a
24 )rile: 3 W a a18
12 9
& = =
<ura del ediicio en
metros &x"9 12 18 24
'ongitud de la sombra a las
17 de la maBana en metrosR 17 1R 27
)iemo en 0oras &x" 1 2 3 4 R
Precio en dólares &" 12 12 12 12 12
<ura del ediicio en
metros &x"9 12 18 24
'ongitud de la sombra a las
8 de la maBana en metros,R 1R 22,R 37
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<ura m
uinta arte: R• 2 3 4 3
19 12 18 24 ⋅ − 2 − ⋅ − P ⋅ = 2 ⋅ K − −9 P =2
Pendiente: 37=
R= 18 + 9 = 24
24 4
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M RL7 L − 1L − 1,RL − 2L −3L − 4
b − − 1 = R + −9
− 1 − R = + L −9 = 2 L = = −32
_4 _3 _2 _1 7 R
_1,R
M
c x + 8 + 3 x − 3 = 2 x − 3 x + 3 x − 2 x = −3 − 8 + 3L 2 x = −8L x =
−8= −4
2d 1 + x = R − x
x + x = R − 1L 2 x = 4L x =4
= 22
e z − 2 = −3 z − 17z + 3 z = −17 + 2L 4 z = −8L z =
−8= −2
4
M!esuesta sugerida: 3,2L 3,4 y 3,9<
Eer#!#!os 0 pro-%emas
94< 'a suma de las e>resiones algebraicas de la tercera columna es
x + 8
= x
2 x + 8 = 2 x L 8 = 2 x − x L x = 8
87< a R 3 c 3 −
igual a 1R< 2> − 2 + 3 > − 2 + 8 = 1R 1 1b 2 8 d 9
3 R
2> − 2 + 3> − 9 + 8 = 1R
2> + 3> = 1R + 2 + 9 − 8
R> = 1R
> =1R
=
3R
&l 0allar el alor num+rico de las e>resiones algebraicas de lariI mera ila ara x = 3 se obtiene:
82< $o< Por e=emlo, si consideramos las desigualdades 37 T −R y−2 T −3 y las multilicamos miembro or miembro, obtenemos ladesiguladad −97 G 1R<
84< Sólo se cumle si a y b tienen el mismo signo< ueda e>cluido elcaso de @ue a o b sean cero ya @ue la diisión or cero no tienesentido<
Estos e=emlos cumlen la condición:
R 1 1
3 < R ⇒ 1 < ⇒ < L2 y + 4 3 R 3
2 + y + + 4 = 1R
y = 1R − 2 − − 4 = 2
El alor de x es 3 y el alor de es 2<
99< a "iertaL b alsaL c ciertaL d cierta
98< 'a solución es x = 8<
7< Se ueden rooner ininitas ecuaciones e@uialentes a una dada<'a solución siemre será la misma<
a Multilicamos, or e=emlo, or 2:
− < −9 ⇒ 1 9 −9
⇒ 1
< 1
− −9 −
En cambio +stos no la cumlen:
R 1 1−3 < R ⇒ 1 9 ⇒9 L
−3 R −3
9 −9 ⇒ 1 9−9
⇒1
<1
−9
89< !esuesta sugerida:
4 > − 17 = 17 > +4 L
> = −3a > = 7, > = 1 y > = 2
b > = 7, > = 1 y > = 2
b Multilicamos, or e=emlo, or R:27 > − 1 = 1R > + 2L > = 2
c Multilicamos, or e=emlo, or 3:
K > − 1 − 97 = 21L > = 17
d Multilicamos, or e=emlo, or 2:
4 > + 3 + 17 = 18L > = −1
e Multilicamos, or e=emlo, or 3:
88<c > = 1, y 2L > 1, y R y > 1, y 1
2 > − 3 =3 > +
1RL
2
> =21
K7< !esuesta sugerida:
Multilicamos, or e=emlo, or 2: 2> F 17
2 (> + 3) F 19 > + 2
2
> + 1
−= 4 L3
−1
> = 27
KK2<
_ Son e@uialentes<
12
a R > − 2 > 2 K + 3 E > 2 = 4
2< a > = 7 L b P >=
L c P > = L3 2 3
d P > =1
L e > = −32
4< dentidades a y b<
29c x = = 13L d x = 12 − 8 = 4<
2
2b 2 > < 21 + 9 E > <2
9< 18< a 3 x + 2 = x − 9
3 x − x = −9 − 2L 2 x = −8L x =
−8
=−4
c − 4 > − > < 12 − 12 E > 9 7
2 7S 7, X
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d 14 > − 8 > − 9 > < −3 + 2 E 7 > <−1
S = F
e 2 > − 1R > + 13 > < 3 − 8 − 3 E 7 >< −8
S = F
−3 > − 2 > − R > 3 1 − 12 + 1 E >2 1
g −R > + 3 > + 2 > 9 21 − 1 E 7 > 927
S = F
0 R > − R > < −K + 1R − 9 E 7 > < 7
177< 'lamamos x a los Gilogramos de asta< Por tanto, los Gilogramosde a(Ccar serán 3 x y los de arro( 9 x <
x + 3 x + 9 x = 1277
17 x = 1 277L x = 1 277 =127
17Se 0an recogido 127 Gilogramos
de asta, 397 de a(Ccar y 27 de arro(<
172< a 18 x + 7,R
b 18 W 3 + 7,R W R23 = 449,2R
Debe agar 449,2R<
174< Mo0ammed bn Musa &lI0;ari(mi nació en la ciudad de 0I;ari(mi actual 0ia, en (beGistán en el aBo 83<
179< !esuesta abierta<
S = F 178< 'lamamos x al tiemo @ue tardar/an los
dos intores en intar la ared<
> >+ = 12 3
⎛⎞ 3R−217 > − 24 > < 1R − R7 E > 9 9 ⋅ ⎜
> > +⎟
= 9 ⋅ 1
234 2 3⎝ ⎠
9 ⋅>
+ 9 ⋅>
= 9 ⋅ 12 3
= −2 > − 3 > + > 2 4 − 17 + 9 E
> 2 7 )ardar/an 1,2 0oras en intar la ared<
3 > + 2 > =
9R > = 9
9> = = 1,
2 R
G
l
K4< a
2K3 > − 8 > 2 27 + K E > 3 −
R
R > − 2 > + 3 > 2 37 + 1 + 1R + 2 E> 2 8
2 > − 3 y 9 R
2 2 − 3 (− 1) = 4 + 3 = 0⋅ 9 R ⇒ 2, − 1 es solución de la inecuación <
117< a 'lamamos x al nCmero de 0oras @ue tarda el bus en alcan(ar al automóil<
El nCmero de 0oras @ue el automóil lleará de ia=e 0asta@ue el bus le alcance es x + 2<
'a distancia @ue 0a recorrido el bus uede e>resarse como127 x y la @ue 0a recorrido el automóil como K7 x + 2<
127 > = K7 > + 2
12B = CB + 1IB
12B − CB = 1IB
3B =
1IB> =
18 7= 9
37b P 4 > + 3 y 9 7
4 2 + 3 ( −1) = I − 3 = 5⋅ ⋅5 T B ( 2, −1) 97 S S7O:;<9 ⇒;9:O:;<9@
K9< $ingCn alor es solución del sistema<
K8< a Primera inecuación:
Se encontrarán desu+s de 9 0oras de la salida del coc0eLes decir, a las 19 0oras<
b 127> = 127 W 9 = 27
Aabrán recorrido 27 Gm<
112< 'lamamos x a la longitud del cateto más e@ueBo< &s/, laecuación @ue tenemos @ue resoler es:
> <−1
⇒ S⎛
−1 ⎞= − G ,
> ⋅ > + 1
⎜ ⎟⎝ ⎠
= 17
2Segunda inecuación:
> 9 −17 ⇒ S2 = −17,+ G"
b Primera inecuación:
> 3 R ⇒ S = HR, +
G" Segunda
inecuación:
> 9 −1 ⇒ S2 = −1, +G"
!esolemos la ecuación or el m+todo de ensayoIerror y obteInemos x = 4< Por lo tanto, los catetos miden 4 cm y R cm<
119< El er/metro del triángulo es 3 x y el del rectángulo ale: 2 x + 17<'a condición del enunciado es:
3 > < 2 > + 17
G 1B118< Sea x la aortación de Mónica< Entonces, la de ./ctor es: x −4,8<
c Primera inecuación:
> < 3 ⇒ S = − G,3"
Se tiene:> + > − 4 ,8 9 18 ⇒ > 9
22,8= 11, 4
2
Segunda inecuación: > 2 ⇒ S2 = − G, I
i
3
3
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d Primera inecuación: 'a aortación de Mónica 0a sido suerior a 11,4<
127< !eresentamos or x el nCmero de asos @ue se deben comIrar <
K + 7 ,R ⋅ > − 12 P 2 7 ,9 >
K + 7 ,R > − 9 2 7 ,9 >
3 & 3 ⎞ 7 ,R > − 7 ,9 > 2 − K + 9> 3 ⇒ S
=(
, +G⎟R R ⎠
− 7 ,1> 2 −3 ⇒ > 33
= 37Segunda inecuación:
> < 1K ⇒ S2 = − G,1K"
7 ,1
Se deben comrar un m/nimo de 37 asos<
A
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7/21/2019 Guia de Docente Matematica 9no
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122< !eresentamos or x la nota @ue uede 0aber obtenido en latercera rueba<
134< > , aumento de la elocidad en GmU0
$ota media: 9 + + > =
13 + >
necuación: 4
9 + > 9 E >9 2
7 ,R 3 3
Deberá aumentar la elocidad en más de 2 GmU0<Se tiene el siguiente sistema de inecuaciones:
13 + > .
9 9 ,R/
L7$eas (e s!metr7a
3 / ?reas
013 + >
< ,R Módulo Me(!(as e$ ra(os (e )$/%os $ota-%es
3Primera inecuación: Segunda inecuación:
13 + > 9 1K,R 13 + > < 22,RA#t!"!(a( !$!#!a%Primero dibu=amos el rimer ediicio y la calle a escala 1:2 777<
> 9 1K,R − 13L
> 9 9 ,R
> < 22,R −
13
> < K,R
& continuación, buscamos el centro de la calle y traI & A
(amos el e=e de simetr/aL de esta manera, el segundo
eAf &f
'a solución del sistema de inecuaciones es: S = 9,R, K,R< Esdecir , uede 0aber obtenido una nota mayor @ue 9,R y menor @ueK,R<
124< Part imos de @ue los ángulos de un 0e>ágono regular son de127N, ya @ue se uede descomoner en cuatro triángulos y seobtiene: >
ediicio nos @uedará en el otro lado de la calle<
Por Cltimo, dibu=amos el segundo ediicio, sim+trico"
al rimero< DE
E"a%/a#!,$ (!a$,st!#a
f
"fEf Df
4 ⋅ 187 N UJ = = 127 N
V
De la igura se deduce, or simetr/a, @ue: J
α = K = =97 N <
2
A .eamos cómo tra(ar rectas aralelas con regla y escuadra<_ "olocamos uno de los lados @ue orman el ángulo recto de la esI
cuadra sobre la recta r <
_ &oyamos la regla sobre el otro lado de
la escuadra @ue orma ángulo r ecto<
r r
En el triángulo dentro del 0e>ágono, el tercer ángulo ale tamIbi+n 97N< &l ser los tres ángulos iguales y dos lados iguales, esun triángulo e@uilátero< Por tanto, la relación entre el radio r de lacircunerencia y el lado x del rectángulo es: x = r <Si el er/metro del rectángulo 0a de ser mayor @ue la longitud dela circunerencia, se tiene:
22 > + 2 ⋅ 2 9 2 ! ⋅ > ⇒ 2 > ! − 1P < 2 ⋅ 2 ⇒ > <! − 1
128< 'lamamos x a la altura de la lámina grande antes de recortarla<
_ Desli(amos la escuadra sobre la regla,
suI =etando +sta con uer(a ara imedir
@ue se muea< De este modo,
obtenemos r ecI tas aralelas a r <
A
&
27 > − 14 > − 9 = 14
27 > − 14 > + 84 = 14
27 > − 14 > = 14 − 84
9 > = K7
> =K7
= 1R9
'os untos de la mediatri( e@uidistan de los e>tremos del segmento<
M
4RL K7L
'a altura de la lámina antes de recortarla era 1R cm<37L 137L
27L
137< $Cmero de minerales "a=as
> > + 1R
> − 1 > − 1
4
&s/, se cumle @ue:
M El rimer oliedro es cone>o, ya @ue todos sus ángulos son
cone>os< El segundo oliedro es cóncao, ya @ue tiene ángulos
cóncaos<
M !ectángulo & b W 0
"uadrado & a2
!omboide & b W 0
> > − 1+ 1 =
⇒ > =2R
!ombo & =
D ⋅ d
2
R 4 )riángulo & =
b ⋅ 0
Por lo tanto, Silia tiene 2R minerales y 9 ca=as< 2
132< 3 > − 2 2 12 ./0
− ( 3 − 2 ) F2
1/
Primera inecuación:
)raecio
3 > − 2 2 12 E > 2 14
3 Pol/gono regular
+ b ⋅0
& =2
& = P ⋅ a
Segunda inecuación:
−
3
⎛S = ⎜ −G ,
⎝
17
−3
14 '
3 ⎦⎥⎥
/
9
% %f
- -f
r r 9
K7
7
K7
187
'áminagrande
'áminae@ueBa
ase 27 14
<ura > > − 9
rea 27 > 14> − 9
K7
187 7
7
K7 K7
187
7
187 187
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g r a t u i t a I P r o 0 i b i d a
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7 4
"/rculo
Sectorcir cular
Segmentocir cular
2 r 2 & =
! r⋅ n = l ⋅
r
397 2
! r 2 b ⋅ 0 & = ⋅ n −&
S2
= (−
⎣⎢
6
17 ⎞, + G⎟
3
⎠
k4 l
397 2
"orona circular & ! !2 −
r 2P )raecio cir cular
& ! r 22
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M &licamos el teorema de Pitágoras: 29< &esera = 4 ! r 2 4 ! r 2
= 40 = 2R2
+
322
= 41 cm &c/rculo má>imo = ! r 2 ! r 2
M 1< Dos triángulos son seme=antes si tienen dos ángulos iguales<
2< Dos triángulos son seme=antes si tienen los lados r oor cionales<El área de la esera es cuatro eces la de un c/rculo má>imo<
3< Dos triángulos son seme=antes si tienen un ángulo igual y los laIdos @ue lo orman son r oor cionales< 28< a & = 3 a
2
=
3 W 42 = 2: ,1
_ Para los triángulos rectángulos estos criterios se reducen ados:
El área del tetraedro es de 2 ,1 cm2<
Dos triángulos rectángulos son seme=antes si tienen unángulo agudo igual
b & = 2 3 a2
=
2
3 ⋅ R2
= 89,97
Dos triángulos rectángulos son seme=antes si tienen los cateI El área del octaedro es de 89,97 cm2<
tos roorcionales, o un cateto y la 0iotenusa r oorcionaIles<
c & =R
3 a2 =R
3 ⋅ 92 = 311,
M Primero alicamos el teorema de Pitágoras:
El área del icosaedro es de 311, cm2<
d & = 9 a2 = 9 ⋅ 2 = 2K4
b = a 2 − c2 = 8 ,R2 − ,92 = 3,8 cm El área del cubo es de 2K4 cm2<
&licamos el teorema de )ales:
b M = aM
e & = 37 a ⋅ a = 37 ⋅ 1,8 ⋅ 1,24 = 99,K9
El área del dodecaedro es de 99,K9 cm2<
b a37< )etraedr o:
a M =a ⋅ b M
=8, R⋅ R ,
= 12,
cm & = 3 a2
L 247=
3 a2L a2 = L 2 4 7
b
b M=
c M
3,8 3a
2= 138,R9L a = 11,
b c 'as aristas del tetraedro miden 11, cm<
c M =c ⋅ b M
= , 9⋅ R ,
= 11,
4 cm
Octaedro:
b 3, 8 & =2
3 a2 L 247 =2
3 a2 L a2 =L
247
Eer#!#!os 0 pro-%emas
27<
2 3a2 = 9K,28L a = 8,32
'as aristas del octaedro miden 8,32 cm<
32< En rimer lugar, 0allamos la longitud del lado del cuadrado y el
aotema de la irámide<
l2 X l2 1R2L 2l2 22RL l2 112,RL l 17,912
22< D & -
E
a = ⎜
⎝"
⎟ + 12
=2 ⎠
310,14 = 10, I
O" E
P ⋅ a
2
42 , 4 4 ⋅ 1 ,
81
2
- &
& e
D
& W878 = W8 + W/S = 300,C3 + 112,5 = 4CB,43
4K7,43 cm2<
" "
- E E
D D
34@ ) W8 = 2 π · = 2 π · 2 · 0 = I0,CL
- El área lateral del cilindro es de 8,K9 cm2 y el área total, de113,17 cm2<
24<b
g = 32
+ 4 2
= R
W8 = π = π 3 5 = 40,12⋅ ⋅ ⋅
W878 = π ( + ) = π 3 (5 + 3) = 05,4B⋅ ⋅lateral del cono es de 4 ,12 cm2 y el área total, de R,47cm2<
c2
>
& = R 3 a2 = R 3 ⋅ 92 = 311,
& = 2 3 a2 L 247 = 2 3 a
2 L a2 = L
247
f
P
7 e1
e2
e1
7 e2
e3
e
e1
4
c m
c m
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r R
g2
3 cm
r=
2L r =
2 ⋅ 3
3
= 1, R
3 4 4
R=
>L > =
R ⋅ 2= 2, R
4 4 2 4
6
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g = R − > = R − 2,R = 2,R
&lateral = ! g ⋅ ! + r = ! ⋅ 2,R ⋅ 3 + 1,R =3R,34
&total = ! g ⋅ ! + r + ! !2 + ! r 2 = ! ⋅ 2,R 3+ 1,R +
a El 0omólogo de es el +rtice ;. 'as nueas coordenaI
das de serán 65 9,< )ra(amos semirrectas aralelas
desI de los otros +rtices 7# ; y 4# y obtenemos 7# ; y
45.
39<
El área lateral del tronco de cono es de 3R,34 cm2 y el
área total, de 7,9K cm2<
sen α = −7 ,8 L cos α = 7 ,9 L
tg α =−7, 8
= −4
Df 9,11 "f 17,11
&f 9,D
f 17,7 ,9 3 "
sen K = 7 ,9 L cos K = 7 ,8 L tg K =7, 9
=3
sen J = 7 , 43L cos J =−7 ,K L
7 ,8 4
&
tg J =7 , 43
−7 ,K
43= −
K7O
sen N = −7 , L cos N = −7 , L tg N =
38< a 187N 129N R4N
sen 129N sen R4N
cos 129N cos R4N
tg 129N tg R4N
b 248N 187N 98N
sen 248N sen 98N
cos 248N cos 98N
tg 248N tg 98N
c 397N 3R7N 17N
sen 3R7N sen17N cos 3R7N cos17N
tg 3R7N tg 17N
d 117N X 187N 7Nsen 117N sen
7Ncos 117N cos 7Ntg 117N tg 7N
=1
−7 , b )ra(amos semirrectas con origen en cada uno de los +rtices
y @ue asen or 7< Determinamos as/ los +rtices 0omólogos<
47< Si reali(amos una simetr/a a>ial al relo= con e=e de simetr/a e#
uedes er @ue son las cuatro y die(<
c )ra(amos semirrectas erendiculares al e=e de ordenadas con
42<
e
D 2, " 9,
tices 0omólogos<
"fI9, Df I2, " D
f I9,3
O
&f I2,3 &
O
62
D "
&
O
f I9,I3
&f I2,I3P
"f I9,I Df I , I
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