Fundamentos de RobóticaHerramientas Matemáticas para la Localización Espacial
Matrices de Rotación
Ricardo-Franco [email protected]
Escuela Universitaria de Ingeniería MecánicaUniversidad de Tarapacá
Arica, Chile
April 16, 2015
R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, 2015 1 / 27
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1 Representación de la posiciónCoordenadas cartesianasCoordenadas polares y cilíndricasCoordenadas esféricasRepresentación gráfica de la posición en Sage
2 Representación de la orientaciónMatrices de rotaciónComposición de rotacionesÁngulos de EulerPar de rotaciónRepresentación gráfica de la orientación en Sage
3 Referencias
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Representación de la posición
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1 Representación de la posiciónCoordenadas cartesianasCoordenadas polares y cilíndricasCoordenadas esféricasRepresentación gráfica de la posición en Sage
2 Representación de la orientaciónMatrices de rotaciónComposición de rotacionesÁngulos de EulerPar de rotaciónRepresentación gráfica de la orientación en Sage
3 Referencias
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Representación de la posición Coordenadas cartesianas
Coordenadas cartesianas en 2 y 3 dimensiones
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Representación de la posición Coordenadas polares y cilíndricas
Coordenadas polares y cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas especifican “r” la magnitud de laproyección del vector “p” en el plano “OXY”, “θ” el ánguloentre esta proyección y el eje “OX”, y “z” la proyecciónde “p” en el eje OZ.
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Representación de la posición Coordenadas esféricas
Coordenadas esféricas
Las coordenadas esféricas especifican “r” la magnitud del vector“p”, “θ” el ángulo entre su proyección en el plano “OXY”con el eje “OX”, y “φ” el ángulo entre “p” y el eje “OZ”.
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Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage
Dibujando un sistema de coordenadas 3D en Sage
“vect_x, vect_y, vect_z” son vectores unitarios.
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Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage
Dibujando un vector 3D en Sage
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Representación de la orientación
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1 Representación de la posiciónCoordenadas cartesianasCoordenadas polares y cilíndricasCoordenadas esféricasRepresentación gráfica de la posición en Sage
2 Representación de la orientaciónMatrices de rotaciónComposición de rotacionesÁngulos de EulerPar de rotaciónRepresentación gráfica de la orientación en Sage
3 Referencias
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Producto punto
Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Producto punto
Considerando un sistema de referencia OUV, un vector “P” sepuede expresar como P = pu iu + pv jv , con iu y jv vectoresunitarios.
Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Matrices de rotaciónSi P = pu iu + pv jv es un vector descrito en OUV, y si OUV esmóvil y está rotado α grados en relación a OXY, entonces:
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Matriz de rotación 2DConsiderando px = ix · (pu iu + pv jv ) y py = jy · (pu iu + pv jv ):
Donde,
es llamada: “matriz de rotación”.
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Matriz de rotación 2D
cos(90 + α) = −sen(α)Cuando α = 0, R es igual a la matriz identidad.
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Matriz de rotación 3DEl mismo principio:
Donde,
es llamada: “matriz de rotación”.
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Rotación sobre eje OX
matriz básica de rotación
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Representación de la orientación Matrices de rotación
Rotación sobre eje OY y OZ
matriz básica de rot. matriz básica de rot.
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Representación de la orientación Composición de rotaciones
Rotación α, φ, θLas matrices de rotación en general pueden componerse dematrices de rotación básicas.Si se rota α alrededor de OX, φ alrededor de OY, y θ alrededor deOZ, se obtiene:
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Representación de la orientación Composición de rotaciones
Rotación θ, φ, αSi se rota θ alrededor de OZ, φ alrededor de OY, y α alrededor deOX, se obtiene:
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Representación de la orientación Composición de rotaciones
Multiplicando matrices con expresiones en Sage
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Representación de la orientación Ángulos de Euler
Ángulos de Euler WUW
φ alrededor de OZθ alrededor de OU’ψ alrededor de OW”
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Representación de la orientación Ángulos de Euler
Ángulos de Euler WVW
φ alrededor de OZθ alrededor de OV’ψ alrededor de OW”
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Representación de la orientación Ángulos de Euler
Ángulos de Euler XYZ
ψ alrededor de OXθ alrededor de OYφ alrededor de OZ
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Representación de la orientación Par de rotación
Par de rotación
La aplicación de un par de rotación que rote un vector “p”un ángulo “θ” alrededor del vector unitario “k” se realizaa través de la siguiente expresión:Rot(k , θ)p = p cos(θ) + (k × p)sen(θ) + k(k · p)(1 − cos(θ))
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Representación de la orientación Representación gráfica de la orientación en Sage
Rotando un sistema de coordenadas 3D en Sage
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Referencias
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1 Representación de la posiciónCoordenadas cartesianasCoordenadas polares y cilíndricasCoordenadas esféricasRepresentación gráfica de la posición en Sage
2 Representación de la orientaciónMatrices de rotaciónComposición de rotacionesÁngulos de EulerPar de rotaciónRepresentación gráfica de la orientación en Sage
3 Referencias
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Referencias
BibliografíaBarrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007,Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill.
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