FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICA II SEMESTRE ACADEMICO
ECONOMICAS 2015-2
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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Una función de real f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un numero,
que se escribe como
f(x, y, z, ...)
a partir de los valores ó variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay
dos variables independientes, una función de valor real de tres variables
si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se
pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de
valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma
gráfica (por medio de una gráfica).
Espacio tridimensional y la gráfica de una función de dos variables
Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como mostramos en
la siguiente figura.
La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz.
(Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz.
(Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del
plano xz.)
La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy.
(Si la coordenada z es negativa, el punto está debajo del plano xy.)
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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos
(x, y, f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de
(x, y) en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de
todos puntos (x, y, z) tal que
z = f(x, y).
1) Graficar el dominio de la función:
xsenyyxf cos),(
Solución
1. Como xsenyyxf cos),( cos 0xseny
cos 0 0 cos 0 0x seny x seny
2. Graficando
cos 0 0x seny
5 3 3 5 7 9....... , , , ,
2 2 2 2 2 2 2 2x
....... 2 , 0, 2 ,3 ....y
3. Lo mismo con cos 0 0 cos 0 0x seny x seny
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2 Graficar la función:
yxyx
yxyxyxf
3),(
22
Solución
1) Primero se grafica el paraboloide,
luego lo “cortamos”
con el plano x=y
2) Por ultimo graficamos
el plano z=3-x-y
LÍMITES Y CONTINUIDAD El estudio de los límites de funciones de varias
variables es mucho más complejo que el de
funciones de una variable, pues en este, únicamente
se tiene dos caminos para acercarse a un punto, por
la derecha o por las izquierda , lo llamamos limites
laterales; mientras que en el caso de varias variables existe muchas
“formas”, para acercarnos a un punto (a ,b) como lo muestra la figura, lo
cual llamamos caminos.
Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el
caso para funciones de n-variables es análogo.
Definición
(Disco de radio y centro P) Un disco D(P, )
abierto, o simplemente un disco, de radio 0 y
centro en P=(a ,b) es el conjunto de todos los
puntos (x ,y) tales que su distancia a (a , b) es
menor que , es decir
1......../,,222 byaxIRyxPD
Observación:
Si en la definición (1) se cambia < por un obtenemos un disco cerrado
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Definición
Sea RIRbaDf 2,,: , una función de dos variables definida en el
disco abierto ,,baD , excepto posiblemente en (a,b).
LyxfLimbayx
),(),(),(
Si y sólo si para cada 0 existe un correspondiente 0 ,
tales que
si 22
byax entonces
Lyxf ),(
Observación: gráficamente, esta definición
significa que para un punto cualquiera
,,, baDyx , el valor de f(x,y) está entre
L y L , como se ilustra en la
Como ya mencionamos, cuando escribimos que bayx ,,
entendemos que el punto yx, se aproxima al punto ba, en cualquier
dirección.
Mucha de la terminología relacionada con los límites fue
introducida por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897).
Su forma de tratar rigurosamente los límites y otros temas del
cálculo le han dado la reputación de padre del análisis moderno.
Importante
Si el valor de
),(),(),(
yxfLimbayx
no es el mismo para todos los posibles caminos o trayectorias
(ecuaciones) que pasen por b,a , entonces el límite no existe.
El siguiente ejemplo muestra esta situación.
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Ejemplo1
Compruebe que el siguiente límite no existe
22)0,0(),( yx
xyLimyx
Solución
1) El dominio de esta función es 0,02 IRD f . Para comprobar que le
límite no existe, consideramos dos caminos ó trayectorias diferentes que
pasen por el punto (0,0).
2) Por comodidad en el cálculo, elegimos el eje X, cada punto es de la
forma (x,0), ósea y=0 y el límite en este camino es:
00
022002200
x
)(xLim
yx
xyLim
),()y,x(),()y,x(
3) Ahora elegimos la trayectoria y=x, cada
punto es de la forma (x,x) y el límite en esta
dirección será:
2
1)(22
)0,0(),(22
)0,0(),(
xx
xxLim
yx
xyLim
yxyx
Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0)
existen puntos (x,y) en los cuales f (x,y) se aproxima a 0 y a 1/2.
Luego f(x,y) no se aproxima a un solo valor. Por eso se dice: f(x,y) no
tiene límite cuando 00,y,x .
Observación:
En el ejemplo 1 pudimos concluir que el límite no existe porque
encontramos dos caminos que conducen a límites diferentes.
Sin embargo, aunque los dos caminos hubieran llevado al mismo límite,
no podemos utilizar esto como argumento, para decir que el límite existe.
Para llegar a tal conclusión, debemos demostrar que el límite es el mismo
para toda posible trayectoria. Esta tarea no es simple, ya que se requiere
del uso de algunos recursos y/ó artificios.
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Ejemplo 2 Compruebe que 022
2
00
yx
yxLim
),()y,x(
Solución
La técnica que usamos con el ejemplo anterior
no es adecuada para este caso, pues aunque el
límite de cero a través de muchas trayectorias
esto no demuestre que este sea su valor. Pero
nos hace sospechar que el límite existe.
Demostración
1. Sea 0 , debemos encontrar un 0 , tal que
Si 220 yx entonces
022
2
yx
yx ,
2. Cálculos previos
yyx
yx
yx
x
yxy
yxx
yxy
22
2
22
2
22
222
222
010
3. Empecemos la demostración .Como
220 yx y
22
2
22
2
0yx
yx
yx
yx
Por eso elegimos
Si 220 yx entonces
022
2
yx
yx ,
Por consiguiente, por la definición
022
2
00
yx
yxLim
),()y,x(
Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas
propiedades con respecto a las sumas, diferencias, productos
y cocientes, que las funciones de una sola variable, como
se muestra en el siguiente ejemplo.
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OTRA FORMA DE DEMOSTRACION –METODO ALTERNATIVO
1. Cálculos previos
yyx
yx
yx
x
yxx
22
2
22
2
222
0
10
3. Tomando límite
000022
2
00
yLim
yx
yxLim
),()y,x(),()y,x(
022
2
00
yx
yxLim
),()y,x(
4. Por ultimo, como yyy
22
2
0022
2
0022
2
00 yx
yxLim
yx
yxLim
yx
yxLim
),()y,x(),()y,x(),()y,x(
0022
2
00
yx
yxLim
),()y,x(
Por consiguiente
022
2
00
yx
yxLim
),()y,x(
Ejemplo 3
Calcule los siguientes límites
22)0,1(),(
)yx
yxLimiyx
; 33
)1,1(),()
yx
yxLimiiyx
;
yx
yxLimiiiyx
)4,4(),()
Solución
i) Evaluamos directamente
101
01222201
yx
yxLim
),()y,x(
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ii) Para este límite, factorizamos el denominador
22113311 yxyxyx
yxLim
yx
yxLim)ii
),()y,x(),()y,x(
3
112211
yxyxLim
),()y,x(
iii) Para este límite racionalizamos el denominador
yx
yx
yx
yxLim
yx
yxLim
),()y,x(),()y,x(
4444
4
4444
yxLim
yx
yxyxLim
),()y,x(),()y,x(
Existen algunas técnicas que a veces resultan útiles en el cálculo de
límites. El siguiente ejemplo ilustra el uso de coordenadas polares en el
cálculo de límites.
Ejemplo 4
Use coordenadas polares para comprobar que 22)0,0(),( yx
xyLimyx
Solución
Sean ,r las coordenadas polares del punto yx, .
Como:
cosrx , senry , tenemos
r
cossenrLim
yx
xyLim
¿?),(),r(),()y,x(
2
02200
00
cossenrLim¿?),(),r(
Pues 1cos sen , para cualquier valor de .
El siguiente ejemplo muestra una situación que podría llevarnos a
pensar que el límite existe.
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Ejemplo 5 Estudie la existencia del siguiente límite
26
3
00 yx
yxLim
),()y,x(
Solución
Utilizaremos trayectorias: rectas que pasan por el origen y=mx, m≠0
0
24
2
0026
3
0026
3
00
mx
mxLim
mxx
mxxLim
yx
yxLim
),()y,x(),()y,x(),()y,x(
Luego las parábolas de la forma y=mx2 , m≠0
0
22
2
00226
23
0026
3
00
mx
mxLim
mxx
mxxLim
yx
yxLim
),()y,x(),()y,x(),()y,x(
Esto nos podría llevar a concluir que el límite es cero, pues las rectas y
parábolas que pasan por el origen son una infinidad de trayectorias. Pero,
observe que al usar la trayectoria y=x3, obtenemos
2
1
2
100
236
33
0026
3
00
),()y,x(),()y,x(),()y,x(Lim
xx
xxLim
yx
yxLim
Por tanto, el límite no existe.
FUNCIONES CONTINUAS
Definición. Continuidad en un punto
Sea ),( yxfz una función de dos variables, 2),( IRbaP , 2),( IRPD un
disco abierto centrado en P, de radio δ, decimos que z = f(x,y) es continua
en 2),( IRbaP . Si
)b,a(f)y,x(fLim)b,a()y,x(
Decimos que ),( yxfz es continua en el conjunto A, si es continua en
cada punto de A .
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Observación:
La primera función del ejemplo 3, es continua en (1,0)
10122
),(fyx
yxLim
)b,a()y,x(
La segunda función del ejemplo 3 no es continua en (1,1), pues f(1,1) no
existe, pero podemos hacerla continua redefiniendo f(1,1).Por ejemplo
03
1
033
yx
yxyx
yx
)y,x(f
Ejemplo 6
Compruebe que la siguiente función es continua en .
00
022
2
y,x
y,xyx
yx
)y,x(f
Solución
Del ejemplo 2 tenemos
000
)b,a(f)y,x(fLim),()y,x(
la función ),( yxfz es continua en (0,0). La
gráfica de la función se muestra en la figura
Observación: los ejes en la figura 3 se han
variado un poco con respecto a la forma usual en
la que los hemos estado usando con el propósito de que la superficie se
pueda apreciar mejor.
Ejemplo 7
Sea 2
2
yx
xy)y,x(f
¿ Dónde es continua la función ),( yxfz ?
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Solución
Observe que la función no esta definida para los puntos 2IR)y,x( en
donde 2yx , por lo tanto es discontinua en dichos puntos. Es decir, es
continua en :
22 yx/IRy,xA
Usando las propiedades de los límites podemos obtener el siguiente
teorema sobre la continuidad de la suma producto y cociente.
Teorema (Operaciones con funciones continuas)
Si ),( yxfz es una función de dos variables continua en A)b,a( y sea
IRIR:g , una función de una sola variable, entonces la composición de
funciones fgh , definida por y,xfgy,xh es continua en A)b,a(
Ejemplo 8
Se la función 122 yxLn)y,x(h ¿Dónde es continua ),( yxfz ?
Solución
Sea 122 yx)y,x(f y )t(Ln)t(g , entonces
)y,x(hyxLnyxg)y,x(fg 11 2222
de modo que fgh . Por otro lado, ),( yxfz es continua en todo IR2, y
g(t) es continua para t >0. Por lo tanto, h(x,y) será continua en
1222 yx/IRy,xA
DERIVADAS PARCIALES
Definición
Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a
x é y son las funciones fx y fy respectivamente, definidas como:
h
yxfyhxfyxf
hx
),(),(lim,
0
h
yxfhyxfyxf
hy
),(),(lim,
0
siempre y cuando existan los límites.
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Esta definición indica que si z=f(x,y), para calcular f x consideramos a y
como constante y derivamos con respecto a x. De forma análoga, para
obtener fy consideramos a x, constante y derivamos con respecto a y.
Ejemplo
Calcular fx y fy para la función 323 322 xyxx)y,x(f
Solución
Considerando y constante y derivando con respecto a x, resulta 22 623 xxy)y,x(f
x
Considerando x constante y derivando con respecto a y, resulta yx)y,x(f
y
22
Existen notaciones diferentes para las derivadas parciales primeras. A
continuación damos una lista de las más comunes:
Si z=f(x,y), las derivadas parciales primeras fx y fy se denotan
x
zz
x
yxfyxf
x
fxx
,,
y
zz
y
yxfyxf
y
fxy
,,
Ejemplo
Para la función yxxe)y,x(f2
, encontrar fx y fy , evaluar cada una de ellas
en el punto (1, ln2)
Solución
1. Como xyxee)y,x(f yxyx
x2
22
,la derivada parcial de f(x,y) con
respecto a x en (1, ln2) es 2422221 22 lnlnee)ln,(f lnln
x
2. Como yx
yex)y,x(f
23 , la derivada parcial de f(x,y) con respecto a y en
(1, ln2) es 2121 213 2
ln
ye)ln,(f
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INTERPRETACION GEOMETRICA
Las derivadas parciales de una z=f(x,y), tienen
una interpretación geométrica útil.
Si y=a, entonces z=f(x,a) representa la curva
formada por la intersección de la superficie
z=f(x,y) con el plano y=a, como muestra la
figura, además
h
axfahxfaxf
hx
),(),(lim, 00
00
representa la pendiente de esta curva en el plano y=a
(observar que tanto la curva como la tangente pertenecen al plano y=a).
De forma similar,
h
yafhyafyaf
hy
),(),(lim, 00
00
representa la pendiente de la curva obtenida
por la intersección de z=f(x,y) y el plano x=a,
como se observa en la figura .
Se dice que los valores de fx y fy en el punto (x0, y0, z0) denotan la
pendiente de la superficie, en las direcciones x e y respectivamente.
Ejemplo Encontrar la pendiente de la superficie dada por
22
28
25, y
xyxf
en el punto (1/2,1,2) en las direcciones x e y.
Solución
En la dirección x, la pendiente viene dada por
xyxf x , 2/11,2/1 xf
En la dirección y, la pendiente viene dada por
yyxf y 2, 21,2/1 yf
Independientemente de cuántas variables estén involucradas, las
derivadas parciales pueden interpretarse como razones de cambio.
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Derivadas parciales de orden superior
Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar
derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes:
segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen.
Denotamos las derivadas de orden superior por su orden de derivación.
Por ejemplo, hay cuatro formas distintas de encontrar una derivada
parcial segunda de z=f(x,y).
1. Derivar dos veces respecto de x: 2. Derivar dos veces respecto de y:
xxfx
yxf
x
f
x
2
2 ,
yyf
y
yxf
y
f
y
2
2 ,
3. Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:
xyf
xy
yxf
x
f
y
,2
4. Derivar primero con respecto a y luego con respecto a x:
yxf
yx
yxf
y
f
x
,2
Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas.
Ejemplo
Calcular el valor de fxy (-1,2), si 222 523 yxyxy)y,x(f
Solución
Primero la derivada parcial con respecto a x : 22 103 xyy)y,x(fx
Luego con respecto a y xyy)y,x(fxy
206 , Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-28
Teorema
Si f es una función de x e y tal que f, fx, fy, fxy y fyx son continuas en la
región abierta R, entonces para cada (x,y) en R,
yxfyxf yxxy ,,
Ejemplo
Hallar las derivadas parciales cruzadas )xyln(yey,xf x
yxfeyxf yx
x
xy ,,
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DIFERENCIABILIDAD
Para una función de dos variables, z=f(x,y), se usan términos similares a
las funciones de una variable.
Definición. Incremento
Sea x y y los incrementos de x y de y, el incremento de z=f(x,y) es:
yxfyyxxfz ,,
Definición. Diferencial total Sea z= f(x,y), la diferencial total de la variable dependiente z=f(x,y) es
dyyxfdxyxfyxdfdz yx ,,),(
Ejemplo
La diferencial total dz para la función 2232 yxxsenyz es
dyyxyxdxxysenydz 22 6cos262
En una variable y=f(x), podemos usar la diferenciabilidad de dy=f ´(x) dx
como una aproximación (para x pequeños) al valor
)()( xfxxfz .
Cuando es posible una aproximación similar para una función de dos
variables, decimos que es diferenciable.
Definición. Diferenciabilidad
Una función z=f(x,y) es diferenciable en (x,y), si puede expresarse:
yxyyxfxyxfz yx 21),(),(
donde ambos 0, 21 cuando 0, yx
Se dice que la función f es diferenciable en un conjunto R si es
diferenciable en todo punto de R.
Ejemplo
Probar que la función yxyxf 3, 2 es diferenciable en todos los
puntos del plano.
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Solución Haciendo z=f(x,y), el incremento de z en un punto arbitrario (x,y) del
plano es
yxyyxxyxfyyxxfz 33,, 22
yxxyxx 032
yxyyxfxyxf yx 21),(),(
donde 0, 21 x , ambos 0, 21 , cuando 0, yx
entonces f es diferenciable en todo punto del plano.
Aproximación por diferenciales.
Esto significa que si la función es diferenciable: La derivada total es
aproximadamente igual al incremento
yxyyxfxyxfz yx 21),(),(
dy)y,x(fdx)y,x(fdzyx
Ejemplo
Usar la diferencial dz para aproximar la variación en 224 yxz
cuando (x,y) va desde el punto (1,1) a (1.01,0.97). Comparar esta
aproximación con la variación exacta de z.
Solución
Haciendo (x,y)=(1,1) y (x+ x ,y+ y )=(1.01,0.97) tenemos que
dx= x =0.01 , dy= y =-0.03,luego la variación en z puede
aproximarse por
dyyx
ydx
yx
xdyfdxfdzz
xx 2222 44
En x=1 e y=1, resulta
014100302
1010
2
1...z
Ahora calculamos la variación exacta z (observe que la diferencia es
mínima)
0137011970010 .),(f.,.fz
Esta teoría se extiende a funciones de tres variables.
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Ejemplo
El error al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es
de ± 0.1 milímetros. Las dimensiones de la caja son x=50 cm, y=20 cm. y
z=15 cm., estimar el error en el volumen de la caja.
Solución
El volumen de la caja viene dado por V=xyz, luego
dz)y,x(Vdy)y,x(Vdx)y,x(VdVzyx
xydzxzdyyzdxdV
Como 0.1 milímetros es igual a 0.01 centímetros, tenemos que
dx=dy=dz=± 0.01 y el error aproximado es
3520010205001015500101520 cm....dV
Puesto que el volumen es
V=(50)(20)(15)=15000 centímetros cúbicos,
El error aproximado es 3520 cm.dV
Al igual que ocurre con las funciones de una variable, si una función de
dos variables es diferenciable en algún punto de su dominio, entonces
también es continua en dicho punto. Este es el contenido del siguiente
teorema
Teorema
Si z=f(x,y) es diferenciable en (x0,y0), entonces es continua en (x0,y0).
Corolario.
Si z=f(x,y) No es continua en (x0,y0), entonces No es diferenciable en (x0,y0).
NOTA. La existencia de las derivadas parciales primeras no es suficiente
para garantizar la diferenciabilidad.
Ejemplo
Hallar fx(0,0) y fy(0,0), pero f no es diferenciable en (0,0)
00
03
22
y,x;
y,x;yx
xy
)y,x(f
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Solución
1. Hallando las derivadas parciales por definición
0000000
00
hlim
h
),(f),h(flim)y,x(f
hhx
0000000
00
hlim
h
),(f)h,(flim)y,x(f
hhy
Las derivadas parciales en (0,0) existen.
2. Por el Corolario anterior podemos afirmar
que f (x,y) no es diferenciable en (0,0), si no
es continua en dicho punto. Para averiguar
que f(x,y) no es continua en (0,0), elegiremos
dos caminos diferentes
i) Por la recta y=x, el límite es
2
3
2
32
2
00
x
xlim)y,x(flimhh
ii) Mientras que por y=-x tenemos que
2
3
2
32
2
00
x
xlim)y,x(flimhh
Luego el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (0,0) no existe, y
concluimos que f no es continua en (0,0). Por tanto, f no es diferenciable
en (0,0). Pero las derivadas parciales si existen
El término diferenciable se usa de forma distinta al aplicarlo a funciones
de dos variables y a funciones de una variable.
Una función de una variable es diferenciable en un punto si su derivada
en ese punto existe.
Sin embargo, para una función de dos variables la existencia de las
derivadas parciales fx y fy no garantiza que la función sea diferenciable.
En el teorema siguiente, presentamos una condición suficiente para la
diferenciabilidad de una función de dos variables.
Teorema
Sea z=f(x,y), si fx y fy son continuas en una región abierta R, entonces f
es diferenciable en R.
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19
REGLA DE LA CADENA
El trabajo con diferenciales nos proporciona la base para la extensión de
la regla de la cadena a funciones de dos variables. Primer Caso
Teorema
Sea w=f(x,y), diferenciable. Si x=g(t) e y=h(t), entonces w es una función
derivable de t, y
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
Las cadenas mencionadas en el teorema pueden representarse en forma
de diagrama, como muestran las figuras .
Ejemplo
Sean 22 yyxw , donde.
teysentx , . Encontrar dw/dt cuando t=0.
Solución
Por la regla de la cadena para una variable independiente tenemos
teyxtxydt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw2cos2 2
Cuando t=0, x=0 e y=1, entonces dw/dt=0-2=-2.
La regla de la cadena presentada en esta sección nos proporciona
técnicas alternativas de solución para muchos problemas del cálculo con
una sola variable. Así en el ejemplo, podríamos haber utilizado técnicas
de una sola variable para hallar dw/dt escribiendo en primer lugar w
como función de t,
2222 tt eesentyyxw
Luego derivando en forma usual.
La regla de la cadena puede extenderse a un número cualquiera de
variables.
f
x
y
t
t
x
f
y
f
t
x
t
y
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20
Por ejemplo, si cada xi es función derivable de una sola variable t,
entonces para w=f(x1,x2, ..., xn) tenemos
t
x
x
w
t
x
x
w
t
x
x
w
t
wn
n
2
2
1
1
Segundo Caso. Es aquel en que las variables, son funciones de más de una
variable.
Por ejemplo, si w=f(x,y) donde x=g(s,t) e y=h(s,t)
entonces w es función de s y de t. Una forma de calcular las derivadas
parciales es escribir w como función de s y de t explícitamente mediante la
sustitución de las ecuaciones x=g(s,t) e y=h(s,t) en la ecuación w=f(x,y),
con ese cambio es posible hallar las derivadas parciales en la forma
usual, como se muestra en el ejemplo siguiente
Ejemplo
Hallar t
w
ds
dw
, para w=2xy, donde t/st,sy;tst,sx 22
Solución
Comenzamos sustituyendo en la ecuación se obtiene
xyy,xw 2
t,syt,sxt,swt,sy,t,sxw 2
t
s
t
s
t
stst,sw 222
3
22
Entonces, para encontrar ds
dwmantenemos t constante y derivamos con
respecto a s:
tt
s
s
t,sw 126
2
De forma similar, para hallar t
w
mantenemos s constante y derivamos
con respecto a t para obtener
22
3 122
tt
s
t
t,sw
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21
Teorema
Sea w=f(x,y), donde f es una función diferenciable de x e y. Si x=g(s,t) e
y=h(s,t), de forma tal que las derivadas parciales primeras existen todas,
entonces :
s
y
y
w
s
x
x
w
s
w
t
y
y
w
t
x
x
w
t
w
Las cadenas mencionadas en los teoremas pueden representarse en forma
de diagrama, como muestran las figuras .
La regla de la cadena puede extenderse a varias variables. Por ejemplo, si
w es diferenciable de n variables x1,x2, ..., xn, donde cada xi es una función
diferenciable de m variables t1,t2, ..., tm , entonces w=f(x1,x2, ..., xn)
tenemos
11
2
21
1
11 t
x
x
w
t
x
x
w
t
x
x
w
t
w n
n
22
2
22
1
12 t
x
x
w
t
x
x
w
t
x
x
w
t
w n
n
.
.
m
n
nmmm t
x
x
w
t
x
x
w
t
x
x
w
t
w
2
2
1
11
Una aplicación de la regla de la cadena para determinar la derivada de
una función definida implícitamente es la:
f
x
y
s
s
t
t
x
f
y
f
s
x
s
y
t
x
t
y
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22
Derivación parcial implícita
Supongamos que x e y están relacionadas mediante la ecuación F(x,y)=0,
donde se supone que y=f(x) es una función derivable de x. Para hallar
dy/dy consideramos la función :
w=F(x,y)=F(x,f(x))=0
Podemos aplicar la regla de la cadena para obtener
0 dy)y,x(Fdx)y,x(Fdx
dwyx
Y si Fy(x,y) es distinto de cero, podemos concluir que
)y,x(F
)y,x(F
dx
dy
y
x
Teorema
a) Si la ecuación F(x,y)=0 define a y implícitamente como función de x
y,xF
y,xF
dx
dy
y
x
b) Si la ecuación F(x,y,z)=0 define a z implícitamente como función de x e
y, entonces
zyxF
zyxF
dy
z
z
y
,,
,,
zyxF
zyxF
dx
z
z
x
,,
,,
Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas
implícitamente con un número cualquiera de variables.
Ejemplo
Calcular dy/dx, sabiendo que 045 223 xyyy
Solución
Definimos una función 045 223 xyyy)y,x(F
Usando el teorema tenemos
xyxFx 2, 523, 2 yyyxFy
luego
523
2
523
222
yy
x
yy
x
dx
dy
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23
Un procedimiento similar se usa, para encontrar las derivadas parciales
de funciones de v. variables que se encuentran definidas implícitamente.
Ejemplo
Calcular x
z
,
y
z
, sabiendo que 5323 3222 yzzyxzx
Solución Para aplicar el teorema definimos
05323 3222 yzzyxzxz,y,xF
entonces
yzx
xzxy
zyxF
zyxF
dx
z
z
x
363
62
,,
,,22
2
;
yzx
zxy
zyxF
zyxF
dy
z
z
y
363
32
,,
,,22
2
}
DERIVADA DIRECCIONAL
Definición
Sea f una función de dos variables x e y, y sea jseniu cos , un
vector unitario. La derivada direccional de f en la dirección de u se
denota por Duf, y es
h
yxfhsenyhxffD
hu
),(,coslim
0
El cálculo de la derivada direccional mediante esta definición es
comparable al de encontrar la derivada de una función de una variable.
Una fórmula para obtener derivadas direccionales recurre a las derivadas
parciales fx y fy.
Teorema
Si f es una función diferenciable, entonces la derivada
direccional de f en la dirección del vector unitario jseniu cos es:
senyxfyxfyxfD yxu ,cos,,
Observar que hay infinitas derivadas direccionales en un punto dado de
una superficie -una para cada una de las direcciones especificadas por el
vector u, como se muestra en la figura. Dos de ellas resultan ser las
derivadas parciales fx y fy.
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24
El vector u especifica una dirección en el plano xy
1) En la dirección positiva del eje x (θ=0): ijseniu 00cos
yxfsenyxfyxfyxfD xyxu ,0,0cos,,
2) En la dirección positiva del eje y (θ = π/2):
jjseniu 2/2/cos
yxfsenyxfyxfyxfD yyxu ,2/,2/cos,,
Ejemplo
Calcular la derivada direccional de 4/4),( 22 yxyxf , en (1,2) en la
dirección de jseniu 3/3/cos
Solución
3/2/)3(cos2,cos,, senyxsenyxfyxfyxfD yxu
Evaluando en x=1 e y=2, tenemos
86613223221 ./sen//cos,fDu
Ejemplo
Calcular la derivada direccional de ysenxyxf 2),( 2 , en (1, π/4) en la
dirección de v=3i-4j
Solución
Comenzamos obteniendo un vector unitario en la dirección de v:
jsenijiv
vu cos
5
4
5
3
Usando este vector unitario, tenemos
senycosxcosyxseny,xfDu
2222 2
565422532241 ///cos//sen/,fDu
Gradiente
La derivada direccional Duf(x,y) puede expresarse como el producto
escalar del vector unitario jseniu cos y el vector
jyxfiyxf yx ,,
Este vector es importante y tiene usos diversos. Lo llamamos vector
gradiente de f.
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25
Definición
Si z=f(x,y), el gradiente de f, se denota y se define como el vector
jyxfiyxfyxf yx ,,),(
Otra notación para el gradiente es grad f (x,y)
Puesto que el gradiente de f es un vector, podemos escribir la derivada
direccional de f en la dirección de u como
senyxfyxfyxfD yxu ,cos,,,,
En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del
gradiente por el vector dirección. Este importante resultado constituye el
contenido del siguiente teorema.
Teorema
Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la
dirección del vector unitario u es
uyxfyxfDu ).,(,
Ejemplo
Calcular la derivada direccional de 22 23),( yxyxf en (-1,3) en la
dirección que va desde P(-1,3) a Q(1,-2)
Solución
El vector en la dirección es jivPQ 52
y el vector unitario en esta
dirección es jiv
vu
29
5
29
2 ,
Como, el gradiente
yjxijyxfiyxfyxf yx 46,,),( en (-1,3) es jif 126)3,1(
En consecuencia, en (-1,3) la derivada direccional es
29
48
29
60
29
123131
u.,f,fD
u
Hemos visto que hay muchas derivadas direccionales en el punto (x,y) de
una superficie. nos gustaría saber en qué dirección movernos para que
f(x,y) crezca lo más rápidamente posible. Llamamos a esta dirección de
máxima pendiente, y viene dada por el gradiente, como se establece en el
teorema siguiente
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26
Teorema
Sea f(x,y) es una función diferenciable en el punto (x,y)
1) Si, 0),( yxf entonces 0, yxfDu para todo u.
2) La dirección de máximo crecimiento de f viene dada por ),( yxf . El
valor máximo de yxfDu , es yxfDu , .
3) La dirección de mínimo crecimiento de f viene dada por - ),( yxf . El
valor mínimo de yxfDu , es - yxfDu , .
Propiedad del gradiente.
Consideremos un esquiador descendiendo de una montaña. Si f(x,y)
denota la altitud del esquiador, ),( yxf indica la dirección que el
esquiador tiene en un punto (x,y). Para deslizarse por la trayectoria de
máxima pendiente. El gradiente indica la dirección en el plano XY, no
señala hacia arriba o hacia abajo en la ladera de la montaña.
Otro ejemplo. La temperatura T(x,y) en un punto (x,y) cualquiera de una
placa metálica plana. En este caso, )y,x(T , da la dirección de máximo
crecimiento de la temperatura en el punto (x,y)
Ejemplo La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa
metálica viene dada por 22420),( yxyxT , midiendo x e y en
centímetros. Desde el punto (2,-3), ¿en qué dirección crece la temperatura
más rápidamente?. ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?
Solución
El gradiente es yjxijyxTiyxTyxT yx 28,,),(
Se sigue que la dirección de más rápido crecimiento viene dada por
jij,Ti,T),(Tyx
616323232
la razón de crecimiento es
09173625632 .),(T grados Celsius
La respuesta del ejemplo anterior, puede ser malinterpretada. A pesar de
que el gradiente apunta en la dirección de crecimiento más rápido de la
temperatura, no necesariamente apunta hacia el lugar más caliente de la
placa. En otras palabras, el gradiente proporciona una solución local al
problema de encontrar un crecimiento relativo a la temperatura en el
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27
punto (2, -3). Una vez que abandonamos esa posición, la dirección de más
rápido crecimiento puede cambiar.
Teorema
Si f es diferenciable en (x0,y0) y 0),( yxf , entonces ),( yxf es normal a
la curva de nivel que pasa por (x0,y0).
ECUACIÓN DE UNA SUPERFICIE
Ahora conviene utilizar la representación general F(x,y,z)=0. Para una
superficie S dada por z=f(x,y), es fácil pasar a esa forma general sin más
que definir F como
F(x,y,z)=f(x,y)-z
Por ejemplo, para la superficie dada por 22 24),( yxyxfz
Tomamos zyxzyxF 22 24),,(
Así entonces, la superficie puede escribirse como F(x,y,z)=0.
Plano tangente y recta normal a una superficie
Definición
Sea F diferenciable en el punto P(x0,y0,z0) de la superficie
S dada por F(x,y,z)=0.
1) El plano que pasa por P y es normal a ),,( 000 zyxF
se conoce como plano tangente a S en P.
2) La recta que pasa por P y tiene la dirección de
),,( 000 zyxF se conoce como la recta normal a S en P.
Teorema
Si F es diferenciable en (x0,y0,z0), la ecuación del plano tangente a la
superficie dada por F(x,y,z)=0 en P(x0,y0,z0) es
0,,),,( 000000 zzyyxxzyxF
Ejemplo
Hallar la ecuación del plano tangente al hiperboloide, en el punto (1,-1,4)
01222 222 yxz
Solución
Considerando 1222 222 yxz)z,y,x(F tenemos
x)z,y,x(Fx
4 y)z,y,x(Fy
4 z)z,y,x(Fz
2
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28
y en el punto (1,-1,4) las derivadas parciales son
4411 ),,(Fx ; 4411 ),,(F
y ; 8411 ),,(Fx
Luego la ecuación del plano tangente en
(1,-1,4) es
0481414 )x(yx
La figura muestra una parte del hiperboloide y del
plano tangente.
EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS
Teorema
Sea f una función continua de dos variables x e y
definida en una región acotada cerrada R del
plano XY.
Al menos hay un punto en R en el que f tiene su
valor mínimo y su valor mínimo.
Definición
Sea f una función definida en una región R
conteniendo el punto (x0,y0)
f(x0,y0) es un mínimo relativo de f ,si 00 ,, yxfyxf para todo (x,y) en
un disco abierto que contiene a (x0,y0).
f(x0,y0) es un máximo relativo de f , si 00 ,, yxfyxf para todo (x,y)
en un disco abierto que contiene a (x0,y0).
Máximo relativo
Mínimo relativo
Decir que z0=f(x0,y0) es un máximo relativo de f , significa el punto de la
superficie (x0,y0, f(x0,y0) es el más alto comparado con los los puntos de su
entorno en la gráfica de z=f(x,y).
De forma similar, (x0,y0, f(x0,y0) si es un mínimo relativo
Para localizar extremos relativos de f, investigaremos los puntos en que su
gradiente es cero o no está definido. Llamaremos a tales puntos críticos.
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29
Definición
Sea f definida en una región abierta R conteniendo (x0,y0). Decimos que
(x0,y0) es un punto crítico de f, si se verifica una de las siguientes
afirmaciones:
0,.1 yxf x y 0, yxf y
yxf x ,.2 ó yxf y , no existen
Ejemplo
Determinar los extremos relativos de 20682, 22 yxyxyxf
Solución
Completando cuadrados,
0332222
yxy,xf
Por lo tanto, hay un mínimo relativo de f en
(-2,3). El valor del mínimo relativo es
f(-2,3)=3, como se ve en la figura.
Teorema Si f(x0,y0) es un extremo relativo de f en una región abierta R, entonces
(x0,y0) es un punto crítico de f.
Criterio de las segundas derivadas parciales
Teorema
Sea una función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas
en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el que fx(a,b)=0 y
fy(a,b)=0. Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f,
definimos la cantidad
2,,,),( bafbafbafbaD xyyyxx
Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) > 0, entonces f(a,b) en un mínimo relativo.
Si D(a,b) > 0 y fxx(a,b) < 0, entonces f(a,b) en un máximo relativo.
Si D(a,b) < 0, entonces (a,b,f(a,b)) es un punto de silla.
Este criterio no da información si D(a,b) =0.
Si D(a,b) > 0, entonces fxx(a,b) y fyy(a,b) deben tener el mismo signo. Esto
significa que se puede reemplazar fxx(a,b) por fyy(a,b) en las dos primeras
partes del criterio.
Una técnica apropiada para recordar la fórmula de D(a,b) en el criterio
anterior viene dada por el determinante siendo fxy(a,b)=fyx(a,b).
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30
Ejemplo
Encontrar los extremos relativos de 124 23 yxyxy,xf
Solución
Comenzamos buscando los puntos críticos de f. Puesto que los únicos
puntos críticos son aquellos para los cuales ambas derivadas parciales
primeras son nulas. Para hallar los puntos, hacemos fx(x,y) y fy(x,y) cero,
obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:
043, 2 yxyxf x 044, yxyxf y
De la segunda ecuación vemos que x=y, y sustituyendo en la primera
obtenemos dos soluciones: y=x=0 e y=x=4/3.
Como
fxx(x,y) = -6x, fyy(x,y) = -4 y fxy(a,b) = 4
se sigue que para el punto crítico (0,0),
0160000000002
,f,f,f,Dxyyyxx
por el criterio de las derivadas parciales
segundas, concluimos que (0,0,1) es un punto de
silla de f. Para el punto crítico (4/3,4/3),
0164834343434343434342
/,/f/,/f/,/f/,/Dxyyyxx
y como
083434 /,/fxx
concluimos que f(4/3,4/3) es un máximo relativo, como se muestra en la
figura
El criterio de las derivadas parciales segundas puede fallar, a la hora de
buscar los extremos relativos, de dos formas. Si una de las derivadas
parciales primeras no está definida, entonces no podemos usar el criterio.
También si D = 0 el criterio no es útil. En tales casos, debemos confiar en
una gráfica o en algún otro tipo de tratamiento.
Ejemplo
Hallar los extremos relativos de 22, yxyxf
Solución
Como 02, 2 xyyxf x 02, 2 yxyxf y
vemos que ambas derivadas parciales son nulas si x = 0 o y = 0.
Es decir, todo punto de el eje x ó del eje y es un punto crítico. Además
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31
422 22 y,xf,xy,xf,yy,xfxyyyxx
vemos que si x = 0 ó y = 0, entonces
D(0,y)= D(x,0)= 0164 2222 xyxy
Luego el criterio de las derivadas parciales
segundas no decide. Sin embargo, como f(x,y)=0
para todo punto del eje x ó del eje y, y puesto que 22 yx)y,x(f >0 para los demás puntos, podemos
concluir que cada un de estos puntos críticos
conduce a un mínimo absoluto, como se muestra
en la figura.
Los extremos absolutos de una función pueden producirse de dos formas.
Primero, algunos extremos relativos también son extremos absolutos. Así
en un ejemplo, f(-2,3) es un mínimo absoluto de la función. Por otra parte,
el máximo relativo encontrado en otro ejemplo no es un máximo absoluto
de la función. Segundo, pueden existir extremos absolutos en un punto del
borde del dominio como se verá en el
Ejemplo
Encontrar los extremos absolutos de la función
f(x,y)=sen(xy) en la región cerrada dada por 10,0 yx
Solución
De las derivadas parciales
fx(x,y) = y cos(xy)=0 , fy(x,y) =x cos(xy)=0
vemos, que cada punto de la hipérbola 2/xy es un punto crítico.
Además, en cada uno de estos puntos f(x,y) toma el valor uno, que
sabemos que es el máximo absoluto. El otro punto crítico de f(x,y), es
(0,0). Conduce a un mínimo absoluto de f(0,0)=0 .Se puede concluir por
que
100 xysenxy
Para buscar otros extremos absolutos, consideremos las cuatro fronteras
de la región formada al proyectar según los planos verticales 1,0,,0 yyxx . Una vez hecho eso, vemos que sen(xy)=0
en todos los puntos del eje x. del eje y, así como el punto 1, . Cada uno
de estos puntos proporciona un mínimo absoluto de la superficie
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32
Ejemplo
Una caja rectangular descansa sobre el plano xy con
un vértice en el origen. Encontrar el volumen máximo
de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al
plano 6x+4y+3z=24, como se indica en la figura .
Solución
Sea V(x,y,z)=xyz, el volumen de la caja.
Como un vértice de la caja pertenece al plano 6x+4y+3z=24, tenemos que
z=(1/3)(24-6x-4y) y podemos escribir el volumen de la caja como función
de dos variables:
3
4624
3
4624 22 xyyxxyyxxyy,xV
Derivando
03
41224 2
yxyy
y,xVx
03
8624 2
xyxx
y,xVy
obtenemos los puntos críticos (0,0) y (4/3,2). En (0,0) el volumen es cero,
por lo que aplicamos el criterio de las derivadas parciales segundas al
punto (4/3,2)
yy,xVxx
4 ; 38 /xy,xVyy
; 3
12824 xyy,xV
xy
Como
03643893282342342342342
///,/V,/V,/V,/Dxyyyxx
y
08234 ,/Vxx
por el criterio de las derivadas parciales segundas el volumen máximo es
964234 /,/V unidades cúbicas.
Observar que el volumen es nulo en los puntos del borde del dominio
triangular de V.
En muchos problemas sobre aplicaciones, el dominio de la función a
optimizar es una región acotada cerrada. Para encontrar puntos de
máximo o mínimo, se debe, además de buscar los puntos críticos,
considerar el valor de la función en los puntos de la frontera.
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33
Ejemplo El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y
unidades del modelo B se aproxima mediante el modelo
100000010108 22 yxyx.yxy,xP
Solución Derivando obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:
0200108 yx.y,xPx
02001010 yx.y,xPx
Resolviendo, obtenemos x=2000, y=4000. Las derivadas parciales
segundas de P, evaluadas en el punto crítico son
002040002000 .,Pxx
002040002000 .,Pyy
001040002000 .,Pxy
Además, como Pxx < 0 y
04000200040002000400020002 ,P,P,P
xyyyxx
concluimos que el nivel de producción de
x=2000 unidades e y=4000 unidades
conduce a un beneficio máximo.
En este último ejemplo hemos supuesto que la factoría es capaz de
producir el número requerido de unidades para llegar a un beneficio
máximo. En la práctica real, la producción se encuentra limitada por
restricciones físicas. Esto nos lleva al siguiente tema
EEXXTTRREEMMOOSS CCOONNDDIICCIIOONNAADDOOSS
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
f (x,y) tiene un máximo o mínimo sujeto a la ligadura g (x,y) = 0 , dicho
extremo se producirá en uno de los puntos críticos de la función F dada
por )y,x(g)y,x(f),y,x(F
Para hallar los puntos críticos se resuelve el siguiente sistema
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34
0),(),,(
0),(),(
),,(
0),(),(
),,(
yxgyx
y
yxg
y
yxfyx
x
yxg
x
yxfyx
F
F
F
y
x
EEjjeemmpplloo ddee uunnaa aapplliiccaacciióónn aa llooss nneeggoocciiooss
La función de producción de COBB-DOUGLAS que se usa en Economía
tiene la siguiente expresión:
f (x,y) = C . x a.y (1-a)
donde el valor de a está comprendido entre 0 y 1, 0<a<1
Si x mide las unidades de trabajo e y las unidades de capital, el número
total de unidades producidas viene dado por la función f (x,y)=C.x a.y (1-a)
Para un fabricante particular la función de COBB-DOUGLAS tiene un
valor de la constante C=100 y de a = 0,75
Las unidades de trabajo es $150 la unidad, y de capital de $250 la unidad.
El costo total de trabajo y capital es de $ 50.000.
Se desea hallar el nivel de producción máximo del fabricante .
Del límite del costo de capital y trabajo obtenemos la ligadura
150.x + 250.y = 50.000
Usando el método de Lagrange hacemos
g(x,y) =150.x+250.y-50.000 y consideramos la función auxiliar de
Lagrange
F (x,y,)= f (x,y)- g ( x , y )=100.x 3/ 4.y 1/ 4-.(150.x+250.y -50.000)
el sistema será
0.1504
3.100
),(),(),,(
4/14/1
yxF
x
yxg
x
yxfyx
x
02504
1100
4343
..y
)y,x(g
y
)y,x(f),y,x( yxF
//
y
000050250150 .y.x.)y,x(g),y,x(F
De la primera ecuación del sistema obtenemos
= 0.5 x -1/ 4.y 1/ 4
Y sustituyendo en la segunda ecuación
0.2
1.250
4
1.100 yxyx
4/14/14/34/3
obtenemos x = 5.y
Que con la tercera ecuación del sistema al reemplazar su valor se obtiene
y = 50 x = 250
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICA II SEMESTRE ACADEMICO
ECONOMICAS 2015-2
35
Finalmente la producción máxima es
Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange que se obtiene en
una función de producción Productividad marginal del capital
Así en el ejemplo esto significa que por cada $ adicional gastado en la
producción se obtendrá 0,334 unidades adicionales de producto.
Otro ejemplo aclaratorio :
Hallar los valores extremos de z = f(x,y) = x.y, sobre la circunferencia
x²+y² = 1.
Hay que extremar z = f(x,y) =x.y, con la condición g(x,y) = x²+y²-1= 0
Vemos que f y g son diferenciables en R².
Luego formamos la función auxiliar de Lagrange
F(x,y) = x . y - (x² + y²-1).
A continuación, calculamos las derivadas de primer orden de F y
establecemos el sistema siguiente:
Fx(x,y) = y - 2 x = 0,
(1) Fy(x,y) = x - 2 y = 0,
g(x,y) = x²+ y² - 1 = 0.
Despejando en las dos primeras ecuaciones de (1) tenemos
(2) y2
x
x2
yλ se sigue que: y² = x² (3)
Por la tercera ecuación de (1), y por (3) debe ser:
y²+y²-1 = 0, esto es 2 y² = 1.
Luego, es 2
2
2
1y , y por (3) es
2
2x .
Así obtenemos los puntos
,,P,,P
2
2
2
2
2
2
2
221
,,P,,P
2
2
2
2
2
2
2
243
Evaluando en estos puntos obtenemos los valores máximo y mínimos
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
,F,F
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
,F,F
= 0.5 x -1/ 4.y 1/ 4 = 0.5 (250) -1/ 4. (50) 1/ 4 = 0,334
f(x,y) = 100.(250) 3/ 4.(50) 1/ 4 =16719 unidades
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