Universidad Politécnica del Valle de Toluca
Ingeniería en Biotecnología
Fenómenos de transporte de Momento y Calor
Demostración: Flujo a través de una tubería circular
Nimsi Keren Martínez Alvarez
Explicación del FenómenoObjetivo:
Determinar todas las ecuaciones que nos ayudan para obtener las velocidades de un fluido que circula a través de un tubo circular con radio exterior e interior.
Familiarizarnos con el uso de coordenadas cilíndricas que son las coordenadas naturales para describir las posiciones de la tubería circular.
Analizar el balance de cantidad de movimiento.
IntroducciónTenemos que tener en
cuenta que la distribución de velocidad , velocidad media de un
fluido que esta circulando a través de una corona circular de
radio exterior e interior r son más complicadas que en una película
descendente
Consideraciones a tomarLa fuerza de cizalla actúa sobre un fluido de las siguientes formas: Una de ellas es la resistencia sobre su superficie
exterior que se puede expresar en función de la viscosidad del fluido y el gradiente de velocidad para dicho radio.
La resistencia que tiene lugar en el límite interior de la corona circular que se representa por por u de longitud de tubo.
La presión como consecuencia de la fricción en una longitud del diámetro 1 del anillo se puede igualar a la fuerza resultante con la fuerza de cizalla que actúa sobre el fluido
Distribución de velocidad en el flujo turbulento
Los esfuerzos cortantes dentro del fluido son los responsables de la fuerza de fricción en las paredes y la distribución de velocidad sobre la sección transversal del tubo.
En este caso se considera a otro problema de flujo viscoso pero ahora con coordenadas cilíndricas , y con condiciones límite muy diferentes.
Primero hacemos el balance Entrada de cantidad de movimiento x . Transporte conectivo.(2 Salida de cantidad de movimiento x . Transporte conectivo. (2
Balance Entrada de cantidad de movimiento x . Transporte molecular. Salida de cantidad de movimiento x . Transporte molecular.
Balance Fuerza de gravedad:
Presión a la entrada:
Presión a la salida:
Demostración Primero vamos a igualar todo nuestro
balance general(2 - (2+ - ++ -= 0
Aquí podemos notar que se suma todo lo que entra y se restan todas las salidas del sistema.
Demostración Posteriormente todas las Vz se hacen constantes porque se
supone que el fluido es incomprensible y obtenemos únicamente la siguiente notación:
- ++ -= 0
Donde posteriormente dividiremos toda la notación entre los términos constantes(2*pi*r*)
Demostración Posteriormente obtendremos una
notación más simplificada: ++= 0 La cual se va a multiplicar por un -1 para tener
positivo a la ecuación que nos ayudará a calcular
-= 0
Demostración Se evalúan límites para obtener las
velocidades de salida:
= 0Todo lo que no tiene se mantiene constante , así que nos queda una notación más sim simplificada =
Demostración Posteriormente vamos a pasar el
diferencial respecto a r para poder simplificar e integrar :
= Como ya sabemos se integra respecto a
r y todo lo que no lleve r se mantiene constante , dicho lo anterior obtenemos:
Demostración = De lo que obtenemos la misma ecución
más una constante. = * + C1 Donde despejaremos r , para que
cuando volvamos a integrar sea más fácil
= * +
DemostraciónDadas las siguientes condiciones límite r=0 Por lo que podemos concluir que la C1 será igual a 0Posteriormente sustituimos nuestra C1:)r
Demostración Para la presión dinámica tenemos que
tener en cuenta las dos siguientes consideraciones
Para asumimos a la gravedad como 0 ya que esta no afecta al fluido porque esta subiendo no bajando
Por lo tanto - A diferencia de , la gravedad si afecta ya que esta
presión es la total de toda la longitud del tubo por el que pasa nuestro fluido
=+ Por lo tanto =
Demostración Dadas condiciones , podemos sustituir los
valores de presión dinámica en la ecuación de densidad de flujo de cantidad de movimiento:
)r Como podemos observar se hace 0 y podemos
obtener aún más simplificada la ecuación de cantidad de movimiento
)r
Demostración Ya obtenida la ecuación de cantidad de
movimiento podemos aplicarle la ley de la viscosidad de Newton:
La ley de Newton nos dice:
Sustituyendo en la E .Cantidad de Movimiento
=)r
Demostración Donde primero despejamos a la viscosidad:
=)r Obteniendo esa ecuación podemos integrar respecto
al radio manteniendo todo lo demás constante = -* Donde obtenemos:
Demostración
Aplicando condiciones limites
Sustituyendo en la ecuación original el valor de
Reordenando términos
Demostración Finalmente gracias a la aplicación de la doble integral
obtenemos de la ecuación de cantidad de movimiento la velocidad máxima :
Velocidad Máxima
Para so aplicamos de nuevo condiciones límites y sustituimos por lo tanto,
Demostración Para calcular la velocidad media = = En donde se resuelve por jerarquía la
primera ecuación
DemostraciónDe la cual obtenemos:
Donde cancelamos términos semejantes
Demostración
Integrando obtenemos = * Por lo que finalmente obtenemos: = Vmedia
Demostración Flujo másico
Conclución Este tipo de fenómeno es aún más complicado
que el de una placa , ya que depende de condiciones cilíndricas. También pudimos observar que en la vida cotidiana podemos aplicarlo ya que nos da una noción de que variables afectan al sistema y de allí poder solucionar problemas o diseñar mejores tuberías.
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