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Deflexión de Vigas-Voladizo 2012

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

E.A.P Ingeniería Civil

Deflexión de Vigas

Análisis de Un Voladizo - Modelado

Curso:

Ecuaciones Diferenciales.

Docente:

Enrique Zelaya de los Santos.

Alumno:

Gonzáles Olórtegui, Cristian Enrique.

Grupo:

“C”

Cajamarca, Diciembre del 2012

1 Universidad Nacional de Cajamarca

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INDICE

Introducción………………………………………………………………………………………………………………………3

Objetivos……………………………………………………………………………………………………………………………4

Justificación………………………………………………………………………………………………………………………5

Marco Teórico……………………………………………………………………………………………………………………6

Análisis Numérico………………………………………………………………………………………………………………8

Desarrollo de la Práctica…………………………………………………………………………………………………12

Conclusiones……………………………………………………………………………………………………………………16

Bibliografía…………………………………………………………………………………………………………………… 17

Infografía……………………………………………………………………………………………………………………….17

Fotos de Edificio………………………………………………………………………………………………………………18

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INTRODUCCIÓN

Las Matemáticas son una parte fundamental de nuestra sociedad y de nuestra vida diaria. Han estado presentes en la historia de la humanidad, y forman parte del núcleo central de su cultura y de sus ideas. Las Matemáticas se aplican en las otras ciencias, de la naturaleza y sociales, en las ingenierías, en las nuevas tecnologías, así como en las distintas ramas del saber. El desarrollo económico, científico y tecnológico de un país sería imposible sin las Matemáticas. Además, éstas “intervienen”, aunque estén ocultas, en casi todas las actividades de nuestra vida diaria. Así, las comunicaciones por telefonía móvil, las cámaras digitales, el uso de los cajeros automáticos de un banco, la predicción del tiempo, la televisión vía satélite, los ordenadores, Internet, la gestión de fondos de inversión, de seguros de vida y de los planes de pensiones, la construcción de obras públicas, el scanner y TAC de los médicos, y un largo etcétera, son imposibles sin las Matemáticas.

En lo que respecta a las ecuaciones diferenciales, en la actualidad, son una conquista grandiosa, ya que a través de ellas se puede representar diferentes modelos que observa en la naturaleza para plantear soluciones a diferentes problemas que se puedan presentar. Si bien muchas veces no se logra capturar en estas todas las variables, los resultados se aproximan bastante.

Fueron muchos los matemáticos que las estudiaron y las estudian, unos de los más importantes fueron Newton y Leibnis. Con estos dos genios va a hacer irrupción en la historia de la ciencia una de las herramientas matemáticas más potentes, el cálculo diferencial y el cálculo integral. Con ellos nacerá un nuevo paradigma científico: la Naturaleza puede ser explicada a base de ecuaciones diferenciales.

En la actualidad la construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos.

Pero, además, las ecuaciones diferenciales son fundamentales en Ingeniería, con las cuales se plantean modelos, se resuelven operaciones, se gestan proyectos, y un largo etc. más.

Uno de los campos dentro de los cuales más se las aplica es dentro de la rama de ingeniería civil, campo que nos compete y que en esta oportunidad será motivo de nuestro estudio.

Las estructuras hoy en día construidas implican un gran número de elementos estructurales, los cuales son diseñados a través de la evaluación para su resistencia por medio de las ecuaciones diferenciales.

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OBJETIVOS

GENERALES

Analizar y demostrar la importancia de las ecuaciones diferenciales en Ingeniería Civil.

Analizar el elemento estructural (viga en voladizo), haciendo un modelado a través de las ecuaciones diferenciales.

ESPECÍFICOS

Analizar la deflexión en una viga en voladizo mediante las ecuaciones diferenciales

Determinar la ecuación de la curva clásica de deformación

Determinar la flecha producida en una viga en voladizo por efecto de las cargas y su peso propio.

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JUSTIFICACIÓN

En el campo de la ingeniería civil nos vemos involucrados a relacionarnos con diferentes elementos estructurales, los cuales reaccionan de una forma muy particular dependiendo de su naturaleza, lo que hace necesario y a la vez obliga a realizar una evaluación utilizando diferentes métodos, uno de los cuales es la utilización de ecuaciones diferenciales.

Estos elementos sufren diferentes cambios, en relación a la carga que soportan, el material de los cuales están hechos, el medio ambiente, temperatura, entre otros. Estos elementos antes mencionados vienen a ser las variables, las cuales son evaluadas e inter relacionadas a fin de poner un determinado sistema e equilibrio, y a la vez pueda soportar las cargas para lo cual fue diseñada.

Esto es motivo suficiente para que el presente trabajo se centre en evaluar las cargas y la reacción que tendrá en la viga (en voladizo) mediante la utilización de ecuaciones diferenciales.

El presente trabajo se relaciona directamente con los cursos de Mecánica de Sólidos y Estructuración y Cargas, en los cuales las ecuaciones diferenciales son de suma importancia para su resolución

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MARCO TEÓRICO

Consideremos una viga delgada de sección rectangular constante de material elástico lineal para el cual la relación tensión-deformación viene dada por la ley de Hooke:

σ=Eε (1)

Dónde: σ representa la tensión, ε la deformación unitaria y E es el módulo de elasticidad o módulo de Young del material.

En primer lugar suponemos que la hipótesis de Bernoulli-Euler es válida, es decir, que las secciones planas de la viga perpendiculares al eje neutro antes de la deformación permanecen planas y perpendiculares al eje neutro después de la deformación. Además suponemos que las secciones planas de la viga no cambian su forma y superficie.La relación momento-curvatura de Euler-Bernoulli para una viga de sección constante de material elástico lineal puede escribirse en la forma

M=EIk (2)

Dónde: M momento flector en una sección dada de la viga. I momento de inercia de la sección de la viga respecto al eje neutro k curvatura de la elástica.

Para una viga de sección rectangular de base b y altura h, el momento de inercia de la sección es:

I=b∗h3

12 (3)

Derivando la ecuación (2) respecto a s se obtiene la ecuación diferencial:

dkds

=( 1EI )( dM

ds) (4)

La Imagen 1 muestra un esquema de una viga empotrada por un extremo, sometida a una carga vertical concentrada F en su extremo libre y a una carga uniformemente distribuida w a lo largo de su longitud, junto con la definición de distintos parámetros geométricos. En esta figura δx y δy son los desplazamientos horizontal y vertical del extremo libre, respectivamente, y φ 0 tiene en cuenta la máxima pendiente de la viga que se obtiene en el extremo libre de la misma. Tomamos el origen de coordenadas en el empotramiento de modo que (x,y) son las coordenadas de un punto A de la línea neutra de la viga y s es la longitud de arco a lo largo de la viga flexionada.

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Figura 1. Esquema de la viga flexionada y definición de los parámetros geométricos.

El momento flector M en el punto A puede calcularse fácilmente en coordenadas cartesianas y su valor es:

M (s )=∫s

L

(w∗[ x (u )−x ( s) ] du )+F ( L−δ x−x ) (5)

Siendo ( L−δ x−x ) la distancia desde la sección de la viga en el punto A al extremo libre y F es la fuerza puntual aplicada. Derivando la ecuación (5) respecto a s y teniendo en cuenta la

relación cosφ=dxds

, se obtiene:

dMds

=−w ( L−s ) cosφ−Fcosφ (6 )

Sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación (4) queda:

d2 φ(s)d s2 =−1

EI[w ( L−s)+F ] cos(φ (s )) (7 )

Donde se ha tenido en cuenta la relación entre la curvatura k y el ángulo φ:

k=dφds

(8)

Las condiciones de contorno de la ecuación (7) son las siguientes.

φ (0 )=0 (9 ) φ '(L)=0 (10 )

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Donde φ '(s)=dφ ( s )

ds

A partir de las relaciones cos φ (s )=dxds

y senφ (s )=dyds

, las coordenadas (x,y) de los puntos

de la elástica de la viga pueden calcularse, una vez conocidos los valores de φen función de s, mediante las ecuaciones:

x (s )=∫0

s

cosφ ( s )ds (11)

y (s )=∫0

s

senφ ( s) ds (12)

Analizando la Imagen 1 puede verse como los desplazamientos horizontal y vertical del extremo libre de la viga pueden calcularse utilizando las ecuaciones (11) y (12) evaluadas para el caso s = L:

δ x=L−x (L) (13)

δ y= y (L) (14)

ANÁLISIS NUMÉRICO

Para resolver numéricamente la ecuación diferencial no lineal de segundo orden (7), se transforma ésta en un sistema de dos ecuaciones diferenciales a través de las variables x1 y x2 definidas mediante las ecuaciones:

x1=φ ; x2=dφ /(ds ) (15)

Con lo cual la ecuación (7) puede escribirse como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden en la forma:

d x1

ds=x2

d x2

ds=−1

EI[w ( L−s )+F ] cos (x1) (16)

Con las condiciones de frontera:

x1(0)=0 ; x2(l)=0 (17)

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Considerando las ecuaciones (16) y (17) se tiene un problema no lineal con condiciones de frontera. Es bien conocido que la solución numérica de este tipo de problemas es mucho más complicada que un problema de condiciones iniciales, para los cuales pueden aplicarse los algoritmos numéricos del tipo Runge-Kutta. Otra estrategia de solución para las ecuaciones (16) y (17) podría ser la aplicación del método de las diferencias finitas. Sin embargo, al ser las ecuaciones no lineales se obtiene un sistema de ecuaciones algebraico no lineal cuya solución puede ser muy complicada.

Las consideraciones anteriores han llevado a reducir la solución de un problema de condiciones de frontera a otro de condiciones iniciales. Para ello se utiliza el método de disparo, en el que el valor inicial de la variable x2 en s = 0 se supone conocido y se aplica un método de integración para el problema de condiciones iniciales dadas por:

x1(0)=0 ; x2(0)=x20 (18)

Donde x20 es el valor supuesto. En este trabajo se ha utilizado el método de Runge-Kutta- Fehlberg, el cual tiene la posibilidad de estimar el error en cada paso de integración y se comporta muy bien con pasos de integración no excesivamente pequeños. Puesto que se necesita la solución exacta de la variable x2 para el valor de s = L, el paso de integración se mantiene fijo, no siendo necesario calcular el error en cada paso de integración, con lo cual disminuye el tiempo de ejecución del algoritmo.Una vez resueltas las ecuaciones (16) y (18) será altamente improbable que con el valor supuesto de x20 en s = 0, se obtenga x2(L) = 0, por lo que será necesario introducir una corrección de x20 y volver a repetir los cálculos hasta obtener un valor x2(L) muy pequeño. En este trabajo los cálculos se consideran satisfactorios cuando se verifica la condición:

|x2(L)|<10−8 (19)

Cada vez que se ejecuta el algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg, el valor de x20 se ajusta de la siguiente forma:

x2i (0 )=x2

i−1 (0 )−a x2i−1(L) (20)

Siendo:

x2i−1 (0 ): Valor inicial supuesto en la iteración i-1

x2i−1 ( L ): Valor alcanzado en el extremo libre de la barra en la iteración i - 1.

x2i ( L ): Valor de x2 que se utiliza para arrancar la iteración i

a : Parámetro que depende del valor de la fuerza aplicada F en el extremo de la barra y del intervalo de simulación T: a = a(F,T) , a £ 1.

Se ha comprobado que conforme aumenta la fuerza F, es necesario disminuir el valor de a para que el número de iteraciones disminuya hasta alcanzar el valor óptimo. La aplicación

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reiterada del algoritmo de Runge-Kutta-Fehlberg, junto con la ecuación (20), conduce a la solución correcta en un número de iteraciones que oscila entre 10 y 50 para las cargas puntuales F consideradas en este trabajo.

Una vez determinados los valores de j en función de s, para calcular las coordenadas cartesianas x e y se hace uso de las ecuaciones (11) y (12) cuyas integrales se han resuelto utilizando el método de Euler o de los trapecios. Este método proporciona resultados correctos siempre que el número de divisiones de la barra sea elevado. En este caso se han considerado 800 intervalos.

Para comprobar la bondad del método de integración considerado se van a comparar los resultados obtenidos con este método con otro ya conocido. Para ello vamos a suponer que la carga distribuida es nula (w = 0) y que la viga está únicamente sometida a una carga vertical concentrada F en el extremo libre. En este caso la ecuación diferencial (7) se convierte en:

d2 φ (s )d s2 =−F

EIcosφ (s) (21)

Cuya solución da lugar a integrales elípticas [4] que pueden expresarse en términos de funciones elípticas [1]. La Tabla 1 muestra, en función del parámetro adimensional k, los resultados obtenidos para j0, dx/L y dy/L utilizando el método de Runga-Kutta-Fehlberg considerado en este trabajo y los que se pueden calcular utilizando funciones elípticas. Como puede verse existe una buena concordancia entre los resultados obtenidos por ambos métodos.

El parámetro adimensional k considerado es proporcional a la carga vertical puntual F aplicada en el extremo libre de la viga y su valor es:

k=F L2

EI (22)

Pero además sabemos que:

k=1p=dθ

dx=

d ( dVdx )

dx=d2V

d x2

(23)

Hay que recordar que al hacer el estudio de curvatura también se sabe que:

k=1p=

M F

EI (24)

Igualando ambas expresiones de la curvatura obtenemos la ecuación de una viga.

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d2Vd x2 =

M F

EI (25)

Esta ecuación la podemos integrar dos veces para encontrar la deflexión V con la condición de que el momento flector y el momento de inercia estén escritos en función de coordenadas.

También podemos expresar o deducir otra fórmula partiendo desde k

M=EIy ' ' (26)

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DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

El análisis de la viga en voladizo se realizó en el pabellón de Admisión (Edificio 1P) en las instalaciones de la Universidad Nacional de Cajamarca.

Objetivo: Calcular la deformación que ha sufrido este voladizo por las cargas que soporta.

Después de realizar las mediciones se obtuvo que su longitud del voladizo es de 2.5 metros.

Vista Frontal del Edificio Vista Lateral del Edificio

DESARROLLO

Planteamiento del problema

Tenemos un voladizo horizontal de 2.5 metros de longitud que está empotrado en un extremo y libre en el otro. Hay que hallar la ecuación de la curva elástica y flecha máxima si la carga esta uniformemente repartida y es de 300 Kg/m (según norma E-020 para losas de espesor = 20cm)

Solución

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Calculamos el momento en el segmento PR

M=−w (l− x ) (l−x )

2

M=−w ( l− x )2

2

Remplazando valores tenemos

M=−300 (2.5−x )2

2

Igualando con la ecuación 26

M=−300 (2.5−x )2

2=EI y ' '

Por lo tanto tenemos que el P.V.I:

EI y ' '=−300 (2.5−x )2

2

y ' (0 )=0 , y (0 )=0

Ahora procedemos a integrar

EI y ' '=−300 (2.5−x )2

2

∫EI y ' ' dx=−∫ 300 (2.5−x )2

2dx

EI∫ y ' ' dx=−∫ 300 (2.5−x )2

2dx

EI y '=−50¿ ( x−2.5 )3+c1

Como y’ en el punto l=0 es 0, entonces:

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EI y ´ ( l )=−50¿ ( x−2.5 )3+c1

0=−50¿ (2.05−2.5 )3+c1

c 1=0

Luego:

EI y '=−50¿ ( x−2.5 )3

Volvemos a integrar y tenemos:

EI∫ y ' dx=−∫50¿ ( x−2.5 )3 dx

EIy=−25¿ ( x−2.5 ) 4

2+c2

Como y(0) =0, entonces tenemos:

c 2=−488.281

Entonces tenemos:

y=−1EI

∗(25¿ ( x−2.5 )4

2+488.281)=> curva elástica

Máxima deformación vertical cuando x=2.5

y=−488.281EI

= flecha

Ahora como:

Momento de inercia I= b*h3/12 = 0.005

E = 53.61 GPa

Remplazando tenemos:

Curva elástica:

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y=−0.003∗(25¿ (x−2.5 )4

2+488.281)

Flecha:

y=−0.169 metros=16.9cm .

CONCLUSIONES

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Pudimos analizar y demostrar la importancia de las ecuaciones diferenciales en Ingeniería Civil.

Por medio de estas se pudo determinar la curva elástica y flecha de una viga en voladizo del pabellón de Admisión Edificio 1P ubicado en el campus de la UNC.

Los resultados obtenidos fueron:

Curva elástica:

y=−0.003∗(25¿ (x−2.5 )4

2+488.281)

Flecha:

y=−0.169 centimetros .

BIBLIOGRAFÍA

R.C. Hibbeler. Mecánica de Materiales, Prentice Hall, México, 1998.

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GERE JAMES. Mecánica de Materiales. 5ª edición. Thomson Learning Editores.2002.

NASH WILLIAM. Teoría y problemas de resistencia de materiales. Editorial Mc Graw-Hill.1973.

INFOGRAFÍA

http://nowey.wordpress.com/2007/11/19/las-matematicas-en-la-vida-cotidiana/ (Visitada 09/12/2012)

http://rua.ua.es/dspace/bitstream/10045/9214/1/VIII_PMS_Gandia_2002.pdf (Visitada 09/12/2012)

http://www.slideshare.net/rafaellozano/flexion-de-vigas-1222544#btnNext (Visitada 09/12/2012)

http://www.oocities.org/ar/am2_utn/modelado.pdf (Visitada 09/12/2012)

FOTOS EDIFICIO

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