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AMORTIZACIÓN CON TABLAS CONGRADIENTES

YINA PAOLA TRUJILLO MATIZ

FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTÍNMATEMATICAS FINANCIERAINGENIERIA DE SISTEMAS

2010.

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AMORTIZACIÓN CON TABLAS CONGRADIENTES

YINA PAOLA TRUJILLO MATIZ

DOCENTE:WLLIAM MENESES JIMENEZ

CONTADOR PÚBLICO

FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTÍNMATEMATICAS FINANCIERAINGENIERIA DE SISTEMAS

2010.

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INTRODUCCIÓN

En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente:

Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en UM 250 mensuales sin importar su monto).

Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)

La aplicación de gradientes en los negocios supone el empleo de dos conceptos dependiendo del tipo de negocios: Negocios con amortización (crédito), tipo en el que partimos de un valor actual, con cuotas crecientes pagaderas al vencimiento y con saldo cero al pago de la última cuota.

Negocios de capitalización (ahorro), tipo en el que partimos de un valor actual cero con cuotas crecientes acumulables hasta alcanzar al final del plazo un valor futuro deseado.

Gradientes diferidos. Son aquellos valorados con posterioridad a su origen. El tiempo que transcurre entre el origen del gradiente y el momento de valoración es el período de diferimiento o de gracia.

Gradientes anticipados o prepagables. Aquellos valorados anticipadamente a su final. El tiempo que transcurre entre el final del gradiente y el momento de valoración es el período de anticipación. Pago o cobro por adelantado. Los valores actuales y futuros de los gradientes anticipados (adelantados) o prepagables son calculadas a partir de las vencidas o pospagables multiplicado por (1 + i).

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OBJETIVOS

GENERAL

Dar al estudiante las herramientas necesarias, básicas, complementarias y aplicativas de la continuidad de los Fundamentos de Matemática Financiera, como herramienta fundamental de la dinámica actual de los negocios, con fundamento en la aplicación matemática, para la toma de decisiones financieras empresariales.

ESPECIFICOS

Crear mentalidad empresarial.

Aplicar las herramientas y utilizar los procesos necesarios en la búsqueda

de la mejor alternativa de financiamiento en el sistema financiero.

Identificar la mejor alternativa de inversión en las fuentes externas de la

empresa, cuando hallan excesos de liquidez.

Desarrollar habilidades y destrezas en la aplicación de procesos en

diferentes escenarios para la Evaluación de Alternativas de Inversión, para

la toma de decisiones financieras.

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JUSTIFICACIÓN

Este proyecto de investigación a porta mucho a nuestra carrera como ingenieros de sistemas, ya que debemos tener base de temas tan importantes como lo son: las matemáticas financieras, la contabilidad, la finanzas, etc. Ya que nos aporta mucho al campo de la programación y la creación de nuevos software para implementar en muchas empresa.

METODOLOGÍA

Se fundamenta en el trabajo tutorial y la respuesta de los estudiantes en el encuentro y su trabajo independiente.

En este sistema el tutor es el encargado de orientar el trabajo, tanto presencial como independiente de los estudiantes, mediante la programación y organización de una serie de actividades formativas en las que se enfrentan los problemas, se fundamentan en los conocimientos, se indaga la realidad y se retroalimenta para el cumplimiento de las metas de aprendizaje.

El sistema tutorial se apoya fundamentalmente en dos estrategias:

Socialización en plenarias de saberes y experiencias adquiridas durante las actividades independientes, las cuales deben generar un proceso de reflexión y análisis de los elementos más significativos que es preciso transformar sobre la base de la realidad. De esta manera, al llegar a sus propias conclusiones, los estudiantes se apropian de ellas y las interiorizan, puesto que les pertenecen; son suyas y no de otro.

La socialización de saberes y experiencias apoyándose en carteleras, acetatos, reconstrucciones, dramatizaciones, videos y otros medios didácticos.

La orientación y asesoría sobre los trabajos desarrollados en las actividades no presénciales, a través del teléfono, el fax y el acercamiento virtual.

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SALDOS INSOLUTOS, DE HECHOS ADQUIRIDOS Y CUADRO DE AMORTIZACIONES.

Con el propósito de ver como varia con cada abono la porción que amortiza al capital que se adeuda, para obtener el saldo insoluto en cualquier momento o para conocer con precisión la magnitud de los intereses, que en algunos lugares son deducibles de impuestos ( de ahí su importancia). Es de mucha utilidad el recurso de una tabla o cuadro de amortización.

Por otro lado y simplemente para no pagar mas intereses, puede suceder que antes de vencerse el plazo, el deudor pretenda al liquidar el resto de su deuda mediante un desembolso anual. Puede suceder y esto es más frecuente, que al haber comprado en abonos una casa, departamento, terreno o cualquier otro bien, se tenga la necesidad de venderlo o traspasarlo antes de terminar de pagarlo.

Preparación de la tabla de amortización. Para poder analizar el contenido de una tabla primero se debe tomar en consideración el modo de pago, con el cuál se va a amortizar, bien sea, mensual, trimestral o semestral. Por consiguiente, los valores de los pagos (columna A), el gasto de intereses (Columna B), y la reducción en el saldo no pagado (Columna C)serán calculados de acuerdo al tiempo.

Los datos de la tabla son:

1. Períodos de interés (Fecha de expedición).2. Fecha de pago.3. Pago (bien sea mensual, semestral o trimestral) (Columna A)4. Gastos por intereses (Columna B)5. Reducción en el saldo no pagado (Columna C)6. Saldo no pagado (Columna D).

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La tasa de interés que se utilice en la tabla tiene una importancia especial; esta tasa debe coincidir con el período entre fechas de pago. Por lo tanto, si los pagos se realizaran de manera mensual (por ejemplo) la columna B de gastos por intereses deberá estar basada en la tasa de interés mensual y así sucesivamente. Una tabla de amortización se realiza con el monto original del pasivo que encabeza la columna de saldos no pagados. Los valores de los pagos mensuales mostrados en la columna A, se especifican mediante un contrato de cuotas. El gasto por interés mensual, que aparece en la columna B, se calcula para cada mes aplicando la tasa de interés mensual al saldo no pagado al principio de ese mes. La porción de cada pago que reduce el valor del pasivo (Columna C) es simplemente el monto restante del pago (Columna A – Columna B). Finalmente, el saldo no pagado del pasivo (Columna D) se ve reducido cada mes por el monto indicado en la columna C. La preparación de cada línea horizontal en una tabla de amortización representa la elaboración de los mismos cálculos con base en un nuevo saldo no pagado.

Ejemplo: Supóngase que se consigue un préstamo de $1,000.00 que se liquidara con 10 pagos mensuales iguales y recargos del 24% nominal mensual.

Datos: Formula: -np

C= $1,000.00 n= np C= R 1- (1+i/P) / (i/p)

n= 10 np= 10

P= 12 -10

i= .24 1,000.00 = R 1- (1+.020) / .020

i/P = .24/12 = .020

1,000.00 = R (8.982585)

R = 1,000.00 / 8.98255

R = 111.326527

TABLA DE AMORTIZACIONES:

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PERIODO RENTA

INTERES

I = Cni

AMORTIZACION

A = R - I

SALDO

INSOLUTO

0 --------------------- --------------------------------------------

-$1,000.00

1 111.326527 20.00000 91.32653 $ 908.67347

2 111.326527 18.17346 93.15306 $ 815.52040

3 111.326527 16.31040 95.01611 $ 720.50428

4 111.326527 14.41008 96.91644 $ 623.58783

5 111.326527 12.47175 98.85477 $ 524.73305

6 111.326527 10.49466 100.83186 $ 423.90118

7 111.326527 8.47802 102.84850 $ 351.05267

8 111.326527 7.02105 104.30547 $ 246.74719

9 111.326527 4.93494 106.39158 $ 140.35560

10 111.326527 2.80711 108.51941 $ 31.83618

113.2653

I = M - C

( R ) ( P ) - C

I = (111.326527)(10) - 1,000.00 I = 113.2653

Para corroborar algún numero de pago de alguna mensualidad, tenemos:

DEUDA ORIGINAL = SALDO + DERECHOS ADQUIRIDOS POR EL DEUDOR.

Donde np = es él numero de pagos que faltan por realizare.

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Ejemplo: Del ejemplo anterior corroborar el octavo pago:

-np

C = R 1- (1 + i/P) / (i/p)

-8

C = (111.326527) 1 - (1 + .020) / 0.20

C = (111.326527) (7.32548)

C = 815.52040

AMORTIZACION GRADUAL

La parte que amortiza el capital va creciendo gradualmente como se avanza con los pagos.

Debe cumplirse que la magnitud de cada periodo sea mayor que los intereses que genera la deuda, porque de lo contrario esta nunca se cancelaría, sino que más bien, aumentaría con el tiempo.

Ejemplo: Para pagar su colegiatura anual, el padre de un estudiante consigue un préstamo por $7,000.00 con recargos del 18% nominal. ¿Cuántos abonos quincenales de $700.00 le serán necesarios para amortizar su adeudo?

Datos: Formula: -np

C = $7,000.00 C = R 1 - (1 + i/p) / (i/p)

i = 18% = i/j = .18/24 = 0.0075 -24n

R = 700.00 7,0000 = 700 1-(1+0.0075) / 0.0075

P = 24 quincenas -24n

n = ¿ 7,000 /700 = 1-(1+0.0075) / 0.0075

-24n

10 (0.0075) = 1- (1.0075)

-24n

0.075 - 1 = - (1.0075)

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-24n

-1 - 0.925 = - (1.0075)

-24n

0.925 = (1.0075) propiedades de los logaritmos:

n

ln X = n ln X

ln 0.925 = -24n ln 1.0075

-0.07796 = -24n 0.007472014

-0.07796 = -0.17933 n

n = -0.07796 / -0.17933

n = .43473 Esto es años pero lo que buscamos es en quincenas, por lo tanto tenemos: (.43473)(24 quincenas) = 10.4335.

recalculando con n=10.43 tenemos:

-np

C = R 1 - (1+i/P) / (i/P)

-10.43

7,000 = R 1 - (1+0.0075) / 0.0075

7,000 = R (9.9964)

R = 7,000 / 9.9964

R = $700.25

AMORTIZACION CONSTANTE

Sé a dicho que el sistema de amortización constante se presenta cuando cada pago, la porción que reduce al capital se mantiene constante y no creciente como en el gradual. Esta amortización es siempre la misma y esto da origen a que el tamaño de los pagos se reduzca paulatinamente.

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FORMULAS:

El primer pago: R1 = (C/np)(1+in); el N-esimo es:

RN = (C/np) 1+in - (N-1)(i/p)

2

La diferencia entre dos pagos sucesivos es: d = Ci / np

Donde:

C = Deuda original, el valor actual.

n = Plazo en años.

p = Numero de amortizaciones por año.

i = tasa de interes compuesto.

N = Numero de periodos.

Ejemplo: Con el sistema de amortización constante, los intereses del 60% nominal quincenal y un plazo de 2 años, calcular la magnitud de los primeros cuatro pagos quincenales que se hacen para amortizar un adeudo de $4,800.00 y elaborar un cuadro de amortización. También calcular los derechos poco después de haber hecho el abono numero 35.

Datos:

i = 60 % quincenal

n = 2 años

C = $4,800.00

np = 24 quincenas en un año

R1 = ¿

R2 = ¿

R3 = ¿

FORMULA:

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R1 = (C/np)(1+in)

R1 = (4,800/48)(1+(.60)(2))

R1 = 220

DIFERENCIA:

2

d = Ci/np

2

d = (4,800)(.60) / 2(24)

d = 2,880 / 1,152

d = 2.50

Teniendo este dato podemos obtener las R2, R3 y R4:

R2 = R1-d R3 = R2-d R4 = R3-d

R2 = 220-2.50 R3 = 217.50-2.50 R4 = 215-2.50

R2 = 217.50 R3 = 215 R4 = 212.50

Si queremos saber cual será el pago de la renta numero treinta, tenemos:

R30 = (4800/48) 1+(.60)(2)-(30-1)(.60/24)

R30 = 100 1+1.2-(29)(0.025)

R30 = 100(2.2-0.725)

R30 = 100(1.475)

R30 = 147.50

NOTA: Al efectuar este pago el saldo es de $100.00 y los intereses son:

I = nC(i/p)

I = (1)(100)(.60/24)

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I = 2.50

Y por lo tanto, dicho pago es de:

R48 = 100+2.50

R48 = 102.5

TABLA DE AMORTIZACIONES:

PERIODO RENTA

INTERESES

I = Cn(i/p)

AMORTIZACION

A = R - I

SALDO

INSOLUTO

0 -------------------- ------------------- ------------------------ $4,800.00

1 220 120 100 $4,700.00

2 217.50 117.50 100 $4,600.00

3 215 115 100 $4,500.00

4 212.50 112.50 100 $4.400.00

.

.

.

30 147.50 47.50 100 $1,800.00

.

.

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.

47 105.00 5 100 $100.00

48 102.50 2.5 100 0

Método de amortización con términos amortizativos variables en progresión

Este método amortizativo se caracteriza porque:

Los términos amortizativos varían en progresión aritmética, y, El tanto de valoración y la razón de la progresión permanecen constantes,

durante toda la operación.

Es importante el estudio de la razón aplicada. De esta razón va a depender la variación que se irá produciendo en las cuotas. Así, a mayor razón menor es la cuota inicial y mayor será la final.

Además el importe de la razón es proporcional al total de los intereses paga-dos. Así, tenemos que a mayor razón, mayor es el importe de los intereses pagados y a la inversa. Esto se debe a que una mayor razón hace que al principio amorticemos un menor capital, o que incluso el importe de la cuota no llegue a cubrir el importe de los intereses, con lo que éstos se acumularán al capital y volverán a generar intereses.

Gráficamente, el esquema de cobros y pagos de la operación para un préstamo de C0, a amortizar en n períodos, con pagos que varían en progresión aritmética de razón conocida d, al tipo de interés i, es el siguiente:

 

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7.1. PASOS A SEGUIR

7.1.1. Cálculo de los términos amortizativos (ak)

Planteando una equivalencia financiera en el origen entre el importe del préstamo y la renta en progresión aritmética formada por los términos amortizativos, cuyo valor actual se pondrá en función del primer término y la razón de la progresión.Al desarrollar esta equivalencia resulta la siguiente ecuación donde la variable a despejar será el primer término amortizativo (a1).

 

 

Una vez calculado el primer término amortizativo, al seguir los demás una pro-gresión aritmética, el resto de ellos se calculará a través de dicha ley, así:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2d...ak+1 = ak + d = a1 + k x d...an = an-1 + d = a1 + (n - 1) x d

7.1.2. Cálculo de las cuotas de amortización (Ak)

7.1.2.1. 1.ª posibilidad: a través de la estructura del término amortizativo

Una vez calculados los términos amortizativos, se cumple lo siguiente:

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Período 1: a1 = I1 + A1 = C0 x i + A1, de donde se despeja A1 (ya que lo demás se conoce)Período 2: a2 = I2 + A2 = C1 x i + A2 = (C0 - A1) x i + A2, y despejamos A2,Período 3: a3 = I3 + A3 = C2 x i + A3 = (C1 - A2) x i + A3, y despejamos A3,

y así se continuaría hasta calcular el resto de cuotas de amortización.

7.1.2.2. 2.ª posibilidad: a través de la ley de recurrencia que siguen las cuotas de amortización

Al ser variable el término amortizativo las cuotas de amortización variarán, de-pendiendo de la razón de la progresión y el tipo de interés del préstamo. No obstante, se puede comprobar si lo hacen siguiendo alguna ley matemática (ley de recurrencia).

Se trata de encontrar la relación matemática que siguen dos cuotas de amortiza-ción consecutivas. Para ello se relacionan por diferencias los términos amortizativos de dos períodos consecutivos cualesquiera:

Período k:         ak = Ik + Ak = Ck-1 x i + Ak

Período k+1:     ak+1 = Ik+1 + Ak+1 = Ck x i + Ak+1

                                 ---------------------------------------------

                         ak - ak+1 = (Ck-1 - Ck) x i + Ak - Ak+1

siendo: Ck-1 - Ck = Ak, queda:

ak - ak+1 = Ak x i + Ak - Ak+1

además, se cumple:

ak+1 = ak + d

de donde se obtiene:

Ak+1 = Ak x (1 + i) + d

expresión según la cual cada cuota de amortización se puede obtener a partir de la anterior de manera fácil. No obstante, si lo que se quiere es calcular cualquier cuota a partir de la del primer período, la expresión a aplicar será:

 

 

Page 17: Finanazas AMORTIZACIONES

7.1.3. Cálculo del total amortizado después de k períodos (mk)

Conocer la totalidad de la deuda amortizada en un momento de tiempo concreto se puede hacer de dos formas posibles:

Por diferencias, entre el importe del préstamo y lo que aún se debe:

mk = C0 – Ck

Por sumas de cuotas de amortización practicadas hasta la fecha:

mk = A1 + A2 + … + Ak

7.1.4. Cálculo del capital vivo a principios del período k+1 (Ck)

Como en el caso de los préstamos con términos amortizativos en progresión geométrica, la forma más fácil de calcular capitales pendientes será a partir de los términos amortizativos, realizados o pendientes, valorados financieramente en el momento en que se quiera calcular la deuda viva (momento k).

 

 

7.1.4.1. 1.ª posibilidad: método retrospectivo, a través de los términos amortizativos pasados

 

 

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en k se debe cumplir:

lo que se debe en k = [lo recibido – lo pagado]k

por tanto en k:

 

 

7.1.4.2. 2.ª posibilidad: método prospectivo, a través de los términos amortizativos futuros

 

 

en k se debe cumplir:

lo que supondría la cancelación total en k = [cantidades pendientes de pagar]k

por tanto en k:

 

 

7.1.5. Cálculo de la cuota de interés del período k+1 (Ik+1)

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Los intereses de cualquier período se calcularán a partir de la deuda pendiente a principios de ese período, al tanto efectivo vigente durante el mismo.

Ik+1 = Ck x i

 

EJEMPLO 7

Construir el cuadro de amortización de un préstamo de 10.000 euros, al 10% de in-terés anual, amortizable en 3 años, con anualidades que van aumentando 100 euros cada año.

 

  (1) (2) (3) (4) (5)

Años Término

amortizativoCuota de interés

Cuota de amortización

Total amortizado

Capitalvivo

0123

3.927,494.027,494.127,49

1.000,00707,25375,22

2.927,493.320,243.752,27

2.927,496.247,73

10.000,00

10.000,007.072,513.752,27

Total 12.082,47 2.082,47 10.000,00    

 

Descripción de los pasos a seguir para construir el cuadro:

(1) Se calcula el importe del pago total a realizar en el primer período (término amortizativo) a través de la fórmula anterior.

(2) La cuota de interés se calcula sobre el capital pendiente a principios de cada período (5).(3) La cantidad destinada a amortizar será la diferencia entre el total pagado en el

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período (1) y lo que se dedica a intereses (2).(4) Se calcula el total amortizado por sumas parciales de las cuotas de amortización practicadas hasta la fecha.(5) La deuda pendiente se obtendrá de restar al capital a principios de cada período la cuota de amortización de ese mismo período, o bien, al importe del préstamo se le resta el total amortizado (4) ya acumulado.

.1. Gradiente uniforme

La progresión aritmética, quiere decir, cada término es el anterior aumentado (o disminuido) en un mismo monto.

El gradiente uniforme es una sucesión de flujos de efectivo que aumenta o disminuye en forma constante. El flujo de efectivo, bien sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada período de interés. El gradiente (G) es la cantidad del aumento o de la disminución. El gradiente (G) puede ser positivo o negativo. Las ecuaciones generalmente utilizadas para gradientes uniformes, pospagables son:

Permiten calcular el valor actual de un gradiente aritmético creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo. Sólo tienen aplicación en el siguiente flujo de caja:

Para el cálculo de los gradientes prepagables, basta con multiplicar por (1 + i) el valor actual o futuro (según el caso) del gradiente pospagable.

5.2. Anualidades perpetuas o costo capitalizado

Son anualidades que tienen infinito número de pagos, en la realidad, las anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin embargo, cuando el número de pagos es muy grande asumimos que es infinito.

Este tipo de anualidades son típicas cuando colocamos un capital y solo retiramos intereses.

Para el cálculo de la anualidad en progresión geométrica perpetua operamos, a través del límite cuando el número de términos de la renta (n) tiende a infinito. Siendo esto lo que caracteriza a una perpetuidad, de forma que el valor de los últimos flujos al descontarlos es insignificante, a saber:

Ingresando la variable C dentro del paréntesis, nos queda:

El término cuando n es muy grande hace tender su valor a cero por lo tanto el valor de la anualidad de muchos términos, llamada perpetuidad, la calculamos con la fórmula de la serie infinita:

Fórmula o ecuación de la serie infinita, sirve para calcular el valor actual de una perpetuidad, conociendo la tasa de interés periódica y la cuota.

Las perpetuidades permiten calcular rápidamente el valor de instrumentos de renta fija (VAP) por muchos periodos, «C» es el rendimiento periódico e «i» la tasa de interés para cada periodo. Ejemplos de perpetuidades, son las inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler por

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arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los proyectos de obras públicas, carreteras, presas, valuación de acciones, etc.

Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe permanecer intacto después de efectuar el pago anual.

5.3. Gradiente geométrico

Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago. En la progresión geométrica cada término es el anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión, representado por E.

5.3.1. Valor actual de un gradiente en escalera

Devuelve el valor actual de un gradiente en “escalera”, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

Un gradiente en escalera es aquel en el cual se presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo cuatro cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

5.4. Valor futuro de gradientes

A partir del VA actual obtenido con las fórmulas respectivas, calculamos el valor futuro de una serie con gradiente, ya sea aritmético o geométrico, creciente o decreciente, conociendo la tasa de interés periódica, el gradiente y el plazo.

El valor futuro de gradientes, tiene que ver con negocios de capitalización, para los cálculos partimos de cero hasta alcanzar un valor ahorrado después de un plazo determinado.

5.4.1. Valor futuro de un gradiente en escalera

Es una serie de pagos iguales que al terminar tienen una variación y vuelve a presentarse la serie de pagos iguales.

El cálculo del VF de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, es posible cuando conocemos la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales. Estos gradientes también son de capitalización.

5.4.2. Pago de un gradiente

Es el primer pago de una serie con gradiente aritmético o geométrico, creciente o decreciente, que se obtiene conociendo la tasa de interés periódica, el plazo, el valor presente o el valor futuro. Presente en problemas de amortización y capitalización.

En los problemas de amortización, es posible utilizar el valor presente y valor futuro, ambos se pueden presentar simultáneamente, como es el caso del leasing en el cual debemos amortizar un valor inicial (VA) y al final del plazo pagar un valor de compra (VF) para liquidar la operación.

Al confeccionar las tablas de amortización, en los problemas de capitalización, como partimos de un valor ahorrado igual a cero, para conseguir un valor futuro no utilizamos el valor inicial.

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5.4.3. Pago en escalada conociendo el VF

Utilizado solo para casos de amortización. Reiteramos que un gradiente en escalera presenta una serie de pagos iguales (por ejemplo 18 cuotas mensuales) y al terminar ocurre un incremento y vuelve a presentarse la serie mencionada.

Pago en escalada conociendo el VF, es calcular el valor de la primera cuota de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, conociendo el valor actual amortizable, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

5.4.4. Pago en escalada conociendo el VF

Utilizado solo para casos de capitalización. Permite conocer el valor de la primera cuota de un gradiente en “escalera”, creciente o decreciente, conociendo el valor futuro a capitalizar, la tasa de interés periódica, el gradiente, el plazo total y el valor de la serie de pagos iguales.

5.4.5. Tasa periódica de un gradiente

Conociendo el gradiente, el plazo, el valor de la primera cuota y el valor presente y/o futuro podemos obtener la tasa de interés por período de un gradiente. Aplicable para gradientes aritméticos o geométricos, crecientes o decrecientes y casos de amortización o de capitalización

BIBLIOGRAFIA

INGENIERIA ECONOMICA, Guillermo Baca Matemáticas Financieras ,Jhonny de Jesús Meza Orozco Matemáticas Financieras , Alberto Cardona Matemáticas Financieras, Jaime A. García.

Page 23: Finanazas AMORTIZACIONES

Fundamento de Administración FinancieraFred Weston.

ADMINISTRACION FINANCIERA, Fundamentos y aplicaciones. Oscar León Garcia.

MANUAL DE MATEMATICAS FINANCIERAS. Jorge E. Sánchez Vega WESTON COPELAND, FINANZAS EN LA ADMINISTRACIÓN Editorial

Mc Graw-Hill, México 1990 JAVIER SERRANO-JULIO VILLARREAL. FUNDAMENTOS DE FINANZAS

Editorial Mc Graw- Primera y Segunda Edición.