Ecuaciones diferenciales
Segunda actividad
Situación problema
Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de
1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago
con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica
empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces,
dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde,
bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el
lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada.
Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de
contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un
año (365 días).
Aplicación de ecuaciones
diferenciales de primer orden
• Datos del problema
Volumen del caudal: v = 1000m3/sCaudal entrante: 1000m3/sCaudal saliente: 1000m3/sContaminantes: c1 = 1m
3/s
Datos que no se conoce:
Volumen en cualquier instante de tiempo: v t =?Cantidad de contaminantes en cualquier instante: Q t =?
Aplicación de ecuaciones
diferenciales de primer orden
Se procede a hallar una ecuación diferencial para calcular la
concentración de contaminantes en el transcurso del tiempo entonces
esta estará en función del (t)
Tasa de entrada al lago A A=1000𝑚3
𝑠
Tasa de salida del lago B B=1000𝑚3
𝑠
Concentración de entrada c1=1000𝑚3
𝑠
Concentración saliente depende del tiempo c(t)???
V(t) volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo
Q(t) cantidad de contaminante en cualquier instante
C(t) concentración que hay en cualquier tiempo
Modelado del
problema
• 𝑉 𝑡 = 𝐴 − 𝐵 𝑡 + 𝑉0
•𝑑𝑄
𝑑𝑡= 𝐴 ∗ 𝐶 − 𝐵 ∗
𝑄(𝑡)
𝑉(𝑡)
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
Desarrollo• c(t) Q(t)/v(t) 𝑐 𝑡
𝑄 𝑡
𝑣(𝑡)
Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas.
Variación del volumen depende del tiempo
𝑑 𝑣
𝑑(𝑡)= 𝐴 − 𝐵
La variación del volumen es lo que entra menos lo que sale
d(v)= 𝐴 − 𝐵 𝑑(𝑡)Integrando ambos lados de la ecuación
𝑑𝑣 = 𝐴 − 𝐵 𝑑𝑡
Solucionando las integrales
v= A − B 𝑡 + 𝑐Para hallar C partimos de una condición inicial del volumen en t=0
v= 0 A − B 0 + 𝑐v 0 = 𝑐
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
Desarrollo
Como A y B son iguales el volumen en todo tiempo es el mismo V(t)=1000 millones de metros cúbicos
Ahora para Q
𝑑 𝑄
𝑑(𝑡)= 𝑅1 − 𝑅2
Como A y B son iguales el volumen en todo tiempo es el mismo V(t)=1000 millones de metros cúbicos
Ahora para Q
𝑑 𝑄
𝑑(𝑡)= 𝑅1 − 𝑅2
R1=razón de entrada=A*C1
R2=razón de salida=B*C(t)=B*Q(t)/V(t)
Entonces
𝑑 𝑄
𝑑(𝑡)= 𝐴 ∗ 𝑐1 −
𝐵 ∗ 𝑄(𝑡)
𝑣
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
Desarrollo
• 𝐷𝑒𝑑𝑄
𝑑𝑡= 𝐴 ∗ 𝐶𝑖 −
𝐵𝑄
𝐴−𝐵 𝑡+𝑉𝑜
•𝑑𝑄
𝑑𝑡= 1000 ∗ 1 −
1000𝑄
1000−1000 𝑡+109
•𝑑𝑄
𝑑𝑡= 1000 −
1000𝑄
109
•𝑑𝑄
𝑑𝑡+1000𝑄
109= 1000
•𝑑𝑄
𝑑𝑡+1𝑄
106= 1000
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Se utiliza factor
integrante
• 𝑒 1
106𝑑𝑡= 𝑒𝑡/10
6
• 𝑒𝑡
106𝑑𝑄
𝑑𝑡+ 𝑒
𝑡
50𝑄
106= 1000𝑒
𝑡
106
•𝑑
𝑑𝑡𝑒𝑡
106𝑄 = 1000𝑒𝑡
106
• 𝑒𝑡
106 𝑄 = 1000 𝑒𝑡/106𝑑𝑡
• 𝑒𝑡
106 𝑄 = 1000𝑒𝑡
106 106 + 𝐶
• 𝑒𝑡
106 𝑄 = 109𝑒𝑡
106 + 𝐶
• 𝑄(𝑡) = 109 + 𝐶𝑒−𝑡
106 Solución
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Conversión
• Tiempo (día)
𝑡𝑑 = 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑑 = 14400 𝑠𝑒𝑔
• Tiempo (mes)
𝑡𝑚 = 30𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑚= 432000 𝑠𝑒𝑔
• Tiempo (año)
𝑡𝑎 = 365𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑎= 5256000 𝑠𝑒𝑔
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reemplaza
• Ahora se reemplaza en el tiempo
• 𝑄(𝑡) = 109 + 𝐶𝑒−𝑡
106
• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑑í𝑎:
• 𝑄 𝑡𝑑 = 109 + 𝐶𝑒−14400
106
• 𝑄 𝑡𝑑 = 109 + 0.98𝐶
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Respuesta
• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑠:
• 𝑄 𝑡𝑚 = 109 + 𝐶𝑒−432000
106
• 𝑄 𝑡𝑚 = 109 + 0.64𝐶
• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜:
• 𝑄 𝑡𝑎 = 109 + 𝐶𝑒−5256000
106
• 𝑄 𝑡𝑎 = 109 + 0.0052𝐶
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Grafica
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
Con la ayuda de wólfram alpha