Análisis Matemático IIGuía de Ejercicios
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Haedo
Edición 2020
Cátedra de Análisis Matemático II
Directora de Cátedra: Lic. María E. Trumbich
Profesores: Ing. Oscar Buccolini
Lic. Raúl Igne
Ing. Francisco Cavallaro
Auxiliares Docentes: Fabián Romero
Alberto Da Silva Daninheimer
Nicolás Bassi
Francisco Cavallaro
Gabriel Buccolini
Giselle Villabrille
Análisis Matemático II
Programa analítico
1ra Parte
Unidad 1:
Ecuaciones diferenciales de primer orden. Formación de la ecuación diferencial.
Ecuaciones a variables separables. Trayectorias ortogonales. Ecuaciones
homogéneas. Ecuaciones lineales. Ecuaciones de Bernoulli. Ecuaciones
diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes (homogéneas y no
homogéneas)
Modelado con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
Unidad 2:
Introducción a las funciones de varias variables. Dominio. Curvas de nivel.
Límites reiterados y dobles. Continuidad. Derivada direccional. Derivadas
parciales. Teorema del valor medio. Curvas y superficies en coordenadas
paramétricas. Diferenciabilidad. Fórmula de la derivada direccional cuando la
función es diferenciable. Gradiente y su relación con la derivada direccional.
Unidad 3:
Funciones compuestas. Funciones implícitas. Sistemas de funciones implícitas.
Unidad 4:
Derivadas y Diferenciales sucesivas. Desarrollo en serie de Taylor. Extremos
libres. Extremos ligados (Método de los multiplicadores de Lagrange)
2da Parte
Unidad 5:
Integrales dobles – Volumen. Area alabeada. Integrales triples – Cambio de
variables. Aplicaciones físicas.
Unidad 6:
Integral curvilínea. Teorema de Green. Función potencial (Teorema de existencia
de) Ecuación diferencial exacta. Factor integrante.
Unidad 7:
Divergencia, rotor y gradiente. Circulación. Integrales de Superficie – Flujo.
Teorema de Gauss. Teorema de Stokes.
Nota: En el sitio web http://analisis2.webs.com se encuentran documentos de interés
tales como esta guía de ejercicios, la referencia bibliográfica, la bibliografía evaluada,
tutoriales del Mathematica, ejercicios resueltos, apuntes teóricos y modelos de exámenes
finales.
Los ejercicios de esta guía resueltos en Word, disponibles en el sitio web, están indicados
con el símbolo
Los ejercicios resueltos en Mathematica, están indicados con el símbolo
Esperamos, el sitio web les resulte útil y ante cualquier inquietud agradeceremos nos hagan
llegar sus comentarios a [email protected]
Prof. Fabián Romero
Guía editada por Fabián Romero
Colaboración en las respuestas a los ejercicios: Lic. Beatriz Fernández
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Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 1
Formación de la ecuación diferencial
1_ Exprese la ecuación diferencial asociada a cada una de las siguientes familias de curvas:
Ecuaciones diferenciales a variables separables
2_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y
y ax
con a R
b) 2(1 )x dy ydx
c) 2xdyy yxe
dx
d) 2 ; tal que ( 1) 1x y y xy y
3_ Problemas de formación de ecuaciones diferenciales
a) Demuestre que la curva tal que la pendiente de la tangente en cada punto es
proporcional a la abscisa del punto de tangencia, es una parábola.
b) Halle una curva que pase por el punto (0; –2) de tal modo que el coeficiente
angular de la tangente en cada punto sea igual a la ordenada de ese punto.
2
2 3
2 2
2 2
a) ln
b) sen cos
c)
d)
e)
x x
x a
y ax b
y a x b x
y ae be
y cx c
yx be ax
8
Trayectorias ortogonales
4_ Halle la ecuación de la familia ortogonal asociada a la familia de curvas dada.
Represente ambas familias, en un mismo gráfico, para diferentes valores del parámetro c.
a) cyx 2
b) 2axy
c) cxy
d) cyx 12
5_ Pruebe que la familia de parábolas y2 = 2cx + c2 (c R) es ortogonal a ella
misma.
Ecuaciones diferenciales homogéneas
6_ Halle la solución de:
a) 0 y x dy y dx
b) 2 2x 2 y dx xy dy
c) cos cosy dy y
x y xx dx x
d) 2 2x dy y dx x y dx
e) 0; tal que 1 0y/x y/x y/xxe ye x xe y y
Ecuaciones diferenciales lineales
7_ Halle la solución de:
a) 2 xy y e
b) 3 x dy y dx x dx
c) xeyxdx
dyx 313
d) xxxydx
dyx 23 23
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9
e) 11 ;012
yx
yy
f) 2 2; 0 1y xy y
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
8_ Halle la solución de:
a) 2yx
y
dx
dy
b) 4ln3
dy yy x
dx x
c) 013 32 xayyy
d)
2cos
tg ; 0 1x
y y x yy
9_ Pruebe que la ecuación f(y/x)dx + g(y/x)dy + k x (xdy – ydx) = 0 con R se
reduce a Bernoulli con la sustitución z = y/x.
10_ Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando los métodos vistos.
a) yxyyxy 22
b) 42 xxyy
c) 23 tg 2 sec 0x xe y dx e y dy
d) dyx
ydx
x
y
x 34
2
2
231
e) 1 1ye y
f) 32 ; 0 0xy y e y
g) 2
2
4y xy
x y
Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes
11_ Halle la solución de las siguientes ecuaciones:
a) 023 yyy
b) 025 yy
10
c) 096 yyy
d) 20 ;10 ;0256 yyyyy
e) 25 0; 0 1; ' 0 0y y y y
f) 22 2y y y x
g) y y x
h) 2 3 xy y y e
i) 4 2sen 2y y x
j) 33 2 x xy y y e e
k) 2 cos ; 0 0; 0 2 5y y x x y y /
l) 3 2 xy y y e x
m) 2 3 cos ; 0 0 0xy y y e x y y
n) 22 xy ky k y e x
Modelado con ecuaciones diferenciales
12_ En los siguientes ejercicios plantee un modelo para resolver el problema y halle la
solución del mismo:
a) Al sacar una torta del horno, su temperatura es de 180 °C. Después de 3 minutos, su
temperatura es de 120 °C. ¿En cuánto tiempo se enfriará hasta la temperatura
ambiente de 22 °C?
b) Un termómetro se lleva del interior de una casa hasta el exterior, donde la
temperatura del aire es de 5 °C. Después de 1 minuto, el termómetro indica 12 °C;
y, después de 5 minutos, marca 6 °C. ¿Cuál era la temperatura del interior de la
casa?
c) La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en
cualquier momento. Su población inicial es de 500 personas y aumenta el 15% en
10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años?
d) Los núcleos de los átomos de ciertas sustancias radiactivas son inestables. Por
ejemplo, de los núcleos de ciertas sustancias se liberan partículas alfa para hacer
que los átomos queden más estables. A este proceso se lo llama desintegración
radiactiva.
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11
Se sabe que la tasa de cambio de la cantidad de núcleos en este proceso de
desintegración es proporcional a la cantidad de núcleos presentes. Es decir, si N t
es la cantidad de núcleos en un momento t, el modelo a tener en cuenta sería
,
d N tk N t
dt siendo k < 0, la constante de desintegración.
Por otro lado, la vida media de una sustancia es el tiempo que tarda en
desintegrarse sus núcleos a la mitad del valor inicial.
Se sabe que el carbono 14 (C-14), tiene una vida media de unos 5730 años. Es
decir, en una muestra de C-14, al cabo de 5730 años, la mitad de sus núcleos se
habrán desintegrado. Este dato sirve para datar fósiles, ya que los seres vivos
incorporan C-14 a través de la ingestión y respiración. Cuando el ser vivo muere la
absorción de C-14 cesa y éste comienza un proceso de desintegración radiactiva.
En base al modelo anterior, ¿cuál sería la edad de un fósil que al momento de su
hallazgo posee la centésima parte de C-14 que poseía originalmente?
e) Una población de bacterias crece con una tasa proporcional a la población en
cualquier momento. Si la constante de proporcionalidad durante los primeros días
es de 0.03 y luego es de 0.05, ¿durante cuántos días la constante de
proporcionalidad fue de 0.03, si se sabe que la población se duplicó en 20 días?
f) Una ecuación diferencial que describe una masa m que cae cuando la resistencia
que le opone el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea v, es
2dvm mg kv
dt , donde k es una constante de proporcionalidad positiva y g la
aceleración de la gravedad.
i. Resuelva la ecuación para la condición inicial 00v v .
ii. Determine la velocidad límite o terminal de la masa.
iii. Si la distancia s se relaciona con la velocidad de caída
mediante
d s t
v tdt
, halle ,s t sabiendo que 00 .s s
g) Un hombre, situado en la terraza de un edificio, lanza una pelota de 0,2 kg de masa
verticalmente hacia arriba con una velocidad de 10 m/s. La pelota llega al suelo a
los 5 segundos de haber sido lanzada.
1. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
2. ¿Qué altura tiene el edificio?
3. ¿Con qué velocidad llega la pelota al suelo?
12
h) Se fija una masa de 20 Kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico
simple es 2/ oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k del resorte? ¿Cuál es
la frecuencia del movimiento si la masa original se reemplaza por una de 80 Kg?
Escriba la ecuación del movimiento.
i) Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se
fija una masa de 50 Kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10
m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento, resuélvala y esboce su
gráfica.
j) Determine la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC cuando L=0.25 h,
R=20 y C=1/300 f. E(t)=0 V; q(0)=4 C e i(0)=0 A. Resuelva la ecuación del
modelo. ¿Es en algún momento la carga del capacitor igual a cero?
k) Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie
cuando L=1 h, R=2 , C=0.25 f, E(t)=50cos(t) V
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Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 2
Funciones de varias variables
1_ Exprese analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones. Además,
estudiar si los conjuntos obtenidos son abiertos, cerrados, acotados.
a) 2 2
1
14 9
f x, yx y
b) 2 2 1f x, y xy x y
c)
2 2ln 2
cos
y x yf x,y
y
d) tg
xyf x, y
x
y
e) 2 2
3
4
2 4 2
xy
x y x
f x, y e x y
x y
2_ Exprese analíticamente el dominio de 2 2 2
yzf x, y,z
x y z
3_ Represente las curvas de nivel de las siguientes funciones:
a) 2 2,f x y x y
b) 1
,f x yx y
c) 2 2,
xf x y
x y
d) 2 2
, x yf x y e
e) 2 2, ln 1f x y x y
14
4_ Calcule, en el origen; si es que existen, los límites reiterados, radiales y dobles de las
siguientes funciones. En los casos en que no existe, fundamentar.
a) 2 2
2 2
3x yf x, y
x y
b) 2 2
xyf x, y
x y
c) sen 1f x, y x / y
d) 2
2 2
xyf x, y
x y
e) 2 2
xyf x, y
x y
f) 2
2 4
xyf x, y
x y
5_ Calcule, si es que existen, los siguientes límites. De no existir alguno, fundamentar.
a) 2 2, ,x y
x ylím
x y
b)
2 2, , 0,0,0
sen
2x y z
xyzlím
x y
c) 2 2 2, , 0,0,0x y z
yzlím
x y z
6_ Estudie, en el origen, la continuidad de las siguientes funciones:
a) senx
f x, yy
b)
2 2
2 2 0 0
0 si 0 0
x yx, y ,
x yf x, y
x, y ,
c)
2
2 2 0 0
0 si 0 0
xx, y ,
x y xf x, y
x, y ,
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15
7_ Estudie el conjunto de discontinuidades de las siguientes funciones:
Derivadas parciales - Derivadas direccionales
8_ Aplicando la definición calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) en 1 1f x, y xy x, y ,
b) en 5 0x y
f x, y x, y ,x y
9_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) 2
, 2 3f x y x y
b) 2 3, sen 2f x y x x y
c) 2 2
2 2, arctg
x yf x y
x y
d) , yf x y x
10_ Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:
a) lnu x, y,z yz xyz
b) x z
y yu x, y,z e e
11_ a) Si ,xy
x y
eu x y
e e
verifique que , , ( 1) ,x yu x y u x y x y u x y
b) Si , ,w x y z x y x z y z verifique que 0x y zw w w
12_ Sea la función t
r
k ett,rf 4
2
; halle un valor de la constante k (k R) de tal
manera que f satisfaga la siguiente ecuación
3 22
2 2 2
2
1
a) b)
0
x yx y x y
x y x yf x, y f x, y
x y x x y
r
fr
rf r
t
2
2
1
16
13_ Definición: la derivada direccional de ,f x y en 0 0,x y , en la dirección y sentido
del versor ,v a b , es 0 0 0 0
0
, ,
h
f x ha y hb f x ylím
h
, si este límite existe.
Aplicando la definición, calcule la derivada direccional de las siguientes funciones:
a) 2, 2f x y x y ; en el origen, con 2 2
,2 2
v
b) 2, 2f x y x xy y ; en (x, y) = (1, 2) con 0, 1v
c) ¿Para qué valor de a, es la derivada direccional de 4 2 1, x yf x y e x y e , igual a
17 , en 0,1 , según la dirección dada por el versor 1
,17
v a
?
Diferenciabilidad – Aproximación lineal – Plano tangente
14_ Dada la función 2 2, 2f x y x xy y halle f y df. Evalúelos en (x, y) = (3, 3) con
x = 0,1 y y = 0,2. Finalmente, calcule aproximadamente f(2,5; 2,7) y compare con su
valor exacto.
15_ Dada 2 2, 3 2f x y x y xy x y , calcule aproximadamente f(1,9; 3,1) y compare
con su valor exacto.
16_ Halle, por cálculo directo, la diferencial de las siguientes funciones:
a) 3 2 2, 1f x y x y x y
b) 2, senf x y x y
c) 2, , lnf x y z xyz
17_ Encuentre el punto de la superficie z = 3x2 + 2y2 – 3x + 4y – 5, donde el plano
tangente es horizontal.
18_ Analice la diferenciabilidad de las siguientes funciones:
2 2
2
; , 0,0a) , en 0,0
0 si , 0,0
b) , 2 en 0,5
x
xyx y
x yf x y
x y
f x y x y e
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17
2 2
2 2
3 3
2 2
; , 0,0c) , en 0,0
0 si , 0,0
; , 0,0d) , en 0,0
0 si , 0,0
x yx y
x yf x y
x y
x yx y
x yf x y
x y
Derivada direccional de una función diferenciable – Gradiente
19_ Halle por fórmula la derivada direccional de las siguientes funciones diferenciables,
halle el gradiente y verifique la propiedad que los relaciona.
a) 4 3, 3f x y x xy y ; en (x, y) = (1, 2), con 2 2
,2 2
v
b) ln xf x, y y x y ; en (x, y) = (1, 1) según la dirección y sentido del vector
3 4r i j .
20_ Calcule las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos
indicados.
a_ , ; en 3;3 ,x yf x y xe en la dirección de la normal a la curva 332 xxy , en
el sentido del eje y positivo.
b_ 2 2
, , ; en 1, 1, 3 ; z
f x y zx y
en la dirección y sentido del vector que dirige la
recta x = – 1 – 2t; y = 1 + t; z = 3 + 2t.
21_ Dada la función f(x, y) = yex; halle la dirección en la cual la derivada es máxima en el
punto (0, 3) y el valor de dicha derivada.
22_ Halle la derivada direccional de u(x, y, z) = 2xy – z según la dirección y sentido
del vector que une los puntos P1 (2, –1,1) y P2 (3,1, –1) Halle el gradiente en P1 y verifique
la propiedad que lo relaciona con la derivada direccional. Por último, en qué dirección es
máxima la derivada direccional en P1 y cuál es dicho valor.
18
Curva dada por sus ecuaciones paramétricas
23_ Halle la recta tangente y el plano normal a las siguientes curvas:
Superficie dada por sus ecuaciones paramétricas
24_ Halle el plano tangente y la recta normal a:
Superficie dada por su ecuación implícita
25_ Halle el plano tangente y la recta normal a las siguientes superficies, en los puntos
indicados:
a) 2 2 2 14 en 1, 2, 3x y z
b) 2 22 2 1 0 en 1, 2, 3x xy y z
2
3
2 en el punto
a) [ 1,1], en 0 b) 3 1 donde la curva
2 corta al plano
t
t
x t t e x t t
y t e t t y t t t
z t t z t t yz
2
0
,
a) , , ; en 1
,
,
b) , 2cos 0 ; 0 4; en , ,12
, 2
¿Qué superficie representa?
, cos
c) , 2 0 2 ; 0 3; en
,
x u v u v
y u v u v u v u v
z u v uv
x u v v
y u v u u v u v
z u v sen u
x u v v u
y u v v u v P
z u v v sen u
0, 4,2
¿Qué superficie representa?
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19
Curva dada como intersección de dos superficies
26_ Halle la recta tangente y el plano normal a:
2 2 2 2 2 22 2 5 14
a) en 1,1,1 b) en 1, 2, 33 2 0 6
x y z x y z
x y z x y z
27_ Demuestre que las superficies dadas por 2 2 24 4 4x y z y 2 2 2 6 2 6 10x y z x z y , son tangentes en el punto (2, 1, 1)
28_ Verifique que el elipsoide 2 2 22 7x y z y el cilindro parabólico 2 4y x se
cortan ortogonalmente en el punto (1, 2, 1)
29_ ¿Es el vector (4, 6, 3) normal a la superficie del elipsoide 2 2 2
39 4 16
x y z en el
punto (3, 2, 4)?
30_ Encuentre el punto de la superficie z = xy donde la recta normal es paralela a
la recta x = 2 – 6t; y = 3 – 12t; z = 2 + 3t.
31_ Pruebe que las superficies x2 – 2y2 + z2 = 0 y xyz = 1 son ortogonales en
todo punto de intersección.
Ejercicios integradores
32_ La recta determinada por la intersección de las superficies de ecuación y2 = x2 – z2
y z = x, es normal a la superficie de ecuación z = f(x,y) en (1, 0, 1). Calcule,
aproximadamente, f(0,98; 0,01)
33_ Dada f(x, y) = 2yh(x), con h(x) derivable; determine el valor y la dirección de la
derivada direccional máxima de f(x, y) en (1,2) siendo h(x) solución de x h´ – (1 + 3x)h = 0,
con h(1) = e3.
20
34_ Sabiendo que la función f(x, y, z) es diferenciable y constante sobre cada recta
paralela a la recta que une el origen con el punto (1, 1, 1); ¿cuál de las siguientes
aseveraciones es correcta? Justifique
i. f/x = f/y = f/z = 1/
ii. f/x = f/y = f/z = 1
iii. f/x + f/y + f/z = 0
iv. f/x + f/y + f/z = 1
v. Ninguna de las anteriores es correcta.
35_ Sea f : R2R una función diferenciable, tal que f(1; 2) = 5. Sabiendo que su derivada
direccional en (1; 2) es máxima en la dirección del versor 2 2
,2 2
v
y que
1,2 3 2f
x
, se pide hallar una ecuación para el plano tangente a la superficie gráfica
de f en el punto (1; 2; 5)
36_ Una curva C, ubicada sobre el paraboloide z = x2 + y2, se proyecta sobre el plano xy
como la recta de ecuación x + y = 0. Halle el punto de C en el que su recta tangente es
paralela al plano tangente a la superficie de nivel 3 de f(x, y, z) = 2x2 + 6y3 + z4 – xy, en el
punto (1, 0, 1)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3
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21
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 3
Funciones compuestas
1_ Siendo z función de t, halle la derivada de z (respecto de t) para:
a) 2 2 ,z x y siendo tx e
y t
en t = 1.
b) z = e3x + 2y, siendo
2
cosx t
y t
en t = 0.
2_ Siendo z = 3x2 + xy – 2y2 + 3x – y, con 2 3x rt s
y r st
, resulta z = z (r, s, t). Halle z´r, z´s
y z´t en (r, s, t) = (1, –1, 0),
3_ Verifique que la función z = z(u,v) con u x at
v y bt
, satisface la ecuación
z´t = a z´x + b z´y.
4_ Verifique que la función w = w(x/y, yz) satisface la ecuación x w´x + y w´y = z w´z.
5_ Sea w = f(x + y; x – y), con derivadas parciales continuas respecto a u(x, y) = x + y y
v(x, y) = x – y. Pruebe que .
Funciones implícitas
6_ Dada la ecuación 2 3 2xyxy z ln y e x :
i. Determine todas las posibles funciones de dos variables que dicha ecuación
definiría implícitamente.
ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto
(x, y, z) = (0, 1, 1)
iii. Calcule las derivadas parciales de las funciones obtenidas en ii.
22
vuyx ffww
22
7_ Si las siguientes ecuaciones definen implícitamente z = z(x, y), calcule sus derivadas
parciales y evalúelas en el punto dado.
a) xy + yz + zx = 1 en (0, 1, 1)
b) 2 32sen 3 0
2
xye y xz z z x en (2, 0, –1)
c) 2 2 24 9 18 0x y z en (3, 0, 1)
8_ Calcule dz/dy, siendo z = x3 – 3x, una función de y, a través de la ecuación x3 + xy =1.
9_ Si u = ln(z)/z es una función de x e y a través de la ecuación 2 2 2
2 2 21
x y z
a b c , calcule
u´x y u´y en (x, y) = (a, b)
10_ Si z = sen(x y z) + 3x – 1, define implícitamente z = z(x, y),, calcule dz
Sistemas de funciones implícitas
11_ Dado el sistema
2 2
2 2
2 3 0
0
u v x y
uv x y
:
i. Compruebe que en un entorno del punto 0 0 0 0 5 5 5 0x ,y ,u ,v , , , , define
implícitamente al sistema
x x u,v
y y u,v
ii. Calcule en ese punto x´u e y´v.
12_ Dado el sistema
2sen cos sen 2
2cos cos cos 1 2
x y z
x y z
:
i. Determine todas las posibles parejas de funciones de una variable que puede
definir implícitamente.
ii. Estudie cuáles de las funciones anteriores existen en un entorno del punto
(/4, 0, 0)
iii. Calcule las derivadas de las funciones obtenidas en ii.
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23
13_ Calcule z´x en (x,y) = (1, 1) siendo z = u – v2 + 2, una función de x e y, a través del
sistema 1 0
0
ue v x y
u cos v xy
, que define implícitamente a
u u x, y
v v x, y
.
14_ El sistema 3 2
2 3 5
xy uv
x y u v
, define implícitamente a
x x u,v
y y u,v
, en
(x, y, u, v) = (1, 1, 1, 1); tal que 2 4
0
u vz t
uv zt
, define implícitamente a
u u z,t
v v z,t
en
(u, v, z, t) = (1, 1, 1, 1). Halle x´t e y´z.
Ejercicios integradores
15_ Sea f una función derivable tal que f(x, y, z) = 0. Sabiendo que f define implícitamente
y = y (x, z) y que las derivadas parciales de f son iguales y no nulas. Entonces puede decirse
que:
i. 2y/x2 = 0
ii. 2y/x2 = y/x
iii. 2y/x2 = – y/x
iv. 2y/x2 = cte (distinta de cero)
v. Ninguna de las anteriores es correcta
16_ Demuestre que el plano tangente a la superficie del elipsoide 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
puede escribirse de la forma 12
o
2
o
2
o c
zz
b
yy
a
xx; en el punto (xo; yo; zo)
17_ Sea u un vector tangente en (–2, 0, –2) a la curva 2
4
0
x z
y x z
. Indique si u es o
no una dirección de derivada nula de z = z(x, y) definida por 4x3 – 6xy2 + 1 + ez = 2xz2, en
Po (1, 1, 0)
24
18_ Sea g: R2R una función derivable; y f, otra función, definida por
= ;f x, y g g x, y g x, y Entonces, ¿cuál de las siguientes aseveraciones es
correcta? Justifique.
i. f/x = f/y
ii. f/x + f/y > 0
iii. Si Grad g 0 entonces Grad f 0
iv. Si g/x + g/y 0 entonces f/x + f/y 0
v. f/x = g/x
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
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25
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 4
Derivadas y diferenciales sucesivas
1_ Calcule las siguientes diferenciales sucesivas:
a) 2 3d y d si cos( )xz z z z x, y e y .
b)
2_ Si f(x, y) = y2 sen(x), tal que y = ex.; halle d2f.
3_ Calcule d2w, siendo w = et, una función de x e y, a través de t = x + y2.
Fórmula de Taylor
4_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor en el entorno del punto (/2, /2) hasta los
términos de tercer orden la función f(x, y) = sen(x + y)
5_ Desarrolle mediante la fórmula de Taylor el polinomio 3 2 1x x y , en potencias de
1 y 1x y
6_ Conociendo el valor de la función arctgx
f x, yy
, en el punto (1, 1), aproxime
mediante un polinomio de segundo grado el valor de la función en el punto (1, 05; 1,07)
7_ Acote el error que se comete al aproximar sen 31° + 2,2–2 con un polinomio de primer
grado.
8_ Desarrolle mediante la fórmula de Maclaurin la función f(x, y) = cos (x + y)
2
2 2 2
Calcule d , siendo , una función definida implícitamente por
1
z z z x, y
x y z
26
Extremos libres
9_ Halle los extremos libres de las siguientes funciones:
a) 3 3 3 12 20f x, y x y x y
b) 4 4 2 22 4 2 f x, y x y x xy y
c) 2 4 3 23 4 12f x, y x y y y
d) z = f(x, y), definida implícitamente por 2 2 2 4x y z
10_ Para hallar los extremos relativos de la función U = F(x, y, z), sujeta a la
condición z = f(x), ¿cuál de las siguientes condiciones es necesaria? Justifique
i. F/x = F/y = F/z = 0
ii. F/x = F/y = F/z df/dx = 0
iii. F/x = F/y = F/z = df/dx = 0
iv. F/x + F/z df/dx = 0
v. F/x + F/z df/dx = F/y = 0
Extremos ligados
En los siguientes ejercicios halle los extremos ligados utilizando el método de los
multiplicadores de Lagrange y verifique con la diferencial segunda.
11_ a) 2 2 sujeta a 8f x, y x y, x y .
b) 1 4 9
, sujeta a 12; 0 0 y z 0.u x, y,z x y z x , yx y z
12_ Divida 1200 en 3 sumandos positivos tales que su producto sea máximo.
13_ Halle los extremos de 2 3 , sujeta a 6;u x, y,z xy z x y z 0 0x , y
0y z .
14_Calcule las dimensiones de una caja rectangular (con tapa) de capacidad máxima y
superficie igual a 216 cm2.
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15_ Halle la distancia (mínima) de a) origen a la hipérbola x2 + 8xy + 7y2 = 225
b) del punto (0, 0, 1) a la recta x = y = z
16_ Dada la familia de conos de base circular, cuyo radio de base más altura es igual a seis,
halle las dimensiones de aquél cuyo volumen sea máximo.
17_ Demuestre mediante el método de los multiplicadores de Lagrange, que
un triángulo es equilátero si el producto de los senos de sus ángulos es máximo.
Ejercicios integradores
18_ Analice los puntos críticos de f(x, y), si f x, y = (h(x) + 6xy – 2y – 3; 3x2 – 2x – 1),
donde h = h(t), es la solución particular de 13
2
hx h
x
, que pasa por el punto (1, 15)
19_ Sea n la recta normal a la superficie dada por z = xy – y, en P (1, –1, z(1, –1)).
Halle el punto de n más cercano a la curva g(t) = (–2; 3t – h(t); t); siendo h = h(t), la
solución particular de tdh + (3t – 2h)dt = 0, con h(1) = 0.
20_ Probar que la función , xf x y e sen y , es armónica. Es decir, pertenece a la clase de
funciones 2C y satisface la ecuación de Laplace (
2 2
2 20
f f
x y
).
21_ Sea ,z f x y definida implícitamente en un entorno del punto (0, 0) por la ecuación
1.zxy z e Demostrar que (0, 0) es un punto de ensilladura.
22_ Hallar todos los valores de a , para los cuales la función 22a
f x, y x xy ,x
tiene un extremo local de valor – 4. Para el o los valores hallados, clasificarlos.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
28
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29
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 5
Integrales dobles
1_ Dibuje el dominio, invierta el orden de integración y resuelva (cuando sea posible) las
siguientes integrales:
a) 0 0
Pi x
f x, y dydx
b) 4 2
2
1 xx y dydx
c) 32
12
y
yxy dxdy
d) ln8 ln
1 0
yx ye dxdy
e) sen
0 0
x
y dydx
Área por integrales dobles
2_ Calcule el área (plana) de los recintos delimitados por:
a) 4
0; 0 y 43
x y y x
b) sen ; cos y 0 (1 cuadrante)y x y x x
Volumen por integrales dobles
3_ Determine el volumen delimitado por:
a) x = 2; y = 3; z = x + y (1º octante)
b) x + 2y + z = 2; x = 2y; x = 0, z = 0
c) 2 8 ; 2; 0y x x z z
d) 2 2 4; 0; 4x y z z x
e) 2 2 9; (1 octante)x z z y
30
4) Área de superficie alabeada
a_ Calcule el área del plano z + x = 1, limitado por x + y = 1, en el primer octante.
b_ Calcule el área de la superficie dada por z = x + y, delimitada lateralmente por 2
2 14
yx , en el primer octante.
c_ Calcule el área de la superficie cilíndrica 2 21 9x y , comprendida entre los planos
z = 0 y z = 4, en el primer octante.
d_ Calcule el área de la zona esférica perteneciente a 2 2 2 25x y z , comprendida entre
los planos z = 2 y z = 4.
Integrales triples – Cambio de Coordenadas
5_ Calcular el volumen de los siguientes cuerpos, empleando las coordenadas indicadas:
Coordenadas cartesianas:
a) Cuerpo delimitado por z = 2; z = 2 + x + y; x + y = 2; x = 0 e y = 0.
b) Cuerpo delimitado por 1 2; 0; y 2.x y z y z y
Coordenadas cilíndricas:
c) Cuerpo delimitado por x2 + y2 = 9; z = 0 y x + y + z = 5.
d) Cuerpo delimitado por el paraboloide dado por z = 2x2 + y2 y el cilindro parabólico
dado por z = 4 – y2.
e) Cono circular de altura igual a 2 y radio de base igual a 4.
Coordenadas esféricas:
f) Esfera de radio igual a 1.
g) Cuerpo común al hemisferio dado por 2 2 2 4
0
x y z
z
y al cono circular con eje
coincidente con el eje z, vértice en el origen y ángulo entre el eje z y la generatriz igual a
6/ , que contiene al punto (0, 0, 2)
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31
6_ Calcule lo que se indique empleando las coordenadas más convenientes:
a) momento de inercia respecto del eje z del anillo homogéneo dado por 2 24 9 0 1x y , z .
b) momento estático respecto del plano yz, del cuerpo homogéneo delimitado por z = 2;
y = 0; z = 2 + x, y x + y = 2.
c) masa del cono circular recto dado por 2 22 4z x y ,con densidad proporcional
a la distancia al eje z.
d) coordenadas del centro de masa del cuerpo delimitado por z = 4 – x2; z = 0; y = 0 e
y = 6; siendo la densidad proporcional a la distancia al plano y = 0.
e) Área de la porción de superficie cilíndrica x2 + y2 = 3x; interior a la esfera 2 2 2 9x y z .
f) Área sobres el plano x + z = 2; delimitado por (y – 2)2 + (x + 1)2 = 4; en el primer
octante.
g) Volumen delimitado por x2 + y2 + (z – 1)2 4; 2 21z x y .
h) Calcular el volumen de la porción de cilindro 2 2 4x y x , situada en el primer octante
y exterior al paraboloide z = x2 + y2
i) Calcular el volumen del cuerpo común a x2 + y2 + (z – 3)2 = 9, e y2 + x2 = z2.
Ejercicios integradores
7_ Determine los momentos de inercia, respecto de los 3 ejes cartesianos, de la
pirámide homogénea que se muestra en la siguiente figura:
8_ Demostrar que el volumen del tetraedro formado por el plano tangente a la superficie de
ecuación xyz = 1, en el punto 0 0 0x , y ,z de ésta, en el primer octante, limitado por los
planos cartesianos, 9
2.
z
x
y
a
b
h
32
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33
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 6
Integrales curvilíneas
1_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas:
Cálculo de áreas mediante integrales curvilíneas
2_ Calcule el área delimitada por:
2
1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
a) los lados del trapecio de vértices 1, 0 ; 3, 0 ; 0, 3 y 0,1
93
b) ; siendo 0 1 y 0 1
0
2 3 6c) ; siendo y
0 2 0 2
y xy x
C c c c x cx
y
y x x y x xC c c c c
x x
2
2 2
a) 1 2 ; siendo :
i. el segmento que va del punto 0, 0 al 1,1
ii. el arco de curva dado por ; desde el punto 0, 0 al 1, 1
b) ;
c
y dx x y dy C
y x
xdx ydy
x y
1 2 3
2 2
2
1 2 3
siendo una circunferencia de radio unitario y centro en el origen,
en sentido antihorario.
c) ; siendo ; donde:
0 1; ; 1 2
0
c
c
C
xdy ydx C c c c
y x yy x
c x c cx
y
2
1 2 1 22
8
0 2
0
en sentido positivo.
0 1 1d) ; siendo ; donde ;
0 1
desde el punto 1, 0 al 1, 1
c
x
x
y
x xx ydx ydy C c c c c
yy x
34
Teorema de Green en el plano
3_ Calcule las siguientes integrales curvilíneas aplicando el teorema de Green.
a) C
dx dy
y x ; siendo 321 cccC :
1 2 3
1 1 2; ;
1 4 4 1 4
y y y xc c c
x x x
4_ Compruebe el teorema de Green en el plano para:
Función potencial – Ecuaciones diferenciales exactas
5_ Determine si las siguientes expresiones diferenciales son exactas, en caso afirmativo,
halle la función potencial correspondiente.
2 3
1 2 1 2
1 2 3
1 2 3
b) ; siendo ; ; 0 1 0 1
c) ; siendo ;
2 4 2 0 ; ;
0 1 1 2 0 2
c
c
y x y xydx x y dy C c c c c
x x
y x dx ydy C c c c
y x y x yc c c
x x x
1 2 3
2
1 2 3
2 3 2
a) ; siendo
0 4 4 ; ;
0 4 0 4 0 4
b) 2 ; siendo el contorno del cuadrado de vértices 0, 0 ;
2, 0 ; 2, 2 y
c
c
x y dx y dy C c c c
y x y xc c c
x y x
x xy dx y xy dy C
2 2
0, 2
c) ; siendo una circunferencia de radio 2, centrada en el origen.c
x y dx x dy C
2 2
2
2 2
a) 2 2
b) 3 2 4
c)
d) z
e)
y xy dx xy x dy
xy dx x xy dy
y cos x dx sen x dy
cos x yz y cos x dx zx sen x dy sen x yx dz
x yz dx y xz dy xy dz
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35
6_ Determine si los siguientes campos son conservativos. En caso afirmativo, halle el
potencial del campo.
7_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
Ecuaciones reducibles a exactas – Factor integrante
8_ Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
c)
2
2
2
costg cos sen cos 0
cos
xy y x dx x x x dy
y
2 2 2 2d) 2 2 0, con el factor integrante .x xy y dx x xy y dy μ x y
9_ Halle el factor integrante de la ecuación 2 23 y 2 3 0; x dx y y x dy el cual
es de la forma 2yxμμ
2 2 2 2
c) 1 0
d) 1 0
y ye cos x dx e sen x dy
dx x dy
yx y x y
2 2
2 2
a) = 2
b) =
c) =
ˆ ˆV x y i xyj
ˆ ˆyi xjV
x y
ˆˆ ˆV yzi xzj xyk
a) 0
3b) ; 0 0
1
y cos x sen y dx x cos y sen x dy
x yy y
x y
2
2 2
a) 1 0
b) 1 0
y dx xy dy
x y dx x y x dy
36
10_ Para la ecuación sen 2 cos 2 cos 0xy x y x dx x x dy :
a) pruebe que no es exacta
b) halle un factor integrante y obtenga la solución que pasa por el punto (1, 1)
c) pruebe que (x, y) = xy, es también un factor integrante de la ecuación dada
d) resuelva la ecuación con este último factor y halle la solución particular que
pasa por el punto (1, 1)
e) ¿qué puede decir acerca de las soluciones obtenidas en b) y d)?
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
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37
Guía de ejercicios correspondientes a la Unidad 7
Gradiente, divergencia y rotor – Operador Nabla
1_ Calcule el gradiente de los siguientes campos escalares:
2_ Calcule la divergencia de los siguientes campos vectoriales:
3_ Halle el rotor de los siguientes campos vectoriales:
4_ Si 3 2 2, , , 2 , 1V x y z axy z a x a xz ; para que valor de a, V es irrotacional
(es decir, el rotor del campo es nulo)
5_ Determine la constante a de manera que el campo
, , 3 , 2 , ,V x y z x y y z x az sea solenoidal (es decir, la divergencia del campo es
nula)
6_Siendo BA
y dos funciones vectoriales y y dos funciones escalares pruebe que:
2 3 2
2
a) 3 , en el punto 1, 2, 1
b) 2 4 en el punto 2, 2, 3
u x, y,z x y y z
u x, y,z x y xz ,
2
3 2 4
a) , 2 , 2 , en 7, 0, 7
b) , 2 , 2 , en 0, 0, 1
V x, y,z x y xz yz
V x, y,z xz x yz yz
2
a)
b)
c) 0
d)
e) 0
f)
A B A B
A B B A A B
A
2 2 2
2 3 2
a) 2 3 , en 1, 2, 1
b) 3 ,2 , , en 1, 2, 3
V x, y,z x z, xy z, yz
V x, y,z xyz xy x yz
38
7_ Siendo F un campo vectorial y f y g dos funciones escalares, pruebe que:
a) 2 2 rotF F F F F F
b) 2 ( f g ) = f 2 g + g 2 f + 2 ( f g )
Circulación
8_ Siendo 2 2, , (3 6 , 14 , 20 )V x y z x y yz xz , calcule la circulación a lo largo de la
curva C dada por:
a) 2
3
; 0 1
x t
C y t t
z t
; en el sentido que va del punto (0, 0, 0) al (1, 1, 1)
b) C: intersección de los planos z = x + y; y z + y = 4, en el primer octante, en el sentido
positivo del eje x.
9_ Halle el trabajo necesario para desplazar una partícula en un campo de fuerzas dado por
, , (3 , 5 , 10 )F x y z xy z z , a lo largo de la curva intersección entre z = x2 + y2 y
z + x = 1; en el primer octante, desde el punto intersección de la curva con el plano y = 0 al
punto (0, 1, 1)
10_ Un ciclista sube una montaña (modelizada por la ecuación 2π (x2 + y2) + z =2π )
a lo largo de una curva; intersección de esa superficie con una superficie helicoidal, dada
por x = r cos(t), y = r sen(t), z = t/2 (0 r 1; 0 t 4π), tal como se ve en la figura.
¿Qué trabajo realiza el ciclista al ir desde la base A hasta la cima B, si la fuerza
responde a F(x, y, z) = (kz, 3y2, 2x)?
¿Para qué valor de la constante k el campo es conservativo? Es decir, la integral sólo
depende de los límites de integración y no del camino.
¿Si el campo fuese conservativo, cómo calcularía el trabajo?
A (1; 0; 0)
B (0; 0; 2 Pi)
xy
z
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39
Integrales de superficie
12_ La superficie de una montaña responde a la ecuación 222 4Rzyx .
Sobre una de sus laderas se construye un restaurante cilíndrico, de radio R, según se
muestra en la figura de la siguiente página. La temperatura que irradia la superficie del
terreno viene dada por:
2 2 2( ; ; ) 3 ( ) 16T x y z x y R z
Se define , la función densidad de flujo de calor, como: TkV
, donde k es una
constante.
Calcule el flujo de a través de la superficie de contacto entre el restaurante y la
montaña, con la orientación del versor normal hacia el exterior de la montaña.
11 Calcule el flujo del campo a través de la superficie dada. Indique la orientación
elegida para el vector normal unitario.
a) , 2 , ; : 2 6; delimitada por 4, e
_ V S
V x, y,z y x z S x y z
2 2
2 2 2 2
2 2
n el 1 octante.
b) 6 , 2 , ; : 9; delimitada por 8, en el 1 octante.
c) , , ; : = 0 = .
d) 1, , ; : super
V x, y,z z x y x S x z y
V x, y,z x xy xz S x y a z z b
V x, y,z y z x z S
2
ficie del cubo de lado 2 , centrado en el
origen.
e) 0, 0, ; : superficie de la esfera centrada en el origen de radio
unitario.
a
V x, y,z xy y S
V
V
z
y
x
40
Teorema de Gauss – Ostrogradski (o de la divergencia)
Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Gauss-Ostrogradski.
13_ Flujo de 2, , 2 , , 3V x y z xy z y x y a través de la superficie (cerrada) formada
por 2x + 2y + z = 6, y los planos cartesianos; con orientación del normal hacia afuera.
14_ Flujo de 4
, , ( , , 0)V x y z z x y
, a través de la superficie (cerrada) formada por
x2 + y2 = 1; z = 10 y los planos cartesianos, en el 1° octante; con orientación del normal
hacia afuera.
15_ Verificar el resultado del ejercicio 11 e.
3 2 2
16_ Verificar el teorema de la Gauss-Ostrogradski para:
a) ( ) a través de la superficie (cerrada) delimitada por 4,
V x, y,z x, y,z x x y z
b)
c)
Teorema de Stokes (o del rotor)
Los siguientes ejercicios son para aplicar el teorema de Stokes. En cada caso, indicar la
orientación elegida.
17_ Calcular la circulación de 2 1 , a lo largo del cuadrado de
vértices (0, 0, 3), (0,1, 3), (1, 0, 3) y (1,1, 3)
18_ Calcular la circulación de , alrededor de la
V x, y,z y, x,
V x, y,z z x, xy, z
2 2
2 2
curva borde
de la superficie 4 , limitada por el plano 2.
19_ Calcular la circulación de 2 1 , alrededor de la curva =3,
20_ Calcular el flujo del campo
z x y z
V x, y,z y, x , x y
z y
2
2 2
rotor de 2 , a través de la superficie
4, (en el 1 octante) l imitada por los planos cartesianos y el plano
V x, y,z xyz, x , z
x y z x
2 2
( 0) a través de la superficie (cerrada) delimitada por
0; = 1; = 1
V x, y,z x y, x z y,
y x z y .
2 2
, a través de la superficie (cerrada) formada por
9; 2; ; 0 y 0 (4 octante)
V x, y,z ax, by, cz
y z x z y x y
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41
21_ En los siguientes ejercicios, verificar el teorema de Stokes. Indicar en cada caso la
orientación elegida.
b)
c)
Ejercicios integradores
22_ Determinar los valores de a y b, para los cuales el flujo de ( ),y z
V x, y,z abx, ,a b
a
través z = xy, definida sobre el cuadrado 1 2; x 1 2;y orientada de manera tal que
el normal tiene componente en z negativa, es mínimo.
23_ Determinar a, de manera que sea máximo el flujo de ( );V x, y,z x, y,z a través del
cilindro (con tapas) dado por 2 2 21 4 1; 0 1a x y z .
3 3
3 2 2 2 2a) ( ), a través de 1; 0.3 3
y xV x, y,z z , xz , y x y z z
2 , a través de la superficie helicoidal dada por
cos
sen ; 0 Pi; 0 1;
V x, y,z x, x y, z
x t u t
y t u t t u
z t t
2 2
( 2 ), a través de = 1,
= 0;
delimitada por = 0;
( 1) ( 1) 1
V x, y,z xy, , z x z
x
y
x y
42
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43
Respuestas a los ejercicios
Unidad 1
Ej 1 a) 2y y x y y y ; b) 0y y ; c) 6 0y y y ;
d) 22 22 4y yy x y y ; e)
2
2
2 2 1
yx y x y y x y y x y
x x x
Ej 2: a) ay x c , c > 0; b) 2 arctany x c ; c) 2ln 1 xy x e x c ;
d)
1xcey
x
; Ej 3: b) 2 xy e
Ej 4: a) 2y x c ; b) 2
2
2
xy c ; c) 2 2y x c ; d)
22
2
xy c
Ej 6: a) lnx
ycy
; b) 2 2xc x y ; c) sin lny
x cx
;
d) arcsin lny
x cx
; e) 1 2
y
xe x
Ej 7: a) 2x xy e e c ; b) 3
4
x cy
x ; c)
33
xx e c
y ex
;
d) 2
3 2ln2
xy xc x x x
; e) 22y x x ;
f) 2
1xy e erf x ; Ej 8: a)
1
lny
x c x
; b)
2/3 1/3
1/32 2
2
3 4 6 ln
xy
x c x x
;
c)
1/3
2
1 axa axy e c
a
; d) 2 22 cos cosy x x c x
Ej 10: a) ln lny y
x cx x
; b) 2
2 xy e c ; c)
3
2xetg y
c
;
d) 2 3y x x c ; e) ln 1 x cy e ; f) 2 3x xy e e ; g)
3
33
32
x cy x
x
Ej 11: a) 2
1 2
x xy e c e c ; b) 25
1 2
xy e c c ; c) 3 3
1 2
x xy e c xe c ;
d) 314cos 4 5sin 4
4
xy e x x ; e) cos 5y x ;
f) 2 2
1 2
13 2 2
2
x xy x x e c e c ; g) 2
1 22
xxy x e c c ;
h) 3
1 2
11 4
16
x x xy e x e c e c ; i) 1 2
14 2 cos 2 1 8 sin 2
8y x c x c x ;
j) 3
2
1 26 2
x xx xe e
y e c e c
; k) 2 213 5 10 10 8cos 16sin
40
xy e x x x x ;
44
l) 2 2
1 2
12 2
2
x x xy e x x e c e c ;
m) 2 215cos 5 cos 2 4sin 7 2 sin 2
41
x x xy e x e x x e x ;
n)
1 22 3
2
1
xkxe kx
y e c c xkk
Ej 12: a) cuando t= 50, T=22.05;
b) 16.4;
c) 760 personas
d) 38069 años
e) 15.3 días;
g) 1: 77.6 m; 2: 72.5 m; 3: –39 m/s (eje positivo hacia arriba)
h) 320; 1/ ; 16 0k f x x ;
i); 5sin 2x t t ,
x es positivo cuando se estira el resorte
j) 60 202 6t tq t e e ; no analíticamente, pero en la práctica sí, para t = –ln(3)/40
k) 100 150 100 150
sin cos ; cos sin3 3 3 3
q t t t i t t t
Unidad 2
Ej 1 (se da sólo la respuesta analítica): a) D = {(x, y) R2 / 2 2
14 9
x y };
b) D = {(x, y) R2 / 2 2 2 20 1 0 0 1 0xy x y xy x y };
c) D = {(x, y) R2 / 22 1 1 1/ 2x y y k };
d) D = {(x, y) R2 / 02
xxy k
y
};
e) D = {(x, y) R2 / 2 23 4 4 2y x x y x y }
Ej 2: D = {(x, y, z) R3 / ; ; 0; 0; 0x y z }
0 1 2 3 4 5 66
4
2
0
2
4
6
tiempo seg
desp
laza
mie
nto
m
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45
Ej 3: a) b) c)
d) e)
Ej 4: a) 1 21, 3 no existe L L L ; b) 1 2 20, 0, no existe
1R
mL L L L
m
;
c) 1 20, no existe, 0, 0RL L L L ; d) 1 20, 0, 0, existe , 0RL L L L L
e) 1 20, 0, 0, 0RL L L L ; f) 1 20, 0, 0, no existe RL L L L
Ej 5: a) L = 0; b) L = 0; c) no existe
Ej 6: a) Discontinua; b) Continua; c) Discontinua
Ej 7: a) Discontinuidad en todos los puntos de las rectas y = x;
b) Discontinuidad en todos los puntos de y = –x2, salvo en (0, 0), en que es continua.
Ej 8: a) 1, 1x yf f ; b) 0, 2 / 5x yf f
Ej 9: a) 8 12 , 12 18x yz x y z x y ;
b) 2 3 22 1 3 cos 1 2 , 2 cos 1 2x yz x xy x xy z x x xy ;
c) 2
4 44 4,x y
y yz z
x yx x y
; d) 1 , lny y
x yz x y z x x
Ej 10: a) 1 1 1
, ,x y zu u z u yx y z
; b) / / / /
2, ,
x y x y z y z y
x y z
e e x e z eu u u
y y y
Ej 12: k = –3/2; Ej 13: a) 2 ; b) –6; c) 4 / 17
Ej 14: 0 01.21, 1.2, 2.5, 2.7 12.6 con 0 e 3, 2.5, 2.7 12.46z dz z x y z
Ej 15: 1.9, 3.1 17.6, 1.9, 3.1 17.55z z
Ej 16: a) 23 2 2dz xy x y dx x x y dy ; b) 22 sin cosdz x y dx x y dy ;
c) 2dx dy dz
dux y z
; Ej 17: (x, y, z) = (1/2, –1, –31/4);
Ej 18: a) no diferenciable; b) diferenciable; c) diferenciable; d) no diferenciable
Ej 19: a) 21
22
, (1,2)
10,11Grad z ; b) –1/5, (1,1)
1,1Grad z ;
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
2 1 0 1 2
2
1
0
1
2
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
1.5
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
46
Ej 20: a) 9
10 ; b) –7/6; Ej 21: La dirección está dada por la del vector (3, 1), su valor
es 10 ; Ej 22: 1
8, 2, 4, 1
3r P
D u Grad u , derivada direccional máxima en la
dirección del gradiente.
Ej 23: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 1, 0) + (1, 1, 1); Ecuación del
plano normal: x + y + z = 1,
b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (0, 11, 16) + (1, 12, 24);
Ecuación del plano normal: x + 12y + 24z = 516
Ej 24: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (2, 0, 1) + (1, 1, 1) + (1, –1, 1);
Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (2, 0, 1) + (2, 0, –2);
b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (0, 1, 1) + (0, 1, –1) + (–1, 1, 0);
Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (0, 1, 1) + (1, 1, 1);
Ej 25: a) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (1, 0, –1/3) + (0, 1, –2/3);
Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (–1/3, 0, 0);
b) Ecuación del plano tangente: (x, y, z) = (1, –2, –3) + (1, 0, 0) + (0, 1, 2);
Ecuación de la recta normal: (x, y, z) = (1, –2, –3) + (0, –2, 1);
Ej 26: a) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 1, 1) + (1, –31/22, 64/11);
Ecuación del plano normal: 22x – 31y + 128z = 119;
b) Ecuación de la recta tangente: (x, y, z) = (1, 2, 3) + (–2, 4, –2);
Ecuación del plano normal: x – 2y + z = 0;
Ej 29: Sí; Ej 30: (x, y, z) = (4, 2, 8); Ej 32: 1,02; Ej 33: 32 65e , la dirección está dada
por la del vector8i j ; Ej 34: La iii; Ej 36: (x, y, z) = (–5/16, 5/16, 25/128)
Unidad 3
Ej 1: a) 2 1e ; b) 0; Ej 2: 2, 66, 46r s tz z z ;
Ej 6: i. , o , o ,x x y z y y x z z z x y ;
ii. Define ,y y x z ; iii. 0x zy y ;
Ej 7: a) 2, 1x yz z ; b) 1/ 6, 0x yz z ; c) 1/3, 0x yz z ;
Ej 8: 2
2
3 1=
3y
x xz
x y
; Ej 9:
2 2
3 3
1 ln 1 ln= ; =x y
c z c cu u
a z b z
;
Ej 10:
3 cos cos
1 cos
yz xyz dx xz xyz dydz
xy xyz
; Ej 11: 2, 1/ 5u vx y ;
Ej 12: i.
o o
x x z x x y y y x
y y z z z y z z x
; ii.
x x y
z z y
; iii. 0, 0y yx z ;
Ej 13: 1xz ; Ej 14: 4tx ; 1zy ; Ej 15: La i; Ej 17: No. Ej 18: La iv.
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47
Unidad 4
Ej 1: a) 2 2 2cos 2sin cosxd z e y dx y dxdy y dy ;
3 3 2 2 3cos 3sin 3cos sinxd z e y dx y dx dy y dxdy y dy ;
b) 2 2 2 2 2 2 2
3
12d z z x dx xydxdy z y dy
z .
Ej 2: 2 2 2 2 2sin 4 cos 2sin 2 sin xd f y x dx y x dxdy x dy y x e dx
Ej 3: 22 2 2 24 4 2x yd w e dx ydxdy y dy
Ej 4:
Ej 5: 2 3 2
1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1f x y x x y x x y
Ej 6: 0.7766 a 4 c.s.; Ej 7: Error < 0.0075 con = 0; Ej 8:
2
0
, 1!
n
n
n
x yf x y
n
;
Ej 9: a) Máximo en (–1, –2); Ensilladura en (–1, 2); Ensilladura en (1, –2); Mínimo en
(1, 2); b) Casi-máximo en (0, 0); Mínimo en 2; 2 y 2; 2 ; c) Mínimo en
(0, –1); Ensilladura en (0, 0); Mínimo en (0, 2);
d) Máximo en (0, 0, 2) y mínimo (0, 0, –2);
Ej 10: La v. Ej 11: a) Máximo en (2, 2) y Mínimo en (–2, –2); b) Mínimo en (2, 4, 6);
Ej 12: Los sumandos son iguales a 400 cada uno; Ej 13: Máximo en (1, 2, 3);
Ej 14: cubo de lado 6; Ej 15: a) distancia = 5; b) distancia =2
3; Ej 16: r = 4, h = 2;
Ej 18: Ensilladura en (1, –3) y (–1/3, 39); Ej 19: (–2, 1/4, –3/4)
Unidad 5
Ej 1: a) 0 y
f x, y dxdy
; b) 22
2
1 1
81
8
y
x y dxdy ;
c) 3 3
2 8 2
1 2
2252 2
8
x
x xxy dydx xy dydx ; d)
ln ln 8 ln 8
13.354
x
x y
ee dydx ;
e)
1 / 2 1 arcsin
0 arcsin 0 4
y
yy dxdy y dxdy
; Ej 2: a) 6; b) 0.41; Ej 3: a) 15; b) 1/3;
3 2 2 3
1cos 3 3
2 2 6 2 2 2 2 2 2z x y x y x x y x y y
48
c) 128/15; d) 16; e) 9; Ej 4: a) 2
2; b)
3
2 ; c) 22.93; d) 20; Ej 5: a) 8/3; b) 1; c)
45; d) 4; e) 32/3; f) 4/3; g) 2.245; h) 12; i) 27; Ej 6: a) 65k/2; b) 4k/3; c) 8k/3;
d) xg = 0; yg = 4; zg = 8/5; e) 36; g) 3.474; f) 4.907; h) 12; i) 27
Ej 7: 2 21
60xI abh a b k ; 2 21
1260
x zI I abh b h k
Unidad 6
Ej 1: a) i_ 3; ii_ 17/6; b) 0; c) 14/3; d) –1/14; Ej 2: a) 4; b) ½; c) 16/3; Ej 3: a) ¾; b) 0;
c) –2; Ej 5: a) 2 2U x y xy c ; b) Expresión no exacta; c) sinU y x c ;
d) sin sinU y x z xy x c ; e) Expresión no exacta;
Ej 6: a) 3
2
3
xU xy c ; b)
1tany
U cx
; c) U xyz c ;
Ej 7: a) sin siny x x y c ; b) 2 2
3 02 2
x yx y xy ; c) 1 sinye x c ;
d) 2 2ln x x y c ; Ej 8: a) lnxy y c ; b) 1 1
1 22
y x y cx
;
c) tan tany x x y c ; d) 2 2 21
2x y x y c ; Ej 9:
3
2
1
x y
;
Ej 10: b)
1
cos x ; d) 2 2 cos cos 1x y x ; e) la solución de b) es un subconjunto
de d)
Unidad 7
Ej 1: a) 12, 9, 16Grad u ; b) 2, 4, 4Grad u ; Ej 2: a) 4divV ;
b) 80divV ; Ej 3: a) 0, 0, 35rot V ; b) 2, 0, 0rot V ; Ej 4: a = 4;
Ej 5: a = –2; Ej 8: a) 5, b) 1069.5; Ej 9: 1.143; Ej 10: Trabajo = 0.06858 (k – 2);
para k = 2; como diferencia de valores en B y A; Ej 11: a) 108; b) 180; c) 0; d) –8a3;
e) 0; Ej 12: –84kR4; Ej 13: 27; Ej 14: 100; Ej 15: 0; Ej 17: 1; Ej 18: 0; Ej 19: 3 ;
Ej 20: .
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