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Estructuras Algebraicas

Trabajo Final

Teorıa de Galois

Ghiglioni, EduardoVescovo, Nicolas

Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

16 de mayo de 2012

1

Estructuras Algebraicas Trabajo Final

Indice

1. Introduccion 3

2. ¿Que es la Teorıa de Galois? 3

3. Biografıa 3

4. Preliminares 4

5. Extensiones de cuerpos 5

6. Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois 11

7. Clausura algebraica 16

8. Extensiones separables 19

9. Extensiones trascendentales 20

10.Extensiones normales 21

11.Extensiones cıclicas 24

12.Resolucion por radicales 28

Departamento de Matematica - UNLP Hoja 2 de 33


1. Introduccion

El tema del trabajo es la Teorıa de Galois. El objetivo es demostrar el teorema de Abel queenuncia: el polinomio general de grado n es resoluble por radicales si y solo si n ≤ 4. Es conocida,desde el siglo XVI por las formulas de Cardano, la solucion por radicales de polinomios de grado3 y 4. Una vez desarrollada la teorıa de Galois se uso para demostrar el mismo resultado pero porotro metodo. Ademas se logro demostrar la no resolucion por radicales para polinomios de gradomayor o igual que 5, lo cual demostraremos en este trabajo.

El trabajo esta divido en varias secciones. La seccion 2 y 3 esta enfocada en la historia de lateorıa de Galois, bajo que contexto surge, el porque de su importancia y la relacion con el trabajode Abel. En la seccion 4 se encuentran resultados necesarios sin demostracion de teorıa de grupos,anillos y polinomios. El resto de las secciones enuncia y demuestra todos los teoremas que usaremospara llegar a demostrar el teorema de Abel. En ellos se tratan distintos tipos de extensiones decuerpos: extensiones separables, extensiones trascendentales, extensiones normales y extensionescıclicas. Ademas se demuestra en la seccion 6 el teorema fundamental de la teorıa de Galois.

2. ¿Que es la Teorıa de Galois?

En sus principios gran parte del algebra se centro en la busqueda de formulas explıcitas para lasraıces de ecuaciones polinomiales en una o mas indeterminadas. La solucion de ecuaciones linealeso cuadraticas con una indeterminada estaba resuelto, mientras que, formulas en general para lasraıces de ecuaciones cubicas o cuartas con valores reales fue resuelto en el siglo XVI. Estas solucionesinvolucran numeros complejos mas que reales. Para principios del siglo XIX no habıa solucionesgenerales para ecuaciones polinomiales generales por radicales. Finalmente el trabajo de Galois yAbel nos guıa a un nuevo marco para una total comprension del problema y la comprension de queen general las ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que 5 no siempre puede ser resueltapor radicales. La idea principal de la teorıa de Galois es relacionar una extension de cuerpos K ⊂ Fcon el grupo de todos los automorfismos de F que actuan como la identidad sobre K. Lo cual nospermite aplicar la teorıa de grupos para el estudio de cuerpos. Esta correspondencia de Galoispuede ser generalizada para aplicar a diversos temas como la teorıa de anillos, teorıa algebraica denumeros, geometrıa algebraica, ecuaciones diferenciales y topologıa algebraica.

3. Biografıa

Evariste Galois nacio en Bourg-la-Reine, una comuna a las afueras de Parıs, el 25 de octubrede 1811. Hasta los doce anos, Evariste fue educado por su madre, junto con su hermana mayorNathalie-Theodore, consiguiendo una solida formacion en latın y griego. Su educacion academicaempezo a la edad de 12 anos cuando ingreso en el liceo Royal de Louis-le-Grand de Parıs. Galoistuvo un rendimiento normal e incluso llego a ganar algunos premios en griego y latın. Pero entercero, su trabajo de retorica fue reprobado y tuvo que repetir curso. Fue entonces cuando Galoisentro en contacto con las matematicas: tenıa entonces 15 anos.

El programa de matematicas del liceo no diferıa mucho del resto. Sin embargo, Galois en-contro en el el placer intelectual que le faltaba. El curso impartido por Ms Vernier, desperto elgenio matematico de Galois. Tras asimilar sin esfuerzo el texto oficial de la escuela, Galois em-pezo con los textos mas avanzados de aquella epoca: estudio la geometrıa de Legendre y el algebrade Lagrange. Galois profundizo considerablemente en el estudio del algebra.

Siendo todavıa estudiante del Louis-le-Grand, Galois logro publicar su primer trabajo (una de-mostracion de un teorema sobre fracciones continuas periodicas) y poco despues dio con la clavepara resolver un problema que habıa tenido en jaque a los matematicos durante mas de un siglo(las condiciones de resolucion de ecuaciones polinomicas por radicales). Sin embargo, sus avances



mas notables fueron los relacionados con el desarrollo de una teorıa nueva cuyas aplicaciones des-bordaban por mucho los lımites de las ecuaciones algebraicas: la teorıa de grupos. Sus artıculosnunca llegaron a ser publicados mientras que Galois vivıa. Inicialmente se lo envio a Cauchy, quienlo rechazo porque su trabajo tenıa puntos en comun con un reciente artıculo publicado por Abel.Galois lo reviso y se lo volvio a remitir, y en esta ocasion, Cauchy lo remitio a la academia parasu consideracion; pero Fourier, el secretario vitalicio de la misma y el encargado de su publicacion,murio poco despues de recibirlo y la memoria fue traspapelada. El premio fue otorgado a Abel ya Jacobi, y Evariste acuso a la academia de una farsa para desacreditarle. A pesar de la perdidade la memoria enviada a Fourier, Galois publico tres artıculos aquel mismo ano en el Bulletindes sciences mathematiques, astronomiques, physiques et chimiques del Baron de Ferussac. Estostrabajos presentan los fundamentos de la Teorıa de Galois. Durante el ano 1831 Galois por finhabıa redondeado las cuestiones pendientes en su trabajo y lo habıa sometido a la consideracionde Poisson, quien le recomendo que lo presentara de nuevo a la Academia. Mas tarde, aquel mismoano, el propio Poisson recomendo a la Academia que rechazara su trabajo con la indicacion de que:sus argumentaciones no estaban ni lo suficientemente claras ni suficientemente desarrolladas parapermitirles juzgar su rigor.

El 30 de mayo de 1832, a primera hora de la manana, Galois perdio un duelo de espadas contrael campeon de esgrima del ejercito frances, falleciendo al dıa siguiente a las diez de la manana a laedad de 20 anos. Las contribuciones matematicas de Galois fueron publicadas finalmente en 1843cuando Joseph Liouville reviso sus manuscritos y declaro que aquel joven en verdad habıa resueltoel problema de Abel por otros medios que suponıan una verdadera revolucion en la teorıa de lasmatematicas empleadas. El manuscrito fue publicado en el numero de octubre de 1846 del Journaldes mathematiques pures et appliquees.

4. Preliminares

Teorema 4.1. Sea H un subconjunto no vacıo de un grupo G. Entonces H es un subgrupo de Gsi y solo si ab−1 ∈ H para todo a, b ∈ H.

Teorema 4.2. Sean R y S anillos conmutativos con 1 y ϕ : R → S un morfismo de anillos talque ϕ(1R) = 1S. Si s1, s2, ..., sn ∈ S, entonces hay un unico morfismo de anillosϕ : R[x1, ..., xn] → S tal que ϕ | R = ϕ y ϕ (xi) = si para i = 1,...,n.

Corolario 4.3. (Primer Teorema del Isomorfismo) Si f : R → S es un morfismo de anillos,entonces f induce un isomorfismo de anillos R/Kerf ∼= Imf .

Corolario 4.4. Si F es un cuerpo entonces el anillo de polinomios F [x] es un dominio Euclideo,de ahı se deduce que F [x] es un dominio ideal principal.

Teorema 4.5. En un anillo conmutativo R con 1R 6= 0, un ideal P es primo si y solo si R/P esun dominio integro.

Teorema 4.6. Sean p y c elementos no nulos de un dominio integro R.

(a) p es primo si y solo si (p) es un ideal primo no nulo.

(b) c es irreducible si y solo si (c) es maximal en el conjunto S de todos los ideales principalespropios de R.

(c) Todo elemento primo de R es irreducible.

(d) Si R es un dominio ideal principal, entonces p es primo si y solo si p es irreducible.

(e) Todo asociado de un elemento irreducible de R es irreducible (respectivamente primo).



(f) Los unicos divisores de un elemento irreducible de R son los asociados y las unidades de R.

Teorema 4.7. Sea M un ideal de un anillo R con 1R 6= 0.

(a) Si M es maximal y R es conmutativo, entonces R/M es un cuerpo.

(b) Si R/M es un anillo de division entonces M es maximal.

Teorema 4.8. (Teorema de factorizacion) Sea I un ideal de un anillo R. Para todo morfismo deanillos ϕ : R → S cuyo nucleo contiene a I existe un unico morfismo ψ : R/I → S tal que ϕ = ψo π donde π : R→ R/I es la proyeccion canonica.

Rπ //

ϕ

!!

R/I

ψ��S

Proposicion 4.9. (propiedad universal) Sean R y S anillos y ϕ : R→ S un morfismo de anillos.Sea s un elemento de S que conmuta con ϕ(r) para todo r ∈ R (un elemento arbitrario si S esconmutativo). Entonces existe un unico morfismo de anillos ψ : R[x]→ S que extiende a ϕ y mandaa x en s, llamado ψ(A) = ϕA(s).

R⊆ //

ϕ

!!

R[x]

ψ��S

Proposicion 4.10. Si R es conmutativo, entonces una raız r ∈ R de un polinomio p ∈ R[x] essimple si y solo si p

′(r) 6= 0.

Proposicion 4.11. En un anillo conmutativo R de caracterıstica prima p, (x + y)p = xp + yp y(x− y)p = xp − yp para todo x, y ∈ R.

Corolario 4.12. (teorema de Cayley) Todo grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simetricoSG.

Teorema 4.13. Sn es resoluble si y solo si n ≤ 4.

Lema 4.14. (Lema de Zorn) Si A es un conjunto no vacıo parcialmente ordenado tal que todacadena en A tiene una cota superior en A, entonces A tiene un elemento maximal.

5. Extensiones de cuerpos

Definicion. Si K y F son cuerpos tales que K ⊂ F se dice que F es una extension de K. NotacionF/K.

Observacion. Si F/K entonces 1K = 1F . Mas aun, F es un espacio vectorial sobre K.

Definicion. La dimension del K-espacio vectorial F se nota [F : K] = dimKF .F/K es finito dimensional si [F : K] es finito.F/K es infinito dimensional si [F : K] es infinito.



Ejemplo. C/R es finito mientras que R/Q y C/Q son infinitos.Tenemos que C = {x+ iy : x, y ∈ R}. Entonces 1, i generan a C como espacio vectorial sobre R.Como i /∈ R estos elementos son linealmente independientes y por lo tanto forman una base. Luego[C : R] = 2. R/Q y C/Q son infinitos porque cualquier espacio vectorial de dimension finita sobreQ es contable, sin embargo, R y C son incontables. Una base del Q-espacio vectorial R se conocecomo base de Hamel.

Proposicion 5.1. Si K ⊂ F ⊂ L entonces

(a) [L : K] = [L : F ].[F : K].

(b) L/K es finito si y solo si L/F es finito y F/K es finito.

Demostracion. Si [L : F ] o [F : K] es infinito entonces la igualdad de (a) vale. Si ambos sonfinitos, sea U = {u1, ..., un} base de L como F -espacio vectorial y V = {v1, ..., vm} base de F comoK-espacio vectorial. Es suficiente ver que {uivj : ui ∈ U, vj ∈ V } es base de L como K-espaciovectorial.

Si l ∈ L entonces l =

n∑i=1

fiui con fi ∈ F, ui ∈ U .

Porque span U = L como F -espacio vectorial.

Como span V = F como K-espacio vectorial. Cada fi ∈ F se puede escribir como

fi =m∑i=1

kijvj con kij ∈ K, vj ∈ V .

Luego l =

n∑i=1

fiui =

n∑i=1

m∑j=1

kijvj

ui =

n∑i=1

m∑j=1

kijvjui

L = span{uivj : ui ∈ U, vj ∈ V } como K-espacio vectorial.

Veamos que son linealmente independientes.

Supongamos que

n∑i=1

m∑j=1

kijvjui = 0 con kij ∈ K, vj ∈ V, ui ∈ U .

Para cada i sea fi =

m∑i=1

kijvj ∈ F .

Entonces 0 =n∑i=1

fiui ⇒ fi = 0 por ser U base de L como F -espacio vectorial.

Entonces 0 =m∑i=1

kijvj ⇒ kij = 0 por ser V base de F como K-espacio vectorial.

(b) es inmediato de (a) porque el producto de dos numeros cardinales finitos es finito y el productode un infinito con un numero cardinal finito es infinito. �

Definicion. En la situacion K ⊂ F ⊂ L de la proposicion 5.1. F se llama cuerpo intermedio deK y L.

Definicion. Si F es un cuerpo y X ⊂ F , el subcuerpo generado por X es la interseccion de todoslos subcuerpos de F que contienen a X. Si F es una extension de K y X ⊂ F , el subcuerpo generadopor K ∪X se llama el subcuerpo generado por X sobre K y se nota K(X).

Si X = {u1, ..., un}, entonces el subcuerpo K(X) de F se nota K(u1, ..., un). El cuerpoK(u1, ..., un) se conoce como extension finitamente generada sobre K (pero no, necesariamente, esfinito dimensional sobre K). Si X = {u}, entonces K(u) se llama extension simple sobre K.



Proposicion 5.2.

(a) Para cualquier u1, ..., un ∈ F y cualquier permutacion σ ∈ Sn, K(u1, ..., un) = K(uσ(1), ..., uσ(n)).

(b) K(u1, ..., un−1)(un) = K(u1, ..., un).

Demostracion.

(a) Como {u1, ..., un} ={uσ(1), ..., uσ(n)

}para cualquier permutacion σ ∈ Sn, K(u1, ..., un) =

K(uσ(1), ..., uσ(n)).

(b) Llamemos Kn−1 = K(u1, ..., un−1).

K(u1, ..., un−1)(un) = Kn−1(un) =⋂

Kn−1⊆L1⊆F{un}⊆L1

L1

K(u1, ..., un) =⋂

K⊆L2⊆F{u1,...,un}⊆L2

L2

Tenemos que ver que⋂


L1 =⋂

K⊆L2⊆F{u1,...,un}⊆L2

L2

Sea L1 tal que Kn−1 ⊆ L1 ⊆ F y {un} ⊆ L1. Como Kn−1 = K(u1, ..., un−1) ⇒ K ⊆ L1 y{u1, ..., un−1} ⊆ L1. Luego K ⊆ L1 ⊆ F y {u1, ..., un} ⊆ L1.

⇒⋂

K⊆L2⊆F{u1,...,un}⊆L2

L2 ⊆ L1.

Como vale para todo L1 tal que Kn−1 ⊆ L1 ⊆ F y {un} ⊆ L1. K(u1, ..., un) ⊆ K(u1, ..., un−1)(un).

Sea L2 tal que K ⊆ L2 ⊆ F y {u1, ..., un} ⊆ L2. Entonces K(u1, ..., un−1) ⊆ L2

⇒⋂


L1 ⊆ L2.

Como vale para todo L2 tal queK ⊆ L2 ⊆ F y {u1, ..., un} ⊆ L2.K(u1, ..., un−1)(un)⊆K(u1, ..., un)

�

Proposicion 5.3. K(u) =

{p(u)

q(u): p, q ∈ K[x], q(u) 6= 0

}.

Demostracion. Llamemos E =

{p(u)

q(u): p, q ∈ K[x], q(u) 6= 0

}.

Todo cuerpo que contiene a K y {u} debe contener a E ⇒ E ⊆ K(u).

E es un cuerpo. u ∈ E tomando p(x) = x y q(x) = 1. Ademas K ⊆ K[x] ⇒ K ⊆ E. LuegoK(u) ⊆ E. �

Definicion. Sea K ⊂ F, α ∈ F



(i) εα: K[X]→ F

Dado por εα(p(x)) = p(α)

Es un morfismo de anillos.

(ii) α es algebraico sobre K si ker(εα) 6= {0}.

Es decir, existe p ∈ K[X] no nulo tal que p(α) = 0.

En caso contrario α es trascendente sobre K.

Es decir, para todo p ∈ K[X] no nulo p(α) 6= 0.

F se dice una extension algebraica sobre K si todo elemento de F es algebraico sobre K.

Ejemplo. Sean Q, R y C los cuerpos racionales, reales y complejos respectivamente. Entonces i∈ C es algebraico sobre Q y ası sobre R (Si u ∈ F es algebraico sobre algun subcuerpo K

′de K,

entonces u es algebraico sobre K porque K′[x] ⊂ K[x]). De hecho C = R(i). Es un hecho no trivial

que π, e ∈ R son trascendetales sobre Q.

Teorema 5.4. Si F/K y u ∈ F es trascendente sobre K. Entonces existe un isomorfismo de cuerposK(u) ∼= K(x) que es la identidad en K.

Demostracion. Como u es trascendente f(u) 6= 0, g(u) 6= 0 para todo polinomio no nulof, g ∈ K[x]. Luego ϕ : K(x)→ F dado por f/g 7→ f(u)/g(u) es un monomorfismo de cuerpos, quees la identidad sobre K, y esta bien definido. Im ϕ = K(u) por la proposicion 5.3. Ası K(x) ∼= K(u).

�

Teorema 5.5. Si F/K y u ∈ F es algebraico sobre K. Entonces

(a) K(u) = K[u].

(b) K(u) ∼= K[x]/(f).

Donde f ∈ K[x] es un polinomio monico irreducible de grado n ≥ 1 univocamente determinadopor la condicion f(u) = 0 y g(u) = 0 si y solo si f divide a g.

(c) [K(u) : K] = n.

(d){

1K , u, u2, ..., un−1

}es base del K-espacio vectorial K(u).

(e) Todo elemento de K(u) puede ser escrito de forma unica como a0 +a1u+a2u2 + ...+an−1u

n−1

(ai ∈ K).

Demostracion. ϕ : K[x]→ K[u] dado por g → g(u) es un epimorfismo de anillos no nulo por elteorema 4.2. Como K[x] es un dominio ideal principal (corolario 4.4), Ker ϕ = (f) para algun f ∈K[x] con f(u) = 0 (Ker ϕ es ideal). Como u es algebraico, Ker ϕ 6= 0 y como ϕ 6= 0, Ker ϕ 6= K[x].Por lo tanto f 6= 0 y gr(f) ≥ 1. Sin perder generalidad se puede asumir f monico. Por el PrimerTeorema del Isomorfismo (corolario 4.3)

K[x]/(f) = K[x]/Ker ϕ ∼= Im ϕ = K[u].



Como K[u] es un dominio integro, el ideal (f) es primo en K[x] por el teorema 4.5. Por el teorema4.6 f es irreducible y el ideal (f) es maximal. En consecuencia, K[x]/(f) es un cuerpo (teorema 4.7).Como K(u) es el subcuerpo de F mas chico que contiene a K y u, y como K(u) ⊃ K[u] ∼= K[x]/(f),debemos tener K(u) = K[u]. La unicidad de f se prueba del hecho que f es monico y

g(u) = 0⇔ g ∈ Ker ϕ = (f) ⇔ f divide a g.

Probamos ası (a) y (b). Todo elemento de K(u) = K[u] es de la forma g(u) para algun g ∈ K[x].Por el algoritmo de la division g = qf + h con q, h ∈ K[x] y gr(h) < gr(f). Entonces,g(u) = q(u)f(u) + h(u) = 0 + h(u) = h(u) = b0 + b1u + ... + bmu

m con m < n = gr(f).Ası

{1K , u, ..., u

n−1} genera el K-espacio vectorial K(u). Supongamos que

a0 + a1u+ ...+ an−1un−1 = 0 con ai ∈ K

Entonces g = a0 + a1x + ... + an−1xn−1 ∈ K[x] tiene a u como raız y tiene grado menor o igual

que n − 1. Como f divide a g por (b) y gr(f) = n entonces g = 0. Luego ai = 0 para todo i,ası{

1K , u, ..., un−1} es linealmente independiente. Por lo tanto es base de K(u). Quedo probado

(d). (c) y (e) son consecuencias de (d). �

Definicion. Sea F una extension algebraica de K y u ∈ F algebraico sobre K. El polinomio monicoirreducible del teorema 5.5 se llama el polinomio irreducible de u. El grado de u sobre K es gr(f) =[K(u) : K]. Lo notaremos IrrKu.

Observacion. Si σ: R → S es un isomorfismo de anillos.Es decir σ(a + b) = σ(a) + σ(b) y σ(a.b) = σ(a).σ(b) para todo a, b ∈ R. Ademas biyectivo.

Entonces la funcion R[x]→ S[x] dada porn∑i=1

rixi →

n∑i=1

σ(ri)xi es isomorfismo de anillos.

Claramente extiende a σ. A esta extension la notaremos tambien σ y la imagen de f ∈ R[x] porσf .

Teorema 5.6. Sea σ: K → L un isomorfismo de cuerpos. Sean u un elemento de alguna extensionde K y v un elemento de alguna extension de L. Supongamos que sucede algunas de las dos

(a) u es trascendente sobre K y v es trascendente sobre L

(b) u es raız de un polinomio irreducible f ∈ K[x] y v es raız de σf ∈ K[x]

Entonces σ se extiende a un isomorfismo de cuerpos K(u) ∼= L(v) que manda a u en v.

Demostracion. Supongamos (a). Por la observacion anterior σ se extiende a un isomorfismoK[x] ∼= L[x]. Este se puede extender a un isomorfismo K(x) → L(x) dado por h/g 7→ σh/σg. Porel teorema 5.4 tenemos que K(u) ∼= K(x) ∼= L(x) ∼= L(v). La composicion de estos isomorfismos esel que buscamos y este manda u en v. Supongamos (b). Sin perder generalidad podemos suponerque f es monico. Como σ : K[x] ∼= L[x] esto implica que σf ∈ L[x] es monico irreducible. Por lademostracion del teorema 5.5

ϕ : K[x]/(f) → K[u] = K(u) y ψ : L[x]/(σf) → L[v] = L(v)

dados por ϕ[g + (f)] = g(u) y ψ[h+ (σf)] = h(v) respectivamente, son isomorfismo.θ : K[x]/(f)→ L[x]/(σf) dado por θ[g + (f)] = σg + (σf) es un isomorfismo. Por lo tanto

K(u)ϕ−1

−→ K[x]/(f)θ−→ L[x]/(σf)

ψ−→ L(v)

es un isomorfismo de cuerpos tal que g(u) 7→ (σg)(v). En particular, ψθϕ−1 es igual a σ sobre K ymanda a u en v. �



Corolario 5.7. Sea E y F extensiones de K. Sean u ∈ E, v ∈ F algebraicos sobre K. Entonces u yv son raıces del mismo polinomio irreducible f ∈ K[x] si y solo si hay un isomorfismo de cuerposK(u) ∼= K(v) que manda u en v y es la identidad en K.

Demostracion. Para probar ⇒ aplicar el teorema 5.6 con σ : K → K dado por σ = 1K , lo queimplica σf = f para todo f ∈ K[x]. Para probar⇐ supongamos que σ : K(u) ∼= K(v) con σ(u) = vy σ(k) = k para todo k ∈ K. Sea f ∈ K[x] el polinomio irreducible del elemento algebraico u.

Si f =

n∑i=0

kixi, entonces 0 = f(u) =

n∑i=0

kiui. Luego

0 = σ

(n∑i=0

kiui

)=

n∑i=0

σ(kiui) =

n∑i=0

σ(ki)σ(ui) =n∑i=0

kiσ(u)i =n∑i=0

kivi = f(v) �

Teorema 5.8. Si F/K es finito dimensional entonces F esta finitamente generado y es algebraicosobre K.

Demostracion. Si [F : K] = n y u ∈ F , entonces el conjunto de n+1 elementos{

1K , u, u2, ..., un

}es linealmente dependiente. Existen ai ∈ K no todos nulos, tales que a0+a1u+a2u

2+...+anun = 0.

Entonces u es algebraico sobre K. Como u era cualquiera, F es algebraico sobre K. Si {v1, ..., vn}es una base de F sobre K, entonces F = K(v1, ..., vn). �

Teorema 5.9. Si F/K y X ⊆ F tal que F = K(X) y todo elemento de X es algebraico sobre K.Entonces F es una extension algebraica de K. Si X es un conjunto finito, F es finito dimensionalsobre K.

Demostracion. Si v ∈ F , entonces v ∈ K(u1, ..., un) para algun ui y hay una inclusion de sub-cuerpos:

K ⊂ K(u1) ⊂ K(u1, u2) ⊂ ... ⊂ K(u1, ..., un−1) ⊂ K(u1, ..., un)

Como ui es algebraico sobre K, es algebraico sobre K(u1, ..., ui−1) para todo i ≥ 2, digamos degrado ri. Como K(u1, ..., ui−1)(ui) = K(u1, ..., ui) tenemos que [K(u1, ..., ui) : K(u1, ..., ui−1)] =ri por el teorema 5.5. Sea r1 el grado de u1 sobre K. Aplicando la proposicion 5.1 varias vecesobtenemos que [K(u1, ..., un) : K] = r1r2...rn. Por el teorema 5.8 K(u1, ..., un) es algebraico sobreK. Como v ∈ F era cualquiera, F es algebraico sobre K. Si X = {u1, ..., un} es finito, la mismademostracion (con F = K(u1, ..., un)) muestra que [F : K] = r1r2...rn es finito. �

Teorema 5.10. Si F es una extension algebraica de E y E es una extension algebraica de Kentonces F es una extension algebraica de K.

Demostracion. Sea u ∈ F , como u es algebraico sobre E, bnun + ... + b1u + bo = 0 con bi ∈ E

(bn 6= 0). Por lo tanto, u es algebraico sobre el subcuerpo K(b0, ..., bn). En consecuencia, hay unainclusion de cuerpos:

K ⊂ K(b0, ..., bn) ⊂ K(b0, ..., bn)(u)

con [K(b0, ..., bn)(u) : K(b0, ..., bn)] finito por el teorema 5.5 (porque u es algebraico sobreK(b0, ..., bn)) y [K(b0, ..., bn) : K] es finito por el teorema 5.9 (porque E es algebraico sobre Ken particular cada bi ∈ E es algebraico sobre K). Luego [K(b0, ..., bn)(u) : K] es finito por laproposicion 5.1. Ası u ∈ K(b0, ..., bn)(u) es algebraico sobre K por el teorema 5.8. Como u eracualquiera, F es algebraico sobre K. �

Teorema 5.11. Sea F una extension de K y E el conjunto de todos los elementos de F que sonalgebraicos sobre K entonces E es un subcuerpo de F.

Demostracion. Si u, v ∈ E, entonces K(u, v) es una extension algebraica de K por el teorema5.9. Luego, como u−v y uv−1 (v 6= 0) estan en K(u, v), u−v y uv−1 ∈ E. Entonces E es un cuerpo(ver teorema 4.1). �



6. Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois

Definicion. Sean E y F extensiones del cuerpo K. Una funcion no nula σ: E → F que es un mor-fismo de cuerpos y ademas un morfismo de K-modulos se llama K-morfismo. Si un automorfismode cuerpos σ ∈ AutF es un K-morfismo se llama K-automorfismo.

Definicion. El grupo de todos los K-automorfismo de F se llama el grupo de Galois de F sobre Ky se nota AutKF .

Observacion. Si E y F son extensiones de K y σ : E → F es un morfismo de cuerpos no nulo,entonces σ(1E) = 1F . Si ademas σ es un morfismo de K-modulos, entonces para todo k ∈ K.

σ(k) = σ(k1E) = kσ(1E) = k1F = k.

Teorema 6.1. Sea F una extension de K y f ∈ K[x]. Si u ∈ F es una raız de f y σ ∈ AutKFentonces σ(u) ∈ F es raız de f.

Demostracion. Si f =n∑i=1

kixi, entonces f(u) = 0 implica 0 = σ(f(u)) = σ

(n∑i=1

kiui

)=

n∑i=1

σ(ki)σ(ui) =

n∑i=1

kiσ(u)i = f(σ(u)). �

Observacion. Uno de las principales aplicaciones del teorema 6.1 es en la situacion donde u esalgebraico sobre K con polinomio irreducible f ∈ K[x] de grado n. Entonces todoσ ∈ AutKK(u) esta completamente determinado por su accion en u (porque

{1K , u, u

2, ..., un−1}

es base del K-espacio vectorial K(u) por el teorema 5.5). Como σ(u) es una raız de f por el teorema6.1 |AutKK(u)| ≤ m, donde m es el numero de raıces distintas de f en K(u).

Ejemplo. C = R(i) y ± i son las raıces de x2 + 1. De ahı AutRC tiene orden, como mucho, 2. Laconjugacion compleja es un R-automorfismo de C que no actua como la identidad. Luego |AutRC|= 2 y ası AutRC ∼= Z2.

Teorema 6.2. Sea F una extension de K. E un cuerpo intermedio y H un subgrupo de AutKF .Entonces

(a) H′

= {v ∈ F : σ(v) = v para todo σ ∈ H} es un cuerpo intermedio de la extension.

(b) E′

= {σ ∈ AutKF : σ(u) = u para todo u ∈ E} = AutEF es un subgrupo de AutKF .

Demostracion. (a) K ⊂ H′ ⊂ F sale de la definicion. Recordar que si σ ∈ AutKF entonces

σ(k) = k para todo k ∈ K. Veamos que H′

es un cuerpo.Sean v1, v2 ∈ H

′, σ ∈ H. σ(v1 − v2) = σ(v1) + σ(−v2) = σ(v1) − σ(v2) = v1 − v2.

Sean v1, v2 ∈ H′, σ ∈ H. σ(v1.v

−12 ) = σ(v1).σ(v−12 ) = σ(v1).σ(v2)

−1 = v1v−12 .

(b) E′ ≤ AutKF .

Sean σ ∈ E′ y u ∈ E.σ(u) = uσ−1(σ(u)) = σ−1(u)u = σ−1(u)σ−1 ∈ E′

Sean σ1, σ2 ∈ E′

y u ∈ E.(σ1 o σ2)(u) = σ1(σ2(u)) = σ1(u) = u.σ1 o σ2 ∈ E

′�



Definicion. El cuerpo H′

se llama el cuerpo fijo de H en F . Tambien notaremosFijF (H) = {v ∈ F : σ(v) = v para todo σ ∈ H} donde F es una extension de K y H un subgrupode AutKF . Esta otra notacion nos sera util mas adelante.

Observacion. Si notamos AutKF = G. Entonces F′

= AutFF = 1 y K′

= AutKF = G. Por otrolado 1

′= F , es decir, F es el cuerpo fijo del subgrupo identidad.

Definicion. Sea F una extension de K tal que el cuerpo fijo del grupo de Galois AutKF es elmismo K. Entonces F se dice que es una extension de Galois de K o que es Galois sobre K.

Observacion. F es Galois sobre K si y solo si para todo u ∈ F −K existe un K-automorfismoσ ∈ AutKF tal que σ(u) 6= u.

Definicion. Si L,M son cuerpos intermedios de una extension con L ⊂M , la dimension [M : L]se llama la dimension relativa de L y M. Si H,J son subgrupos del grupo de Galois conH ≤ J , el ındice [J : H] se llama ındice relativo de H y J .

Lema 6.3. Sea F una extension de K con cuerpos intermedios L y M . Sean H y J subgrupos deG = AutKF . Entonces

(a) F′

= 1 y K′

= G.

(b) 1′

= F .

(c) L ⊂M ⇒ M′ ≤ L

′.

(d) H ≤ J ⇒ J′ ⊂ H ′.

(e) L ⊂ L′′ y H ≤ H′′.

(f) L′

= L′′′

y H′

= H′′′

.

Demostracion. Del (a) al (e) salen directo usando la definicion apropiada. Para probar (f) ob-servar que (e) y (c) implican L

′′′ ≤ L′

y que (e) aplicado a L′

en lugar de H implica L′ ≤ L

′′′.

Analogamente H′

= H′′′

. �

Observacion. F es Galois sobre K si G′

= K. Como K′

= G en cualquier caso por el lema 6.3.F es Galois sobre K si y solo si K = K

′′. Similarmente F es Galois sobre un cuerpo intermedio si

y solo si E = E′′.

Definicion. Sea X un cuerpo intermedio o un subgrupo del grupo de Galois. X se dice cerrado siX = X

′′. Notar que F es Galois sobre K si y solo si K es cerrado.

Teorema 6.4. Si F es una extension de K, entonces existe una correspondencia uno a uno entrelos cuerpos intermedios cerrados de la extension y los subgrupos cerrados del grupo de Galois, dadapor E 7→ E

′= AutEF .

Demostracion. La inversa de esta correspondencia esta dada por asignar a cada subgrupo cerradode H su cuerpo fijo H

′. Luego E 7→ E

′= AutEF 7→ E

′′= E. Porque los cuerpos intermedios que

tomamos son cerrados. Analogamente H 7→ H′ 7→ H

′′= H. Porque los subgrupos del grupo de

Galois que tomamos son cerrados. Vemos ası que tiene inversa. �

Lema 6.5. Sea F una extension de K y L, M cuerpos intermedios con L ⊂ M . Si [M : L] esfinito, entonces [L

′: M

′] ≤ [M : L]. En particular, si [F : K] is finito, entonces |AutKF | ≤ [F : K].



Demostracion. Lo demostraremos por induccion sobre n = [M : L]. Caso n = 1 es trivial porqueimplica M = L. Si n > 1 y el lema es verdadero para todo i < n, elegimos u ∈ M con u /∈ L.Como [M : L] es finito, u es algebraico sobre L (teorema 5.8) con polinomio irreducible f ∈ L[x]de grado k > 1. Por lo teoremas 5.5 y proposicion 5.1, [L(u) : L] = k y [M : L(u)] = n/k. Lo quetenemos es L ⊂ L(u) ⊂ M y M

′ ≤ L(u)′ ≤ L

′. consideremos ahora los siguientes dos casos. Si

k < n, entonces 1 < n/k < n y por induccion [L′

: L(u)′] ≤ k y [L(u)

′: M

′] ≤ n/k. De ahı [L

′: M

′]

= [L′

: L(u)′][L(u)

′: M

′] ≤ k(n/k) = n = [M : L] y el lema queda probado. Para el caso k = n,

entonces [M : L(u)] = 1 y M = L(u). Para completar la prueba vamos a construir una funcioninyectiva del conjunto S de todas las co-clases a izquierda de M

′en L

′al conjunto T de todas las

raıces distintas (en F ) del polinomio f ∈ L[x]. Esta funcion nos sirve para ver que |S| ≤ |T |. Como|T | ≤ k = n y |S| = [L

′: M

′] por definicion, esto prueba que [L

′: M

′] ≤ |T | ≤ n = [M : L].

Sea τM′

una co-clase a izquierda de M′

en L′. Si σ ∈ M

′= AutMF , entonces como u ∈

M , τσ(u) = τ(u). Ası todo elemento de la co-clase τM′

tiene el mismo efecto sobre u y mandau 7→ τ(u). Como τ ∈ L′ = AutLF , y u es una raız de f ∈ L[x], τ(u) tambien es una raız de f porel teorema 4.32. Esto implica que la funcion S → T dada por τM

′ 7→ τ(u) esta bien definida. Siτ1(u) = τ2(u) (τ1, τ2 ∈ L

′), entonces τ−12 τ1(u) = u y ası τ−12 τ1 deja fijo a u. Luego, τ−12 τ1 deja fijo a

todo elemento de L(u) = M (ver teorema 5.5(d)) y τ−12 τ1 ∈ M′. Luego τ1M

′= τ2M

′y la funcion

S → T es inyectiva. �

Lema 6.6. Sea F una extension de K y sean H, J subgrupos del grupo de Galois AutKF conH ≤ J . Si [J : H] es finito entonces [H

′: J′] ≤ [J : H].

Demostracion. Sea [J : H] = n y supongamos que [H′

: J′] > n. Entonces existen u1, u2, ..., un+1

∈ H′

que son linealmente independientes sobre J′. Sea {τ1, τ2, ..., τn} una conjunto completo de

representantes de las co-clases a izquierda de H en J , es decir, J = τ1H⋃τ2H

⋃...⋃τnH y

τ−1i τj ∈ H si y solo si i = j. Consideremos el sistema de n ecuaciones lineales homogeneas conn+ 1 incognitas con coeficientes τi(uj) en el cuerpo F .

τ1(u1)x1 + τ1(u2)x2 + τ1(u3)x3 + ... + τ1(un+1)xn+1 = 0τ2(u1)x1 + τ2(u2)x2 + τ2(u3)x3 + ... + τ2(un+1)xn+1 = 0

. .

. .

. .τn(u1)x1 + τn(u2)x2 + τn(u3)x3 + ... + τn(un+1)xn+1 = 0

Este sistema (1) tiene solucion no trivial. Entre todas las soluciones no triviales elegimos una,digamos x1 = a1, ..., xn+1 = an+1 con un numero mınimo de ai no nulos. Cambiando los subındices,si es necesario, podemos asumir que x1 = a1, ..., xr = ar, xr+1 = ... = xn+1 = 0 (ai 6= 0). Comotodo multiplo de una solucion es tambien una solucion podemos asumir a1 = 1F .

Veremos que la hipotesis que u1, u2, ..., un+1 ∈ H′

son linealmente independientes sobre J′

implica que existe σ ∈ J tal que x1 = σ(a1), x2 = σ(a2), ..., xr = σ(ar), xr+1 = ... = xn+1 = 0es tambien una solucion de (1) y σ(a2) 6= a2. Como la diferencia de dos soluciones es solucion,x1 = a1 − σ(a1), x2 = a2 − σ(a2),..., xr = ar − σ(ar),xr+1 = ... = xn+1 = 0, es tambien solucionde (1). Pero como a1 − σ(a1) = 1F − 1F = 0 y σ(a2) 6= a2. Luego x1 = 0, x2 = a2 − σ(a2),...,xr = ar − σ(ar),xr+1 = ... = xn+1 = 0 es una solucion no trivial de (1) (x2 6= 0) con r− 1 entradasno nulas como mucho. Esto contradice la minimalidad de la solucion x1 = a1, ..., xr = ar, xr+1 =... = xn+1 = 0. Entonces [H

′: J′] ≤ n.

Para completar la prueba debemos encontrar σ ∈ J con las propiedades dichas. Exactamenteuna de las τj , digamos τ1, esta en H por definicion. Luego τ1(ui) = ui ∈ H

′para todo i. Como los

ai forman una solucion de (1), la primera ecuacion del sistema queda:

u1a1 + u2a2 + ...+ urar = 0.



La independencia lineal de los ui sobre J′

y el hecho que los ai son no nulos implica que algun ai,digamos a2, no esta en J

′. Entonces existe σ ∈ J tal que σ(a2) 6= a2.

Consideremos el sistema (2) de ecuaciones:

στ1(u1)x1 + στ1(u2)x2 + στ1(u3)x3 + ... + στ1(un+1)xn+1 = 0στ2(u1)x1 + στ2(u2)x2 + στ2(u3)x3 + ... + στ2(un+1)xn+1 = 0

. .

. .

. .στn(u1)x1 + στn(u2)x2 + στn(u3)x3 + ... + στn(un+1)xn+1 = 0

Como σ es un automorfismo y x1 = a1, ..., xr = ar, xr+1 = ... = xn+1 = 0 es una solucion de (1)entonces x1 = σ(a1), x2 = σ(a2), ..., xr = σ(ar), xr+1 = ... = xn+1 = 0 es una solucion de (2). Elsistema (2), excepto el orden de las ecuaciones, es identico con el sistema (1). Porque sucede losiguiente:

(a) Para cualquier σ ∈ J , {στ1, στ2, ..., στn} ⊂ J es un conjunto completo de representantes delas co-clases a izquierda de H en J . Si estuvieran en la misma clase (στi)

−1(στj) ∈ H ⇒τ−1i σ−1στj ∈ H ⇒ τ−1i τj ∈ H. Absurdo!

(b) Si ξ y θ estan ambos elementos en la misma co-clase de H en J , entonces ξ(ui) = θ(ui) parai = 1,2,...,n+ 1.

(a) implica que hay algun reordenamiento i1, ..., in+1 de 1, 2, ..., n+ 1 tal que para cadak=1, 2, ..., n+ 1, στk y τk estan en la misma co-clase de H en J . Por (b) la k-esima ecuacion de (2)es identica a la ik-esima ecuacion de (1). �

Lema 6.7. Sea F una extension de K, L y M cuerpos intermedios con L ⊂M , y H, J subgruposdel grupo de Galois AutKF con H ≤ J .

(a) Si L es cerrado y [M : L] es finito entonces M es cerrado y [L′

: M′] = [M : L].

(b) Si H es cerrado y [J : H] es finito entonces J es cerrado y [H′

: J′] = [J : H].

(c) Si F es una extension de Galois finito dimensional de K entonces todos los cuerpos intermediosy todos los subgrupos del grupo de Galois son cerrados y AutKF tiene orden[F : K].

Demostracion. (b) Por el lema 6.3 J ⊂ J′′

y H = H′′. Ademas por los lemas 6.5 y 6.6

[J : H] ≤ [J′′

: H] = [J′′

: H′′] ≤ [H

′: J′] ≤ [J : H]

Entonces J = J′′

y [H′

: J′] = [J : H]. (a) se prueba de manera analoga.

(c) Si E es un cuerpo intermedio entonces [E : K] es finito (porque [F : K] lo es). Como F es deGalois sobre K, K es cerrado y (a) implica que E es cerrado y [K

′: E

′] = [E : K]. En particular, si

E = F , entonces |AutKF | = [AutKF : 1] = [K′

: F′] = [F : K] es finito. Entonces, todo subgrupo

J de AutKF es finito. Como 1 es cerrado (b) implica que J es cerrado. �

Observacion. Notar que el segundo inciso del lema 6.7 (con H = 1) implica que todo subgrupofinito de AutKF es cerrado. H = 1 ⇒ H

′= F ⇒ H

′′= F

′= 1 y [J : 1] = |J | es finito. Estamos

bajos las hipotesis del lema luego J es cerrado.

Definicion. Si E es un cuerpo intermedio de la extension F/K, E se dice estable si todo K-automorfismo σ ∈ AutKF manda a E en sı mismo.



Observacion. Si E es estable y σ−1 ∈ AutKF es el automorfismo inverso, entonces σ−1 tambienmanda a E en sı mismo. Esto implica que σ | E es de hecho un K-automorfismo de E (es decir, σ| E ∈ AutKE) con inversa σ−1 | E.

Lema 6.8. Sea F una extension de K.

(a) Si E es un cuerpo intermedio estable de la extension, entonces E′

= AutEF es un subgruponormal del grupo de Galois AutKF .

(b) Si H es un subgrupo normal de AutKF , entonces el cuerpo fijo H′

de H es un cuerpo intermedioestable de la extension.

Demostracion. (a) Si u ∈ E y σ ∈ AutKF , entonces σ(u) ∈ E por la estabilidad y ası τσ(u) = σ(u)para cualquier τ ∈ E′ . Luego para cualquier σ ∈ AutKF , τ ∈ E′ y u ∈ E, σ−1τσ(u) = σ−1σ(u) = u.Entonces σ−1τσ ∈ E′ , de ahı deducimos que E

′es normal en AutKF .

(b) Si σ ∈ AutKF y τ ∈ H, entonces σ−1τσ ∈ H por la normalidad. Luego, para cualquieru ∈ H ′ , σ−1τσ(u) = u, lo cual implica que τσ(u) = σ(u) para todo τ ∈ H. Ası σ(u) ∈ H ′ paracualquier u ∈ H ′ , lo que nos dice que H

′es estable. �

Lema 6.9. Si F es una extension de Galois de K y E es un cuerpo intermedio estable de laextension, entonces E es Galois sobre K.

Demostracion. Si u ∈ E −K, entonces existe σ ∈ AutKF tal que σ(u) 6= u porque F es Galoissobre K. Pero σ | E ∈ AutKE por la estabilidad. Entonces E es Galois sobre K. �

Lema 6.10. Si F es una extension de K y E es un cuerpo intermedio de la extension tal que Ees algebraico y Galois sobre K, entonces E es estable (relativo a F y K).

Demostracion. Si u ∈ E, sea f ∈ K[x] el polinomio irreducible que anula a u y seanu = u1, u2, ..., ur las raıces distintas de f pertenecientes a E. Entonces r ≤ n = gr f . Siτ ∈ AutKE, entonces se deduce del teorema 6.1 que τ simplemente permuta las ui. Esto implicaque los coeficientes del polinomio monico g(x) = (x − u1)(x − u2)...(x − ur) ∈ E[x] son dejadosquietos por todo τ ∈ AutKE. Como E es de Galois sobre K, tenemos que g ∈ K[x]. Ahora bienu = u1 es una raız de g y por lo tanto f | g (por teorema 5.5(b)). Como g es monico y gr g ≤ gr f ,tenemos que f = g. Por consiguiente, todas las raıces de f son distintas y estan en E. Ahora biensi σ ∈ AutKF , entonces σ(u) es raız de f por el teorema 6.1, y por lo anterior σ(u) ∈ E. Por lotanto, E es estable relativo a F y K. �

Definicion. Sea E un cuerpo intermedio de la extension F/K. Un K-automorfismo τ ∈ AutKEse dice extendible a F se existe σ ∈ AutKF tal que σ | τ .

Observacion. Los K-automorfismos extendibles forman un subgrupo de AutKE. Si E es estable,E′

= AutEF es un subgrupo normal de G = AutKF (lema 6.8). En consecuencia el grupo cocienteG/E

′esta definido.

Lema 6.11. Sea F una extension de K y E un cuerpo intermedio estable de la extension. Entoncesel grupo cociente AutKF/AutEF es isomorfo al grupo de todos los K-automorfismo de E que sonextendibles a F .

Demostracion. Como E es estable, la asignacion que manda σ 7→ σ|E define un morfismo de gru-pos AutKF → AutKE cuya imagen es el subgrupo de todos los K-automorfismos de E extendiblesa F . Su nucleo es AutEF y aplicando el primer teorema del isomorfismo para grupos obtenemos loquerido. �



Teorema 6.12. (Teorema Fundamental de la Teorıa de Galois) Si F es una extension de Galoisfinito dimensional de K, entonces existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todoslos cuerpos intermedios de la extension y el conjunto de todos los subgrupos del grupo de GaloisAutKF (dado por E 7→ E

′= AutEF ) tal que:

(1) La dimension relativa de dos cuerpos intermedios es igual al ındice relativo de los subgruposcorespondientes; en particular, AutKF tiene orden [F : K]

(2) F es Galois sobre todo cuerpo intermedio E, pero E es Galois sobre K si y solo si el subgrupocorrespondiente E

′= AutEF es normal en G = AutKF ; en este caso G/E

′es (isomorfo a) el

grupo de Galois AutKE de E sobre K.

Demostracion. En el teorema 6.4 demostramos que existe una correspondencia uno a uno entrelos cuerpos intermedios cerrados de la extension y los subgrupos cerrados del grupo de Galois. Peroen este caso todos los cuerpos intermedios y todos los subgrupos son cerrados por el lema 6.7(c).Luego, el inciso (1) del teorema sale inmediatamente del lema 6.7(a).

(2) F es Galois sobre E porque E es cerrado (es decir E = E′′). E es finito dimensional sobre

K (porque F lo es) y por lo tanto algebraico sobre K por el teorema 5.8. Por consiguiente, si E esGalois sobre K, entonces E es estable por el lema 6.10. Por el lema 6.8(a) E

′= AutEF es normal

en AutKF . Luego si E′

es normal en AutKF , entonces E′′

es un cuerpo intermedio estable (lema6.8(b)). Pero E = E

′′porque todos los cuerpos intermedios son cerrados y por lo tanto E es Galois

sobre K por el lema 6.9.Supongamos que E es un cuerpo intermedio que es Galois sobre K (entonces E

′es normal en

AutKF ). como E y E′

son cerrados y G′

= K (F es Galois sobre K), el lema 6.7 implica que|G/E

′ | = [G : E′] = [E

′′: G

′] = [E : K]. Por el lema 6.11 G/E

′= AutKF/AutEF es isomorfo

a un subgrupo (de orden [E : K]) de AutKE. Pero en la parte (a) del teorema demostramos que|AutKE| = [E : K] (porque E es Galois sobre K). Esto implica que G/E

′ ∼= AutKE. �

7. Clausura algebraica

Teorema 7.1. Sea u algebraico sobre K y sea g = IrrKu . Si ψ : K(u) → L es un morfismo decuerpos y ϕ es la restriccion de ψ a K, entonces ψ(u) es una raız de ϕg en L. Inversamente, paratodo morfismo de cuerpos ϕ : K → L y toda raız v de ϕg en L existe un unico morfismo de cuerposψ : K(u)→ L que extiende ϕ y manda u en v.

K⊆ //

ϕ

""

K(u)

ψ��L

Demostracion. Sea ψ : K(u)→ L un morfismo de cuerpos. Su restriccion ϕ a K es un morfismode cuerpos. Para cada f(x) = a0 + a1x+ . . .+ amx

m ∈ K[x], tenemos que:

ψ(f(u)) = ψ(a0 + a1u+ . . .+ amum) = ϕ(a0) + ϕ(a1)ψ(u) + . . .+ ϕ(am)ψ(u)m = ϕf(ψ(u)).

Como g(u) = 0 entonces ϕg(ψ(u)) = 0. Ası ψ(u) es una raız de ϕg en L.Inversamente, sea v ∈ L una raız de ϕg. Como K(u) ∼= K[x]/(g) por el teorema 5.5. Podemos

asumir K(u) = K[x]/(g) y u = x+ (g). Por la propiedad universal de K[x] (proposicion 4.9), ϕ seextiende a un unico morfismo χ : K[x]→ L que manda a x en v, dado por χ : f 7→ ϕf(v). Entoncesχ(g) = ϕg(v) = 0, Ası (g) ⊂ Ker χ.



K⊆ //

ϕ!!

K[x]

χ

��

π // K[x]/(g)

ψyy

L

Por el teorema de factorizacion 4.8 existe un unico morfismo ψ tal que χ = ψ o π y ψ : K(u)→ L.Entonces ψ extiende a ϕ y manda u en v. ψ es el unico morfismo con esas propiedades porque 1,u, . . . , un−1 es una base de K(u). �

Proposicion 7.2. Sea K un cuerpo, son equivalentes:

(a) La unica extension algebraica de K es K.

(b) En K[x], todo polinomio irreducible tiene grado 1.

(c) Todo polinomio no constante en K[x] tiene una raız en K.

Demostracion. (a) implica (b): sea f ∈ K[x] irreducible, por el teorema 5.5 E = K[x]/(f) es unaextension algebraica de K y tiene grado [E : K] = gr(f). Pero por (a) E = K y por lo tanto gr(f)= 1.

(b) implica (c): como todo polinomio no constante f ∈ K[x] es producto de polinomios irredu-cibles y por (b) los irreducibles tienen grado 1. Por lo tanto tomando u el termino constante dealguno de esos polinomios irreducibles de grado 1, se tiene f(u) = 0.

(c) implica (a): sea u algebraico sobre K, entonces por (c) q = IrrKu tiene una raız r en K.Por lo tanto q = x− r y q(u) = 0, luego u = r ∈ K. �

Definicion. Un cuerpo es algebraicamente cerrado cuando satisface las condiciones equivalentesde la proposicion anterior.

Teorema 7.3. Todo morfismo de un cuerpo K en un cuerpo algebraicamente cerrado puede serextendido a toda extension algebraica de K.

Demostracion. Sea E una extension algebraica de K y sea ϕ un morfismo de K en un cuerpoalgebraicamente cerrado L. Si E = K(u) es una extension simple de K y q = IrrKu, entonces ϕq∈ L[x] tiene una raız en L porque L es algebraicamente cerrado y por el teorema 7.1 ϕ puede serextendido a E.

Para el caso general vamos a usar el lema de Zorn. Sea C el conjunto de todos los pares ordenados(F,ψ) donde F es un subcuerpo de E, K ⊆ F ⊆ E y ψ : F → L es un morfismo que extiende aϕ. C 6= ∅ pues (K,ϕ) ∈ C. (F,ψ) ≤ (G,χ) si y solo si F es un subcuerpo de G y χ extiende a ψ esun orden parcial de C. Sea (Fi, ψi)i∈I una cadena en C. Entonces F =

⋃i∈I Fi es un subcuerpo de

E. La aplicacion ψ : F → L dada por ψ(x) = ψi(x) donde x ∈ Fi, esta bien definida ya que si x ∈Fi ∩ Fj entonces supongamos (Fi, ψi) ≤ (Fj , ψj) y por lo tanto ψj extiende a ψi y ψj(x) = ψi(x).Entonces ψ extiende a todo ψi y es un morfismo porque para cualquier x e y ∈ F existe algun i talque x e y ∈ Fi y ψi es un morfismo. Luego (F,ψ) ∈ C y (Fi, ψi) ≤ (F,ψ) ∀ i ∈ I, por lo tanto lacadena esta acotada en C.

Aplicando el lema de Zorn deducimos que C tiene un elemento maximal (M,µ). Si M 6= E, seau ∈ E\M que es algebraico sobre M porque E es una extension algebraica de K ⊆ M . Luego µpuede ser extendido a M(u) por el teorema 7.1, contradiciendo la maximalidad de M . Por lo tantoM = E y µ extiende a ϕ a E. �

Lema 7.4. Todo cuerpo K tiene una extension algebraica que contiene una raız de todo polinomiono constante con coeficientes en K.



Demostracion. Para cualquier numero finito de polinomios no constantes f1, . . . , fn ∈ K[x] apli-cando repetidamente el teorema 5.5 sobre los irreducible factores de f1, . . . , fn podemos construiruna extension de K en la que todo fi tiene una raız, y esta extension resulta algebraica por elteorema 5.9.

Ahora escribiremos el conjunto de todos los polinomios no constantes de K[x] como la familiaindexada (fi)i∈I . Trabajeremos en el anillos de polinomios K[(xi)i∈I ], usando el mismo conjuntode ındices, y sea U el ideal de K[(xi)i∈I ] generado por todos los fi(xi).

Mostraremos que U 6= K[(xi)i∈I ]. Supongamos que 1 ∈ U y 1 =∑

j∈J ujfj(xj) para algunsubconjuto finito J de I y polinomios uj ∈ K[(xi)i∈I ]. Como J es finito, K tiene una extensionalgebraica E en la cual todo polinomio fj tiene una raız uj . La propiedad universal de K[(xi)i∈I ]induce un morfismo ϕ : K[(xi)i∈I ] → E tal que ϕ(x) = x para todo x ∈ K, ϕ(xi) = 0 paratodo i ∈ I\J , ϕ(xj) = uj para todo j ∈ J . Entonces ϕ(fj(xj)) = fj(uj) = 0 y 1 = ϕ(1) =∑

j∈J ϕ(uj)ϕ(fj(xj)) = 0. Luego hay un absurdo, el cual provino de suponer que 1 ∈ U .Ahora bien, U 6= K[(xi)i∈I ] esta contenido en un ideal maximal M de K[(xi)i∈I ]. Entonces

F = K[(xi)i∈I ]/M es un cuerpo. Luego hay un morfismo de K en F que manda u 7→ u +M.Identificando u ∈ K con u +M ∈ F , entonces F es una extension de K. Sea ui = xi +M ∈ F .Por la unicidad de la propiedad universal de K[(xi)i∈I ], la proyeccion al cociente K[(xi)i∈I ] → Fcoincide con el morfismo de evaluacion f((xi)i∈I) 7→ f((ui)i∈I), ya que ambos mandan xi en uipara todo i y mandan todo u ∈ K en u +M = u. Ası, f((xi)i∈I) +M = f((ui)i∈I) para todof ∈ K[(xi)i∈I ]. Ası F = K[(ui)i∈I ] por teorema 5.5, K[(ui)i∈I ] es un cuerpo y F = K((ui)i∈I).Ademas fi(ui) = fi(xi) +M = 0, o sea ui es algebraico sobre K. Entonces por el teorema 5.9 F esalgebraico sobre K. �

Teorema 7.5. Todo cuerpo K tiene una extension algebraica K que es algebraicamente cerrado.Ademas, K es unica salvo un K-isomorfismo.

Demostracion. Sea K = E0 ⊆ E1 ⊆ . . . ⊆ En ⊆ En+1 ⊆ . . . en donde En+1 es una extensionalgebraica de En que contiene una raız de todo polinomio no constantes con coeficientes en En,por lema 7.4. Entonces todo En es algebraico sobre K por teorema 5.10, y K =

⋃n≥0En, que es

un cuerpo, es una extension algebraica de K. Veamos que K es algebraicamente cerrado, sea f ∈K[x] no constante. Luego los finitos coeficientes de f estan todos en algun En y f tiene una raızen En+1 ⊆ K.

Sea L un cuerpo algebraicamente cerrado y ademas una extension algebraica tal que K ⊆ L.Por el teorema 7.3, hay un K-morfismo ϕ : K → L. Entonces Imϕ ∼= K que es algebraicamentecerrado y L es algebraico sobre Imϕ ya que L es algebraico sobre K, por lo tanto L = Imϕ y ϕ esun K-isomorfismos. �

Definicion. Una clausura algebraica de un cuerpo K es una extension algebraica K de K que esalgebraicamente cerrada.

Observacion. El cuerpoK suele ser llamado LA clausura algebraica, ya que por el teorema anteriortodas las clausaras algebraicas son K-isomorfas.

Corolario 7.6. Para toda extension algebraica E de K, E es una clausura algebraica de K. Porlo tanto E es K-isomorfo a un cuerpo intermedio K ⊆ F ⊆ K de cualquier clausura algebraica deK.

Demostracion. Sea f ∈ K[x]. Como K ⊆ E entonces f ∈ E[x]. Luego las raıces de f estan en E.Entonces E es algebraicamente cerrado. Por hıpotesis E es una extension algebraica de K y E esuna extension algebraica de E entonces E es una extension algebraica de K por el teorema 5.10.Por lo tanto E es una clausura algebraica de K.

E ∼= K por el teorema 7.5. LLamemos ϕ : E → K a dicho isomorfismo. TomandoF = Im (ϕ | E) ⊆ K obtenemos lo que queremos. �



Teorema 7.7. Toda K-endomorfismo de K es un K-automorfismo.

Demostracion. Sea ϕ : K → K un K-morfismo. Como en la demostracion de 7.5, Imϕ ∼= Kes algebraicamente cerrado, K es algebraico sobre Imϕ. Por lo tanto Imϕ = K y ϕ es un K-isomorfismo. �

Teorema 7.8. Si K ⊆ E ⊆ K es una extension algebraica de K, entonces todo K-morfismo de Een K se extiende a un K-automorfismo de K.

Demostracion. Por el teorema 7.3, todo K-morfismo de E en K se extiende a un K-endomorfismode K, el cual es un K-automorfismo de K por el teorema 7.7. �

8. Extensiones separables

Definicion. Sea f ∈ K[x] un polinomio no constante con coeficientes en el cuerpo K. Visto comoun polinomio con coeficientes en cualquier clausura algebraica K de K, f se factoriza de maneraunica en un producto de potencias positivas de polinomios irreducibles de grado 1:

f(x) = a(x− u1)m1(x− u2)m2 ...(x− ur)mr

donde a ∈ K es el coeficiente principal de f , r > 0, m1, ...,mr > 0, u1, ..., ur ∈ K son las raıcesdistintas de f en K, y mi es la multiplicidad de ui.

Definicion. Un polinomio f ∈ K[x] es separable cuando no tiene raıces multiples en K.

Proposicion 8.1. Sea q ∈ K[x] irreducible

(a) Si K tiene caracterıstica 0, entonces q es separable.

(b) Si K tiene caracterıstica p 6= 0, entonces todas las raıces de q en K tiene la misma multiplicidad,la cual es una potencia pm de p, y existe un polinomio irreducible separable s ∈ K[x] tal queq(x) = s(xp

m).

Demostracion. (a) Sin perder generalidad podemos suponer que q es monico. Si q tiene una raızmultiple u en K, entonces q

′(u) = 0 por la proposicion 4.10. Ahora, u es algebraico sobre K, con

q = IrrKu porque q(u) = 0. Por lo tanto q divide a q′

por el teorema 5.5, y q′

= 0 porque gr(q′) <

gr(q). Pero q′ 6= 0 cuando K tiene caracterıstica 0. Como q no es constante entonces q es separable.

(b) Si q(x) =∑n≥0

anxn tiene una raız multiple, entonces, como antes, q

′(u) =

∑n≥1

nanun−1 =

0. Por lo tanto an = 0 siempre que n no es un multiplo de p y q solo contiene potencias de xp.Ası q(x) = r(xp) para algun r ∈ K[x]. r es monico e irreducible en K[x] como q (si r tuviera unafactorizacion no trivial, entonces tambien la tendrıa q) y gr(r) < gr(q). Este proceso debe parar,entonces q = s(xp

m), donde s ∈ K[x] es monico, irreducible y separable.

Escribamos s(x) = (x − v1)(x − v2)...(x − vn), donde v1, ..., vn son las distintas raıces de s enK. Como K es algebraicamente cerrado existen u1, ..., un ∈ K tal que vi = up

m

i para todo i. Enparticular u1, ..., un son distintos. En K y K, (x− y)p = xp − yp para todo x, y por la proposicion4.11. Entonces

q(x) = s(xpm

) =∏i

(xpm − up

m

i ) =∏i

(x− ui)pm

.

Luego las raıces de q en K son u1, .., un, y todas tiene multiplicidad pm. �



Definicion. El grado de separabilidad [E : K]s de una extension algebraica K ⊆ E es el numerode K-morfismo de E en la clausura algebraica K de K.

Proposicion 8.2. Si u es algebraico sobre K, entonces [K(u) : K]s es el numero de raıces distintasde IrrKu en K. Por lo tanto [K(u) : K]s ≤ [K(u) : K]; Si K tiene caracterıstica p 6= 0, entonces[K(u) : K] = pm[K(u) : K]s para algun m ≥ 0 ; y [K(u) : K]s = [K(u) : K] si y solo si IrrKu esseparable.

Demostracion. Observar que [E : K]s no depende de la eleccion de K. [K(u) : K]s es el numerode K-morfismos de K(u) en K. Por el teorema 5.5

{1K , u, u

2, ..., un−1}

es una base del K-espaciovectorial K(u). Por lo que todo morfismo de K(u) en K esta determinado por su accion sobre u.Como u es algebraico sobre K, llamando g = IrrKu, podemos aplicar el teorema 7.1. Luego siψ : K(u)→ K es un morfismo de cuerpos y ϕ es la restriccion de ψ a K, entonces ψ(u) es una raızde ϕg en K. Por lo tanto [K(u) : K]s es el numero de raıces distintas de IrrKu en K.

Si K tiene caracterıstica p 6= 0, entonces [K(u) : K] = pm[K(u) : K]s para algun m ≥ 0 por laproposicion 8.1(b). [K(u) : K]s = [K(u) : K] si y solo si IrrKu es separable porque ya vimos que[K(u) : K]s es el numero de raıces distintas de IrrKu en K. �

Definicion. Un elemento u es separable sobre K cuando u es algebraico sobre K y IrrKu esseparable. Una extension algebraica E de K es separable, o E es separable sobre K, cuando todoelemento E es separable sobre K.

9. Extensiones trascendentales

Definicion. Una extension K ⊆ F es totalmente trascendente o F es totalmente trascendentesobre K cuando todo elemento de F −K es trascendente sobre K.

Definicion. Una familia (ui)i∈I de elementos de una extension K ⊆ F es algebraicamente indepen-diente sobre K cuando f((ui)i∈I) 6= 0 para todo polinomio no nulo f ∈ K[(xi)i∈I ]. Un subconjuntoS de una extension K ⊆ F es algebraicamente independiente cuando es algebraicamente indepen-diente sobre K como una familia (s)s∈S.

Lema 9.1. Si S es algebraicamente independiente sobre K y v es trascendente sobre K(S) entoncesS ∪ {v} es algebraicamente independiente sobre K.

Demostracion. Si hay distintos s1, ..., sn−1 ∈ S y un f ∈ K[x1, ..., xn] tal que f(s1, ..., sn−1, v) =0, entonces v es una raız de f(s1, ..., sn−1, xn) ∈ K(S)[xn]. f ∈ K[x1, ..., xn] = K[x1, ..., xn−1][xn],por lo tanto f = hrx

rn + hr−1x

r−1n + ... + h1xn + h0 donde cada hi ∈ K[x1, ..., xn−1]. Como v es

trascendente sobre K(S), tenemos que f(s1, ..., sn−1, xn) = 0. En consecuencia, hi(s1, ..., sn−1) = 0para todo i. La independencia algebraica de S implica que hi = 0 para todo i, por lo tanto f = 0.Entonces S ∪ {v} es algebraicamente independiente. �

Definicion. Una base trascendente S de una extension K ⊆ F es un subconjunto de F tal que Ses algebraicamente independiente sobre K y F es algebraico sobre K(S).

Teorema 9.2. Toda extension de cuerpos K ⊆ F tiene una base trascendente; de hecho, cuandoS ⊆ T ⊆ F , S es algebraicamente independiente sobre K, y F es algebraico sobre K(T ), entoncesF tiene una base trascendente S ⊆ B ⊆ T sobre K.

Demostracion. La union de una cadena de subconjuntos algebraicamente independientes es al-gebraicamente independiente.

Sea S ⊆ T ⊆ F , donde S es algebraicamente independiente sobre K y F es algebraico sobreK(T ). Sea A el conjunto de todos los subconjuntos A algebraicamente independientes tales que



S ⊆ A ⊆ T . Entonces A 6= ∅, y por lo anterior, toda cadena no vacıa de A tiene una cota superioren A. Por el lema de Zorn, A tiene un elemento maximal B. Si v ∈ T −B, entonces v es algebraicosobre K(B): de lo contrario, B ∪ {v} es algebraicamente independiente por el lema 9.1 y B noes maximal en A. Por el teorema 5.9 y el teorema 5.10 K(T ) es algebraico sobre K(B) y F esalgebraico sobre K(B). Por lo tanto B es una base trascendente de F . �

10. Extensiones normales

Definicion. Decimos que f ∈ K[x] se descompone sobre una extension E de K cuando f puedeser escrito como producto de factores lineales de E[x]. Es decir, f = a(x − u1)(x − u2)...(x − un)en E[x].

Definicion. Sea K un cuerpo. El cuerpo de descomposicion sobre K de un polinomio f ∈ K[x] esuna extension E de K tal que f se descompone en E y E = K(u1, u2, ..., un), donde u1, u2, ..., unson las raıces de f en E[x].

El cuerpo de descomposicion sobre K del conjunto S ⊆ K[x] de polinomios es una extension Ede K tal que todo f ∈ S se descompone en E y E esta generado sobre K por todas las raıces detodos los polinomios de f ∈ S.

Lema 10.1. Si E y F son cuerpos de descomposicion de S ⊆ K[x] sobre K, y F ⊆ K, entoncesϕE = F para todo K-morfismo ϕ : E → K.

Demostracion. Todo f ∈ S tiene una factorizacion unica f(x) = a(x− u1)(x− u2)...(x− un) enE[x] y f(x) = a(x − v1)(x − v2)...(x − vn) en F [x] ⊆ K[x]. Como ϕ es la identidad sobre K, f =ϕf = a(x−ϕu1)(x−ϕu2)...(x−ϕun) en K[x]. Entonces ϕ {u1, ..., un} = {v1, ..., vn}. Ası ϕ mandael conjunto R de todas las raıces de todos los f ∈ S en E, en el conjunto S de todas las raıces detodos los f ∈ S de F . Por lo tanto ϕ manda E = K(R) en K(S) = F . �

Definicion. Una extension normal E de un cuerpo K es una extension algebraica tal que todopolinomio irreducible f ∈ K[x] que tiene una raız en E se descompone en E[x].

Proposicion 10.2. Para una extension algebraica K ⊆ E ⊆ K son equivalentes:

(a) E es el cuerpo de descomposicion sobre K de un conjunto de polinomios.

(b) ϕE = E para todo K-morfismo ϕ : E → K.

(c) ϕE ⊆ E para todo K-morfismo ϕ : E → K.

(d) σE = E para todo K-automorfismo σ de K.

(e) σE ⊆ E para todo K-automorfismo σ de K.

(f) Todo polinomio irreducible q ∈ K[x] con una raız en E se descompone en E.

Demostracion. (a) ⇒ (b) por el lema 10.1, (b) ⇒ (c) y (d) ⇒ (e). (b) ⇒ (d) y (c) ⇒ (e) porquetodo K-automorfismo de K induce un K-morfismo de E en K (es la restriccion).

(e) ⇒ (f). Sea q ∈ K[x] irreducible, con una raız u en E. Podemos asumir que q es monicoentonces q = IrrKu. Para toda raız v de q en K por 7.1 obtenemos un K-morfismo ϕ de K(u) ⊆ Een K que manda u en v. Por el corolario 7.6, ϕ se extiende a un K-automorfismo σ de K. Entoncesv = σu ∈ E por (e). Ası E contiene toda raız de q en K. Por lo tanto q descompone a E.

(f) ⇒ (a). E es un cuerpo de descomposicion de S = {IrrKu ∈ K[x] : u ∈ E}. Todo q =IrrKu ∈ S tiene una raız u en E y descompone a E por (f). Mas aun, E consiste de todas lasraıces de q ∈ S. �



Definicion. Sea K un cuerpo. Un conjugado de u ∈ K sobre K es la imagen de u por un K-automorfismo de K. Un conjugado de una extension algebraica E ⊆ K de K es la imagen de Epor un K-automorfismo de K.

Proposicion 10.3. Sobre un cuerpo K, los conjugados u ∈ K son las raıces de IrrKu en K.

Demostracion. Si σ es un K-automorfismo de K entonces σu es una raız de q = IrrKu porqueq(σu) = σq(σu) = σq(u) = 0. Inversamente, Si v es una raız de q en K, entonces por 7.1 hay unK-morfismo ϕ de K(u) ⊆ E en K que manda a u en v, el cual por el teorema 7.8 se extiende a unK-automorfismo σ de K. �

Proposicion 10.4. Si F es de Galois sobre K y E ⊆ F es normal sobre K, entonces E es deGalois sobre K.

Demostracion. Sea v ∈ E −K. En particular v ∈ F −K entonces existe un K-automorfismoϕ ∈ AutKF tal que ϕ(v) 6= v. Sea ψ = ϕ | E : E → E. E ⊆ F es normal sobre K es equivalentepor la proposicion 10.2(d) a que ϕE = E. Luego ψ es un automorfismo tal que ψ(v) 6= v. �

Teorema 10.5. Sea F una extension del cuerpo K, entonces son equivalentes:

(a) F es algebraico y de Galois sobre K.

(b) F es separable sobre K y F es un cuerpo de descomposicion sobre K de un conjunto S depolinomios en K[x].

(c) F es un cuerpo de descomposicion sobre K de un conjunto T de separables polinomios en K[x].

Demostracion. (a) ⇒ (b) y (c) Si u tiene polinomio irreducible f , entonces la primera parte dela prueba del lema 6.10 (con E = F ) muestra que f se descompone en F [x] en un producto dedistintos factores lineales. Entonces u es separable sobre K. Sea {vi : i ∈ I} una base de F sobreK y para cada i ∈ I sea fi ∈ K[x] el polinomio irreducible de vi. Luego cada fi es separable y sedescompone en F [x]. Por lo tanto F es el cuerpo de descomposicion sobre K de S = {fi : i ∈ I}.

(b)⇒ (c) Sea f ∈ S y sea g ∈ K[x] un factor monico e irreducible de f . Como f se descomponeen F [x], g tiene que ser el polinomio irreducible de algun u. Como F es separable sobre K, g esnecesariamente separable. De aca se sigue que F es el cuerpo de descomposicion sobre K de elconjunto T de polinomios separables que consiste de todos los factores monicos e irreducibles (enK[x]) de polinomios en S.

(c) ⇒ (a) F es algebraico sobre K porque cualquier cuerpo de descomposicion sobre K es unaextencion algebraica. Si u ∈ F − K, entonces u ∈ K(v1, . . . , vn) con cada vi una raız de algunpolinomio fi ∈ T por la definicion de cuerpo de descomposicion y la finitud de los coeficientes deu. Entonces u ∈ E = K(u1, . . . , ur) donde las ui son todas las raıces de los polinomios f1, . . . , fn enF . Luego [E : K] es finito por teorema 5.9. Como cada fi se descompone en F , E es un cuerpo dedescomposicion sobre K de el conjunto finito {f1, . . . , fn}, o equivalentemente, de f = f1f2 . . . fn.Asumamos por ahora que el teorema es cierto en el caso finito dimensional. Entonces E es Galoissobre K y por lo tanto existe τ ∈ AutKE tal que τ(u) 6= u. Como F es un cuerpo de descomposicionde T sobre E, extendemos a τ a un automorfismo σ ∈ AutKF tal que σ(u) = τ(u) 6= u por elteorema 7.3. Por lo tanto, todo u no esta en el cuerpo fijo de AutKF . Luego F es de galois sobreK.

El argumento en el parrafo anterior muestra que solo es necesario probar el teorema cuando[F : K] es finito. En este caso existen finitos polinomios g1, . . . , gt ∈ T tal que F es un cuerpo dedescomposicion de {g1, . . . , gt} sobre K. Ademas AutKF es un grupo finito por el lema 6.5. Si K0

es el cuerpo fijo de AutKF , entonces F es una extension de Galois de K0 con [F : K0] = |AutKF |por el teorema fundamental 6.12. Para probar que F es Galois sobre K (o sea K0 = K) es suficiente



con probar que [F : K] = |AutKF |.Veamoslo por induccion sobre n = [F : K], cuando n = 1 es trivial porque K = F = K0. Si

n ≥ 2, entonces uno de los gi, digamos g1, tiene grado s ≥ 2 (sino todas las raıces de gi estan enK y K = F ). Sea u ∈ F una raız de g1, entonces [K(u) : K] = gr(u) = s por el teorema 5.5 yla cantidad de raıces distintas de g1 es s porque g1 es separable. El segundo parrafo de la pruebadel lema 6.5 muestra que hay una aplicacion inyectiva desde el conjunto de todas las co-clases deH = AutK(u)F en AutKF en el conjunto de todas las raıces de g1 en F , dado por σH 7→ σ(u). Luego,[AutKF : H] ≤ s. Ahora bien, si v ∈ F es otra raız de g1, hay un isomorfismo τ : K(u)→ K(v) conτ(u) = v y τ |K = 1K por el corolario 5.7. Como F es un cuerpo de descomposicion de {g1, . . . , gt}sobre K(u) y sobre K(v), extendemos τ a un automorfismo σ ∈ AutKF con σ(u) = u. Luego, todaraız de g1 es la imagen de alguna co-clase de H y [AutKF : H] = s. Por lo tanto, F es un cuerpode descomposicion sobre K(u) de el conjunto de todos los factores irreducibles hj (en K(u)[x]) delos polinomios gi. Cada hj es separable porque divide a algun gi. Como [F : K(u)] = n/s < n, lahipotesis inductiva implica que [F : K(u)] = |AutKF | = |H|. Finalmente,

[F : K] = [F : K(u)][K(u) : K] = |H|s = |H|[AutKF : H] = |AutKF |.

�

Teorema 10.6. Sea F una extension algebraica de un cuerpo K, entonces son equivalentes:

(a) F es normal sobre K.

(b) F es un cuerpo de descomposicion sobre K de algun conjunto de polinomios en K[x].

(c) Si K es alguna clausura algebraica de K que contiene a F , entonces para cualquier K-monomorfismode cuerpos σ : F → K, Imσ = F o sea que σ es realmente un K-automorfismo de F .

Demostracion. (a)⇒ (b) F es un cuerpo de descomposicion sobre K de {fi ∈ K[x] : i ∈ I}, donde{ui : i ∈ I} es una base de F sobre K y fi = IrrKui.

(b) ⇒ (c) Sea F un cuerpo de descomposicion de {fi : i ∈ I} sobre K y sea σ : F → K un K-monomorfismo de cuerpos. Si u ∈ F es una raız de fi, entonces σ(u) tambien es raız por el teorema6.1. Por hipotesis fi se descompone en F , digamos fi = c(x − u1) . . . (x − un) con ui ∈ F y c ∈K. Luego σ(ui) debe ser una de u1 . . . un para todo i. Como σ es inyectivo, entonces simplementepermuta las ui. Pero F es generado sobre K por todas las raıces de todos los polinomios fi, luegoσF = F y σ ∈ AutKF .

(c)⇒ (a) Sea K una clausura algebraica de F . Entonces K es algebraico sobre K por el teorema5.10. Luego K es una clausura algebraica de K que contiene a F . Sea f ∈ K[x] irreducible conuna raız u ∈ F . Por construccion K contiene todas las raıces de f . Si v ∈ K es alguna raız de fentonces hay un K-isomorfismo de cuerpos σ : K(u)→ K(v) tal que σ(u) = v por el corolario 5.7,el cual se extiende a un K-automorfismo de K. σ | F es un monomorfismo F → K y por hipotesisσ(F ) = F . Por lo tanto, v = σ(u) ∈ F , lo que implica que f se descompone en F . Luego F esnormal sobre K. �

Corolario 10.7. Sea F una extension algebraica del cuerpo K. Entonces, F es Galois sobre K siy solo si F es normal y separable sobre K.

Demostracion. Se deduce del teorema 10.5 y el teorema 10.6 �

Teorema 10.8. Si E es de Galois sobre K entonces |AutKE| = [E : K].

Demostracion. Si E ⊆ K es normal sobre K, entonces todo K-morfismo de E en K manda E enE y es un K-automorfismo de E. Ası |AutKE| = [E : K]s = [E : K] cuando E es separable sobreK. �



Proposicion 10.9. Sean E1, E2 cuerpos intermedios de una extension de Galois finita F de K,con grupos de Galois H1, H2. Cuando F ⊆ K, E1 y E2 son conjugados si y solo si H1 y H2 sonconjugados en AutKF .

Demostracion. E1 y E2 son conjugados si y solo si τE2 = E1 para algun τ ∈ AutKF , en efecto,τ puede ser extendido a un K-automorfismo σ de K. Inversamente, si σE2 = E1 para algunK-automorfismo σ de K, entonces σ tiene una restriccion τ a la extension normal F , τ es unK-automorfismo de F , y τE2 = E1. �

Teorema 10.10. Si F es una extension de Galois finita de K, entonces un cuerpo intermedioK ⊆ E ⊆ F es normal sobre K si y solo si AutFE es normal en AutKF , y entonces AutKE ∼=AutKF/AutEF .

Demostracion. Por proposicion 10.9, E es normal sobre K (E tiene solo un conjugado) si y solosi AutEF es normal en AutKF . Ahora, sea E normal sobre K. Por la proposicion 10.4, E es Galoissobre K. Por lo tanto todo σ ∈ AutKF tiene una restriccion σ | E a E que es un K-automorfismode E. Entonces Φ : σ 7→ σ | E es un morfismo de AutKF en AutKE suryectivo porque todo K-automorfismo de E se extiende a un K-automorfismo de K cuya restriccion a la extension normalF es un K-automorfismo de F . Ademas Ker Φ = AutEF . �

11. Extensiones cıclicas

Definicion. Recordar que una transformacion lineal T de un espacio finito dimensional V tienedeterminante y traza. Sea

C(x) = det(T − xI) = (−1)nxn + (−1)n−1cn−1xn−1 + . . .+ c0

el polinomio caracterıstico de T , entonces el determinante de T es c0 y la traza es cn−1.

Definicion. Sea E una extension finita del cuerpo K. La norma NEK(u) y la traza TrEK(u) de

u ∈ E sobre K son el determinante y la traza de la transformacion lineal Tu : v 7→ uv de E.Ambos NE

K(u) y TrEK(u) son elementos de K. Cuando K ⊂ E es la unica extension mencionadadenotaremos NE

K(u) y TrEK(u) por N(u) y Tr(u).

Lema 11.1. Si E es finito sobre K y u ∈ E, entonces det(Tu − xI) = (−1)nq(x)l donde n =[E : K], q = IrrKu y l = [E : K(u)].

Demostracion. Tenemos que Tαβ = αTβ, Tβ+γ = Tβ + Tγ y Tβγ = TβTγ para todo α ∈ K, β,γ ∈ E. Por lo tanto f(Tα) = Tf(α) para todo f ∈ K[x]. En particular, q(Tu) = Tq(u) = 0.

Elegimos una base de E sobre K. La matriz M de Tu en esta base puede ser vista como unamatriz con coeficientes en K, y el polinomio caracterıstico c(x) = det(Tu − xI) de Tu tambien esel polinomio caracterıstico de M . En K[x], c es el producto de su coeficiente principal (−1)n ypolinomios irreducibles monicos r1, . . . , rl ∈ K[x]. Si λ ∈ K es una raız de rj , entonces c(λ) = 0, λes un autovalor de M y Mv = λv para algun v 6= 0. Ademas f(M)v = f(λ)v para todo f ∈ K[x].En particular q(λ)v = q(M)v = 0 entonces q(λ) = 0. Por lo tanto rj = IrrKλ = q. Entoncesc = (−1)nql. Entonces l = gr(c)/gr(q) = [E : K]/[K(u) : K] = [E : K(u)]. �

Teorema 11.2. Sea E una extension finita de K de grado n. Sean u1, . . . , ur ∈ K los distintosconjugados de u ∈ E, y sean ϕ1, . . . , ϕt los distintos K-morfismos de E en K. Entonces r y tdividen a n y

NEK(u) = (u1 . . . ur)

n/r = (ϕ1(u) . . . ϕt(u))n/t ∈ K.

TrEK(u) =n

r(u1 + . . .+ ur) =

n

t(ϕ1(u) + . . .+ ϕt(u)) ∈ K.



Demostracion. Los conjugados de u son las raıces de q = IrrKu (proposicion 10.3), los cualestienen la misma multiplicidad m por la proposicion 8.1. Entonces

q(x) = (x− u1)m . . . (x− ur)m= xrm −m(u1 + . . .+ ur)x

rm−1 + . . .+ (−1)rm(u1 . . . ur)m.

Entonces [K(u) : K] = rm divide a n y l = [E : K(u)] = n/rm. Por el lema 11.1, c(x) = det(Tu−xI)= (−1)nq(x)l. El coeficiente constante de c es

N(u) = (−1)n(−1)rml(u1 . . . ur)ml = (u1 . . . ur)

n/r

La traza de u es (−1)n−1 veces el coeficiente de xn−1 de c

Tr(u) = (−1)n−1(−1)n(−l)m(u1 + . . .+ ur) =n

r(u1 + . . .+ ur)

t = [E : K]s el cual divide a n por la proposicion 8.2. Como q tiene r raıces distintas en K, hay rK-morfismo de K(u) en K que mandan a u en u1, . . . , ur. Cada uno puede ser extendido a E en k= [E : K(u)]s maneras. Como t = kr entonces (ϕ1u) . . . (ϕtu) = (u1 . . . ur)

k y ϕ1u + . . . + ϕtu =k(u1 + . . .+ ur). Como (n/r)/k = n/t obtenemos lo querido. �

Corolario 11.3. Sea E finito dimensional sobre K y sea u ∈ E.

(a) Si u ∈ K, entonces NEK(u) = un y TrEK(u) = nu donde n = [E : K].

(b) Si E = K(u) es separable sobre K entonces NEK(u) es el producto de los conjugados de u y

TrEK(u) es su suma.

(c) Si E es de Galois sobre K, con grupo de Galois G, entonces NEK(u) =

∏σ∈G

σu y

TrEK(u) =∑σ∈G

σu.

Demostracion. (a) NEK(u) = (u1, ..., ur)

n/r y TrEK(u) =n

r(u1 + . . . + ur) por el teorema 11.2.

Como u ∈ K el unico conjugado de u es el mismo. Entonces NEK(u) = un y TrEK(u) = nu por el

teorema 11.2.(b) Sobre un cuerpo E, los conjugados de u ∈ E son las raıces de IrrEu en E por la proposicion

10.3. E = K(u) es separable por hipotesis entonces u ∈ E es separable sobre K, es decir u esalgebraico sobre K y IrrKu es separable. Entonces [K(u) : K]s = [K(u) : K] por la proposicion8.2. E = K(u) implica que [E : K]s = [E : K]. Entonces NE

K(u) es el producto de los conjugadosde u y TrEK(u) es su suma.

(c) E es de Galois sobre K entonces |AutKE| = [E : K] = [E : K]s (ver la demostracion delteorema 10.8). Queremos ver que t = n del teorema 11.2 donde ϕ1, ..., ϕt : E → K son distintos K-morfismos. [E : K]s por definicion es el numero de K-morfismo de E en K y n = [E : K] = [E : K]s.Veamos que los ϕi : E → K son ϕi ∈ AutKE. Si σ ∈ AutKE se puede pensar que σ : E → K comoK-morfismo. Ademas |AutKE| = [E : K]s entonces σ = ϕi para algun i. �

Teorema 11.4. Si E es finito sobre K, entonces NEK(uv) = NE

K(u)NEK(v) y

TrEK(u+ v) = TrEK(u) + TrEK(v) para todo u, v ∈ E.

Demostracion. En el teorema 11.2 ϕ1, . . . , ϕt son morfismos.

NEK(uv) = (ϕ1(uv) . . . ϕt(uv))n/t = (ϕ1(u)ϕ1(v) . . . ϕt(u)ϕt(v))n/t =

(ϕ1(u) . . . ϕt(u))n/t(ϕ1(v) . . . ϕt(v))n/t = NEK(u)NE

K(v).



TrEK(u+ v) =n

t(ϕ1(u+ v) + . . .+ ϕt(u+ v)) =

n

t(ϕ1(u) + ϕ1(v) + . . .+ ϕt(u) + ϕt(v)) =

n

t(ϕ1(u) + . . .+ ϕt(u)) +

n

t(ϕ1(v) + . . .+ ϕt(v)) = TrEK(u) + TrEK(v).

�

Teorema 11.5. Si K ⊂ E ⊂ F son finitos sobre K, entonces NFK(u) = NE

K(NFE (u)) y TrFK(u) =

TrEK(TrFE(u)) para todo u ∈ E.

Demostracion. Podemos asumir que F ⊂ K y elegir E = K. Sea m = [E : K] y n = [F : E],sean ϕ1, . . . , ϕt K-morfismos distintos de E en K, y sean sean ψ1, . . . , ψs E-morfismos distintos deF en E = K. Sean σ1, . . . , σt K-automorfismo de K que extienden a ϕ1, . . . , ϕt. Si χ : F → K esun K-morfismo, entonces χ | E = ϕi para algun i, σ−1i χ : F → K es un E-morfismo, σ−1i χ = ψjpara algun j, y χ = σiψj . Ası los K-morfismos de F en K son los ts distintos σiψj . Ahora usamosel teorema 11.2, como NF

E (u) ∈ E,

NFK(u) =

∏i,j

σiψju

mn/ts

=

∏i

σi

∏j

ψju

n/sm/t

=

(∏i

σiNFE (u)

)m/t=

(∏i

ϕiNFE (u)

)m/t= NE

K(NFE (u))

Analogamente, siguiendo el mismo razonamiento, obtenemos

TrFK(u) =mn

ts

∑i,j

σiψju

=m

t

∑i

σi

ns

∑j

ψju

=m

t

(∑i

σiTrFE(u)

)=

m

t

(∑i

ϕiTrFE(u)

)= TrEK(TrFE(u))

�

Lema 11.6. Sean E y F extensiones de K. Distintos K-morfismo de E en F son linealmenteindependientes sobre F .

Demostracion. Supongamos que γ1ϕ1 + . . . + γnϕn = 0, con n > 0, γ1, . . . , γn ∈ F no todosnulos y ϕ1, . . . , ϕn distintos K-morfismos de E en F . Entre todas las igualdades que cumplen conlo anterior hay alguna en la cual n es el menor posible. Entonces γi 6= 0 para todo i y n ≥ 2. Comoϕn 6= ϕ1 tenemos que ϕnu 6= ϕ1u para algun u ∈ E. Entonces

γ1(ϕ1u)(ϕ1v) + . . .+ γn(ϕnu)(ϕnv) = γ1ϕ1(uv) + . . .+ γnϕn(uv) = 0 yγ1(ϕnu)(ϕ1v) + . . .+ γn(ϕnu)(ϕnv) = 0

Para todo v ∈ E. Sustrayendo la segunda suma a la primera obtenemos

γ1(ϕ1u− ϕnu)(ϕ1v) + . . .+ γn−1(ϕn−1u− ϕnu)(ϕn−1v) = 0

Para todo v ∈ E. Entonces

γ1(ϕ1u− ϕnu)ϕ1 + . . .+ γn−1(ϕn−1u− ϕnu)ϕn−1 = 0

Con γ1(ϕ1u− ϕnu)ϕ1 no nulo. Absurdo! (por la minimalidad del n). �



Teorema 11.7. (Teorema de Hilbert 90 [1897]). Sea E una extension de Galois finita de K. Si elgrupo AutKE es cıclico, AutKE = < τ >, entonces para cualquier u ∈ E

(1) NEK(u) = 1 si y solo si u = τv/v para algun v ∈ E no nulo.

(2) TrEK(u) = 0 si y solo si u = τv − v para algun v ∈ E.

Demostracion. Si v ∈ E, no nulo, entonces

N(τv) =∏σ∈G

στv =∏σ∈G

σv = N(v)

por el corolario 11.3(c), donde G = AutKE. De ahı N(τv/v) = 1 por el teorema 11.4.Inversamente, supongamos que N(u) = 1. Sea [E : K] = n. Entonces AutKE =

{1, τ, . . . , τn−1

}.

1, τ, . . . , τn−1 son linealmente independientes sobre K por el lema 11.6, luego

1 + uτ + u(τu)τ2 + . . .+ u(τu) . . . (τn−2u)τn−1 6= 0 yw = v + u(τv) + u(τu)(τ2v) + . . .+ u(τu) . . . (τn−2u)(τn−1v) 6= 0

para algun v ∈ E. Si N(u) = u(τu) . . . (τn−2u)(τn−1u) = 1. Entonces

u(τw) = uτv + u(τu)(τ2v) + . . .+ u(τu) . . . (τn−1u)(τnv) = w

porque τn = 1. Por lo tanto u = τw−1/w−1.Analogamente, Si v ∈ E, entonces

Tr(τv) =∑σ∈G

στv =∑σ∈G

σv = Tr(v).

por el corolario 11.3, donde G = AutKE. De ahı Tr(τv − v) = 0 por el teorema 11.4.Inversamente, supongamos que Tr(u) = 0. Como 1, τ, . . . , τn−1 son linealmente independientes

sobre K, tenemos

1 + τ + . . .+ τn−1 6= 0 yTr(v) = v + +τv + . . .+ τn−1v 6= 0

para algun v ∈ E. Sea

w = uτv + (u+ τu)(τ2v) + . . .+ (u+ τu+ . . .+ τn−2u)(τn−1v).

Si Tr(u) = u+ +τu+ . . .+ τn−1u = 0 entonces

τw = (τu)(τ2v) + (τu+ τ2u)(τ3v) + . . .+ (τu+ τ2u+ . . .+ τn−2u)(τn−1v)− uv

Ası w − τw = uτv + uτ2v + . . .+ uτn−1v + uv = uTr(v) y u = τ(−w/Tr(v))− (−w/Tr(v)). �

Definicion. Una extension cıclica es una extension de Galois finita cuyo grupo de Galois es cıclico.

Teorema 11.8. Sea n > 0. Sea K un cuerpo cuya caracterıstica es 0 o no un divisor de n, y quecontiene una raız n-esima primitiva de la unidad.

(a) Si E es una extension cıclica de K de grado n entonces E = K(u) donde un ∈ K.

(b) Si E = K(u) donde un ∈ K, entonces E es una extension cıclica de K, m = [E : K] divide an, y um ∈ K.



Demostracion. Por hipotesis, K contiene una raız n-esima primitiva de la unidad ε ∈ K.(a) Sea E es una extension cıclica de K de grado n y AutKE = < τ >. Como N(ε) = εn

= 1 tenemos que τu = εu para algun u ∈ E, u 6= 0, por el teorema 11.7. Entonces τ(un) =(τu)n = un. Ası σ(un) = un para todo σ ∈ AutKE y un ∈ K. Como u tiene n conjugadosu, τu = εu, . . . , τn−1u = εn−1u son n K-morfismos de K(u) en K, [K(u) : K] = [E : K] yK(u) = E.

(b) Sea ahora E = K(u) donde un = c ∈ K. Podemos suponer que E ⊂ K y que u /∈ K. En K,las raıces de xn−c ∈ K[x] son u, εu, . . . , εn−1u. Ası xn−c es separable, su cuerpo de descomposiciones E, y E es Galois sobre K.

Si σ ∈ AutKE, entonces σu es una raız de xn − c y σu = εiu para algun i. Esto nos proveede un morfismo de AutKE en el grupo multiplicativo de todas las raıces n-esimas de la unidad,el cual es inyectivo porque u genera a E. El grupo anterior es cıclico de orden n, ası AutKE escıclico y su orden m divide a n. Sea AutKE = < τ > y τu = εju, entonces εj tiene orden m,τ(um) = (τu)m = um, σ(um) = um para todo σ ∈ AutKE y um ∈ K. �

Teorema 11.9. Sea ε ∈ K una raız n-esima primitiva de la unidad para algun n > 0. Si K tienecaracterıstica p 6= 0, entonces p no divide a n; K(ε) es una extension de Galois de K de gradomenor o igual que n y AutKK(ε) es abeliano.

Demostracion. Supongamos que p divide a n. Entonces ph = n para algun h. εn = 1 peroεph = (εp)h = 0h = 0 porque p es la caracterıstica. Absurdo!

Sea f(x) = xn − 1 ⇒ f(ε) = 0 ⇒ ε es algebraico sobre K. Por el teorema 5.5 IrrKε divide a fentonces gr(IrrKε) = [K(ε) : K] ≤ gr(f) = n. Ademas K(ε) es el cuerpo de descomposicion de f .Este polinomio tiene todas sus raıces distintas por ser las raıces de la unidad luego f es separable.ε es separable sobre K porque ε es algebraico sobre K y el IrrKε es separable. Es claro que todoelemento de K es separable sobre K. Entonces K(ε) es separable sobre K. Es decir, K(ε) es unaextension de Galois de K.

Queremos ver que si σ, τ ∈ AutKK(ε) entonces σ(τ(u)) = τ(σ(u)) para todo u ∈ K(ε). Sabemosque es cierto para todo elemento de K porque un elemento de AutKK(ε) lo manda a si mismo.Falta ver que es cierto para ε y luego usando 5.5(e) se prueba que es cierto en K(ε). Los σ mandana ε en otra raız primitiva. Luego σ(τ(ε)) = σ(εj) = (σ(ε))j = εlj = εjl = (τ(ε))l = τ(εl) = τ(σ(ε)).

�

Teorema 11.10. (Artin-Schreier). Sea K un cuerpo con caracterıstica p 6= 0. Si E es una extensioncıclica de K de grado p, entonces E = K(u), donde up − u ∈ K. Si E = K(u), donde up − u ∈ K,u /∈ K, entonces E es una extension cıclica de K de grado p.

Demostracion. Sea E cıclico sobre K de grado p y AutKE =< τ >. Como tr(1) = p1 = 0tenemos que τu− u = 1 para algun u ∈ E por el teorema de Hilbert 11.7(2). Entonces τ iu = u+ ipara todo i. Ası u tiene p conjugados τ iu = u + i, 0 ≤ i < p. Hay p K-morfismos de K(u) en K,[K(u) : K] = [E : K] y K(u) = E.

Sea ahora E = K(u), donde c = up − u ∈ K y u /∈ K. Podemos suponer que E ⊂ K. Como Ktiene caracterıstica p, por la proposicion 4.11, (u+1)p− (u+1) = up−u = c. Entonces las raıces dexp−x−c ∈ K[x] son u, u+1, . . . , u+p−1. Luego xp−x−c es separable, su cuerpo de descomposiciones E, y E es Galois sobre K. Mas aun, IrrKu divide a xp − x − c, ası [E : K] ≤ p. Tenemos queτu = u+ 1 para algun τ ∈ AutKE entonces τ iu = u+ i 6= u para todo i = 1, 2, . . . , p− 1, τpu = u,y τ tiene orden p en AutKE. Entonces AutKE =< τ >, AutKE tiene orden p y [E : K] = p. �

12. Resolucion por radicales

Definicion. Un elemento u de una extension de K es radical sobre K cuando para algun n > 0,un ∈ K y la caracterıstica de K no divide a n, o cuando up−u ∈ K donde p 6= 0 es la caracterıstica



de K. Una extension por radicales de K es una extension simple E = K(u), donde u es radicalsobre K.

Definicion. Una extension F/K es resoluble por radicales cuando existe una torre de extensionesradicales K = E0 ⊂ E1 ⊂ . . . ⊂ Er tal que F ⊂ Er. Un polinomio es resoluble por radicales sobreK cuando su cuerpo de descomposicion es resoluble sobre K.

Observacion. En la definicion anterior podemos suponer que F = Er porque como la extensionpor radicales es una extension simple y Ej ⊂ F ⊂ Ej+1 para algun j entonces Ej = F o F = Ej+1.

Proposicion 12.1.

(a) Si F es resoluble por radicales sobre K y K ⊂ E ⊂ F entonces E es resoluble por radicalessobre K y F es resoluble por radicales sobre E.

(b) Si K ⊂ E ⊂ F , y E es resoluble por radicales sobre K y F es resoluble por radicales sobre Eentonces F es resoluble por radicales sobre K.

(c) Si E es una extension por radicales sobre K y la composicion EF existe, entonces EF es unaextension por radicales sobre KF .

(d) Si E es resoluble por radicales sobre K y la composicion EF existe, entonces EF es resolublepor radicales sobre KF .

Demostracion. (a) F es resoluble por radicales sobre K entonces existe una torre de extensionesradicales K = F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fr tal que F ⊂ Fr. Como E ⊂ F ⊂ Fr entonces E es resoluble porradicales sobre K.

(b) E es resoluble por radicales sobre K entonces existe una torre de extensiones radicalesK = E0 ⊂ E1 ⊂ . . . ⊂ Er tal que E = Er. F es resoluble por radicales sobre E entoncesexiste una torre de extensiones radicales E = F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fs tal que F = Fs. LuegoK = E0 ⊂ E1 ⊂ . . . ⊂ Er ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fs. Luego F es resoluble por radicales sobre K.

(c) E es una extension por radicales sobre K entonces E = K(u) donde u es radical sobreK. Tenemos dos casos. Como K ⊂ KF entonces un ∈ KF . Como car(KF ) = car(K) entoncescar(KF ) no divide a n. Si up − u ∈ K, donde p 6= 0 es la caracterıstica de K. K ⊂ KF implicaup − u ∈ KF donde p 6= 0 es car(K) = car(KF ). Luego u es radical sobre KF . EF = KF (u)entonces EF es una extension por radicales sobre KF .

(d) E es resoluble por radicales sobre K entonces existe de extensiones radicales K = E0 ⊂E1 ⊂ . . . ⊂ Er tal que E = Er. Luego KF = E0F ⊂ E1F ⊂ . . . ⊂ ErF tal que EF = ErF por (c)EjF son extensiones por radicales sobre Ej−1F . �

Teorema 12.2. Una extension del cuerpo K es resoluble por radicales si y solo si esta contenidaen una extension finita de Galois de K cuyo grupo de Galois es resoluble (es un grupo con unaserie normal cuyos factores son abelianos).

Demostracion. Sea E resoluble por radicales sobre K, es decir, E ⊂ Fr para alguna torre K =F0 ⊂ F1 ⊂ . . . ⊂ Fr de extensiones radicales tal que Fi = Fi−1(ui), donde ui es radical sobre Fi−1(unii ∈ Fi−1 para algun ni > 0 y la caracterıstica de Fi−1 no divide a ni o upi − ui ∈ Fi−1, donde

p 6= 0 es la caracterıstica de Fi−1). Podemos asumir que Fr ⊂ K. Construiremos una mejor torre.Primero adjuntamos a K una raız de la unidad para poder usar el teorema 11.8. Luego adjuntamosconjugados de u1, . . . , un para obtener una extensıon normal.

Sea m = n1n2 . . . nr si K tiene caracterıstica 0. Sea n1n2 . . . nr = ptm, donde p no divide a m,si K tiene caracterıstica p 6= 0. En cualquier caso, si la caracterıstica de K no divide a ni, entoncesni divide a m. Sea ε ∈ K una raız m-esima primitiva de la unidad. Entonces K(ε) contiene unaraız l-esima primitiva de la unidad para todo divisor l de m, lo llamaremos εm/l. La composicion



K(ε)Fr es una extension finita de K y esta contenida en una extension normal finita de N sobre K,N es la composicion de todos los conjugados de K(ε)Fr = K(ε, u1, . . . , ur) y esta generado sobre Kpor todos los conjugados de ε, u1, . . . , ur. Sean ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1 los K-morfismos de Fr en K. Losconjugados de ui son todos ϕjui. Sea

K ⊆ K(ε) = L0 ⊆ L1 ⊆ . . . ⊆ Ls,

donde s = nr y Ljr+i = Ljr+i−1(ϕjui) para todo 1 ≤ i ≤ r y 0 ≤ j < n. Entonces Ls esta generadosobre K por todos los conjugados de ε, u1, . . . , ur, como K(ε) ya contenıa a todos los conjugadosde ε, y Ls = N . Mas aun, ϕjFi ⊆ Ljr+i. En efecto, F0 = K ⊆ Ljr, y ϕjFi−1 ⊆ Ljr+i−1 implica

ϕjFi = ϕjFi−1(ui) = (ϕjFi−1)(ϕjui) ⊆ Ljr+i−1(ϕjui) = Ljr+i.

Como ui es radical sobre Fi−1, ϕjui es radical sobre ϕjFi−1 y es radical sobre Ljr+i−1. Ası todoLk−1 ⊆ Lk es una extension radical, ası es K ⊆ K(ε). Finalmente, E ⊆ Fr = K(u1, . . . , ur) ⊆ N .Ahora tenemos una torre de extensiones radicales que termina con una extension normal Ls =N ⊇ E.

Sea vk = ϕjui, donde k = jr + i. Si unii ∈ Fi−1, donde la caracterıstica de K no divide a ni,

entonces vnik ∈ Lk−1 y K(ε) ⊆ Lk−1 contiene una raız ni-esima primitiva de la unidad, como ni

divide a m; por el teorema 11.8, Lk es Galois sobre Lk−1 y AutLk−1Lk es cıclico. Si upi − ui ∈ Fi−1,

donde p 6= 0 es la caracterıstica de K, entonces vpk − vk ∈ ϕjFi−1 ⊆ Lk−1; de nuevo Lk es Galoissobre Lk−1 y AutLk−1

Lk es cıclico, por el teorema 11.10. Finalmente, K(ε) es Galois sobre K yAutkK(ε) es abeliano por el teorema 11.9. Entonces N es separable sobre K y es una extension deGalois sobre K. Por el teorema 10.10, obtenemos de los cuerpos intermedios K ⊆ L0 ⊆ . . . ⊆ Nuna serie normal

1 = AutLsN �AutLs−1N � . . .�AutL0N �AutKN

cuyos factores son abelianos porque son isomorfos a AutLk−1Lk y AutKL0. Entonces AutKN es

resoluble.Para la recıproca veremos que a una extension de Galois finita E ⊆ K de K con un grupo

de Galois resoluble es resoluble por radicales sobre K, entonces toda extension K ⊆ F ⊆ E esresoluble por radicales, por la proposicion 12.1. Sea n = [E : K].

Nuevamente primero adjuntamos una raız m-esima primitiva de la unidad ε a K, donde m = nsi K tiene caracterıtica 0 y ptm = n si K tiene caracterıstica p 6= 0 y p no divide a m. Como antes,F = K(ε) contiene una raız l-esima primitiva de la unidad para todo divisor l de m. Por el teorema10.10, EF es una extension de Galois finita de F , y AutFEF ∼= AutE∩FE ≤ AutKE. Ası [EF : F ]divide a n, AutFEF es resoluble, y AutFEF tiene una composicion de series

1 = H0 �H1 � . . .�Hr−1 �Hr = AutFEF

cuyos factores Hi/hi−1 son cıclicos de orden primo. Se obtiene una torre

F = Fr ⊆ Fr−1 ⊆ . . . ⊆ F1 ⊆ F0 = EF

de cuerpos fijos Fi = FijEF (Hi); Por el teorema 10.10, Fi−1 es una extension de Galois de Fi yAutFiFi−1

∼= Hi/Hi−1 es cıclico de orden primo pi. Si pi no es la caracterıstica de K, entoncespi divide a n, pi divide a m, F contiene una raız pi-esima primitiva de la unidad, y Fi−1 es unaextension radical de Fi, por el teorema 11.8. Si pi es la caracterıstica de K, entonces de nuevo Fi−1es una extension radical de Fi, por el teorema 11.10. Por lo tanto, EF es resoluble por radicalessobre F , y ası lo es E ⊆ EF , por la proposicion 12.1. �

Definicion. Un polinomio f ∈ K[x1, ..., xn] o una fraccion racional f ∈ K(x1, ..., xn) es simetri-co cuando f(xσ(1), xσ(2), ..., xσ(n)) = f(x1, ..., xn) para toda permutacion σ ∈ Sn. Los polinomiossimetricos elementales S0,S1, ...,Sn en x1, ..., xn son S0 = 1 y



Sk(x1, ..., xn) =∑

1≤i1<i2<...<ik≤nxi1xi2 ...xik , k = 1, 2, ..., n.

Teorema 12.3. En K(x1, ..., xn)[x],

(x− x1)(x− x2)...(x− xn) =∑

0≤k≤n(−1)kSk(x1, ..., xn)xn−k.

Demostracion. Expandiendo (x−x1)(x−x2)...(x−xn) obtenemos una suma cuyos terminos sontodos productos t1t2, ..., tn en los cuales, para todo 1 ≤ i ≤ n, ti = x o ti = −xi. Un producto enel cual ti = −xi k veces es igual a (−1)kxi1xi2 ...xikx

n−k para algun 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n. Lasuma de todos esos productos es (−1)kSk(x1, ..., xn)xn−k. �

Teorema 12.4. Para cualquier cuerpo K, K(x1, ..., xn) es una extension de Galois de K(S1, ...,Sn),cuyo grupo de Galois es isomorfo al grupo simetrico Sn.

Demostracion. Para todo σ ∈ Sn, σ : f(x1, ..., xn) 7→ f(xσ(1), xσ(2), ..., xσ(n)) es un automor-fismo de K(x1, ..., xn). Entonces G = {σ | σ ∈ Sn} es un grupo finito de automorfismos de E =K(x1, ..., xn). Por el teorema 10.8 E es una extension finita de Galois de S = FijE(G) y AutSE =G ∼= Sn.

ahora, S consiste de todas las fracciones racionales simetricas. Ası S1, ...,Sn ∈ S y L =K(S1, ...,Sn) ⊆ S. Por el teorema 12.3, f(x) = (x − x1)(x − x2)...(x − xn) ∈ L[x]. Ası E esun cuerpo de descomposicion del polinomio separable f sobre L, y es de Galois sobre L. Un L-automotfismo de E debe permutar las raıces de f y esta unıvocamente determinado por sus valoresen x1, ..., xn. Entonces hay como mucho n! L-automorfismos de E, y [E : L] ≤ n!. Pero L ⊆ S y[E : S] = n!. Luego [E : L] = [E : S], L = S, y AutLE ∼= Sn. �

Corolario 12.5. Toda fraccion racional simetrica de x1, ..., xn es una funcion racional de lospolinomios simetricos elementales en x1, ..., xn.

Demostracion. Se deduce de la igualdad S = L de la demostracion del teorema 12.4. �

Corolario 12.6. los polinomios simetricos elementales S1, ...,Sn son algebraicamente independien-tes sobre K en K(x1, ..., xn).

Demostracion. Por el teorema 9.2, K(x1, ..., xn) tiene grado trascendente n y una base trascen-dente B ⊆ {S1, ...,Sn}; por lo tanto B = {S1, ...,Sn}. �

Corolario 12.7. Todo grupo finito es isomorfo a un grupo de Galois.

Demostracion. Se deduce del teorema 12.4 porque, por el teorema de Cayley 4.12, todo grupofinito es isomorfo a un subgrupo de algun Sn. �

Definicion. El grupo de Galois de un polinomio f ∈ K[x] sobre un cuerpo K es el grupo deK-automorfismos de su cuerpo de descomposicion sobre K.

Definicion. Una ecuacion polinomial es resoluble por radicales si y solo si el correspondiente grupoes resoluble, es decir, es un grupo con una serie normal cuyos factores son abelianos.

Teorema 12.8. El grupo de Galois del polinomio general de grado n es isomorfo al grupo simetricoSn.

Demostracion. Vimos que el polinomio general de grado n puede tambien ser definido por susraıces. Sea S = K(A)(S1, ...,Sn) ⊆ K(A)(x1, ..., xn) y

f(x) = A(x− x1)(x− x2)...(x− xn) ∈ K(A, x1, ..., xn)[x].



Por el teorema 12.3, los coeficientes a0, a1, ..., an−1 de f son

an−k = (−1)kASk(x1, ..., xn) ∈ S.

Por lo tanto f ∈ S[x], y K(A)(x1, ..., xn) es un cuerpo de descomposicion de f sobre S. Por elteorema 12.4, K(A)(x1, ..., xn) es de Galois sobre S, y su grupo de Galois es isomorfo a Sn. Ası elgrupo de Galois de f es isomorfo a Sn. Ahora a0, a1, ..., an−1 son algebraicamente independientessobre K(A), por el corolario 12.6. Por lo tanto hay un isomorfismo S = K(a0, a1, ..., an−1, A) ∼=K(A0, A1, ..., An) que manda a f en g. Entonces el grupo de Galois de f y g son isomorfos. �

Teorema 12.9. (teorema de Abel [1824]). El polinomio general de grado n es resoluble por radicalessi y solo si n ≤ 4.

Demostracion. Se deduce del teorema 12.8 y el teorema 12.2 porque por el teorema 4.13 Sn esresoluble por radicales si y solo si n ≤ 4. �



Referencias

[1] Thomas W. Hungerford, Algebra.

[2] Andrew Baker, Notes for 4H Galois Theory 2002-3.

[3] Grillet, Abstract Algebra.

[4] Lang S., Algebra.
