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Page 1: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

INTEGRANTE: LEIDY J. BUITRAGO.C.I.24.722.309

SECCION:SAIA-APROF: ADRIANA BARRETO

ESTRUCTURAS DISCRETAS II

Page 2: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

Ejercicios Propuestos

a) Matriz de adyancencia.b) Matriz de incidencia.c) Es conexo?. Justifique su respuesta.d) Es simple?. Justifique su respuesta.e) Es regular?. Justifique su respuesta.f) Es completo? Justifique su respuesta.g) Una cadena simple no elemental de grado 6.h) Un ciclo no simple de grado 5.i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor.j) Subgrafo parcial.k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury.l) Demostrar si es hamiltonianos.

Dado el siguiente grafo, encontrar:

Ejercicio 1; DETERMINAR:

Page 3: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

Soluciones: a) Matriz Adyacencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas. Pasos: 1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices que posee el Grafo, tanto en las filas como las columnas. 2) Se buscan las relaciones adyacentes o incidencias que lleguen a un mismo vértices. 2.1) Lazos o aristas paralelas tienen valor de 2. 2.2) Incidencias o relaciones en los vértices tienen valor de 1. 2.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

V1 0 1 1 0 0 1 1 1

V2 1 0 1 1 1 0 1 0

V3 1 1 0 1 1 0 1 1

V4 1 0 1 0 1 0 0 1

V5 1 0 1 1 0 1 0 1

V6 1 1 0 0 1 0 1 1

V7 0 1 1 0 0 1 0 1

V8 0 1 1 1 1 1 1 0

Page 4: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

b) Matriz Incidencia: Se determinará si los vértices son adyacentes, mediante las aristas. Pasos: 1) Realizar una Tabla con los N cantidad de vértices y N cantidad de aristas que posee el

Grafo. En las filas se colocan los vértices y el columnas se colocan las aristas. 2) Se buscan las relaciones o incidencias entre vértices y aristas. 2.1) Lazos o aristas paralelas con respecto al vértices tienen valor de 1 2.2) Incidencias o relaciones en los vértices y aristas tienen valor de 1. 2.3) Si no hay incidencias ni relación alguna, se coloca el valor de 0.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20

V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0

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c) ¿Es Conexo?: Es cuando existe un camino entre cualquier par de nodos.. SI es conexo, porque en el grafo siguiente podemos ubicar varios

caminos.

Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 2 : V1,V4,V3

Camino 3 : V1,V3,V2

Page 6: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

d) ¿Simple?: Es cuando un grafo no contiene lazos, ni aristas paralelas, ni aristas dirigidas.

NO es simple, porque en el grafo contiene aristas paralelas, falla una condición, por ende ya es no simple.

Ejemplos de aristas paralelas, lazos y aristas dirigidas.

Aristas paralelas y lazos.

Por Ender

El Grafo “NO ES SIMPLE”

Grafo con sus vértices y aristas

Se Obtiene

AMBOS CON ARISTAS

PARALELAS. "NO ES

SIMPLE".

Aristas paralelas y dirigidas.

Page 7: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

e) ¿Regular?: Es un grafo donde cada vértice tiene el mismo grado o valencia. Grado de un vértice es: El número de aristas que inciden en el vértice. Los grados o valencia del grafo se calculan así: 1) Ubicamos la tabla de incidencia del grafo, que nos indicará la cantidad de aristas que inciden en cada vértice para ubicar su grado y se suman todas las aristas correspondiente a cada vértice

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20

V1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V2 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V3 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

V5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

V6 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

V7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

V8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0

=5=5

=5

=5

=4

=4

=6

=6

GRADOS

Son diferentes los

grados, de acuerdo a

la suma de las arista

s.

No es regular, porque los vértices tienen distintos grados o valencias.

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f) ¿Completo?: Es aquel grafo con N vértices, en las que existe únicamente una arista por cada par de vértices. No hay aristas paralelas o sub. grafos.

No posee aristas paralelas ni sub. grafos.

Posee aristas paralelas y sub. Grafos, como lo hemos demostrado anteriormente.

De esta manera, podemos decir que NO es Completo, porque posee aristas paralelas y más de una arista por cada par de vértices, dando origen a los sub. Grafos.

NO

ES

GRAFO

COMPLETO

GRAFO

COMPLETO

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g) Una cadena simple no elemental de grado 6: Es una cadena con todas sus aristas distintas. 1) Ubicamos la Matriz de Incidencia para ubicar una cadena no elemental de grado 6: Tenemos dos de grado 4 con el vértice V4 y V7.

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

a13

a14

a15

a16

a17

a18

a19 a20

V1

1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V2

1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V3

0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

V4

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

V5

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0

V6

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

V7

0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

V8

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0

=4

=4

GRADOS

De esta manera describimos una cadena simple que no sea de

grado 6

Page 10: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

h) Demostrar un ciclo no simple de grado 5: Ciclo simple es: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple. Ciclo no simple: Es un ciclo que no es una cadena simple.

No se puede demostrar, ya que todas las aristas son distintas del grafo. No hay cadenas no simples de ningún grado.

i) Arbol generador aplicando el algoritmo constructor

Paso 1: Elegir S1=V1, y coloca H1= {V1}

Paso 2: Se elige a a4 que conecta a V1 con V4 y se coloca H2= {V1,V4]

V4

V1

a4

Page 11: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

V4

V1

V7

a15

Paso 3: Se elige la arista a15 que conecta V4 con V7 y se coloca H3={V1,V4}.

a4

Paso 4: Se elige la arista a 17 que conecta V7 con V5 y se coloca H4={V1,V4,V7,V5}

a4

V1

a15

V7

V4

a17

V5

Page 12: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

Paso 5: Se elige la arista 19 que conecta V5 con V8 y se coloca H5={V1, V4, V7, V5,V8}

V1

a4

V4

a15

V7

a17

V5

a5

V8

Paso 6: Se elige la arista a20 que conecta V8 con V6 y se coloca H6={V1,V4,V7,V5,V8,V6}.

V1

a4

V4

a15

V7

a17

V5

a5

V8

a19

V6

Page 13: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

Paso 7: Se elige la arista a10 que conecta V6 con V2 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6, V2}

V1a4

V4

a15

V7

a17

V8

V5

a19

V6

a19

a10V2

a4

Paso 8: Se elige la arista a3 que conecta V2 con V3 y se coloca H7= {V1, V4, V7, V5, V8, V6,

V2,V3}. Obteniendo de esta manera el siguiente árbol generador.

V1

V4

V7

V5

V8

V6

V2

a15a17 a19 a19

a10V3

a3

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j) Subgrafo parcial

Camino 1 : V2,V8,V6,V7 Camino 2 : V1,V4,V3.

Camino 3 : V1,V3,V2.

Page 15: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

k) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury: el grafo no es auleriano debido a que no es posible la construcción de un siclo euleriano, ya que no todos los vertices tienen grado par.

l) Demostrar si es hamiltonianos: el numero de vértices que posee el grafo es 8, el grado de V1 es Gr(V1) ≥ 4, el de V2 es Gr (V2) ≥ 4, el de V8 es Gr(V8) ) ≥ 4, además ser un grafo simple, por lo tanto es grafo halmitoniano. En la siguiente figura podremos ver un ciclo hamiltoniano.

Page 16: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

Ejercicio 2; DETERMINAR:

Dado el siguiente dígrafo encontrar:

a) Encontrar matriz de conexión

b) ¿Es simple?. Justifique la respuesta.

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.

d) Encontrar un ciclo simple.

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.

f) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.

Ejercicios Propuestos

Page 17: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

a) Encontrar matriz de conexión: En la matriz se enumeran vértices y aristas.

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14

V1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

V2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

V3 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

V4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

V5 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1

V6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

b) ¿Es simple?. Se puede decir que el dígrafo es simple ya que no posee ni arcos ni lazos paralelos , falla una condición, por ende ya es no simple.

Aristas paralelas y lazos. Aristas paralelas y dirigidas.

Page 18: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

POR ENDE El Grafo No Es Simple

Contiene Aristas

Paralelas y

Dirigidas.

c) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5.

Cadena simple: Es aquella que no repite aristas.Cadena Elemental: Es aquella que no repite vértices.

ACLARATORIA:

Para llegar una conclusión. Cadena no simple no elemental: Es aquella que repite vértices y artistas. No se puede ubicar ninguna, ya que no es doblemente dirigidos para realizar en camino para repetir ambas.

Page 19: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

a1

a2

a8

NO REPITE NI VERTICES NI ARISTAS.

d) Encontrar un ciclo simple: Es el ciclo que a su vez es una cadena simple.

e) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad.

Page 20: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

f) Encontrar la distancia de V2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de dijkstra.

Pasos:1) Ubicar el vértice de inicio.2) Luego ubicar los vértices mas cercanos al V2 para estudiarlo, lo que este directamente a él.3) Agregar etiquetas a cada vértice estudiado, la misma se realiza así:

Page 21: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

[3,1]Símbolo de la Iteración o estudio de distancia.

Ponderación de la arista + lo que precede.

Vértice Estudiado

(1,1 ) # de la iteración

4) Luego colocar la ponderación de la arista + la ponderación de la etiqueta anterior que esta directamente al vértice estudiado.

5)Colocara al lado de la etiqueta el numero de iteración que se esta realizando.

6) Luego se estudian las distancias y se escoge la menor, si hay 2 igual se escoge cualquiera de la dos.

PASOS APLICADO AL GRAFO:

Page 22: Estructura discreta ii (ejercicios propuestos)

Distancia:dv2 a v1: 2

dv2 a V3: 3

dv2 a V5: 3

dv2 a v4: 4

dv2 a v6: 3