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TRILCE
101
Captulo
ESTAD STICA1
Los antecedentes de la Estadstica son tan remotos como l a propi a sociedad
humana. La Estadstica Descriptiva tiene su origen m il o dos mi les aos antes de
Cri sto, remontndose a las primeras civil izaciones en Egip to, China y M esopotamia,
donde se hacan censos para la admini stracin de los imperios. Al parecer, los
datos ms antiguos corresponden a los censos chinos ordenados por el emperador
Yao (hacia el ao 2238 a.c.), ascomo ot ros censos de pobl acin y ri queza
encon trado s en Egipto y r elacionados con la construccin de las pi rmides.
Tambin en Egipto, Ramss II elabor un censo de tierr as para establ ecer una
nueva poltica de repart o de las mismas. Los egipcio s tuvi eron el barmetro
econmico ms antiguo: un instrumento llamado Nilometro, que meda el caudal
del Ni lo y servia a definir un ndice de ferti lidad, a partir del cual se fijaba el monto
de los impuestos. Posteriormente, hacia el ao 555 a.c., podemos citar los censos
del Im perio Romano, destinados a la organizacin poltica y guerrera.
En la Edad Media, se produce un considerable estancamiento de la Estadstica y hay que esperar al nacimiento de las
escuelas mercanti listas de los siglos XVI, XVII y XVIII. En 1660 , apareci la llamada Ari tmtica Poltica, destinada a la
descripcin de sucesos prop iamente polticos. Esta ciencia, que naci en la universidad alemana de Haltustadt y pron to se
extendi por distint as universidades alemanas y suizas, fue ya denom inada Estadstica por el alemn Schmeitzel. En
principio, esta ciencia tena por objeto la mera descripcin numrica de las cuestiones po lticas del Estado, fal tndo le an la
bsqueda de leyes generales. La gran tr ansformacin de la Estadstica surge de su vinculacin al Anli sis Matemtico a
travs del Clculo de Probabi lidades, cuyos orgenes se sitan hacia mediados del siglo XVII y cuyos principales impulsores
fueron los matemticos franceses Blaise Pascal (1623-1662) y Pier re de Fermat (1601-1665), junto con el holands Christian
Huygens (1629-1695). Es entonces cuando aparecen las primeras aportaciones significativas al Clculo de Probabilidades
como discipli na puramente matemtica.
A part ir de esta fecha, esta ciencia fue constituyndose como tal y vinculndose fuertemente a la teora de funciones durante
los siglos XVIII, X IX y principios del XX, gracias a los logros de figuras notables entre las que cabe destacar a Bernou lli ,
Leibnitz, Bayes, Laplace, Chebychev, Kolmogorov o Markov.
Nil metro
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Aritmtica
102
INTRODUCCIN
El estudio de la Estadstica es de carcter indispensable para
cualquier profesional debido a que es una herram ienta que
le ser de gran utilidad para la tom a de decisiones sobre
asuntos diversos, tiene aplicacin en todos los cam pos del
saber y profesiones.
Es m uy difcil establecer una cronologa exacta de los orgenes
de la estadstica. Parece ser que los datos m s antiguos que
se con ocen son los censos chino s ordenad os po r el
em perador Tao antes del ao 2200 a.C .
A lo largo de la E dad M edia y hasta principios del siglo XVII,
la Estadstica era puram ente descriptiva, Bernouilli (1654 -
1705) y sobre todo L aplace (1749 - 1827) desarrollaron
conceptos m atem -ticos fundam entales para la teora
estadstica. El prim ero form ul la fam osa ley de los grandes
nm eros y el segundo puso en evidencia las ventajas que
podra aportar el clculo de probabilidades en el estudio de
los fenm enos naturales de causas com plejas.
ESTAD STICA DESCRI PTIVA
Es una ram a de la M atem tica aplicada que nos proporciona
los m todos para realizar un estudio de un grupo de datos
en cuanto a su recopilacin, clasificacin, presentacin y
descripcin para poder tom ar decisiones o h acer
conclusiones.
ETAPAS :
Clasificacin Presentacin D escripcinRecopilacin
CONCEPTOS PREVIOS :
Pob l ac in :Es el conjunto universal o referencial para
realizar el estudio estadstico, cuyos elem entos po seen la
caracterstica que se va a estudiar.
Muestra : Es un subconjunto de la poblacin, los m uestreos
se realizan cuando es difcil o com plicado estudiar toda la
po blacin, tam bin se realiza con la finalidad de o btener
resultados en m enor tiem po y a m enor costo, para ello es
indispensable elegir una m uestra adecuada, que represente
a la poblacin, de acuerdo a la caracterstica que se estudia.
Ejemplo :
C onjunto de alum nos del colegio T RILC E PoblacinC onjunto de alum nos de 5to de secundaria M uestra
Ejerc ic io :
C ite algunos ejem plos en los cuales sea conveniente tom ar
una m uestra en vez de toda poblacin debido a la dificultad
que presenta su estudio.
POBLACIN
MUESTRA
TIPOS DE VARIABLES
Var i ab l e Cua l i t a t i va : Son aquellas que indican una
cualidad :
Ejemplos :La variable cualitativa sexopuede ser solam entemascul ino
o femenino.
La variable cualitativa t u rnopuede ser maana, ta rdeo
noche.
Son tam bin variables cualitativas : la profesin de tus
padres, el color de tus ojos, la universidad en la que piensas
estudiar, etc.
Ob servacin : A este tipo de variables, se les puede asignar
valores num ricos de acuerdo a la m anera de utilizar los
datos.
Por ejem plo, si estam os evaluando personal para trabajar en
una m ina a la variable sexo se le puede asignar 0 si es
fem enino y 1 si es m asculino, indicando que se prefiere
personal m asculino para dicho trabajo.
Variable Cuant i t at iva : Son aquellas que pueden tom ar
valores num ricos :
Por ejemplo :
Edad, nm ero de hijos, tiem po de servicio, el coeficiente
intelectual, notas, vida m edia, carga electrnica, hem atocrito,
etc.
* Variable Cuantitativa Discreta :Tom a valores que estn
en correspond encia biun voca con los n m eros
naturales.
Ejemplo :
La cantidad de hijos, cantidad de ingresantes a la U N I, el
nm ero de em pleados de una fbrica, la cantidad de
glbulos rojos en una gota de sangre, etc.
* Variable Cuantitativa Continua : Tom a todos los valores
en algn intervalo.
Ejemplo :
Tem peratura de un gas, longitud de una pared, estatura
de un estudiante, etc.
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TRILCE
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ETAPAS D EL ESTUD IO ESTAD STICO :
I . R ECOPI L AC IN : Esto se realiza m ediante encuestas
y cuestionarios. C uando se estudia toda la poblacin, se
deno m ina censo y cuan do se realiza sob re un
subconjunto de la m ism a, se denom ina m uestreo.
I I . CLAS IFICAC IN : C uando la cantidad de datos es
grande, conviene clasificarlos y para sim plificar su estudio.
Esta clasificacin debe realizarse teniendo en cuenta la
finalidad del estudio y en m uchos casos depender del
criterio del profesional que hace dicho anlisis.
A continuacin, se presentan las edades de un grupo de
20 personas.
2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 12 ; 14 ; 16 ; 16 ; 16 ; 18; 21 ; 22 ;
23 ; 24 ; 25 ; 27 ; 29 ; 32
Tamao de l a muestr a (n ) : Es la cantidad total dedatos.
n = 20
Al cance (A) : Intervalo cerrado cuyos lm ites son el
m enor y m ayor de los datos.
A = [2 ; 32]
Rango o r ecorr i do (R) : Es la longitud del alcance, se
calcula restando el m enor dato del m ayor dato.
R = 32 2 = 30
Int ervalo de clase (iI) :Es un intervalo que se obtiene
al dividir el alcance, para form ar grupos de m enor tam ao.
Por ejem plo, dividam os el alcance en 6 in tervalos de
clasedel m ism o tam ao.
32;2727;2222;1717;1212;7;2
2 32
Nmero de inter valos de clase (K): Es la cantidad
de intervalos de clase en que se divide el alcance, esto
depende de la aplicacin que tiene el estud io de los
datos.
Por ejem plo, si se desea conocer la cantidad de alum nos
aprobados y desaprobados en el colegio TRILC E bastar
form ar dos intervalos de clase.
Observacin : Existen algunas reglas que se pueden
tom ar com o referencia para determ inar el nm ero de
intervalos de clase.
Regla de Sturges : K = 1 + 3,3 Log(n)
Regla de Jo ule : nK
Ejemplo : Para n = 30
Apliquem os la regla de Sturges :
K = 1 + 3,3 Log(30) = 5,87Q ue se puede aproxim ar : 6K
EJERCICI O : D iscuta en clase las ventajas y desventajas
de agrupar los datos en intervalos de clase.
An cho de clase ( iw) : Es la longitud del intervalo declase. Si todos los anchos de clase son iguales, se dice
que el ancho de clase es constante y se puede calcular de
la siguiente m anera :
w =R
K
Tabla de distr ibuc in de frecuenci as
72[
127[
1712[
2217[
2722[
3227[
41
6
2
4
3
Ii fi
I I I . PRESENTACIN : Se pueden presentar los datos en
tablas de frecuencias o en grficos.
Present acin Tabular :
Marc a de clase (i
x) : Es un valor que representa a los
datos del intervalo de clase, se calcula com o la sem isum a
de los lm ites inferior y superior del intervalo de clase y
est ubicado en el punto m edio del m ism o.
2
LLx
supinfi
Frecuencia absolut a simpl e (if) : Es la cantidad de
datos u observaciones en el i - sim o intervalo de
clase.
Se cum ple que :
k
ii
nf1
Frecuencia absoluta acumul ada (i
F) : Es la sum a
de todas las frecuencias absolutas sim ples desde el prim er
intervalo hasta el i - sim o intervalo.
Se cum ple :
i
1jjikfFnF
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Aritmtica
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Frecuencia relat i va simp le (i
h): Indica qu parte
del total de datos se encuentran en el i - sim o intervalo.
Se calcula com o el cociente de la frecuencia absoluta y el
total de datos. Para obtener el tanto por ciento basta
m ultiplicar esta valor por 100.
Se cum ple que :
k
1ii
1h ii
n
fh
Frecuencia relat iva acumulada (i
H) : Indica qu
parte del total de datos se encuentran desde el prim er
intervalo de clase hasta el i - sim o intervalo. Se calcula
com o el cociente de la frecuencia absoluta acum ulada y
el nm ero total de datos. Para obtener el tanto por ciento
basta m ultiplicar esta valor por 100.
Se cum ple que :
1HhHn
FH
k
i
1jji
ii
Ejemplo : La tabla con los datos del ejem plo anterior,
es :
2 ; 7
7 ; 12
12 ; 17
17 ; 22
22 ; 27
27 ; 32
In terva lo
4,5
9,5
14,5
19,5
24,5
9,5
xi
4
1
6
2
4
3
fi
4
5
11
13
17
20
Fi
0,20
0,05
0,30
0,10
0,20
0,15
hi
0,20
0,25
0,55
0,65
0,85
1,00
Hi
Pr esentaci n Gr fic a
Los grficos son m uy utilizados por los periodistas para
presentar datos en la televisin y peridicos, son de
utilidad para los m dicos, ingenieros, adm inistradores,
econom istas, psiclogos, profesores, etc. ya que perm ite
observar el com portam iento de una m uestra con respecto
a alguna caracterstica, de un solo vistazo.
Algunos de los grficos m s usados son : D iagram a de
barras, histogram as, pirm ides de poblacin, polgonos
de frecuencias, diagram a de sectores, pictogram as.
D iagrama de barras
En este tipo de grfica, sobre los valores de las variables
se levantan barras estrechas de longitudes proporcionales
a las frecuencias correspondientes. Se utilizan para
representar variables cuantitativas discretas.
Por ejemplo : El siguiente diagram a de barras grfica la
cantidad de problem as propuestos para este captulo
por los profesores de A ritm tica.
C sar
Lau
Javier
C arranza
Ernesto
C ham orro
Javier
Silva
50
40
30
20
10
0
C antidad de problem as
C antidad de problem as
D iagrama de sectores : En un diagram a de este tipo,los 360 de un crculo se reparten proporcionalm ente a
las frecuencias de los distintos valores de la variable.
Resultan m uy adecuados cuando hay pocos valores, o
bien cuando el carcter que se estudia es cualitativo.
10
20
30
40C sar Lau
Javier C arranza
Ernesto C ham orro
Javier Silva
Cant idad de problemas
H i s t o g r am as : Los histogram as se utilizan para
representar tablas de frecuencias con datos agrupados
en intervalos. Si los interva-los son todos iguales, cada
uno de ellos es la base de un rectngulo cuya altura es
propor-cional a la frecuencia correspondiente.
Polgono de frec uenci as : Si se unen los puntos m edios
de la base superior de los rectngulos, se obtiene el
polgono de frecuencias.
Intervalos
12
10
7
5
4
2
fi
Polgono
frecuencias
0 5 10 15 20 25 30
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TRILCE
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Observacin : El rea de la superficie lim itada por el
polgono de frecuencias y el eje horizontal es igual a la
sum a de las reas de los rectngulos que form an el
histogram a.
D i a g r am a E s c al o n a d o : ( H i s t o g r am a d e
f r e cuenc i a s acumu l adas ) Si se representan las
frecuencias acum uladas de una tabla de datos agrupados,
se obtiene el histogram a de frecuencias acum uladas.
Oj iva : Se obtiene al unir los extrem os superiores de las
barras de un histogram a d e frecuencias absolutas
acum uladas.
Intervalos
40
38
28
16
11
4
Fi
O jiva
0 5 10 15 20 25 30
IV. D ESCRIPCIN : La descripcin de los datos se realizar
m ediante las m edidas de tendencia central.
Media :
Para dato s no agrupados : Es la m edia aritm tica de
los datos.
Para dato s agrup ados :
k
1iii
hxx
k
1iii
n
xf
x
Mediana :
Para dato s no agrup ados : La m ediana es aqul dato
que ocupa la po sicin central, cuando los datos estn
ordenados y si la cantidad de datos es par la m ediana es
el prom edio de los dos datos centrales.
Ejemplos :
La m ediana de los datos : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 8 , 9 ; 20 ; 24;
25 es 6
La m ediana para los datos : 4 ; 5 ; 12 ; 20 ; 100 ; 132 es
la m edia aritm tica de 12 y 20 que son los dos trm inos
centrales, es decir la m ediana es 16.
Para datos agrup ados :
m e
1m e
f
F2
n
winfLM e
m e
1m e
h
H2
1
winfLM e
Do nde :
infL : Lm ite inferior de la clase m ediana.
w : Ancho de clase
1m eF : Frecuencia absoluta acum ulada de la claseanterior a la clase m ediana.
m ef : Frecuencia absoluta sim ple de la clase m ediana.
Moda :
Para datos no agrup ados : Es el valor que aparece
con m s frecuencia. Si son dos los nm eros que se
repiten con la m ism a frecuencia, el conjunto tiene dos
m odas y se denom ina bim odal. O tros conjuntos no
tienen m oda.
Ejemplo :
La m oda para los datos :
3 ; 4 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 10 ; 21 es 6
Para datos agrup ados :
21
1inf
wLM o
Do nde :
infL : Lm ite inferior de la clase m odal.w : Ancho de clase
1m om o1ff
1m om o2ff
m of : frecuencia absoluta sim ple de la clase m odal.
1m of
: frecuencia absoluta sim ple de la clase posterior
a la clase m odal.
1m of
: frecuencia absoluta sim ple de la clase anterior a
la clase m odal.
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Aritmtica
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ENUNCIADO :
Se analizan las notas de 20 alum nos en el curso de A ritm tica
recogindose los siguientes datos :
14,13,13,10,9,9,6,10,11,7
15,16,12,10,7,11,2,8,4,3
01. C untos estud iantes aprobaron el curso segn los
datos originales?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 0 e) 12
02.C alcular la m oda para los datos sin agrupar:
a) 1 b) 10 c) 12
d) 16 e) 13
03. C alcular la m edia para datos sin agrupar :
a) 10,5 b) 10,2 c) 9,5
d) 19,8 e) 12,7
04. C alcular la m ediana para los datos sin agrupar :
a) 9,5 b) 9,8 c) 9
d) 10 e) 10,5
05. D e la siguiente tabla de distribucin d e frecuencias,
calcular : nff12
2060,50[
0,82550,40[
0,340,30[
30,20[
0,120,10[
HFhfC lasesiiii
a) 102 b) 103 c) 104
d) 105 e) 106
06. D ada la siguiente distribucin de frecuencia.
H allar :431
Fff
20,10[
HhFfiiii
30,20[
40,30[
50,40[
60,50[
24
30
0,3
0,1
0,85
Ii
EJERCICI OS PRO PUESTOS
a) 95 b) 97 c) 98
d) 100 e) 120
07. El siguiente pictogram a m uestra las preferencias de 880
estudiantes sobre los cursos de M atem tica (A , X , G ,
T) y ciencias (F y Q ).
C alcule : (a+ b 3c + d)
a%A
F
30
60
X
G
T
Q
c%
bd
%2
a
a) 140 b) 116 c) 104
d) 110 e) 98
08. Si se tiene la siguiente distribucin de frecuencias sobre
las estaturas (en m etros) de un grupo de 50 jvenes.
H ifi
1,60;1,55
1,65;1,60
1,70;1,65
1,75;1,70
1,80;1,75
Intervalo de C lase
5 0,96
D eterm inar qu po rcentaje de jvenes poseen una
estatura no m enor de 1,70m .
Si se sabe que :
51hh y
42hh
a) 12% b) 14% c) 18%
d) 20% e) 24%
09. El profesor Lau tiene 6 hijos, de los cuales 3 son trillizos
y 2 m ellizos. Si al calcular la m edia, m ediana y m oda
de estas edad es resultaron 10 ; 11 y 12
respectivam ente.
H alle la diferencia entre la m xim a y m nim a edad.
a) 10 b) 6 c) 8
d) 7 e) 9
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TRILCE
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10. D e la siguiente distribucin de frecuencias de las notas
de 25 alum nos se pide com pletar el tablero con un
ancho de clase constante igual a 2 y54ff
.
6,[
Fi xifiIi fi
15
20
14
25
Si la m nim a nota aprobatoria es 10.
Q u tanto por ciento de los alum nos desaprobaron?
a) 72% b) 75% c) 76%
d) 78% e) 80%
11. C om pletar la siguiente tab la de d istribu cin de
frecuencias sobre la cantidad de personas atendidas
por los em pleados de un banco durante 1 da e indicar
qu tanto por ciento del total de em pleados atienden
de 20 a 33 personas.
18,12[
HhfC antidad deiii
24,[
30,[
36,[
0,10
0,30
42
18
personas atendidas
a) 70% b) 72% c) 73%
d) 74% e) 75%
12. La siguiente tabla nos m uestra los intervalos de clase y
la frecuencia relativa de una tabla de distribucin de
frecuencias del nm ero de pantalones que producen
los em pleados en una fbrica.
C alcular que tanto por ciento de personas producen
de 5 a 8 pantalones.
7,5 9,7 12, 9 15, 12Ii
hi
2k k+ 0,02 0,08 k2
3
a) 69 b) 71 c) 73
d) 75 e) 51
ENUNCIADO
(Para ejercicio s del 61 3 al 61 6)Se clasific la inversin de un grupo de com paas m ineras
en una tabla de frecuencias. Se sabe que la m xim a inversin
es de 56 m illones de soles, que la am plitud de los intervalos
es de 8 m illones de soles, que las frecuencias absolutas
correspondientes a los intervalos son :
1 ; 16 ; 21 ; 9 ; 8 ; 3 ; 2
13 . Q u porcentaje de com paas invierten 24 m illones
com o m nim o?
a) %3
238 b) %3
278
c) %3
138 d) %
3
236
e) %3
632
14. H allar la inversin m s frecuente.
a) 18,35 b) 20 c) 18,5
d) 20,5 e) 18
15. H allar la inversin prom edio en soles :
a) 20,4 b) 23,53 c) 24,5
d) 20,5 e) 23,2
16. H allar la m ediana de los datos clasificados (en m illones)
de las com paas.
a) 20,5 b) 20,95 c) 23,53
d) 18,35 e) 22,35
17. Ind icar el valor de verdad de las siguientesproposiciones :
I. La m oda slo se calcula para datos discretos.
II. El rea del histogram a es igual al rea del polgono
de frecuencias.
III. La ojiva es una curva trazada a partir del histogram a
de frecuencia absoluta.
a) FVF b) FFF c) FFV
d) VFF e) VVF
18. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias incom pleta :
4,0[
8,4[
12,8[
16,12[
20,16[
N otas hi H i
0,18
0,44
0,12 0,91
H alle la nota prom edio.
a) M ayor que 10 b) 9,8
c) M enor que 7 d) 8,72
e) 7,8
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Aritmtica
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19. En la siguiente tabla, se m uestra la cantidad de dinero
que gastan sem analm ente los alum nos del colegio
TRILC E.
H alle la m ediana.
20,0[
40,20[
60,40[
80,60[
100,80[
N de soles N de alum nos
400
300
250
150
50
a) 31,6 b) 32,3 c) 33,3
d) 40,3 e) 38,6
20 . D e la siguiente tabla d e frecuencias, calcule quporcentaje de personas tiene por lo m enos 20 aos,
sabiendo que hay tantas personas de por lo m enos 25
aos y m enos de 30 aos com o personas de por lo
m enos 30 aos, pero m enos de 40 aos.
15,5[
HFfxiiii
Ii
20,15[
25,20[
30,25[
40,30[45,40[
3K
5K
14KK
5K
a) 55,5% b) 66,6% c) 77,7%
d) 88,8% e) 44,4%
21. "Se tiene una distribucin de frecuencias con cinco
intervalos de clase cuyas frecuencias relativas son :
5
k2 ;
5
k2;
5
k;
5
k32;
5
1k
respectivam ente".
D eterm inar los valores de k que hagan cierto el
enunciado anterior.
a) Rkb) Rk
c)
3
2;0x/xRk
d)
3;2
1x/xRk
e)
;32
0;x/xRk
22. El siguiente grfico m uestra las preferencias de un grupo
de N alum no s sobre los cursos: M atem tica (M );
Estadstica (E), Fsica (F) y D ibujo (D ).
D eterm inar cuntos prefieren M atem tica si los que
prefieren E stad stica son 100 personas.
D
M
E
F
725n
6n
a) 140 b) 120 c) 180
d) 150 e) 130
23. D e la siguiente distribucin de frecuencias:
N otas fi
280;200
320;280
380;320
540;380
600;540
1000;600
4
16
36
88
40
16
D eterm inar la diferencia entre la m edia y la m ediana
m uestral.
a) 12,2 b) 15,2 c) 12
d) 18,2 e) 20,2
24. Si el siguiente cuadro de distribucin es sim trica y
tiene un ancho de clase com n.
36,[
FiIi fi hi
,[
,[
,[
,[
20 12
0,15
60]
C alcule la m oda.
a) 40 b) 45 c) 46
d) 49 e) 50
25. El siguiente cuadro m uestra la ojiva de las frecuencias
relativas acum uladas de las notas de un exam en de
ingreso a la U .N .M .S.M .
D eterm inar qu tanto por ciento de alum nos tuvieron
una nota entre 9 y 15.
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9/15
TRILCE
109
100
95
65
50
30
4 8 10 16 20 N ota
H i%
a) 32,25% b) 33,25% c) 32,50%
d) 33,75% e) 32,75%
26. C om plete el siguiente cuadro de distribu cin de
frecuencias, si tiene ancho de clase com n.
fiX i H ihiIi
50;30
;
;c
;
Total
a 0,20
20b
d
0,90
50
C alcule el valor de la M ediana m s la sum a de (a + b +
c + d)
a) 201,50 b) 202,20 c) 203,60
d) 205,10 e) 206,50
27. En una prueba de Aptitud Acadm ica se evalu a n
estudiantes y las notas obtenidas se clasificaron en una
tabla de distribucin de frecuencias com o se m uestra a
continuacin :
M arca de clase
Frecuencia relativa
45 55 65 75 85
100
K
50
K3
25
K2
100
K3
50
K
Q u porcentaje de estudiantes obtuvo una nota m enor
que 60 puntos o m ayor igual que 80 puntos?
a) 70% b) 25% c) 20%
d) 15% e) 30%
28. En la siguiente tabla de frecuencias, se registra el nm ero
de personas por rango de edad.
Cuntas personas son m ayores a 21 aos?
Edad n
1410[
1814[
2218[
2622[
3026[
3430[
5
10
20
25
15
5
a) 25 b) 50 c) 30
d) 65 e) 45
29. C om pletar el siguiente cuadro de distribucin d e
frecuencias de las notas de 16 alum nos en un exam en
de M atem tica I.
6
,[
hifi H i
,[
,[
,[
,[
3
N otas (I)i
6
9
12
15
9
12
15
18
Fi
Totales
4
m
4
n
Q
q
0,25
p
0,125
b
0,125
a
d
C alcular : (a + b + d)
a) 15 b) 11,5 c) 17,5
d) 14,5 e) 16,5
30. D e la siguiente distribucin de frecuencias:
H ifi
;
1100;800
1400;1100
1700;1400
Intervalo de
Ingreso m ensual
1/K
2/K
9/K
3/K
K
C alcular : cuntas personas ganan entre S/. 840 y S/.
1480 m ensuales, adem s determ inar el valor de4
F ?
a) 135 ; 225 b) 60 ; 225
c) 173 ; 225 d) 120 ; 225
e) 135 ; 250
31. U sando los datos de la tabla, que representa las
velocidades registradas por 30 autos que pasaron por
un m ism o punto de control de velocidad.
fi
Ii ,2610 ,5842,4226 ,7458 ,10690,9074
4 12 7 4 2 1
D avid calcul la m edia arm nica y obtuvo: (aprox.)
a) 35 b) 33 c) 37d) 39 e) 31
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10/15
Aritmtica
110
32 . D el siguiente cuadro :
hiFi H iC lase fi
30
,[
,[
,[
,[
20
40
50
60
30
40
50
5 0,20
8
0,44
C alcule la diferencia entre la m ediana y la m oda.
a) 3 b) 3,5 c) 3,52
d) 3,125 e) 3,625
33. La siguiente tabla nos m uestra la distribucin de sueldos
de una em presa.
H allar |a b|, si se sabe que el sueldo prom edio de
los trabajadores de la em presa es S/. 580.
Sueldo Frecuencia R elativa
500;300
700;500
900;700
a
b
0,2
a) 0 b) 0,2 c) 0,3
d) 0,4 e) 0,6
34. La tabla m uestra la distribucin del ingreso fam iliar
correspondiente a 80 fam ilias.
iF frecuencia absoluta acum ulada.
if frecuencia absoluta sim ple.
i
h frecuencia relativa sim ple en tanto por uno..
170
,[
Fifi hi
,[
,[
,[
,[
160
Intervalo de
Ingreso
170
180
190
200
180
190
200
210
48 60
0,125
0,075
D eterm inar el nm ero de fam ilias que ganan m enos
de 200 nuevos soles.
a) 66 b) 76 c) 70
d) 50 e) 54
35. D ado el siguiente histogram a de frecuencias absolutas:
Ii
fi
50 100 150 200 250 300
30
2520
15
10
C alcular el nm ero de datos que se encuentran entre
75 y 125 y sum ar con el nm ero d e datos que se
encuentran entre 160 y 260.
a) 88 b) 48 c) 58
d) 68 e) 78
36. Se realiz una encuesta de las preferencias de un grupo
de personas sobre 3 bebidas gaseosas x, y, z y se obtuvo
el siguiente diagram a:
x
y
za
b
c
D onde : a, b y c representan nm eros de personas y
estn relacionados de la m anera siguiente :
Kc150
c150
b240
b240
a210
a210
Sabiend o que : K es entero y a, b y c los m eno res
enteros positivos (K > 0).
Indique qu tanto por ciento del total, tiene la bebida
gaseosa de m ayor preferencia.
a) 20% b) 60% c) 40%
d) 55% e) 65%
37. En un saln de la A cadem ia "TRILC E", se tiene los
siguientes datos del peso de un grupo de alum nos :
Peso m nim o : 25 kg
Peso m xim o : 75 kg
92,0H4
; 6f4 ; n = 50 ; 51 hh y 42 hh
C alcular la m ediana.
D ar com o respuesta la sum a de la m ediana y el nm erode alum nos cuyo peso es m enor que 65.
5/20/2018 Estad stica (1)
11/15
TRILCE
111
a) 48 b) 46 c) 44
d) 96 e) 90
38. Los siguientes datos representan el sueldo m ensual en
dlares de 18 trabajadores de la A cadem ia "TRILC E" :
400 ; 450 ; 435 ; 380 ; 420 ; 430 ; 328 ; 350 ; 410 ; 400
; 430 ; 420 ; 450 ; 420 ; 395 ; 415 ; 400 ; 420.
Si por "Fiestas Patrias" cada trabajad or recibe un
aum ento del 21% en los sueldos m s una bonificacin
de $25 y a la vez este aum ento est afectado por un
im puesto del 2,8% .
C ul es el nuevo coeficiente de variabilidad?
a) 0,00732 b) 0,321 c) 0,0032
d) 0,0732 e) 0,3274
39 . R econstruir la sigu ien te d istribucin sim trica ydeterm inar la m edia y la m ediana m uestral.
12
,[
Fifi H i
,[
,[
,[
10
Ii
12
14
16
14
16
18
,[18 20
7 0,14
0,24
a) 15 ; 15 b) 14 ; 15
c) 15 ; 15,5 d) 14 ; 15,5e) 14,5 ; 15
40 . En el siguiente cuadro m uestra la frecuencia d e las
edades de una m uestra de gente joven. C alcule el
tam ao de la m uestra as com o la frecuencia relativa
del intervalo nm ero 5.
4
,[
,[
,[
,[
0
4
8
12
8
12
16
,[16 20
Frecuencia
A bsoluta
Frecuencia
Relativa
Frecuencia Relativa
A cum ulada
20
30
0,30,85
a) 200 ; 0,20 b) 300 ; 0,30
c) 200 ; 0,05 d) 130 ; 0,15
e) 180 ; 0,10
41. El grfico m ostrado indica la variacin porcentual de
cada ao del precio del dlar (tipo de cam bio). Si al
finalizar el ao 2004, el dlar se cotizar a S/. 3,65.
D eterm ine la cotizacin al finalizar el ao 1999.
1999 2000 2001 2002 2003 2004
%
A o
10%12%
15%
13%
12%
16%
a) 1,41 b) 1,92 c) 1,93
d) 2,50 e) 2,20
42. D eterm ine la varianza de los siguientes datos :
xi fi
2
47
9
10
2030
20
a) 4 b) 5 c) 2,25
d) 2,368 e) 5,609
43. Se tiene el siguiente cuadro estadstico referente a las
edades de abc personas.
Ii fi
25;1535;25
45;35
55;45
65;55
abbc
ca
ac
cb
75;65 ba
Si se observa que todas las frecuencias absolutas son
nm eros pares.
C alcular cuntas personas tienen entre 30 y 60 aos.
a) Es un nm ero capica.
b) Es una cantidad cuadrada perfecta.
c) Es m ayor que 110.
d) H ay 2 respuestas correctas.
e) H ay 3 respuestas correctas.
44. D e la siguiente ojiva, calcule la m edia y la m oda.
100
72
60
42
12
4
Fi
5 15 25 35 45 55 65 Ii
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Aritmtica
112
a) 39,7 ; 31,5 b) 39,7 ; 30
c) 41 ; 31,5 d) 41 ; 30,5
e) 38 ; 30
45 . En un club d eportivo, se tienen las edades de loshinchas distribuidas segn el siguiente histogram a de
frecuencias.
Edades
5a
4a
3a
2a
a
n r
D onde n y r son dos nm eros, cuya sum a, diferencia y
el producto, estn en la m ism a relacin que los nm eros
30 ; 12 ; 189 respectivam ente.
Adem s :10
rna
C alcule la edad prom edio de los hinchas, sabiendo
que la distribucin se realiza en intervalos de igual anchode clase.
a) 21 b) 17 c) 19
d) 23 e) 24
46 . Si la m oda de la variable aleatoria x es un nm ero
im par, hallar la M .A.
xi fi
3
4
5
6
10
12
18+ x
18+ y
7
8
9
4
8
15
10
Total
10
100
|x y| = 1
a) 5 b) 4 c) 6d) 7 e) 6,3
47. Segn el grfico siguiente :
4 8 12 16 20
a+ 6
a+ 4
a
0
(% )
Prom edio
de las notasE n el cual se m uestran las notas del curso de
M AT E M TIC A I de un grupo de estud iantes
universitarios, qu porcentaje aprob si el prom edio
aprobatorio es m ayor que 10?
a) 47% b) 50% c) 53%
d) 52% e) 51%
48. D ado el siguiente histogram a, con ancho de clase
constante.
a0 aa bc bd de
dc
ea
b
Ii
fi
Seale la sum a de la m oda y la m ediana.
a) 147 b) 148 c) 149,74
d) 150 e) 150,7
49. D e una distribu cin sim trica de an cho de clase
constan te, se o btiene el sigu ien te polgo no de
frecuencia.
Se sabe que21
A17A6 y el total de datos es 54.
Ii
A 1
A2
Seale la diferencia entre las frecuencias de la clase
m ediana y la clase m odal.
a) 7 b) 8 c) 9d) 15 e) 6
5/20/2018 Estad stica (1)
13/15
TRILCE
113
50 . El rea de la regin som breada es igual a la sum a de
todas las reas de los rectngulos m enos2
u45 .
H allar el m enor valor que pueda tom ar la m ediana, si
adem s :
18ff24
y 6f1
fi
f4
f
f
f
3
2
1
3 4 5 6 7 8 9 10
a) 5,12 b) 7,08 c) 6,82d) 7,12 e) 7,10
51. Segn el siguiente histogram a :
Ii
fi
m20 nm 7m nn p (m + 2)
n
A 1
A 2A 3 A 4
A 5
Se cum ple :
5421AAAA
Tam bin el rea bajo el polgono de frecuencia es3
A3 .
H alle la m ediana.
a) 22 b) 22,5 c) 23
d) 25 e) 26
52 . En el siguiente histogram a de ancho de clase com n,
se m uestra los resultados de una encuesta.
Se pide estim ar la cantidad de personas que hay en el
intervalo
3
f2e;3
cb2, si la poblacin es de 9000
personas.
15n
7n
4n
3n
n
a b c d e f
N de personas
Sueldo
a) 7400 b) 6000 c) 8400
d) 8100 e) 7000
53. Para estim ar el peso prom edio d e los alum nos del
C olegio Trilce, "XAV" eligi una m uestra aleatoria de100 alum nos; los pesos obtenidos se clasificaron en 5
intervalos de ancho com n, luego YILD IRAY le ayud
a determ inar la ojiva cuya grfica se representa segn
la funcin:
5
4
3
2
1
)x(i
Ix;35x
Ix;75x.n
Ix;30x.a
Ix;5x.v
Ix;45x3
F
D eterm inar :
a) vax2
b) naf3
c) 324xhH
D com o respuesta la sum a de cifras del m ayor resultado
obtenido :
a) 9 b) 8 c) 7
d) 6 e) 5
54. Se elabor el siguiente histogram a con la inform acin
que se obtuvo de las edades de un grupo de personas.
a(a+ 3)
a(4a)
(3v)v
4(3x-1)
2
xx
(x-1)0 (v+ 3)a xi
fi
C alcule la varianza y la m ediana.
D ar la sum a, (aprox.)
a) 124,8 b) 129,6 c) 131,4
d) 133,7 e) 135,4
55. En una em presa, se realiz un censo a los trabajadores
sobre sus aos de servicio, resultando entre 4 y 34
aos. Y ILD IRAY, un alum no Trilce, se da cuenta que al
hacer el histogram a las barras po seen cantidades de
trabajadores que form an una progresin aritm ticacuya razn es 2, una de las barras posee un rea de
2u60 y la cantidad de intervalos es m nim a, adem s el
5/20/2018 Estad stica (1)
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Aritmtica
114
ancho de clase es constante y posee 2 divisores.
D eterm inar la m oda y la m ediana.
D com o respuesta la sum a de ellos, si se sabe que :
k
1iif es m nim o..
(k : nm ero de intervalos)a) 51,3 b) 35,60 c) 45,32
d) 47,30 e) 54,21
56 . "XAV " ha elaborado una tabla de frecuencias con las
siguientes caractersticas:
* Alcance : [2 ; 20]
* Ancho de clase : w = v + 2
* N m ero de datos :
xavN)N(C ALogn 100
* a)3v(F2
; 60F3
;35
F3,3F
* 8
7
f
f
2
1 ; adem s la distribucin es sim trica.
C alcular la desviacin stndar y la m oda, sabiendo que:
k153N y
1k3k3532)N(N
a) 3,75 y 13 b) 3,08 y 11
c) 14,08 y 13 d) 2,83 y 11
e) 8 y 13
57 . D ado el siguiente conjunto de datos :
120 ; 115 ; 70 ; 50 ; 63 ; 120 ; 75 ; 103 ; 119;
117 ; 95 ; 89 ; 57 ; 73 ; 85 ; 98 ; 102 ; 105 ; 63;
65.
Si se ordenan en 7 intervalos de clase iguales, se piden:
A. La sum a del rango y el ancho de clase.
B. El porcentaje de datos que hay entre 50 y 90.
a) 80 ; 70% b) 70 ; 50%
c) 70 ; 60 % d) 80 ; 50%
e) 90 ; 50%
58. Se tiene el siguiente cuadro estadstico, en el cual lasfrecuencias absolutas form an una progresin aritm tica.
hifi
20;10
30;20
40;30
50;40
60;50
Ii
] 0,24
20
U n alum no distrado elabora la m ism a tabla, pero al
hacerlo com ete el error de aum entar cada dato en 5
unidades, si al elaborar dicha tabla observa que obtiene:
hifi
20;1030;20
40;30
50;40
60;50
Ii
]
0,24
Y con gran sorpresa, observa que una vez m s las
frecuencias se encuentran en progresin aritm tica.
D eterm inar la sum a de las dos m edias aritm ticas.
a) 79 b) 76 c) 82
d) 84 e) 86
59. U na com paa tiene 1 00 trabajad ores entre
nom brad os, contratad os y practicantes. Para los
nom brados, el sueldo m xim o es de S/. 7000 y el
m nim o de S/. 2000 m ensuales. El 4% son practicantes
que reciben propinas m enores de S/. 800 y el 26% de
los trabajadores son contratados que perciben haberes
m ayores o igual que S/. 800 pero m enores de S/. 2000;
20 trabajadores nom brados perciben haberes m enores
que S/. 3500 y el 80% del total de trabajadores tienen
haberes inferiores a S/. 5000.
C alcular:
i) Q u porcentaje de trabajadores ganan desde S/.
3500 hasta S/. 7000?
ii) Q u cantidad de trabajadores ganan sueldos m e-nores de S/. 3500?
a) 48% ; 52% b) 49% ; 51%
c) 50% , 50% d) 49% , 50%
e) 48% , 51%
60. En un cuadro de distribucin de 4 intervalos de igual
ancho de clase, se sabe que : 12x1
, 28x3
,
45f2
, 25,0hh 31
Si en total hay 120 datos, calcular su m edia aritm tica.
a) 18 b) 22 c) 12
d) 10 e) 15
5/20/2018 Estad stica (1)
15/15
TRILCE
115
lavesClaves
c
b
c
d
d
e
d
b
c
a
d
e
d
a
e
b
c
d
a
b
e
b
a
a
c
d
e
b
a
c
c
d
b
b
c
c
d
d
a
c
c
e
e
c
b
e
c
c
c
b
e
a
d
e
e
a
d
b
b
b
01.
0 2 .
0 3 .
0 4 .
0 5 .
0 6 .
0 7 .
0 8 .
0 9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
1 3 .
1 4 .
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2 4 .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 .
3 0 .
3 1 .
3 2 .
3 3 .
3 4 .
3 5 .
3 6 .
3 7 .
3 8 .
3 9 .
4 0 .
4 1 .
4 2 .
4 3 .
4 4 .
4 5 .
4 6 .
4 7 .
4 8 .
4 9 .
5 0 .
5 1 .
5 2 .
5 3 .
5 4 .
5 5 .
5 6 .
5 7 .
5 8 .
5 9 .
6 0 .
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