UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

E.A.P. DE ECONOMÍA

INTEGRANTES:

Limachi Astocondor, Elcira G. 11120050

Salazar Quispe, Mirian K. 10120197

Sicha Cruz, Sandra 11120284

Soto Roca, Raquel 11120089

Valencia Guerrero, Milagros 11120209

CURSO:

Matemática III

TEMA:

Espacios Vectoriales

AULA: 210

CICLO: 3°

2012

INDICE

PRESENTACIÓN……………………………………………………………………………1

OBJETIVOS………………………………………………………………………………….

2

ESPACIOS VECTORIALES..................................................................................................3

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.....................................................6

SUB ESPACIO VECTORIAL................................................................................................6

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL..............................................................10

SISTEMA DE GENERADORES.........................................................................................12

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL..............................................................................13

DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL.................................................................15

TRANSFORMACIONES LINEALES.................................................................................16

NUCLEO Y IMAGEN...........................................................................................................18

COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES LINEALES............................................20

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………21

PRESENTACIÓN

Este presenta trabajo presenta los temas espacios vectoriales y transformaciones lineales los cuales son arte del curso de algebra lineal y dentro de ellos los temas de subespacios, combinaciones lineales, base y dimensión de un espacio vectorial entre otros.

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OBJETIVOS

Con este trabajo se quiere lograr, conocer algunos conceptos necesarios para la mejor comprensión de los temas que se desarrollaran en la clase de matemática III.

ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN:

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El espacio vectorial es una terna (V,+, ●), sean V≠Ø un conjunto, k un campo y dos operaciones suma (+), y la otra producto (.).

Los elementos de V son vectores, los elementos de k son escalares

APLICACIÓN SUMA

+:VXV→V

(X,Y)→ +(X,Y)=X+Y

A1. x+y = y+x; donde x;y VЄ axioma conmutativa.

A2.. x+(y+z)=(x+y)+z, x;y;z VЄ axioma asociativa

A3. x+0=0+x=x donde cero es un elemento neutro; x V; existe 0 VЄ Є

A4.x+ (-x)= (-x)+ x, donde –x es el opuesto de x; x V, existe x VЄ

APLICACIÓN PRODUCTO

. : KXV→ V

( ,x) → .( ,x)= xλ λ λ

B1. ( x)= ( )x; α β αβ ∀ x, , kα β Є

B2. ( + )X= x+ x; α β α β ∀ x e V; ∀ , Kα β Є

B3. (x+y)= x+ y; α α α ∀ x,y e V; ∀ kα Є

B4.1.x=x; x e V; 1 k un elemento multiplicativoЄ

CONDICIONES QUE VERIFICAN LOS ESPACIOS VECTORIALES

1. x+(y+z)=( x+y)+z ∀x, y,z∈ V2. x+y= y+x ∀ x,y ∈ V3. x +0= 0+x 0 V, x V donde cero es un elementoЄ Є

neutro4. ( x)= ( )xλ β λβ ∀x∈V , ,y R λ Є5. x+(-x)=(-x)+ x ∀x∈ V, existe el opuesto de x6. (x +y)= x+ yλ λ λ λ∈ K, ∀ x,y∈ V7. 1x=x ∀x∈ V ∃1 ∈ K ,x ∈V8. (λ+β)x= λ.x+βx ∀λ,β∈ K,∀ x∈ V

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Ejemplo 1:V=R2, K=ℝR × R2 →R2

(a,b) + (c,d)= (a+c, b+d)

R × R2 →R2

λ.(a,b) = (λa, λb)

¿ Es (R2, +, ., ) un espacio vectorial?ℝ

1) (a,b)+[(c,d)+(m,n)] = (a,b)+[(c,m),(d,n)][a+(c,m), b+(d+n)] = [(a+c)+m,(b+d) +n] (a+c, b+d) +(m,n) = [(a,b) + (c,d)] + (m,n)

2) (a,b) + (c,d)= (a+c, b+d)=(c+a ,d+b)=(c,d) +(a,b)

3) (a,b) ∈R2 (x,y) ε R2

(a,b) +(x,y) = (a,b)(a+x, b+y) = (a,b)(a+x, b+y) =(a,b)a+x=a → x=0b+y=b → y=0∃ (0,0) ∈R2

(a,b) +(0,0)=(a,b)

4) ( .(a,b)=( .a , .b)λβ λβ λβ = .( a, b)λ β β = [ .(a,b)]λ β

5) (a,b) ∈R2 , (p,q) ∈R2

(a,b) + (p,q) = (0,0)(a+q, b+q)= (0,0)a+q=0 p=-ab+q=0 q=-b ∃ (-a,-b) ∈R2

6) [(a,b)+(c,d)= (a+c, b+d)λ λ= (a+c), (b+d)λ λ= ( a+ c, b+ d)λ λ λ λ=( a, b)+( c, d)λ λ λ λ

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= (a,b)+ (c,d)λ λ

7) (a,b) ∈R2, 1∈ℝ1.(a,b)=(1.a, 1.b) =(a,b)

∴ (R2,+,,ℝ) es un espacio vectorial

En general: (Rn,+, ●, ℝ) es un espacio vectorial donde

(x1, x2, …xn) + ( y1, y2,…, yn)=( x1+ y1, x2+Y 2…,xn+ yn)

CONTRAEJEMPLO:

V=R+¿ ¿k=ℝSe definen:

x+y= x+y

.x = x.λ λ

¿Es ( R+¿ ¿,+,●, ℝ) es un espacio vectorial)

1) x+y = x.y = y.x = y+x

2) (x+y)+z= (x.y) +z =(x.y).z

=x(yz)

=x +(yz)

=x+(y+z)

3) x+e= xx.e=x ∃ e= 1

4) x+n=1

xn=1

∃ n=1x

5) (λ. ).x=β xλβ

=(xβ ¿¿λ

=λ¿¿)= ( .x)λ β

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6) ( + ).x=λ β xλ+β

=xλ.xβ

=( .x).( .x)λ β= x+ .xλ β

7) (x+y)= λ (x+ y )λ ;≠ xλ+y λ

∴ No es un espacio vectorial

PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALESSea (V,+,ℝ,●) un espacio vectorial:

a) El elemento “0” es único.b) El producto escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo.c) El producto de un escalar por un vector es el vector nulo entonces el escalar es

“0” o el vector es nulo es decir:

si x= → =0 ^ x=λ θ λ θ

d) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su producto si k, x V, (- )x=-( x)λ Є Є λ λ

SUB ESPACIO VECTORIALSea (V, +, K, *) un espacio vectorial cualquiera y W ≠∅ , W ⊂V, diremos que W es un sub espacio vectorial de V, si y solo si:

i ¿x+ y ϵ W / x , y ϵ Wii¿ λx ϵ W / λ ϵ K , x ϵ W

Ejemplo 2:

Sea: (R3,+, R,*) un sub espacio vectorial

W = {(x, y, z) ϵR3 /x=z}

¿Es W un sub espacio vectorial de R3?

Solución

i ¿W ≠∅ pues (1,0,1 )ϵ W

ii¿ ( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) ϵ W ⟹ ( x1 , y1 , z1 )+( x2 , y2, z2 ) ϵ W … …………( por verificar )

como ( x1 , y1 , z1 ) ϵ W ∧ ( x2, y2 , z2 ) ϵ W , entoces :

(1 ) x1 ¿ z1

(2 ) x2=z2

De (1 ) y (2 ) :

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x1+ x2=z1+z2

⇒ ( x1+x2 , y1+ y2 , z1+z2 ) ϵ W

⇒ ( x1 , y1 , z1) , ( x2 , y2 , z2) ϵ W

iii¿ Sea λ ϵ R , ( x , y , z ) ϵ W ⟹ λ ( x , y , z ) ϵ W ………… ……………( por verificar )

Si ( x , y , z ) ϵ W ⟹ x=z

λx= λz

⇒ ( λx , λy , λz ) ϵ W ⟹ λ ( x , y , z ) ϵ W

Por lo tanto W esun subconjuntode R3 .

OPERACIONES CON SUB ESPACIOSSean W1 y W2 dos sub espacios vectoriales de V.

1. INTERSECCIÓN DE SUB ESPACIOS La intersección de dos subespacios vectoriales se define de la siguiente forma:

W 1 ∩W 2={u ϵ V /u ϵ W 1∧u ϵ W 2 }

La intersección de dos sub espacios es un sub espacio de V.Observación: Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

2. UNIÓN DE SUBESPACIOSLa unión de dos sub espacios vectoriales se define de la siguiente forma:

W 1∪W 2={u ϵ V /u ϵ W 1∨u ϵ W 2}

La unión de sub espacios no siempre es sub espacio de V.

3. SUMA DE SUB ESPACIOSLa suma de dos sub espacios vectoriales se define de la siguiente forma:

W 1+W 2={x ϵ V /x=u+v , u ϵ W 1∧ v ϵ W 2 }

La suma de dos sub espacios es un sub espacio de V.

Si Wi son sub espacios vectoriales, con i=1,..., n se define la suma de estos n sub espacios vectoriales como:

∑i=1

n

W i=W 1+W 2+…+W n={x ϵ V /¿ x=∑i=1

n

u i , ui ϵ W i , i=1 , 2 ,…. , n }¿

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4. SUMA DIRECTA DE SUB ESPACIS VECTORIALESSi la intersección entre W1 y W2es el sub espacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa". Es decir:

W 1 ⨁W 2=W ⟺W 1+W 2=W ∧W 1∩W 2={O⃑ }

SUB ESPACIO GENERADO

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial y A⊂V un subconjunto de V ≠ Ø, el conjunto de todas las combinaciones lineales de un numero finito de elementos de A es un sub espacio de V y se denomina sub espacio generado por A. Se denota de la siguiente manera:

L ( A )={∑i=1

n

α iυi/αi ϵ κ , υiϵ Α }

Ejemplo 3:

En el espacio vectorial (R3,+, R,*), se considera A= {(1, 2,-1), (3, 0, 1)}. Hallar el sub espacio L(A).

Solución:

Sea A= {v1 , v2 }dondev1= (1,2 ,−1 ) , v2=(3,0,1)L ( A )={α v1+β v2/α , β ϵ R }={α (1,2 ,−1 )+β (3,0,1 )/α , β ϵ R

Yaque L ( A )⊂R3⟹ ( x , y , z ) ϵ L ( A )⟹ ( x , y , z )=α (1,2 ,−1 )+β (3,0,1 )=(α +3 β ,2 α ,−α+ β )

α +3 β=xy2+3 β=x

2 α= y ⟹ ⇒ x−2 y−3 z=0

−α +β=z− y

2+β=z

Entonces : L ( A )={( x , y , z ) ϵ R3/ x−2 y−3 z=0

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Suma de espacios vectoriales:

Ya que la unión de sub espacios vectoriales no tiene por qué ser un sub espacio vectorial, necesitaríamos una operación alternativa que recoja en cierta forma la idea de JUNTAR o AÑADIR propia de la unión, que mantenga la estructura de sub espacio vectorial.

Sean U1 y U2 sub espacios de un espacio vectorial (V;+; .;IK) y sea L µ V, U1 + U2 es suma directa de L, lo que se denota poniendo U1 U2 = L, si se verifica que U1 + U2 = L y U1 \ U2 = 0

Si L = V a los sub espacios U1; U2 se les denominan sub espacios suplementarios.

U+V=x V / x=u +v,uU,vV

Ejemplo 4: Sean los sub espacios vectoriales

x, y,z) / Z=0

x, y, z) / X=Y=0

Se puede observar que W1 representa un plano del espacio y W2 una recta del espacio

no coincidente con el plano, pudiéndose comprobar que  , y además

que  Por tanto se puede afirmar que  Además en este caso podemos afirmar que W1 y W2 son SUBESPACIOS

SUPLEMENTARIOS. Es decir, cuando  y W=V, es decir la suma directa coincide con el espacio vectorial total.

COMBINACION LINEAL

DEFINICIÓN 1: Sea un conjunto de vectores v1, v2,…, vn que pertenecen al espacio vectorial V, y un vector v ε V, diremos que este vector v es una combinación lineal de v1, v2,…, vn si es que v puede expresarse así:

Donde: α 1, α 2…, α n son escalares

v=α1 v1 +α 2 v2 +…. +αn v n

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Ejemplo:

El vector (x, y, z) ε IR3 es una C.L. de i = (1, 0,0), j = (0, 1,0), k = (0, 0,1), porque (x, y)=xi+yj+zk

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

1. DEPENDENCIA LINEAL (L.D.)

Definición 2:

Tomemos otra vez a los vectores v1, v2,…, vn ε V, se dice que este conjunto de vectores es linealmente dependiente si existen n escalares α 1, α 2…, α n, (donde debe existir por lo menos un αi

≠0), tales que:

Observación 1:

Si un conjunto es linealmente dependiente, existe algún vector entre ellos que es combinación lineal de los demás, pero esto no quiere decir que “cualquier” vector de ellos sea combinación lineal de los demás.

Por ejemplo, el siguiente conjunto en IR3 podemos comprobar que es L.d.:

u=(1,0,0), v=(0,1,0), w=(1,1,0), k=(0,0,1),

Tenemos que w = u + v (es decir, w=1u + 1v + 0k), hay un vector que es combinación lineal de los demás. Pero no “cualquier” vector lo es, puesto que k no es combinación lineal de los demás. Esto se puede ver haciendo:

(0, 0,1) = α (1, 0,0) + β (0, 1,0) + γ (1, 1,0)

Se obtiene un sistema incompatible. (Es decir no nos proporciona ninguna solución).

α1 v1 +α 2 v2 +…. +αn = 0

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INDEPENDENCIA LINEAL (L.I)

Definición 3

Los vectores v1, v2,…, vn ε V son linealmente independientes si la ecuación:

α1 v1 +α 2 v2 +…. +αn = 0, implica que α1= α 2=…= αn=0

Propiedades de la dependencia e independencia lineal.

1. Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto es L.d. si y sólo si el vector es el 0⃗

(Vector cero).

2. Si el 0⃗ (vector cero) pertenece a un conjunto de vectores, el conjunto es L.d.

3. Si en un conjunto de vectores aparecen vectores repetidos el conjunto es L.d.

4. Si el conjunto consta de más de dos vectores: el conjunto es L.d. si y solamente si un vector del conjunto es combinación lineal de los restantes.

5. Si en un conjunto de vectores uno de ellos es múltiplo escalar de otro el conjunto es L.d.

6. Si el conjunto consta de más de dos vectores y el primer vector no es el vector cero: el conjunto es L.d. si y solamente si un vector del conjunto es combinación lineal de los vectores anteriores en el conjunto.

7. Si un conjunto de vectores contiene un subconjunto de vectores que es L.d., el conjunto es a su vez L.d.

8. Si un conjunto de vectores es L.i. entonces cualquier subconjunto de él también será linealmente independiente.

EJEMPLO 1

1.-En IR4, los vectores v1 = (1, 0,-1,2), v2 = (1, 1, 0,1) y v3 = (2, 1,-1,1) son linealmente independientes:

αv1 +βv2+µv3 =0 → α=β=µ=0

α+β+2µ=0 β + µ=0 -α -µ=02α+β+µ=0

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SISTEMA DE GENERADORES

Definición 4: Subespacio generado y sistema generador.

Sea V un espacio vectorial y A = {v1, v2,… vn} V, entonces definimos L (A) como el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v1, v2,… vn:

Donde L(A) es un subespacio vectorial de V, que se llama subespacio generado por A y donde al conjunto A se le llama sistema de generadores de L(A).

Propiedades

Si A y B son dos subconjuntos finitos de un espacio vectorial V, entonces:

1. A B L(A) L (B).

2. A L (B) L(A) L(B).

3. L(A) = L (B) A L(B) y B L(A).

EJEMPLO:

1) Hallar un sistema generador del subespacio {x = y} de IR3.

Para ello obtenemos primero la forma paramétrica, que es {(α, α, β): α, β ∈ℜ}.

Entonces, (α, α, β) = α (1, 1, 0) + β (0, 0, 1).

L (A) = {α1 v1 +α 2 v2 +…. +αn; αi ε K}

Un espacio vectorial V se dice que es de tipo finito si está generado por un número finito de vectores. Es decir, si existe un sistema de generadores A = {v1, v2,… vn}Para estos espacios vectoriales de tipo finito, podemos definir sin problemas la noció n d e b a s e .

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Así pues, (1, 1,0) y (0, 0,1) son un sistema generador del subespacio dado.

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Sea V un espacio vectorial de tipo finito y un sistema de vectores B V, diremos que B es una base de V si se cumple que:

1. B es un sistema generadores de V2. B es linealmente independiente

Dicho de otro modo se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Teorema de la base: Todo espacio vectorial V ≠ {0} (o subespacio vectorial) con un sistema de generadores finito posee al menos una base.

Teorema Steinitz: Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.

Proposición 1

Si V ≠ {0} es un espacio vectorial con una base formada por n vectores entonces cualquier conjunto de n+1 vectores es L.d.

Sea B = {v1, v2,… vn} una base de V y A= {u1,..., un, un+1} ⊂ V, con

ui=∑j=1

n

aij v j=(a i 1, ai 2 …. a¿)B , 1≤i ≤n+1

Para que una combinación lineal de los vectores de A sea igual al vector cero, se ha de cumplir:

∑i=1

n+1

ai 1 αi=0

∑i=1

n

αi ui=(∑i=1

n+1

ai 1 α i ,∑i=1

n+1

a i2 α i ,…,∑i=1

n+1

a¿αi)=0 .⇔

∑i=1

n+1

a¿α i=0

Que es un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con n+1 incógnitas y tiene por tanto infinitas

soluciones (α 1 α 2 …α n+1 ) ≠ (0,0,…0).Luego A es L.d.

.

.

.

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Proposición 2

Si V ≠ {0} es un espacio vectorial finitamente generado, entonces todas sus bases tienen el mismo número de elementos.

EJEMPLO 2:

Una base de IR3 (1, 0,0) (1, 1,0) (0, 2,-3)

Son linealmente independientes dado que forman un determinante nulo

Son sistema generador de IR3 porque cualquier vector (a, b, c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto dado (a, b, c) buscamos α, β, µ que satisfagan:

(a, b, c) =α (1, 0,0)+β (1, 1,0)+µ (0, 2,-3)

α+β=a β+2µ=b

-3µ=c

En las α, β, µ incógnitas que es compatible determinado para cualquier a, b, c.

DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Si un espacio vectorial V es de dimensión finito, teniendo en cuenta el teorema de la base y la proposición 2, diremos que:

Se llama dimensión de V ≠ {0}, al número de vectores de cualquier base de V, así:

Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio.

Proposición 1:

Sea V es e.v finitamente generado y U subespacio de V (U <V), entonces: dim U <dim V.

Nos limitaremos a hacer la demostración.

Observación 1: Una base de un espacio vectorial V ≠ {0} de dimensión n está formada por cualesquiera n vectores linealmente independientes.

dim (V)= n

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Observación 2:

Si V = {0}, entonces Dim (V) =0

Si V es de tipo finito, su dimensión es el número de elementos de cualquier base V.

Si V no es de tipo finito, diremos que tiene dimensión infinita, y escribiremos dim V = ∞

Interpretación geométrica de subespacios

Sean V= IRn y S incluido IRn es un subespacio vectorial:

1. Si dim S = 0, S = {0} es un punto (el origen).

2. Si dim S = 1, S = L ({u}) es la recta que pasa por el origen con vector de dirección u.

3. Si dim S = 2, S = L ({u; v}) es el plano que pasa por el origen con vectores de dirección

u y v.

4. Si 2 < k = dim S < n - 1, S es un k-plano que pasa por el origen.

5. Si dim S = n - 1, S es un hiperplano que pasa por el origen.

6. Si dim S = n, S = IRn es todo el el espacio

Proposiciones:

Sea S = {v1, v2,… vn} un sistema de vectores de un e.v. V de dimensión finita, tenemos:

1. Si S es sistema de generadores ,y m =dim V ,entonces S es base de V2. Si S es L.i y m=dim V ,entonces S es base de V

Fórmula de Grassmann

Dado dos subespacios vectoriales  S y P  ε V de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:

SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS

Dos subespacios S y T de un espacio vectorial V se llaman suplementarios si V=S T si y solo si:

V = S + T y S∩ T = {0} , entonces:

Dim (S+P)=Dim(S+P)-Dim (S∩P)

Dim S T = Dim (S) +Dim (T)

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TRANSFORMACIONES LINEALESf (x)=a↔ a∈ Rrangof (x)

El concepto de funciones se aplicara en este tema con la única excepción de que nos interesará mas las funciones cuyos dominios y recorridos son subconjuntos de espacios vectoriales. Tales funciones son llamadas transformaciones lineales, aplicaciones u operaciones.

DEFENICIÓN 1: Sea V y W dos espacios vectoriales sobre un espacio vectorial k. una transformación lineal es

T :V → W

Una transformación lineal debe cumplir con el siguiente axioma: a) T( av + w) = aT(v) + T(w)

PROPIEDADES:

Sea V y W un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo K, “c” escalares de los R. Entonces existe una única transformación lineal

T:V → W tal que:

a. T(0V) = 0W

b. T(-v)= -T(v)c. T( v1 – v2) =T(v1) – T(v2)d. v= c1v1 + c2v2 + c3v3 +…cnvn(1)

T (v) = c1w1+ c2w2 + c3w3 +…cnwn(2)De (1) y (2) podemos afirmar:

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T (v) = c1T(v1) + c2T(v2) +… + cnT(vn)

Ejemplo 01

La proyección de los vectores (x, y, z) ϵ R3 sobre el plano XY, ¿es una transformación lineal?

Solución:

Para demostrar que este vector es una transformación lineal, para ello, aplicaremos la definición resumida:

T ( av + bw) = aT(v) + T(w), para todo v = (x, y, z) ϵ R3, w = (m, n, s) ϵ R3 y para todo a ϵ R3, dondeav = (ax, ay, az), w = (m, n, s) y av + w =(ax + m, ay + n, az + s)

Veamos: T(av + w) = T(ax + m, ay + n, az + s), como quiero demostrar sobre el plano XY entonces s y z son constantes y su valor es cero por tanto

T (av + w) = T (ax + m, ay + n, a0 + 0)

T (av + w) = T (ax, ay, 0) +T(m, n, 0)

T (av + w) =aT(x, y, 0) + T(m, n, 0)

T (av + w) =aT(v) + T(w)

Proposición 1°: Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces

F es monomorfismo↔Nu(f) ={0}

NUCLEO Y IMAGEN

DEFINICIÓN 2:Sea T :V → W Transformación lineal. El NUCLEO de T denotado por N(T) o Ker(T), es el conjunto de todos los vectores vϵV tales que T(v) = 0

N (T )=Ker (T )= {v∈V /T (v )=0 , 0∈W }

EJEMPLO 02

Ker(T)esta incluido en V

Ker(T) es subespacio de v

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Sea la transformación lineal T: R3→R3 definido por la regla T(x, y, z) = (x + 2y +5z, 3x + 4y + 7z, x – y), hallar el núcleo de T Solución: El núcleo de T se obtiene haciendo el vector.w = (x + 2y +5z, 3x + 4y + 7z, x – 2y) = (0, 0, 0) entoncesx + 2y +5z = 0 x = 2y3x + 4y + 7z = 0 suponiendo que z = t x – 2y = 0 y = - 5/4 t, x = - 5/2tEntonces el vector solución es (x, y, z) =( - 5/2t, - 5/4t, t) entonces t( - 5/2, - 5/4, 1)

DEFINICIÓN 3:

Sea T :V → W Transformación lineal. La IMAGEN de T denotado por T(V) es el subespacios de W

ℑ (T )=T (V )= {w∈W /w=T (v) , para algun v∈V }

EJEMPLO 03Sea la transformación lineal T: R3 → R3 definido por la regla T(x, y, z) = (y + 5z – 3x, 3x + z + 5y, 4z – 3x), hallar la imagen de T.La imagen de T esta formada por vectores de la forma (r, s, t) tal que T(v) = (y + 5z – 3x, 3x + z + 5y, 4z – 3x) = (r, s, t)El problema consiste en hallar los vectores (r, s, t) tal que existe una ecuación que les relacioneY + 5z -3x = r Y + 5z -3x = r 3x + z + 5y = s 3x + z + 5y = s 3x + z + 5y = s 4z – 3x = t4z – 3x =t 6y + 6z = r + s * 5y + 5z = s + t **Al igualar * y ** se obtiene

r+s6

= s+ t5

→ 5 r−s−6 t=0

Proposición 2:

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Sean V y W dos K-espacios vectoriales y sea f : V → W una transformación lineal. Entonces, si {vi: iϵI es un sistema de generadores de V, {f (vi):iϵI} esun sistema de generadores de Im(f).

TEOREMA 1:Una transformación lineal T: V → W, es inyectiva si, solo si N(T)={0}, 0 ϵ W, donde N representa el núcleo.Demostración:(→) si T es inyectiva →N (T)= {0v}, 0v: vector nulo de vVeamos:Si v ϵ N(T)→T(v)=0w ……………………….(1)Debo probar que v=0v, donde 0v ϵ VComo N(T) es subespacio de V, se cumple0w=T(0V)………………………………………….(2)(2) en (1): T (v)=T (0V)Pero, T es inyectiva → v=0v

(←) si N (T) =0V → T es inyectivaSea N (T)=0v entonces T (u)=T (v)→ T (u) - T (v) = 0w→ T (u - v) =0w

→ u – v = 0v → u=v

TEOREMA 2:Sea V un K espacio vectorial de dimensión finita y T :V→W una transformación lineal, entonces :dim(V) =dim N(T) + dimIm (T)

TEOREMA 3:Sea V un K espacio vectorial de dimensión finita y T: V→W una transformación lineal, tiene inversa a izquierda si, y solo si, es inyectiva.

COMPOSICION DE TRANSFORMACIONES LINEALES

La composición de funciones usual puede realizarse, en particular, entre dos transformaciones lineales. El resultado es, en este caso, una nueva transformación lineal.

Proposición 3. Sean V, W y Z K-espacios vectoriales. Sean f : V → W y g : W → Z transformaciones lineales. Entonces g ± f : V →Z es una transformación lineal.

Demostración. Sean v, w ϵ V . Entoncesg o f(v + w) = g(f(v + v0)) = g(f(v) + f(w))= g(f(v)) + g(f(w)) =g o f (v) + g o f(w).

Análogamente, si λϵ K y v ϵV , se tiene queg o f(λ v) = g(f(λ v)) = g(λ f(v)) = λ g(f(v)) = λ(g o f(v)).

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Finalmente, analizamos las propiedades de la función inversa de una transformación lineal biyectiva (es decir, un isomorfismo).

Proposición 4Sean V y W dos K-espacios vectoriales y sea f : V → W una transformación lineal. Si f es un isomorfismo, entonces f-1: W → V es una transformación lineal (que resulta ser un isomorfismo).

Demostración. Sean w,w* ϵ W. Como f es un isomorfismo, existen únicos v,v* ϵ V tales

que w = f(v) y w* = f(v* ). Entoncesf-1 (w + w* ) = f-1 (f(v) + f(v* )) = f-1(f(v + v* )) = v + v* = f-1(w) + f-1(w* ):

Dados w ϵ W y λϵ K, existe un único v ϵ V tal que w = f(v). Entoncesf-1(λ w) = f-1(λ f(v)) = f-1(f(λ v)) = λ v = λ (f-1(w)):

Luego, f-1 es una transformación lineal. Es claro que es biyectiva.

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BIBLIOGRAFÍA

http://es.scribd.com/doc/40673112/18/Sistemas-de-generadores-y-bases http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Algebra/Apuntes/AL_ap_02.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/

Espacio_vectorial#Definici.C3.B3n_de_subespacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial

http://www.uam.es/personal_pdi/economicas/portega/web-algebra/capitulo-1/ teoria-1-3/1-3-subespacios.html

http://www.dma.fi.upm.es/mreyes/Algebra/Apuntes/AL_ap_02.pdf

http://docencia.udea.edu.co/GeometriaVectorial/uni4/seccion42.html Moisés Lázaro: algebra lineal, capítulo 1,2, 3, 4 Colección Shau: algebra lineal, capitulo 7,8

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