ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
“MODELADO, SIMULACIÓN Y CONTROL DE UN SISTEMA DINÁMICO MEDIANTE EL USO DE
COMPONENETES ANÁLOGOS”
AutorRoberth Tinoco
DirectorIng. Eduardo Orces
Contenidos
1. Introducción2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema3. Método del LGR para el análisis del Sistema
de Control.4. Método de Ubicación de Polos para el
análisis del Sistema de Control.5. LQR en el Diseño Final del Sistema de
Control.6. Conclusiones y Recomendaciones.
Problema interesante desde el punto de vista de control.
Ilustra muchas de las dificultades asociadas con problemas de control del mundo real.
Introducción
Control mediante el empleo de componentes simples análogos
Introducción Aplicaciones análogas:
• Robótica.• Posicionamiento satelital con respecto a la
tierra.• Plataforma para el lanzamiento de cohetes• Estabilidad de Grúas y edificios, etc.
Introducción
Definición: Consiste en un péndulo que gira libremente por uno de sus extremos mediante una articulación situada sobre un carro que se mueve sobre una guía rectilínea bajo la acción de una Fuerza de Control.
Objetivo
Construir el prototipo utilizando un bajo presupuesto
• Diseñar estructuralmente el sistema
• Elegir sensores y actuador.
• Uso de componentes análogos
Controlar el sistema
• Simular distintos controladores lineales usando MATLAB y SIMULINK
• Implementar controlador mediante LQR
Contenidos
1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema 3. Método del LGR para el análisis del
Sistema de Control. 4. Método de Ubicación de Polos para el
análisis del Sistema de Control. 5.LQR en el Diseño Final del Sistema de
Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.
Modelado Dinámico del Sistema
0
1x
mg0
00x
Bo
0bx
0mI
mmM2
Modelado Dinámico del SistemaModelado en SIMULINK
Modelado Dinámico del Sistema
qbmg
Sq
mgmMBbS
qmIbmMB
S
Sq
m
sUs
22
3
Donde: 22 mmImMq
Modelado Dinámico del Sistema
Determinación de los Parámetros Físicos:
mM4mMg32
n
Parámetro Descripción Valor
M Masa del Carro 0.425 Kg.
m Masa del Péndulo 0.270 Kg.
l Longitud del Péndulo 0.33 m.
b Constante de amortiguamiento debido al Carro
0.1 N/m/s.
B Constante de amortiguamiento debida al Péndulo
0.05N.m/rad/s.
Modelado Dinámico del Sistema
9.229 s-----------------------------------------------s^3 + 7.402 s^2 - 61.83 s – 9.045
Sistema a Lazo Abierto:
Modelado Dinámico del SistemaModelado en el Espacio de Estados:
X
X
4
3
2
1
3
1
2
1
Xy
yy
qmI0q
m0
qmIb
0q
Bmg
qm
1000qbm
0q
mMBg
qmmM
0010
2
4
3
2
1
22
4
3
2
1
.
0
0.
0100
0001
y
y
4
3
2
1
2
1
Modelado Dinámico del SistemaSistema a Lazo Abierto:
Modelado Dinámico del SistemaModelado en SIMULINK
Modelado Dinámico del SistemaEstrategia de Control
Conjunto Carro-Péndulo
Sensor
Amplificador mas Amplificador mas ActuadorActuador
Potencia Potencia ExternaExterna
Señal Proporcional a Señal Proporcional a las Variables de las Variables de SalidaSalida
Contenidos 1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema. 3. Método del LGR para el análisis del
Sistema de Control. 4. Método de Ubicación de Polos para el
análisis del Sistema de Control. 5. LQR en el Diseño Final del Sistema de
Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.
Diagrama de Bloques:
CONTROLADORK(S)
PLANTAG(S)
r(S) = 0
+
+
+-
(S)U(S)e(S)
Fd(S)
Diagrama de Bloques Simplificado:
PLANTA
G(S)+-
(S)U(S)Fd(S)
CONTROLADORK(S)
sFsGsK1
sGs d
Controlador Método del LGR
Trazo del LGR:
Cero = 0
Polos = -12.2973 5.0828 -0.1418
Controlador Método del LGR
Especificaciones de Desempeño:
224
t4
2% del criterio 44
t
s
ns
Tiempo de asentamiento:
⇒ 1/ 2
e=05.0 7.0≈
Sobrepaso Máximo:
Polos Dominantes:-2 2i
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
Compensador PD:
Sistema no compensado hasta el polo dominante compensado deseado es -173.12º.
100ssGPD
s
5.0ssGPI
Compensador PI:
Cualquier compensador integral ideal cero funcionará, mientras el cero se coloque cerca del origen
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
k = 0.0951ceros = 0 , 0polos = 0 , -4.2118, -2.0024 +/- 2.0244i
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
RESPUESTA A LAZO
CERRADO
SOBRESALTO TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO
ERROR EN
ESTADO ESTABLE
Kp Incrementa No altera Disminuye
Ki Incrementa Incrementa Incrementa
Kd Disminuye Disminuye No altera
Controlador Método del LGR
Ley de Control PID:
9.046 s^2---------------------------------------------------s^4 + 188.3 s^3 + 843.1 s^2 + 443.4 s
Kp= 100; Kd= 20; Ki=50
Controlador Método del LGR
Diagrama de Bloques:
CONTROLADORK(S)
PLANTA 1G1(S)
r(S) = 0
+
+
+-
(S)
U(S)
e(S)
Fd(S)
Diagrama de Bloques Simplificado:
+
-
X (S)
U(S)Fd(S)
CONTROLADORK(S)
Análisis de la Variable no Controlada
PLANTA 2G2(S)
X(S)
PLANTA1G1(S)
PLANTA2G2(S)
sGsK1
sGsFsx
1
2
d
Controlador Método del LGR
Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada
Controlador Método del LGRAnálisis de la Variable no Controlada en SIMULINK
Contenidos 1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema. 3. Método del LGR para el análisis del
Sistema de Control.. 4. Método de Ubicación de Polos para el
análisis del Sistema de Control. 5. LQR en el Diseño Final del Sistema de
Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.
Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:
DCxy
BAxx
Controlabilidad: Un sistema es controlable en el tiempo to, si se puede llevar de cualquier estado inicial X(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.
BAABB 1n
Condición de Controlabilidad:
Matriz de Controlabilidad no singular
Controlador por Ubicación de PolosControlabilidad y Observabilidad:
DCxy
BAxx
Observabilidad: Un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado X(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.
Condición de Observabilidad:
Matriz de Observabilidad no singular
CACAC
1n
Controlador por Ubicación de PolosDiseño por Ubicación de Polos:
DCxy
BAxx
Kx xBKAx 0xetx BKA
Los valores característicos de la matriz A-BK se denominan Polos Reguladores
ABAABB1000K11n
IAAAA n1n1n
1n
Fórmula de Ackermann:
Donde
Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:
Kx
Polos: -2+2*sqrt(3)*i, -2-2*sqrt(3)*i, -20, -20
K = [135.31 12.64 -72.20 -38.85]
x8.38x2.726.123.135
Controlador por Ubicación de PolosMatriz de Realimentación de Estados:
Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Completo:
Cxy
BAxx
El estado x se aproximará mediante el estado
x̂CyLBx̂Ax̂
x̂CCxLx̂AAxx̂x
x̂xLCAx̂x
Definiendo el error x -
0eLCAe
b
a
b
a
bbba
abaa
b
a
B
B
x
x
AA
AA
x
x
b
a
x
x
01y
ababaaaa BxAxAx
bbbbabab BxAxAx
Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:
Ecuación de salida
Ecuación de Estado
abaabaabbbabbb LBByLAALLAA~LAA~
Lyx~~b
Ecuación del Observador de orden mínimo:
Controlador por Ubicación de PolosObservadores de Estados de Orden Mínimo:
L = 15.0940 -1.2452 78.9617 -16.6433 -1.7567 23.9477 -18.3909 145.4249
Contenidos 1. Introducción 2. Modelado y Respuesta a L.A. del Sistema. 3. Método del LGR para el análisis del
Sistema de Control. 4. Método de Ubicación de Polos para el
análisis del Sistema de Control. 5. LQR en el Diseño Final del Sistema de
Control. 6. Conclusiones y Recomendaciones.
Implementación Final LQRSelección del Actuador:
Implementación Final LQRSelección del Actuador:
t1Sene
1
Xtx 2t
2o
1cos
2
2
dt
xdmM
dtdx
btF
)t(v)t(F)t(Pot
Potencia del Motor
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Tiempo (seg)
Po
ten
cia
(H
P)
MASA
AMORTIGUAMIENTO
POTENCIA
Potencia Promedio 0.00836 HP [6.23 watts]
Potencia Máxima 0,12573 HP [93.8 watts]
Implementación Final LQRModelo dinámico del Motor DC:
aa
12
a
212
0
a
2a1m erR.2
Kx
rR.2
KKx
r.2
JR
Ker.2
Kr.2
JF
1a
ba
2
2
2c
m KR
dtd
Ke
dt
d
n
JJ
erqR2mIK
qBm
qgm
xq
rR2
KKbmI
xa
21
22a
212
erqR2Km
xq
mrR2
KKb
gq
r2
JmMm
qr2
JmMB
a
12
a
212o
2o
22
2o mmIr2
JmMq
Donde:
Implementación Final LQRConexión dinámica Péndulo - Motor DC:
Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:
a
bb
a1 i
gLM2/1iT
K
Implementación Final LQRDeterminación de los Parámetros del Motor:
1Ke [voltios] ia [A] T [N.m] K1=T/ia
[N.m/A]
1,812 0,22 0,05978 0,27173 O,27173
3,230 0,44 0,11856 0,27173
2Ke [voltios] ia [A] [rpm] K2=e/
[V/rad/s]
6,3 0,18 370 0,16262 O,15584
12,0 0,19 700 0,16367
15,4 0,44 1080 0,14057
aRe [voltios] ia [A] [rpm] Ra=(e-K2)/ia []
8,04 0,40 400 3,78 3,69
8,15 0,45 400 3,60
Implementación Final LQRCaja Reductora:
c
mopt J
Jn
Inercia del Motor DC:
RLmmMR3/Lm4
2/gLmJ ppm
22p2
p2o
m
Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:
Inercia de Carga:
2pc r)mM(J 34.1
JJ
nc
mopt
SqrR2
KNKmgS
qr2
JmM
mgSq
rR2
KNKmI
S
SrqR2
NKm
SES
2a
2122o
32
a
212
4
2
a
1
Implementación Final LQRRazón de Reducción Óptima:
Implementación Final LQRParámetros Físicos del Sistema:
PARÁMETRO DESCRIPCIÓN VALOR
M Masa del Carro 0,435 Kg.
m Masa del Péndulo 0,270 Kg.
l Longitud media del Péndulo 0,165 m.
b Coeficiente de Fricción Viscosa del Carro 0,1 N.s/m
B Coeficiente de Fricción Viscosa del Péndulo 0,05 N.m/rad/s
K1 Constante del Par Motriz 0,27173 N.m/A
K2 Constante de la Fuerza Contra electromotriz 0,15584 V/rad/s
Ra Resistencia de Armadura del Motor 3,69
K Ganancia del Potenciómetro del Péndulo 1,637 V/rad
Kx Ganancia del Potenciómetro del Carro 4,244 V/m
d Diámetro de la Polea 0,075 m
n Reducción de la caja Reductora 1.5, 3, 7 , 10
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
control óptimo implica una equidad entre el desempeño y el costo de control y busca minimizar el valor del índice de desempeño J.
dtR'Qx'x21
J0
El problema de minimizar J con respecto a la entrada de control u(t), es conocido como el problema Regulador Cuadrático Lineal (LQR)
Teorema del Regulador Óptimo
P'BRK Kx -1opt
Ecuación de Riccati 0P'BPBRQP'APA 1
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
Driver del Motor DC
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
Matriz de Ganancias de Realimentación de Estados:
K = [87.7593 -31.6228 8.1430 -31.3855];
Matriz de Ganancias del Observador:
L = 7.8260 -0.5693 -0.5693 0.1786
Aplicando la igualdad de la ley de control y del estimador:
21 39.3114.8x91.4141.169
10.17x46.1482.1439.12462.13 211
96.3x18.535.2067.2742.0 212
Implementación Final LQRRegulador Cuadrático Lineal :
Diagrama de Flujo de Señales del Compensador:
Implementación Final LQRCompensador Electrónico
Zona Muerta del Motor
0V Si V2.1V
0V Si V8.1VV
in
inout
Conclusiones y Recomendaciones
Dispositivos físicos actúan en estado de saturación..
Limitación de ganancias que inciden en el estado de saturación.
Reemplazo del driver analizado por un OPA-548.
Uso de aisladores y flitros para disminuir el rizado en las señales provenientes de los sensores.
Uso de frenado dinámico por parte del motor.
Se delimita la region del actuador por inestabilizar el sistema
La realimentación reduce el efecto de las perturbaciones y modera los errores de modelado, no obstante ante la presencia de perturbaciones y ruido en el sensor se debe incluir:
• Desempeño de seguimiento.
•Reducir la sensibilidad a ruido en el sensor, ganancia significativa en la región de baja frecuencia y mínima en la región de alta frecuencia.
• Se debe delimitar la señal de control para futuras mejoras.
• Reducir la sensibilidad ante errores en el modelado.
• Establecer una estabilidad robusta.
Conclusiones y Recomendaciones
1. Potenciómetro Lineal.
2. Cilindro Lineal sin Vástago.
3. Péndulo Invertido.
4. Servopotenciómetro rotacional.
5. Tarjeta de Referencia electrónica.
6. Trasductor de Presión.
7. Válvula proporcional 5/3.
8. Unidad FLR.
9. Válvula de Suministro.
10. Interfase electrónica.
11. PC del Ordenador.
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