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1.Ruedas cilindricas de dientes rectos. La transmisi6n entre ejes paralelos
se realiza, segun 10 vista en el capitulo XIV, par media de ruedas cilindricas,
tambien llamadas ruedas fmntales. En las figuras 15-1, 15-2 y 15-3 se presentan
engranajes cilindricos exterior, interior y can cremallera, respectivamente, los
cuales pueden tener dientes rectos, paralelos alas ejes, como en las mismas, a
inclinados un angulo "0", como en la figura 15-4, donde la linea central del
diente describe una Mlice alrededor de los cilindros primitivos.
Si en las figuras 15-1 y 15-2, son "dp I" Y"dp2" los diametros primitivosde las ruedas "1" Y "2", que tienen "zI" y' "Z2" dientes respectivamente, par
el hecho de engranar entre si, tienen el rnismo paso y el mismo m6dulo,
podemos poner que:
. W2 rp11=--=--
WI rp2
la cual resulta, teniendo en cuenta las expresiones 15-1:
. dP1 Zl1=--=-
dP2
Z2
Si "nl" Y "n2" son los numeros de vueltas par minuto, de las ruedas
"1" y "2" respectivamente, que nos dan las velocidades angulares:
W2 n2i=-=
WI nl
Como can. un solo par de rued:as, par razones de interferencias en el
engrane, la relaci6nd~transrnisi6n esta limitada; en los casas que es necesario
utilizar un 'elevado salta .de velocidades, deben construirse trenes de engranajes
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Reempla/.alldo, I'll liNin, IONvnlon'N do IONdilltllollON IHllllltlvON,dndoN I'll Iii
expresi611 15-1, rl'Nlllln:
1 1 1
i=--=-12 4 3
Con respcclo a la cleC\.:illllue los lIullleros de dientes, dl'hl' adoplalsl' 1'1
de la rueda 1Il.ISchica del par "Zl ", denim tie las condiciolles 1I01lllail's d,'
funcionamiento, 10 lIl:is bajo posible; cl de la olra rlleda "Z2" SIIljJ,1I(I dl' 1.1
relaci6n de trallsmisi{m. Elminimo n(unero de dientes utili/.abk, I'll 1IIl'das, ,k
dientes rectos, de perfil envolvente es sicte, pero su uso est:.!lelegado a IIllly Ial :I',
ocasiones, ya que para un discreto funcionamiento, requiere lIn valor dl1
angulo de presi6n de 25 como minimo y una correccion en el perfil, qlll~h:W,,posible el engrane sin interferencias; tiene muy mala razon de cOlltaclo y s(llo I':,
admisible para pasos muy pequenos.
Con angulo de engrane de 20u, tomando la altura de cabeza mayOl qll(' " 11
los tipos de dicntes normales y contemplando solamente la resistencia, sill 1"11"1
en cuenta 1'1dcsgaste, que en este ca'iO es mucho mayor, se puetle 100IIaiII11
minimo de diez a quince dientes.
El mas bajo valor que, para angulo de presion de 20, puede adoptals,',
manteniendo la altura de cabeza del diente normal, es diez y ocho tlicnles. Sill
que exista equilibrio entre la resistencia y el desgaste. Se obtiene csto (litinill
recien para veinticinco dientes; para angulos de presion menores de 2U", 1m
valores de "z"minimo son mayores.
Si aumelltamos el numero de dientes, la resistencia empieza a ser crit il':Icon respecto al desgaste, principalmente pasando de treinta, donde silio s('
cumplen las condiciones de resistencia si se 10hace trabajar a altas velociuades (I
sea donde baja 1'1valor de la fuerza tangencial; pero pOI'otra parte se consijJ,III'
un muy buen resultado en 10 que se refiere al ruido de la transmision.
Para dentados corregidos pueden usarse menos dientes, no obstante pal:l
perfiles "Va cera" y angulo de presion de 20 grados, la suma de los numcros d.,
dientes de ambas ruedas, no puede ser nunca menor de veinticuatro.
o bien el cociente entre el numero de dientes, 0 del diametro, de las ruedas
conductoras sobre las conducidas. Si por ejemplo, se necesita transmitir una
relacion de transmision 1 : 12, podemos descomponerla en la forma:
Hemos colocado la relaci6n "1 : 4" para el primer par, pues, pOI'tratarse de un
mecanismo reductor, conviene usaI' la menor reduccion en el par de menor
velocidad 0 sea en el mayor de fuerza tangencial. Pudo, en este caso, usarse otra
relaci6n que satisfaga "i".La distancia entre centras depende del numero de dientes y de las
dimensiones de estos, es decir tambien del paso y del m6dulb; en efecto,
como la distancia entre ejes "C", vale:
dp1 + dpzC= 2
2. Ruedas cilindricas de dientes helicoidales. Si como en la figura 15-4, IllS
dientes no son paralelos a los ejes de las ruedas, sino que se encuentran despl:wl'
dos un angulo"0", dicho diente no puede ser recto, sino que al arrollarse soblc
el cilindro primitivo genera .una helice, tal se aprecia en la figura 15-6.
En rigor a la verdad el angulo de inc1inaci6n del diente, medido sobre III
circunferencia primitiva "00", no es el mismo que el medido sobre la circun-
ferencia de base "0b", aunque muchas veces se 10tome como igual. Observanuo
la figura 15-7,vemos que el angulo "Ob" es Iigeramente menor que "00", debido
a la influencia del angulo de presion. La diferencia entre ambos crece a mcdida
que se agranda este, es decir cuanto mayor es la diferencia entre los diametros de
las circunferellcias de base y primitiva, resultando:
tgOb--= cosO!tg 00
El uso de ruedas de dientes rectos, limit a la longitud de engranl',
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reduciendo la posibilidad de obtener una elevada raz6n de contacto, ademas el
esfuerzo transmitido provoca choques, al tocar de golpe en todo el largo del
diente; los engranajes helicoidales, en cambio, hacen que estos trabajen en un
numero mas constante, sobre toda la longitud del segmento de engrane y que
la carga resulte aplicada de un modo continuo y progresivo. A la menor
existencia de choquesy al mayor numero de dientes en contacto, que traen
aparejado un funcionamiento mas silencioso, se Ie suma la ventaja que, tal
disposici6n, permite el empleo de pinones de menos dientes, posibilitando el uso
de. relaciones de transmisi6n mas elevadas, el trabajo a mayores velocidades yel ahoreo de espacio, pudiendose graduar dentro de ciertos limites, la distancia
entre centros. Ademas la inclinaci6n Ie da al diente, una mayor resistencia y
hace posible hi utilizaci6n entre ejes no paralelos.
. r
C e l
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Sin embargo los engranajes con dientes helicoidales adolecen de lossiguientes defectos: un costo ligeramente mayor, aunque su tallado puede
hacerse con herramientas de forma, empleando Ias mismas que para dientes
rectos y un empuje axial sobre uno de Ios soportes, originado por la componen-
te en esa direccion, de la fuerza que transmite la potencia. Los cojinetes deben
entonces disefiarse, de modo que absorban el mencionado empuje, que a su vez
da pthdidas por rozamiento. En los casos en que es posible invertir el sentido degiro, debe colocarse el cojinete de doble accion. .
Una buena manera de anular este inconveniente es montar, cuando esposible, sobre el mismo eje, otra rueda con angulo de inclinacion del diente de
sen.tid? contrario, como se indica en la figura 15-8 0bien usar engranajes
hehcOldales dobles 0a saeta, (conocidos como "herringbone" en los E.E.U.U.y como "a chevron" en Francia); Ios mismos fueron invent ados por Piat y semuestran en la figura 15-9.
Pn Pcmn =- =- CDS 0 0 =me cos 0 0
1T 1T
Longitud del diente "b" a la medida en Ia direccion de su eje.
Ancho de Ia rueda "ba", que resulta:
En general para engranajes helicoidales, Ia suma de los angulos de
inclinacion de Ios dientes "00 "y "00 ", de Ias ruedas "I" y "2" respectiva-
mente, dan el angulo que fobnan los Zejes en el espacio, y como es obvio,tratandose de ejes paralelos debe ser siempre:
cos 001 = COS Oo z = cos 00 (15-13)
Dado que la distancia entre ejes, debe ser siempre Ia semisuma de losdiametros primitivos, que las ruedas deben tener el mismo modulo normal y quesegtin se desprende de Ias ecuaciones 15-8, 15-9, 15-10, IS-II y 15-13, los
diametros primitivos valen:
mn ZI
COS 0 01
mn Zz
cos 00z
FIGURA 15-10
Observando la figura 15-10, podemos definir, en el cilindro primitivo:
Angulo de la helice "00", al formado por el diente y el eje de la rueda.
Paso circunferencial 0frontal "Pc", al paso medido en el plano normal aleje de Ia rueda, de modo que se cumpla que:
1Tdp
Pc= -z-
mnC= --- (ZI + zz)
2 cos 00
Esta formula nos muestra que si bien, con esta disposicion de los ejes,
pueden usarse ruedas de dientesrectos, Ias de dientes helicoid ales Ias reemplazan
con ventaja, cuando la distancia entre centros est:i fijada de antemano, 'ya que
puede satisfacerse esta, variando el angulo "00". Pueden considerarse los engra-
najes de dientes rectos, como un caso particular de los de dientes helicoidales,con Ios angulos de las helices nulos.
Por otra parte, la relacion de transmision que puede transmitirse sin
interferencias puede aumentarse, no solo agrandando el angulo de presion,
como hemos visto, sino tambien aumentando el angulo de inclinacion de los
dientes "00",
Cuando la distancia ~ntre centros 10 permite, conviene usar los angulos"00" normalizados de 15 y de 23. En los casos en que la distancia entre ejes
esta fijada, para una determinada relacion de transmision, el angulo de la helice
esta dado por el modulo adoptado; en efecto de la ecuacion IS-IS resuIta:
Paso normal "Pn" al paso medido sobre el plano normal al eje del diente,de modo que:
Pn =Pc cose ;Modulo circunferencial "me" a la relacion:
Pcmc=-
1 T
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I
II
I!y--IIl...'
- - " " '-Piano circunferenciai -
---------------~
FIGURA 15-11
Sabemos ademas que, en ruedas de dientes rectos, la recta de engrane nos
forma, con 1a tangente,a la circunferencia primitiva, elangulo de presion. En el
casu de dientes helicoid ales el hecho no es tan simple; en la figura 15-11 tenemos
Un diente helicoidal, que ha sido cortado por un plano circunferencial y por
otro normal al eje del diente, formando ambos el lingulo "()o". Siendo la
circunferencia primitiva, la traza del cilindro primitivo 0axoide del movimiento,
sobre er plano que 10 corta, podemos, tener tangentes a aquella en los pIanos
'circunferencial y normal. Las mismas forman sobre el plano tangente al
cilindro primitivo el lingulo "()o'~.Si llamamos "tn" a la tangente al cilindro
primitivo, contenida en el plano normal y "te" a la tangente conte.niJia en elplano circunferencial, puede observarse que el lingulo de presi6n "a", queforma la recta de engrane con "te", 'es aistinto del angulo de presion normal
"an", que determina la recta de engrane con "tn". Cabe agregar que, para que,dos ruedas puedan engranar arm6nicamente, ademas de tener el mismo m6dulo
normal, deben tener el mismo angulo de presi6n normal "an". En la figura
15-12 se demuestra que:
Si, para que un diente se yea con sus verdaderas, magnitudes normales,
cortamos una rueda helicoidal, con un plano normal al eje del mismo, cuya
traza esA-B, en la figura 15-13, la proyecci6n de la misma sobre dicho plano es
una elipse de ejes "dp" y "dp/cos ()b'" Para hallar el numero de pasos normales
\ /\ \ -
, \ d~~,\\ 0
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Como pucdc obscrvarse de la expresion 15-7, al ser el angulo de presion
relativamente pequeno, la diferencia entre "Ob"Y "00" no es muy grande, por
10 que muchas veces se toma:Como el numero de dientes es el diametro dividido el modulo, el numero
virtual de dientes que contiene una circunferencia de radio "p"vale:
2pZn=-
mn
Reemplazando las 15-20 y 15-22 en 15-21 y simplificando, resulta:
dp
zn = 2me cos 0b cos00
dpy siendo m= z, nos queda:
e
/ \ /./"./- - '"- /----- /'- - - . /-.~
/ - . .- -1/' ---'r' "" .p
1 / ,f' 'l \
~ ~I - - . . . . . . ' " r : J ~ \
~ ir . /
:\ /----J. '" /
\ --..:.
\\
Z
zn = co s30 (15-25)
Segun la formula 14-38, tenemos que en el plano circunferencial, elnumero de dientes en contacto esta represent ado por el grado de recubrimiento"8,", que es igual a la 10ngitud de engrane "eo" dividida por el paso "p".
Pero en el plano normal, el engrane se produce desplazandose el diente sobre una
circunferencia que instantaneamente tiene un radio "p" en vez de "dp/2" , por10 que el grado de recubrimiento normal se ve aumentado y teniendo en cuenta
la 15-20, vale: -eN r ) I!'!'E" e e 8, = 8,z, p : ." ,i'~l' (15- 26 )
F ./0, n co', n COS20b 'il:
e " "'I'
fe t
e(l5_27)
En dientes helicoidales, el grado de recubrimiento normal no basta para
tener en cuenta el contacto simultaneo de dientes, por 10 que introducimos la
raz6n de solapado, que es la relaci6n entre la proyeccion del diente, en la
direcci6n circunferencial de la meda y el paso en la misma direccion. Observando
la figura 15-14, vemos que resulta:
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3. Bases para el disefio de ruedas frontales. Para el c31culode engranajes
ciHndricos, podemos generalizar, considerando todas las ruedas como de dientes
helicoidales; las de dientes rectos seran entonces' helicoidales con cingulo de
inclinacion de la helice de cero grados. EI diseno debe estar orientado al caIculo
del paso, 0del m6dulo, en funci6n del cual saldnin las demas dimensiones.
EI ancho del diente, en relacion al paso, puede aumentarse a medida que
crecen las posibilidades de contacto a 10 largo de toda la generatriz del mismo.
LIamaremos longitud relativa del diente a la relaci6n:
bt/J=-
p
que puede adoptarse en principio, para dientes rectos, igual a dos para dientes
fundidos sin maquinar; a tres para dientes fresados y con apoyos comunes; e
igual a cuatro 0 cinco para dientes exactamente tallados, con ejes que no flexio-nan y con excelentes apoyos.
En engranajes de dientes helicoidales, la longitud relativa del diente puedeser mayor, por 10 que puede tomarse:
b>~
cos( Jo
Si son conocidos el numero de vueltas por minuto, de la rueda motora
"nt" y la potencia "N" en CV, sabemos que el momentor torsol "Mt", enkg em, vale:
NMt= 71.620-
nt
La fuerza tangencial "U", aplicada sobre el diente, surge de dividir el
momento torsor por el radio de la rueda 0 10que es 10 mismo:
2MtU=--
dpt
Introduciendo en esta el momenta dado por la 15-32 y reemplazando eldiametro primitivo' por:
450.000NU=----
Pc Zt nt
450.000N cos 00
Pn Zt nt
4. Determinacion del paso. Colcula closico de resistencia del d.ente.
Formula de Lewis. Dado que las dimensiones de las ruedas son funciones del
mOdulo 0 del paso, el c31culo debe dirigirse a hallar uno de eIIos. Tal determina-
cion puede .hacerse, en primera aproximaci6n, por medio de las clasicas
formulas de caIculo de engranajes.- Entre los metod os clasicos tenemos: los del caIculo basado en la resistencia
del diente (entre los cuales se encuentra muy difundido el metodo de Lewis) y
las verificaciones alas cargas dinamicas y al desgaste, introducidas por Buckin-
gham. Estos estan normalizados- en los EE.UU.
Entre los nuevos criterios de c31culo, que partiendo de semejantes
hip6tesis, dan resultados mas precisos, como consecuencia. del anaIisis de
muchos factores de importancia, se destaca el metodo, de Niemann, originario
de Alemania Occidental y usado en Europa.La formula de Lewis se basa en el siguiente razonamiento: si durante el
engrane, observamos el desplazamiento del punta de contacto, en un dientede una rueda, vemos que aqucH se desliza a 10 largo de casi todo el perfIl.Como la transmision del esfuerzo se realiza, en el punta de contacto en forma
perpendicular al flanco, la fuerza normal "Fn" nos origina esfuerzos de flexi6n,
de compresi6n y de corte, enel diente. La tension masimportante es la
de flexion la cual es maxima cuando la fuerza "Fn" actUa en la cuspide.Si como s~ ha hecho en la figura IS-IS, prolongamos la fuena normal hasta
cortar al eje del diente, en un punto tal como el "A" y descomponemos la
mencionada fuerza en una tangencial "Ft" y otra radial."F,", el momenta flexor
"M" sobre el diente, considerando como una viga empotrada, sera:
t
FIGURA 15-15
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Trata~,do solamente la flexion simple, es decir despreciando los efectos de
I~ ~~mpresIOn y el corte, la tension de trabajo "aj' es el momenta flexordiVldI~Opor el modulo resistente "W", que en este casu es el de un rectangulo
que hene por base el ancho "b"ypor altura la longitud "t"del diente, es deci/
M 6Fthar=-=--
W b t2
dada en 15-33, que actua sobre el mismo. 19ualando y operando lIegamos a que,
para el casu de dientes rectos, donde el paso es unico ("U" de la 15-35 con"Ft" de la 15-41) el paso en em., es igual a:
-----p = 766 .3 1 .N (15-43)
, V o w 1/1y ZI nlPara el casu de dientes helicoidales, igualamos "U" de la 15-36, con "Ft" de la15-41 y obtenemos que el paso normal en cm., vale: .
[:76.6
1 . : ; ; : ' ; : , - - 1 (15-44)
Formula que tambien es valida para dientes rectos, pues tomando "00= 0" la15-44 se hace igual a la 15-43.
Como "t"y "h" son funciones lineales del paso, podemos poner que:
t
2
6h = Y P (15-39)
Don.~e"y"es u~ factor de forma, que depende del tipo de perfIl, del lingulo de
preSIon y d.el numero de dientes en cuestion, y que se encuentra en las tablas15-1 para dlentes rectos y 15-2 para dientes helicoid ales.
~i ~n !~formula 15.-~8, reemplazamos la tension de trabajo a flexion delmatenal ar, por la tensIOn real de trabajo del diente "aw"e introducimos elvalor de la 15-39, nos queda:
Expresion
normal.
La tensi6n de trabajo "aw" tieneoperani el engranaje y se hace igual a:
5. Verificaci6n a. cargas dintimicas y a desgaste. Formulas de Buckingham.
EI caIculo clasico de engranajes, se ha perfeccionado a partir de 1949, fecha enque Earle Buckingham, en su "Analytical Mechanics of Gears", introduce la
verificacion de las ruedas a cargas dinamicas y a desgaste*.
Para la primera de ellas parte del hecho de que el error 0juego, entre los
dientes de las ruedas, permite que el organo motor actue en vacio, durante un
muy pequeno instante, imprimiendole a la conductora, una aceleracion que,
multiplicada por la masa que arrastra, da una fuerza adicional dinamica "Udin"
que va a golpear sobre la .rueda conducida, sumlindose a la carga tangencial "cr'Es decir que el diente sufre una solicitaci6n total "Uw" dada por:
Uw = U+ Udin (15-45)
Establece a~mas que la carga adicional dinamica debe ser calculada
mediante:
Ft= aw y P b (15-40)
Reemplazando el ancho del diente "b",por el obtenido de la 15-29, resulta: '
Ft= y 1 /J p2 aw (15.41)
mas ~imple de la formula de Lewis, donde "p" representa el paso
aw= artfJv tfJ s (15-42)
La tension de flexion "aj' esta dada, para distintos materiales en la tabla15-3.
El factor "tfJs" tiene en cuenta el tipo de carga y de servicio y puedehallarse en la tabla 15-4.
El coeficiente "tfJv" tiene en cuenta la velocidad y vale en funcion de estatomada en m/min: '
Udin = 0,113 V(U+ Cb c os20) cosO
0,113 V+ v'U+ b cos20
Donde es: "V"la velocidad tangencial, en m/min, medida sobre la circunferencia
primitiva; "U" la fuerza tangencial, dada en kg, por la 15-36; "b" el ancho del
diente, en cm y "c" el factor dinamico de deformacion que, en kg/cm2, vale:
183tfJv = 183 + V
366tfJv = 366 + V
C= xl1 1
-+-1 2
Donde "X' es una constante que vale: 0,0107 pa,ra engranajes con lingulo depresion de 1430' 6 " de 15; 0,0111 para engranajes con lingulo de presion de
20 y 0,0115 para engranajes con lingulo de presion de 20 y de altura de cabeza
reducida; "1" Y "2"son los modulos de elasticidad de los materiales de las
ruedas y "/" el error total que, en funcion de la precision del tallado, se da
en la tabla 15-5. Este error 0juego entre los dientes debe ser menor a medida que
43tfJv=
43+vv Para V> 1312 m/min y dientes rectos 0para cual-quier velocidad en dientes helicoidales.
Por otra parte, la fuerza tangencial que resiste el diente "F" dada p I. . d L . .., t , or aexpreSlOn e ewlS, lormula 15-41, debe ser por 10 menos igual a la carga"U", * Buckingham. Spur Gears. Mc Graw Hill Book Company, Inc.
Buckingham. Analytical Mechanics of Gears. Mc Graw Hill Co., Inc.
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UUl1\cntllIII volocldlld pUrl t no hocer cr{ticos 108fuorz08 dlnfunlcas y para ovltar
que lUll engrunll.los sOlin ruldosos, En 10 tabla 15-6 se da 01valor m6.xlmo que
pnodo tonor "[", en mm, para las distintas velocidades tangenciales,
I,a cargll total dinamiea "Uw" hallada de este modo, debe ser resistida
pOl' cI diellie 0 sea que debe ser menor que la que puede resistir el mismo "Pt"calculada segun la 15-41.
La segunda verificacion propuesta por Buckingham radica en calcular que
la tension de contacto entre los dientes no sea 10 suficientemente elevada como
para producir un prematuro desgaste.
Se ha visto en el item 5 del capitulo III, que Hertz determin6 que Iii
presion entre las superficies dedos cuerpos, origina un area de contacto cuya
forma depende de la curvatura de aquellos y cuyas dimensiones son proporciona-les a la fuerza de compresion y a la osculacion de las superficies e inversamenteproporcional a 10s modulos de elasticidad, de 10s materiales, de 10s cuerpos en
contacto. Seg6n la expresion 3-56, para el caso de dos cilindros como el de la
figura 3-10, la maxima tension de compresi6n esta dada por:
_1 +_1R1 R2
1 l'-+-E1 E2
En ruedas dentadas, Ia presion Feal apIicada en Ios flancos, no coincide
exactamente con la presion hertziana, debido a que el proceso adicional de
rodadura, el movimiento deslizante en Ia direccion tangencial al perfil y el
estado de lubricacion, originan cambios en la magnitud de la distribucion de
la carga. No obstante ell0 como se mantiene la proporcionalidad de esta,
Buckingham basa sus calculos en la expresion de Hertz, tomando como radios de
curvatura 10s de cada uno de 10s perfiles, en el punto de contacto y lIega a que
la carga limite de desgaste "Us", que es capaz de resistir un determinado
engranaje, esta dada por:
0,17 P
b
Doride el factor "K" que vale:
K = uc2
sena (_1_ +_1_) .1,4 E1 E2.
"a" es el angulo de presion, "E1"Y "E2" son 10sm6dulos de elasticidad de 10s
materiales de las ruedas en contacto y " u c " la tensi6n superficial admisible quepuede hallarse, en funcion del material en la tabla 15-7. En esta ultima se da
tambien ya calculado, el factor "K" para ruedas frontales.
"Q"es.una razon que vale:
En ella el signo positivo de "z 1"es para engranajes exteriores y el negativo es
para engranajes interiores.
Lu cllrgu "(1'/' dehe ser mayor que la fuerza total "Uw" que solicit a a larueda. dada pOI' la 15-45.
6. Nuevas criterios de calculo de engranajes cilfndricos. Formulas de
Niemann. La f6rmula de Lewis considera que la carga act6a en un solo diente y
que 10 hace en el extremo del mismo, sin tener en cuenta el grado de recubri-
miento del dent ado, 10s exfuerzos secundarios de corte y de compresion, lalubricacion, etc; todo 10 cual trae, en la mayoria de los casos, errores groseros.
Por otra parte, a pesar que en el calculo elasico de engranajes, las dimensiones
halladas en base de la resistencia del diente, se verifican, alas cargas dimimicas y
ul desgaste, por medio de las formulas de Earle Buckingham, en la mecanicamoderna se hacen necesarias verificaciones mas precisas.
Para dar un metodo de calcul0, que nos de resultados compatibles con un
huen funcionamiento posterior del engranaje, seguimos, el criterio presentado
pOI' G. Niemann, en el V.D.I. y en su "Maschinenelemente. Entwerfen,
Berechnen und." Para csto, necesitamos en primer lugar, defmir la fuerza
langencial unitaria 0 indice de carga "B", que esta dada, en kgjmm2, par la
liJCrza tangencial "U" dividida por el area proyectada de la rueda, "b" por"tip 1", es decir:
En los calculos, se reemplaza a "B", pOI' el indice de carga real "Bw",
que vale:
I>onde"Cs", "CD", "Cr" Y "Co" son coeficientes correctivos que analizaremos
detenidamente.
Te6ricamente un engranaje transmite una potencia "N",pOI media de un
momenta torsor "Mt" constante y permanente durante el engrane, sin embargo
aquella potencia es transmitida par media de un momenta, mas a menos
variable entre deterrninados limites, segun cual sea la maquina motora y cualla
lIuiquiria accionada. Es necesario entonces, tener en cuenta en 10s calculos el
momenta torsor maximo instantaneo "Mtma ", en lugar del momento torsor
mcdio "Mt". De ell0 surge la necesidad de aPticar un factor de variacion de lacarga "C/', que valga:
y que se da en la tabla 15-8.
Por otra parte, debido al error 0 juego entre los dientes de las ruedas, surge
una fuerza adicional dinamica, que va a golpear sobre el diente de la rueda
conducida, sumandose ala carga original. Llamando carga tangencial especifica
"u", ala fuerza tangencial "u" actuante par cada mm de ancho "b",result a:
Uu =
-, ; = B dp1
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30
[5 . . .II. . . .
~25 c'
-f.
C . / "~
II
*20
La carga tangencial especifica real "uw" esta compuesta por dicha fuerza
"u". mas la carga adicional din8mica "Uw din", de modo que:
Niemann ha hallado experimentalmente que, para valores constantes de la
rclaci6n:
(donde /:' es el error total 0juego maximo, del dentado), la carga adicional,dinamica "Udin" crece con el aumento de velocidad, tal como puede apreciarse
(m el gflifico de la figura 15-16.
En los cwculos, una vez hallada la presi6n din8mica "Udin" en funci6n de
In 'Velocidad, para el valor calculado de la constante "K", debe tenerse la
prccauci6n de asegurarse que aquella cumpla con 1a condici6n:
Para el dentado helicoidal es necesario introducir el recubrimiento de
saito 0 raz6n de solapado "&s", debido a que dicho solapado, reduce proporcio-
nalmente la fuerza adicional dinamica, resultando:
UdinU ----Wdin - 1 + & s
Para introducir el coeficiente din8mico "CD", que tenga en cuenta la
carga adicional din8mica, se parte de que:
B Cs + Bdin Bdin UWdinCD = = I + -- = 1+ --
B Cs BCs U Cs
y teniendo en cuenta la 15-59, nos queda finalmente:
Ud oCD = 1+ III
U Cs (1+ & s)Por otra parte, al producirse el engrane entre dos ruedas cilindricas, en la
mayoria de los casos bajo la acci6n de una carga de trabajo no se produce un
1'01llUl'I0puwjo U10 hllf(odl~lodo el diellle dehido a UJI error ell la direcci6n del
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1 01llUl I0puwjo U10 hllf(odl lodo el diellle, dehido a UJI error ell la direcci6n del
llullco "JI~" (pl'Oducido por lIl1error en el lallado 0pOf faIta de parale1ismo delos l'les, sea por flexi6n 0 falta de alineacion de Ios mismos). Para observar esto
husturll pilltar ulla de Ias ruedas con azul de Prusia yhacerlas trabajar un instante
pUla ohservar cI contacto sobre Ia otra rueda. Puede verse entonces que Ia
10llgitud de contacto, puede 0 no ser igual al ancho del diente y que, a 10largo
dc la lougitud real de contacto, Ia presi6n de la carga no ha sido uniforme.
Tratandose de ruedas nuevas sin asentar, la carga actua te6ricamente en
1 1 1 1 punto extremo del diente, pero en la realidad por ser el diente ehistico, con
Ilila constante de restituci6n "C/' determinada, se deforma y Ia superficie demill acto se extiende, en forma proporcional a la magnitud de la carga aplicada.
Por otra parte, durante la rodadura, a medida que el diente va asentandose,
la repartici6n lineal de tensiones, desde un extremo a otro, pasa a tener una
Icy dc variaci6n cubica, debido a que el diente va gastandose en cada punta en
IOllna proporcional a su carga.
En Ias figuras 15-17 y 15-18 se presentan respectivamente las leyes de
rq>artici6n de cargas especificas "u", segun que Ia longitud real de contacto
"h'" sea menor 0 sea igual al ancho del diente "b". En ambos casos vemos que
la presion media es:
Uurned =b
y que la carga especifica sigue una ley lineal para ruedas nuevas y una ley
dlhica para ruedas rodadas.Para tener en cuenta este efecto, se introduce un coeficiente de repartici6n
de la carga "Cr", definido como:
urna xCr=--
urned
Introduciendo la constante de restituci6n elastica del diente "C/' (fuerzade restitucion dividida por un mm de ancho, por un micron de flecha de flexion)
y el error de direccion "fR" en micrones (que en el caso de ruedas asentadas se
llama "fRw"), podemos poner que:
b'urnax = Cz fR w - (15-65)b
Los valores de la constante de restituci6n "C/' pueden obtenerse de latabla 15-9 y Ios del error de direccion de f a tabla 15-10.
De las ecuaciones 15-63, 15-64 y 15-65 se obtiene que:
b' Ci fRwCr= ---- (15-66)
U
b fRw CzT=---
U
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/ J '
Or=1'b
En la pnictica es conveniente calcular "CT" con el valor real "1"" de
"1''', obtenido como:
,. l'l' =--
Cs C D
b 'CT = 1 " _ .-
b
Si se tiene absoluta seguridad de que el diente apoya en toda su longitud,
es decir "b' = = b", puede sacarse el valor de "CT" en funci6n de "1"" de latabla 15-12. En cambio si "b'< b", se hace necesario conocer la relaci6nb' /b ; para 10 CUaldebe medirse, sobre el cir.culo primitivo, cual es el contactocon una fuerza tangencial de prueba "Up". Hallada la relaci6n "b'/b" se puede
calcular el coeficiente de prueba "Tp", de la tabla 15-11, que es en forma
semejante a 15-67:
b fRw Cz
Up
1" = Tp UpUCs CD
sutgida de igualar "b fRw C/' de las ecuaciones 15-70 y 15-71.
Con el nuevo valor de "1"" puede irse recien a la tabla 15-12 y hallar "CT"
La calidad de terminaci6n y el tipo de lubricaci6n a usar, deben adoptarse,
en funci6n de la velocidad tangencial de la tabla 15-10 0 del grafico de la
figura 15-19. .En dientes helicoid ales, la capacidad de carga es modlficada por las
fracciones de dientes que engranan simultaneamente y por la desigual flexibilidad
de los mismos, en distintas partes. En estos casos hay que tener en cuenta,
ademas del grado de recubrimiento "8.", la raz6n de solapado "8.s". La repar-
tici6n de la carga tiene forma sinusoidal, con el minimo en los extremos delsegmento de engrane y la amplitud de la variaci6n disminuye a medida que
aumenta el angulo de inclinaci6n del diente, haciendose nula para "00"
igual a 45.Si representamos las trazas de los dientes en contacto, 'sobre un plano
tangente a los cilindros primitivos, en la generatriz de contacto, vemos como
varia la longitud efectiva, con las sucesivas posiciones de las ruedas. En la
figura 15-20 hemos hecho esto para un engranaje de dientes rectos, que tiene
, ",ffllfliWI,I"
.lItllll ""'111
3000
Velocidad m/min
111111Itllljl,lIud relativa "if;" igual a 3,3 y un grado de recubrimiento "8." de
1."\ 1'01 10que el numero de dientes en contacto es uno 0dos (este ultimo enIII ,,',''', lh~ los casos).
hI III figura 15-21, en cambio hemos hecho 10 mismo para un engranaje
11.11101"111,que aunque tiene la misma longitud relativa del diente y el mismo
.111110th. recubrimiento, por tener los dientes inclinados un angulo "00= 10"V pOI I'IIlIsccuencia una raz6n de solapado, 0recubrimiento de saito" 8.s= 0,58"III1lIIII(ltudcfectiva de contacto varia entre "1,3b" y "2b".
hi cl caso de la figura 15-22, se han mantenido constante la longitud
,,,lllllvlI dcldiente y la raz6n de contacto, pero se ha aumentado el angulo de
11l1lhIlH'j(lI\de los dientes a "00 = 27~", resultando una raz6n de solapado"I~," 111,11111a 1,70 y podemos observar que la longitud efectiva de contacto
"" " vllri entre "1,5 b" Y "1,75 b".('01110la amplitud de la carga varia con "b'''"para cada instante del
III1MIIIIl!1y como a su vez.Jjene una distribuci6n no uniforme, a 10 largo de la
11111'11t1(~contacto, introducimos el coeficiente de inclinacion de los dientes
"( '0" que depende exclusivamente de la raz6n de contacto 0 grado de recubri-
11111'1110de saIto y que se halla tabulado, en funci6n de estas, en la tabla 15-13.
I, Vcrificaci6n de la carga en el pie del diente. Seguridad contra la rotura
"'\'1/". A pcsar que los metodos clasicos de caIculo consideran solamente la
1l'"INll'ucilla flexi6n del diente, sabemos que, sobre el mismo, tenemos ademas de
\1\111l!lIIsi( lI1d e flexi6 n "at", originada por "Ft", una de compresi6n "ab",
Ihlhltlll II "II~" Y una tension de corte, producida cuando el punto de contacto se
11,1'11'11IIIpie del diente, "7".
Ohservando la figura 15-23, vemos que aquellas valen:
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~-~-~-- -
C = 1,65Cs= 0
I f.Q
II
":Q
1
C = 1,65cs_= 0,58
C
= 1 ' 6 5 lcs=1,70
\--
'-r-'h~
r . I IA . B--L
I = - ~ - = - +~= - ~I
I .
I
I! I J I I l l I I I I [ p - ~ 1 1 1 1 1 1i l l ubI .
I
FIGURA 15-23
Mf Ft h'
uf=T V = b t2
6
Fr Fn sen anub = -- = --- - =
bt b t Ft
Tmed = bt
La tensi6n maxima nominal puede ser hallada mediante:
Ft tgan
b t
La tensi6n de corte, en la base del diente, es mayor que la tensi6n
tangencial media y vale "v = 2,5", valor que introducido, junto con los valoresde las tensiones dadas en 15-73, 15-74 Y 15-75, en la ecuaci6n 15-76, nos da
operando que:
F i ------ ._-IV1,4
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F iOn =---'-r---
b t
, _.__I ( 6 6/h' ) 2V -t- - tgOln + 6,25
Ahora bien, en el c31culo cliisico de Lewis, haciamos "Ft = U',' peropor ser:
2MtU=--
dp
esta actua sobre e1 circulo primitivo, formando el angulo "
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lulluno lII11uhlllte:
Vm +-
n 4
8 > w = I + (8)n - I ) fm +-
n 6
)onde "t" es el error en accion total 0juego maximo y se 10toma igual alnayor de los errores del dentado y "V" es la velocidad tangencial en m/seg.
S i se tom a la precaucion de empaImar el perfil del diente con la
;ircunferencia de raiz con un radio:
10. tiene importancia la concentracion de tensiones en esa zona, salvo que se
e produzcan estrias 0 escalones durante el rectificado, por 10 que puede
:omarse la tension admisible "aadm" igual a latension de fatiga "at dada ena tabla IS-IS.
Por el contrario, en caso de hacerse el radio de empalme del perfil, con la
;ircunferencia de base, menor que 0,2 modulos, debe afectarse la tension de
atiga con el coeficiente de concentracion de tensiones "(3k", dado en la
abla 15-16, en la forma:
at
aadm= 7 3 ; ;Para tener seguridad contra la rotura del diente, es necesario comparar la
ension nominal obtenida como:
an' = z q B w (15-90)
xpresi6n surgida de reemplazar el valor real"Bw" por el de "B" en la formula
15-80), con la tension admisible, dada por 15-89; obteniendose el factor "SB"
or medio de:
aadm aadmSB =-- =
an Bw z q
SB ~ 1, 5 a 2 Para servicio intermitente.
SB ~ 1 ,8 a 2 Para servicio continuo.
erificacion que debe hacerse para ambas ruedas con los valores corres-
ondientes.
8. Tensiones de contacto en 10s dientes. Seguridad contra el picado de 10s
7ancos "SG". Niemann tambien basa sus caIculos de tensiones de contacto en
s dientes, en las experiencias de Hertz. Para ello expresa la 3-54 (y tambien
5-48) en la forma:
(_1 +_I) = 5,8(_I +_I ) ~= kR1 R2 1 2 2
introduciendo el valor "k"que tiene fundamental importancia porque tiene la
ventaja de ser proporcional a la carga "B" y hace:
La experiencia dice que el picado se inicia en el pie de los flancos (zona
de resbalamientos hegativos), por 10 que el maximo valor de "k"se presenta:para la rueda mas pequefia "I" en el punto "1" de la figura 15-24, donde vale:
k2 = kc = (1 +i) Yc B
Niemann demuestra que "Yc" vale:
Yc= -----senao cosao
kc YcY& =-=-
k1 Yl
. 21 T( I- 8> IW )Y&=1------
zln tgao
fu wcuando la rueda "I" .e.s la motriz: t> - f u
"'IW - n1 fu n
cuando la rueda "2" es la motriz: fu l w = = 8> n1
Si bien estamos ya en condiciones de determinar los valores de "k" para
ambas ruedas, ello es cierto si tienen dientes rectos, ya que en el caso de dientes
helicoidales, hay que tener en cuenta el factor "Y8" que vale:
cos4 8bY8 =
COS 80
(e} cual ya esta dado en la tabla 15-17, para engranajes con angulo de presion
normal de 20) y hallar los valores eficaces:
YcY8YIW =--
Y&
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Hallada la carga "kw" que solicita al diente, debe calcularse la resistencia
de los flancos al poseado "kD" mediante:
Para cstudios mas profundos, recomendamos recurrir a "Maschinenele-
mente. Entwcrfcn, Bcrcchnen und" de Niemann (Traducido al espanol como
"Tratado tc6rico pnictico de elementos de maquinas" Editorial Labor), donde
se presentan cl metodo de verificacion de la seguridad contra el engrane de los
flancos, segun cllsayo de lubricantes, y la comparacion de la vida a plena carga.
El 'coeficiente "YG" tiene en cuenta los mOdulos de elasticidad de losJIIateriales en contacto y vale:
YG = 1 Para ruedas de acero.
YG = 1,5 Para ruedas de fundicion gris.
2,1 X 106YG =0,5 + ---- Para ruedas de un m aterial de m odulo de
2 Eg
dasticidad "Eg" distinto de "E= 2,1 X 106".El coeficiente "yH" tiene en cuenta la dureza superficial y vale:
('uando la dureza de los flancos difiere del valor de"HB" dado en la tabla 15-15
y cs menor de 650.
El coeficiente "ys" depende de la viscosidad cinematica "p" del aceite, en
ccntistokes, dada a la temperatura de funcionamiento y puede sacarse de
la tabla 15-18.
El coeficiente "Yv" depende de la velocidad tangencial "V" en m/seg y
vale aproximadamente:
0,6
1 + (~ fPor ultimo, la tension de fatiga superficial del material "ko" puede
obtenerse de la tabla 15-15. .
La comparacion entre el valor "~D" que resiste el diente al picado, con
cl valor "kw" que 10 solicita, nos da la seguridad "SG"
SG = kD = kD ( 1 )kw Bw Yw 1 + 1
Debiendo resultar, tanto para el pinon "1" como para la rueda "2" comprendido
entre:
TABLA: 15-1. FACTORES DE FORMA "y"
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PARA RUEDAS DE DIENTES RECTOS TABLA: 15-2. FACTURES DE FORMA "y"
PARA RUEUAS DE DJENTES HELICOIDALES
N'Imero Perfil Perfil Pinones Sistema Engranajes interiores
0
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Tension de Tension de
Material rotura flexion
au at
Fundlcion corriente 1.400-2.100 500-600
Fundicion de buena mlidad 2.100-2.400 600-800
Bronce fosforoso para engranajes SAE 63 2.000-2.200 600-750
Bronce fosforoso para engranajes SAE 65 2.300-2.650 750-850
Acero 1020 Cementado y templado 3.700-3.900 1.150-1.300
Acero 1030 Tratado termicamente 4.200-4.400 1.500-1.800
Acero 1035 Tratado termicamente 5.000-5.300 1.650-1.950
Acero 1045 6.000-6.300 2.100-2.200
Acero 1045 Templado 6.500-6.800 2.500-2.800
Acero 1050 Templado 7.000-7.400 2.600-2.900
Acero 2320 Cementado y templado 7.100-.7.400 2.800-3.300
Acero 2345 Templado 7.700-8.000 3.300-3.850
Acero 3115 Cementado y templado 7.000-7.300 2.550-2.750
Acero 3245 Templado 8.400-8.700 4.450-4.700
Acero 4340 Templado 8.500-8.900 4.300-4.900
Acero 5140 Cianurado 9.000-9.500 3.900-4.400
Acero6145 Iemplado 9.000-9.500 4.000-4.400
Tipo deTipo de carga
servicio Choques Choques Choques
diario Estatiea Oseilante
pequefios medianos grandes
Minutos 1,25 1,15 1,05 0,90 0,70
Hasta 6 horas 1,20 1,10 1,00 0,80 0,65
De 6 a 12 hs 1,00 0,90 0,80 0,65 0,60
Mas de 12 hs 0,90 0,80 0,70 0,60 0,55
24 horas 0,80 0,70 0,65 0,55 0,50
Modulo
Tallado con
I25 12 8 6 5 4 3
Fresas de forma 0,120 0,100 0,080 0,060 0,055 0,050 0,043
Creadoras 0generadoras 0,060 0,050 0,040 0,030 0,028 0,025 0,022
Gran exactitud 0,030 0,025 0,020 0,Q15 0,014 0,012 0,011
TABLA: I:H>. ImIHlI{ I :N A( ( I0N .. MAXIMO. EN 111111
EN FUNCION II!" I.A VFH)('IIlAI> I'ERISI'ERICA "V" EN Ill/mill.
V 75 1511 22~ ]00 , 375 450 525 600 675
.-_ .- _ _ __ 0
e 0,094 O ,O H O 0.071 0,061 0,055 0,045 0,043 0,040 Q,035
. - - - - -,", . . -
V 750 82) 900 975 1.050 1.100 1.225 1.375 1.525
--,..
e 0,030 0,025 0,023 0,022 0,020 0,017 0,015 0,014 0,012
PINON DE RUEDA FACTOR "K"ACERO
ae
DurezaMaterial
DurezaKg/em 2
Brinell Brinell 0/= 1430' 0/= 20
150 Acero 150 3.515 2,1 2,9
200 Acero 150 4.220 3,0 4,1200 Acero 200 4.920 4,1 5,6
250 Acero 150 4.920 4,1 5,6
250 ~cero 200 5.625 5,4 7,3
250 Acero 250 6.325 6,8 9,2
300 Acero 200 6.325 6,8 9,2
300 Acero 250 7.030 8,4 11,4
300 Acero 300 7.730 10,2 13,8
350 Acero 250 7.730 10,2 13,8
350 Acero 300 8.430 12,0 16,4
350 Acero 350 9.140 4,2 19,4
400 Acero 300 8.780 3,1 17,9
400 Acero 350 9.850 16,4 22,5
400 Acero 400 10.550 19,0 25,7
150 Fundici6n - 3.515 3,1 4,3
200 Fundici6n - 4.920 6,2 8,4
250 Fundici6n - 6.325 10,2 13,8
150Bronce
Fosforoso - 3.515 3,1 4,3
200Bronce
FosfolOSO- 4.930 6,4 8,6
250Bronce
Fosforoso - 5.610 9,4 14,1
I~~" I " ' "
I,~" I '
I~:l,
1 1 4
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MAQUINA MOTORA
ACC/ONADAMotor
Turbina Motor Motor
electrico Multi- Mono-
. cilfndrico ciUndrico
Generadores. Transportadores de cinta.
Ventiladores. 1,00 1,20 1,25 1,5
Transportadores de cadenas. Montacargas.
Ligeros compresores. Batidoras y mezcla- 1,05 1,25 1,25 1,5
dorasde densidad uniforme.
Maquinas herramientas. Montacargas pesa-
dos. Batidores y mezcladores de densidad1,25 1,5 1,5 1,75
no uniforme. Bombas a embolo multici-
llndricas. Ventiladores de minas.
Balancines. Prensas. Punzonadoras. Ciza1las.
Trefiladoras. Larninadoras. Dragas. Centrf- 1,75 2 2 2,25
fugas pesadas.
TABLA: 15-9. VALORES DE LA CONSTANTE
DE RESTITUCION DEL DIENTE "Cz"
Materiol de los dientes del engranaje Cz
Acero sobre acero. 1.000
Acero'sQbre fundici6n gris. 750
Fundici6n gris sobre fundici6n gris. 550
" I " ' "..'Ij.~~/(~l rt
I C"J
~J I . E ln
dI
..I(,~ ,,(1)
. . . . . . . .
< 1 < l
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I n I
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~ 1 3 00. . . - l (f) ~'
+ t ~~ 0 00..M-.t
TABLA: 15-11. VALORES V'li "Tp" PARA "b'< b". . .
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h'/h ' I f l 'Ip
"'/b Tp Tp b'/b
Tp Tp
fll.lt'VO a.ventado nuevo asentado nuevo asentado. _ . _ - _ .._~ -
I 2,00 1,33 0,75 3,50 2,35 0,5 8,00 I 5,330,95 2,2 1,50 0,7 4,05 2,70 0,45 9,90 6,60
0,9 2,45 1,60 0,65 4,70 3,10 0,4 12,20 I 8,200,85 2,75 1,85 0,6 5,50 3,7l:l 0,35 16,10 10,80
0,8 3,10 2,05 0,55 6,60 4,30 0,33 18,00 12,00
TABLA: 15-12. VALORES DE "CT" EN FUNCION DE "T'"
SEGUN G. NIEMANN
T' CT CT T'
CT Ct T' CT CT
nuevo asentado nuevo asentado nuevo asentado
0 1,00 1,00 0,6 1,30 1,15 2,5 2,25 1,82
0,1 1,05 1,025 0,8 1,40 1,20 3,0 2,45 2,00
0,2 1,10 1,05 1,0 1,50 1,25 4,0 2,83 2,31
0,3 1,15 1,075 , 1,2 1,60 1,30 5,0 3,17 2,59
0,4 1,20 1,10 1,5 1,75 1,41 6,0 3,47 2,83O ,S 1,25 1,125 2,0 2,00 1,64 7,0 3,75 3,05
~0,8 0,9 1 ,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
0,2 - 2,15 1,26 1,19 1,12 1,09 1,06 1,04 1,03 1,01 1,00 \ ' 0 - ; 9 0 - - {},70
0,4 - 1,86 1,40 1,28 1,20 1,14 1,09 1,06 1,04 0,97 0,89 0,80 0,70
0,6 - 1,77 1,49 1,32 1,22 1,17 1,12 1,03 0,95 0,88 0,81 0,76 0,70
0,8 1,96 1,68 1,48 1,32 1,22 1,14 1,05 0,97 0,90 0,85 0,79 0,75 0,70
1,0 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 0,89 0,84 0,78 0,74 0,701,2 2,10 1,73 1,47 1,31 1,20 1,11 1,02 0,96 0,90 0,85 0,80 0,75 0,70
1,4 2,06 1,73 1,50 1,33 1,21 1,12 1,03 0,97 0,92 0,86 0,79 0,75 0,70
1,6 1,98 1,71 1,48 1,33 1,21 1,13 1,05 0,98 0,91 0,85 0,78 0,74 0,70
1,8 1,90 1,64 1,46 1,31 1,20 1,12 1,03 0,96 0,90 0,84 0,78 0,74 0,70
2,0 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 0,89 0,84 0,78 0,74 0,70
2 ,2 1 ,9 2 1 ,6 3 1,43 1,30 1,19 1,10 1,01 0,95 0,89 0,84 0,80 0,75 0,70
2 ,4 1 ,9 1 1 ,6 5 1,44 1,32 1,20 I,ll 1,02 0,96 0,90 0,84 0,79 0,75 0,70
2,6 1,87 1,63 1,44 1,32 1,20 1,11 1,03 0,96 0,89 0,84 0,79 0,75 0,70
2,8 1,82 1,60 1,43 1,32 1,19 1,10 1,01 0,95 0,89 0,84 0,79 0,74 0,70
3,0 1,75 1,56 1,40 1,28 1,17 1,08 1,00 0,94 0,89 0,84 0,78 0,74 0,70
Numero Perfil del dientede I- .---_._----.
dientes Correccion positiva. x = Normal C. Negativa. x =
ZoZn I 0,75 0,50 0,25 0 - 0,25 -0,50
12 1,70 1,90 2,21 2,66 3,39 - -
14 1,73 1,91 2,18 2,57 3,14 4,00 -
16 1,77 1,92 2,17 2,51 3,00 3,73 -
18 1,80 1,93 2,15 2,47 2,88 3,50 -
20 1,82 1,95 2,15 2,43 2,80 3,34 4,08
22 1,84 1,96 2,15 2,40 2,72 3,20 3,86
24 1,86 1,97 2,15 2,37 2,68 3,10 3,66
26 1,88 1,98 2,15 2,35 2,63 3,02 3,52
28 1,89 1,99 2,15 2,33 2,59 2,95 3,42
30 1,90 2,00 2,15 2,32 2,56 2,90 3,32
35 1,93 2,02 2,15 2,30 2,50 2,79 3,12
40 1,96 2,04 2,15 2,28 2,46 2,70 3,00
50 2 ,00 2,07 2,16 2,26 2,40 2,60 2,82
70 2,04 2,10 2,16 2,24 2,33 2,47 2,63
100 2,08 2,12 2,17 2,22 2,29 2,37 2,49
200 2 ,12 2,15 2,18 2,21 2,24 2,26 2,3300 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20 2,20
TABI.A: 15-15. CARACTERISTlCAS DE ALGUNOS MATERIALES
USAnos PARA ENGRANAJES
8/10/2019 Elementos de Maquina 3
21/23
USAnos PARA ENGRANAJES
Dureza Tension Tension Tension
Brinell "ko" de rotu- de rotu-MATRIAL en el kg/mm2 ra a ra POl'
flanco traccibn fatiga "u/'
HB kg/mm2 kg/mm2
l,'undici6n gris sin alear 170 0,19 18 4,5
Fundici6n gris aleada 210 0,33 26 6,0
Acero fundido 150 0,22 47 15
Acero SAE 1035 sin tratamiento 150 0,36 50 18,5
Acero SAE 1045 sin tratamiento 180 0,52 60 20,5
Acero SAE 1060 sin tratamiento 205 0,70 70 23,S
Acero SAE 3230 bonificado 260 0,80 90 30
Acero SAE 4140 boiJificado 300 0,80 110 31,5
Acero SAE 3240 templado en bafio de
cianuro 590 4,30 190 32
Acero SAE 5530 nitrurado y templado
en atm6sf. de gas. 700 3,50 150 45
Acero SAE 4140 nitrurado y tempIado
en bafio. 660 2,70 150 58
Acero SAE 4140 nitrurado y templado
pOI inducci6n 615 4,50 110 35
TABLA: 15-16. COEFICIENTE DE CONCENTRACION DE TENSIONES
"ak" Y "{Jk" PARA EL PIE DEL DlENTE
IIp k"
"rim" "ak" Acero templadoup =90 Acero 1045 sin 1035 sin
kg/mm2 Cementado Tratamiento Tratamiento
0,06 1,55 1,35 1,25 1,15 1,13
0,08 1,40 1,27 1,20 1,11 1,10
0,10 1,30 1,20 1,15 1,08 .
1,07
0, 12 1 ,2 1 1,15 1,11 1,07 1,06
0,14 1,16 1,11 1,08 1,07 1,05
0,16 1,10 1,08 1,06 1,03 1,03
0,18 1,05 1,04 1,03 1,02 1;02
0,20 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
TABLA 151'1. VAI.ORFS DEL COEFlCIENTE "yO" PARA ENGRANAJES
DE ImNTI':S IN('LlNAOOS Y ANGULO DE PRESION "an" = 20"
/ill Yo 0 Yo 0 YoI" 0,999 16 0,905 31 0,684
2" 0,998 17" 0,894 32 0,667
3 0,997 18 0,882 33 0,650
4 0,994 19 0,869 34 0,632
5 0, 990 20 0,856 35 0,615
6 0,986 21 0,842 36 0,597
7 0,981 22 0,828 37" 0,579
8 0,976 23 0,813 38 0,562
9 0,969 24 0,798 39 0,544
10 0,962 25 0,783 40 0,527
11 0,954 26 0,767 41 0,509
12 0,946 27 0,751 42 0,492
13 0,937 28 0,735 43 0,475
14 0,927 29 0,718 44 0,458
15 0,916 30 0,701 45 0,441
TABLA: 15-18. COEFICIENTE "Ys" EN FUNCION DE LA VISCOSIDAD
CINEMATICA"v"EN CENTISTOKES, DEL LUBRICANTE A LA TEMPERATURA
DE FUNCIONAMIENTO SEGUN NIEMAN
v 6,3 21 37 68 100 145 200 265 300 350
"Ys" 0 ,7 0 ,7 5 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1 ,3 5 1 ,40
SCIl {3 !
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22/23
1. Ruedas cOn/cas. Cuando dos ejes coplan ares y concurrentes en un
pun to; se cortan formando un lingulo "" cua1quiera, Se recurre al uso de un par
de ruedas c6nicas, como 1as mostradas en la figura 16-1; donde "R!" y "Rz"
son los radios de las bases de los conos, que giran sobre los ejes"I"y "II", convelocidades "n!" Y "nz" respectivamente. Tratlindose de ruedas dentadas, la
tigura nos muestra las superficies primitivas 0 axoides del movimiento.Seglin 10 visto en el capitulo XIV, la ubicaci6n del eje instantaneo de
rotaci6n depende de la relaci6n de transmisi6n. En efecto si llamamos "{3!" Y
"(3z" a los angulos descriptos, en la rodadura, por la generatriz de contacto
alrededor de los ejes"I"y "II" respectivamente, podemos poner:
R! = OK sen {3!
Rz =OK sen { 3z
(16-1)
(16-2)
{
sen ( 3 z
Como St' WIIOCC sicmpre el angulo "", que forman los ejes en el plano
que los conticllc y sus velocidades de giro "n!" Y "nz", se puede determinar la
ubicaci6n de la gcncratriz de contacto en forma grafica (componiendo los
vectores surgidos de llcvar, en una cierta eseala, el valor de "n!" sobre el ejc
"I" y el valor de "nz" sobre el eje "II") y determinar entonces los angulos"{3!". Y "{3z" Sill embargo es recomendable hallar "{3!" y "{3z" en forma
analitica, para 1 0 cual se parte de que:
La cual, junto con la 16-3, nos forma un sistema de dos ecuaciones con dos
incognitas, que resuelto nos da:
tg{ 3zsen
( 16-5)i + cos
tg( 3 1sen
(16-6)---,.r.-----1
-:-+ cos t f >I
Para el caso particular, en que 10s ejes son perpendiculares, por ser
" = 90"", resulta:
2. Engranajes c6nicos de dientes rectos. Si construimos las ruedas con
dientes rectos, como 10s de la figura 16-2, las dimensiones de los dientes
deberan disminuir en forma lineal a medida' que nos acercamos al centro "0",donde todas las magnitudes se reducen a un punta; es decir que las medidas de
II N1 N2fll Y P2
l:llS{i l OS{ 32
8/10/2019 Elementos de Maquina 3
23/23
l:llS{i I l:OS{ 3 2
y "i"'IlIIl:
R1Zl Z2
=m-- y R2=-2 2
IllSdientes deben ser proyectados desde aquel y que tendnin iguales dimensiones
aquellos ubicados a igual distancia de dicho punto, sobre un radio cualquiera de
las infinitas esferas concentricas en "0".Esto nos lleva a pensar que debemos
1 razar los perfiles de los dientes sobre una de las esferas y proyectarlas desde su
centro, tal como tomar como esfera base del trazado a la que circunscribe a los
conos.
Dada la dificultad, de trazar los dientes sobre una superficie esferica, se
rccurre al metodo de Tredhold, que consiste en dibujar los perftles sobre la
tangente a la esfera, en el punto en que esta es cortada par la generatriz de
contacto, que une los ejes "I" y "II", figura 16-3. Durante el rodamiento de
Ills conos bases, dicha tangente, al girar sobre los puntos de intersecci6n de los
ejcs, nos genera dos conos complementarios, cuyas generatrices son una recta
'"lIlicaalpasar par el punto "K", intersecci6n de la esfera con la generatriz de
contacto. Es decir que los perftles de los dientes deblln trazarse igual que si-se-
tratara de ruedas de radios primitivos "P I" Y "P2", iguales a las generatrices
dc los con os complementarios. Es facil ver que desarrollados estos sobre un
plano, como indica la figura 164, no se nos completan los circulos de radios
"P I" y, "P2", por 10 que las dimensiones de los dientes deben ser, no las
correspondientes al mimero real, sino las de un mimero ideal de dientes z l', quenccesitariamos para completar la circunferencia. De 10 que se desprende
quc debemos hacer el trazado con mimeros de dientes ideales "ZIt Y" Z 2 /,quc cumplan respectivamente con las condiciones:
2P IZI' = -- Y
I m
2 P 2Z2'= --
I m
1IIII00Iuricildo "R1" Y "R2" de las ecuaciones 16-10 en 16-9 Y 10s valores de
"'11" Y de "P2" as! obtenidos, en las 16-8, se obtiene que:
ZIZI- =---
I cos{ 3 1
Z2Z2" =---
I C O S { 3 2
Ahora bien, trazado el perfil debemos proyectarlo desde el centro "0",
1'{'It I [IIacercarnos al mismo crecen las imperfecciones mecanicas, motivo por el
1 '1 1 1 1 1 dcbe Iimitarse la longitud del diente "b" a no mas de la tercera parte del
Illdill "/, " de la esfera. Es decir que si llamamos ""/" a la relaci6n entre la longitud
dt' III generatriz de contacto de los conos bases "L" y la del diente "b",!t'IWlIIllS:
I
I
I
II
I
. I
/~II--