Download - EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALEScursoscruboiris.weebly.com/uploads/2/8/2/2/28228811/los...aspectos relacionados con la teoría de los conjuntos. 3 Magíster Iris Montenegro A. Los

1

Magíster Iris Montenegro

MÓDULO 1

Curso: Matemática

EL CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS REALES

UNIVERSIDAD DE PANAMÁ CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO DE BOCAS DEL TORO

Introducción

Los estudiantes que inician el curso de Matemática a nivel superior buscan profundizar los conocimientos

adquiridos durante su instrucción de educación media. Este módulo pretende orientarlos, de la mejor

manera posible, en un aprendizaje matemático más significativo y perecedero.

2


Módulo 1. Los Números Reales. Duración: 2 semanas

Objetivos Competenciales:

1. Define y ejemplifica conjuntos.

2. Emplea la notación y simbología adecuada para los conjuntos.

3. Resalta la importancia de extender el conjunto de los números naturales al conjunto de los reales.

4. Resuelve operaciones básicas entre conjuntos.

Un conjunto es una colección o agrupación de cosas, personas, objetos, animales. Usualmente los

conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto.

Ejemplos de Conjuntos:

1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro.

2. Las letras del alfabeto.

3. Los alumnos de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO.

Un subconjunto es una parte de un conjunto.

De los ejemplos anteriores, obtendremos algunos subconjuntos.

1. Miembros del equipo de béisbol mayor de Bocas del Toro que son mayores de 35 años.

2. Las vocales.

3. Los alumnos del primer año de la carrera de licenciatura en Enfermería del CRUBO.

Se le denomina elementos a cada uno de los objetos, cosas, animales o personas que forman parte de un

conjunto dado. El símbolo matemático empleado para denotar que un elemento pertenece a un conjunto

es y cuando deseamos escribir que el elemento no pertenece a un conjunto usamos el símbolo.

Ejemplo.

Sea el conjunto 𝐴 = {2, 3,5,7,11}

Podemos decir que 3 A y se lee “3 es elemento o pertenece al conjunto A”.

Sin embargo, 12 A y se lee “12 no es elemento de A”.

CONJUNTOS NUMÉRICOS.

La historia ha demostrado que la evolución conceptual de los distintos conjuntos numéricos ha

evolucionado a lo largo de las distintas épocas de desarrollo del pensamiento humano. En la actualidad

conocer su génesis es de suma importancia para poder vencer las dificultades epistemológicas de los

aspectos relacionados con la teoría de los conjuntos.

3


A. Los Números Naturales: son los números que utilizamos para contar. Se denotan mediante el

símbolo ℕ y se definen como ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …

Otras nociones básicas:

a) Múltiplo de un número dado: Un número entero r es múltiplo de un número entero s cuando existe

otro número natural que, multiplicado por s, nos da como resultado r.

Ejemplo:

Múltiplos de 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36,42,48, 54, 60, 66, 72,…

b) Divisor de un número dado: Son los números naturales que dividen al número dado de manera

exacta.

Ejemplo.

Divisores de 15 = 1, 3, 5, 15

Tipos de Números

a) Números Pares: Son aquellos cuya unidad termina en 0, 2, 4, 6, 8. Ejemplos de números pares

56 7890 112358 102

b) Números Impares: Son aquellos cuya unidad termina en 1, 3, 5, 7, 9. Ejemplos de números impares

655 1701 247 992173

c) Números Primos: Aquellos números cuyos únicos divisores son la unidad (1) y el propio número.

Ejemplos de números primos = 2, 3, 5, 7, 11, 1, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,…

d) Números compuestos: todos aquellos números que no son primos.

Ejemplos de números compuestos = 24, 35, 78, 107, 94, 236, 459, 312, 39, 169,…

e) Números Gemelos: son números primos cuya diferencia es dos.

Ejemplos:

5 y 3 son gemelos porque ambos son primos y al restarlos, 5 – 3, la diferencia es 2.

B. Los Números Enteros: Se denota mediante el símbolo ℤ es el conjunto formado por:

Los enteros positivos: ℤ+ = +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, …

Los enteros negativos: ℤ- = -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, …

El número cero.

Valor absoluto de un número entero: se define como sigue:

⌊𝑥⌋ = {𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 00, 𝑠𝑖 𝑥 = 0

−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0}

Cuando se determina el valor absoluto de un número entero nos interesa su valor numérico pero no

su signo.

4


Ejemplos:

⌊−3⌋ = 3

⌊+15⌋ = 15

⌊0⌋ = 0

Los símbolos de relación de orden son:

a. Mayor que, >. Ejemplo, -2 > -9

b. Menor que <, Ejemplo, -2 < +2

c. Igual que =, Ejemplo, -5 = -5

Operaciones Básicas:

1. Adición con números enteros. Los términos de la adición son sumandos (números que se van a

adicionar) y suma o total (resultado de la adición)

Para adicionar dos o más números enteros se deben seguir las siguientes reglas:

Si los sumandos tienen signos iguales, se adicionan los valores absolutos de los sumandos y

el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos:

(-3) + (-4) = -7

(+4) + (+6) = +10

Si los sumandos tienen signos diferentes, se restan los valores absolutos de los sumandos y

el total lleva el signo del sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos:

(-6) + (+13) = +7

(+10) + (-24) = -14

2. Sustracción: Los términos de la sustracción son minuendo, sustraendo y diferencia. La

resta se indica mediante el signo de menos (-). Para la sustracción se debe recordar que el signo de

resta le cambia el signo al sustraendo. Luego se aplican las mismas reglas de la adición.

Ejemplos:

(-12) – (+13) = -12 -13 = -25

(+15) – (-18) = +15 + 18 = +33

(+20) – (-17) = +20 +17 = +37

(-19) – (-25) = -19 +25 = +6

3. Multiplicación: Los términos de la multiplicación son factores (los números que se multiplican)

y producto (resultado de la multiplicación)

La multiplicación se puede indicar simbólicamente de tres formas:

a. Empleando el símbolo de por:

5


b. Utilizando signos de agrupación: llaves , paréntesis (), corchete

c. Utilizando un punto (.) o un asterisco (*).

Para multiplicar dos o más números enteros se aplican las siguientes reglas:

+ + = +

- - = +

+ - = -

- + = -

Ejemplos:

(-8) (-3) = +24

-15 +4 = - 60

+8 * +32 = +256

4. División: Los términos de la división son dividendo, divisor y cociente. La división se

puede denotar mediante el símbolo ÷ o por medio de una barra horizontal de la forma 𝑚

𝑛.

Para dividir dos números enteros se siguen las mismas reglas de los signos de la división.

+ ÷ + = +

- ÷ - = +

+ ÷ - = -

- ÷ + = -

Ejemplos:

+30 ÷ +5 = +6

−45

−15= +3

C. Los Números Racionales: Este conjunto se denota con el símbolo ℚ. Se escriben de la forma 𝑎

𝑏.

A los elementos del conjunto de los números racionales usualmente se les llama fracciones.

Una fracción es una parte de la que se ha dividido la unidad.

Ejemplo:

Supóngase que usted tiene una barra de chocolate y desea compartirla usted con otras dos personas

más. Observe la figura. ¿Qué cantidad de chocolate le corresponde a usted?

6


¿En cuántas partes iguales se dividió la barra de chocolate? Respuesta: 3

¿Cuántas partes le corresponden a usted? Respuesta: 1

Al escribir la fracción resulta 𝟏

𝟑

El número 1 recibe el nombre de numerador y el número 3 recibe el nombre de denominador

Los números racionales pueden ser:

a. Fracciones propias: son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador.

2

14

b. Fracciones impropias: son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el

denominador.

5

3

c. Fracción Mixta: poseen una parte entera y una parte fraccionaria.

62

9

Representación Gráfica de Racionales.

Una fracción es un número que representa una unidad dividida en partes iguales de la cual se toman

porciones o secciones.

Ejemplos:

a) 3

4 significa que una unidad se divide en 4 partes iguales de las cuales se toman 3.

b) Si la fracción es 3

5, la unidad se divide en cinco partes iguales, y se toman tres de ellas.

c) Si la fracción es 5

4, esto nos conduce a representarla como:

Operaciones con números racionales:

1. Adición: para adicionar dos números racionales debemos considerar los denominadores. Si

los denominadores son iguales se dicen homogéneas y si tienen denominadores diferentes se

7


llaman heterogéneas. Las reglas de los signos son las mismas que se aplican cuando se usan

números enteros.

Si las fracciones son homogéneas se adicionan los numeradores y se escribe el mismo

denominador.

−2

3+

7

3=

−𝟐 + 𝟕

𝟑= +

5

3

Si las fracciones son heterogéneas se debe buscar el mínimo común múltiplo de los

denominadores, este número se divide entre cada denominador de los sumandos y el

cociente obtenido se multiplica por cada numerador. Luego, se adicionan las fracciones

homogéneas resultantes.

−𝟐

𝟑+

𝟓

𝟔+

𝟏

𝟒=

−4(2) + 2(5) + 3(1)

12=

−8 + 10 + 3

12=

−8 + 13

12= +

5

12

Los denominadores son 3, 6 y 4

Recordemos cómo se calcula el mínimo común de los denominadores.

3 – 6 – 4 2

3 – 3 – 2 2

3 – 3 – 1 3

1 – 1 – 1

Luego, se multiplica 2 2 3 = 12

Veamos un segundo ejemplo,

−2𝟏

𝟔−

𝟑

𝟖−

𝟐

𝟏𝟎= −

𝟏𝟑

𝟔−

𝟑

𝟖−

𝟐

𝟏𝟎=

−20(𝟏𝟑) − 15(𝟑) − 12(𝟐)

120=

−260 − 45 − 24

12

=−329

120

En este ejemplo anterior, la fracción mixta se convierte a fracción impropia multiplicando

el denominador por el número entero y a este producto se le añade el numerador, este

resultado será el numerador de la fracción impropia, el denominador del mixto es el mismo

de la fracción impropia.

Ejemplo. Convertir 52

7 a fracción impropia.

52

7=

(5 × 7) + 2

7=

35 + 2

7=

37

7

Para convertir una fracción impropia a mixta se debe dividir el numerador entre el

denominador; el cociente será el entero, el residuo de la división es el numerador y el diviso

será el denominador.

Ejemplo. Convertir 17

9= 17 ÷ 9 = 1

8

9

8


2. Multiplicación: en esta operación se pueden simplificar numeradores con denominadores.

Luego, se multiplican todos los numeradores y todos los denominadores.

−12

35×

20

21×

14

3= −

12

35×

20

21×

14

3= −

4

7×

4

7×

14

3= −

4

7×

4

1×

2

3= −

32

21

Cuando se tienen fracciones mixtas, de forma análoga, debe convertirlas a fracciones impropias.

3. División: para dividir dos números racionales se debe invertir la fracción divisor.

12

25÷ −

20

45=

12

25× −

45

20=

6

5× −

9

10=

3

5× −

9

5= −

27

25= −1

2

25

−41

5÷ −

3

10= −

21

5÷ −

3

10= −

21

5× −

10

3= −

7

1× −

2

1= +14

4. Potenciación. Los términos de la potenciación son base, exponente y potencia (resultado).

La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un mismo número (base) un número

de veces (exponente).

Ejemplo. Determine la potencia de:

a. −55 = −5 × −5 × −5 × −5 × −5 = 3125

b. (3

7)

4

=3

7×

3

7×

3

7×

3

7=

81

2401

5. Radicación: Es una operación que consiste en determinar el número que actúa como base

cuando se conoce la potencia y el exponente. Se expresa de la forma general como √𝒂𝒏 = 𝒃

Los elementos de la potenciación son radicando, índice y raíz. La radicación es una operación

inversa a la potenciación.

Ejemplo. Para la expresión √−3433

= −7

3 índice

-343 radicando

-7 raíz o solución

Para obtener la raíz enésima de un número dado, emplearemos el método de descomposición de

factores o factorización, el cual consiste dividir el número especificado entre los números primos

que lo dividan. Un número primo es aquel que solamente es divisible por él mismo y por el número

uno.

Recuerda que:

Números primos = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,…

9


Ejemplo. Utilice el método de factorización para determinar la raíz de las siguientes cantidades,

√𝟏𝟐𝟗𝟔

𝟏𝟒𝟔𝟒𝟏

𝟒

a. Descomponemos factorialmente los números 1296 y 14641 por separado. Debo expresar los

divisores que sean iguales como potencias.

1296 2 14641 11

648 2 1331 11

324 2 121 11

162 2 11 11

81 3 1

27 3

9 3

3 3

1

b. Luego, divido el exponente de la potencia entre el índice del radical. Esta división debe ser

exacta.

√1296

14641

4

= √24 × 34

114

4

=24÷4 × 34÷4

114÷4=

21 × 31

111=

2 × 3

11=

6

11

Ejemplo. Utilice el método de factorización para determinar la raíz de las siguientes cantidades,

√𝟑𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟏𝟗𝟕

𝟑

a. Descomponemos factorialmente los números 1296 y 14641 por separado. Debo expresar los

divisores que sean iguales como potencias. En este ejemplo observamos que el índice del

radical es 3, por lo tanto, debemos tomar los números de 3 en 3.

3125 5 2197 13

625 5 169 13

125 5 13 13

25 5 1

5 5

1

b. Luego, divido el exponente de la potencia entre el índice del radical. Esta división debe ser

exacta.

24

34

114

53 133

52=25

10


√𝟑𝟏𝟐𝟓

𝟐𝟏𝟗𝟕

𝟑

= √53 × 25

133

4

=53÷3 × √25

3

133÷3=

51 × √253

131=

𝟓√𝟐𝟓𝟑

𝟏𝟑

𝑽𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒂í𝒛 𝒆𝒔 𝒊𝒏𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂𝒔. 𝑬𝒔𝒕𝒐 𝒏𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒆 𝒂 𝒐𝒕𝒓𝒐 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒏𝒖𝒎é𝒓𝒊𝒄𝒐 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒐 𝒊𝒓𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔.

Los números racionales se pueden escribir de forma decimal y viceversa.

Ejemplo, escribir 12

5 de forma decimal. Para hacerlo debemos dividir el numerador entre el denominador.

12

5= 12 ÷ 5 = 2,4

En algunos casos, la parte decimal resulta infinita y periódica (se repite el mismo digito).

Ejemplo, escribir 11

3 de forma decimal.

Para hacerlo debemos dividir el numerador entre el denominador.

11

3= 11 ÷ 3 = 3,6666666 …

En ese caso, se expresa mediante una barrita horizontal por encima del dígito que se repite. De la forma,

3, 6̅

Lectura de números decimales:

0, 1 2 3 4 5 6…

Décimo1

10

Centésimo 1

100

Milésimo 1

1000

Diez milésimo 1

10000

Cien milésimo1

100000

Millonésimo 1

1000000

Ejemplos:

0,34 treinta y cuatro centésimos.

3,012567 tres enteros con doce mil quinientos sesenta y siete millonésimas.

1,0026 un entero con veintiséis diez milésimas.

0,013 trece milésimas

Para leer los números decimales consideramos cuántos dígitos hay después de la coma decimal.

Para adicionar números decimales se debe colocar la coma debajo de la coma, es decir, décimo debajo de

décimo, centésimos debajo de centésimos y así sucesivamente.

11


Ejemplo. Adicionar 12,34 + 523,006 + 8,1 = 543,446

1 2 , 3 4

5 2 3 , 0 0 6

8 , 1

5 4 3 , 4 4 6

Para multiplicar números decimales se procede de forma análoga como se multiplican los números

enteros.

Ejemplo, multiplicar 3,45 0,68

3,45 0,68

2760

2060

2,346

D. Los Números Irracionales: son aquellos números cuya parte decimal es infinita y no periódica.

Este conjunto se denota con el símbolo I. Estos surgen de raíces inexactas.

Dos o más radicales se dicen semejantes si tienen el mismo el mismo índice y el mismo radical.

Para adicionar números irracionales se adicionan los factores numéricos que preceden al signo de

radical. El resultado lleva el mismo índice y la misma cantidad sub radical.

Adicionar 3√5 − 8√5 + 10√5 − 13√5 = (3 − 8 + 10 − 13)√5 = (13 − 21)√5 = −8√5

Para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los factores numéricos y las cantidades sub

radicales.

Multiplicar (−8√124

)(−3√244

) = (−8 × −3)√12 × 244

= 24√2884

= 24√24 × 184

= (24 × 2)√184

=

48√184

E. Los Números Reales: es el conjunto formado por los irracionales y los racionales. Este

conjunto se denota con el símbolo ℝ = ℚ I

Radicales semejantes Radicales no semejantes

√53

; 8√53

8√7; 6√73

−4√𝑚2; 3√𝑚2 5 √310

; 3 √510

ℝ I ℚ Los números reales contienen a

los naturales, los enteros, los

racionales y los irracionales.

12


Ejercicios de Refuerzo:

Marque en la casilla una equis para indicar si el número dado es natural, entero, racional, irracional o real.

Número Natural Entero Racional Irracional Real

-56

√1733

−3

11

5,45

Aporte 3 ejemplos de múltiplos y divisores de los números dados.

Número Múltiplos Divisores

20

8

35

121

Marque con una equis (X) la casilla que corresponda al tipo de número.

Número Par Impar Primo Compuesto

58

19

36

71

Dada la siguiente figura, escriba de forma numérica el número racional que representa.

Escriba los siguientes números decimales de forma alfabética.

a. 1125,45 _________________________________________

b. 0,0037 _________________________________________

13


c. 9,999445 _________________________________________

d. 0,145 _________________________________________

e. 10,10 _________________________________________

f. 23,78951 _________________________________________

Escriba de forma numérica cada cantidad.

a. Tres enteros con diecinueve diez milésimas. _____________________

b. Un entero con quinientos millonésimas. _____________________

c. Trece mil enteros con cinco centésimas. _____________________

d. Un entero con cien cien milésimas. _____________________

Ejercicios Retadores

Resuelva las siguientes operaciones con números reales.

1. 3

7− 3

5

21+

1

9

2. 1

5√7-4√7+8√7-

2

3√7

3. 0,234 − 12 + 13,45 + 8,1256 − 6,01

4. 28

45×

18

39× −

65

42

5. 33

11÷ −

144

121

6. 1+

2

3−

2

3

−6

7. {−12 + [−82 + (−33)(7 − 11)] − 15} − (−135 ÷ 17)

8. √10245

9. −34 + 52 − 27

10. √2187

46656

6

11. 3√−1203

× −4√253

12. −53 + 24 − 112