UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE QUÍMICA
Departamento de Matemáticas
El Campo C
de los Números Complejos
Coautores:
César Alejandro Rincón Orta Coordinador (Por orden alfabético) Alberto Rosas Pérez Arturo Zentella Dehesa Carlos Bruno Velarde Velázquez Eugenio León Fautsch Tapia Guadalupe Josefina Toledo Macías Susana Yalu Leticia Rubín Rivero
Publicación autorizada por el Comité Editorial de la Facultad de Química
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE QUÍMICA
UNAM 2004
Cd. Universitaria, D.F.
Teléfono ((55) 56 22 35 34 • Fax ((55) 56 22 37 66
Tabla de contenido
Presentación ............................................................................................................1
El campo £ de los números complejos .................................................................3
La inmersión de ¡ en £ ........................................................................................10
La Conjugación ........................................................................................................11
La Norma.................................................................................................................13
La Ecuación General de Segundo Grado................................................................15
Sistemas de Ecuaciones.........................................................................................20
Representación Geométrica de los Números Complejos ......................................23
Raíces n-simas de un Número Complejo...............................................................30
El Argumento de un Número Complejo...................................................................33
La Función Exponencial Compleja ..........................................................................34
Representación Geométrica de Algunas Rectas bajo la Transformación E ........37
La Función Logaritmo..............................................................................................39
Las Funciones Trigonométricas..............................................................................42
NUMEROS COMPLEJOS 1
Presentación
De acuerdo con el Programa Editorial de nuestra facultad, un grupo de profesores del
Departamento de Matemáticas nos reunimos para elaborar estas notas con las que tratamos de
contribuir a remediar las carencias que en el renglón de material didáctico padece la Facultad de
Química de la UNAM.
Nuestra intención nunca fue la de escribir un libro de análisis complejo. Simplemente
quisimos ayudar a fijar un marco de referencia que establezca la extensión y profundidad con que
se pretende cubrir uno de los temas centrales de nuestro programa de álgebra, y con este
propósito solamente tratamos los temas básicos indispensables para el estudio de la teoría de los
polinomios y de las ecuaciones con una breve ampliación a las funciones trascendentes complejas.
Cuando se estudian curvas algebraicas, resulta conveniente considerarlas inmersas en un
campo en el que la intersección de cualesquiera dos de ellas de grados n y m respectivamente,
conste precisamente de n m puntos y esto requiere que en este campo, todo polinomio tenga en él
un juego completo de raíces.
Los campos que tienen la propiedad de tener a todas las raíces de sus polinomios, se
llaman “algebraicamente cerrados” y el teorema fundamental del álgebra garantiza que C tiene
esta característica. Esto lo convierte en un hábitat natural para el estudio de la geometría
algebraica y por supuesto de la antes mencionada teoría de las ecuaciones. El electromagnetismo
y el reciente estudio de los conjuntos de Mandelbrot y la clasificación de los fractales complejos,
muestran otras aplicaciones de nuestro campo cuya estructura básica presentamos en estas notas
sin otra pretensión que la ya expuesta.
NUMEROS COMPLEJOS 3
Capítulo
1
El Campo C de los Números Complejos
Una característica importante del conjunt o ¡ de los números reales es que tiene una clase
positiva +¡ , que define al orden canónico en ¡ que por ser compatible con las operaciones tiene,
entre otras, la propiedad de que para toda a diferente de cero, 2a es un positivo y por lo tanto la
ecuación 01x2 =+ no puede tener solución en ¡ . Como en otros casos —construcciones de ¢
y ¤— se pensó en extender ¡ a un campo más grande, en el que la mencionada ecuación
pudiera resolverse.
Era necesario construir un campo en el que existiera un número —imaginario— “i ” que
satisficiera la ecuación 01x2 =+ , que fuera una extensión de ¡ y, por supuesto, que resultara el
más “económico” —en el sentido de la contención— con esas propiedades.
En la época en que surgió este problema no se conocía el teorema que asegura que para
todo campo K y todo polinomio f(x) no constante, con coeficientes en K , existe una extensión
NUMEROS COMPLEJOS 4
de K en la que el polinomio tiene al menos una raíz, teorema que valida la construcción, que
resulta más natural y que la hubiera librado de las objeciones —injustificadas— que en su
momento se hicieron y que se referían al invento de los números imaginarios.
Es pertinente observar que en el campo cuya construcción se deseaba, no puede haber
una relación de orden compatible con las operaciones, —que es la única que interesa al álgebra—
ya que en ese caso, como en el de los reales, los cuadrados tendrían que ser no negativos. Por
esta razón, algunos autores que enfatizan la propiedad, dicen que £ es el “desordenado” campo
de los números complejos, a pesar de que como una consecuencia del axioma de selección resulta
que en todo conjunto se puede definir un buen orden. Lo que no puede asegurarse es que ese
orden resulte compatible con las operaciones.
Puestos a estudiar ese hipotético campo en el que figura esa misteriosa i , se vio que
tenían que estar también todas sus potencias 2 3( , ,...)i i , productos de éstas por números reales y
sumas de tales productos, es decir que debían estar consideradas todas las expresiones de la
forma
20 1 2 ... 0,1,...,n
n ja a i a i a i a j n+ + + + ∈ =¡ (*)
además de sus inversos multiplicativos. Se notó que como:
( )( ) ( )
2
3 2
4 2 2
1
1 1 1
i
i i i i i i
i i i
= −
= ⋅ = − = −
= ⋅ = − − =
si nes un número natural tal que, 404 <≤+= rrqn ,
( ) rrrqn iiiii =⋅=⋅= 14
O sea, ni es 1,,1 −i ó i− observación que permite simplificar las expresiones (*) que
pueden reducirse a binomios de la forma , ,a bi a b+ ∈¡ .
Ejemplos
1. ( ) ( ) iiiiiiiii 79712172372723 5432 +=+−−+−−+=+−+−+
2. 0111 204373 =−+−=−++ iiiii
Ejercicios Exprese en la forma bia + :
NUMEROS COMPLEJOS 5
1. 2073 163782 iiii +−+−
2. ( )532i
3. ( )
732
2
2231
72
iiii
i
++−+−
Tomando en cuenta lo anterior, procedieron a estudiar al subconjunto β formado por los
elementos del nuevo campo que pueden expresarse como binomios. Es decir:
{ }2; , , 1 a bi C a b iβ = + ∈ ∈ = −¡
Como siempre que se define un conjunto nombrando a sus elementos, es conveniente
aportar un criterio que permita decidir cuando dos nombres corresponden al mismo individuo.
Hacemos notar que, puesto que se trata de un campo, ( ) ( )idbcadicbia −=−⇒+=+ y que
por lo tanto ( ) ( )22 bdca −−=− que es una igualdad en ℜ que implica que cada cuadrado debe
ser —necesariamente— 0 y por lo tanto ca = y db = . Es decir que en β cada elemento tiene
una representación única. Así por ejemplo si supiéramos que viui += , sabríamos que 0=u y
1=v .
Como β es subconjunto de un campo, ( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i+ + + = + + + , de donde
resulta que la adición —en £ — de elementos de β , produce un elemento de β (β es cerrado
bajo la adición de £ ) y por lo tanto la restricción de ésta a ββ × es una operación binaria en β
que, por herencia, resulta asociativa y conmutativa. 0 0 0i= + está en β y para cada
( ) ( )a bi a b iβ+ ∈ − + − , el inverso aditivo de bia + , también es un elemento de β , luego
{ }+,β es un grupo abeliano.
Ejemplos
1. ( ) ( ) ( ) ( )3 4 6 5 3 6 4 5 9 9i i i i+ + + = + + + = +
2. ( ) ( ) iii 31161710146 −=+−−−
NUMEROS COMPLEJOS 6
Ejercicios
Exprese el resultado de las operaciones siguientes en la forma bia + .
1. ( ) ( )ii 2875 +++
2. ( ) ( )ii 2875 +−+
3. ( ) ( )ii 143211 −++
4. ( ) ( )ii 13219 −−−
5. ( ) ( )ii 46215 +−+
6. ( ) ( )ii 372632 −−+
7. ( ) ( )ii 12219 −+−
8. ( ) ( )[ ] ( )iii 1145662 −−−++
9. ( ) ( ) ( )[ ]iii 2761846 −−−−−+−
10. ( ) ( ) ( )1 3 7 2 3 7 3i i i+ − + + −
El producto —en £— de dos elementos de β , está en β . En efecto,
( ) ( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + + , y por lo tanto, β tiene también una multiplicación que
por ser la restricción de la de un campo, es asociativa, conmutativa, tiene idéntico (1 1 0i= + ) y se
distribuye sobre la suma por ambos lados.
Ejemplos
1. ( ) ( ) ( ) ( )6 3 2 4 1 2 12 6 24 3 0i i i i+ + = − + + =
2. ( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 6 3 10 18 5 3 12 3 28 7 3i i i i+ − = + + − = −
Finalmente, si β∈+ bia y es ibia 00 +≠+ , ( 0≠a ó 0≠b y por lo tanto
022 >+ ba ),
( ) 1
2 2 2 2
a bia bi
a b a b− −
+ = ++ +
NUMEROS COMPLEJOS 7
como puede comprobarse efectuando el producto( ) 2 2 2 2
a bia bi
a b a b− + + + +
por lo que resulta
que β es un campo.
Para ver cómo se obtiene el inve rso multiplicativo de bia + , consideremos un número
yix + tal que multiplicado por bia + nos dé i01+ , es decir:
( )( ) ibiayix 01 +=++
efectuando la multiplicación:
( ) ( ) iibxaybyax 01+=++−
de donde:
01
=+=−
aybxbyax
Como 0≠+ bia , 0≠a ó 0≠b y por lo tanto 022 >+ ba , por lo que, aplicando la
regla de Cramer se obtiene
22
22
01
01
ba
b
ab
baba
y
baa
abba
ab
x
+
−=
−=
+=
−
−
=
es decir
( ) 1
2 2 2 2
a bia bi
a b a b− −
− = ++ +
Consideremos el ejemplo siguiente:
Se desea encontrar ( ) 143 −+ i , que de acuerdo con lo anterior resulta 25/425/3 i− , y
comprobamos:
NUMEROS COMPLEJOS 8
( )( ) ( ) ( ) 125/1225/1225/1625/925/425/343 =−++=−+ iii
Definamos el conjugado de un número complejo biaz += como biaz −= .
Así, si iz 43 += , su conjugado iz 43 −= , y entonces, recordando que la expresión /a b
representa al producto de a por el inverso de b , ( 1/ −= abba ), encontramos que para efectuar la
división de z entre w , basta multiplicar el cociente wz / por ww / , con lo que se obtiene el
resultado deseado.
Ejemplo
Dividir ( )i−2 entre ( )i+1
ii
ii
ii
ii
23
21
231
11
12
12
−=−
=−−
⋅+−
=+−
En efecto, ( )( ) ( ) ( ) ( )iiii −=−++=−+ 22/32/12/32/12/32/11 Ejemplos
1. ii
3476
−+
multiplicamos por ii
3434
++
( )( )( )( )
( ) ( ) ( )iiiiiii
ww
wz 463
251
25463
91618282124
34343476
+=+=+
++−=
+−++
=⋅
2. 7557
ii
wz
++
=
( )( )( )( )
( ) ( ) ( )iii
iiii
ww
wz
−=−
=+
−++=
−+−+
=⋅ 3561
122352
75753535
75757557
Ejercicios
Exprese en la forma bia + el resultado de las siguientes operaciones:
1. ( ) ( )9 8 7 6i i+ −
2. ( ) ( )6 3 2 5i i+ +
3. ( )( )ii 5236 +−
NUMEROS COMPLEJOS 9
4. ( )( )ii 5236 −−
5. ( )( )ii 5236 −+−
6. ( )( )ii 2735 −−
7. ( )( )ii 57225627 −−
8. ( ) ( )( )[ ]iii 928723 +−−+
9. ( )235 i+
10. ( )323 i−
11. ( ) ( )ii 4938 +÷−
12. ( ) ( )ii 23112 −÷−
13. ( )ii 765 −÷
14. ( ) ( )ii 733273 +÷−
15. ( ) ( )ii 375232158 −÷+
16. ( ) ( )ii 103621066 −÷+
17. ( )( ) ( )iii 544332 +÷−+
18. ( ) ( )ii 2965 2 −÷+
19. ( ) ( )22385 ii +÷+−
20. ( )( )iii
256578
−++
21. ( )( )
8934310
−+−
iii
22. ( )( )( )( )ii
ii54433221
++++
23. ( )( )( )( )ii
ii−+
+−635
4753
NUMEROS COMPLEJOS 10
La inmersión de ¡ en £ Cada número real iaa 0+= está en β , así como ii 10 += . Obviamente, β es el menor
campo en el sentido de la contención con esas dos propiedades. Luego β = £ es el campo que
se deseaba construir.
Con objeto de contestar las objeciones que se hicieron a la construcción anterior —la
existencia de números imaginarios— Gauss, tomando como base los resultados anteriores,
propuso el siguiente modelo:
Sea ( ){ }, | ,C a b a b= ∈¡
Definiciones
1. ( ) ( ) dbcadcba ==⇔= ,,, (representación única)
2. ( ) ( ) ( )dbcadcba ++=⊕ ,,, (la suma dentro del último paréntesis es la de ¡
3. ( ) ( ) ( )bcadbdacdcba +−=⊗ ,,,
y con esto se pudo demostrar que { }e,,,,C Θ⊗⊕ es un campo, en el cual
( )0,0=Θ , ( ) ( )b,ab,a −−=− , ( )0,1=e
y si
( )baz ,= es Θ≠z ,
entonces
+−
+=−
22221
bab
,ba
az ( 022 ≠+⇒Θ≠ baz ).
En este modelo se acostumbra llamar a la primera componente de cada pareja la parte real
y a la segunda, la imaginaria —Nótese que ambas partes son números reales— así si ( )baz ,=
es un complejo, Re z a= , Im z b= y esta costumbre queda justificada con la inmersión
:f →¡ £ definida como ( ) ( ,0)f a a= .
(Recuerde que una inmersión de una estructura en otra es una función inyectiva que
“respeta” las relaciones de ambas. Explícitamente, f debe ser inyectiva y ,a b∀ ∈ ¡ ,
NUMEROS COMPLEJOS 11
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
f a b f a f bf ab f a f b
+ = ⊕= ⊗
en donde – por supuesto – las operaciones de la izquierda de las igualdades son operaciones en
¡ y las de la derecha, en £ ).
En vista de que las operaciones de las parejas —adición y multiplicación— se definieron
tomando como modelo las de los binomios, estas nuevas operaciones tienen —necesariamente—
las propiedades de las anteriores y, por lo tanto, ( ){ }{ }, | , , ,a b a b= ∈ ⊕ ⊗£ ¡ resulta un campo,
como puede comprobarse fácilmente. La inmersión :f →¡ £ definida ( ) ( ,0)f a a= muestra
que puede considerarse £ como una extensión de campo de ¡ y bautizando i como ( )10,i = e
identificando a con ( ) ( ,0)f a a= , puede verse que :
1. ( ) ( ) ( ) 10110102 −=−=⊗= ,,,i
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] bia,,b,ab,,ab,a +=⊗⊕=⊕= 100000
Con lo que se recuperan los binomios de los que se partió como base en la construcción de Gauss.
La construcción del inverso multiplicativo de un complejo ( )b,a no cero,
( ) 1
2 2 2 2, ,a ba ba b a b
− − = + + mostró la conveniencia de definir dos funciones
: , :f C C g C→ → ¡ por medio de las formulas:
( )( ) ( )b,ab,af −= la conjugación
( )( ) 22 bab,ag += el módulo o tamaño La Conjugación
Si ( ) ( ) ( )b,azfz,b,az −===
(Cuando se identifican los complejos como puntos del plano coordenado 2¡ , es decir,
cuando ( )b,az = es el punto de abscisa a y de ordenada b , la conjugación puede interpretarse
geométricamente como la reflexión sobre el eje X).
La conjugación tiene, entre otras, las propiedades que expresa el siguiente :
NUMEROS COMPLEJOS 12
Teorema ,Cw,z ∈∀
1. wzwz +=+ “El conjugado de la suma es la suma de los conjugados”.
2. z w z w⋅ = ⋅ “El conjugado de un producto es el producto de los conjugados”.
3. z z z= ⇔ ∈ ¡
4. zz =
5. wzwz =⇔=
6. 2Rez z z+ = 2 Imz z i z− =
Demostración
Sean ( ) ( )d,cw,b,az ==
1. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) wzd,cb,adb,cadb,cawz +=−+−=+−+=++=+
2. ( ) ( )( ) ( )( ) wzd,cb,abdad,bdacbcad,bdacwz ⋅=−−=+−−=+−=⋅
3. ( ) ( )0 , 0 , 0z b z a a z∈ ⇔ = ∴ = − = =¡
4. ( ) ( ) ( ) zb,ab,ab,az ==−==
5. 2 2Rez z a z+ = = 2 2 Imz z bi i z− = =
Corolarios
(de 4) puesto que la conjugación es auto-inversa, resulta biyectiva.
(de 2) si w es 0≠w , ( ) w/zw/z = .
En efecto, ( ) ( )( ) ( ) ww/zww/zzww/zz ⋅=⋅=∴⋅= y por lo tanto ( )w/zw/z =
(Nótese que 00 ≠⇒≠ ww ).
Cuando se interpreta la conjugación como una función :f →£ £ , el teorema prueba que
f es una función biyectiva que “va bien” con las operaciones de £ y que “deja fijo” a ¡ , en el
sentido de la parte 3 del teorema1.
Teorema Si :η →£ £ es un automorfismo que deja fijo a ¡ , ( ( )a a aη = ∀ ∈ ¡ ),
entonces η es la conjugación o la identidad en £ .
1 Las funciones biyectivas que respetan las operaciones se llaman ISOMORFISMOS y cuando “van” de un campo en él mismo, se conocen como AUTOMORFISMOS.
NUMEROS COMPLEJOS 13
Demostración
Sea ( ) biab,az +== .
Entonces )i(ba)i()b()a()bia()z( ηηηηηη +=+=+= (*)
( b)b(,a)a(b,a ==⇒ℜ∈ ηη ).
Además, )i()ii()( 211 ηηη =⋅=−=− y por lo tanto )i(η tiene que ser una raíz
cuadrada de 1− , o sea, i)i( =η ó i)i( −=η .
Si i)i( =η , (*) muestra que η es la identidad en £ y si i)i( −=η , η es la
conjugación.
Ejemplos
Se desea calcular z si : iz)i(iz 6102 +=−+
Entonces , z x yi z x yi= + = −
(2 ) ( ) (2 )( ) (2 2 ) 2(2 2 ) 2 10 6 2 6,2 2 10
2, 3
iz i z i x yi i x yi x y yix y yi i y x y
x y
∴ + − = + + − − = − −− − = + ⇒ − = − =
∴ = = −
Comprobación iii)i()i()i(i 610472332232 +=+++=−−+−
Ejercicios Resuelva:
1. (1 ) (1 ) 4i z i z+ + − =
2. 3( ) 7zz z z+ + = ó, ¿no tiene solución?
3. iz+(1+i)w=3+i
4. (1 ) (6 ) 4i z i w+ − + =
La Norma
Si ( , )z a b= es un número complejo, se define su norma z como 12 2 2( ) ( )z g z a b= = + .
(Aquí también, si se identifican los complejos como puntos del plano, la norma —o tamaño— de z
puede interpretarse como la distancia euclidiana de ( , )a b al origen).
NUMEROS COMPLEJOS 14
La función distancia tiene, entre otras, las propiedades que están enumeradas en el
siguiente:
Teorema , ,z w∀ ∈ £
1. 21
)zz(z =
2. ;z 0≥ 00 =⇔= zz
3. wzzw =
4. wzwz +≤+
Demostración
1. [ ] z)ba()b,a)(b,a()zz( =+=−= 21222
121
2. Obvia, ya que el tamaño de z es la raíz cuadrada de un número no negativo, y ésta
sólo es cero si el radicando 2 2( )a b+ lo es.
3. 222 wzwwzzzwzwzw =⋅=⋅= y como los tamaños son números reales, “se
vale” extraer raíces cuadradas. Luego .wzzw =
4. Nótese que zz,z =∀ y que Re z z≤ ; Im z z≤ .
=+++=++=+ wwwzwzzz)wz()wz(wz 2
2 2 2 22Re( ) 2z zw w z zw w= + + ≤ + + =
2 2 22 ( )z z w w z w= + + = + que es una desigualdad de número reales no
negativos.
Por tanto .wzwz +≤+
Corolarios ( de 3) si 1 122 2, ( ) ( ) .t t t t t t t z t z∈ = = = ∴ =¡
En particular, si 1t = − , zz =− .
NUMEROS COMPLEJOS 15
Una función de 2¡ en ¡ con las propiedades 2,3 y 4 del teorema anterior, se llama una
NORMA, y permite definir la distancia entre dos puntos de 2¡ , en este caso dos complejos w,z ,
como sigue:
Def: ,z w∀ ∈ £ , wz)w,z(d −=
De la definición y de las propiedades de la norma, se deducen las propiedades siguientes
que confieren a d la categoría de MÉTRICA.
Teorema , , ,z y w ∀ ∈£
1. ( , ) 0 ; ( , ) 0d z w d z w z w≥ = ⇔ =
2. ( , ) ( , )d z w d w z=
3. ( , ) ( , ) ( , )d z w d z y d y w≤ +
En efecto:
1. 0; 0 0 z w z w z w z w− ≥ − = ⇔ − = ∴ =
2. zwwz −=−
3. wyyzwyyzwz −+−≤−+−=− (De las propiedades consignadas en los
corolarios).
La Ecuación General de Segundo Grado Un teorema cuya importancia le ha valido el nombre de TEOREMA FUNDAMENTAL DEL
ÁLGEBRA, —cuya demostración se sale del nivel de estas notas—, asegura que £ es
algebraicamente cerrado, es decir que todo polinomio [ ]( )f x x∈£ de grado n, tiene n raíces
—bien contadas — en £ §. Sin embargo vale la pena demostrar la existencia de algunas de éstas.
En particular las raíces cuadradas que deben calcularse cuando se usa la fórmula para resolver la
ecuación general de segundo grado. Veamos:
§ La demostración de este teorema dentro del análisis complejo es tan elegante —corta— que justifica plenamente que se posponga ésta que a este nivel resulta complicada y larga y que por descansar —necesariamente— en alguna construcción
de ¡ , no puede ser algebraica pura.
NUMEROS COMPLEJOS 16
Se desea resolver la ecuación 02 =++ cbxax , en donde Cc,b,a ∈ , 0≠a
1. Dividimos la ecuación entre )a(a 0≠ y restamos ac de cada lado
2 bx cx
a a+ = −
2. Completamos el trinomio cuadrado perfecto por la izquierda, sumando a cada lado 2 2 2
22 2 2
: 4 4 4b b b b cx xa a a a a
+ + = −
o sea:
2 2
2
42 4b b ac
xa a
− + =
3. Suponiendo que se puede sacar raíz cuadrada a 2 4b ac− y que la representamos
como:2
2 44 ,
2 2b b ac
b ac xa a
−− + = ±
En donde el doble signo expresa el hecho de que para el caso sirve tanto la raíz cuadrada
de 2 4b ac− cuya existencia supusimos, como su inverso.
4. Finalmente, 2 4
2b b ac
xa
− ± −=
Queda por justificar la antes mencionada existencia de las raíces cuadradas de 2 4b ac− ,
que es lo que afirma el teorema siguiente:
Teorema Para cada complejo biaz += diferente de cero, existen (exactamente) dos raíces
cuadradas complejas, (una inversa aditiva de la otra).
Demostración
Supongamos que w x yi= + es tal que 2w z= .
Entonces 2 2 2 2( )( ) 2 x yi x yi x y xyi a bi x y a+ + = − + = + ∴ − =
2xy b= Elevando al cuadrado cada ecuación y sumando:
NUMEROS COMPLEJOS 17
( )
4 2 2 4 2
2 2 2
24 2 2 4 2 2 2 2 2 2
2
4
2
x x y y a
x y b
x x y y a b x y a b
− + =
=
+ + = + ∴ + = + Entonces
2 2 2 2
2 2
2 2 2 22 2
( )
( Re )
2 2
x y a b z
x y a z
a b a a b ax y
+ = + =
− = =
+ + + −∴ = =
y como 2 2a b a+ ≥ , cada una de las expresiones de la derecha en estas igualdades tiene
raíces cuadradas (reales) de donde resulta que
2 2 2 2
,2 2
a b a a b ax y+ + + −= ± = ±
Para seleccionar la pareja de raíces que satisface nuestro problema —producir una raíz
cuadrada de z — debe tenerse en cuenta que como 2 ,si 0xy b b= > deben escogerse x e y
signos iguales (ambos positivos o ambos negativos) y si 0b < , x e y deben tener signos
diferentes.
Ejemplo
Se desea encontrar las raíces cuadradas de 5 12i− , entonces si w x yi= + es una de ellas:
2 2 2 2
2 2
5 12 13
5
x y
x y
+ = + =
− =
Entonces 2 9x = 3x = ± 2 4, 2y y= = ±
y como b es menor que cero, x e y deben escogerse con signos diferentes.
Entonces 1 23 2 , 3 2w i w i= − = − + son las raíces cuadradas de z .
NUMEROS COMPLEJOS 18
Ejemplo
Se desea obtener las raíces de la siguiente ecuación: 2 3 3 0z z i− + − =
Entonces: 1, 3, 3 ,a b c i= = − = − y por lo tanto,
2
2
94 4(1)(3 ) 12 4 ; 4 3 4
bac i i b ac i
=− = − − = − + − = − +
Como se va a requerir obtener 2 4 ,b ac− Necesitamos x yi+ tal que
( ) iacbyix 43422 +−=−=+
22
351
235
3
522
22
±=+
=±=−
=∴
−=−
=+∴
yx
yx
yx
como 42 =xy los signos deben escogerse iguales. Entonces
ii 2121 −−+∴ y Finalmente,
iz
iz
)i(z
−=
+=
+±=
1
22
213
2
1
Comprobación ( sólo se hará para z1 )
( ) 04466336433232 2 =−+−=−+−−+=−++−+ i)()(iiii)i(i Ejemplo
iiacb
ici-b aiizz
2432243644
692106922
2
+=++−=−
−−====−−−
debe obtenerse yixi +=+ 2432
NUMEROS COMPLEJOS 19
de manera que 2 2 40, 2 24 x y xy+ = = signos iguales 2 2 32x y− =
6, 2 x y= ± = ± ∴ raíces 6 2 e 6 2i i+ − −
de donde regresando a nuestra ecuación
( )
32
262
232
2622
262
2
1
−=−−
=
+=++
=
+±=
iiz
iii
z
iiz
Comprobación para ( )3−
0696969323 2 =−−+=−−−−− iii)(i)( Para ( )i23 +
( ) ( ) 01212945694612496923223 2 =−+−+=−−+−+−=−−+−+ iiiiiiiii
Ojo: También puede comprobarse notando que la suma de las raíces debe ser brr −=+ 21 y su
producto crr =21 . En efecto, si 1r y 2r son raíces de 02 =++ cbxx , se tiene que
( )( )( ) 2121
2
212
rrxrrx
rxrxcbxx
++−=
−−=++
o sea, brr −=+ 21 crr =21 Ejercicio: Haga esta comprobación en los ejemplos anteriores. Ejercicios
Encuentre las raíces cuadradas de:
1. iz 31 −=
2. iz 31−−=
3. iz 2=
4. 16−=z
5. iz 2−=
6. 4−=z
7. iz 1024 −=
8. iz 322 +=
NUMEROS COMPLEJOS 20
9. iz 8−=
10. iz 125 −=
11. iz 43 −=
12. iz 43 +=
13. iz 43 +−=
14. iz 43−−=
15. iz 512 +=
16. iz 815 +=
17. iz 4240+−=
Resuelva las ecuaciones siguientes:
18. 0332 =−+− izz
19. 06922 =−−− iizz
20. ( ) 05132 =++− iziz
21. ( ) ( ) 02211 2 =−+++ zizi
22. 0122 =+− izz
23. 0125 2 =−+− xx
24. ( ) 0542 =−++− iziz
25. ( ) 062352 =−+−− iziz
26. ( ) ( ) 055322 =+−−+ iziz
27. 0136 =++ zz
Sistemas de Ecuaciones i) Se desea resolver el sistema:
( )( ) ( ) iwizi
iwiiz31261
31+−=+−+
=++
Observamos que las incógnitas de las segunda ecuación son las conjugadas de la primera,
por lo que la conjugamos, con lo que el sistema queda:
NUMEROS COMPLEJOS 21
( )( ) ( ) iwizi
iwiiz31261
31−−=−−−
=++
y procediendo por suma y resta:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )iiwiizii
iiwiiizi31261
31111−−−=−−−−−
−=+−+−
( )( ) ( ) iwizii
iwzii123611
3321+−=++−−
+=+−
Por lo tanto,
( ) ( ) ( )i
iiwiwiiwi +=
−=∴=+∴=+ 2
5215
5211563
y sustituyendo en la primer ecuación,
( )( )
ii
z;iz
iiiziiiiz
=−
=−=
=++=+++
11
331321
Comprobamos:
( ) ( )( )( ) ( )( ) iiiiiii
iiiiii
3124131261
331121
+−=+−−=++−+
=++−=+++
ii) Se desea resolver el sistema:
iiwziwiz
352432
−=−+=+
Calcúlese:
32
2−=
−=∆
ii
Por lo tanto el sistema tiene solución única
ii
wiiii
ii
ziii
i
w
z
+=−
−−=∴−−=
−+
=∆
−=−
+−=∴+−=
−−+
=∆
13
3333
35243
23
3636
35243
Comprobación: ( ) ( )( ) ( ) iiii
iiii3512243122
−=+−−+=++−
NUMEROS COMPLEJOS 22
Ejemplo iii) Se desea resolver el sistema:
izyx
izyxizyx
5522
242224
+−=−−
−−=−++=++
Indicaremos las operaciones usando:
'R2 (léase el nuevo renglón 2)
12 RR − (léase renglón 2 menos renglón 1) La matriz aumentada es:
+−
+=−=
+−−+
−
−+
=
−=
+−−−
+
−−−
−=−=
+−−−
+
−−−
ii
i
RRRRRR
iii
RRR
RRR
ii
i
RRRRRR
ii
i
'
'
'
'
'
'
31
2
100010
001
34
348612
100310
401
154
1348
24
340310
111
25524
24
122221
111
322
311
233
211
133
122
Comprobamos:
( ) ( )( ) ( ) ( ) iiiiiii
iiiiiiiiiii
55322431222
24262223212224312
+−=−−+−=+−−−
−−=−−−+=+−−++=++−+
Ejercicios Resuelva:
1. ( ) izzzz =+− 3
2. izzz 242 −=−+
3. ( )
+−=−−=+
i/wziwz2376
51032
4.
+=−+=+
iiwziwz
232243
NUMEROS COMPLEJOS 23
5. ( ) ( )( ) ( )
=++−=−++
411011
wiziwizi
6. ( ) ( )
=−++=−+++
+=++
izizziziziiz
izzz
24711
46
321
321
321
7. 1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1 24 5 6 2
7 8 9 3 4
z z z iz z z i
z z z i
+ + = − + + = + + + = +
Representación Geométrica de los Números Complejos
Tal como se ha mencionado en párrafos anteriores, todo número complejo bia + puede hacerse
corresponder con el punto del plano cuyas coordenadas son a y b . Cuando se usa esta
representación, el eje X se conoce como el eje real y el eje Y es el imaginario. Cada número
complejo z puede considerarse como la suma bia + , la pareja ( )b,a , el punto del plano
( )b,aP = , o el vector apoyado en el origen de extremo P , y si la longitud del segmento OP es
r y el ángulo que forma OP con el eje real es θ , el complejo z puede expresarse también en
coordenadas polares ( )θ,r , en donde, por supuesto, cosa r θ= y senb r θ= . El cambio
inverso —rectangulares a polares — está dado por las relaciones:
22 bar +=
arctan( / ) si 0/ 2 si 0, 0/ 2 si 0, 0
no definido si 0
b a aa ba b
a b
πθ
π
≠ = >= − = < = =
Equivalentemente, se define el “argumento” θ de z como el ángulo cuyo coseno es
2 2
a
a b+ y cuyo seno es
2 2
b
a b+.
NUMEROS COMPLEJOS 24
θ no está definido si 2 2 0a b+ = , es decir si 0=z .
Puede verse que esta manera de definir el argumento de z , permite la posibilidad de que
dos ángulos 1θ y 2θ sean argumentos de z si 1θ y 2θ difieren en un múltiplo entero de π2 y sólo
entonces (ver ''argumento de un número complejo'' más adelante), observación que resultará
conveniente en lo que sigue. 21 cos(cos θθ = y 1 2 2 1sen sen 2 , )k kθ θ θ θ π= ⇔ = + ∈¢ . Ejemplo Pasar de coordenadas rectangulares a forma polar.
Considérese el vector (en el plano) de módulo 2 y argumento 3/π , y calculemos sus
formas rectangular y polar.
(Se sugiere comenzar dibujando el vector de que se trate)
Entonces sus coordenadas rectangulares son 1 y 3 . Por lo tanto su forma rectángula es
1 3 i+ y su forma polar es 2cis /3π ó 2cis60° . NOTA (cis cos seniθ θ θ≡ + )
Re
Im
O
NUMEROS COMPLEJOS 25
Ejemplo
Calcular las formas rectangular y polar de z , si z tiene módulo 4 y argumento / 4π (ó 45°).
Entonces la forma rectangular es 2 2 2 2 i+ y la forma polar es 4cis / 4π Ejemplo
Pasar el número i434 + a la forma polar. (También se sugiere empezar con un dibujo)
Como se puede ver, el tamaño 2 2(4 3) 4 64 8+ = = y el argumento / 6π (ó 30°) y
entonces, la forma polar queda 8cis30 8(cos30 sen30 )z i= ° = ° + ° .
Re
Im
O
Re
Im
O
NUMEROS COMPLEJOS 26
Ejemplo Pasar el número 2cis120° a la forma rectangular.
Entonces, como puede verse, las coordenadas de z son )3,1(− y por lo tanto
1 3z i= − +
Ejercicios
Calcular las coordenadas de los vectores del plano cuyo módulo es r y cuyo argumento es s :
1. ,23=r °= 225s
2. ,2=r °= 30s
3. ,3=r °= 90s
4. ,2=r °= 270s
5. ,2=r °= 45s
6. ,4=r °= 120s
7. ,2=r °= 300s
Reducir a coordenadas polares:
1. i77 +
2. i−3
3. i55 +−
Re
Im
O
NUMEROS COMPLEJOS 27
4. 31 i−
5. i24 +
6. i366−−
7. 4−
8. i8−
Calcule las potencias siguientes:
1. 8)1( i+
2. 3)43( i+
3. 2)125( i−
Entre las ventajas que tiene la representación geométrica de los números complejos, que
permite estudiar la geometría del plano a través del álgebra de £ , señalamos que tal
representación permite interpretar la suma de dos complejos 1z y 2z como la diagonal del
paralelogramo construido sobre los sumandos (ver figura),
y además permite interpretar la multiplicación en la forma que expresa el siguiente
Teorema Sean (cos sen ) 1,2j j j jz r i jθ θ= + = dos números complejos (que por
comodidad denotaremos algunas veces en forma abreviada como cisj j jz r θ= .
Entonces,
Re
Im
O
NUMEROS COMPLEJOS 28
1 2 1 2 1 2cis( )z z r r θ θ= +
(Este teorema dice que para multiplicar dos complejos, se multiplican sus tamaños y se suman sus
argumentos).
Demostración
1 1 1 1 2 2 2 2( cos sen )( cos sen )r ir r irθ θ θ θ+ + =
[ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2cos cos sen sen (sen cos cos sen )r r iθ θ θ θ θ θ θ θ= − + +
[ ]1 2 1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sen( ) cis( )rr i r rθ θ θ θ θ θ= + + + = + Corolario
(Teorema de De Moivre) Si cis ,z r θ= es un número complejo, entonces
, cis( ).n nn z r nθ∀ ∈ =¢
Demostración (Inducción sobre n). La base, ,1=n es obvia.
Paso inductivo: ).1()( +Τ⇒Τ kk
Supóngase que el teorema vale para ,kn = es decir, cis( )k kz r kθ= y aplíquese el teorema.
Entonces 1 1cis( ) cis cis[( 1) ].k k k kz z z r k r r kθ θ θ+ += = = +i i
Paso inductivo aumentado: )()( nn −Τ⇒Τ
212
(cos sen )( ) /
nn n n n
n
r n i nz z z z
rθ θ− − −
= = =
(cos( ) sen( )) ( cis( )n n nz r n i n r nθ θ θ− − −= − + − = −
(Recuerde que cos es una función par y sen es una función impar, es decir:
cos( ) cos , sen( ) senα α α α− = − = − )
NUMEROS COMPLEJOS 29
Ejemplos
1. Se desea realizar la siguiente operación:
1 2 2(cos25 sen25 ) 5(cos75 sen75 )z z i i= °+ ° ⋅ ° + ° 10(cos100 sen100 ) 10cis100i= ° + ° = °
2. Otro ejemplo podría ser:
1 2 15cis140 4cis280 60cis420 60cis60 )z z = °⋅ ° = ° = ° 3. Tenemos que resolver:
( )5 55 5 2(1 ) 2cis45 2 cis5(45 ) 4 2cis225z i= + = ° = ° = °
Ahora lo hacemos desarrollando el binomio:
54325 5101051)1( iiiiii +++++=+ 1 5 10 10 5i i i= + − − + +
i44 −−= Pasando a forma polar este resultado:
°==+= 225241616 θyz 5 4 2cis225z∴ = °
En este ejemplo se nota que es mucho más corto sacar potencias de un número complejo
en forma polar usando el teorema de De Moivre que desarrollando el binomio en forma rectangular
(trate de calcular 200)1( i+ en forma rectangular).
Ejercicios
Realice las operaciones indicadas. En el caso de los ejercicios que están en forma
rectangular, primero habrá que reducirlos a forma polar.
1. 2(cos25 sen25 )5(cos75 sen75 )i i° + ° °+ °
2. 8(cos18 sen18 )6(cos24 sen24 )i i°+ ° ° + °
3. 15(cos140 sen140 )4(cos280 sen280 )i i° + ° ° + °
4. )44)(31( ii ++
5. )377)(66( ii +−−
NUMEROS COMPLEJOS 30
6. 2(cos15 sen15 )3(cos70 sen70 )4(cos65 sen65 )i i i° + ° ° + ° ° + °
Ejercicios
Use el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada
1. 3[4(cos12 sen12 )]i° + °
2. 4[3(cos18 sen18 )]i°+ °
3. 6[ 3(cos25 sen25 )]i° + °
4. 8[2(cos20 sen20 )]i°+ °
5. 10(1 )i−
6. 9(1 3)i+
7. 8( 2 3 2 )i− +
8. 12( 3 )i−
9. 4[5(cos16 sen16 )]i −° + °
10. 8[ 7(cos20 sen20 )]i° + °
11. 6[cos( 10 ) sen( 10 )]i− ° + − °
12. 6(cos10 sen10 )i −°+ °
13. 10( 3 )i −+
14. 12( 1 )i− −
Raíces n-simas de un Número Complejo Supóngase que se desea encontrar a todos los complejos w tales que nw z= , y que
cisz ρ θ= , supongamos además que 0 cisw r φ= es uno de ellos.
Entonces, por el teorema de De Moivre,
0 cis cis ,n n nw r n rφ ρ θ ρ= = ∴ = (la raíz real) y nθ
φ = Es decir 0 cis( )nwnθ
ρ= .
NUMEROS COMPLEJOS 31
Considerando que si θ es un argumento de z los números 2 ,k kθ π+ ∈ Ζ , también lo
son, se encuentran las otras 1n − raíces de z , sumando a φ , el número 2
, 1,..., 1k k nnπ
= − .
Así por ejemplo si 1 ( 1cis0)z z= = sus raíces cúbicas (que son tres), son:
3 01 31cis 1r = =
32 12 3 2 21cis[0 ] 1cis 120r i wπ= + = − + = = °
2323 3 2
11cis[0 2] 1cis 240
2r i wπ= + = − − = = °
Si por ejemplo 32cis150z = ° , sus raíces quintas son:
1501 52cis 2cis30r °= = °
22
2cis(30 ) 2cis(30 72 ) 2cis1025
rπ
= + = ° + ° = °
3 2cis[30 2(72 )] 2cis174r = °+ ° = °
4 2cis[30 3(72 )] 2cis246r = °+ ° = °
5 2cis[30 4(72 )] 2cis318r = °+ ° = °
NUMEROS COMPLEJOS 32
Justificamos las afirmaciones anteriores con el siguiente:
Teorema Sea cisz ρ θ= un número complejo diferente de cero. Entonces para
cada n entero positivo, z tiene exactamente n raíces n-simas, que están dadas por la fórmula:
cisnk kw ρ φ= en donde
2, 0,1,..., 1k
kk n
nθ π
φ+
= = −
(para fines prácticos, los ángulos pueden expresarse en grados, y en este caso,
360, 0,1..., 1)k
kk n
nθ
φ+ °
= = −
Demostración
Sea { }0 1,..., nw wβ −= el conjunto formado por los n valores de la fórmula que
corresponden a 0,1..., 1k n= −
Entonces
1. 2
( ) ( ) cis( ) cis( 2 )n nnk
kw n k z
nθ π
ρ ρ θ π+
= = + =
2. Supóngase , 0iw j i n≤ ≤ < . Entonces cis cisn nj jρ φ ρ φ= y por lo tanto iφ y jφ difieren,
necesariamente, en un múltiplo entero de 2π es decir 2 2
2 2i ji j i j
kn n n
θ π θ πφ φ π π
+ + −− = = − = por lo tanto
i jk
n−
= , que debe ser entero, lo
que dice que n divide a i j− pero 0 0,i j n i j i j≤ − ≤ ∴ − = = .
NUMEROS COMPLEJOS 33
En resumen, i jw w i j= ⇒ = y por contrapuesta, i ji j w w≠ ⇒ ≠ . Luego la cardinalidad
de β es n y dado que la ecuación 0nx z− = no puede tener más de n raíces en £ , β consta
de todas las raíces n-simas de z .
Ejercicios
Obtenga las raíces que se indican.
1. Raíces cúbicas de 8(cos72 sen72 )i° + °
2. Raíces cúbicas de 216(cos27 sen27 )i° + °
3. Raíces cuadradas de (1 3)i−
4. Raíces cúbicas de (1 3)i−
5. Raíces cuadradas de ( 1 3)i− −
6. Raíces cúbicas de 1
7. Raíces cúbicas de 8
8. Raíces cúbicas de 1−
9. Raíces cúbicas de i
10. Raíces cúbicas de (3 4 )i+
11. Raíces cuartas de 16 2( 1 )i− +
12. Raíces quintas de 1
13. Raíces sextas de 27i−
14. Raíces quintas de 16 2( 1 )i− +
El Argumento de un Número Complejo
Cuando se cambian las coordenadas polares a rectangulares en un complejo , ( , )z z r θ= éstas
últimas quedan bien determinadas por las expresiones cosx r θ= y seny r θ= pero el cambio
inverso-rectangulares a polares (en el que si ( , ), rz x y= resulta ser122 2( )r x y= + , sólo define a
θ módulo 2π . Es decir: Si θ satisface sen , cos , ( 0y x
rr r
θ θ= = ≠ , por supuesto), entonces
φ satisfará las mismas relaciones si y sólo si 2 kφ θ π= + , es decir si y solamente si θ y φ
NUMEROS COMPLEJOS 34
difieren en un múltiplo entero de 2π . Para evitar la ambigüedad que esta situación ocasiona, se
conviene en definir Arg zθ = como el único real con las propiedades:
cos , sen , ( 0)x r y r zθ θ π θ π= = − < ≤ ≠
Se sabe (Teorema de De Moivre) que para multiplicar 2 complejos, se multiplican (en ¡ )
sus tamaños y se “suman sus argumentos'', pero para ser congruentes con la convención anterior,
a esta suma se le debe aplicar una corrección para el caso de que no caiga dentro del rango
acordado ( , ]π π− . De modo que si :
cis (Arg ) 1,2j j j j jz r z jθ θ= = = , Se tiene que :
1 2 1 2 1 2Arg( ) 2 ( )z z c z zθ θ π= + + , en donde :
1 2
1 2 1 2
1 2
1( , ) 0
1
sic z z si
si
θ θ ππ θ θ π
θ θ π
+ ≤ −= − < + ≤− + >
Así por ejemplo si 1 2 1;z z= = − 1 21 cis , ( , ) 1c z zπ− = = − ( 1)( 1) 1cis(2 2 ) 1cis0π π− − = − = La Función Exponencial Compleja Una observación importante:
Sea [ ]: ,Z a b → £ la descripción de una trayectoria en 2¡ . Entonces,
( ) ( ) ( )Z t x t iy t= + muestra que tanto la parte real como la imaginaria de Z son funciones que
dependen de t , y entonces, la derivada de Z con respecto a t , debe definirse como :
( ) ( )Z x t iy t′ ′ ′= +
Así por ejemplo si ( ) cos senZ t t i t= + , ( que cuando la variable t se interpreta como “el
tiempo'' describe una rotación alrededor del origen con radio uno), la velocidad del movimiento —la
derivada de Z con respecto a t — es ( ) sen cosZ t t i t′ = − + , y del mismo modo, la aceleración
resulta: ( ) cos senZ t t i t′′ = − +
Se desea extender exp: a :E→ →¡ ¡ £ £ de manera que se conserven las
propiedades básicas de la exponencial. Explícitamente se desea que E tenga las propiedades
siguientes:
NUMEROS COMPLEJOS 35
a) ( ) exp( )E x x x= ∀ ∈ ¡
b) , , ( ) ( ) ( )z w E z w E z E w∀ ∈ + =£
c) ( ) ( )E z E z z′ ′= i
En vista de esto, si z x iy= + , con ,x y ∈¡ , debe suceder que
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xE z E x iy E x E iy e E iy= + = = y por lo tanto, nuestro problema —encontrar la forma
correcta de definir ( )E z — se reduce a decidir la manera en que debe interpretarse ( )E iy que
obviamente es un complejo cuyas partes real e imaginaria dependen de y . Es decir
( ) ( ) ( )E iy U y iV y= + y se debe encontrar qué funciones U y V resultan adecuadas para nuestro
propósito ( conseguir que E tenga propiedades deseadas a), b) y c) )
Entonces
1. ( ) ( ) ( )E iy U y iV y= + por definición.
Derivando en el supuesto de que E satisface c),
2. ( ) ( ) ( ) ( )E iy iE iy U y iV y′ ′ ′= = + en donde U y V′ ′
son derivadas con respecto a su variable y .
Derivando una vez más:
3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )E iy E iy U y iV y U y iV y′′ ′′ ′′= − = + = − −
resultado que muestra que tanto U como V son
funciones que satisfacen la ecuación 0f f′′ + =
Haciendo 0y = en (1) y en (2), se obtiene:
4. 1 (0) (0) (0) 1; (0) 0U iV U V= + ∴ = =
5. (0) (0) (0) 0; (0) 1i U iV U V′ ′ ′ ′= + ∴ = =
Los resultados anteriores muestran que tanto U como V deben ser las soluciones a los
problemas de valores iniciales siguientes:
: 0, (0) 1, (0) 0U y y y y′′ ′+ = = =
y
: 0, (0) 0, (0) 1V y y y y′′ ′+ = = =
NUMEROS COMPLEJOS 36
y como las soluciones a tales problemas son únicas, U debe ser la función coseno y V la función
seno. Luego:
( ) (cos sen ) cisx xE x iy e y i y e y+ = + =
Teorema. La función :E →£ £ así definida tiene las propiedades a), b) y c) Demostración de las propiedades:
a) ( ) exp( )E x x x= ∀ ∈ ¡
, 0 , ( ) exp( )cis(0)z z x i E z x∈ = + =¡
cis(0) 1 ( ) ( ) exp( )E z E x x= ∴ = =
b) 1 2 1 2( ) ( ) ( )E z z E z E z+ =
1,2j j jz x iy j= + =
1 2 1 2 1 2( ) ( )z z x x i y y+ = + + + = ∴
1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) exp( )cis( ) cis( ) ( cis )( cis )x x x xE z z x x y y e e y y e y e y+ = + + = + =
1 2( ) ( )E z E z= i
c) ( ) ( )E z E z z′ ′=
( ) ( ) ( ) ( ) (cos isen )xz t x t iy t E z e y y= + ∴ = +
( ) (cos isen ) ( sen cos )x xE z x e y y y e y i y′ ′ ′= + + − +
( 2sen seny i y− = )
( ) (cos isen )( ) ( )xE z e y y x iy E z z′ ′ ′ ′= + + = i
Teorema. La función exponencial es periódica, y cada período es de la forma: 2 ,ki kπ ∈ Z
Demostración Sea w un período de E , luego , ( ) ( )z E z E z w∀ ∈ = +£ . Haciendo 0z = ,
11 ( ) y si , ( ) cis 1 0, sen 0,xE w w x yi E w e y x y −= = + = = ∴ = =1cos 1 entonces 2 ,y y k kπ−= = ∈Z .
NUMEROS COMPLEJOS 37
Una consecuencia de la demostración es que ( ) 1 2 ,E z z ki kπ= ⇔ = ∈ ¢ .
Representación Geométrica de Algunas Rectas bajo la Transformación E Sea :T →£ £ la transformación: ( ) ( )T z E z= .
Obsérvese que el origen de £ , va a dar al punto (1,0) .
A medida que la variable recorre el eje x alejándose del origen en el sentido positivo, xe
aumenta —exponencialmente—, pero y se mantiene igual a cero, luego la imagen de
[ [0, ) es 1, )∞ ∞ mientras que ( ,0) es (0,1)E −∞ . De la misma manera puede analizarse la
imagen bajo la transformación E de cualquier recta horizontal ( )y cte= . Se encuentra que la
imagen de la semirrecta cuyos puntos tienen abcisa positiva, es la parte que queda afuera del
círculo unitario, del rayo que parte del origen y cuyo argumento es la y de la recta. La semirrecta de
puntos con x negativa tiene por imagen la porción del rayo que queda dentro del círculo,
( ( ) 0E z z≠ ∀ ∈£ .
Nótese que como ( ( ) ( ) 1,E z E z z− = ∀ ∈i £ , y por lo tanto, , 0,zz e∀ ∈ ≠£ el origen
del plano £ no es imagen de ningún complejo z bajo la transformación ''exponencial''.
Las rectas verticales ctex = (tamaño fijo y argumento de a−∞ ∞ ), van a dar a
circunferencias de radio xe y las rectas que parten del origen se ''retratan'' como espirales que
''arrancan'' de (1,0) . (Las imágenes van aumentando tanto de tamaño como de argumento, a
medida que la variable se va alejando del origen).
NUMEROS COMPLEJOS 39
La Función Logaritmo Con el deseo de definir la función inversa de la exponencial, —el logaritmo complejo— observamos
que si , ( ) cis ,xz x yi E z e y= + = (por supuesto, ( ) , Arg ( )xE z e E z y= = ). Por lo tanto debe definirse:
( ) 1 ArgL z n z i z= +
Nótese que si , , ( ) 1 0 1z x x L z n x i nx+= ∈ = + =¡ , es decir, L es una extensión de1n .
Si , ( ) 1z x L z n x iπ=− = + .
Nótese también que siendo la exponencial una función periódica, debe escogerse una
banda del plano de ancho2π para seleccionar en ella los argumentos de los logaritmos complejos.
En efecto, si escogemos la región { }( , ) |x y yπ π∈ − < ≤£ , entonces, la función exponencial
definida en ella, la ''mapea'' biyectivamente en todo el plano menos el origen.
Otra vez: Si se define { }|D x yi yπ π= + ∈ − < ≤£ , : {0}E D → −£ es biyectiva y
su inversa es : {0}L D− →£ .
En efecto, , , ( ) cisxz D z x yi E z e y∀ ∈ = + = ; ( cis ) 1x xL e y n e iy x yi= + = + .
Y si z x yi= + es un complejo no cero de tamaño r y de argumento θ ( cosx r θ= ,
seny r θ= ) entonces ( ) lnL z r iθ= + , y por lo tanto, ln( ( )) cis cos senrE L z e r irθ θ θ= = + =
x yi z+ = .
Obsérvese que la función : {0}L D− →£ está bien definida (en el sentido de
que 0, ( )z L z D∀ ≠ ∈ ya que, según convinimos, el argumento de ( )L z debe satisfacer
Arg zπ π− < ≤
Ejemplo
( ) ln Arg ln1 ( /2) ( / 2)L i i i i i iπ π= + = + =
Ejemplo
( 1) n 1 Arg( 1) ln1L l i i iπ π− = − + − = + =
NUMEROS COMPLEJOS 40
Teorema Si 1 1 1 2 2 2cis , cisz r z rθ θ= = , Entonces 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) 2 ( , )L z z L z L z ic z zπ= + + Demostración
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( cis( 2 ( , )))L z z L r r c z zθ θ π= + + =
1 2 1 2 1 21 ( ) ( 2 ( , ))n rr i c z zθ θ π+ + + =
1 1 2 2 1 21 1 2 ( , )nr i nr i ic z zθ θ π+ + + + =
1 2 1 2( ) ( ) 2 ( , )L z L z ic z zπ+ +
Definición
Si es 0, , ( ( ))wz z w z E wL z≠ ∈ =£ .
En el caso de que z x += ∈ ¡ , w y= ∈ ¡
( ) ( ( )) ( 1 ) exp( 1 )yE x E yL x E y nx y nx= = = por lo que, como puede verse, la
definición anterior extiende a la que se tenía para¡
Nota de ( ( ))wz E w z= , aplicando la función L , se ve que ( ) ( )wL z wL z=
Teorema
1. 1 2 1 21, 20, , w w w wz w w z z z+∀ ≠ ∈ =£ i
2. 1 1 22( )w w wwz z=
3. Si 1z y 2z son distintos de cero,
1 2 1 2 1 2, ( ) (2 ( )) :w w ww z z z z E wic z zπ∈ =£
Demostración
1. 1 2
1 2 1 2(( ) ( )) ( ( ) ( ))w wz E w w L z E w L z w L z= + = + =
1 21 2( ( )) ( ( )) w wE w L z E w L z z z= =i i
2. 1 2 1
2( ) ( ( ))w w wz E w L z= =
NUMEROS COMPLEJOS 41
1 22 1( ( )) w wE w w L z z= =i
3. 1 2 1 2( ) ( ( ))wz z E wL z z= =
1 2 1 2[ ( ( ) ( ) 2 ( ))]E w L z L z ic z zπ= + +
1 2 1 2[ ( ) ( ) 2 ( )]E w L z w L z wic z zπ= + + =
1 2 1 2( ( )) ( ( )) (2 ( ))E wL z E wL z E wic z zπ= =i i
1 2 1 2(2 ( ))w wz z E wic z zπ= i i Ejemplos
1. 12 2( 1) (1/2 ( 1)) (1/2 ) iE L E i e
π
π− = − = = =
cos / 2 isen / 2 iπ π= + =
En la enseñanza del álgebra elemental se asegura que para obtener la raíz cuadrada de un
número negativo, se deberá tomar la correspondiente a su valor absoluto multiplicada por i . Así
por ejemplo se dice que 4 2i− = y se justifica escribiendo:
4 4( 1) 4 1 2 .i− = − = − =
Note que en el paso intermedio 4( 1) 4 1− = − no se tomó en cuenta la corrección
—multiplicar por 1( 2 ( 1,4))2E i cπ − — que en este caso es cero ya que la suma de los
argumentos de los factores no excede π , y así, el resultado es correcto, aunque el procedimiento
no. Si lo fuera, entonces valdría la conocida “paradoja” siguiente:
21 1 ( 1)( 1) 1 1 1. ¿1 1?i= = − − = − − = = − = −
La falacia aparece cuando se sustituye ( 1)( 1)− − por ( 1) ( 1)− − ya que aquí la
corrección no es cero. En efecto, Arg( 1) π− = y por lo tanto Arg( 1) Arg( 1) 2π− + − = , suma
que excede el rango que se escogió y que obliga en este caso a aplicar la corrección, es
decir debe multiplicarse el lado derecho de la igualdad por
1( 2 ( 1, 1)) ( ) cis( ) 12E i c E iπ π π− − = − = − = − .
NUMEROS COMPLEJOS 42
Ahora si: 2( 1)( 1) 1 1( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1i− − = − − − = − = − − =
Las Funciones Trigonométricas Recordando que para todo número real , cos sen , cos sen ,i ie i e iθ θθ θ θ θ θ−= + = − se ve que
entonces, 2cosi ie eθ θ θ−+ = ; 2 seni ie e iθ θ θ−− = y que por lo tanto, cos2
i ie eθ θ
θ−+= ;
sen2
i ie ei
θ θ
θ−−= , conviene definir para cada , cos , sen
2 2
zi zi zi zie e e ez z z
i
− −+ −∈ = =£ .
Con este acuerdo, las nuevas funciones —que extienden a las correspondientes cos y sen
de variable real— adquieren, entre otras, las siguientes propiedades:
Teorema ,z w∀ ∈ £ ,
1. 2 2sen cos 1z z+ =
2. (sen ) cosz z′ =
3. (cos ) senz z′= −
4. cos( ) cos cos sen senz w z w z w+ = −
5. sen( ) sen cos cos senz w z w z w+ = +
Demostración
En efecto:
1.
2 2 22 2
sen2 4
zi zi zi zie e e ez
i
− − − + −= = −
2 2 22 2
cos2 4
zi zi zi zie e e ez
− − + + += =
por lo tanto: 2 2 2 2
2 2 2 2cos 1
4
zi zi zi zie e e esen z z
− −+ + − − ++ = =
2. ( )
(sen ) cos2 2 2
zi zi zi zi zi zie e i e e e ez z
i i
− − −′ − + +′ = = = =
3. 2( ) ( )
(cos ) sen2 2 2
zi zi zi zi zi zie e i e e i e ez z
i
− − −′ + − −′= = = = −
NUMEROS COMPLEJOS 43
4. ( ) ( ) ( ) ( )( )( )cos cos
4 4
zi zi wi w i z w i z w i z w i z w ie e e e e e e ez w− − + − − + − ++ + + + += =
( ) ( ) ( ) ( )( )( )sen sen( 2 ) ( 2 ) 4
zi zi wi wi z w i z w i z w i z w ie e e e e e e ez wi i
− − + − − + − +− − − − += =−
( ) ( )2 2cos cos sen sen cos( )
2
z w i z w ie ez w z w z w
+ − ++∴ − = = +
5. ( ) ( ) ( ) ( )( )( )sen cos
2(2 ) 4
zi zi wi wi z w i z w i z w z w ie e e e e e e ez wi i
− − + − − + − +− + + − −= =
( ) ( ) ( ) ( )( )( )cos sen2(2 ) 4
zi zi wi wi z w i z w i z w i z w ie e e e e e e ez wi i
− − + − − + − ++ − − + −= =
( ) ( )2 2sen cos cos sen sen( )
4
z w i z w ie ez w z w z w
i
+ − +−∴ + = = +
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