EJERCICIOS resueltos
(Matriz: conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental, equivalente)
MATRIZ CONMUTABLE
Las matrices A y B son conmutables si A.B=B.A Hallar todas las matrices A conmutables con B si:
A= (a bc d ) y, B= (1 1
0 1)Desarrollo:
A.B= (a a+bc c+d ) Λ B.A= (a+c b+d
c d )
Como A.B=B.A si son conmutables, entonces:
(a a+bc c+d ) = (a+c b+d
c d )
a = a+c c = c V a+b = b+d c+d = d
c = 0 a = d c = 0
A es conmutable con B si a, b, d Є R Λ a = d Λ c = 0
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARAALGEBRA LINEAL
MATRIZ IDEMPOTENTE
Una matriz se dice idempotente si y solo si A = A2
Pruebe que la siguiente matriz:
B = ( 2 −3 −5−1 4 51 −3 −4) es idempotente.
Desarrollo:
B2 = ( 2 −3 −5−1 4 51 −3 −4) * ( 2 −3 −5
−1 4 51 −3 −4) = ( 2 −3 −5
−1 4 51 −3 −4) = B
MATRIZ NILPOTENTE
Dada la siguiente matriz A, demostrar que es nilpotente de orden 2
A = (0 −8 00 0 00 5 0)
Desarrollo:
A2 = (0 −8 00 0 00 5 0) * (0 −8 0
0 0 00 5 0) = (0 0 0
0 0 00 0 0)
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARAALGEBRA LINEAL
A2 = (0 0 00 0 00 0 0)Se dice que es nilpotente de orden 2
MATRIZ INVOLUTIVA
Dada la siguiente matriz A, demostrar que es una matriz involutiva
A = (1 −10 −1) ; Por demostrar: A2 = I
Desarrollo:
A2 = (1 −10 −1) * (1 −1
0 −1) = (1 00 1)
A2 = I
MATRIZ ELEMENTAL
La matriz elemental es el resultado de aplicar una operación fundamental de fila a la matriz identidad
Hallar una matriz elemental de la siguiente matriz:
A = ( 0 2 5−4 −1 03 2 1)
Desarrollo:
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARAALGEBRA LINEAL
A = ( 0 2 5−4 −1 03 2 1) ≈ ( 0 2 5
−1 1 13 2 1)
⇒ IA = (1 0 00 1 00 0 1) ≈ (1 0 0
0 1 10 0 1) Esta es una matriz elemental
MATRIZ EQUIVALENTE
Sean A = ( 1 0 10 −1 1
−1 −2 1) y R = (1 0 10 1 −10 0 0 )
a.- ¿A es inversible?
b.- Demostrar que A ≈ R. Es decir, determinar una matriz P inversible tal que R = P.A
Desarrollo:
(A I I) = ( 1 0 1 1 0 00 −1 1 0 1 0
−1 −2 1 0 0 1) ≈ (1 0 1 1 0 00 −1 1 0 1 00 −2 2 1 0 1) ≈ (1 0 1 1 0 0
0 1 −1 0 −1 00 0 0 1 −2 1)
Conclusiones:
a.- A no es inversible, puesto que A es equivalente a una matriz R escalonada reducida por filas que no es la matriz identidad
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARAALGEBRA LINEAL
F2 + F3
F2 + F3
F3 + F1 F3 -2 F2
(-1)F2
PR
b.- A ≈ R y P = (1 0 00 −1 01 −2 1) donde P.A = (1 0 0
0 −1 01 −2 1)*(
1 0 10 −1 1
−1 −2 1)= (1 0 10 1 −10 0 0 )= R
BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARAALGEBRA LINEAL
Top Related