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2/40
´Universidad Nacional de SanCristobal de HuamangaFacultad de Ingenier´ Minas, Geolog´ y Civilıaıa
´Escuela de Formacion ro!esional de Ingeniera Civil
CU"S#$IN%MIC% &IC'())*
´
S#+UCI#N $E "#+EM%S ' ´CINE-IC% $E UN% %"-´ICU+% . CUE"# "´IGI$# eer ' 0onston
$#CEN-E1Ing2 C%S-"# E"E3 Cristian
%+UMN#S1 %.%+% I3%""# "oc4y G2C#N-"E"%S 5EN-U"% Samir 6 5%"G%S N%U% Hilmar 3%"%-E +%3# $ic4 F2
%yacuc0o, /ulio de (789
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3/40
´gina 8a (
222222222222222
222222222222222
222222222222222
222222222222222
222222222222222
222222222222222
222222222222222
Ca:´ıtulo 8 roblemas de $in´micaa828 +eyes de Ne;ton Cuer:o "´ıgido
(E87888)8?8@(((=(>(A97999=9?
222222222222222
´
Indice General
82( -raba
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4/40
roblemas de $in´micaaB7
7y7 8
y
UNSCH
Ferdinand eer2
y
7
7
?7D
97D
B
v
$INMIC%1+ate o! +e0ig0 University
E2 "ussell /o0nston, /r2University o! Connecticut
y
v7
v
8(7 !tB
v%%
F
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5/40
roblemas de $in´micaa
Ingenier´ Civilıa(
En las siguientes im´genes se vera de donde salen la a , a% y a% 2a
a% +2 J K+2K a L K a%
a a% J a%
´+% %CE+E"%CI#N "E+%-I5% SE"%
m =4g+ >=7mm (7D
$atos
Soluci´n1o
+
%
?7D
E=7mm se gu´ :or medio de dos ruedas :eue6as de masades:reciableıanue ruedan sobre la su:ercie mostrada2 Si la barra se suelta desdeel re:oso cuando (7D, determine inmediatamente des:u´s de laeaceleraci´n a* la aceleraci´n angular de la barra y b* la reacci´n enooo
+eyes de Ne;ton Cuer:o "´ıgido828
$inamica IC'())
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$escom:oniendo las ecuaciones de la aceleraci´n en coordenadas yo
G
>=7
unto Fi7Osin =7Osin ?7O?7D
=7D
a% 827@=+a 72@@)+
a%
a 827@=+ cos ?7O J 72=+ sin (7O
a 72=)(+ J 728>8+
a 72>89=+
ay 827@=+ sin ?7O P 72=+ cos (7O
ay 72A9@+ J 72)?A+
ay 72)?A+
$I%G"%M%S $E CUE"# +I"E
En el triangulo %E
%E >7D%E =7D
&82(*
&828*
9Ingenier´ Civilıa
?7D
?7D
%
+%
+
$inamica IC'())
$I%G"%M% $E %CE+E"%CI#NES
roblemas de $in´micaa
a%
(7D a
a%
(7D
a
(7D
%G
>=7
(7D
(7D%
G
>=7
>=7
%
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7/40
&ME *
?7D?7D
EE
+ey de senos
sin+ O?7E 72@@=+
Suma de Momentos
ME
E
sin =7O
$inamica IC'())
mg &72)?A@+* I J ma &72>8)* J may &72)?A* 8 72)?Amg+ m+( J m&72>8)*&72>8)* J m&72)?A*&72)?A* 8( 72)?Amg+ m+( &72@89*a
Calculando
g
72=>>@ + 72=>>@ A2@8 72>=
&829*
>2=?rads &82)*
)Ingenier´ Civilıa
%
=7D
a% roblemas de $in´micaa
72)?A
72)?A
(7D(7D
728>
Qmg ma
728>
Ia
may
%
72>8)
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´C%+CU+%N$# +% "E%CCI#N EN %
Ingenier´ Civilıa=
NmgC
Fusmg
7?in )7!ts 72(7
Ror5s
$atos
Soluci´n1o
%
Qmg r
C
v
r%
E
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9/40
&(2?*
-(
CNmg
-8 JU8P( -(
m5 (7Jr &s mg * ) ( Vm5Vrad V)r &sV *mg 5( rev @Wr &s g *
%"% r?in , s 72(7, 5)7!ts
)7(@Wr &72?*&9(2(*
$inamica IC'())
&(2>*
&(2@*
&(2A*
8A2>>rev28(8
&(287*
?Ingenier´ Civilıa
%
roblemas de $in´micaa
+a unica !uerBa ue 0ace el traba
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Qmg
+as barras :arten desde el re:oso cuando 7D :rimera imagen de la iBuierda,0allamos la 5d :ara angulos desde 7D 0asta A7D usando incrementos de
87D
++++0+(&sen&**+
%+(++ +(++ +(
%
++ +(++
roblemas de $in´micaa
$
$++0+(&sen&**
Qmg Qmg
QmgQmg
$imensiones1
% C +
>Ingenier´ Civilıa
$inamica IC'())
E2C=*
t7&v%*7 7
%%
+
+
$
Soluci´n1o
$atos+(
%+(++ +(
++ ++
+ 97in
$%
$+
Qmg
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´C#NSE"5%CI#N $E +% ENE"G´I%
CE$
+ ((
(
&EC *( &C$ *( J
( &C$ * +( cos&A7 P *
8(
EC &C$ * J
roblemas de $in´micaa
( +( ( &C$ *
+ cos&A7 P *(
&(28(*
consideramos a - como el traba
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?7
9,8(>>
(,)@7?
7,7777
Ingenier´ CivilıaA
A7@7
>7
9,9((9
=7
)7
97
(7
87
7
Cuadro de "esultados R5$
+ 97in (2=!tg 9(2(lbs(Evaluando y gracando desde desde 7D 0asta A7D usando incrementos de 87D
(,8=9>
8=,=)798=,9?((
8),@(87
89,@A)=
8(,=)(9
87,>798
@,97??
=,9)@>
-( 8 m (
7,7777
9,87@89,88A@
9,8=))
9,(7@@
9,(>)?
9,997(
(
7 J 7 P(mg+ sin J
-8 J U8 -( J U(
Formula de la conservaci´n de la energ´oıa
8Ec
-( = J 8( ()+
R(8(8( m+
8(
&(289*
(
m+( R (
R ( J 8 m&Ec* R ( J (
roblemas de $in´micaa
8 8(
( 8( m+Ec (8
J ()+
( +
R J (888
@ J () J @
-(
$inamica IC'())
8()
$atos
$%-#S %"% "ES#+5E" C#N "#G"%M%
"eem:laBando las ecuaciones (288, (28( y (289 :ara el calculo de 5$
5$ &C$ * R
+a velocidad en $ sera &5$ *
Ec (++ =J
R
m+( R (Ec (+
sin
= J 8(
m+( R (
()g
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rm:
md
@7 A7
Grados seagecimales
E299*
97 N
%
Soluci´n1o
$atos
roblemas de $in´micaa
87
@7mmA4g
?4g
v
v% ; ;vcr
vvC
Ingenier´ Civilıa
?7
$inamica IC'())
G"%FIC# 5$ vs -iem:o8?
8)
8(
87
@
$atos+ineal
5d
?
)
(
7
P( 7
%
87 (7 97 )7 =7 >7
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72=4g
-8 J U8Y( -8 (7 J >2= 892=vc
vc 72>)=
E*
+as es!erasde 72=4g del regulador centri!ugo giran con velocidad contastev en el circulo 0oriBontal de 8=7mm de radio ue se muestra2 Si se ignoralas masas de los eslabones %, C, %$ y $E y con la restricci´n de ueolos eslabones solo so:ortan !uerBas de tension, determine el intervalo de
valores :ermisibles de v de modo ue las magnitudes de las !uerBas delos eslabones no ecedan de >=N 2&roblema 8(2)9*
r8=7mm
-%C#S(7Z -%
-%SEN(7Z
.
[
72=4g
97 N
Q
-CSEN97Z
-C
-CC#S97Z
Soluci´n1o
88Ingenier´ Civilıa
@in
?inlinicial(7in
U8Y( >2=/
$inamica IC'()) roblemas de $in´micaa
consideramos a - como el traba
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\ -%
-% Q J -C cos 97
cos (7 - cos (7 P Q % cos 97 linicial(7insera maimo cuando-% sea maimo y esto es 1 >=N
vinici
?in -C
-%
+uego1
&(28A*
si-C >=N
Nos :iden1
-%
] &72=*&A2@8* J &>=*& 9(* cos (7 >)29)N esta dentro de lo :ermitido
8)in
&(2(7*
^
?in
8(Ingenier´ Civilıa
\ -% cos (7 P Q P -C cos 97 7
$inamica IC'()) roblemas de $in´micaa
$etermine el intervalo de valores :ermisibles de v de modo ue las magnitudes de las!uerBas de los eslabones no ecedan de >= N
Haciendo el $2C2+2 de una de las es!eras1
r8=7mm
-%C#S(7Z -%
-%SEN(7Z
.
[
72=4g
Q
-CSEN97Z
-C
-CC#S97Z
#" E_UI+I"I#1
F . 7
&(28@*
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%s´ tambi´n1ıe
Ingenier´ Civilıa89
72>9(ms ` v ` )29)ms
or tanto1
5 min 72>9(ms
r K -% min 2 sin (7 J -C min 2 sin 97m8=787P9 K=2(( sin (7 72=
5M in
\ 5min
En !orma an´logaa
%s´ tambi´n1ıe
&(2((*
r K -% ma 2 sin (7 J -C ma 2 sin 97 m 8=787P9
K>)29) sin (7 J >=2 sin 97 72= )29)ms
5M %[
5M %[
\ 5M %[
m25M %[ (\ -% ma 2 sin (7 J -C ma 2 sin 97 r
F" m2ac: ma
%:licando la segunda ley de Ne;ton al movimiento circular1
´#" CINEM%-IC%
&72=*&A2@8* cos (7 =2((N esta dentro de lo :ermitido
&(2(8*
-%
\ -%
-C 7
+uego1 si
-% sera minimo cuando-% sea minimo y esto es 1 7N
roblemas de $in´micaa$inamica IC'())
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72=4g$inamica IC'())
Ingenier´ Civilıa8)
Inicialmente tenemos ue1
5elocidad del collarin cuando :asa :or 2
"EGUN-% a*
Si se sabe ue el collarin esta en euilibrio en % y se le da un ligero im:ulso :ara :onerloen movimiento2
%demas1
9lb>in 82= lbin
Qcollarin+resorte ^
$atos
Soluci´n1o
@in
?in
-C Q -CC#S97ZUn collarin de 9lb esta unido a un resorte y desliBa sin !riccion a lolargo de una varilla circular en un :lano 0oriBontal2 El resorte tiene unalongitud no de!ormada de >in y una constante 4 82=lbin2Si se sabeue el collarin esta en euilibrio en % y se le de un ligero in:ulso :ara
:onerlo en movimiento, determine la velocidad del collarin, a*cuando:asa :or ,b* cuando :asa :or C2&roblema 892?7*
E
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8 5! inal en c ^ &+! inal P +resorte *( ( 8lib\ 5! inal en c &82= *&@in P >in*(
(in 82= 5! inal en c lib2in (
+nal@in
vC
8)in
Finalmente 1^
%:licando la conservaci´n de la energ´ se cum:le ue1oıa
5inicial J -inicial 5! inal J -! inal 8 Qcollarin 5inicial J 7 5! inal J 225 ( (g (8A2>8782?9>=9lib lib2in lib2in J25 ( (((&9(2(*&(*
5 882??!ts
"EGUN-% b*
5elocidad del collar´ cuando :asa :or CınCuando :asa :or C tenemos ue 1
Entonces1
Entonces 1
^
?in
&(2(=*
5
CvC
+nal@in
&(2(?*
8=Ingenier´ Civilıa
C
$inamica IC'())
r8=7mm @in
roblemas de $in´micaa
vinicia
-%C#S(7Z?in -%
-%SEN(7Z
. linicial(7in
[
8)in 872=4g
-CSEN97Z5inicial ^ &+inicial P +resorte *(&(2(9* ( -C Q
lib8 -CC#S97Z\ 5inicial &82= *&(7in P >in*( (in (8A2> 5inicial lib2in (( Inicialmente tenemos ue1 %0ora 0allamos la velocidadnal
72=4g
^
?in
5
@in
85! inal ^ &+! inal P +resorte *( ?in( 8lib5! inal &82= *K 8)( P ?( P >in( (in 8782?9>= lib2in5! inal (
vinicial7^
&(2()*linicial(7in
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+uego1or la conservacion de la energia se cum:le ue1
Ingenier´ Civilıa8?
El
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roblemas de $in´micaa
Ingenier´ Civilıa8>
5
[Fim:ulsiva =82()
5Cl9G
Fim:ulsiva :romedio sobre la :elota Fim:ulsiva :romedio e
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roblemas de $in´micaa
Ingenier´ Civilıa8@
%:licando la conservaci´n de la cantidad de movimiento lineal y de la conservacion de laoenergia cinetica des:ues de ue la es!era C c0oca con y antes ue se tense la cuerda se
cum:le ue1Haciendo el $2C2+2 de una de las es!eras1
%"-E a*
&(297*
5#C 5#
5#% 5# 7
m% m mC m
donde
$e la gura 1
Soluci´n1o[
l9
.
-res es!eras, cada una de masa m, se :uede desliBar con libertad sobreuna su:ercie 0oriBontal sin !ricci´n2 +as es!eras % y est´n unidasoa[a una cuerda inetensible e inelastica de longitud l y se encuentran enre:oso en la :osici´n ue se muestra cuando la es!era C, ue se estao
moviendo con una velocidad 57 , c0oca 0oriBontalmente contra la es!era y se su:one un im:acto :er!ectamente el´stico entre . C, determineaa* la velocidad de cada es!era inmediatamente des:u´s de ue la cuerdaese tensa, b* la !racci´n de la energ´ cin´tica inicial del sistema ue seoıaedisi:a cuando se :one tensa la cuerda2&roblema 8)2))*
E
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E
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roblemas de $in´micaa
Ingenier´ Civilıa(7
&(29@*
%"-E b*
] ? (v v7 88
&(29>* 8
v7 2& 9 *v% 8 @ K9 J A 9v% v7 "-% 88 ] v7 2 & ( ( *
v 8 9 @ K9 J A
.1
&(29?*v7 v 2 tan J v 2 cos sin v7 v 2J v 2 cos cos v7 2 cos v sin J cos( v7v tan J cos
rem:laBando ecuaci´n &9* en ecuaci´n &)* resulta ue1oo
Finalmente1
5
[
5Cl9G
5%l9
.
( (l9
$inamica IC'())
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-enemos ue1
Ingenier´ Civilıa(8
&(2)8* 99TEinicial
E
&(2)7*Einicial EEinicial EEinicial EEinicial E
7299Einicial
Einicial P E! inal Einicial E 8 P ! inal Einicial 8@8(( 2m& 8(8 v7 *8P 8(( 2m&v7 * @88P 8(8
E
En consecuencia1
8 (Einicial 2m2v7&(29A* ( E! inal -% J - J -C 222222222222222222222&Cuando se :one tensa la cuerda* 8 (((\ E! inal 2mKv% J v J vC ( ] 9? ( (8 v7 * J 7( \ E! inal 2mK& v7 *( J & (8888 8@8 ( E! inal 2m&v7 * (8(8
roblemas de $in´micaa$inamica IC'())
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$inamica IC'()) roblemas de $in´micaa
E
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m : ac &8*s N 2 cos&(7* P N sen&(7*
Y F &* m: ac
! s cos&(7* P N sen&(7* m: ac
s N 2 cos&(7* P N sen&(7* m: ac
N
tambien1
! &y * 7
roblemas de $in´micaa
N cos (7 J ! s sin (7 7
N cos (7 J s N sin (7 m: g m: g &(*N
cos (7 J &s *sen(7Igualando las ecuaciones &8* y &(*
m: acm: g s cos&(7* P sen&(7* cos&(7* J s sen&(7* 72) cos (7 P sen(7 ac A2@8 72)sen(7 J cos (7 ac 7297Am s( Y
aceleraci´n m´oınima del cami´no ac 7297Am s( Y
(9Ingenier´ Civilıa
$inamica IC'())
N N cos&(7*
! s sen&(7*
! s
(7! s cos&(7*
Nsen&(7*
y
m :g
7* s&(co
m gsen&(7*:
(7 m: g
or la Segunda ley de Ne;ton -enemos1
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roblemas de $in´micaa
Ingenier´ Civilıa()
aceleraci´n del cami´noo ac 882)=m s(
4 g cos (7 P gsen(7 J a:c ac cos (7 J 4 ac sen(7 4 g cos (7 P gsen(7 J a:c ac cos (7 J 4 sen(7 &729*A2@8 cos (7 P A2@8sen(7 J 8(2= ac cos (7 J 729sen(7 ac 882)=m s(
4 &g cos (7 P ac sen(7* P gsen(7 ac cos (7 P a:c4 Km: &g cos (7 P ac sen(7* P m: gsen(7 m: ac cos (7 P a:c
"eem:laBando la ecuaci´n &=* y &9*o
&=*
&9*
&)*
8 Pa:c t( ( 8 P8 Pa:c &72)*( (a:c 8(2=m s(
P[:c
:or cinem´tica1a
N m: &g cos&(7* P ac sen&(7**
N P m: g cos&(7* Pm: ac sen&(7*
F &y * Pm: a:
tambi´n1e
4 N P m: gsen&(7* m: ac cos&(7* P a:c
! 4 P m: gsen&(7* Pm: a:c J m: ac cos&(7*
F &* Pm: a:
:arte&b*del gr´co de la :arte &a* a:licando la Segunda ley de Ne;ton cuando la :ila se desliBaa:or la cama del cami´n se cum:le1o
$inamica IC'())
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roblemas de $in´micaa
Ingenier´ Civilıa(=
d )72@(=mm9d( (&=7*(
[ ! % & ^ % [! % * [! & ^ [! *
887 J [% &^ % [i J ^ % [! * P [ &^ [i J ^ [! * 7 (( [! &^ % [! % * P &[! P [i * &^ [i J ^ [! * 7
-inicial J Uinicial -! inal J U! inal
a:licando el :rinci:io de traba
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:or lo tanto la distancia ue recorre es
Ingenier´ Civilıa(?
(
d 8@(2797mm
:or lo tanto la distancia ue recorre es1
d 8@(2797mm
(&=7*d (&729=*&)*&A2@8*
87 J [ &^ [! J ^ [i * P ! 4 d 7 (
8 &[F P [i * &^ [! * 4 mc gd ( ^ [ ! ( d (4 mc gd
-inicial J Uinicial -! inal J U! inal
a:licando el :rinci:io del traba
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$inamica IC'()) roblemas de $in´micaa
oEIngenier´ Civilıa
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t8
! 4
% (7 gsenm
mg(7D mg
a:licando el :rinci:io del im:ulso y la cantidad de movimiento se cum:le1
mv% Pt(
mv% P
&! 4 J mgsen(7*dt 7
mv% &! 4 J mgsen(7* t
mv% &4 N J mgsen(7* t
mv% &4 mg cos (7 J mgsen(7* t v% t &4 m cos (7 J msen(7*g A t A2@8&729 cos (7 J sen(7* t 82)>s
(cos
7
(@Ingenier´ Civilıa
s
$inamica IC'())
t(
t8
roblemas de $in´micaa
F dt mv
mv% P ! 4 t mv
mv% P 4 &mg * t mv v% P v t g4 AP7 t A2@8&7297* t 927?s
el tiem:o ue tarda es1 t 927?s
:arte&b*
0aciendo $2C2+ del bloue
s Amv
y N
#
Amv%
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el tiem:o ue tarda es1 t 82)>s
Ingenier´ Civilıa(A
i
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$inamica IC'())
iH% 7 8( iH 82( @ iHC 92? P@
or lo tanto
<9?
4 7 8@i P 9?< ? < 4 (2) 9 P8@i J()< P 8(4
? 7 < 4 7 7 P(@2@i P=>2?4
roblemas de $in´micaa
H# &8@i P 9?4 * J &P8@i J ()< P 8(4 * J&P(@2@< J =>2?4 *
en consecuencia la res:uesta es1
H# &P)2@< J A2?4 *
E
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n
y a$
hn
&P9)* = J a$
h
t
&9)* =
&$ *R ( $
roblemas de $in´micaa
87
8( $
87(8( &?* 97! t s(
&$ *$ t
sumando en [ las com:onentes tenemos1
98Ingenier´ Civilıa
a$ (7 L J9? J a$
$inamica IC'())
Soluci´n1o
datos1
R 8(rads
% @7rads(
& *n r h R (
& *t r h
calculando las aceleraciones2
9
8( ! t
9
8( ! t
&8(rads*( 9?! t s(
@7rads(( (7! t s(
a$ a J a
$
donde 1 a$
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8
)
M
8
9
&M *e! ! 1 $
?8(8
PQ )8( I J may
9P g &87*
Y com:onentestenemos 1P(7 P ) &97* J 9 87 $ 7== 8(
)8(
P ma 98(
72=$ P 9 728>9?89&@@* J g &>)299* 8g9
$ >287lb Y
9(Ingenier´ Civilıa
%:licando momentos en b tenemos1
$inamica IC'())
$ @@rads(
desde a $
esdirectot
roblemas de $in´micaa
J
1
oo +a aceleraci´n de res:ecto de $ en la direcci´n tangencial en sentido anti
tenemos1
8
a aG a J a a J ( a$ G $ 9a P(7 P ) &8=* J = &9?2??>*
ay 9? J 9 &8=* J ) &9?2??>* >)299 ==
I 8 9 87 (8( g 8( 728>9?8 g
J
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$ >287lb
Ingenier´ Civilıa99
oıa :or el :rinci:io de conservaci´n deenerg´ tenemos1
0 Pb5( Pmgb
o sabemos ue cuando la barra se encuentreen :osici´n vertical tenemos1
R(8 (8( +
-( 8 m b( J (
( 8 -( 8 m5( J ( IR
85( bR, I 8(
o ara la :osici´n (
5 7, R 7-8 70 758 mg0 7
o ara la :osici´n 8
Soluci´n1o
2 c*Evalue los resultados de a* y b* :ara Q=lb y +9!t2
R
E
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roblemas de $in´micaa
Ingenier´ Civilıa9)
o reem:laBando valores en la siguiente ecuaci´n
obtenemos la velocidad angular
c*Evaluamos los resultados :ara :ara Q=lb y +9!t2
+b ] 8(
de donde tenemos ue es igual a1
( 8&b( J 8( +( *
8b( J 8( +( Pb&(b*
7
7 8b( J 8( +(
bddb
cual derivamos el omega res:ecto de b2
a sabemos ue :ara ue sea m´imo la velocidad angular deve ser
a b*Evaluamos :ara bm´imo1
(gb 8b( J 8( +(R(
-8 J 58 -( J 5( 87 J 7 8 m b( J 8( +( R ( P
$inamica IC'())
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$inamica IC'())
R(
R 82@?8
(gb 8b( J 8( +(
roblemas de $in´micaa
gA2@8 82@?8 929?rads
l9 reem:laBando el valor de +9!t obtenemos b2
+ b ] 8( 9+b ] ] 72@??! t 8(8(
b 72@??!t &(2)9*
oE
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Ingenier´ Civilıa9?
&(2))*RC ()2)r:m
()2)r:m(?8@)87A?2)&RC *(
))?2)! t h lb h s( &8@7r:m* ))?2)! t h lb h s( K&RC *( J ()7r:m J ?=7lb h !ths( &RC *(
de donde reem:laBando valores tenemos1
I &R *8 J 7 I &R *( J IC &RC *(
se sabe ue la suma de momentos de inercia res:ecto al centro es1
&R *( &RC *( J ()7r:m
&R *( P &RC *( ()7r:m
))?2)! t h lb h s(8 ==lb&8)! t*(9 9(
I )
momento del sist2( J momento del sist28 ' ( momento del sist2(
IC & R C * 8 7
&R *8 8@7r:m&R *( ()7r:mI & R * 8
RC K8@7r:m()7r:m
sabemos lo siguiente1
la velocidad angular inicial es de o2
sabemos ue omento centroidal de inercia es ?=7lb2!t2segundos al cuadrado2
$inamica IC'())
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