Asignacion 1 de Cálculo IIPrograma de Ingeniería

Ciencias BásicasUniversidad Tecnológica de Bolivar

1. Veri�que que las funciones F y G de�nidas por

F (x) =1

1� x; G (x) =x

1� xson primitivas de la función f dada por

f (x) =1

(1� x)2

Calcule F (x)�G (x) : ¿Qué puede decirse de F y G?

2. Veri�que que las funciones F de�nida por

F (x) = �x cosx+ sinx

es primitiva de la función f dada por

f (x) = x sin x

3. Veri�que que las funciones F y G de�nidas por

F (x) =1

2tan2 x; G (x) =

1

2sec2 x� 2

3

es primitiva de la función f dada por

f (x) = sec2 x tan x

¿Qué relación existe entre F y G ?

Use las propiedades de la integral inde�nida dadas para obtener las igualdades dadasa continuación

4.Rcos kxdx = sin kx

k+ C

5.Rekxdx = ekx

k+ C;

En particular,Re�xdx = �e�x + C

6. Haciendo uso de las identidades

sin2 x =1� cos 2x

2y cos2 x =

1 + cos 2x

2

veri�camos que

a.Rsin2 xdx = 1

2

R(1� cos 2x) dx = 1

2

�Rdx�

Rcos 2xdx

�= 1

2

�x� sin 2x

2

�+ C:

b.Rcos2 xdx = 1

2

�x+ sin 2x

2

�+ C: (Verifíquelo)

1

7. Aplicando las identidades

sinA cosB =1

2[sin (A+B) + sin (A�B)]

sinA sinB =1

2[cos (A�B)� cos (A+B)]

cosA cosB =1

2[cos (A�B) + cos (A+B)]

obtenemos las siguientes fórmulas

a.Rsinmx cos kxdx = �1

2

hcos(m+k)xm+k

+ cos(m�k)xm�k

i+ C; m 6= k:

b.Rsinmx sin kxdx = 1

2

hsin(m�k)xm�k � sin(m+k)x

m+k

i+ C; m 6= k:

c.Rcosmx cos kxdx = 1

2

hsin(m�k)xm�k + sin(m+k)x

m+k

i+ C; m 6= k:

Rsin kxdx

(VERIFÍQUELO)NOTA: Para tener éxito en este curso es necesario que tengas absoluto conocimiento ydominio de las reglas de derivación y de las derivadas de los distintos tipos de funciones.

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