Dinámica

U N I V E R S I D A D N A C I O N A L

D E L S A N T A

I N G E N I E R Í A C I V I L

V C I C L O

Campos Guerra Carlos

Fournier Pais Analí

Jimenez Gonzales Margarita

Sánchez Lizárraga Juan

Terrones López Yessenia

Torres Lara María Victoria

PRÁCTICA N°1 – CINEMÁTICA PUNTUAL

1. Una partícula se desplaza a través de un fluido siguiendo una trayectoria

rectilínea. La aceleración de la partícula está definida por la función a=-kv.

Donde k es una constante, v en m/s2. Cuando x=0, v=v0, deducir las expresiones de

la velocidad y la posición en función del tiempo.

a) Se tiene la ecuación del tipo entonces se utilizará:

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

b) 2. A partir de X=0 sin velocidad inicial, una partícula recibe una aceleración

√ , donde “a” y ”v” se expresan en pie/s2 y pie/s respectivamente.

Determine:

a). La posición de la partícula cuando V = 24 pie/s.

b). La velocidad de la partícula cuando X = 40 pie.

a). x = 0 → v = 0 , x = ? → v = 24 pie/s.

√ , a ɗs = v ɗv

∫ √

∫

∫

∫

√

Haciendo u = v2 + 49 → ɗu = 2v

∫

∫

√

→ 2 (0.8) x = 2 (u1/2]

0.8 x =√ → X = 6.12 pie

b). x = 0 → v = 0 , x = 40 pie → v = ?

√ , a ɗs = v ɗv

∫ √

∫

∫

∫

√

Haciendo u = v2 + 49 → ɗu = 2v

∫

∫

√

→ 2 (0.8) (40) = 2 (u1/2]

32 = √ → V= 1024 pie/s

P4 El movimiento de una partícula está definida por

Donde , , se expresan en ⁄ y m respectivamente. Cuando ,

a) Dibujar la trayectoria de la partícula durante el intervalo de 5s

b) Para determinar la velocidad y la aceleración en coordenadas rectangulares

y polares

c) Dibujar los vectores, velocidad y aceleración correspondiente.

Solución:

Sabemos que

; reemplazando del problema e

integrando se tiene que:

∫ ∫

Si entonces: si

entonces

DATOS

;

;

a) Dibujar la trayectoria de la partícula durante el intervalo de 5s

Si

b) Para determinar la velocidad y la aceleración en coordenadas rectangulares y polares

Coordenadas Rectangulares

Para

;

;

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100

t x y

0 0 100

1 42 96

2 68 84

3 78 64

4 72 36

5 50 0

X

Y

√ ⁄

√ ⁄

Coordenadas polares

Del grafico se tiene que:

⁄

Transformando la velocidad de rectangulares a polares

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100

= (

)

= (

)

Reemplazando

√ ⁄

Transformando la aceleración de rectangulares a polares

= (

)

= (

)

Reemplazando

√ ⁄

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80 100

5) El movimiento de una partícula se define mediante las ecuaciones:

…(1)

…(2)

Donde X y Y, se expresan en pie y t en segundos. Demuestre que la trayectoria es parte de la hipérbola rectangular mostrada en la figura. Para t = 0.25s, determine la velocidad y la aceleración en:

a) Coordenadas rectangulares. b) Coordenadas normal y tangencial

Dibujar los vectores velocidad y aceleración respectivamente. A) Coordenadas rectangulares:

- REEMPLAZANDO (1) EN (2):

- VELOCIDAD PARA T = 0.25S:

- ACELERACIÓN PARA T=0.25S:

y

x

Por condiciones de la

función x, solo se toman x+

6. Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio r. La longitud del arco

recorrido en el tiempo es S=

. Determine los componentes de la aceleración de la partícula

como funciones del tiempo.

- Del gráfico se deduce:

S=r

- Hallamos :

o Como es una trayectoria circular, r es constante y por ende:

o En caso de :

=

- Para hallar la aceleración, hallamos sus componentes radial y transversal:

o

o

- Entonces hallando la aceleración:

o √

√

√

√

- De esa forma obtenemos la aceleración en función del tiempo.

7. Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio r=400mm. Su

posición en función del tiempo esta dada por: 2t2 y t están en radianes y segundos

respectivamente.

Cuando 60°, determinar la velocidad y la aceleración en coordenada polares y

coordenadas rectangulares.

Dibujar los vectores velocidad y aceleración respectivamente

Datos del problema

r=400mm

2t2

Cuando

60

a) b)

En coordenadas polares:

Hallando el tiempo para 60

60 2t2

T=0.72s

Hallando

a) =d /dt

2t2/dt

para t= 0.72 s

= 2.88 rad/s

b) =d /dt

rad/s2

En coordenadas Polares

X= rcos60°

X= 400mm.cos60°

X= 200mm

Y= rsen60°

Y= 400mm.sen60°

Y=346.41mm

X=400cos(2t2)

x°= - 400sen(2t2).4t

Y= 400sen(2t2)

Y°=400cos(2t2).4t

V= ( ( x°)2 +(Y°)2)1/2

V= ( (- 400sen(2t2).4t)2 +(400cos(2t2).4t)2)1/2

V= (1600.16.t2.sen2(2t2)+1600.16t2cos2(2t2))1/2

V=400(4t) para t= 0.72s

V= 1152 m/s

Hallando la aceleracion

X°°= -400(d(sen(2t2)/dt).4t +(400.sen(2t2)).d(4t)/dt

X°° = -400cos(2t2). 16t2 +.sen(2t2).4

Y°°= 400d(cos(2t2))/dt).4t + 400cos(2t2).d(4t)/dt

Y°° = (- 400sen(2t2). 16t2) +cos(2t2).4

a = ( ( x°°)2 +(Y°°)2)1/2

a =( (-400cos(2t2). 16t2 +.sen(2t2).4)2 + (- 400sen(2t2). 16t2) +cos(2t2).4)2)1/2

a= 20(8t)((cos(2t2). sen(2t2))1/2 para t=0.72s

a=15.49 m/s2

A

B

500 mm.

15° 1

5°

V r

v

B

500 mm.

500 sen40° i

-500 sen50° j= 150 mm/s

A

B

AB/A40°

CINEMÁTICA PLANA: Análisis de Velocidades 1. El movimiento de la varilla AB es guiado por los pasadores puestos en A y B, los cuales se

deslizan en las ranuras indicadas. En el instante mostrado, Ө = 40° y el pasador en B se

mueve hacia arriba y a la izquierda con velocidad constante de 150mm/s. Determine (a)

la velocidad angular de la varilla, (b) la velocidad del pasador en el extremo A.

VB = VA + ωAB x rB/A

( -150 i + 150 j ) = VA j + ωAB k x ( 500 i – 500 j)

( -150 i + 150 j ) = VA j + - 500 ωAB j + 500 ωAB i

i: -150 = 500 ωAB …………………………………………..(1)

j: 150 = VA + - 500 ωAB ………………………………….(2)

EN (1):

ωAB =

ωAB = - 0.378 rad/s

ωAB = 0.378 rad/s

EN (2):

150 = VA + - 500 ωAB

VA = 150 + 500 x (

)

VA = 160.39 mm/s

2.- El collarín D se desliza por una varilla vertical fija. Di el disco tiene velocidad angular

constante de 15 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, determine la aceleración

angular de la barra BD y la aceleración del collarín D cuando (a) = 0°, (b) =9 0°, (c)

=180 0°.

Solución:

Sabemos que:

Parte (a). Cuando = 0° tenemos que:

(

)

Luego:

Hacemos el diagrama de vectores de la varilla “DB” se tiene que:

(punto y eje fijo el punto D)

También tenemos:

Parte (b). Cuando =9 0° tenemos que:

Viendo que no hay diagrama de vectores se cumple:

Así también se cumple en el grafico:

3) la barra AB gira en sentido contrario a las manecillas del reloj y en el instante mostrado la

magnitud de la velocidad del punto G es de 25 m/s. determinar la velocidad angular de cada uno

de las tres barras para este instante.

Analizando la barra AB

……………..(1)

Analizando la barra BGD

=

+

⁄

DIAGRAMA DEL VECTOR VELOCIDAD

A

B

G

B

⁄

⁄

⁄

por ser un triangulo equilátero se tiene que :

⁄

=

⁄

⁄ =0.09

⁄

Diagrama del vector

Aplicando ley de cosenos

⁄

⁄

=

=16.04rad/s

=16.04rad/s

=16.04rad/s

4. Si la velocidad angular del eslabón CD es , determine la velocidad del punto E en el eslabón BC y la velocidad angular del silaben AB en el instante que se muestra. A) DCL:

B) Velocidades:

( )

( )

( )( √ )

Igualando componentes de (1) y (2):

Hallando V en E:

( )

√

5. Si al centro O del engrane se le imprime una velocidad de 10 m/s determine la

velocidad del bloque corredizo B en el instante que se muestra.

- D C L:

- Como el movimiento es regular tenemos:

VA = VO + ωOA x rA/O

VA = 10 i - ωOA k x 0.125 j

VA = 10 i + 0.125 ωOA i

- Como no tenemos ningún otro dato que nos ayude al análisis de velocidades, nos

apoyamos con el centro instantáneo de velocidad cero, que viene a encontrarse en el

punto de contacto entre el engrane y la

cremallera.

VO = ωOA . rCI/O

10 = ωOA x (0.175)

ωOA = 57.14

- Reemplazamos:

VA = 10 i + 0.125 (57.14) i = 17.14 i

- Para la velocidad en B:

VB = 17.14 i + ωAB x rB/A

VB = 17.14 i + ωAB k x (0.6 cos30° i – 0.6 sen30° j)

VB = 17.14 i + 0.6 cos30° ωAB j + 0.6 sen30° ωAB i

VB cos60° i + VB sen60° j = (17.14 + 0.6 sen30° ωAB) i + 0.6 cos30° ωAB j

VB sen60° = 0.6 cos30° ωAB …………..(1)

ωAB =0.6 VB

VB cos60° = 17.14 + 0.6 sen30° ωAB

VB cos60° = 17.14 + 0.6 sen30° (0.6 VB)

VB =53.6

6.-Si el extremo de A del cilindro hidráulico se mueve con una velocidad de v= 3m/s, determine

la velocidad angular de la barra BC en el instante que se muestra.

0.4m 0.4m

45°

VA=3m/s

VB Cos45°

VB Sen 45°VB

VA =3m/sA

B

C

WAB

VB = VA + AB x rB/A

VBsen45°j + VBcos45°i = 3i + ABk(0.4sen45°j + 0.4cos45°i

VBsen45°j + VBcos45°I = 3I + ABsen45°(0.4i) + ABcos45°(0.4j)

I:

VBcos45°= 3 - ABsen45° …….(1)

J:

VBsen45 = ABcos45°(0.4)

VB= 0.4 AB………(2)

(1 ) en (2)

0.4 ABcos45°= 3 - ABsen45°

AB = 5.30 rad/s

VB = 2.12m/s

VB = VC + CB x rB/C

2.12x√ j + 2.12x√ I = 0 + CB-k(-0.4sen45°I + 0.4cos45°J)

2.12x√ j + 2.12x√ I = CB0.4sen45°I + CB 0.4cos45°J

I:

2.12x√ = CB0.4sen45°

CB = 5.3 rad/s2

A

B

E

D

200 mm.

250 mm.

200 mm.

600 mm.

D E C.I

B

A

0.6 m

0.25 m

O.2 m

CENTRO INSTANTÁNEO DE VELOCIDAD CERO

1. En el instante mostrado la velocidad angular de la varilla AB es de 15 rad/s en el

sentido de las manecillas del reloj, determine (a) la velocidad angular de la varilla

BD, (b) la velocidad del collarín D, (c) la velocidad del punto A.

EN AB:

VB = ωAB . R

VB = (15 rad/s)(0.2m)

VB = 3 m/s

EN BD:

VB = ωBD . rCI/B

3 m/s = ωBD . (0.25m)

ωBD = 12 rad/s

VD = ωBD . rCI/D

VD = (12 rad/s)(06m)

VD = 7.2 m/s

2. Las ruedas en A y B giran sobre los carriles horizontal y vertical indicados y guían a la

varilla ABD. Si en el instante que se muestra B =60° y la velocidad de la rueda en B es

de 800mm/s hacia abajo, determine (a) la velo ciad angular de la varilla,(b) la

velocidad del punto D.

Solución

Parte (a).

Tenemos que debe cumplirse que:

Luego:

√

Parte (b)

Del grafico anterior se cumple que:

√ Luego:

√ √

3) en el instante en que se indica la velocidad angular de la barra DE de 8rad/s en sentido

contrario al de las manecillas del reloj. Determine a) la velocidad angular de la barra BD, b) la

velocidad angular de la barra AB, c) la velocidad del punto medio de la barra BD

UBICANDO EL CENTRO INSTANTANEO

De la barra DE:

De la barra AB:

X=41.569pulg

Y=24pulg

Sabemos que: ley de senos

19.1

m

=253.99pulg/s

ley de cosenos para el triangulo CMD

m=31.749 pulg

m

ANALISIS DE ACELERACIONES

1. Si en el instante mostrado la velocidad de collarín A es de cero y su aceleración es de 0,8

pies/s2 hacia la izquierda, determine (a) la aceleración angular de la varilla ADB, (b) la aceleración del punto B

A) DCL:

B) VELOCIDADES:

C) ACELERACIONES: (a)

(b)

( ) ( )

3.- Si en el instante en que se indica la barra DE tiene velocidad angular constante de 18 rad/s

en el sentido de las manecillas del reloj, determine la aceleración angular de la barra BGD y la

aceleración angular de la barra DE.

A

4in.

15.2in. 4in.

4in.

B

D

C

E

A

B

D E

VB

VD

C.I

4in15.2in

8in

8in

C

18rad/s

VD = BD x rCI/D ........(1)

VB = BD x rCI/B ........(2)

Igualando BD :

VD = VB ………(3)

rCI/D rCI/B

VD = DEx rD/B

VD = 18 rad/s(15.2in)

VD = 273.6in/s

Hallando (3)

VB = VD ( rCI/B ) = 273.6 in/s(8in) =112.82 in/s

rCI/D 19.2in

Hallando (2)

112.82in/s = BD(8in)

BD = 14.10rad/s

VB = AB (rA/B)

AB = 112.82 in/s = 14.10rad/s

8in

SI:

AB = BD

rA/B = rB/D

ENTONCES.

AB = BD

aB = aA + ABxrB/A – A/B)2x rA/B

aB = 0 + AB k(-8j) – )2x(-8j)

aB = AB (8i) – (1590.48j)

aD = aE + EDxrED– E/D)2x rD/E

aD = 0 + (-15.2i)(- EDk) -182 (-15.2i)

aD = 15.2 EDj + 4924.8i………(4)

aB = aD + BDxrB/D – B/D)2x rB/D

Reemplazamos en aB el aD

aB = 15.2 EDj + 4924.8i + BDk(19.2i + 8j) – B/D)2(19.2i + 8j)

aB = 15.2 EDj + 4924.8i + BD19.2j –( BD 8i) – )2(19.2i + 8j)

aB = 15.2 EDj - 1590.49j + BD19.2j – BD 8i) + 1107.65i

Igulando aB :

AB (8i) + (1590.49j) = 15.2 EDj - 1590.49j + BD19.2j – BD 8i) + 1107.65i

I:

AB (8) =1107.65 - BD (8)

Sabemos que:

AB = BD

BD (16)= 1107.65

BD = 69.22 rad/s2

AB = 69.22 rad/s2

J:

1590.49= 15.2 ED - 1590.49+ BD19.2

3180.98 = 15.2 ED + 19.2(69.22)

ED = 121.83 rad/s2

4. La manivela AB gira con una velocidad angular de y una aceleración

angular de . Determine la aceleración de C y la aceleración angular de BC en el instante que se muestra.

A) DCL:

B) VELOCIDADES ANGULARES:

=6rad/s

C) ACELERACION Y ACELERACION ANGULAR

( ) ( )

( )

5. El cilindro hidráulico se extiende con la velocidad y aceleración que se indican

determinar la aceleración angular de la manivela AB en el instante que se muestra.

Solución.

Hacemos su DCL.

Analizamos las velocidades.

Tenemos que: luego:

En el tramo CB tenemos:

√ ……………(1)

En el tramo AB tenemos:

√ ……………….. (2)

Igualamos las ecuaciones (1) y (2)

√ = √

De donde encontramos los resultados:

… El signo negativo indica que la velocidad esta

en sentido horario.

… El signo negativo indica que la velocidad

esta en sentido horario.

Analizamos las aceleraciones.

En el tramo CB tenemos: –

√ √ ………(3)

En el tramo AB tenemos: –

√ √ ………(4)

Igualamos las ecuaciones (1) y (2)

( √ ) ( √ ) √ √

De donde obtenemos los valores: