Universidad De Santiago De ChileAlgebra IIProf: Rodrigo Vargas2do semestre 2012

Pauta Control 1

1. Sea T : R3 MR(3 1) definida por T (a, b, c) =

a+ b+ ca b+ 2c

3a+ 3b c

.

a) Demuestre que T es un isomorfismo de grupos.

b) Determine T1.

Solucion.

a) (i) Por demostrar que T es un homomorfismo de grupos.

Sean v = (a, b, c), w = (x, y, z) R3 entonces

T (v + w) = T ((a, b, c) + (x, y, z))

= T (a+ x, b+ y, c+ z)

=

(a+ x) + (b+ y) + (c+ z)(a + x) (b+ y) + 2(c+ z)

3(a+ x) + 3(b+ y) (c+ z)

=

a + b+ ca b+ 2c

3a+ 3b z

+

x+ y + zx y + 2z

3x+ 3y z

= T (a, b, c) + T (x, y, z)

= T (v) + T (w) .

Por lo tanto, T es un homomorfismo de grupos. (1,5 Puntos)

(ii) Por demostrar que T es inyectivo.

Sea (a, b, c) Ker T lo cual es equivalente a

T (a, b, c) =

00

0

a + b+ ca b+ 2c

3a+ 3b c

=

00

0

a+ b+ c = 0a b+ 2c = 03a+ 3b c = 0

Si multiplicamos la primera ecuacion por 3 y le restamos la ultima ecuacion se obtieneque 2c = 0 c = 0 . Reemplazando este valor de c en la primera y segunda ecuacion

se obtiene que a+b = ab de donde b = 0 a = 0 . Por lo tanto, KerT = {(0, 0, 0)}y se sigue que T es inyectiva. (1,5 Puntos)

(iii) Por demostrar que T es sobreyectiva.

Por demostrar que para todo A MR(3 1) existe (a, b, c) R3 tal que T (a, b, c) = A.

T (a, b, c) =

xy

z

a+ b+ ca b+ 2c

3a+ 3b c

=

xy

z

a + b+ c = xa b+ 2c = y3a+ 3b c = z

Si multiplicamos por 3 la primera ecuacion y le restamos la ultima ecuacion se obtieneque

4c = 3x z c =3x z

4

Si sumamos las dos primeras ecuaciones se obtiene que

2a+ 3c = x+ y a =x+ y 3c

2 a =

5x+ 4y + 3z

8

Por ultimo usando la segunda ecuacion se tiene que

b = a + 2c y b =5x+ 4y + 3z

8+

6x 2z

4 y b =

7x 4y z

8

Entonces, hemos obtenido que

A = T (a, b, c) = T

(5x+ 4y + 3z

8,7x 4y z

8,3x z

4

)(1)

Por lo tanto, T es sobreyectiva.

De (i), (ii) y (iii) se sigue que T es un isomorfismo de grupos.

b) De la ecuacion (1) tenemos que T1 : MR(3 1) R3 es dada por

T1

xy

z

=

(5x+ 4y + 3z

8,7x 4y z

8,3x z

4

).

Por demostrar que T es sobre y hallar T1 se otorga (1,5 Puntos)

2. Sea T : R3 R3 un homomorfismo de grupos no nulo. Demuestre que si ker(T T ) = R3 entoncesT no es inyectiva.

Solucion. Por ser T no nulo entonces existe x0 R3 tal que y0 = T (x0) 6= (0, 0, 0) = ~0. Ahora

bien, si Ker(T T ) = R3 entonces (T T )(x) = ~0 para todo x R3. Entonces, se cumple que

T (y0) = T (T (x0)) = (T T )(x0) = ~0

luego y0 Ker T con y0 6= ~0, se sigue que Ker T 6= {~0} entonces T no es inyectiva. (1,5 Puntos)

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