V.
PROPIEDADES GENERALES DE
a. El número de combinaciones de “n” elementos diferentes
tomados todos a la vez es la unidad, es decir
COMBINACIÓN CON REPETICIÓN b. Combinatorios complementarios
c. Degradación de índices
Todo número combinatorio puede degradarse, como:
• Degradación de ambos índices:
• Degradación de índice superior:
• Degradación de índice inferior:
Si tenemos “m” elementos de los cuales solo “r” son
diferentes y queremos formar grupos de “n” elementos,
tendremos:
nr
(n+r-1)!CR =
(r-1)!n!
r < n < m
nkC
nn
nC = =1
n 0
n n
k n - kC C ; n k n ; k= "³ÙÎ N
n nk PSi C C k p p n k= Þ= Ú= -
n-1nk k-1
nC = . C
k
n-1nk k
nC = .C
n-k
n nk k-1
n-k+1C = . C
k
“Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos,
todos de diferentes colores entre sí”.
01. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?
a) 15 b) 240 c) 60
d) 120 e) 72
02. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede
vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales?
a) 120 b) 60 c) 80
d) 12 e) 720
03. Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la
camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul?
a) 95 b) 80 c) 120
d) 61 e) 91
04. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones
y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras
puedes realizar dicho viaje?
a) 11 b) 60 c) 12
d) 42 e) 31
“De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a
Tacna hay 5 caminos también diferentes”.
05. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna,
pasando siempre por Ica?
a) 9 b) 20 c) 12
d) 40 e) 625
06. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de
Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente
a la de ida?
a) 400 b) 380 c)240
d) 399 e) 401
07. De un grupo de 15 personas que estudian solo 2 idiomas cada
uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y
francés y los otros solo alemán y francés. Si se quiere escoger
2 personas que hagan juntos la traducción de una lectura a
cualquiera de los 3 idiomas mencionados, ¿de cuántas formas
se puede elegir?
a) 28 b) 74 c) 92
d) 48 e) 120
08. Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede
escoger una casilla blanca y negra de tal manera que no estén
en la misma horizontal ni vertical?
a) 24 b) 120 c) 32
d) 256 e) 64
09. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y
4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la
misma nacionalidad se sienten juntos?
a) 864 b) 1728 c) 688
d) 892 e) 1700
10. El aula Círculo de Estudios de la Academia Preuniversitaria
Sistema 2000 consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el
examen final.
¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los
2 primeros puestos, si no hay empate?
a) 210 b) 230 c) 240
d) 205 e) 180
ENUNCIADO:
ENUNCIADO:
286
Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático
11. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el
lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales?
a) 6 934 b) 6 912 c) 6 780
d) 6 512 e) 6 936
12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona
que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales),
2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas
(3 iguales)?
a) 420 b) 280 c) 288
d) 840 e) 168
13. Se lanzan tres dados legales al piso. ¿De cuántas maneras
diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres
dados?
a) 120 b) 180 c) 140
d) 130 e) 117
14. Una alumna tiene para vestirse: 4 blusas: 3 pantalones,
2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá
vestir convencionalmente?
a) 120 b) 60 c) 144
d) 72 e) 288
15. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera
6 amigas, si Genara y Eucalipta estarán siempre juntas y en
uno de los extremos?
a) 24 c) 48 c) 96
d) 120 d) 72
16. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila
4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere
sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)?
Además, consideremos que las personas del mismo sexo no
están juntas.
a) 720 b) 360 c) 240
d) 8! e) 144
17. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres.
¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente,
vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente
debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre?
a) 1 428 b) 1 716 c) 1 628
d) 1 718 e) 1 728
18. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos mas participan en una
carrera. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la
meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y este
llegue antes que Juan?
a) 6 720 b) 4 360 c) 1 532
d) 1 236 e) 1 538
19. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de “A” a “B”?
a) 12 b) 14 c) 16
d) 20 e) 24
20. La Municipalidad de Barranca ha ordenado que las mototaxis
sean amarillas y tengan las placas con 6 caracteres (3 letras
seguidas de 3 dígitos).
¿Cuantas placas diferentes se podrán formar? (Considerar:
26 letras del alfabeto).
3 3 2 2a) 20 ́ 10 b) 26 ́10
3 3 3c) 26 ́ 10 d) 26 ́ 10
e) 26 ́ 25 ́ 24
21. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas
diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?
a) 15 b) 120 c) 20
d) 60 e) 80
22. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de
una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el
número de personas era:
a) 12 b) 18 c) 20
d) 14 e) 16
23. De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de
3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
a) 530 b) 350 c) 305
d) 450 e) 380
24. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de
la palabra “JAPANAJA”?
a) 81 b) 840 c) 120
d) 8 e) 64
25. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en
una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán
separadas?
a) 120 b) 16 c) 48
d) 144 e) 72
26. Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey,
¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer?
a) 13 b) 10 c) 25
d) 32 e) 31
A C B
287
27. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay
6 asientos. Si solo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas
maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?
a) 24 b) 60 c) 120
d) 240 e) 360
28. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas
en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?
a) 2 520 b) 12 000 c) 25 200
d) 10! e) 15!
29. Al ir 5 parejas de esposos al teatro, tienen la mala suerte de
encontrar solamente 5 asientos juntas en una misma fila. ¿De
cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere
que por lo menos este sentado un hombre y una mujer?
a) 25 600 b) 30 000 c) 256
d) 25 e) 625
30. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos
con la numeración del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea
abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos, como
máximo, tendrá que realizar?
(La bóveda se abrirá cuando los tres discos se combinen de
manera correcta).
a) 1 000 b) 120 c) 999
d) 810 e) 512
31. Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se
pueden formar?
Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera
debe tener la forma mostrada.
a) 10 b) 20 c) 24
d) 40 e) 25
32. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de
6 personas.
¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo
que en cada uno de ellos exista siempre 2 mujeres?
a) 200 b) 20 c) 312
d) 212 e) 210
33. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que pueden
comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un
edificio?
a) 20 b) 56 c) 28
d) 14 e) 16
34. De 6 números positivos y 5 números negativos, se escogen
4 números al azar y se multiplican.
Calcula el número de formas que se pueden multiplicar, de tal
manera que el producto sea negativo.
a) 60 b) 96 c) 128
d) 160 e) 170
35. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De cuántas maneras
diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos?
a) 160 b) 210 c) 128
d) 144 e) 105
36. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se
desea formar grupos mixtos de 5 personas, ¿de cuántas
maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada
uno de ellos estén siempre dos mujeres?
a) 560 b) 390 c) 120
d) 140 e) 280
37. Halla e1 número de señales que pueden formarse con cinco
signos más y menos.
a) 25 b) 10 c) 24
d) 32 e) 64
38. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para
vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se
pueden ocupar estos tres cargos?
a)108 b) 64 c)128
d) 72 e) 90
39. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan
estrechandose las manos, suponiendo que cada uno es cortés
con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos
hubieron?
a) 60 b) 435 c) 870
d) 120 e) 205
40. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato
(una rueda, todos contra todos).
¿Cuántos partidos más se deberían programar, si llegan
3 equipos más?
a) 31 b) 33 c) 9
d) 12 e) 21
288
Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático
11. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el
lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales?
a) 6 934 b) 6 912 c) 6 780
d) 6 512 e) 6 936
12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona
que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales),
2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas
(3 iguales)?
a) 420 b) 280 c) 288
d) 840 e) 168
13. Se lanzan tres dados legales al piso. ¿De cuántas maneras
diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres
dados?
a) 120 b) 180 c) 140
d) 130 e) 117
14. Una alumna tiene para vestirse: 4 blusas: 3 pantalones,
2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá
vestir convencionalmente?
a) 120 b) 60 c) 144
d) 72 e) 288
15. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera
6 amigas, si Genara y Eucalipta estarán siempre juntas y en
uno de los extremos?
a) 24 c) 48 c) 96
d) 120 d) 72
16. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila
4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere
sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)?
Además, consideremos que las personas del mismo sexo no
están juntas.
a) 720 b) 360 c) 240
d) 8! e) 144
17. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres.
¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente,
vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente
debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre?
a) 1 428 b) 1 716 c) 1 628
d) 1 718 e) 1 728
18. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos mas participan en una
carrera. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la
meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y este
llegue antes que Juan?
a) 6 720 b) 4 360 c) 1 532
d) 1 236 e) 1 538
19. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de “A” a “B”?
a) 12 b) 14 c) 16
d) 20 e) 24
20. La Municipalidad de Barranca ha ordenado que las mototaxis
sean amarillas y tengan las placas con 6 caracteres (3 letras
seguidas de 3 dígitos).
¿Cuantas placas diferentes se podrán formar? (Considerar:
26 letras del alfabeto).
3 3 2 2a) 20 ́ 10 b) 26 ́10
3 3 3c) 26 ́ 10 d) 26 ́ 10
e) 26 ́ 25 ́ 24
21. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas
diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?
a) 15 b) 120 c) 20
d) 60 e) 80
22. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de
una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el
número de personas era:
a) 12 b) 18 c) 20
d) 14 e) 16
23. De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de
3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
a) 530 b) 350 c) 305
d) 450 e) 380
24. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de
la palabra “JAPANAJA”?
a) 81 b) 840 c) 120
d) 8 e) 64
25. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en
una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán
separadas?
a) 120 b) 16 c) 48
d) 144 e) 72
26. Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey,
¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer?
a) 13 b) 10 c) 25
d) 32 e) 31
A C B
287
27. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay
6 asientos. Si solo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas
maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?
a) 24 b) 60 c) 120
d) 240 e) 360
28. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas
en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?
a) 2 520 b) 12 000 c) 25 200
d) 10! e) 15!
29. Al ir 5 parejas de esposos al teatro, tienen la mala suerte de
encontrar solamente 5 asientos juntas en una misma fila. ¿De
cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere
que por lo menos este sentado un hombre y una mujer?
a) 25 600 b) 30 000 c) 256
d) 25 e) 625
30. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos
con la numeración del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea
abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos, como
máximo, tendrá que realizar?
(La bóveda se abrirá cuando los tres discos se combinen de
manera correcta).
a) 1 000 b) 120 c) 999
d) 810 e) 512
31. Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se
pueden formar?
Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera
debe tener la forma mostrada.
a) 10 b) 20 c) 24
d) 40 e) 25
32. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de
6 personas.
¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo
que en cada uno de ellos exista siempre 2 mujeres?
a) 200 b) 20 c) 312
d) 212 e) 210
33. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que pueden
comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un
edificio?
a) 20 b) 56 c) 28
d) 14 e) 16
34. De 6 números positivos y 5 números negativos, se escogen
4 números al azar y se multiplican.
Calcula el número de formas que se pueden multiplicar, de tal
manera que el producto sea negativo.
a) 60 b) 96 c) 128
d) 160 e) 170
35. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De cuántas maneras
diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos?
a) 160 b) 210 c) 128
d) 144 e) 105
36. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se
desea formar grupos mixtos de 5 personas, ¿de cuántas
maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada
uno de ellos estén siempre dos mujeres?
a) 560 b) 390 c) 120
d) 140 e) 280
37. Halla e1 número de señales que pueden formarse con cinco
signos más y menos.
a) 25 b) 10 c) 24
d) 32 e) 64
38. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para
vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se
pueden ocupar estos tres cargos?
a)108 b) 64 c)128
d) 72 e) 90
39. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan
estrechandose las manos, suponiendo que cada uno es cortés
con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos
hubieron?
a) 60 b) 435 c) 870
d) 120 e) 205
40. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato
(una rueda, todos contra todos).
¿Cuántos partidos más se deberían programar, si llegan
3 equipos más?
a) 31 b) 33 c) 9
d) 12 e) 21
288
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