HKV TEXVictor Solano Mora
1Tema: Cálculo integral
Obtener una primitiva de la función
∫ ex3dx
Solución:
Dado que no se puede realizar mediante las técnicas habituales de integración, realizamos el cambio de
la expresión eu por∞
∑
n=0
un
n! , además, consideramos u = x3, de donde la integral que obtenemos es:
∫ ex3dx = ∫
∞
∑
n=0
un
n! dx = ∫∞
∑
n=0
(x3)
n
n! dx = ∫∞
∑
n=0
x3n
n! dx
Dado que una sumatoria está compuesta de sumas (valga la redundancia), se puede separar la integral deuna suma en la suma de integrales, de manera que se obtiene:
∫
∞
∑
n=0
x3n
n! dx =∞
∑
n=0∫
x3n
n! dx
Ahora, como la integral se debe hacer respecto a la variable x, se puede extraer de la integral la constante1n! , dejando la integral como:
∞
∑
n=0∫
x3n
n! dx =∞
∑
n=0
1n! ⋅ ∫ x3ndx
La integral restante equivale a las integrales de la forma ∫ xmdx =xm+1
m + 1 +C, entonces integrando laexpresión se obtiene:
∞
∑
n=0
1n! ⋅ ∫ x3ndx =
∞
∑
n=0
1n! ⋅ (
x3n+1
3n + 1 +C)
Aplicando la propiedad distributiva se obtiene:
∞
∑
n=0
1n! ⋅ (
x3n+1
3n + 1 +C) =∞
∑
n=0(
x3n+1
n!(3n + 1) +C
n!)
Resolviendo la suma de fracciones heterogéneas:
∞
∑
n=0(
x3n+1
n!(3n + 1) +C
n!) =∞
∑
n=0(
x3n+1+C(3n + 1)
n!(3n + 1) )
∫ ex3dx =
∞
∑
n=0(
x3n+1+C(3n + 1)
n!(3n + 1) )
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