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Recursos para el Aprendizaje Efectivo de la Estadística y la Probabilidad

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Recursos para el

Aprendizaje Efectivo de la

E S T A D Í S T I C A y l a

P R O B A B I L I D A D

R A E E P

Ejemplos y

Ejercicios resueltos

Lic. Gabriel Leandro, MBA



2

Tabla de contenidos

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA 3

PRESENTACIÓN DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA 13

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA 19

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS 65

INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDAD 84

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA 103

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA 143

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 170

MUESTREO 192

PRUEBAS DE HIPÓTESIS 209

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS O PROPORCIONES

POBLACIONALES 236

CORRELACIÓN LINEAL Y REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 267



3

1 .

Introducción a la estadística OBJETIVOS:

Al concluir el capítulo, será capaz de:

Explicar el concepto de estadística y sus funciones principales

Reconocer la diferencia entre estadística descriptiva e inferencial

Identificar las fases básicas de una investigación estadística

Conocer las escalas de medición de las variables estadísticas



4

Ejercicio

de

revisión

Clasifique las siguientes variables como cualitativas o cuantitativas, y en

caso de ser cuantitativas señale si son discretas o continuas:

1. Marca de un refresco producido en el país.

Cualitativa

2. Grado académico de un profesional.

Cualitativa

3. Ingreso mensual familiar.

Cuantitativa continua

4. Número de hijos.

Cuantitativa discreta

5. Talla de una camiseta (pequeña, mediana, grande).

Cualitativa

6. Número de la talla de un pantalón (10, 12, etc.).


7. Tiempo de espera en una fila para recibir un servicio.


8. Ciudad de residencia.

Cualitativa

9. Calidad de un producto (sin defectos, con defectos menores o con

defectos mayores).

Cualitativa

10. Peso de un paquete de harina.


11. Nombre del principio activo de un medicamento.

Cualitativa

12. Número de personas en una fila.


13. Cantidad de energía eléctrica consumida por mes en una empresa.


14. Número de artículos defectuosos por línea de ensamble.


15. Consumo de calorías por día.




5

Ejercicio

de

revisión

El encargado de recursos humanos de una empresa va a realizar un estudio

de clima organizacional. Para ello va a aplicar un cuestionario a todos los

funcionarios que actualmente laboran en la empresa y les va a pedir que

den su opinión con respecto a la comunicación dentro de la empresa, el

liderazgo de los gerentes, las relaciones interpersonales, entre otros

aspectos. Con respecto a esta situación indique:

1. ¿Cuál es la unidad estadística?

Un funcionario actual de la empresa

2. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cuantitativa

que pueda interesar en este estudio?

Antigüedad (años de laborar para la empresa)

3. ¿Cuál puede ser un ejemplo de una característica o variable cualitativa


Opinión sobre las relaciones interpersonales

4. ¿Cuál es la población?

Conjunto de funcionarios actuales de la empresa

Ejemplo Un funcionario de un banco desea hacer una evaluación de cliente interno,

es decir, una evaluación de ciertos servicios que los distintos

departamentos del banco se prestan entre sí. Con ese fin ha elaborado un

cuestionario, el cual, por el nivel de sus contenidos deberá ser aplicado al

personal que ocupa puestos de jefatura. El banco posee 5.000 empleados,

pero solo 350 ocupan puestos de jefatura. Con base en la información

anterior, determine:







5. ¿Vale la pena emplear una muestra o es mejor aplicar el cuestionario a

toda la población?

6. Suponga que se aplica el cuestionario a la población, ¿habría error a la

hora de hacer la estimación de los parámetros investigados?

7. ¿Cuál podría ser un posible sesgo?

Solución 1. Dado que el cuestionario solo debe ser aplicado a los puestos de

jefatura, entonces la unidad estadística no corresponde a un empleado

del banco, sino a un empleado que ocupe un puesto de jefatura en el

periodo en el cual se va a realizar el estudio.

2. Una característica o variable cuantitativa que pueda interesar en este

estudio puede ser el tiempo que tiene el funcionario de laborar para el



6

banco, o el número de empleados que tiene como subordinados, entre

muchas otras posibles respuestas.

3. Una característica o variable cualitativa que pueda interesar en este

estudio puede ser la valoración que hace del servicio que presta otro

departamento (calificándolo como muy bueno, bueno, regular, malo o

muy malo), o el departamento para el cual labora el funcionario que

contesta el cuestionario, entro muchas otras respuestas posibles.

4. Dada la definición que se hizo en la pregunta 1 de la unidad de estudio,

la población correspondería al conjunto de empleados que ocupen

puestos de jefatura en el periodo en el cual se va a realizar el estudio.

5. Una población está compuesta por 350 personas no es demasiado

grande, por lo que podría emplearse la población. Sin embargo puede

ser que las oficinas se encuentren distribuidas a lo largo de todo el país,

y que por aspectos de costo y tiempo sea mejor emplear una muestra.

6. Si se aplica el cuestionario a la población, entonces no habrá error de

muestreo a la hora de hacer la estimación de los parámetros

investigados. Este error aparece solo cuando se utiliza una muestra en

el estudio.

7. Existen muchos posibles sesgos, pero uno muy frecuente es el diseño

inadecuado del cuestionario. Por ejemplo, que contenga preguntas mal

redactadas, que sugieran la respuesta, etc.

Ejercicio

de

revisión

Un investigador está interesado en conocer el impacto de las relaciones

entre padres e hijos sobre el desempeño académico de los niños en edad

escolar. Para realizar su estudio ha diseñado un cuestionario que desea

aplicar a una muestra de niños en varias escuelas de la ciudad capital

durante el año 2013. Con respecto a esta situación indique:


La unidad estadística es un niño en edad escolar matriculado en una

escuela de la ciudad capital durante el año 2013.



Variables cuantitativas: edad, calificaciones, horas de estudio con los

padres, horas de actividades recreativas realizadas con los padres, etc.



Variables cualitativas: zona o barrio de residencia, nivel socio

económico de la familia, sexo, etc.


Es el conjunto de niños en edad escolar matriculados en una escuela de

la ciudad capital durante el año 2013.

5. ¿Vale la pena emplear una muestra o es mejor aplicar el cuestionario a

toda la población?



7

Dado que la población estaría compuesta por muchos miles de niños,

entonces para incurrir en menor costo y concluir el estudio en menos

tiempo sería mejor emplear una muestra, además de poder estudiar con

más detalle cada caso.

6. ¿Cuáles ventajas y desventajas tendría realizar el estudio empleando

una muestra no aleatoria?

Ventajas:

- Un muestreo por conveniencia posiblemente dé menores costos y

menor tiempo.

- Un muestreo a juicio podría revelar información de casos de interés

particular para el investigador.

- Un muestreo voluntario podría incluir familias con mucha disposición

a brindar la información.

Desventajas:

- En el muestreo no aleatorio es difícil obtener muestras representativas

de toda la población, por lo que luego no se podrían generalizar las

conclusiones al resto de la población.

7. ¿Cuáles ventajas y desventajas tendría realizar el estudio empleando

una muestra aleatoria?

Ventajas:

- La muestra aleatoria evita los sesgos de selección, o sea, la muestra no

está influida por el criterio del investigador ni su conveniencia.

- La muestra podría ser representativa de la población permitiendo la

inferencia, o sea, generalizar los resultados a toda la población.

Desventajas:

- Mayor costo, más tiempo en la realización del estudio y la negativa de

algunas unidades de estudio.

8. Dé un ejemplo de un posible sesgo que podría presentarse en un estudio

de este tipo.

Posibles causas pueden de sesgos pueden ser:

- Inadecuada selección de la muestra, que refleje solo ciertos estratos de

la sociedad.

- Aplicación del cuestionario en horarios o sitios inapropiados.

- Las variables del estudio son complejas y podría ser muy difícil

definirlas y medirlas.



8

Ejercicio

de

revisión

Clasifique las siguientes fuentes de información como primarias o

secundarias:

1. Artículo de un periódico sobre el crecimiento de las exportaciones del

país.

Fuente secundaria

2. Reporte del instituto de estadística del país sobre la evolución del

desempleo a nivel nacional.

Fuente primaria

3. Informe del Fondo Monetario Internacional sobre las tasas de inflación

de los países de América Latina.

Fuente secundaria

4. Estado de pérdidas y ganancias de una compañía entregado a sus

accionistas.

Fuente primaria

5. Folleto de la Organización Panamericana de la Salud sobre la

prevalencia de las enfermedades cardiovasculares en los países de

América Latina.

Fuente secundaria

6. Artículo de una revista científica en que un investigador presenta los

hallazgos que obtuvo sobre la salud bucodental de una comunidad rural

del país.

Fuente primaria

7. Anuario estadístico del Banco Interamericano de Desarrollo sobre la

infraestructura vial en los países de América Latina.

Fuente secundaria

8. Anuario estadístico del Ministerio de Hacienda sobre la recaudación

fiscal.

Fuente primaria

9. Reporte sobre el control de la calidad de una línea de producción.

Fuente primaria

10. Informe sobre las mercaderías en existencia de una tienda.

Fuente primaria



9

Ejercicio

de

revisión

Clasifique las siguientes variables según su nivel de medición (nominal,

ordinal, de intervalo o de razón):

1. Marca de un refresco producido en el país.

Nominal

2. Grado académico de un profesional.

Ordinal

3. Ingreso mensual familiar.

De razón

4. Número de hijos.

De razón

5. Talla de una camiseta (pequeña, mediana, grande).

Ordinal

6. Número de la talla de un pantalón (10, 12, etc.).

De intervalo

7. Tiempo de espera en una fila para recibir un servicio.

De razón

8. Ciudad de residencia.

Nominal

9. Calidad de un producto (sin defectos, con defectos menores o con

defectos mayores).

Ordinal

10. Peso de un paquete de harina.

De razón



10

Examen del capítulo:

En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta (las respuestas a los

ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ):

1. La estadística es un conjunto de ___________ aplicadas a la recolección, descripción y

análisis de datos, los cuales constituyen evidencia numérica para la toma de decisiones en

condiciones de __________. La opción que mejor completa la frase anterior:

( a ) sistemas; incertidumbre

( b ) métodos y teorías; incertidumbre

( c ) métodos y teorías; certidumbre

( d ) métodos y teorías; riesgo

2. Una _____________ es una parte representativa de la población que se selecciona para ser

estudiada ya que la población es demasiado grande para ser estudiada en su totalidad. La

opción que mejor completa la frase anterior es:

( a ) Característica ( b ) Muestra

( c ) Observación ( d ) Población

3. Considere el siguiente concepto: "unidad de interés en el campo bajo estudio, sobre la cual

recae la observación y de la cual se derivan los datos para el análisis". Esto corresponde al

concepto de:

( a ) Unidad estadística ( b ) Característica

( c ) Muestra ( d ) Población

4. De las siguientes, no es una razón para trabajar con muestras en vez de la población es:

( a ) La población se destruye al estudiarla

( b ) El costo de estudiar la población es muy alto

( c ) La población es muy grande

( d ) Ninguna de las anteriores

5. Con respecto a la variable “estatura” es falso que:

( a ) Se mide en una escala de razón

( b ) Es una variable cuantitativa discreta, pues la gente siempre la da como un número entero

( c ) No se puede medir en una escala ordinal, o sea, como grande, mediano, pequeño

( d ) No es una característica de la unidad estadística

6. Un ingeniero debe estimar si las varillas de construcción que la compañía ha comprado

satisfacen los requerimientos establecidos en cuanto al diámetro de las mismas. Para ello se

formula lo siguiente:

A. La unidad estadística es el diámetro de las varillas, pues es lo que le interesa saber.

B. Dado que se han comprado miles de varillas, lo mejor será tomar una muestra de al

menos la mitad de las varillas para tener una muestra representativa.

De las anteriores, con toda certeza, son correctas:

( a ) Ambas afirmaciones

( b ) Solo la afirmación A

( c ) Solo la afirmación B

( d ) Ninguna de las afirmaciones



11

7. Considere las dos siguientes afirmaciones:

A. En algunos casos es necesario emplear una muestra porque la población se

destruiría al estudiarla.

B. La principal razón para estudiar una muestra en vez de la población es reducir los

costos.

Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que:

( a ) Ambas son verdaderas ( b ) Solo A es verdadera

( c ) Solo B es verdadera ( d ) Ambas son falsas

8. Un ingeniero requiere determinar si los tiempos que duran los operarios en realizar una

actividad se ajustan a los parámetros establecidos por la compañía. Para ello se formula lo

siguiente:

A. La unidad estadística es el tiempo promedio, pues es lo que le interesa saber.

B. Dado que se han contratado cientos de operarios, lo mejor será tomar una muestra

de al menos el 80% de los operarios para tener una muestra representativa.

De las anteriores, son correctas con toda certeza:

( a ) Ambas afirmaciones ( b ) Solo la afirmación A

( c ) Solo la afirmación B ( d ) Ninguna de las afirmaciones


actividad se ajustan a los parámetros establecidos por la compañía. La característica “tiempo

de realización de la actividad” es una variable que se mide en una escala:

( a ) De razón ( b ) Ordinal

( c ) De intervalo ( d ) Nominal


actividad se ajustan a los parámetros establecidos por la compañía. Si la característica “grado

académico del operario” se evalúa como “Primaria incompleta, primaria completa, secundaria

incompleta, secundaria completa”, entonces la variable se mide en una escala:

( a ) De razón ( b ) Ordinal

( c ) De intervalo ( d ) Nominal

11. El gerente de un centro de llamadas desea evaluar el desempeño del sistema y para ello

decide basarse en los tiempos de espera de los clientes para ser atendidos (medido en

segundos) y el grado de satisfacción que los clientes manifiesten al recibir el servicio

(valorado como bueno, regular o malo). La semana anterior tomó una muestra de 12 llamadas

por día de lunes a miércoles. Los siguientes son los tiempos de las muestras tomadas de lunes

a miércoles:

Número de muestra (tiempo en segundos)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13 15 15 16 16 16 16 17 17 19 11 21

12 15 15 16 16 15 16 18 15 20 30 40

30 40 45 45 50 50 45 35 60 50 80 100

Las preguntas de la 11 a la 17 se basan en la información anterior.



12

Una variable medida en escala nominal puede ser:

( a ) Tiempo de espera ( b ) Nombre del agente de servicio que atendió

( c ) Grado de satisfacción del cliente ( d ) Número de llamadas hechas por el cliente

12. Con base en la información de la pregunta 11, una variable medida en escala ordinal

puede ser:



13. Con base en la información de la pregunta 11, una variable medida en escala de razón

puede ser:


( c ) Grado de satisfacción del cliente ( d ) Ninguna de las anteriores

14. Con base en la información de la pregunta 11, una variable cualitativa puede ser:

( a ) Tiempo de espera ( b ) Número de llamadas atendidas por día


15. Con base en la información de la pregunta 11, una variable continua puede ser:

( a ) Tiempo de espera ( b ) Número de llamadas atendidas


16. Con base en la información de la pregunta 11, una variable discreta puede ser:


( c ) Grado de satisfacción del cliente ( d ) Ninguna de las anteriores

17. Con base en la información de la pregunta 11, considere las dos siguientes afirmaciones:

A. Si el centro de llamadas tiene un sistema que registra los tiempos de todas las

llamadas, es mejor hacer un censo.

B. Dado que son muchas las llamadas, es necesario tomar una muestra muy grande.

Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto con toda certeza que:



Respuestas a los ejercicios de selección múltiple:

1. b 2. b 3. a 4. d

5. b 6. d 7. a 8. d

9. a 10. b 11. b 12. c

13. a 14. c 15. a 16. d

17. b



13

2 .

Presentación de la información estadística

OBJETIVOS:


Identificar las formas principales de presentar la información estadística.

Presentar apropiadamente la información estadística en un formato textual.

Elaborar cuadros estadísticos.

Construir gráficos adecuados según el tipo de datos.



14

Ejercicio

de

revisión

Con base en los datos proporcionados elabore un cuadro estadístico

completo que incluya todas las partes de un cuadro:

Considere la siguiente información que se obtuvo del estudio

“Comportamiento Clínico y Epidemiológico de las Infecciones

Nosocomiales en la Unidad de Cuidados Intensivos Neonatales del

Hospital Dr. Oscar Danilo Rosales Argüello”.

“Al momento de su egreso fallecieron 61.4% de los recién nacidos.

De ellos el 67.4% fue por enterobacter y 16.2 por pseudomonas

aeruginosa. Un 31.4% de los recién nacidos fue dado de alta y

abandonaron el centro hospitalario un 7.2% en muy malas

condiciones”.

El proyecto fue elaborado por la Dra. Juana María Membreño

Sequeira en el período comprendido de octubre 2002 a enero 2004

y fue publicado en

http://www.minsa.gob.ni/enfermeria/PDF/327.pdf en marzo de

2004.

Hospital Dr. Oscar Danilo Rosales Argüello, Unidad de Cuidados

Intensivos Neonatales, Comportamiento Clínico y Epidemiológico

de las Infecciones Nosocomiales

Octubre 2002 a enero 2004

Condición de egreso %

Fallecidos al egresar

Por enterobacter 41.38%

Por pseudomonas aeruginosa 9.95%

Por otras infecciones 10.07%

Dados de alta 31.40%

Abandonan en malas condiciones 7.20%

Total 100.00% Fuente: Membreño Sequeira, Juana María (2004). Comportamiento Clínico y

Epidemiológico de las Infecciones Nosocomiales en la Unidad de Cuidados Intensivos

Neonatales del Hospital Dr. Oscar Danilo Rosales Argüello, Recuperado de

http://www.minsa.gob.ni/enfermeria/PDF/327.pdf





15

Ejercicio

de

revisión

Indique qué tipo de gráfico emplearía para presentar los siguientes datos.

Explique en cada caso:

a. Porcentaje de niños de un año vacunados contra el sarampión para los

países de América Central en el 2009.

Barras horizontales

b. Porcentaje de niños de un año vacunados contra el sarampión para

Costa Rica y Panamá del año 2000 al 2009.

Barras verticales comparativas

c. Tasa de prevalencia del VIH entre la población de 15 a 49 años de

edad por sexo para Costa Rica en el 2009.

Gráfica circular

d. Relación entre el porcentaje de cobertura de atención prenatal y la

razón de mortalidad materna por cada 100.000 nacidos vivos para 10

países de América Latina en el 2006.

Gráfica de dispersión



ejercicios se encuentran en la página de internet del texto: ).

1. Si se quiere representar la composición de un todo, el tipo de gráfico adecuado para

representar esos datos es:

( a ) Gráfica de barras horizontales

( b ) Gráfica de barras verticales

( c ) Gráfica circular

( d ) Pictograma

2. Si se tiene una serie cronológica, el tipo de gráfico adecuado para representarla es:

( a ) Gráfica de barras horizontales

( b ) Gráfica de barras verticales

( c ) Histograma

( d ) Diagrama de dispersión

3. Si se tiene una serie cualitativa, el tipo de gráfico adecuado para representarla es:

( a ) Gráfico circular

( b ) Gráfico lineal

( c ) Gráfico de barras verticales

( d ) Gráfico de barras horizontales



16

4. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el porcentaje de niños de un año vacunados

contra el sarampión para los países de América Central en el 2009?





5. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el porcentaje de niños de un año vacunados

contra el sarampión para Costa Rica y Panamá del año 2000 al 2009?

( a ) Gráfico de barras horizontales comparativas

( b ) Gráfico de barras horizontales compuestas

( c ) Gráfico de barras verticales comparativas

( d ) Gráfico de barras verticales compuestas

6. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la distribución porcentual del número de

personas afectadas por el VIH entre la población de 15 a 49 años de edad por sexo para Costa

Rica en el 2009?





7. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la relación entre el porcentaje de cobertura

de atención prenatal y la razón de mortalidad materna por cada 100.000 nacidos vivos para 10

países de América Latina en el 2006?


( b ) Diagrama de dispersión

( c ) Pictograma


8. Si usted va a representar las exportaciones anuales de un país en el periodo 2009 – 2011,

¿cuál tipo de gráfico es más apropiado?



( c ) Gráfico de barras verticales de doble dirección


9. Si usted va a representar las exportaciones anuales de un país en el 2011 clasificadas por

tipo de producto, ¿cuál tipo de gráfico es más apropiado?



( c ) Gráfico de barras verticales de doble dirección


10. Si usted va a representar las exportaciones anuales de un país en el periodo 2009 – 2011

por tipo de producto, ¿cuál tipo de gráfico es más apropiado?


( b ) Gráfico de barras horizontales compuestas

( c ) Gráfico de barras verticales comparativas

( d ) Gráfica de dispersión



17

11. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el monto de las ventas (en dólares) de una

empresa por tipo de producto para el año 2012?





12. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar el monto de las ventas (en dólares) de una

empresa por año del 2007 al 2012?


( b ) Barra 100%



13. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la distribución porcentual de las ventas de

una empresa por tipo de producto para el año 2012?





14. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar la distribución porcentual de las ventas de

una empresa por tipo de producto y según tipo de cliente para el año 2012?


( b ) Barra 100%

( c ) Gráfico de barras verticales compuestas

( d ) Gráfico de barras horizontales compuestas

15. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para comparar el monto de las ventas de una empresa (en

miles $) por tipo de producto y según tipo de cliente para el año 2012?


( b ) Barra 100%



16. ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para comparar el monto de las ventas de una empresa (en

miles $) por tipo de producto para el periodo 2007 al 2012?


( b ) Gráfico de barras verticales comparativas



17. El gerente de un centro de llamadas desea evaluar el desempeño de los agentes de servicio

y para ello decide basarse en los tiempos de espera de los clientes para ser atendidos (medido

en segundos) y el grado de satisfacción que los clientes manifiesten al recibir el servicio


por día de lunes a miércoles y 20 llamadas el jueves y el viernes. Los siguientes son los

tiempos de las muestras tomadas de lunes a miércoles. El lunes y el martes se tomaron

tiempos de llamadas atendidas y el miércoles solo de llamadas no atendidas:



18

Día


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Lunes 13 15 15 16 16 16 16 17 17 19 11 21

Martes 12 15 15 16 16 15 16 18 15 20 30 40

Miércoles 30 40 45 45 50 50 45 35 60 50 80 100

El tipo de gráfico apropiado para representar la distribución porcentual de las llamadas según

el agente que contestó es:

( a ) Gráfico lineal

( b ) Gráfico de barras verticales

( c ) Gráficos de barras horizontales

( d ) Gráfico circular

18. Con base en los datos de la pregunta 17, el tipo de gráfico apropiado para representar el

número de llamadas recibidas por mes durante los últimos 12 meses es:

( a ) Gráfico lineal

( b ) Diagrama de dispersión

( c ) Gráficos de barras horizontales

( d ) Barra 100%

Respuestas a los ejercicios de opción múltiple:

1. c 2. b 3. d 4. d

5. c 6. a 7. b 8. b

9. d 10. c 11. d 12. c

13. a 14. d 15. a 16. b

17. d 18. a



19

3 .

Análisis descriptivo de la información estadística

OBJETIVOS:


Reconocer la importancia y utilidad de las medidas de posición central.

Calcular e interpretar las principales medidas de posición en datos no agrupados.

Calcular e interpretar las principales medidas de variabilidad en datos no agrupados.



20

Ejemplo Suponga que se tienen los siguientes datos correspondientes a las ventas

mensuales que ha realizado un vendedor durante los últimos siete meses

(en millones de dólares):

20, 33, 42, 40, 19, 23, 28

Calcule la media aritmética.

Solución El cálculo de la media sería:

29,297

28231940423320

x

Según ese resultado, sus ventas mensuales promedio son de 29,29 millones

de dólares.

Ejercicio

de

revisión

Con base en el siguiente conjunto de datos:

40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75


10

75606060907585655040x 66

Uso de Excel y Minitab para el cálculo de la media aritmética

Ejemplo Utilice Excel y Minitab para resolver el ejercicio: Suponga que se tienen

los siguientes datos correspondientes a las ventas mensuales que ha

realizado un vendedor durante los últimos siete meses (en millones de

dólares):

20, 33, 42, 40, 19, 23, 28


Solución En Excel, se introducen los datos, bien sea en una fila o una columna. En

este caso los datos se encuentran en el rango de celdas de A1 hasta A7:



21

Luego se elige una celda para determinar el resultado, por ejemplo la celda

B8, y en ella se ingresa la siguiente función de Excel:

=PROMEDIO(A1:A7)

Luego se presiona Enter (o Intro) y se obtiene el resultado de 29,29,

aproximadamente:

En Minitab, se introducen los datos en una columna, por ejemplo la

columna C1:

Luego se da clic en el menú Estadísticas, se elige Estadística básica y ahí

selecciona Mostrar estadísticas descriptivas. Ahí completa el cuadro de

diálogo seleccionando la variable, que en este caso se encuentra en la

columna C1:



22

Luego en el botón Estadísticas selecciona la Media:

Luego de dar clic en Aceptar en cada cuadro, se obtiene el resultado en la

ventana Sesión:



23

Ejemplo Suponga que una empresa posee quince vendedores de un determinado

producto. Cuatro de los vendedores lograron vender 50 unidades, 6

vendieron 40 unidades, tres vendieron 35 unidades y 2 vendieron 20

unidades. ¿Cuál es el número de unidades promedio de cada vendedor?

Solución Dado que existen valores repetidos, entonces se aplica la fórmula:

3915

2023534065041

n

fx

x

k

i

ii

Es decir, el número de unidades promedio vendidas por cada vendedor es

de 39 unidades.

Ejercicio

de

revisión

En un muelle hay 20 contenedores que pesan 15 toneladas cada uno, 25

que pesan 20 toneladas cada uno y 10 que pesan 25 toneladas cada uno.

¿Cuál es el peso promedio de los contenedores?

09,1955

1025252020151

n

fx

x

k

i

ii

El peso promedio de los contenedores es 19,09 toneladas.

Ejemplo Una empresa obtiene distintos márgenes de utilidad según los diferentes

productos que vende. Suponiendo que vende 3 productos diferentes A, B y

C, de acuerdo con los siguientes datos:

Producto Margen de utilidad

Volumen de ventas

(en millones de dólares)

A 20% 200

B 30% 100

C 40% 60

Total: $ 360

¿Cuál es el margen de utilidad promedio?



24

Solución Para responder a esta pregunta es necesario calcular la media ponderada,

ya que el volumen de ventas de cada producto es distinto, y eso afecta al

promedio. El cálculo debe ser el siguiente:

%11.26360

60%40100%30200%20

1

1

k

i

i

k

i

ii

w

wx

x

El margen de utilidad promedio es de 26,11%. Obsérvese que los pesos (

iw ) corresponde a las ventas de cada producto, y entonces se divide entre

el total de ventas.

Ejercicio

de

revisión

En un curso universitario se realizan tres exámenes. El segundo examen

tiene un valor que es el doble del primero y el tercer examen tiene un valor

que es el triple del segundo. Si un estudiante obtiene una nota de 8 en el

primer examen, un 9 en el segundo y un 6 en el tercero (todas estas notas

están en una escala de 0 a 10), calcule su calificación promedio.

88,6621

662918

1

1

k

i

i

k

i

ii

w

wx

x

La calificación promedio es de 6,88.

Ejemplo El precio de un cierto producto se incrementó un 5,5% durante 1999, un

7,4% durante el 2000, un 3,7% en el 2001, un 9,85% en el 2002 y un 10%

en el 2003. ¿Cuál ha sido el incremento promedio en el precio de ese

producto?

Solución Para responder a la pregunta conviene ordenar la información de la manera

siguiente:

Año Incremento porcentual En forma decimal

1999 5,50% 1,055

2000 7,40% 1,074

2001 3,70% 1,037

2002 9,85% 1,0985

2003 10,00% 1,10



25

Aplicando la fórmula de la media geométrica:

0726,110,10985,1037,1074,1055,1... 521 n

nxxxMg

Esto quiere decir que el incremento promedio del precio es de 7,26%.

Ejercicio

de

revisión

Un país tuvo una tasa de inflación de 5% durante el año 2009, un 4% en

2010, un 6% en 2011 y 3% en 2012. ¿Cuál es la tasa de inflación promedio

en estos 4 años?

Para responder a la pregunta conviene ordenar la información de la manera

siguiente:

Año Incremento porcentual En forma decimal

2009 5% 0.05

2010 4% 0.04

2011 6% 0.06

2012 3% 0.03

Aplicando la fórmula de la media geométrica:

0449,103,106,104,105,1... 421 n

nxxxMg

Esto quiere decir que la inflación promedio es de 4,49%.

Uso de Excel y Minitab para calcular la media geométrica

Ejemplo Utilice Excel y Minitab para calcular la media geométrica del conjunto de

datos siguiente:

1,055 - 1,074 - 1,037 - 1,0985 - 1,10

Solución En Excel, primero se introducen los datos en una fila o columna, por

ejemplo, en la columna A, en el rango de celdas de A1 hasta A5:



26

Luego, en la celda en la cual se desea el resultado, se introduce la siguiente

función:

=MEDIA.GEOM(A1:A5)

Y así se obtiene el resultado de 1,0726.

En Minitab, primero se introducen los datos en una columna, por ejemplo,

en la columna C1:

Luego, en el menú Calc, se selecciona Calculadora y se completa el cuadro

de diálogo:

Es necesario indicar dónde se desea almacenar el resultado, en este caso en

la columna C2. Luego en el campo Expresión se indica la siguiente



27

función:

GMEAN(C1)

Y así se obtiene el resultado de 1,0726 en la hoja de trabajo de Minitab, y

no en la ventana Sesión.

Ejemplo Con base en los siguientes conjuntos de datos, obtenga la moda:

Conjunto 1:

12, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 25

Conjunto 2:

12, 14, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 25

Conjunto 3:

12, 14, 15, 18, 22, 25

Conjunto 4:

12, 14, 14, 15, 18, 18, 18, 22, 2500

Solución 1. El dato que más veces aparece es el 18, por tanto la moda es 18.

2. El dato que más veces aparece es el 14 y el 18, por tanto la moda es 14 y

18. Este es un conjunto bimodal.

3. No tiene moda.

4. El dato que más veces aparece es el 18, por tanto la moda es 18.

Observe que el valor extremo 2500 no afectó el resultado, pues el conjunto

1 y el 4 son iguales excepto por ese valor.

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Calcule la moda o modo.

La moda es 60, el dato más frecuente o más repetido.



28

Ejemplo Sean los siguientes datos, 5, 12, 7, 8, 10, 6, y 9, los años de servicios de un

grupo de trabajadores. ¿Cuál es la mediana?

Solución Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente o

decreciente:

5, 6, 7, 8, 9, 10, 12

Dado que se tienen 7 datos, una cantidad impar de datos, se aplica la

formula:

42

17

2

1

NPMed

Ese resultado indica que la mediana será el cuarto dato de la serie, es decir,

la mediana será 8, Med = 8.

Ejemplo Sean los siguientes datos, 5, 12, 7, 8, 11, 10, 6, y 9, los años de servicios

de un grupo de trabajadores. ¿Cuál es la mediana?

Solución Lo primero que se hace es ordenar los datos en forma creciente o

decreciente:

5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Dado que se tienen 8 datos, una cantidad par de datos, se aplica la formula:

5.42

18

2

1

NPMed

Ese resultado indica que la mediana estará entre el cuarto y el quinto dato

de la serie, y por tanto será necesario calcular el punto medio entre 8 y 9,

es decir, la mediana será (8+9)/2, Med = 8.5.

Ejercicio

de

revisión

Con base en los siguientes conjuntos de datos:

Conjunto 1: 40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Conjunto 2: 85, 110, 125, 130, 90, 100, 140

Calcule la mediana en cada caso.

Conjunto 1: 40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90



29

5,52

110

2

1

NPMed

5,622

6560

Med

Conjunto 2: 85, 90, 100, 110, 125, 130, 140

42

17

2

1

NPMed

Med = 110

Ejemplo Suponga que se tienen tres conjuntos de datos y para cada uno de ellos se

conoce la media, mediana y moda:

Conjunto 1: Media: 20, Mediana: 20, Moda: 20



¿Cuál de los tres conjuntos presenta distribución simétrica, distribución

asimétrica positiva y distribución asimétrica negativa?

Solución El primer conjunto presenta una distribución simétrica, pues la media, la

moda y la mediana son todas iguales.

El segundo conjunto muestra una distribución asimétrica negativa, dado

que la media es menor que la mediana, y a su vez, la mediana es menor

que la moda.

El tercer conjunto muestra una distribución asimétrica positiva, pues la

media es mayor que la mediana, y la mediana es mayor que la moda.

Ejemplo A continuación se presentan tres conjuntos de datos. En cada caso, calcule

la media aritmética, la mediana y la moda del siguiente conjunto de datos:

Conjunto 1:

12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16,

16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20

Conjunto 2:

12, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18,

18, 18, 19, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20



30

Conjunto 3:

12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14,

14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18, 19, 20

Además en cada caso, construya una gráfica (histograma) para representar

a este conjunto de datos.

Observe la gráfica y la relación entre la media, la mediana y la moda. ¿Qué

puede decirse de la simetría o asimetría de cada conjunto?

Solución Conjunto 1:

Media = 16

Mediana = 16

Moda = 16

La media, la mediana y la moda son iguales, lo que indica una distribución

simétrica, lo cual se observa claramente en la gráfica siguiente.

2018161412

5

4

3

2

1

0

C1

Fre

cu

en

cia

Conjunto 2:

Media = 17,19

Mediana = 18

Moda = 19

La media es menor que la mediana, y a su vez la mediana es menor que la

moda, lo que indica una distribución asimétrica negativa, lo cual se

observa claramente en la gráfica siguiente.



31

2018161412

5

4

3

2

1

0

C2

Fre

cu

en

cia

Conjunto 3:

Media = 14,8

Mediana = 14

Moda = 13

La media es mayor que la mediana, y a su vez la mediana es mayor que la

moda, lo que indica una distribución asimétrica positiva, lo cual se observa

claramente en la gráfica siguiente.

2018161412

5

4

3

2

1

0

C3

Fre

cu

en

cia



32

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Determine qué tipo de simetría o asimetría se presenta.

Se calcula la moda, la mediana y el promedio:

Moda = 60

Mediana = 62.5

Media = 66

Dado que la media es mayor que la mediana y, a su vez, la mediana mayor

que la moda, entonces se presenta una asimetría positiva o hacia la

derecha.

Ejemplo El número de unidades de un cierto producto vendidas por 10 vendedores

el mes pasado son:

120, 100, 20, 70, 100, 140, 120,150, 100, 40

Determine el primer cuartil, el tercer cuartil, el decil 4 y el 80º percentil.

Solución Primer cuartil:

Paso 1: El primer paso es ordenar la serie de datos:

20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Paso 2: El primer cuartil equivale al percentil 25, por lo que m = 25 y se

tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:

75,2110110025

100 nP m

m

Paso 3: La fórmula anterior no da el valor del percentil, sino que da la

posición del percentil 25. Hay que buscar el dato en la posición 2,75.

Como no se tiene un valor en la posición 2,75, quiere decir que el valor del

percentil va a estar entre el segundo valor y el tercero, entonces se realiza

una interpolación. Esto es, se toma el segundo dato en la serie ordenada,

que es 40, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la

fórmula, que es 0,75 por la diferencia entre el segundo y el tercer dato, que

es 70 – 40 = 30. O sea, el percentil equivale a:

Q1 = P25 = 40 + 0,75 * 30 = 62,5



33

Tercer cuartil:


20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Paso 2: El tercer cuartil equivale al percentil 75, por lo que m = 75 y se

tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:

25,8110110075

100 nP m

m




percentil va a estar entre el octavo valor y el noveno, entonces se realiza

una interpolación. Esto es, se toma el octavo dato en la serie ordenada, que

es 120, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la

fórmula, que es 0,25 por la diferencia entre el octavo y el noveno dato, que


Q3 = P75 = 120 + 0,25 * 20 = 125

Decil 4:


20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Paso 2: El decil 4 equivale al percentil 40, por lo que m = 40 y se tienen 10

datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la fórmula:

4,4110110040

100 nP m

m


posición del percentil 40. Hay que buscar el dato en la posición 4,4. Como

no se tiene un valor en la posición 4,4, quiere decir que el valor del

percentil va a estar entre el cuarto valor y el quinto, entonces se realiza una

interpolación. Esto es, se toma el cuarto dato en la serie ordenada, que es

100, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la

fórmula, que es 0,4 por la diferencia entre el cuarto y el quinto dato, que es

100 – 100 = 0. O sea, el percentil equivale a:

D4 = P40 = 100 + 0,4 * 0 = 100

Percentil 80:


20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Paso 2: Se desea calcular el percentil 80, por lo que m = 80 y se tienen 10




34

8,8110110080

100 nP m

m


posición del percentil 80. Hay que buscar el dato en la posición 8,8. Como

no se tiene un valor en la posición 8,8, quiere decir que el valor del

percentil va a estar entre el octavo valor y el noveno, entonces se realiza

una interpolación. Esto es, se toma el octavo dato en la serie ordenada, que

es 120, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la

fórmula, que es 0,8 por la diferencia entre el octavo y el noveno dato, que


P80 = 120 + 0,8 * 20 = 136

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Calcule el primer cuartil, el tercer cuartil, el decil 4, el quintil 3 y el

percentil 65.

Primer cuartil:


40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90

Paso 2: Se desea calcular el primer cuartil, que equivale al percentil 25, por

lo que m = 25 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye

en la fórmula:

75,2110110025

100 nP m

m




percentil va a estar entre el segundo valor y el tercero, entonces se realiza

una interpolación. Esto es, se toma el segundo dato en la serie ordenada,

que es 50, y se le suma el producto de la parte decimal del resultado de la

fórmula, que es 0,75 por la diferencia entre el segundo y el tercer dato, que


P25 = 50 + 0,75 * 10 = 57,5

Tercer cuartil:




35

40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90

Paso 2: Se desea calcular el tercer cuartil, que equivale al percentil 75, por

lo que m = 75 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye

en la fórmula:

25,8110110075

100 nP m

m

Paso 3: Se toma el octavo dato en la serie ordenada, que es 75, y se le

suma el producto de la parte decimal del resultado de la fórmula, que es

0,25 por la diferencia entre el octavo y el noveno dato, que es 85 – 75 =

10. O sea, el percentil equivale a:

P75 = 75 + 0,25 * 10 = 77,5

Decil 4:


40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90

Paso 2: Se desea calcular el decil 4, que equivale al percentil 40, por lo que

m = 40 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye en la

fórmula:

4,4110110040

100 nP m

m

Paso 3: Se aplica:

P40 = 60 + 0,4 * 0 = 60

Quintil 3:


40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90

Paso 2: Se desea calcular el quintil 3, que equivale al percentil 30, por lo

que m = 30 y se tienen 10 datos, por lo que n = 10. Entonces se sustituye

en la fórmula:

3,3110110030

100 nP m

m

Paso 3: Se aplica:

P30 = 60 + 0,3 * 0 = 60

Percentil 65:


40, 50, 60, 60, 60, 65, 75, 75, 85, 90



36

Paso 2: Se desea calcular el percentil 65, por lo que m = 65 y se tienen 10


15,7110110065

100 nP m

m

Paso 3: Se aplica:

P65 = 75 + 0,15 * 0 = 75

Uso de Excel y Minitab para el cálculo de percentiles

Ejemplo Utilice Excel y Minitab para resolver el ejercicio: El número de unidades

de un cierto producto vendidas por 10 vendedores el mes pasado son:

20, 40, 70, 100, 100, 100, 120, 120, 140, 150

Determine el primer cuartil, el tercer cuartil y el 80º percentil.



Para obtener el primer cuartil, en la celda en la cual se desea el resultado,

se introduce la siguiente función:

=CUARTIL(A1:A10;1)

En la función, dentro del paréntesis, primero se indica el rango de datos, y

luego (generalmente separado por punto y coma) se indica el número del

cuartil, que en este caso es 1. Y así se obtiene el resultado de 77,5. Este

resultado cambia con respecto al anterior, calculado manualmente, porque

se está empleando un algoritmo distinto para el cálculo del cuartil. Esto

mismo sucederá en los cálculos siguientes.



37

Para obtener el tercer cuartil, en la celda en la cual se desea el resultado, se

introduce la siguiente función:

=CUARTIL(A1:A10;3)



cuartil, que en este caso es 3. Y así se obtiene el resultado de 120.

Para obtener el percentil 80, en la celda en la cual se desea el resultado, se


=PERCENTIL(A1:A10;0,80)



percentil, pero indicado en forma decimal, que en este caso es 0,80. Y así

se obtiene el resultado de 124.


en la columna C1:




columna C1:



38

Luego en el botón Estadísticas selecciona primer cuartil y tercer cuartil.


ventana Sesión:

Este resultado cambia con respecto al anterior, calculado manualmente y al

obtenido en Excel, porque se está empleando un algoritmo distinto para el

cálculo del cuartil.

Para obtener el percentil se da clic en el menú Calc y se selecciona

Calculadora. Ahí se completa el cuadro de diálogo siguiente:



39

Se debe indicar en cuál columna se almacenará el resultado, por ejemplo

en la columna C2. Luego en expresión debe seleccionarse la función:

PERCENTILE(número.probabilidad)

En esta función número corresponde a la columna que almacena los datos,

en este caso C1, y probabilidad es el número del percentil expresado en

forma decimal, que sería 0,80:

PERCENTILE(C1.0,80)

Observe que los datos de entrada de la función se separan por medio de un

punto. Luego se da clic en Aceptar y el resultado se obtiene en la hoja de

trabajo, no en la sesión. Según Minitab el percentil 80 es 136.

Ejemplo Se tiene un conjunto de datos con respecto al cual se conoce la siguiente

información:

Primer cuartil: 20

Tercer cuartil: 36

Mediana: 30

Mínimo: 8

Máximo: 42

Construya la gráfica de caja.

Solución La gráfica de caja puede construir horizontal o vertical. En este caso se va

a hacer horizontal, por lo que se construye un eje horizontal. Luego se

realizan los siguientes pasos:



40

Paso 1: Determinar los cuartiles. La caja queda delimitada por el primer

cuartil que es 20 y el tercer cuartil que es 36. En este caso ya están

calculados, pero de otro modo habría que calcularlos, por lo que se dibuja

la caja, la cual inicial en el primer cuartil y finaliza en el tercer cuartil:

Paso 2: Determinar la mediana. En este caso ya está calculada la

mediana. Si no, se calcula. Entonces se traza la línea que representa la

mediana, la cual es 30.

Paso 3: Determinación de los bigotes. Se calculan los valores a y b:

a = Q1 – 1,5 (Q3 – Q1) = 20 - 1,5 (36 - 20) = -4

b = Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) = 36 + 1,5 (36 - 20) = 60

Si el valor de a es menor que el mínimo, entonces el bigote izquierdo llega

hasta el mínimo, pero si a fuera mayor que el mínimo, entonces el bigote

izquierdo llega hasta a. En este caso, como a = -4 y el mínimo es 8,

entonces el bigote izquierdo llegará hasta 8.

Si el valor de b es mayor que el máximo, entonces el bigote derecho llega

hasta el máximo, pero si b fuera menor que el máximo, entonces el bigote

derecho llega hasta b. En este caso, como b = 60 y el máximo es 42

entonces el bigote derecho llegará hasta 42.

Finalmente se traza el brazo o bigote izquierdo, el cual parte de la caja

hasta el punto mínimo, que es 8, y se traza el brazo o bigote derecho, el

cual parte de la caja hasta el punto máximo, que es 42. No hay valores

atípicos en este caso.



41

Ejemplo Se tiene el siguiente conjunto de datos:

24, 25, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35, 40

Construya la gráfica de caja usando Minitab.

Solución Paso 1: Determinar los cuartiles. Se calculan los dos cuartiles:

Q1 = 27

Q3 = 31,5

La caja queda delimitada por el primer cuartil que es 27 y el tercer cuartil

que es 31,5, por lo que se dibuja la caja, la cual inicial en el primer cuartil

y finaliza en el tercer cuartil:

Paso 2: Determinar la mediana. Se calcula la mediana, la cual es 30.

Entonces se traza la línea que representa la mediana, la cual es 30.

0 10 20 30 40 50

Mín8

Q1

20Med

30Q3

36Máx42



42

Paso 3: Determinación de los bigotes. Se calculan los valores a y b:

a = Q1 – 1,5 (Q3 – Q1) = 27 - 1,5 (31,5 - 27) = 20,25

b = Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) = 31,5 + 1,5 (31,5 - 27) = 38,25

Si el valor de a es menor que el mínimo, entonces el bigote izquierdo llega

hasta el mínimo, pero si a fuera mayor que el mínimo, entonces el bigote

izquierdo llega hasta a. En este caso, como a = 20,25 y el mínimo es 24,

entonces el bigote izquierdo llegará hasta 24.

Si el valor de b es mayor que el máximo, entonces el bigote derecho llega

hasta el máximo, pero si b fuera menor que el máximo, entonces el bigote

derecho llega hasta b. En este caso, como b = 38,25 y el máximo es 40,

entonces el bigote derecho llegará hasta 38,25 y el valor de 40 se marcará

con un asterisco, pues se considera como valor atípico.

Uso de Minitab para construir una gráfica de caja


20, 24, 25, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35, 40, 45

Construya la gráfica de caja usando Minitab.

Solución Para realizar este ejercicio en Minitab se requiere introducir los datos en

una columna de la hoja de trabajo, por ejemplo en la columna C1. Luego

se da clic al menú Grafica y se elige Gráfica de caja. En el cuadro se

escoge Una Y Simple, y se da clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo que

aparece se selecciona la columna que contiene los datos, que en este caso

es la columna C1, y se da clic en Aceptar. Se obtiene la gráfica siguiente:



43

45

40

35

30

25

20

C1

Gráfica de caja de C1

Como se observa, Minitab hace la gráfica vertical y no horizontal como se

expuso en el ejemplo anterior, sin embargo representa los mismos datos.

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Construya la gráfica de caja.

90

80

70

60

50

40

C1




44


15, 24, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35

Construya la gráfica de caja usando Minitab e identifique la presencia de

valores atípicos.



se da clic al menú Grafica y se elige Gráfica de caja. En el cuadro se

escoge Una Y Simple, y se da clic en Aceptar. En el cuadro de diálogo que

aparece se selecciona la columna que contiene los datos, que en este caso

es la columna C1, y se da clic en Aceptar. Se obtiene la gráfica siguiente:

35

30

25

20

15

C1


Minitab ha dibujado la gráfica, pero ha colocado en la parte inferior un

asterisco, el cual representa un valor atípico, o sea, un valor muy grande o

muy pequeño con respecto a los demás datos del conjunto.


15, 24, 26, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 32, 35

Calcule, usando Minitab, el primer cuartil, el tercer cuartil y el rango

intercuartil.



se da clic al menú Estadísticas y se elige Mostrar estadísticas descriptivas.

En el cuadro de diálogo se selecciona la variable, en este caso en la

columna C1, y en el botón estadísticas se marca primer cuartil, tercer

cuartil y rango intercuartil, y se da clic en Aceptar.



45

El resultado se obtiene en la ventana Sesión, e indica que el primer cuartil

es 26,5, el tercer cuartil 31, y el rango intercuartil (RIC = IQR) es 4,5, que

es la diferencia Q3 – Q1 = 31 – 26,5 = 4,5.

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Calcule el rango intercuartil y la desviación cuartil.

Q1 = 57.5

Q3 = 77.5

RIC = Q3 – Q1 = 77.5 – 57.5 = 20

Q = 20/2 = 10

Ejemplo Se tiene dos conjuntos de datos, el primero corresponde a la estatura de 8

futbolistas, y el segundo corresponde a la estatura de 6 basquetbolistas:

Futbolistas: 1.83, 1.73, 1.75, 1.69, 1.94, 1.83, 1.81, 2.01

Basquetbolistas: 2.01, 2.15, 1.90, 2.28, 1.83, 2.15

Utilice Minitab para elaborar una gráfica de caja para cada conjunto de

datos.

Solución Primero que todo se introducen los datos en la hoja de trabajo, cada

conjunto en una columna distinta, en este caso C1 para los futbolistas y C2

para los basquetbolistas. Luego se da clic en el menú Gráfica y se elige

Gráfica de caja. En el cuadro de diálogo se selecciona Múltiples Y.

Después se seleccionan las dos variables y se da clic en Aceptar.

C2C1

2,3

2,2

2,1

2,0

1,9

1,8

1,7

Da

tos

Gráfica de caja de C1. C2

Al comparar las dos gráficas, se observa que las estaturas de los futbolistas



46

tienden a ser menores que las de los basquetbolistas, y que el tercer cuartil

de los primeros es, apenas, un poco superior que el primer cuartil de los

segundos.

Además, las estaturas de los futbolistas tienden a ser bastante simétricas,

tal vez con una ligera asimetría positiva, pues la mediana está apenas un

poco abajo de la mitad de la caja y el bigote superior es más largo que el

inferior. Al contrario, las estaturas de los basquetbolistas presentan una

cierta asimetría negativa, pues la mediana está más arriba de la mitad de la

caja, a pesar de que el bigote superior es más largo que el inferior.

Ejemplo Suponga que se tienen los dos siguientes conjuntos de cinco datos:

Conjunto A: 1, 2, 3, 7, 10

Conjunto B: 1, 9, 9, 10, 10

Se desea calcular el rango de este conjunto de datos.

Solución Para el conjunto A el máximo es 10 y el mínimo es 1, por lo que su rango

o amplitud será:

Rango = 10 – 1 = 9

Para el conjunto B el máximo también es 10 y el mínimo también es 1, por

lo que su rango o amplitud será:

Rango = 10 – 1 = 9

En este ejemplo se ilustra qué tan limitado es el rango como medida de la

variabilidad, pues en el conjunto todos los datos son muy similares entre

sí, excepto uno de ellos, sin embargo el rango es igual que el del conjunto

A, el cual sí presenta mayor variabilidad.

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Calcule el rango o recorrido.

Solución:

Máximo = 90

Mínimo = 40

Rango = 90 – 40 = 50



47

Ejemplo Suponga que se tiene el siguiente conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y

se desea calcular la varianza y la desviación estándar de dicha muestra.

Solución a. Si se emplea la fórmula de la varianza para una muestra, es necesario

calcular la media aritmética primero:

55

25

5

10103111

n

x

x

n

i

i

b. Luego se calcula la diferencia entre cada dato y la media, resultados que

luego serán elevados al cuadrado:

x xx 2xx

1 1 – 5 = –4 (–4)² = 16

1 1 – 5 = –4 (–4)² = 16

3 3 – 5 = –2 (–2)² = 4

10 10 – 5 = 5 (5)² = 25

10 10 – 5 = 5 (5)² = 25

Suma: 2)( xx = 86

c. Finalmente se aplica la fórmula:

5.2115

86

1

)(1

2

2

n

xx

s

n

i

i

La varianza es 21.5. Si se desea conocer la desviación estándar, entonces

lo más práctico es sacar la raíz cuadrada de la varianza:

64.45.211

)(21

2

s

n

xx

s

n

i

i

La desviación estándar es aproximadamente 4.64. Esta medida mide el

grado de dispersión o variabilidad de los datos alrededor de su media.

Mientras más grande sea este valor, indica mayor dispersión.



48

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Calcule la varianza y la desviación estándar.

Solución:

a. Si se emplea la fórmula de la varianza para una muestra, es necesario

calcular la media aritmética primero:

6610

756060609075856550401

n

x

x

n

i

i

b. Luego se calcula la diferencia entre cada dato y la media, resultados que

luego serán elevados al cuadrado:

x xx 2xx

40 40 – 66 (-26)2 = 676

50 50 – 66 (-16) 2

= 256

65 65 – 66 (-1) 2

= 1

85 85 – 66 192 = 361

75 75 – 66 92 = 81

90 90 – 66 242 = 576

60 60 – 66 (-6) 2

= 36

60 60 – 66 (-6) 2

= 36

60 60 – 66 (-6) 2

= 36

75 75 – 66 92 = 81

Suma: 2)( xx = 2140

c. Finalmente se aplica la fórmula:

78.237110

2140

1

)(1

2

2

n

xx

s

n

i

i

La varianza es 237.78. Si se desea conocer la desviación estándar,

entonces lo más práctico es sacar la raíz cuadrada de la varianza:



49

42.1578.2371

)(21

2

s

n

xx

s

n

i

i

La desviación estándar es aproximadamente 15.42.

Uso de Excel y Minitab para calcular la desviación estándar y la varianza

Ejemplo Utilice Excel y Minitab para resolver el ejercicio: Suponga que se tiene el

siguiente conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y se desea calcular la

varianza y la desviación estándar de dicha muestra.



Para obtener la varianza, en la celda en la cual se desea el resultado, se


=VAR(A1:A5)


Para obtener la desviación estándar, en la celda en la cual se desea el

resultado, se introduce la siguiente función:

=DESVEST(A1:A5)



en la columna C1:



50




columna C1:

Luego en el botón Estadísticas selecciona la varianza y la desviación

estándar:



51


ventana Sesión:

Ejemplo De acuerdo con datos de un estudio, el gasto destinado a salud en el hogar

en el país tiene una media de $600 anuales y una desviación estándar de

$30. De acuerdo con la regla empírica, ¿por lo menos que porcentaje de los

hogares tendrá un gasto destinado a salud entre $510 y $690?

Solución Se tiene una media de $600 con una desviación estándar de $30, y el

intervalo dado está entre $510 y $690. Para aplicar la regla empírica es

necesario saber cuántas veces se ha sumado y restado la desviación

estándar al promedio. Esto puede obtenerse fácilmente porque se sabe que

cada límite se obtuvo a partir de k , así que, tomando el límite

inferior de 510 (y por eso va con signo menos):

51030*600 k

Ahora se despeja esa ecuación:

60051030* k 30/90 k

3k

Si se hubiera tomado el límite superior de 690 se habría obtenido el mismo

resultado de k = 3.

Sabiendo que k = 3, según la regla empírica, el porcentaje de los hogares

que tendrá un gasto destinado a salud entre $510 y $690 será

aproximadamente del 99,7%.

Ejemplo De acuerdo con datos de un estudio, el gasto destinado a salud en el hogar

en el país tiene una media de $600 anuales y una desviación estándar de

$30. a. De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿por lo menos que

porcentaje de los hogares tendrá un gasto destinado a salud entre $525 y

$675?



52

Solución Se tiene una media de $600 con una desviación estándar de $30, y el

intervalo dado está entre $525 y $675. Para aplicar el teorema de

Chebyshev es necesario saber cuántas veces se ha sumado y restado la

desviación estándar al promedio. Esto puede obtenerse fácilmente porque

se sabe que cada límite se obtuvo a partir de k , así que, tomando el

límite inferior de 525 (y por eso va con signo menos):

52530*600 k

Ahora se despeja esa ecuación:

60052530* k 30/75 k

5,2k

Si se hubiera tomado el límite superior de 675 se habría obtenido el mismo

resultado de k = 2,5.

Sabiendo que k = 3, según el teorema de Chebyshev, se aplica la fórmula

sustituyendo k = 2,5:

84,025,6

11

5,2

11

11

22

k

Así, el porcentaje de los hogares que tendrá un gasto destinado a salud

entre $525 y $675 será al menos 84%.

Ejercicio

de

revisión

Las botellas de agua envasadas en un proceso de llenado tienen una media

de 501 ml con una desviación estándar de 2 ml.

a. Si no se conoce si la distribución es simétrica o asimétrica, ¿qué

porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml y 505 ml de agua?

b. ¿Cómo cambia su respuesta anterior si se sabe que la distribución del

contenido de agua en las botellas se distribuye normalmente?

Solución:

Media = 501 ml

Desviación estándar = 2 ml

a. Si no se conoce si la distribución es simétrica o asimétrica, ¿qué

porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml y 505 ml de agua?

Si se aplica el Teorema de Chebychev, debido a que no se conoce la forma

de la distribución, entonces es necesario conocer el valor de k, para lo cual

se sustituye en la expresión k , tomando el valor 505 (igual se puede

hacer con el valor 497):



53

2

2/4

42

5015052

5052501

505

k

k

k

k

k

k

Sabiendo que k = 2, entonces se aplica el teorema.

75,04

11

2

11

11

22

k

El porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml y 505 ml de agua

es al menos de 75%.

b. ¿Cómo cambia su respuesta anterior si se sabe que la distribución del

contenido de agua en las botellas se distribuye normalmente?

Si se sabe que la distribución del contenido de agua en las botellas se

distribuye normalmente, entonces se aplica la regla empírica. Conociendo

que k = 2, entonces el porcentaje de las botellas podrían tener entre 497 ml

y 505 ml de agua es aproximadamente 95.4%.

Ejemplo Se sabe que los recién nacidos varones de una ciudad tienen un peso medio

de 3.450 gramos, con una desviación estándar de 75 gramos, mientras que

los recién nacidos varones de una zona rural tienen un peso medio de

3.350 gramos con una desviación estándar de 100 gramos. Una madre

residente de esa ciudad acaba de tener un niño con un peso de 3.475

gramos y otra madre residente de la zona rural dada acaba de tener un niño

con un peso de 3.450 gramos, ¿cuál de los dos niños tiene, en términos

relativos, un peso mayor?

Solución En el caso de la ciudad se tiene que la media () es 3.450 gramos, la

desviación estándar () es 75 gramos y el peso del recién nacido (x) es

3.475 gramos, por lo que el puntaje estandarizado será:

33,075

34503475

xz

En el caso de la zona rural se tiene que la media () es 3.350 gramos, la

desviación estándar () es 100 gramos y el peso del recién nacido (x) es

3.450 gramos, por lo que el puntaje estandarizado será:



54

1100

33503450

xz

El puntaje estandarizado para el niño de zona rural es mayor que para el

niño de la ciudad, por lo que, en términos relativos, tiene un peso mayor.

Ejercicio

de

revisión

Suponga que el gasto promedio anual en salud de cada habitante de

Argentina es de $742 con una desviación estándar de $250, mientras que

en Chile se destinan, en promedio, $947 en salud al año, con una

desviación estándar de $358.

Si una persona en Argentina gastó este año $850 en salud, mientras que

otra persona en Chile gastó $1050 en salud, ¿cuál de los dos gastó más en

términos relativos?

Solución:

En términos absolutos, la persona en Chile gastó más, pero en términos

relativos se requiere el cálculo de puntajes estandarizados.

En el caso de la persona en Argentina se tiene que la media () es $742, la

desviación estándar () es $250 y el gasto de la persona (x) es 850, por lo

que el puntaje estandarizado será:

43,0250

742850

xz

En el caso de la persona en Chile se tiene que la media () es $947, la

desviación estándar () es $358 y el gasto de la persona (x) es 1050, por lo

que el puntaje estandarizado será:

29,0358

9471050

xz

El puntaje estandarizado para la persona en Argentina es mayor que para la

que está en Chile.

Ejemplo En el caso del conjunto de datos anterior, se calculó una media de 5 y una

desviación estándar de 4.64, calcule el coeficiente de variación.



55

Solución Dado que se calculó una media de 5 y una desviación estándar de 4.64,

entonces el coeficiente de variación es:

%74.921005

64.4100

x

sCV

Ejercicio

de

revisión


40, 50, 65, 85, 75, 90, 60, 60, 60, 75

Calcule el coeficiente de variación.

Solución:

Se calcula primero la desviación estándar y la media aritmética:

Desviación estándar (s) = 15.42

Media aritmética ( x ) = 66

Luego se calcula el coeficiente de variación:

%36.2310066

42.15100

x

sCV

Uso de Excel y Minitab para calcular el coeficiente de variación

Ejemplo Utilice Minitab para resolver el ejercicio: Suponga que se tiene el siguiente

conjunto de cinco datos: 1, 1, 3, 10, 10 y se desea calcular el coeficiente de

variación de dicha muestra.

Solución En Minitab, primero se introducen los datos en una columna, por ejemplo,

en la columna C1:




56



columna C1:

Luego en el botón Estadísticas selecciona el coeficiente de variación.

Después de dar clic en Aceptar en cada cuadro, se obtiene el resultado en

la ventana Sesión:

Uso de Excel y Minitab para calcular medidas descriptivas


24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 30

Utilice la herramienta de análisis de datos de Excel para obtener las

principales estadísticas descriptivas de este conjunto de datos.

Solución Lo primero es introducir los datos en la hoja de Excel. Lo más conveniente

es agregarlos todos en una misma columna, que en este caso va de la celda

A1 hasta la celda A15.

Luego se da clic a la pestaña Datos y en la sección Análisis se elige el

botón Análisis de datos. Ahora elige Estadística descriptiva. Ahora hay



57

que completar el cuadro de diálogo.

En rango de entrada se indica el rango de datos, por lo que se seleccionan

las celdas de la A1 hasta la A15. Después marca la opción Resumen de

estadísticas y da clic en Aceptar.

Excel genera una serie de medidas estadísticas de uso común, como se

muestra a continuación.



58


24, 24, 25, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 30

Utilice el resumen gráfico de Minitab para obtener las principales

estadísticas descriptivas de este conjunto de datos.

Solución El primer paso es digitar estos datos en una columna de la hoja de trabajo

de Minitab, por ejemplo, en la columna C1. Luego se da clic en el menú

Estadísticas, se selecciona Estadística básica y ahí se elige Resumen

gráfico.

En el cuadro de diálogo se selecciona la variable en la columna C1 y se da

clic en Aceptar. Minitab despliega una ventana con un histograma con

ajuste a la curva normal y una gráfica de caja. Además un cuadro con

varias medidas descriptivas y otros datos que se estudiarán más adelante en

este texto.



59

30292827262524

Mediana

Media

27,026,526,025,525,0

1er cuartil 25,000

Mediana 26,000

3er cuartil 27,000

Máximo 30,000

25,155 27,112

25,000 27,000

1,294 2,787

A -cuadrado 0,64

V alor P 0,078

Media 26,133

Desv .Est. 1,767

V arianza 3,124

A simetría 0,932550

Kurtosis 0,217419

N 15

Mínimo 24,000

Prueba de normalidad de A nderson-Darling

Interv alo de confianza de 95% para la media

Interv alo de confianza de 95% para la mediana

Interv alo de confianza de 95% para la desv iación estándarIntervalos de confianza de 95%

Resumen para C1


En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta. (las respuestas a los


1. En el conjunto de valores 3, 4, 5, 6, 4, 7, 8, 4, 6, 9, 10, la mediana es:

( a ) 4 ( b ) 7

( c ) 5,5 ( d ) 6

2. La media aritmética del siguiente conjunto de datos 7, 20, 13, 14, 6, 9, 1 es:

( a ) 70 ( b ) 20

( c ) 14 ( d ) 10

3. La moda del siguiente conjunto de datos 7, 7, 20, 20, 13, 14, 13, 6, 9, 13, 6 es:

( a ) 7 ( b ) 20

( c ) 13 ( d ) 6

4. La media aritmética del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 20 ( b ) 10

( c ) 13 ( d ) 11,36

5. La mediana del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 20 ( b ) 10

( c ) 13 ( d ) 11,36

6. La moda del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 20, 6 es:

( a ) 20 ( b ) 10

( c ) 13 ( d ) 11,36



60

7. El primer cuartil del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 7 ( b ) 20

( c ) 13 ( d ) 6

8. El tercer cuartil del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 14 ( b ) 20

( c ) 13 ( d ) 17

9. El percentil 30 del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 7,6 ( b ) 10

( c ) 7 ( d ) 6

10. El percentil 70 del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 7 ( b ) 20

( c ) 13,4 ( d ) 6

11. La desviación estándar del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6

es:

( a ) 25,45 ( b ) 5,05

( c ) 1,52 ( d ) 44,4

12. La varianza del siguiente conjunto de datos 7, 8, 20, 20, 13, 14, 12, 6, 9, 10, 6 es:

( a ) 25,45 ( b ) 5,05

( c ) 1,52 ( d ) 44,4

13. Si en una muestra, la media es igual a la moda y a la mediana, entonces se concluye que:

A. Los datos son iguales

B. La desviación estándar es cero

Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es correcto que con toda certeza:



14. Si dos valores en un grupo de datos ocurren más a menudo que otros cualesquiera, la

distribución de los datos será ___________. La opción que mejor completa la frase anterior

es:

( a ) Simétrica ( b ) Bimodal

( c ) Asimétrica positiva ( d ) Asimétrica negativa


A. Los valores extremos en un conjunto de datos influyen profundamente en la

mediana.

B. Para un arreglo de datos con 50 observaciones, la mediana será el valor de la

vigésima quinta observación en el arreglo.






61


A. Cuando la población tiene sesgo negativo o positivo, a menudo es preferible utilizar

la mediana como la mejor medida de localización, pues siempre se encuentra entre la

media y la moda.

B. Cuando una distribución es simétrica y tiene una moda, el punto más alto en la

curva es la mediana y la media.




17. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es una ventaja del uso de la mediana?

( a ) Los valores extremos afectan a la mediana menos intensamente que a la media

( b ) La mediana es fácil de entender

( c ) Una mediana puede calcularse para descripciones cualitativas



A. Las medidas de tendencia central en un conjunto de datos se refieren al grado de

dispersión de las observaciones.

B. La diferencia entre las observaciones más grandes y las más pequeñas en un

conjunto de datos se llama media geométrica.





A. La desviación estándar se mide en las mismas unidades que las observaciones en el

conjunto de datos.

B. Una desventaja del uso del rango para medir la dispersión consiste en que ignora la

naturaleza de las variaciones entre la mayor parte de las observaciones.




20. Si un grupo de datos tiene tan sólo una moda y el valor de la moda es menor que el de la

media, podremos llegar a la conclusión de que la gráfica de la distribución es:

( a ) Simétrica ( b ) Sesgada a la izquierda

( c ) Sesgada ala derecha ( d ) Platicúrtica

21. ¿Cuál de los siguientes enunciados NO es correcto?

( a ) Algunos conjuntos de datos no tienen media.

( b ) En los cálculos de la media influyen los valores extremos de datos.

( c ) Una media ponderada ha de emplearse cuando es necesario tener en cuenta la

importancia de cada valor.

( d ) Todos estos enunciados son correctos.



62

22. ¿Cuál de los siguientes enunciados es el primer paso en el cálculo de la mediana de un

conjunto de datos?

( a ) Obtener el promedio de los dos valores de la mitad en un conjunto de datos.

( b ) Ordenar los datos en un arreglo.

( c ) Determinar los pesos relativos de los valores de los datos por orden de importancia.

( d ) Ninguno de los anteriores.

23. ¿Cuál de los siguientes casos es un ejemplo de una medida relativa de dispersión?

( a ) Desviación estándar

( b ) Varianza

( c ) Coeficiente de variación

( d ) Las opciones a y b pero no c

24. Si p es el mayor de tres enteros consecutivos, entonces el promedio de los tres números

es:

( a ) p ( b ) p – 1

( c ) p – 3 ( d ) 3p – 1

25. La edad promedio de un grupo de 5 amigos es 17,4 años. Si se incorpora al grupo un

amigo de 18 años, la edad promedio de nuevo grupo es:

( a ) 17,5 años ( b ) 17,7 años

( c ) 21 años ( d ) 20,4 años





por día de lunes a miércoles y 20 llamadas el jueves y el viernes. Los siguientes son los

tiempos de las muestras tomadas de lunes a miércoles. El lunes y el martes se tomaron

tiempos de llamadas atendidas y el miércoles solo de llamadas no atendidas:

Día


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Lunes 13 15 15 16 16 16 16 17 17 19 11 21

Martes 12 15 15 16 16 15 16 18 15 20 30 40

Miércoles 30 40 45 45 50 50 45 35 60 50 80 100

Las preguntas de la 26 a la 43 se basan en la información anterior.

La distribución de los tiempos de las llamadas del día lunes es:

( a ) Simétrica ( b ) Asimétrica positiva

( c ) Asimétrica negativa ( d ) Asimétrica hacia la derecha

27. La distribución de los tiempos de las llamadas del día martes es:

( a ) Simétrica ( b ) Asimétrica positiva

( c ) Asimétrica negativa ( d ) Ninguna de las anteriores

28. El tiempo medio de espera de los clientes de la muestra del día martes es, en segundos:

( a ) 15 ( b ) 19

( c ) 16 ( d ) Ninguna de las anteriores



63

29. La mediana del tiempo de espera de los clientes de la muestra del día martes es, en

segundos:

( a ) 15 ( b ) 19


30. La moda del tiempo de espera de los clientes de la muestra del día lunes es, en segundos:

( a ) 15 ( b ) 15,5


31. Con respecto a los datos del día miércoles es verdadero que:

( a ) La distribución es asimétrica a la izquierda

( b ) No se presentan valores extremos

( c ) La distribución es bimodal

( d ) Todas las anteriores son verdaderas

32. El cuartil 1 de los tiempos de espera del día lunes es, en segundos:

( a ) 15,5 ( b ) 15

( c ) 16 ( d ) 3,25

33. El cuartil 3 de los tiempos de espera del día martes es, en segundos:

( a ) 18,75 ( b ) 19,5

( c ) 9,75 ( d ) 37,5

34. El percentil 80 de los tiempos de espera del día miércoles es, en segundos:

( a ) 62 ( b ) 68

( c ) 10,4 ( d ) Ninguna de las anteriores

35. La varianza de los tiempos de espera del día miércoles es, aproximadamente, en

segundos2:

( a ) 19,6 ( b ) 384,09

( c ) 13,75 ( d ) 189,06

36. La desviación estándar de los tiempos de espera del día martes es, en segundos:

( a ) 5,5 ( b ) 8


37. El coeficiente de variación de los tiempos de espera del lunes es:

( a ) 15,99% ( b ) 2,55

( c ) 6,25% ( d ) Ninguna de las anteriores

38. Con relación a la variabilidad relativa de los tiempos de espera es verdadero que el día

cuyos tiempos tienen una dispersión relativa más baja es:

( a ) Lunes ( b ) Martes

( c ) Miércoles ( d ) Falta información para determinarlo

39. El decil 4 de los tiempos de espera del día lunes es, en segundos:

( a ) 5,2 ( b ) 15




64

40. Si el primer cuartil para los tiempos de espera del día viernes es de 14,6 segundos,

entonces es falso que:

( a ) Un 25% de los clientes de ese día esperaron 14,6 segundos o menos

( b ) Un 75% de los clientes de ese día esperaron 14,6 segundos o más

( c ) Un cliente que esperó 12 segundos esperó poco con respecto a los demás


41. Si la mediana para los tiempos de espera del día viernes es de 19,8 segundos, entonces es

falso, con toda certeza, que:


( b ) El tiempo de espera promedio de ese día fue de 19,8 segundos

( c ) La mayoría de los clientes esperaron más de 19,8 segundos


42. Si la media para los tiempos de espera del día viernes es de 21,3 segundos, entonces es

verdadero que:

( a ) La mitad de los clientes esperaron 21,3 segundos o menos

( b ) Un 50% de los clientes de ese día esperaron 21,3 segundos o más

( c ) El tiempo más frecuente fue 21,3 segundos

( d ) Todas las anteriores son falsas

43. Si la media para los tiempos de espera es de 21,3 segundos y la desviación estándar para

los tiempos de espera del día viernes es de 7,6 segundos, entonces es verdadero que:

( a ) Los tiempos de espera tuvieron una variabilidad de 7,6 segundos con relación a su media

( b ) Aproximadamente un 68,3% de los clientes esperaron entre 13,7 y 28,9 segundos

( c ) Aproximadamente un 95,4% de los clientes esperaron entre 6,1 y 36,5 segundos

( d ) Todas las anteriores son verdaderas

Respuestas a ejercicios de selección múltiple:

1. d 2. d 3. c 4. d 5. b

6. a 7. a 8. a 9. a 10. c

11. b 12. a 13. d 14. b 15. d

16. a 17. d 18. d 19. a 20. b

21. a 22. b 23. c 24. b 25. a

26. a 27. b 28. b 29. c 30. c

31. c 32. b 33. b 34. b 35. b

36. b 37. a 38. a 39. c 40. d

41. d 42. d 43. d



65

4 .

Distribuciones de frecuencias

OBJETIVOS:


Construir la tabla de una distribución de frecuencias.

Representar gráficamente los datos provenientes de una distribución de frecuencias.

Calcular e interpretar las principales medidas de posición en datos agrupados.

Calcular e interpretar las principales medidas de variabilidad en datos agrupados.



66

Distribuciones de frecuencias

Ejercicio

de

revisión

Suponga que se tienen los siguientes datos relacionados con el tiempo de

espera de los usuarios de un servicio (en minutos):

12, 16, 8, 22, 14, 12, 13, 19, 17, 10,

21, 25, 23, 18, 14, 9, 14, 16, 10, 12,

15, 16, 16, 17, 12, 11, 11, 19, 20, 15

Determine cuáles serían los límites reales si se desea construir la tabla de

la distribución de frecuencias empleando 6 clases.

Solución:

– Determinación del rango o amplitud total: Esto consiste en encontrar

la diferencia entre el dato más alto y el más bajo. En este caso:

Dato mayor: 25

Dato menor: 8

Rango = dato mayor menos dato menor = 25 – 8 = 17

– Selección del intervalo de clase (c): Si se desean 6 clases, entonces se

divide el rango entre 6:

17 ÷ 6 = 2.83

– Determinación de los límites de clase: Los límites reales serán los que

se emplearán en el cálculo de los puntos medios y los demás cálculos

posteriores. Ejemplo:

Límites reales

7,5 – 10,5

10,5 – 13,5

13,5 – 16,5

16,5 – 19,5

19,5 – 22,5

22,5 – 25,5

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos):

12, 16, 8, 22, 14, 12, 13, 19, 17, 10,

21, 25, 23, 18, 14, 9, 14, 16, 10, 12,

15, 16, 16, 17, 12, 11, 11, 19, 20, 15



67

Si los siguientes son los límites reales, determine las frecuencias absolutas

de cada clase:

Límites reales Frecuencia absoluta

7,5 - 10,5

10,5 - 13,5

13,5 - 16,5

16,5 - 19,5

19,5 - 22,5

22,5 - 25,5

Total 30

Solución:


7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), determine los puntos

medios de cada clase:

Límites reales Puntos medios

7,5 - 10,5

10,5 - 13,5

13,5 - 16,5

16,5 - 19,5

19,5 - 22,5

22,5 - 25,5

Solución:

Límites reales Puntos medios

7,5 - 10,5 9

10,5 - 13,5 12

13,5 - 16,5 15

16,5 - 19,5 18

19,5 - 22,5 21

22,5 - 25,5 24



68

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), determine las

frecuencias relativas de cada clase:

Límites

reales

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

7,5 - 10,5

10,5 - 13,5

13,5 - 16,5

16,5 - 19,5

19,5 - 22,5

22,5 - 25,5

Total 30 100.00%

Solución:

Límites

reales

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

7,5 - 10,5 4 13.33%

10,5 - 13,5 7 23.33%

13,5 - 16,5 9 30.00%

16,5 - 19,5 5 16.67%

19,5 - 22,5 3 10.00%

22,5 - 25,5 2 6.67%

Total 30 100.00%

Ejercicio

de

revisión



frecuencias absolutas acumuladas a menos de y a más de de cada clase:

Límites

reales

Frecuencia

absoluta

Frecuencia acumulada

a menos de a más de

7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30



69

Solución:

Límites

reales

Frecuencia

absoluta



7,5 - 10,5 4 4 30

10,5 - 13,5 7 11 26

13,5 - 16,5 9 20 19

16,5 - 19,5 5 25 10

19,5 - 22,5 3 28 5

22,5 - 25,5 2 30 2

Total 30 - -

Ejercicio

de

revisión



frecuencias relativa acumuladas a menos de y a más de de cada clase:

Límites

reales

Frecuencia

relativa



7,5 - 10,5 13,33%

10,5 - 13,5 23,33%

13,5 - 16,5 30,00%

16,5 - 19,5 16,67%

19,5 - 22,5 10,00%

22,5 - 25,5 6,67%

Total 30

Solución:

Límites

reales

Frecuencia

relativa



7,5 - 10,5 13,33% 13.33% 100.00%

10,5 - 13,5 23,33% 26.67% 86.67%

13,5 - 16,5 30,00% 56.67% 63.33%

16,5 - 19,5 16,67% 83.33% 33.33%

19,5 - 22,5 10,00% 93.33% 16.67%

22,5 - 25,5 6,67% 100.00% 6.67%

Total 30 - -



70

Uso de Excel y Minitab para construir histogramas

Ejemplo Se tiene la edad de 30 personas en la tabla siguiente:

19 25 32 40 21 28 56 27 31 29

41 36 32 18 50 48 25 33 35 26

28 24 22 27 35 26 43 34 43 39

Utilice Excel y Minitab para construir un histograma que represente dichos

datos.

Solución En Excel, primero se introducen los datos en una columna (o una fila). En

este caso se introducen los datos en el rango de celdas A1 hasta A30.

En otro rango de celdas se introducen los límites de las clases. Solo es

necesario indicar los límites superiores de las clases, que en este caso

serían 22.5, 27.5, 32.5, 37.5, 42.5, 47.5, 52.5 y 57.5. Estos límites se

introducirán en este caso en las celdas de B1 hasta B8.

Luego se da clic en la pestaña Datos, y se selecciona Análisis de datos. Si

no aparece el botón de Análisis de datos, se puede instalar dando clic al

botón de Office (en la esquina superior izquierda del programa), y en el

menú se da clic en Opciones de Excel. Ahí se elige en el menú de la

izquierda se da clic en Complementos, y en los complementos de

aplicaciones inactivas se elige Herramientas para análisis. Después se da

clic en el botón Ir que se haya en la parte inferior del cuadro de diálogo, y

en la lista de complementos disponibles se marca Herramientas para

análisis y después se presiona Aceptar).

Ahora al dar clic en el botón de Análisis de datos, en la lista se elige

Histograma y se completa el cuadro de diálogo siguiente:

En rango de entrada se indican los datos de la serie a graficar, que en este



71

caso están en las celdas de A1 hasta A30. En rango de clases se indican los

límites, los cuales están en las celdas de B1 hasta B8. Luego hay que

marcar la opción Crear gráfico, y se da clic en Aceptar. Excel genera una

tabla y un gráfico como el siguiente:

En Minitab, primero se introducen los datos en la hoja de trabajo. Luego

se da clic en el menú Gráfica y se elige Histograma. En el cuadro de

diálogo se selecciona la opción Simple. Después, en el cuadro se

selecciona como variables de gráficas la columna C1 y se da clic en

Aceptar:

5550454035302520

7

6

5

4

3

2

1

0

C1

Fre

cu

en

cia

Histograma de C1



72

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), construya un

histograma para esta variable:


7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30

Solución:

Ejemplo Considere la siguiente distribución de frecuencias:

Límites

reales

Puntos

medios

ix

Frecuencia

absoluta if

Frecuencia

relativa

nff ir

Frecuencia

relativa

acumulada

“menos de”

17,5 – 22,5 20 4 13,33% 13,33%

22,5 – 27,5 25 5 16,67% 30,00%

27,5 – 32,5 30 8 26,67% 56,67%

32,5 – 37,5 35 5 16,67% 73,33%

37,5 – 42,5 40 3 10,00% 83,33%

42,5 – 47,5 45 2 6,67% 90,00%

47,5 – 52,5 50 2 6,67% 96,67%

52,5 – 57,5 55 1 3,33% 100,00%

Total 30 100,00%

Calcule la moda.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9 12 15 18 21 24

Frecuencia absoluta



73

Solución La clase modal es la tercera clase, cuyos límites reales son 27,5 – 32,5, su

límite inferior real es 27,5, su intervalo de clase es 5 (límite superior

menos límite inferior = 32,5 – 27,5 = 5) y su frecuencia absoluta es 8. La

clase pre modal (22,5 – 27,5) tiene frecuencia 5 (por tanto d1 = 8 – 5 = 3) y

la pos modal (32,5 – 37,5) tiene frecuencia también de 5 (por tanto d2 = 8 –

5 = 3). El cálculo es:

30)58()58(

)58(55.27

21

1

dd

dcLM io

La moda es 30.

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la moda:


7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30

Solución:

La clase modal es la tercera clase, cuyos límites reales son 13,5 – 16,5, su

límite inferior real es 13,5, su intervalo de clase es 3 (límite superior

menos límite inferior = 16,5 – 13,5 = 5) y su frecuencia absoluta es 9.

La clase pre modal (10,5 – 13,5) tiene frecuencia 7, por tanto el valor de

d1 es d1 = 9 – 7 = 2 y la postmodal (16,5 – 19,5) tiene frecuencia también

de 5, por tanto d2 = 9 – 5 = 4. El cálculo es:

5.14)59()79(

)79(35.13

21

1

dd

dcLM io

La moda es 14.5.



74


Límites

reales

Puntos

medios

ix

Frecuencia

absoluta if

Frecuencia

relativa

nff ir

Frecuencia

relativa

acumulada

“menos de”

17,5 – 22,5 20 4 13,33% 13,33%

22,5 – 27,5 25 5 16,67% 30,00%

27,5 – 32,5 30 8 26,67% 56,67%

32,5 – 37,5 35 5 16,67% 73,33%

37,5 – 42,5 40 3 10,00% 83,33%

42,5 – 47,5 45 2 6,67% 90,00%

47,5 – 52,5 50 2 6,67% 96,67%

52,5 – 57,5 55 1 3,33% 100,00%

Total 30 100,00%

Calcule la mediana.

Solución Se tiene que n = 30, por tanto n/2 = 30/2 = 15, lo que quiere decir que la

clase mediana será la tercer clase, ya que su frecuencia acumulada menos

de es 17, que es la que apenas supera a 15. El límite inferior de la clase es

27,5, el intervalo de la clase es 5, la frecuencia acumulada de la clase pre

mediana es 9 y la frecuencia de la clase mediana es 8. Aplicando la

fórmula:

25,318

655,27

8

92

30

55,272 1

i

i

if

Fn

cLMed

La mediana es 31,25.

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la mediana:


7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30



75

Solución:

Se calcula la frecuencia absoluta acumulada (F):

Límites reales Frecuencia absoluta F

7,5 - 10,5 4 4

10,5 - 13,5 7 11

13,5 - 16,5 9 20

16,5 - 19,5 5 25

19,5 - 22,5 3 28

22,5 - 25,5 2 30

Total 30 -

Se tiene que n = 30, por tanto n/2 = 30/2 = 15, lo que quiere decir que la

clase mediana será la tercer clase, ya que su frecuencia acumulada menos

de es 20, que es la que apenas supera a 15. El límite inferior de la clase es

13,5, el intervalo de la clase es 3, la frecuencia acumulada de la clase pre

mediana es 11 y la frecuencia de la clase mediana es 9. Aplicando la

fórmula:

83,149

112

30

35,132 1

i

i

if

Fn

cLMed

La mediana es 14.83.


Límites

reales

Puntos

medios

ix

Frecuencia

absoluta if

Frecuencia

relativa

nff ir

Frecuencia

relativa

acumulada

“menos de”

17,5 – 22,5 20 4 13,33% 13,33%

22,5 – 27,5 25 5 16,67% 30,00%

27,5 – 32,5 30 8 26,67% 56,67%

32,5 – 37,5 35 5 16,67% 73,33%

37,5 – 42,5 40 3 10,00% 83,33%

42,5 – 47,5 45 2 6,67% 90,00%

47,5 – 52,5 50 2 6,67% 96,67%

52,5 – 57,5 55 1 3,33% 100,00%

Total 30 100,00%




76

Solución Para el cálculo es útil el empleo de una tabla auxiliar:

Puntos medios xi Frecuencia absoluta fi xifi

20 4 80

25 5 125

30 8 240

35 5 175

40 3 120

45 2 90

50 2 100

55 1 55

Total 30 985

Aplicando la fórmula:

83,3230

9851

n

fx

x

k

i

ii

La media es 32,83.

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la media:


7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30

Solución:

Para el cálculo es útil el empleo de una tabla auxiliar:

Puntos medios xi Frecuencia absoluta fi xifi

9 4 36

12 7 84

15 9 135

18 5 90

21 3 63

24 2 48

Total 30 456



77


2.1530

4561

n

fx

x

k

i

ii

La media es 15.2.


Límites

reales

Puntos

medios

ix

Frecuencia

absoluta if

Frecuencia

relativa

nff ir

Frecuencia

relativa

acumulada

“menos de”

17,5 – 22,5 20 4 13,33% 13,33%

22,5 – 27,5 25 5 16,67% 30,00%

27,5 – 32,5 30 8 26,67% 56,67%

32,5 – 37,5 35 5 16,67% 73,33%

37,5 – 42,5 40 3 10,00% 83,33%

42,5 – 47,5 45 2 6,67% 90,00%

47,5 – 52,5 50 2 6,67% 96,67%

52,5 – 57,5 55 1 3,33% 100,00%

Total 30 100,00%

Calcule el tercer cuartil.

Solución El cálculo es muy similar al de la mediana. El tercer cuartil equivale al

percentil 75, por lo tanto se puede buscar en la columna de la frecuencia

relativa acumulada a menos de aquel valor que es el primero en exceder

75%. Esto se da en quinta clase, por lo que el límite inferior de la clase es

37.5, el intervalo de la clase es 5, la frecuencia acumulada de la clase

previa es 22 y la frecuencia de la clase es 3. Aplicando la fórmula:

33,383

5,055,37

3

22100

3075

55,37100 1

753

x

f

Fmn

cLPQi

i

i

La tercer cuartil es 38,33.



78

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule el primer cuartil

y el percentil 70:


7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30

Solución:

Se completa la tabla:

Límites

reales

Frecuencia

absoluta

if

Frecuencia

absoluta

acumulada

if

Frecuencia

relativa

nff ir

Frecuencia

relativa

acumulada

“menos de”

7,5 - 10,5 4 4 13.33% 13.33%

10,5 - 13,5 7 11 23.33% 36.67%

13,5 - 16,5 9 20 30.00% 66.67%

16,5 - 19,5 5 25 16.67% 83.33%

19,5 - 22,5 3 28 10.00% 93.33%

22,5 - 25,5 2 30 6.67% 100.00%

Total 30 100,00%

El tercer cuartil equivale al percentil 75, por lo tanto se puede buscar en la

columna de la frecuencia relativa acumulada a menos de aquel valor que es

el primero en exceder 75%. Esto se da en cuarta clase, por lo que el límite

inferior de la clase es 16.5, el intervalo de la clase es 3, la frecuencia

acumulada de la clase previa es 20 y la frecuencia de la clase es 5.


185

20100

3075

35,16100 1

753

x

f

Fmn

cLPQi

i

i

La tercer cuartil es 18.



79


Límites

reales

Puntos

medios

ix

Frecuencia

absoluta if

Frecuencia

relativa

nff ir

Frecuencia

relativa

acumulada

“menos de”

17,5 – 22,5 20 4 13,33% 13,33%

22,5 – 27,5 25 5 16,67% 30,00%

27,5 – 32,5 30 8 26,67% 56,67%

32,5 – 37,5 35 5 16,67% 73,33%

37,5 – 42,5 40 3 10,00% 83,33%

42,5 – 47,5 45 2 6,67% 90,00%

47,5 – 52,5 50 2 6,67% 96,67%

52,5 – 57,5 55 1 3,33% 100,00%

Total 30 100,00%

Calcule la varianza y la desviación estándar.

Solución Se supondrá que los datos corresponden a una muestra y se usará la

segunda fórmula de las señaladas anteriormente. También es útil construir

una tabla auxiliar. La media se calculó anteriormente y es de 32.83.

Puntos

medios ix

Frecuencia

absoluta if )( xxi

2)( xxi ii fxx 2)(

20 4 –12,83 164,69 658,78

25 5 –7,83 61,36 306,81

30 8 –2,83 8,03 64,22

35 5 2,17 4,69 23,47

40 3 7,17 51,36 154,08

45 2 12,17 148,03 296,06

50 2 17,17 294,69 589,39

55 1 22,17 491,36 491,36

30 Total 2584,17


11,89130

17,2584

1

)(1

2

2

n

fxx

s

n

i

ii

La varianza es de 89,11. Para calcular la desviación estándar se saca la raíz

cuadrada al resultado anterior:

44,911,892 ss



80

Ejercicio

de

revisión


espera de los usuarios de un servicio (en minutos), calcule la varianza y la

desviación estándar:


7,5 - 10,5 4

10,5 - 13,5 7

13,5 - 16,5 9

16,5 - 19,5 5

19,5 - 22,5 3

22,5 - 25,5 2

Total 30

Solución:

Se supondrá que los datos corresponden a una muestra y se usará la

segunda fórmula de las señaladas anteriormente. También es útil construir

una tabla auxiliar siguiente. La media se calculó anteriormente y es de

15.2.

Puntos

medios ix

Frecuencia

absoluta if )( xxi

2)( xxi ii fxx 2)(

9 4 -6.2 38.44 153.76

12 7 -3.2 10.24 71.68

15 9 -0.2 0.04 0.36

18 5 2.8 7.84 39.2

21 3 5.8 33.64 100.92

24 2 8.8 77.44 154.88

30 Total 520.8


96.17130

8.520

1

)(1

2

2

n

fxx

s

n

i

ii

La varianza es de 17.96. Para calcular la desviación estándar se saca la raíz

cuadrada al resultado anterior:

24.496.172 ss



81


En cada caso seleccione la opción que mejor contesta cada pregunta. (las respuestas a los


1. Considere el siguiente gráfico:

Con respecto a esta gráfica es falso con toda certeza que:

( a ) La variable X es cuantitativa continua

( b ) La gráfica es un polígono de frecuencias

( c ) Los datos corresponden a una población

( d ) La gráfica corresponde a un histograma

2. Con relación a la gráfica de la pregunta 1, es verdadero que:

( a ) El intervalo de clase es 12,5

( b ) El valor de n es 32

( c ) El punto medio de la segunda clase es 24

( d ) El límite superior de la cuarta clase es 38

3. Con relación a la gráfica de la pregunta 1, es verdadero que:

( a ) La frecuencia relativa acumulada de la cuarta clase es 0,78125

( b ) La frecuencia relativa de la sexta clase es 2/30 pues hasta ahí se acumulan 30 datos

( c ) El punto medio de la segunda clase es 24

( d ) La frecuencia absoluta acumulada de la tercera clase es 8

4. Suponga que la variable X de la gráfica de la pregunta 1 corresponde al tiempo, en

segundos, entre la llegada de dos autos consecutivos a un peaje en una autopista durante

periodo aleatoriamente seleccionado. Con respecto a esta afirmación es falso con toda certeza

que:

( a ) Los datos no son confiables pues la muestra es muy pequeña

( b ) El 56,25% de los tiempos entre la llegada de dos autos es de 33,5 segundos

( c ) La mayoría de los tiempos registrados se da entre 26,5 y 33,5 segundos

( d ) Los tiempos de llegada entre dos autos sucesivos nunca son mayores a 54,5 segundos

5. Considere el gráfico de la pregunta 1, la media aritmética es:

( a ) 33,5 ( b ) 31,97




82

6. Considere el gráfico de la pregunta 1, la mediana es:

( a ) 26,5 ( b ) 28,83


7. Considere el gráfico de la pregunta 1, la moda es, redondeando a dos decimales:

( a ) 31,17 ( b ) 30


8. Considere el gráfico de la pregunta 1, el primer cuartil es, redondeando a dos decimales:

( a ) 24,17 ( b ) 22,30


9. Considere el gráfico de la pregunta 1, el percentil 95 es:

( a ) 48,9 ( b ) 30,4



A. Si quisiéramos unir los puntos medios de barras consecutivas en un histograma de

frecuencia con una serie de líneas, estaríamos graficando un polígono de frecuencias.

B. Por lo regular, los estadísticos consideran que una distribución de frecuencia es

incompleta si tiene menos de 20 clases.








por día de lunes a miércoles y 20 llamadas el jueves y el viernes.

La siguiente tabla corresponde a las frecuencias de los

tiempos de espera de los clientes para la muestra de

llamadas atendidas durante el día jueves.

Las preguntas de la 11 a la 22 se basan en esta tabla.

El punto medio de la tercera clase es:

( a ) 20,5 ( b ) 19 a 22


12. La frecuencia porcentual de la cuarta clase es:

( a ) 25% ( b ) 30%

( c ) 95% ( d ) 5%

13. La frecuencia absoluta acumulada a menos de de la segunda clase es:

( a ) 4 ( b ) 6

( c ) 18 ( d ) 30%

Límites reales Frecuencia

10,5 – 14,5 2

14,5 – 18,5 4

18,5 – 22,5 8

22,5 – 26,5 5

26,5 – 30,5 1



83

14. La frecuencia relativa acumulada a más de de la tercera clase es:

( a ) 14 ( b ) 40%


15. La frecuencia absoluta acumulada a menos de correspondiente a la tercera clase significa

que:

( a ) 14 clientes esperaron 18,5 segundos o más

( b ) 14 clientes esperaron 18,5 segundos o menos

( c ) 14 clientes esperaron 14,5 segundos o más


16. La gráfica apropiada para representar las frecuencias absolutas relacionadas con sus

puntos medios se llama:

( a ) Gráfico de barras horizontales ( b ) Polígono de frecuencias

( c ) Ojiva a menos de ( d ) Diagrama de frecuencias acumuladas

17. El tiempo medio de espera de los clientes de la muestra del día jueves es, en segundos:

( a ) 20,5 ( b ) 20,3


18. La mediana del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:

( a ) 20,5 ( b ) 20,3


19. La desviación estándar del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:

( a ) 4,2 ( b ) 17,64


20. El primer cuartil del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:

( a ) 17,5 ( b ) 16,5


21. El percentil 78 del tiempo de espera de la muestra del día jueves es, en segundos:

( a ) 23,78 ( b ) 19,78


22. Con respecto al tercer cuartil para los tiempos de espera del día jueves es verdadero que:


( b ) Un 75% de los clientes de ese día esperaron 23,3 segundos o menos

( c ) Un 25% de los clientes de ese día esperaron 22,5 segundos o menos

( d ) Un 75% de los clientes de ese día esperaron 22,5 segundos o menos


1. b 2. b 3. a 4. b 5. b

6. c 7. a 8. a 9. a 10. b

11. a 12. a 13. b 14. c 15. c

16. b 17. b 18. a 19. a 20. a

21. a 22. b



84

5 .

Introducción a las probabilidad

OBJETIVOS:


1. Reconocer la importancia y uso del concepto de probabilidad

2. Aplicar conceptos básicos de conteo

3. Calcular probabilidades empleando la definición clásica de probabilidad

4. Aplicar los principales teoremas y axiomas de probabilidad



85

Ejemplo Si usted invita a 8 personas a comer y hay una mesa con 8 sillas, ¿de

cuántas formas distintas pueden sentarse a la mesa?

Solución La primer persona que se sienta dispone de 8 posibilidades, la segunda de

sólo 7 (ya que la primera ya se sentó), la tercera tiene 6 posibilidades, la

cuarta 5 y así sucesivamente. Por tanto se pueden sentar de:

8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320 formas distintas

Ejercicio

de

revisión

1. Un restaurante ofrece las siguientes opciones para almorzar:

• Tres tipos de plato fuerte: pollo, res, chuleta

• Dos tipos de refrescos: frutas, cola

• Dos tipos de postre: flan, helado

¿Cuántas órdenes distintas pueden efectuarse?

2. Si una contraseña para retirar dinero de un cajero automático se

compone de 4 dígitos. ¿Cuántas contraseñas distintas son posibles?

Solución:

1. Se aplica el principio de multiplicación de conteo:

# órdenes = 3 x 2 x 2 = 12

2. Cada dígito de la contraseña posee 10 dígitos posibles, por tanto

aplicando el principio de multiplicación de conteo:

# contraseñas = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000

Ejemplo Calcule el factorial de 5.

Solución El factorial de 5 es:

5! = 5 4 3 2 1 = 120



86

Ejercicio

de

revisión

Calcule el factorial de los siguientes números:

1. 5! =

2. 6! =

3. 10! =

4. 0! =

5. 1! =

6. 70! =

7. 20! =

Solución:

1. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

3. 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800

4. 0! = 1

5. 1! = 1

6. 70! = 1.197857E+100 (usando Excel)

7. 20! = 2.432902E+18 (usando Excel)

Ejemplo Use Excel y Minitab para calcular el factorial de 5.

Solución En Excel se emplea la función FACT, la cual tiene la siguiente sintaxis:

=FACT(número)

Donde "número" indica la celda donde se halla el número del cual se desea

calcular el factorial, o bien, simplemente se escribe dicho número.

Entonces, en este caso se digita en la celda en que se desea obtener el

resultado la función:

=FACT(5)

Y así se obtiene el resultado 120.

En Minitab se requiere dar clic al menú Calc y elegir Calculadora. En el

cuadro de diálogo se debe completar la columna de la hoja de trabajo en la

cual se desea almacenar el resultado, por ejemplo, la columna C1. Luego

en expresión se emplea la función FACTORIAL, la cual emplea la

sintaxis:

FACTORIAL(número de elementos)

Donde "número de elementos" es el número del cual se desea obtener el

factorial, o bien, la columna en la que se hallan esos números. En este

caso, si se indica solo el número, entonces la función quedaría:



87

FACTORIAL(5)

Después se da clic en Aceptar y el resultado 120 se obtiene en la hoja de

trabajo en la celda que se haya indicado.

Ejemplo Calcule el número de permutaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.

Solución Se tiene que n = 5 y r = 3:

602

120

!2

!5

!)35(

!5)3,5(

P

Ejercicio

de

revisión

Calcule las siguientes permutaciones:

1. P(8, 5) =

2. P(6, 0) =

3. P(10, 1) =

4. P(5, 5) =

5. P(300, 1) =

6. P(200, 2) =

7. P(n, n) =

8. P(n, 1) =

9. P(n, 0) =

10. P(n, n – 1) =

Solución:

1. P(8, 5) = 6720

2. P(6, 0) = 1

3. P(10, 1) = 10

4. P(5, 5) = 120

5. P(300, 1) = 300

6. P(200, 2) = 39800

7. P(n, n) = !!0

!

!)(

!n

n

nn

n

8. P(n, 1) = nn

nn

n

n

!)1(

!)1(

!)1(

!

9. P(n, 0) = 1!

!

!)0(

!

n

n

n

n

10. P(n, n – 1) = !!1

!

!))1((

!n

n

nn

n



88

Ejemplo Use Excel y Minitab para calcular el número de permutaciones de 5

elementos tomados de 3 en 3.

Solución En Excel se emplea la función PERMUTACIONES, la cual tiene la

siguiente sintaxis:

=PERMUTACIONES(número; tamaño)

Donde "número" indica la celda donde se halla el valor de n, o bien,

simplemente se escribe dicho valor de n. Luego "tamaño" es la celda en la

cual se haya el valor de r o simplemente el valor de r. Entonces, en este

caso se digita en la celda en que se desea obtener el resultado la función:

=PERMUTACIONES(5; 3)





en expresión se emplea la función PERMUTATIONS, la cual emplea la

sintaxis:

PERMUTATIONS(número de elementos.número para elegir)

Donde "número de elementos" es el valor de n, o bien, la columna en la

que se halla el valor de n. Luego, "número para elegir" es el valor de r, o la

columna en la que se encuentra el valor de r. En este caso, si se indican

solo los números, entonces la función quedaría:

PERMUTATIONS(5.3)



Ejemplo Calcule el número de combinaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3.

Solución Se tiene que n = 5 y r = 3:

1026

120

!2!3

!5

!)35(!3

!5)3,5(

C



89

Ejercicio

de

revisión

Calcule las siguientes probabilidades:

1. C(8, 5) =

2. C(6, 0) =

3. C(10, 1) =

4. C(5, 5) =

5. C(300, 1) =

6. C(200, 2) =

7. C(n, n) =

8. C(n, 1) =

9. C(n, 0) =

10. C(n, n – 1) =

Resuelva los siguientes ejercicios:

1. ¿Cuántas directivas de tres miembros (presidente, secretario y tesorero)

se pueden formar de un grupo de 8 personas elegibles?

2. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden formar de un grupo de 8

personas elegibles?

3. ¿Cuántos comités de tres estudiantes y dos profesores se pueden formar

si hay un grupo de 10 estudiantes y 5 profesores elegibles?

Solución:

1. C(8, 5) = 56

2. C(6, 0) = 1

3. C(10, 1) = 10

4. C(5, 5) = 1

5. C(300, 1) = 300

6. C(200, 2) = 19900

7. C(n, n) = 1!0!

!

!)(!

!

n

n

nnn

n

8. C(n, 1) = nn

nn

n

n

)!1(1

)!1(

!)1(!1

!

9. C(n, 0) = 1!1

!

!)0(!0

!

n

n

n

n

10. C(n, n – 1) = nn

nn

nnn

n

!1)!1(

!)1(

!))1((!)1(

!

Resuelva los siguientes ejercicios:

1. ¿Cuántas directivas de tres miembros (presidente, secretario y tesorero)

se pueden formar de un grupo de 8 personas elegibles?

En el caso de las directivas, los puestos implican que el orden es

importante, por tanto se calculan permutaciones. Entonces n = 8, r = 3:

P(8, 3) = 336



90

2. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden formar de un grupo de 8

personas elegibles?

En el caso de los comités, al no haber puestos, el orden no es importante,

por tanto se calculan combinaciones. Entonces n = 8, r = 3:

C(8, 3) = 56

3. ¿Cuántos comités de tres estudiantes y dos profesores se pueden formar

si hay un grupo de 10 estudiantes y 5 profesores elegibles?

Se emplean combinaciones y se calcula por separado para los estudiantes y

los profesores:

C(10, 3) = 120

C(5, 2) = 10

Luego se aplica el principio de multiplicación:

# comités = 120 x 10 = 1200

Ejemplo Use Excel y Minitab para calcular el número de combinaciones de 5

elementos tomados de 3 en 3.

Solución En Excel se emplea la función COMBINAT, la cual tiene la siguiente

sintaxis:

=COMBINAT(número; tamaño)

Donde "número" indica la celda donde se halla el valor de n, o bien,

simplemente se escribe dicho valor de n. Luego "tamaño" es la celda en la

cual se haya el valor de r o simplemente el valor de r. Entonces, en este

caso se digita en la celda en que se desea obtener el resultado la función:

=COMBINAT(5; 3)





en expresión se emplea la función COMBINATIONS, la cual emplea la

sintaxis:

COMBINATIONS(número de elementos.número para elegir)

Donde "número de elementos" es el valor de n, o bien, la columna en la



91

que se halla el valor de n. Luego, "número para elegir" es el valor de r, o la

columna en la que se encuentra el valor de r. En este caso, si se indican

solo los números, entonces la función quedaría:

COMBINATIONS(5.3)



Ejemplo Suponga que en un grupo de 10 bolas hay 5 de color rojo, 3 azules y dos

blancas, ¿cuántas permutaciones son posibles?

Solución Aplicando la fórmula de permutaciones con elementos repetidos:

25201440

3628800

26120

3628800

!2!3!5

!10

!!!

!

BAR nnn

n

Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que al tirar un dado perfecto se obtenga un

número par mayor que 2?

Solución Se define el evento A como obtener un número par mayor de 2. Al tirar el

dado los seis lados tienen igual posibilidad de quedar hacia arriba. Los

números pares mayores que 2 son 4 y 6, por lo tanto:

3333,06

2)(

N

aAP

Ejercicio

de

revisión

Se lanzan dos dados y se suman los puntos. Si X es la suma de los puntos,

calcule las siguientes probabilidades:

1. P(X = 3) =

2. P(X = 6) =

3. P(X = 7) =

4. P(X = 11) =

5. P(X = 12) =

6. P(X = 15) =

Solución:

Cada dado tiene 6 posibles resultados, por lo que el número total de

posibles resultados es 6 x 6 = 36:

1. P(X = 3) = 2/36



92

2. P(X = 6) = 5/36

3. P(X = 7) = 6/36

4. P(X = 11) = 2/36

5. P(X = 12) = 1/36

6. P(X = 15) = 0

Ejemplo En un lote de 3.000 piezas producidas en una máquina se encontraron 96

defectuosas. Calcule la probabilidad de piezas defectuosas de esa máquina.

Solución Si d es el evento obtener una pieza defectuosa, entonces su frecuencia es

96, lo que da la probabilidad:

0320,0000.3

96)( dP

Ejercicio

de

revisión

En una ciudad en la que habitan 5.000 personas, se sabe que 2.700 son

mujeres. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de

que sea mujer?

Solución:

54,0000.5

700.2)( MP

Ejercicio

de

revisión

En cada caso, indique cuál enfoque se emplearía para determinar la

probabilidad de que el evento dado ocurra:

a. Ganar en un juego de ruleta.

b. Enfermar de cáncer de piel.

c. Que un nuevo producto desarrollado por una compañía sea un éxito.

d. Que la realización de un proyecto dure más de lo esperado.

e. Que una computadora nueva falle en un plazo de tres años o menos.

Solución:

a. Enfoque objetivo o clásico

b. Frecuencias relativas

c. Frecuencias relativas

d. Enfoque subjetivo

e. Frecuencias relativas



93

Ejemplo En una bodega hay 400 televisores (T), 100 videograbadoras (V), 200

cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Si se selecciona un

aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un televisor o una

computadora?

Solución Dado que los eventos televisor (T) y computadora (C) son excluyentes se

calcula cada probabilidad por separado y se suman ambas probabilidades.

Además, en la bodega hay un total de 1000 aparatos:

7,01000

700

1000

300

1000

400)( CoTP

Ejercicio

de

revisión

Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera

y por sexo según la tabla. Suponga que ninguno ha estudiado dos carreras.

Si se selecciona al azar un profesional, ¿cuál es la probabilidad de que sea

ingeniero civil o ingeniero industrial?

Industrial Civil Electrónica Otras Total

Masculino 8 6 6 6 26

Femenino 7 2 4 1 14

Total 15 8 10 7 40

Solución:

575,040

23

40

15

40

8)( IoCP


cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Si se selecciona un

aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un televisor o una

computadora o una cámara fotográfica?

Solución Dado que los eventos televisor (T), computadora (C) y cámara fotográfica

(F) son excluyentes se calcula cada probabilidad por separado y se suman

ambas probabilidades. Además, en la bodega hay un total de 1000

aparatos:

9,01000

900

1000

200

1000

300

1000

400)( FoCoTP



94


cámaras fotográficas (F) y 300 computadoras (C). Además, se tienen

algunos datos sobre su nivel de calidad, como perfectos (P) o con defectos

(D), según la tabla:

Tipo de aparato

Total T V F C

P 350 80 150 270 850

D 50 20 50 30 150

Total 400 100 200 300 1000

Si se selecciona un aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un

televisor o que tenga defectos?

Solución En la bodega hay un total de 1000 aparatos. Dado que los eventos televisor

(T) y que el aparato tenga defectos (D) no son excluyentes se calcula cada

probabilidad por separado y se suman ambas probabilidades, pero también

se resta la probabilidad de que ocurran a la vez:

5,01000

500

1000

50

1000

150

1000

400)( DoTP

Ejercicio

de

revisión




ingeniero civil o mujer?



Femenino 7 2 4 1 14

Total 15 8 10 7 40

Solución:

5,040

20

40

2

40

14

40

8)( MoCP



95





Tipo de aparato

Total T V F C

P 350 80 150 270 850

D 50 20 50 30 150

Total 400 100 200 300 1000

Si se selecciona un aparato al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga

defectos?

Solución Dado que solo hay dos niveles de calidad, perfecto (P) o con defectos (D),

entonces podrían considerarse como eventos complementarios, por lo que

la probabilidad de que tenga defectos es igual a uno menos la probabilidad

de que esté perfecto:

1000

150

1000

8501)( DP

Ejercicio

de

revisión



Si se selecciona al azar un profesional, ¿cuál es la probabilidad de que no

sea ingeniero civil?



Femenino 7 2 4 1 14

Total 15 8 10 7 40

Solución:

8.040

32

40

81)( DP



96





Tipo de aparato

Total T V F C

P 350 80 150 270 850

D 50 20 50 30 150

Total 400 100 200 300 1000

Si se selecciona un televisor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga

defectos?

Solución Aplicando la definición de probabilidad condicional:

)(

)()/(

TP

DTPTDP

Se calcula la probabilidad de que sea televisor y tenga defectos:

P(DT) = 50/1000

Y se divide entre la probabilidad de que sea un televisor:

400

50

1000/400

1000/50

)(

)()/(

TP

DTPTDP

Ejercicio

de

revisión



Si se selecciona al azar un profesional y se sabe que debe ser mujer, ¿cuál

es la probabilidad de que sea ingeniero civil?



Femenino 7 2 4 1 14

Total 15 8 10 7 40

Solución:

14.014

2

40/14

40/2

)(

)()/(

MP

CMPMCP



97

Ejemplo Se tiene una caja con 10 bolas de colores: 6 bolas rojas y 4 bolas azules. Se

seleccionarán dos bolas al azar:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda

azul, si la primera bola se regresa a la caja antes de sacar la segunda?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda

azul, si la primera bola no se regresa a la caja antes de sacar la segunda?

Solución Dado que los eventos televisor (T), computadora (C) y cámara fotográfica

(F) son excluyentes se calcula cada probabilidad por separado y se suman

ambas probabilidades. Además, en la bodega hay un total de 1000

aparatos:

9,01000

900

1000

200

1000

300

1000

400)( FoCoTP

Ejercicio

de

revisión




ingeniero civil o ingeniero industrial?



Femenino 7 2 4 1 14

Total 15 8 10 7 40

Solución:

575,040

23

40

15

40

8)( IoCP

Ejemplo Si la probabilidad de que un día cualquiera B1 haya venido a la universidad

es del 50% y la probabilidad de que Marta haya viajado con él es del 30%;

la probabilidad de que B2 haya venido a la universidad es del 30% y la de

que Marta haya venido con él es del 25% y la probabilidad de que B3 haya

venido a la universidad es del 20% y la de que Marta haya venido con él es

del 15%. ¿Cuál es la probabilidad de que si Marta vino a clases haya

viajado con B2?

Solución Calculando primero P(A):

255.015.02.025.03.03.05.0)/()()( ii BAPBPAP



98

Y luego aplicando el teorema de Bayes:

2941.0255.0

25.03.0

)(

)/()()/( 22

2

AP

BAPBPABP




1. Se tiene un grupo de n libros. El número de diferentes órdenes posibles de los n libros en

una mesa no equivale a:

( a ) P(n, n) ( b ) n!

( c ) C(n, n) ( d ) Ninguna de las anteriores

2. Se tiene un grupo de n libros, suponga que los n libros se van a conformar en grupos de 3

libros (suponiendo que n > 3). El número de diferentes grupos con distinto orden, equivale a:

( a ) P(n, 3) ( b ) n! / 3!

( c ) C(n, 3) ( d ) P(n, n – 3)

3. Se tiene un grupo de n libros, suponga que se desea saber el número de diferentes

agrupaciones sin importar el orden de tres libros de los n libros del grupo (n > 3). Ese número

equivale a:

( a ) P(n, 3) ( b ) n! / 3! ( c ) C(n, 3) ( d ) C(n, n – 3)

4. Se tiene un grupo de 5 personas. El número de diferentes disposiciones posibles de los

asientos para este conjunto de 5 individuos que se van a sentar en 5 sillas no equivale a:

( a ) P(5, 5) ( b ) 5!

( c ) C(5, 5) ( d ) Ninguna de las anteriores

5. Se tiene un grupo de 5 personas, suponga que solo se van a sentar 3 de los 5 individuos. El

número de diferentes disposiciones posibles de los asientos para este conjunto de 3

individuos, considerando que pueden ser elegidos 3 cualesquiera de los 5, equivale a:

( a ) P(5, 2) ( b ) 5! / 2!


6. Se tiene un grupo de 5 personas, suponga que se desea saber el número de diferentes

agrupaciones de tres de los cinco miembros del grupo. Ese número equivale a:

( a ) P(5, 2) ( b ) 5! / 2!


7. Suponga que se tiene un grupo de 40 ingenieros que se agrupan por carrera y por sexo

según la tabla:

Industrial Civil Electrónica Otras

Masculino 8 6 6 6

Femenino 7 2 4 1



99

La probabilidad de que un ingeniero aleatoriamente seleccionado sea una mujer o que haya

estudiado ingeniería industrial (o ambos) es:

( a ) 11/20 ( b ) 29/40 ( c ) 7/40 ( d ) 210/1600

8. Con respecto a los datos del ejercicio 7, la probabilidad de seleccionar al azar un ingeniero

que sea hombre o sea ingeniero civil, pero no ambos, es:

( a ) 11/20 ( b ) 34/40

( c ) 28/40 ( d ) Ninguna de las anteriores

9. Con respecto a los datos del ejercicio 7, la probabilidad condicional de seleccionar al azar

un ingeniero en electrónica dado que sea mujer es:

( a ) 2/7 ( b ) 14/40

( c ) 4/40 ( d ) 8/4

10. Con respecto a los datos del ejercicio 7, al calcular la probabilidad de seleccionar al azar

un ingeniero industrial y la probabilidad de seleccionar un ingeniero que sea hombre, se

concluye que los eventos, ser ingeniero industrial y ser de sexo masculino son:

( a ) mutuamente excluyentes y dependientes

( b ) dependientes pero no mutuamente excluyentes

( c ) mutuamente excluyentes e independientes

( d ) ni mutuamente excluyentes ni dependientes

11. Se sabe que la caja A contiene un sobre con un billete de un dólar y otro sobre con un

billete de $10. La caja B contiene 2 sobres, cada uno con un billete de $10. Se elige

aleatoriamente una caja y de ella se selecciona un sobre. Si en el primer paso se selecciona la

caja A, la probabilidad de que en el segundo paso se seleccione un sobre con un billete de $10

es:

( a ) 1/2 ( b ) 1/10


12. Con base en los datos de la pregunta 8, si en el segundo paso se selecciona un sobre con

un billete de $10, la probabilidad de que ese sobre provenga de la caja A es:

( a ) 1/3 ( b ) 1/4

( c ) 1/2 ( d ) Ninguna de las anteriores

13. Un evento que no se puede descomponer en dos o más eventos se llama:

( a ) evento simple ( b ) espacio muestral

( c ) evento compuesto ( d ) probabilidad

14. Para dos eventos complementarios A y B, es verdadero que:

( a ) 0 ≤ P(A) + P(B) ≤ 1 ( b ) P(A o B) < 1

( c ) P(A) = 1 + P(B) ( d ) P(A y B) = 1

15. Un ejemplo de la aplicación del enfoque de probabilidad de frecuencias relativas se da al

determinar:

( a ) La probabilidad de que haya recesión el próximo año

( b ) La probabilidad de obtener un 6 al lanzar un dado

( c ) La probabilidad de que en un proceso se obtenga una pieza defectuosa

( d ) La probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería



100

16. Al calcular C(n, n) se obtiene:

( a ) 1 ( b ) n


17. La proporción global de artículos no defectuosos en un proceso de producción continua es

de 0,80. La probabilidad de obtener al azar dos artículos defectuosos consecutivamente es:

( a ) 0,04 ( b ) 0,64

( c ) 0,96 ( d ) 0,4

18. En una caja hay 10 bolas rojas, 7 bolas azules y 8 bolas verdes. La probabilidad de

seleccionar al azar una bola roja no equivale a:

( a ) 1 – 8/25 – 7/25 ( b ) 8/25 – 7/25 – 1

( c ) 2/5 ( d ) 10/25


seleccionar al azar una bola verde primero y una bola roja después, en un muestreo sin

reemplazo, equivale a:

( a ) 8/25 x 9/24 ( b ) 8/25 x 10/24

( c ) 10/25 x 8/25 ( d ) 8/25 + 10/24


seleccionar al azar una bola verde primero y una bola roja después, en un muestreo con


( a ) 8/25 x 9/24 ( b ) 8/25 x 10/24

( c ) 10/25 x 8/25 ( d ) Ninguna de las anteriores


seleccionar al azar una bola verde o una bola roja, equivale a:

( a ) 8/25 x 9/24 ( b ) 8/25 + 10/24

( c ) 10/25 x 8/25 ( d ) 10/25 + 8/25


seleccionar al azar una bola que no sea verde equivale a:

( a ) –2/5 – 8/25 + 1 ( b ) –17/25 + 1

( c ) 18/25 ( d ) 10/25 + 7/25


seleccionar al azar una bola verde primero y otra bola verde después, en un muestreo sin


( a ) 8/25 x 8/24 ( b ) 8/25 x 7/24

( c ) 8/25 x 8/25 ( d ) 8/25 + 7/24

24. Si la probabilidad de que una familia tenga un hijo varón es de 0,45. Si la familia tiene 3

hijos, entonces la probabilidad de que los tres hijos sean varones es de:

( a ) 0,45 ( b ) 0,0911 ( c ) 1,35 ( d ) 0,1664


hijos, entonces la probabilidad de que tenga dos hijos varones es de:

( a ) 0,45 ( b ) 0,1113 ( c ) 0,3341 ( d ) 1,45



101


hijos, entonces la probabilidad de que los dos primeros hijos sean varones es de:

( a ) 0,2025 ( b ) 0,45 ( c ) 0,1135 ( d ) 0,90


hijos, entonces la probabilidad de que solo tenga un hijo varón es de:

( a ) 0,1361 ( b ) 0,4083 ( c ) 1,55 ( d ) 0,3025


hijos, entonces la probabilidad de que ninguno de los hijos sea varón es de:

( a ) 0,1361 ( b ) 0,1663 ( c ) 1,65 ( d ) 0,55

29. En una caja hay bolas rojas, bolas azules y bolas verdes. La probabilidad de seleccionar al

azar una bola verde primero y una bola roja después, en un muestreo sin reemplazo, equivale

a:

( a ) P(V) x P(R) ( b ) P(V) x P(R/V)

( c ) P(V) + P(R) ( d ) P(V) x (1 – P(R))

30. En una caja hay bolas rojas, bolas azules y bolas verdes. La probabilidad de seleccionar al

azar una bola que sea verde o bola roja, no equivale a:

( a ) P(V) + P(R) – P(VR) ( b ) 1 – P(A)

( c ) P(V) + P(R) ( d ) P(V) x P(R)

31. Considere la siguiente información: “En una encuesta aplicada a 700 hogares a nivel

nacional, de los cuales la mitad tienen actualmente acceso al servicio de telefonía celular, se

obtuvieron los siguientes datos: ante la apertura en el mercado de telecomunicaciones, el 68%

los usuarios actuales de telefonía celular estaría dispuesto a cambiar de operador. Entre la

población que aun no posee celular, solo un 38% optará por el operador actual, mientras que

el resto escogerá un nuevo proveedor de servicio”. Con base en los datos anteriores, la

probabilidad de seleccionar un hogar al azar de los 700 estudiados que sea un usuario actual

de telefonía celular y que desee mantener ese servicio con el proveedor actual es:

( a ) 0,16 ( b ) 0,32 ( c ) 112 ( d ) 0,68

32. Utilizando la misma información del ejercicio 31, la probabilidad de seleccionar un hogar

al azar de los 700 estudiados que no sea un usuario actual de telefonía celular y que desee

contratar para ese servicio al proveedor actual es:

( a ) 0,38 ( b ) 0,19 ( c ) 0,62 ( d ) 0,31


al azar de los 700 estudiados que no sea un usuario actual de telefonía celular es:

( a ) 0,31 ( b ) 0,38 ( c ) 0,62 ( d ) 0,5


al azar de los 700 estudiados que estaría no dispuesto a contratar a un nuevo proveedor de

telefonía celular distinto del actual es:

( a ) 0,62 ( b ) 0,68 ( c ) 1,3 ( d ) 0,65



102

35. El 56% de los habitantes del país se conectan a internet con regularidad y 53% de los

hogares tienen computadora. La probabilidad de seleccionar al azar a dos personas y que

ambas utilicen internet con regularidad es:

( a ) 0,1936 ( b ) 0,2809 ( c ) 0,3136 ( d ) 1,12


hogares tienen computadora. La probabilidad de seleccionar al azar dos hogares, tal que el

primero tenga computadora y el segundo no, es:

( a ) 0,2209 ( b ) 0,2809 ( c ) 0,2491 ( d ) 0,3136


hogares tienen computadora. La probabilidad de seleccionar al azar un hogar, tal que tenga

computadora o que al menos uno de sus miembros utilice internet con regularidad es:

( a ) 1,09 ( b ) 0,2968 ( c ) 0,06 ( d ) Falta información

38. Un ejemplo de la aplicación del enfoque subjetivo de probabilidad se da al determinar:

( a ) La probabilidad de que internet colapse dentro de 10 años

( b ) La probabilidad de ganar $10.000 en un casino

( c ) La probabilidad de que en un proceso se obtenga una pieza defectuosa todos los días

( d ) La probabilidad de seleccionar al azar una persona que haya nacido en la misma fecha

39. Un evento que no se puede descomponer en dos o más eventos se llama:

( a ) evento simple ( b ) espacio muestral

( c ) evento compuesto ( d ) probabilidad

40. Para dos eventos excluyentes A y B, es falso con toda certeza que:

( a ) 0 ≤ P(A) + P(B) ≤ 1 ( b ) P(A o B) = 1

( c ) P(A) = 1 – P(B) ( d ) P(A y B) = 1

Respuestas a las preguntas de selección múltiple:

1. c 2. a 3. c 4. c 5. b

6. c 7. a 8. a 9. a 10. d

11. a 12. a 13. a 14. a 15. c

16. a 17. a 18. b 19. b 20. c

21. d 22. c 23. b 24. b 25. c

26. a 27. b 28. b 29. b 30. d

31. a 32. b 33. d 34. d 35. c

36. c 37. d 38. a 39. a 40. d



103

6 .

Distribuciones de probabilidad de variable discreta

OBJETIVOS:


1. Calcular la media y la varianza de una distribución de probabilidad

2. Resolver problemas empleando la distribución binomial

3. Resolver problemas empleando la distribución hipergeométrica

4. Resolver problemas empleando la distribución de Poisson

5. Resolver problemas empleando la distribución multinomial

6. Resolver problemas empleando la distribución geométrica



104

Ejemplo Suponga que se lanza al aire una moneda dos veces para ver si cae “cara”

(evento A) o “cruz” (evento B). Construya la tabla de la distribución de

probabilidad.

Solución En este caso existen 4 resultados posibles, cada uno con las siguientes

probabilidades:

Evento Probabilidad

AA 0,25

AB 0,25

BA 0,25

BB 0,25

Total 1,00

La tabla anterior es la distribución de probabilidad para el experimento

“lanzar al aire una moneda dos veces”.

Ejemplo Suponga que se está efectuando el siguiente juego de dados: el jugador

hace una apuesta y lanza los dos dados. Si la suma de los puntos es 7 u 11,

gana el monto apostado. Pero si sale cualquier otra suma, pierde el monto

apostado. Construya la distribución de probabilidad para la suma de los

puntos de los dos dados y la distribución de probabilidad para los

resultados del juego.

Solución En este caso existen resultados posibles, cada uno con las siguientes

probabilidades:

Evento Sumas Probabilidad

2 1 + 1 1/12

3 1 + 2, 2 + 1 2/12

4 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1 3/12

5 1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1 4/12

6 1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 4 + 2, 5 + 1 5/12

7 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1 6/12

8 2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2 5/12

9 3 + 6, 4 + 5, 5 + 4, 6 + 3 4/12

10 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4 3/12

11 5 + 6, 6 + 5 2/12

12 6 + 6 1/12

Total - 1,00

La tabla anterior es la distribución de probabilidad para el experimento

“lanzar al aire una moneda dos veces”.



105

Ejercicio

de

revisión

En cada uno de los siguientes casos construya la tabla de la distribución de

frecuencias:

1. Una rifa consta de 100 números a un precio de $20 cada uno. El premio

es de $1000 (premio único) y el jugador compra un número.


es de $1000 (premio único) y el jugador compra dos números.

3. En una caja hay 10 bolas, 2 son azules, 3 son verdes y 5 son rojas. Se

saca una bola y si la bola es azul se ganan cero puntos, si es verde se gana

un punto y si es roja se ganan dos puntos.


sacan dos bolas y se suman los puntos sabiendo que si la bola es azul se

ganan cero puntos, si es verde se gana un punto y si es roja se ganan dos

puntos.

Solución:

1. Los posibles resultados son ganar la rifa o perder:

Resultado ($) Probabilidad

Ganar = 980 1/100

Perder = -20 99/100

Total 100/100 = 1

2. Los posibles resultados son ganar la rifa o perder:


Ganar = 960 2/100

Perder = -40 98/100

Total 100/100 = 1

3. Los posibles resultados son cero puntos (bola azul), un punto (bola

verde) y dos puntos (bola roja):

Resultado Probabilidad

0 2/10

1 3/10

2 5/10

Total 10/10 = 1

4. Los posibles resultados al sacar una bola son son cero puntos (bola

azul), un punto (bola verde) y dos puntos (bola roja):

Bola 1 Bola 2 Puntos Resultado

Azul Azul 0 + 0 0

Azul Verde 0 + 1 1



106

Azul Roja 0 + 2 2

Verde Azul 1 + 0 1

Verde Verde 1 + 1 2

Verde Roja 1 + 2 3

Roja Azul 2 + 0 2

Roja Verde 2 + 1 3

Roja Roja 2 + 2 4

Pero hay que considerar que los colores no están distribuidos en igual

cantidad, sino que la probabilidad de una bola azul es 2/10, la de una bola

verde es 3/10 y de una bola roja es 5/10, por tanto los resultados anteriores

no son igualmente probables:

Bola 1 Bola 2 Resultado Probabilidad

Azul Azul 0 2/10 x 2/10 = 4/100

Azul Verde 1 2/10 x 3/10 = 6/100

Azul Roja 2 2/10 x 5/10 = 10/100

Verde Azul 1 3/10 x 2/10 = 6/100

Verde Verde 2 3/10 x 3/10 = 9/100

Verde Roja 3 3/10 x 5/10 = 15/100

Roja Azul 2 5/10 x 2/10 = 10/100

Roja Verde 3 5/10 x 3/10 = 15/100

Roja Roja 4 5/10 x 5/10 = 25/100

Resumiendo los resultados:

Resultado Cálculo Probabilidad

0 4/100 4/100

1 6/100 + 6/100 12/100

2 10/100 + 9/100 + 10/100 29/100

3 15/100 + 15/100 30/100

4 25/100 25/100

Total 100/100 = 1

Ejemplo Calcule la media y la desviación estándar de la demanda semanal de cierto

artículo en una ferretería. Los datos de demanda y su probabilidad de

ocurrencia se dan en la tabla.

Unidades vendidas xi 30 35 40 45 50

Probabilidad P(xi) 0,20 0,28 0,30 0,15 0,07

Solución La media o valor esperado es:

05.3807.05015.04530.04028.0352.030

)()(

ii xPxXE



107

Y la varianza es:

95.33)²05.3850(07.0)²05.3845(15.0)²05.3840(30.0

)²05.3835(28.0)²05.3830(2.0)()( 22

ii xPx

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

83.595.33²

Ejercicio

de

revisión

En cada uno de los siguientes casos, a partir de la tabla de la distribución

de frecuencias, calcule el valor esperado (media) y la desviación estándar:


es de $1000 (premio único) y el jugador compra un número.


es de $1000 (premio único) y el jugador compra dos números.


saca una bola y si la bola es azul se ganan cero puntos, si es verde se gana

un punto y si es roja se ganan dos puntos.


sacan dos bolas y se suman los puntos sabiendo que si la bola es azul se

ganan cero puntos, si es verde se gana un punto y si es roja se ganan dos

puntos.

Solución:

1. La distribución de probabilidad es:


980 1/100

-20 99/100

Total 100/100 = 1

La media o valor esperado es:

10100/9920100/1980

)()(

ii xPxXE

Y la varianza es:

9900

)²1020(100/99)²10980(100/1)()( 22

ii xPx



108


50.999900²



960 2/100

-40 98/100

Total 100/100 = 1


20100/9840100/2960

)()(

ii xPxXE

Y la varianza es:

19600

)²2040(100/98)²20960(100/2)()( 22

ii xPx


14019600²



0 2/10

1 3/10

2 5/10

Total 10/10 = 1


3.110/5210/3110/20

)()(

ii xPxXE

Y la varianza es:

61.0)²3.12(10/5)²3.11(10/3)²3.10(10/2

)()( 22

ii xPx




109

78.061.0²



0 4/100

1 12/100

2 29/100

3 30/100

4 25/100

100/100 = 1


6.2100/254100/303100/292100/121100/40

)()(

ii xPxXE

Y la varianza es:

22.1)²6.24(100/25)²6.23(100/30

)²6.22(100/29)²6.21(100/12)²6.20(100/4

)()( 22

ii xPx


10.122.1²

Ejemplo Un vendedor de un producto sabe, por su experiencia, que logra la venta en el

30% de los clientes que visita, porcentaje que ha permanecido constante a lo

largo del tiempo. Cada cliente no tiene contacto con los demás. El vendedor

desea saber la probabilidad de que si visita 8 clientes,

a) logre vender en exactamente 3 casos.

b) logre vender en por lo menos 3 casos.

c) logre vender en menos de 6 casos.

d) no logre vender en a lo más 5 casos.

e) no logre en más de 7 casos.

Solución a) Se tiene que se realizan 8 intentos de vender el producto, por lo que se tiene

que n = 8. Además, se desea saber la probabilidad de lograr 3 ventas, o sea

que x = 3.

En este caso se define éxito como lograr la venta, por tanto p = 0,30.



110

La probabilidad de fracaso es q = 1 – p = 1 – 0,30 = 0,70.

Así, sustituyendo en la fórmula de probabilidad:

2541.0)70,0()30,0(!)38(!3

!8)3( 383

XP

b) En este caso se requiere que x ≥ 3, lo que significa que nos interesa que 3 o

más clientes compren el producto, por lo que buscamos:

)8()7()6()5()4()3()3( XPXPXPXPXPXPxP

Esto implicaría emplear la fórmula anterior 6 veces y luego sumar los

resultados. Una opción que lleva un poco menos de trabajo es calcular lo que

no nos interesa, o sea que 0 clientes, o 1 cliente o 2 clientes compren el

producto, y luego restar esos valores de uno, que es la probabilidad total. O

sea, se puede recurrir a la regla de la complementación para encontrar la

probabilidad de x ≥ 3:

)2()1()0(1)3( XPXPXPxP

Aplicando la fórmula o la tabla de probabilidades binomiales, se tiene:

P(x ≥ 3) = 1 – 0,0576 – 0,1977 – 0,2965 = 0,4482

c) En este caso se requiere que x < 6, es decir, nos interesa la probabilidad de

que de 0 a 5 clientes compren el producto:

P(x < 6) = P(x ≤ 5)

Obsérvese que no se incluye al 6 mismo, pues se indica menos de 6, así se

calculan las probabilidades para los valores entre 0 y 5:

P(x ≤ 5) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5)

= 0,0576 + 0,1977 + 0,2965 + 0,2541 + 0,1361 + 0,0468 = 0.9887

d) Se desea determinar la probabilidad de que a lo más 5 clientes no realicen

la compra. Aquí se considera éxito no lograr la venta, así que p = 0,70 y q =

0,30. Entonces, se debe calcular:

P(x 5) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) + P(x = 5)

= 0,0001 + 0,0012 + 0,0100 + 0,0467 + 0,1361 + 0,2541

= 0,4482

e) Se desea determinar la probabilidad de que más de 7 clientes no compren el



111

producto (p = 0,70). Es decir, solo interesa que x = 8:

P(x = 8) = 0,0576

Ejemplo Se sabe que la probabilidad de que un cierto tipo de calentador falle ante

un sobrecalentamiento es de 15%, calcule la probabilidad de que entre 6 de

tales calentadores:

a) fallen entre 2 y 4

b) no fallen como máximo 3

Solución a) Se tiene que n = 6 y que éxito es fallar, así que p = 0,15 y q = 0,85:

P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)

Se calcula cada una por separado:

P(X = 2) = C(6, 2) (0,15)2 (0,85)

6 2 = 0,1762

P(X = 3) = C(6, 3) (0,15)3 (0,85)

6 3 = 0,0415

P(X = 4) = C(6, 4) (0,15)4 (0,85)

6 4 = 0,0055

P(X = 5) = C(6, 5) (0,15)5 (0,85)

6 5 = 0,0004

Entonces se suman los resultados anteriores:

= 0,1762 + 0,0415 + 0,0055 + 0,0004

= 0,2235

b) Si éxito es no fallar, entonces p = 0,85 y q = 0,15:

P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)

Se calcula cada una por separado:

P(X = 0) = C(6, 0) (0,85)0 (0,85)

6 0 = 0,0000

P(X = 1) = C(6, 1) (0,85)1 (0,85)

6 1 = 0,0004

P(X = 2) = C(6, 2) (0,85)2 (0,85)

6 2 = 0,0055

P(X = 3) = C(6, 3) (0,85)3 (0,85)

6 3 = 0,0415

Entonces se suman los resultados anteriores:

= 0,0000 + 0,0004 + 0,0055 + 0,0415

= 0,0473



112

Ejercicio

de

revisión

Según un estudio aproximadamente tres de cada diez computadoras

portátiles falla en un plazo de 3 años o menos. De una muestra de 10

computadoras portátiles calcule la probabilidad de que, en tres años o

menos:

a. Fallen exactamente 4 computadoras.

b. Fallen menos de 3 computadoras.

c. Fallen como mínimo 8 computadoras.

d. No fallen a lo sumo 7 computadoras.

e. No fallen entre 3 y 5 computadoras.

Solución:

a. Se tiene n = 10 y x = 4. En este caso se define éxito como que falle la

computadora, por tanto p = 3/10 = 0,30. La probabilidad de fracaso es q =

1 – p = 1 – 0,30 = 0,70. Así, sustituyendo en la fórmula de probabilidad:

2001.0)70,0()30,0(!)410(!4

!10)4( 4104

XP

b. Se tiene n = 10 y x < 3. En este caso se define éxito como que falle la



3828.02335.01211.00282.0

)2()1()0()3(

xPxPxPXP

c. Se tiene n = 10 y x 8. En este caso se define éxito como que falle la



0016.00000.00001.00014.0

)10()9()8()8(

xPxPxPXP

d. Se tiene n = 10 y x 7. En este caso se define éxito como que no falle la



6172.0

3828.01

)0282.01211.02335.0(1

))10()9()8((1

)7(1)7(

xPxPxP

xPXP

e. Se tiene n = 10 y 3 x 5. En este caso se define éxito como que no



113

falle la computadora, por tanto p = 7/10 = 0,70. La probabilidad de fracaso

es q = 1 – p = 1 – 0,70 = 0,30. Así, sustituyendo en la fórmula de

probabilidad:

1487.0

1029.00368.00090.0

)5()4()3()53(

xPxPxPXP

Uso de Excel y Minitab para la distribución binomial

Ejemplo Según un estudio, de las muertes de motociclistas en el 2005, el 42% no

tenían el casco puesto en el accidente. Calcule, usando Excel y Minitab, la

probabilidad de que de una muestra de 12 accidentes ocurridos ese año y

seleccionados aleatoriamente:

a. En exactamente 5 de ellos el motociclista no tenía puesto el

casco en el accidente.

b. En menos de 5 de ellos el motociclista no tenía puesto el casco

en el accidente.

Solución Se tiene que n = 12, el éxito es que no llevara el casco, entonces p = 0,42 y

q = 0,58.

a. Lo que se desea calcular es:

P(X = 5) =

Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.BINOM, cuya sintaxis es:

=DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)

Así en este caso, se completa la función en la celda en la que se desea el

resultado como:

=DISTR.BINOM(5;12;0,42;0)

Se indicó acumulado como 0, para calcular el valor exacto y no el

acumulado. El resultado es 0,2285.

b. Lo que se desea calcular es:

P(X < 5) = P(X 4)

Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.BINOM, cuya sintaxis es:



114

=DISTR.BINOM(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)


resultado como:

=DISTR.BINOM(4;12;0,42;1)

Se indicó acumulado como 1, para calcular el valor acumulado. El

resultado es 0,3825.

En Minitab, se tiene los mismos datos, o sea, que n = 12, el éxito es que

no llevara el casco, entonces p = 0,42 y q = 0,58.

a. Lo que se desea calcular es:

P(X = 5) =

Entonces, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de

probabilidad, y ahí se elige Binomial. Se completa el cuadro de diálogo:

Se selecciona probabilidad para que calcule el valor exacto del número de

eventos. El número de ensayos es n y la probabilidad del evento es p. El

número establecido de éxitos se puede dar como una columna, y en ese

caso de debe elegir columna de entrada, o se puede digitar en el cuadro, en

cuyo caso es constante de entrada, que es lo que se muestra en la

ilustración anterior. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado

0,2285 en la ventana Sesión.

b. Lo que se desea calcular es:

P(X < 5) = P(X 4)



115


probabilidad, y ahí se elige Binomial. Se completa el cuadro de diálogo:

Se selecciona probabilidad acumulada para que calcule el valor acumulado

desde x = 0 hasta el número establecido de éxitos. El número de ensayos es

n y la probabilidad del evento es p. El número establecido de éxitos se

puede dar como una columna, y en ese caso de debe elegir columna de

entrada, o se puede digitar en el cuadro, en cuyo caso es constante de

entrada, que es lo que se muestra en la ilustración anterior. Luego se da

clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,3825 en la ventana Sesión.

También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona

Gráfica de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se

selecciona la opción que dice Ver probabilidad.

En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución binomial y

se introduce el dato del número de ensayos y la probabilidad de éxito:



116

Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige

definir el área sombreada por valor X y como en este caso se desea saber la

probabilidad de que x = 4, entonces se selecciona Cola izquierda y se

escribe el valor de x en el espacio que aparece:

Al dar clic en Aceptar, Minitab crea un gráfico que indica el valor de la

probabilidad:



117

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

ba

bili

da

d

4

0,3825

10

Gráfica de distribuciónBinomial. n=12. p=0,42

Ejemplo Se tiene un lote de 50 teléfonos celulares y se sabe que 4 de ellos se

dañaron durante el embarque. Se va a tomar una muestra sin reemplazo de

10 de estos aparatos y se desea saber la probabilidad de que:

a) Exactamente un teléfono salga defectuoso.

b) Por lo menos dos teléfonos salgan defectuosos.

c) Como mínimo 7 teléfonos salgan buenas.

Solución a) En este caso éxito es que un teléfono salga defectuoso, por tanto se

tienen 4 éxitos en la población, o sea, a = 4 defectuosos, N = 50 y n = 10, y

se busca la probabilidad de que en la muestra haya uno defectuoso, es

decir, x = 1, por tanto:

),(

),(),(),,/(

nNC

XaCXnaNCnaNXP

4290,001027227817

41101716330

10,50

1,49,46

10,50

1,4110,450)1(

C

CC

C

CCXP

b) La probabilidad de que por lo menos dos teléfonos salgan defectuosos

se puede calcular como:

P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... + P(X = 10)

Lo anterior lleva aplicar la fórmula de la distribución hipergeométrica 9

veces, por lo que es más rápido calcular del modo siguiente, usando el

principio de complementariedad:



118

1742,04290,03968,01

10,50

1,4110,450

10,50

0,4010,4501

)1()0(1)2(

C

CC

C

CC

XPXPXP

c) Se define éxito como que un teléfono salga bueno, así que a = 46

buenos, por tanto:

9991,03968,04290,01524,00208,0)7(

3968,010,50

10,460,4

10,50

10,461010,4650)10(

4290,010,50

9,461,4

10,50

9,46910,4650)9(

1524,010,50

2,462,4

10,50

8,46810,4650)8(

0208,010,50

7,463,4

10,50

7,46710,4650)7(

)10()9()8()7()7(

xP

C

CC

C

CCxP

C

CC

C

CCxP

C

CC

C

CCxP

C

CC

C

CCxP

xPxPxPxPbuenosXP

Ejemplo Para evaluar la calidad de los materiales de construcción comprados, el

departamento de compras realiza muestreos con cierta frecuencia. Hay un

material que se recibe en lotes de 30 unidades. Frecuentemente cada lote

tiene 2 unidades con defectos. Aleatoriamente se seleccionan muestras sin

reemplazo de 4 unidades y se rechaza el lote completo si se encuentra una

o más unidades defectuosas. Determine la probabilidad de aceptación del

lote.

Solución Dado que se realiza un muestreo sin reemplazo, entonces corresponde a un

experimento hipergeométrico. En la población hay 2 defectuosos, o sea, se

tiene que a = 3, el tamaño de la población es 30, N = 30 y se toma una

muestra de tamaño 4, n = 4.

Para que el lote sea aceptado, en la muestra debe haber cero defectuosos, o

sea, x = 0, por lo tanto la probabilidad de aceptación del lote corresponde a

P(x = 0):

),(

),(),(),,/(

nNC

XaCXnaNCnaNXP

7471,027405

120475

4,30

0,204,230)0(

C

CCXP



119

Ejercicio

de

revisión

Si de un lote de 200 comprimidos de un medicamento se sabe que hay 10

que no satisfacen las especificaciones. Si se toma una muestra de 9 de esos

comprimidos, determine la probabilidad de que:

a. Exactamente 2 de ellos no satisfagan las especificaciones.

b. A lo sumo 2 no satisfagan las especificaciones.

c. Al menos 8 satisfagan las especificaciones.

Solución:

a. En este caso se tienen 10 éxitos en la población, o sea, a = 10, N = 200,

n = 9, x = 2, por tanto:

),(

),(),(),,/(

nNC

XaCXnaNCnaNXP

0607.09,200

2,1029,10200)2(

C

CCXP

b. En este caso a = 10, N = 200, n = 9, x 2, por tanto:

9930.0

0607.03086.06241.0

)2()1()0()2(

xPxPxPXP

c. En este caso a = 190, N = 200, n = 9, x 8, por tanto:

9330.0

6241.03086.0

)9()8()8(

xPxPXP

Ejemplo Se sabe que en un lote de 70 comprimidos para la fiebre hay 8 que no

satisfacen las especificaciones solicitadas. Calcule la probabilidad de que

en una muestra de 5 de esos comprimidos haya exactamente 2

comprimidos que no satisfagan la especificación:

a) usando la fórmula de la distribución hipergeométrica ,

b) usando la binomial como aproximación y compare los valores.

Solución a) Se considera éxito si un comprimido no satisface la especificación, por

lo que a = 8, N = 70 y n = 5:

0875,05,70

2,825,870)2(

C

CCXP



120

b) Se puede resolver usando la binomial como aproximación porque N/10

= 70/10 = 7 > n. Con una población de tamaño 70, n puede llegar a valer

hasta 7 y se puede seguir usando la aproximación por la binomial.

Para usar la binomial se necesita tener la probabilidad poblacional p:

p = a/N = 8/70 = 0,11

Aplicando la fórmula de la binomial con n = 5 y p = 0,11 se obtiene:

0853,0)89,0()11,0)(2,5()2( 252 CXP

La diferencia entre el valor real y el valor aproximado es apenas de:

0,0875 – 0,0853 = 0,0022

Uso de Excel y Minitab para la distribución hipergeométrica

Ejemplo En un lote de 200 frascos de un medicamento se sabe que 8 frascos no

satisfacen las especificaciones de calidad establecidas para dicho fármaco.

Calcule, usando Excel y Minitab, la probabilidad de que de una muestra

aleatoria de 12 frascos exactamente 3 de ellos no satisfagan las

especificaciones.

Solución Se tiene que una población N = 200 frascos, a = 8 éxitos (el éxito sería que no

satisfaga la especificación), una muestra n = 12 frascos, y se pregunta la

probabilidad de que 3 no satisfagan la especificación, o sea, que lo que se

desea calcular es:

P(X = 3) =

Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.HIPERGEOM, cuya sintaxis

es:

=DISTR.BINOM(muestra_éxito;núm_de_muestra;población_éxito;núm_de_p

oblación)

Los argumentos de la función anterior son:

muestra_éxito: número establecido de éxitos (x)

núm_de_muestra: tamaño de muestra (n)

población_éxito: número de éxitos en la población (a)

núm_de_población: tamaño de la población (N)




121

resultado como:

=DISTR.HIPERGEOM(3;12;8;200)

El resultado es 0,0074.

En Minitab, se tiene los mismos datos, una población N = 200 frascos, a = 8

éxitos (el éxito sería que no satisfaga la especificación), una muestra n = 12

frascos, y se pregunta la probabilidad de que 3 no satisfagan la especificación,

o sea, que lo que se desea calcular es:

P(X = 3) =

Entonces, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de probabilidad,

y ahí se elige Hipergeométrica. Se completa el cuadro de diálogo:


eventos y se completan los datos tal como se muestra en la imagen. Luego se

da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,0074 en la ventana Sesión.

También, se puede hacer uso del menú Gráfica, donde se selecciona Gráfica

de distribución de probabilidad. En el cuadro de diálogo se selecciona la

opción que dice Ver probabilidad.



122

En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución

hipergeométrica y se introduce el dato del tamaño de población, del número

de éxitos en la población y del tamaño de la muestra:

Posteriormente se da clic en la pestaña Área sombreada. Aquí se elige definir

el área sombreada por valor X y como en este caso se desea saber la

probabilidad de que x = 3, entonces se selecciona Centro y se escribe el valor

de x en los dos espacios que aparecen:



123


probabilidad:

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0

X

Pro

ba

bili

da

d

3

0,007406

0

Gráfica de distribuciónHipergeométrico. N=200. M=8. n=12

Ejemplo A una oficina de un banco llegan, en promedio, 3 clientes por hora a

solicitar un crédito. Calcule la probabilidad de que:

a) en una hora aleatoriamente seleccionada lleguen exactamente 5 clientes.

b) en una hora aleatoriamente seleccionada lleguen 5 o más clientes.

c) en 5 horas de comportamiento similar lleguen entre 14 y 17 clientes.



124

Solución a) Se tiene que la llegada de clientes al banco es de 3 por hora en

promedio, por lo que λ = 3 clientes/hora, entonces la probabilidad de que

lleguen exactamente 5 clientes es:

1008,0!5

3

!)5(

35

e

X

eXP

x

b) Se sabe que la tasa de llegada de clientes al banco es de 3 por hora en

promedio, por lo que λ = 3 clientes/hora, entonces la probabilidad de que

lleguen más de 5 clientes es:

P(X 5) = P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + ...

Para calcular este resultado es mejor determinar la probabilidad

complementaria:

P(X 5) = 1 – P(X < 5)

P(X 5) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1) – P(X = 2) – P(X = 3) – P(X = 4)

Entonces se calcula cada probabilidad por separado:

1680,0!4

3

!)4(

02240!3

3

!)3(

2240,0!2

3

!)2(

01494!1

3

!)1(

0498,0!0

3

!)0(

34

33

32

31

30

e

X

eXP

e

X

eXP

e

X

eXP

e

X

eXP

e

X

eXP

x

x

x

x

x

Luego se resta cada resultado de uno:

P(X 5) = 1 – 0,0498 – 0,1494 – 0,2240 – 0,2240 – 0,1680 = 0,1847

c) Aquí el período de interés es de 5 horas, por lo que λ = 5 3 = 15

clientes/período de 5 horas, entonces se calcula la probabilidad de que

lleguen entre 14 y 17 clientes:

P(14 ≤ x ≤ 17) = P(X = 14) + P(X = 15) + P(X = 16) + P(X = 17)

= 0,1024 + 0,1024 + 0,0960 + 0,0847 = 0,3856



125

Ejercicio

de

revisión

Un promedio de 15 personas por hora ingresa un parque zoológico. Si se

selecciona una hora cualquiera, calcule la probabilidad de que:

a. Ingresen entre 12 y 15 personas.

b. Ingresen menos de 8 personas.

c. Ingresen más de 10 personas.

Solución:

a. Se tiene λ = 15 personas/hora, y 12 x 15:

3833.0)1512(

1024,0!15

15

!)15(

1024,0!14

15

!)14(

0956,0!13

15

!)13(

0829,0!12

15

!)12(

)15()13()12()1512(

1515

1514

1513

1512

XP

e

X

eXP

e

X

eXP

e

X

eXP

e

X

eXP

XPXPXPXP

x

x

x

x

b. Se tiene λ = 15 personas/hora, y x < 8:

0180.0

0104.00048.00019.00006.0

0002.00000.00000.00000.0

)7()6()5()4(

)3()2()1()0()8(

XPXPXPXP

XPXPXPXPXP

c. Se tiene λ = 15 personas/hora, y x > 10:

1185.0

0486.00324.00194.00104.00048.0

0019.00006.00002.00000.00000.00000.0(1

))10()9()8()7()6()5(

)4()3()2()1()0((1

)10(1)10(

...)14()13()12()11()10(

XPXPXPXPXPXP

XPXPXPXPXP

XPXP

XPXPXPXPXP



126

Uso de Excel y Minitab para la distribución de Poisson

Ejemplo A una clínica llega un promedio de 5 pacientes cada hora. Calcule, usando

Excel y Minitab, la probabilidad de que en una hora seleccionada en forma

aleatoria lleguen exactamente 3 pacientes.

Solución Se tiene que una media de 5 pacientes por hora y se pregunta la

probabilidad de que lleguen 3 por hora, o sea, que lo que se desea calcular

es:

P(X = 3) =

Entonces, en Excel se emplea la función POISSON, cuya sintaxis es:

=POISSON(x;media;acumulado)


x: número establecido de éxitos (x)

media: promedio ()

acumulado: 0 si no es acumulado o 1 si es acumulado


resultado como:

=POISSON(3;5;0)


En Minitab, con base en los datos dados, una media de 5 pacientes por

hora y se pregunta la probabilidad de que lleguen 3 por hora, o sea, que lo

que se desea calcular es:

P(X = 3) =


probabilidad, y ahí se elige Poisson. Se completa el cuadro de diálogo:



127


eventos y se completan los datos tal como se muestra en la imagen. Luego

se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,1404 en la ventana Sesión.




En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución Poisson y

se introduce el dato de la media:



128



probabilidad de que x = 3, entonces se selecciona Centro y se escribe el

valor de x en los dos espacios que aparecen:


probabilidad:



129

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

X

Pro

ba

bili

da

d

3

0,1404

0 13

Gráfica de distribuciónPoisson. Media=5

Ejemplo En un proceso de manufactura de papel se encuentra un defecto por cada

1.000 metros producidos. Calcule la probabilidad de que en una muestra

aleatoria de 10.000 metros de papel se encuentren 8 defectos.

Solución Tal como se presenta, este es esencialmente un problema de la distribución

binomial, en el cual se tiene una muestra n = 10.000 metros de papel y la

probabilidad de éxito (metro de papel con defectos) es p = 1/1000 = 0,001.

Debido a que n > 20, que p 0,05 y np = 10.000 0,001 = 10 10 se

puede usar la aproximación por la Poisson.

Entonces se determina la media λ = np = 10.000 0,001 = 10, entonces:

P(x = 8) = 112599,0!8

10

!

108

e

X

ex

Si este problema se hubiera resuelto empleando la distribución binomial,

se tendría n = 10.000, con p = 1/1000 = 0,001, q = 1 – 0,001 = 0,999,

entonces:

P(x = 8) = C(10.000, 8) (0,001)8 (0,999)

1000 8 = 0,112622

Se observa claramente que los resultados son sumamente próximos.



130

Ejemplo En la tabla se da la distribución de probabilidad del número de delfines (x)

que se encuentran por cada cierta área de mar luego de un derrame de

petróleo de un barco. Si se sabe que esta variable sigue una distribución de

Poisson, muestre que:

λ = σ2

X 0 1 2 3 4 5 6

P(x) 0,2465 0,3452 0,2417 0,1128 0,0395 0,0111 0,0032

Solución Con base en los datos de la tabla se obtiene primero el valor esperado:

E(x) = 0 * 0,2465 + 1 * 0,3452 + 2 * 0,2417 + 3 * 0,1128 + 4 * 0,0395

+ 5 * 0,0111 + 6 * 0,0032 = 1,39

Luego se calcula la varianza:

σ2 = (x – E(x))

2 P(x) = (0 – 1,3997)

2 * 0,2465 + ... + (6 – 1,3997)

2 *

0,0032

= 1,39

Por lo que queda claro que si λ = 1,39, entonces σ2 = 1,39. Queda

comprobado que λ = σ2.

Ejemplo Los audífonos fabricados por una empresa son sometidos a un control de

calidad en el cual se clasifican como perfectos, con defectos secundarios o

con defectos mayores. Generalmente el 85% de los audífonos se clasifican

como perfectos, el 10% con defectos secundarios y un 5% con defectos

mayores. En una muestra de 8 audífonos se quiere saber la probabilidad de

que haya 5 perfectos, 2 con defectos secundarios y uno con defectos

mayores.

Solución Primeramente se plantean los datos del problema:

Perfectos: p1 = 0,85

Con defectos secundarios: p2 = 0,10

Con defectos mayores: p3 = 0,05

Se tiene que x1 = 5, x2 = 2 y que x3 = 1, por lo que n = 5 + 2+ 1 = 8.

Entonces, se sustituye en la fórmula:

0372,0)05,0()10,0()85,0(!1!2!5

!8)1,25, = ( 125

321

xxxP



131

Ejemplo En una encuesta de intención de voto se obtuvo que el candidato A

obtendría el 35% de los votos, el candidato C el 45% y el candidato B el

restante 20%.

Si se toma una muestra de 10 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la

mitad deseen votar por el candidato A, dos quintas partes por el candidato

B y el resto por C?

Solución Primeramente se plantean los datos del problema:

Candidato A: p1 = P(A) = 0,35

Candidato B: p2 = P(B) = 0,20

Candidato C: p3 = P(C) = 0,45



0048,0)45,0()20,0()35,0(!1!4!5

!10)1,45, = ( 145

321

xxxP

Ejercicio

de

revisión

Un equipo de futbol gana el 40% de los partidos que juega, empata el 25%

y pierde el resto de los encuentros. Suponiendo que se mantienen estas

proporciones, calcule la probabilidad de que en los próximos 6 partidos:

a. Gane 3 veces, empate 2 y pierda 1 juego.

b. Gane o empate 4 partidos y pierda los otros dos.

Solución:

a. Primeramente se plantean los datos del problema:

Gana: p1 = P(G) = 0,40

Empata: p2 = P(E) = 0,25

Pierde: p3 = P(P) = 1 - 0.40 - 0.25 = 0,35



084,0)35,0()25,0()40,0(!1!2!3

!6)1,23, = ( 123

321

xxxP

b. Se convierte en un problema binomial, con p = 0.40 + 0.25 = 0.65, y q =

0.35, n = 6 y x = 4, entonces:

3280.0)35,0()65,0(!)46(!4

!6)4( 464

XP



132

Ejemplo Una empresa de televisión por cable pone a disposición de sus clientes un

número telefónico para proveer soporte en caso de que haya problemas con

el servicio. Sin embargo la central telefónica pasa ocupada el 90% del

tiempo, por lo que los clientes deben hacer más de intento para que su

llamada sea contestada. ¿Cuál es la probabilidad de que la llamada de un

cliente sea contestada en su tercer intento?

Solución En este problema se busca la probabilidad de que la llamada ingrese, pero

si la central telefónica pasa ocupada el 90% del tiempo, esta probabilidad

es de solo 10%. Esa es la probabilidad de éxito p = 0,10.

Sustituyendo en la fórmula de la distribución geométrica:

081,0)90,0(10,0)10,01(10,0)3( 213 xP

Ejemplo En un establecimiento de producción de lana se sabe que el 40% de los

animales poseen algún tipo de lunar que produce fibras pigmentadas, las

cuales reducen el valor del producto. Si se empiezan a examinar los

animales, ¿cuál es la probabilidad de que la quinta oveja inspeccionada sea

la primera en poseer algún tipo de lunar que produzca fibras pigmentadas?

Solución Si la primera oveja que posee algún tipo de lunar que produzca fibras

pigmentadas es la quinta (x = 5), quiere decir que las primeras 7 no poseen

este tipo de lunares (x – 1 = 4). La probabilidad de obtener una oveja con

este tipo de lunares es p = 0,40, por tanto, aplicando la fórmula:

0518,0)60,0(40,0)40,01(40,0)5( 415 xP

Ejercicio

de

revisión

Un basquetbolista encesta el 60% de los tiros libres que lanza. Calcule la

probabilidad de que:

a. El primer tiro que enceste sea el tercero.

b. El primer tiro que falle sea el cuarto.

c. Si el jugador lanza 6 veces, ¿cuál es la probabilidad de que enceste en

exactamente tres ocasiones?

Solución:

a. La probabilidad de éxito p = 0,60 y x = 3,

096,0)60,01(60,0)3( 13 xP



133

b. La probabilidad de éxito p = 0,40 y x = 4,

0864,0)40,01(40,0)4( 14 xP

c. Se convierte en un problema binomial (el número de intentos es fijo),

con p = 0.6 y q = 0.40, n = 6 y x = 3, entonces:

2765.0)40,0()60,0(!)36(!3

!6)3( 363

XP

Uso de Minitab para la distribución geométrica

Ejemplo El 10% de las llamadas que ingresan al centro de servicio telefónico de una

empresa son para reportar averías. Calcule, usando Minitab, la

probabilidad de que la primera llamada que ingresa para reportar averías

sea la tercera.

Solución Se tiene que una probabilidad de éxito p = 0.10 y se pregunta la

probabilidad de que la primera llamada que ingresa para reportar averías

sea la tercera, o sea, que lo que se desea calcular es:

P(X = 3) =

En Minitab, se da clic en el menú Calc, luego en Distribuciones de

probabilidad, y ahí se elige Geométrica. Se completa el cuadro de diálogo:


eventos y se completan los datos tal como se muestra en la imagen. Luego

se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,081 en la ventana Sesión.



134




En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución geométrica

y se introduce el dato de la probabilidad de éxito:



probabilidad de que x = 3, entonces se selecciona Centro y se escribe el

valor de x en los dos espacios que aparecen:



135


probabilidad:

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

X

Pro

ba

bili

da

d

3

0,081

1 51

Gráfica de distribuciónGeométrico. p=0,1

X = número total de pruebas.




1. La distribución de probabilidad que se aplica en un experimento de acuerdo con un proceso

de Bernoulli y tiene más de dos resultados posibles se llama:

( a ) Binomial ( b ) Hipergeométrica

( c ) Multinomial ( d ) Poisson



136

2. La distribución de probabilidad que representa el número de resultados que ocurren en un

intervalo de tiempo dado o en un área o volumen específico se llama:


( c ) Multinomial ( d ) Poisson

3. La distribución de probabilidad que se emplea en una sucesión de pruebas y se quiere saber

el número de la prueba en que ocurre el primer éxito se llama:


( c ) Geométrica ( d ) Poisson

4. La distribución de probabilidad que se emplea en una situación similar a un proceso de

Bernoulli, pero con un muestreo sin reemplazo, se llama:



5. A continuación se muestra la función de distribución de probabilidad para el número de

accidentes por día que se presentan en una fábrica (nunca se presentan más de 4 accidentes).

X 0 1 2 3 4

P(x) 0,40 0,30 0,10 0,05

¿Cuál es la probabilidad de que se presente en un día cualquiera dos o más accidentes?

( a ) 0,85 ( b ) 0,15


6. Con base en la tabla del ejercicio 4, en el largo plazo, el número esperado de accidentes

diarios en esa fábrica es de:

( a ) 0,8 ( b ) 2


7. Con base en la tabla del ejercicio 4, la desviación estándar de la distribución de

probabilidad es:

( a ) 1,18 ( b ) 0,1215

( c ) 1,39 ( d ) 3,68

8. A continuación se muestra la función de distribución de probabilidad para el número de

accidentes por día que se presentan en una fábrica (nunca se presentan más de 4 accidentes).

X 0 1 2 3 4

P(x) 0,30 0,20 0,10 0,02

¿Cuál es la probabilidad de que se presente en un día cualquiera dos o menos accidentes?

( a ) 0,78 ( b ) 0,88


9. Con base en la tabla del ejercicio 8, en el largo plazo, el número esperado de accidentes

diarios en esa fábrica es de:

( a ) 0 ( b ) 1,6

( c ) 2 ( d ) 1,16



137

10. Con base en la tabla del ejercicio 8, la desviación estándar de la distribución de

probabilidad es:

( a ) 1,05 ( b ) 1,08


11. Las acciones de la empresa A tienen una probabilidad de 0,7 de devolver una ganancia de

$200. También tienen una probabilidad de 0,3 de tener una pérdida de $600. En el largo

plazo, ¿cuál es la mejor opción de las siguientes que se puede hacer para maximizar su

beneficio, y por qué?

( a ) Invertir en las acciones porque hay una mayor probabilidad de ganar dinero que perder

dinero.

( b ) No invertir en las acciones debido a la cantidad de dinero por cada pérdida es mayor que

el monto en dólares para cada ganancia.

( c ) Invertir en las acciones porque la inversión tiene un valor esperado positivo.

( d ) No invertir en las acciones debido a que el valor esperado es una pérdida.

12. Las acciones de la empresa A tienen una probabilidad de 0,7 de devolver una ganancia de

$200. También tienen una probabilidad de 0,3 de tener una pérdida de $600. Las acciones de

la empresa B tienen una probabilidad de 0,3 de devolver una ganancia de $600 y una

probabilidad de 0,7 de tener una pérdida de $200. En el largo plazo, usando la desviación

estándar como medida del riesgo, es cierto que:

( a ) Las acciones de la empresa A son más riesgosas que las acciones de la empresa B

( b ) Las acciones de la empresa A son menos riesgosas que las acciones de la empresa B

( c ) Las acciones de la empresa A son igualmente riesgosas que las acciones de la empresa B

( d ) Falta información para determinar la desviación estándar

13. Si usted toma una muestra de 15 artículos con reemplazo, para conocer si se presentan

unidades con algún defecto, entonces se emplea la distribución:


( c ) Multinomial ( d ) Geométrica

14. En un proceso de producción se genera una unidad defectuosa por cada 10 unidades

producidas. Si usted desea saber la probabilidad de que, en un muestra de 20 unidades sin

reemplazo, se presenten 2 defectuosas, debería emplear la distribución:


( c ) Multinomial ( d ) Ninguna de las anteriores

15. La tasa media de llegadas de vehículos a un peaje es de 10 por minuto. Si usted desea

saber la probabilidad de que en una hora seleccionada aleatoriamente lleguen menos de 50

vehículos, entonces usaría:

( a ) Binomial ( b ) Exponencial

( c ) Poisson ( d ) Normal

16. La tasa media de llegadas de vehículos a un peaje es de 15 por minuto. Si usted desea

saber la probabilidad de que pasen 4 minutos entre la llegada de dos vehículos en una hora

seleccionada aleatoriamente, entonces usaría:





138

17. Si se sabe que, en un problema binomial, la probabilidad de éxito es 0.60, en 10 ensayos,

la probabilidad de obtener exactamente 4 fracasos es, aproximadamente:

( a ) 0,1115 ( b ) 0,5630


18. Si se sabe que, en un problema hipergeométrico, hay 5 éxitos en una población de 12

unidades, en una muestra de 4 unidades la probabilidad de obtener exactamente 3 fracasos es,

aproximadamente:

( a ) 0,1414 ( b ) 0,6465


19. Si se sabe que, en un problema geométrico, la probabilidad de éxito es 0.1, entonces la

probabilidad de que el primer éxito sea el tercero es, aproximadamente:

( a ) 0,919 ( b ) 0,271


20. Si se sabe que, en un problema hipergeométrico, hay 7 éxitos en una población es de 10

unidades, en una muestra de 4 unidades la probabilidad de obtener al menos 3 fracasos es,

aproximadamente:

( a ) 0,7381 ( b ) 0,9762 ( c ) 0,0333 ( d ) 0,2381

21. Si se sabe que, en un problema hipergeométrico, hay 4 éxitos en una población es de 9

unidades, en una muestra de 4 unidades la probabilidad de obtener a lo sumo 2 fracasos es,

aproximadamente.

( a ) 0,1667 ( b ) 0,3571

( c ) 0,6429 ( d ) 0,8333

22. Si se sabe que x sigue una distribución de Poisson con media igual a 3, la probabilidad de

x sea mayor que 2 es:

( a ) 0,4232 ( b ) 0,8009


23. Si se sabe que x sigue una distribución de Poisson con media igual a 5, la probabilidad de

x sea cuando mucho 1 es:

( a ) 0,9933 ( b ) 0,0337


24. Si los resultados del análisis de un producto pueden ser bueno, regular o malo, y se conoce

que las probabilidades de dichos resultados son 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente, entonces en

una muestra de 5 unidades, la probabilidad de que una de ellas sea clasificada como regular, 1

como mala y 3 como buenas es:

( a ) 0,0036 ( b ) 0,0324


25. Si los resultados del análisis de un producto pueden ser bueno, regular o malo, y se conoce

que las probabilidades de dichos resultados son 0.6, 0.3 y 0.1, respectivamente, entonces en

una muestra de 5 unidades, la probabilidad de que 4 de ellas sean clasificadas como buenas

es:

( a ) 0,9222 ( b ) 0,7408




139

26. Si se sabe que, en un problema binomial, la probabilidad de éxito es 0.60, en 10 ensayos,

la cantidad esperada de fracasos es:

( a ) 0,0016 ( b ) 6


27. Si usted controla la calidad de las piezas compradas a un proveedor y desea calcular la

probabilidad de que en un muestreo sin reemplazo se rechace el lote por contener más de 3

piezas defectuosas, entonces se emplea la distribución:


( c ) Multinomial ( d ) Geométrica

28. Se tiene un cargamento de 60 alarmas contra robo el cual contiene 9 defectuosas. La

probabilidad de que salgan exactamente 2 defectuosas en una muestra de 5 alarmas es:

( a ) 0,8627 ( b ) 0,1886


29. Un fabricante de medicamentos sostiene que cierta medicina cura una enfermedad para la

sangre en el 80% de los casos. Para verificarlo los inspectores del gobierno utilizan una

muestra de 100 individuos y deciden aceptar la afirmación si se curan por lo menos 75 de

ellos. La probabilidad de que lo que dice sea rechazado, si efectivamente la probabilidad de

curación es del 80%, es:

( a ) 0,9162 ( b ) 0.0838


30. En un proceso de manufactura se sabe que la probabilidad de obtener una pieza defectuosa

es de 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que la octava pieza inspeccionada sea la primera

defectuosa?

( a ) 0,9826 ( b ) 0,9800


31. Un fabricante sabe que cierto tipo de refrigeradores tienen una probabilidad de 0,8 de

clasificarse como aceptable, una probabilidad de 0,15 de ser clasificados como con defectos

secundarios y de 0,05 de ser clasificados como con defectos mayores. Si se revisan seis

refrigeradores, escogidos al azar, la probabilidad de que tres sean aceptables, 2 tengan

defectos menores y 1 tenga defecto mayor es:

( a ) 0,9654 ( b ) 0,7645


32. Una empresa de mercadeo por internet tiene una promoción por e–mail que produce una

respuesta de 15%. Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la

probabilidad de que nadie responda es:

( a ) 0,0000 ( b ) 0,8031




probabilidad de que exactamente dos personas respondan es:

( a ) 0,0000 ( b ) 0,8241




140



probabilidad de que más de la mitad respondan es:

( a ) 0,0000 ( b ) 0,9986




probabilidad de que más de 4 no respondan es:

( a ) 0,0099 ( b ) 0,0014


36. Considere la siguiente información: “En una encuesta aplicada a 700 hogares a nivel

nacional, de los cuales la mitad tienen actualmente acceso al servicio de telefonía celular, se

obtuvieron los siguientes datos: ante la apertura en el mercado de telecomunicaciones, el 68%

los usuarios actuales de telefonía celular estaría dispuesto a cambiar de operador. Entre la

población que aun no posee celular, solo un 38% optará por el operador actual, mientras que

el resto escogerá un nuevo proveedor de servicio”. Si se toma una muestra de 6 hogares que

ya poseen servicio celular, la probabilidad de que todos conserven el operador actual es:

( a ) 0,0011 ( b ) 0,0989

( c ) 0,0030 ( d ) 0,0568

37. Utilizando la misma información del ejercicio 36, si se toma una muestra de 6 hogares que

ya poseen servicio celular, la probabilidad de que 2 o menos hogares cambien su proveedor

actual de telefonía celular es:

( a ) 0,0011 ( b ) 0,0875

( c ) 0,7064 ( d ) 0,1527


aun poseen servicio celular, la probabilidad de que 4 o más hogares utilicen el proveedor

actual en el mercado de telefonía celular es:

( a ) 0,7064 ( b ) 0,1202

( c ) 0,3201 ( d ) 0,1527


aun poseen servicio celular, la probabilidad de que 4 o más hogares utilicen el proveedor

actual en el mercado de telefonía celular es:

( a ) 0,7064 ( b ) 0,1202

( c ) 0,3201 ( d ) 0,1527

40. El jefe de un departamento de recursos humanos de una empresa grande, estudia con

frecuencia el grado de satisfacción de los trabajadores dentro de la empresa, y ha encontrado

que 4 de cada 20 empleados se siente insatisfecho con su salario. Esta proporción se ha

mantenido constante durante mucho tiempo. Si se seleccionan aleatoriamente 8 personas, la

probabilidad de que exactamente 3 de ellas se sientan insatisfechas con su salario es:

( a ) 0,7064 ( b ) 0,1202

( c ) 0,3201 ( d ) 0,1468



141

41. Es un proceso de Bernoulli es falso que:

( a ) Existen solamente dos resultados posibles en cada ensayo

( b ) La probabilidad de un éxito permanece constante en todos los intentos.

( c ) Todos los intentos repetidos son independientes.


42. La probabilidad de que cierto componente falle ante una carga axial específica es de 5%.

La probabilidad de que entre 16 de tales componentes fallen entre 2 y 5:

( a ) 0,1891 ( b ) 0,8109


43. Con respecto a las láminas de zinc esmaltadas que se emplearán en el techo de un edificio

nuevo, se sabe que el 95% no tienen defecto alguno, que el 4% tienen, en promedio, un

defecto menor en el esmalte por cada dos metros cuadrados de lámina, y el resto poseen

huecos u otros defectos mayores, y por tanto serán devueltas al proveedor. La probabilidad de

que al seleccionar una muestra aleatoria de 8 láminas haya que devolver a lo sumo una lámina

es:

( a ) 0,9926 ( b ) 0,0027


44. En relación a la misma situación de la pregunta 43, la probabilidad de que al seleccionar

una muestra aleatoria de 10 láminas haya al menos 8 en perfecto estado es:

( a ) 0,0861 ( b) 0,9238


45. En relación a la misma situación de la pregunta 43, si se selecciona una lámina al azar

correspondiente a las que tienen un defecto en el esmalte, entonces la probabilidad de que

posea una superficie continua de 1,5 metros cuadrados sin defecto alguno es:

( a ) 0,5276 ( b ) 0,3679


46. En relación a la misma situación de la pregunta 43, si un empleado está inspeccionando

las láminas, entonces la probabilidad de que la primera lámina con defectos en el esmalte sea

la sexta es:

( a ) 0,0340 ( b ) 0,0326


47. En relación a la misma situación de la pregunta 43, suponga que se han comprado 100

láminas. Si se toma una muestra aleatoria sin reemplazo de 6 láminas, la probabilidad de que

exactamente 5 estén en perfecto estado es:

( a ) 0,2430 ( b ) 0,2709


48. En relación a la misma situación de la pregunta 43, si se toma una muestra aleatoria de 8

láminas, la probabilidad de que 6 estén en perfecto estado, que una tenga un defecto en el

esmalte y otra un defecto mayor es:

( a ) 0,0261 ( b ) 0,0138




142

49. En una distribución binomial se cuenta la probabilidad de obtener un número establecidos

de éxitos cuando:

( a ) el número de intentos es constante pero la probabilidad de fracaso no

( b ) el número de intentos no es constante ni la probabilidad de fracaso

( c ) el número de intentos es constante y la probabilidad de fracaso también

( d ) el número de intentos no es constante pero la probabilidad de fracaso sí


A. En una distribución de Poisson es verdadero que E(X) = V(X) = λ = σ2

B. Cuando n es relativamente grande y p pequeña, las probabilidades binomiales a menudo

se aproximan por medio de la distribución de Poisson.


( a ) Son verdaderas ambas ( b ) Solo B es verdadera

( c ) Son falsas ambas ( d ) Solo A es verdadera

Respuestas a preguntas de selección única:

1. a 2. d 3. c 4. b 5. c

6. c 7. a 8. b 9. d 10. c

11. d 12. c 13. a 14. b 15. c

16. b 17. c 18. c 19. c 20. c

21. c 22. c 23. c 24. c 25. c

26. c 27. b 28. c 29. b 30. c

31. c 32. c 33. c 34. c 35. c

36. a 37. b 38. d 39. d 40. d

41. d 42. a 43. c 44. c 45. c

46. b 47. a 48. d 49. c 50. a



143

7 .

Distribuciones de probabilidad de variable continua

OBJETIVOS:


1. Resolver problemas empleando la distribución normal

2. Resolver problemas empleando la distribución exponencial



144

Ejemplo Se desea saber el valor de las siguientes probabilidades:

a) P(z 1,46) =

b) P(z 1,46) =

c) P(z –1,46) =

d) P(z –1,46) =

e) P(1,03 z 1,46) =

Solución a) La tabla de la curva normal estándar (Apéndice 6) solo da

probabilidades para valores acumulados hasta el número buscado, en otras

palabras, la probabilidad de que la variable z sea menor o igual que cierto

valor. Entonces, si se busca la probabilidad de que z sea menor o igual que

1,46, la tabla va a dar directamente el resultado.

Se desea conocer P(z 1,46), entonces en la tabla se busca el entero y el

primer decimal, o sea, 1,4, en la primera columna, y luego el segundo

decimal, en este caso 6, se busca en la primera fila, tal como se ilustra a

continuación:

El número que aparece donde se cruza esa fila con esa columna es el valor

de la probabilidad, que en este caso es 0,9279.

b) Tal como se señaló anteriormente, la tabla de la distribución normal

estándar del Apéndice 6 solo da la probabilidad de que la variable z sea

menor o igual que cierto valor, pero en este caso se busca la probabilidad

de que z sea mayor que 1,46. Gráficamente este problema se vería del

modo siguiente:



145

La tabla daría el área en blanco, no el área sombreada, pero sabiendo que

el área total bajo la curva es igual a 1, entonces se puede calcular:

P(z 1,46) = 1 – P(z 1,46)

De la tabla se obtiene que P(z 1,46) = 0,9279, por lo que:

P(z 1,46) = 1 – P(z 1,46) = 1 – 0,9279 = 0,0721

c) Como se señaló en los casos anteriores, la tabla de la distribución

normal estándar (Apéndice 6) da la probabilidad de que la variable z sea

menor o igual que cierto valor positivo, pero en este caso se busca la

probabilidad de que z sea menor que –1,46. Gráficamente este problema se

vería del modo siguiente:

Dado que la curva es simétrica, entonces la tabla daría el área en blanco,

no el área sombreada, pero sabiendo que el área total bajo la curva es igual

a 1, entonces se puede calcular:

P(z –1,46) = 1 – P(z 1,46)


P(z –1,46) = 1 – P(z 1,46) = 1 – 0,9279 = 0,0721

d) Nuevamente sabemos que la tabla de la distribución normal estándar

(Apéndice 6) da la probabilidad de que la variable z sea menor o igual que

cierto valor positivo, pero en este caso se busca la probabilidad de que z

sea mayor que –1,46. Gráficamente este problema se vería del modo

siguiente:



146

Dado que la curva es simétrica, entonces la tabla daría el área sombreada,

entonces se puede calcular:

P(z –1,46) = P(z 1,46)


P(z –1,46) = P(z 1,46) = 0,9279

e) Este problema se vería en forma gráfica del modo siguiente:

La tabla da el área acumulada hasta 1,46 y da el área acumulada hasta

1,03, por que podría calcularse cada una por separado y luego restar los

resultados:

P(1,03 z 1,46) = P(z 1,46) = P(z 1,03) =

De la tabla se obtiene:

= 0,9279 – 0,8485 = 0,0794

Ejercicio

de

revisión

Calcule el valor de las siguientes probabilidades:

a) P(z 2,38) =

b) P(z 3,01) =

c) P(z –0,96) =

d) P(z –2,81) =

e) P(-0,19 z 2,71) =

Solución:

a) P(z 2,38) = 0.9913

b) P(z 3,01) = 0.9987

c) P(z –0,96) = 0.1685

d) P(z –2,81) = 0.0025

e) P(-0,19 z 2,71) = 0.9966 - 0.4247 = 0.5719



147

Ejemplo La cantidad de refresco envasada por una empresa está normalmente

distribuido con una media de un litro (1000 ml) y tiene desviación estándar

de 30 ml. Calcule las probabilidades de que una botella aleatoriamente

seleccionada tenga una cantidad de refresco:

a) De menos de 1010 ml.

b) Mayor de 1050 ml.

c) Por lo menos de 990 ml.

d) Como máximo de 1090 ml.

e) Entre 980 y 1040 ml.

f) ¿Cuál es el valor máximo del 20% de las botellas con menor

cantidad de líquido?

g) ¿Cuál es el valor mínimo del 40% de las botellas con mayor

cantidad de líquido?

Solución Se tiene µ = 1000 y σ = 30, y los valores de la probabilidad de z se obtienen

de la tabla.

a) La probabilidad que se busca es P(x 1010). Para las distribuciones

continuas menor o igual es lo mismo que estrictamente menor. Lo primero

que se hace es aplicar la fórmula de estandarización para convertir x en z:

)33,0(30

10001010)1010(

zPzPxP

Para obtener dicha área se aplica la tabla de distribución normal estándar

(Apéndice 6), de donde se obtiene:

P(Z 0,33) = 0,6293

b) Se busca la probabilidad P(x 1050). Aplicando la fórmula de

estandarización y la tabla normal estándar:

0475,09525,01)67,1(

30

10001050)1050(

zP

zPxP

c) Se busca la probabilidad P(x 990). Siguiendo los pasos señalados:

6293,0)33,0(

30

1000990)990(

zP

zPxP



148

d) Se requiere encontrar P(x 1090), entonces:

9987,0)3(

30

10001090)1090(

zP

zPxP

e) En este caso la probabilidad buscada es P(980 x 1040), por lo que a

cada valor se aplica la fórmula de estandarización y luego la tabla normal

estándar:

6568,02514,09082,0

)7486,01(9082,0

)67,0()33,1(

)33,167,0(

30

10001040

30

100080.9

)1040980(

zPzP

zP

zP

xP

f) El valor máximo del 20% de las botellas con menor cantidad de líquido

se encuentra al lado izquierdo de la curva, en el cual los valores de z son

negativos, por estar a la izquierda de z = 0 (µ = 0). Gráficamente el

problema queda representado del modo siguiente:

Al buscar en la tabla el valor de z que corresponde a una probabilidad

máxima de 0,20 se encuentra en la tabla del Apéndice 6 que solo aparecen

valores positivos, y no negativos, pero esto no es problema dado que la

curva es simétrica. También se observa que los valores de probabilidad de

la tabla son iguales o mayores que 0,5, y no menores, por lo que el valor de

0,20 no va a aparecer, así que se busca su complemento 1 – 0,20 = 0,80. De

ese modo se busca el valor de probabilidad (no de z) más cercano a 0,80:



149

Véase que el valor de probabilidad de 0,7995 es el más cercano a 0,80, por

lo que en la primera columna se obtiene el entero y el primer decimal del

valor de z, y en la primera fila el segundo decimal. Así, se obtiene que z =

0,84, pero se dijo que este valor debía ser negativo por encontrase del lado

izquierdo de la gráfica, así que z = –0,84.

Ahora se sustituye y se despeja el valor de x de la fórmula de z:

8,974

100030*84,0

30

100084,0

x

x

x

xz

Esto indica que 974,8 ml es el valor máximo del 20% de las botellas con

menor cantidad de líquido.

g) El valor mínimo del 40% de las botellas con mayor cantidad de líquido

se encuentra al lado derecho de la curva, en el cual los valores de z son

positivos, por estar a la derecha de z = 0 (µ = 0). Gráficamente el problema

queda representado del modo siguiente:

Se observa que los valores de probabilidad de la tabla de la distribución



150

normal estándar (Apéndice 6) son iguales o mayores que 0,5, y no menores

que 0,5, por lo que el valor de 0,40 no va a aparecer, así que se debe buscar

su complemento 1 – 0,40 = 0,60. De ese modo se busca el valor de

probabilidad (no de z) más cercano a 0,60:

Véase que el valor de probabilidad de 0,5987 es el más cercano a 0,60, por

lo que en la primera columna se obtiene el entero y el primer decimal del

valor de z, y en la primera fila el segundo decimal. Así, se obtiene que z =

0,25.

Ahora se sustituye y se despeja el valor de x de la fórmula de z:

5,1007

100030*25,0

30

100025,0

x

x

x

xz

Esto indica que 1007,5 ml es el mínimo del 40% de las botellas con mayor

cantidad de líquido.



151

Ejemplo Un profesional dura por las mañanas un promedio de 26 minutos para

llegar a su oficina. Se puede suponer razonablemente que la distribución

del tiempo de los viajes es aproximadamente normal. La desviación

estándar es de 3,5 minutos.

a. ¿De cuánto es la probabilidad de que llegue tarde a una reunión

programada para 8:50 a.m. si ese día salió de su casa a las 8:35?

b. ¿Cuántas veces de las 120 que viajó el último semestre llegó a tiempo, si

debe estar en su oficina a las 9:00 a.m. y acostumbra salir de su casa a las

8:30?

c. Encuentre el tiempo máximo que le tomó el 62% de los viajes más

rápidos.

Solución Se tiene que µ = 26 minutos y σ = 3,5 minutos.

a. Si salió de su casa a las 8:35 y la reunión es a las 8:50 llegará tarde si el

viaje el toma más de los 15 minutos con que cuenta.

P(llegar tarde) = P(x 15) = P(Z –3,14) = 0,9992

b. Si sale a las 8:30 y tiene que estar en la oficina a las 9 cuenta con 30

minutos para llegar.

P(llegar a tiempo) = P(x 30) = P(Z 1,14) = 0,8729

De esta forma, el número de veces que llegó a tiempo = 120 0,8729 =

104,75. Por tanto, llegará a tiempo entre 104 y 105 veces de las 120 del

semestre.

c. Los viajes más rápidos son los que toman menos tiempo, por lo tanto, el

área es el 62% del lado izquierdo.



152

Usando la fórmula de estandarización:

09,275,3*31,026 x

De ese modo se tiene que 27,09 minutos es el tiempo máximo que toma el

62% de los viajes más rápidos.

Ejercicio

de

revisión

Un biólogo ha determinado que el peso promedio de los alevines de cierta

especie de tilapia se distribuye normalmente con media de 30 gramos a los

120 días de cultivo y una desviación estándar de 4,5 gramos. Calcule la

probabilidad de que al seleccionar una de estas tilapias al azar tenga un

peso:

a) Mayor que 34 gramos

1867,08133,01)89,0(

5,4

3034)34(

5,4,30

zPzPxP

b) Menor que 32 gramos

6700,0)44,0(

5,4

3032)34(

5,4,30

zPzPxP

c) Como máximo 26,8 gramos

2488,07612,01)71,0(

5,4

308,26)8,26(

5,4,30

zPzPxP

d) ¿Sobre qué valor se encuentra el 78% de los peces de mayor peso?

z = -0,78

49,26

305,4*78,0

5,4

3078,0

x

x

x

xz

e) ¿Cuál es el valor más alto sobre el que se encuentra el 35% de los peces

con menor peso?

z = -0,39



153

24,28

305,4*39,0

5,4

3039,0

x

x

x

xz

Ejemplo Se conoce que el nivel de colesterol en sangre en una población adulta

entre 50 y 60 años se distribuye normalmente con una media de 180

mg/100 ml de sangre y que la desviación estándar es de 30 mg/100 ml.

Calcule, usando Excel y Minitab, la probabilidad de que uno de esos

adultos entre 50 y 60 años tenga un nivel inferior a 200 mg/100 ml de

sangre.

Solución En Excel: Se tiene que una media de 180 mg/100ml con una desviación

estándar de 30 mg/100ml, y se pregunta la probabilidad de que tenga un

nivel inferior a 200 mg/100 ml, o sea, que lo que se desea calcular es:

P(X < 200) =

Entonces, en Excel se emplea la función DISTR.NORM, cuya sintaxis es:

= DISTR.NORM(x;media;desv_estándar;acum)


x: número establecido de la variable (x)

media: promedio ()

desv_estándar: desviación estándar ()



resultado (se indica al final 1 para que dé el resultado acumulado):

=DISTR.NORM(200;180;30;1)


En Minitab: Se tiene que una media de 180 mg/100ml con una desviación



P(X < 200) =




154

probabilidad, y ahí se elige Normal. Se completa el cuadro de diálogo:

Se selecciona probabilidad acumulada para que calcule el valor de que x

sea menor que 200 y se completan los datos tal como se muestra en la

imagen. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado 0,7475 en la

ventana Sesión.




En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución normal y se

introduce el dato de la media y la desviación estándar:



155



probabilidad de que x 200, entonces se selecciona Cola izquierda y se

escribe el valor de x en el espacio que aparece:


probabilidad:



156

0,014

0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0,000

X

De

nsid

ad

200

0,7475

180

Gráfica de distribuciónNormal. Media=180. Desv.Est.=30

Ejemplo Si el peso promedio de un hombre adulto es 74,8 kilogramos con una

desviación estándar de 8 kilogramos. Si las medidas se distribuyen según

una distribución normal, calcule, usando Excel y Minitab, el peso que

separa el 15% de los hombres adultos con menor peso.

Solución En Excel: Se tiene que una media de 74,5 Kg. con una desviación estándar

de 8 Kg., y se pregunta el peso que separa el 15% de los hombres adultos

con menor peso. Entonces, en Excel se emplea la función

DISTR.NORM.INV, cuya sintaxis es:

= DISTR.NORM.INV(probabilidad;media;desv_estándar)


probabilidad: valor de probabilidad o percentil dado

media: promedio ()

desv_estándar: desviación estándar ()


resultado:

=DISTR.NORM.INV(0,15;74,5;8)

El resultado es 66,21 Kg.

En Minitab: Se tiene que una media de 180 mg/100ml con una desviación



P(X < 200) =



157


probabilidad, y ahí se elige Normal. Se completa el cuadro de diálogo:

Se selecciona probabilidad acumulada inversa para que devuelva el valor

de la variable en vez de calcular la probabilidad y se completan los datos

tal como se muestra en la imagen. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene

el resultado 66,21 Kg. en la ventana Sesión.




En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución normal y se

introduce el dato de la media y la desviación estándar:



158


definir el área sombreada por Probabilidad y como en este caso se el

problema se refiere a los de menor peso, entonces se selecciona Cola

izquierda y dado que se requiere saber el valor de x entonces se digita la

probabilidad de 0,15 en el espacio que aparece:


variable x en el eje horizontal:



159

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

0,00

X

De

nsid

ad

66,21

0,15

74,5

Gráfica de distribuciónNormal. Media=74,5. Desv.Est.=8

Ejemplo Un ingeniero de sistemas cree que el 30% de las empresas estarían

dispuestas a actualizar el sistema operativo de sus equipos de cómputo a la

nueva versión que va a ser lanzada al mercado dentro de poco tiempo. De

acuerdo con ese dato, calcule la probabilidad de que de una muestra de 80

empresas:

a) entre 25 y 35 actualicen su sistema operativo.

b) por lo menos 20 actualicen su sistema operativo.

c) menos de 60 no actualicen su sistema operativo.

Solución Este es un problema de distribución binomial, pero que por tener n > 20 se

resuelve por aproximación. En este caso no se puede aplicar la Poisson

porque p > 5%, por lo tanto se resuelve usando la normal como

aproximación.

Al aplicarse la normal se debe realizar una corrección por continuidad

debido a que se está resolviendo un problema de variable discreta con una

distribución de variable continua, para lo cual se restará 0,5 y se sumará

0,5 a los valores de x en el cálculo de la probabilidad, tal como se explicará

más adelante.

a) La probabilidad de que las empresas actualicen su sistema operativo es

de 30%, por lo tanto:

µ = np = 80 0,3 = 24

σ = 10,47,03,080 npq

Se requiere calcular:



160

P(25 x 35) =

Ahora se va a aplicar la corrección por continuidad, que es de media

unidad (0,5) hacia atrás y media unidad (0,5) hacia delante en el intervalo:

P(25 – 0,5 x 35 + 0,5) =

P(24,5 x 35,5) =

Tomando los valores de = 24 y = 4,10, se aplica el cálculo por la curva

normal:

80,210,4

245,35

12,010,4

245,24

2

1

z

z

Entonces:

P(25 x 35) = P(24,5 x 35,5) = P(0,12 z 2,80)

Aplicando la tabla de la curva normal estándar (Apéndice 6):

= 0,9974 – 0,5478 = 0,4496

Si se utiliza Minitab para hacer el cálculo con la distribución binomial con

valores de n = 80 y p = 0,3, se obtiene una probabilidad de 0,4419, lo cual

indica que la aproximación por la normal tiene un resultado bastante

cercano.

b) En este segundo caso se quiere calcular:

P(x 20)

Al aplicar la corrección por continuidad se recomienda poner los valores

en un intervalo, en este caso desde 20 hasta 80, ya que el tamaño de

muestra es 80, y luego corregir:

P(x 20) = P(19,5 x 80,5)

Luego se estandariza:

78,1310,4

245,80

10,110,4

245,19

2

1

z

z



161

Calculando con la distribución normal:

P(x 20) = P(19,5 x 80,5) = P(–1,10 z 13,78)

= P(z 13,78) – P(z –1,10) = 1,0000 – 0,1357 = 0,8643

c) En este caso éxito es que las empresas no deseen actualizar su sistema

operativo, por lo que p = 0,70. Entonces:

µ = np = 80 0,7 = 56

σ = 10,43,07,080 npq

Luego se tiene que se busca:

P(x < 60)

Primero se expresa como el problema equivalente pero empleando el signo

en vez de <, ya que menos de 60 es lo mismo que menor o igual a 59,

esto para aplicar el mismo procedimiento visto anteriormente:

P(x < 60) = P(x 59)

Ahora se convierte al intervalo, pues menor o igual que 59 equivale al

intervalo de 0 a 59 y se aplica la corrección por continuidad:

P(x < 60) = P(x 59) = P(0 x 59) = P(–0,5 x 59,5)

Ahora se estandariza:

85,010,4

565,59

78,1310,4

565,0

2

1

z

z

Planteando el problema completo y aplicando la tabla de normal estándar:

P(x < 60) = P(x 59) = P(0 x 59) = P(–0,5 x 59,5)

= P(–13,78 z 0,85) = P(z 0,85) – P(z –13,78)

= 0,8023 – 0 = 0,8023



162

Ejemplo A una oficina de un banco llegan, en promedio, 3 clientes por hora a

solicitar un crédito. Se desea saber la probabilidad de:

a. Que transcurran 30 minutos entre la llegada de un cliente y el siguiente.

b. Que tras la salida de un cliente el próximo llegue en el curso de los 20

minutos siguientes.

Solución Se tiene que = 3 clientes por hora:

a. Dado que la pregunta se refiere al periodo 30 minutos, entonces:

= 3/2 = 1,5

Dado que se busca la probabilidad de que el primer evento no ocurra

dentro de un intervalo temporal dado, entonces se sustituye en la fórmula:

2231,05,1 eeP

b. En un lapso de 20 minutos, = 1. Dado que se busca la probabilidad de

que el primer evento ocurra dentro de un intervalo temporal dado, entonces

se sustituye en la fórmula:

6321,03679,0111 1 eeP

Ejemplo El tiempo requerido para que ocurra una reacción química está

exponencialmente distribuido con un tiempo esperado de 4 minutos:

a. ¿Qué proporción de la sustancia se formará dentro de dos minutos?

b. ¿Qué proporción de la sustancia se formará entre 3 y 8 minutos?

Solución Se pueden emplear intervalos de un minuto, dado que la reacción se hace,

en promedio, en 4 minutos, entonces el número esperado de sustancia

formada en un minuto será = 1/4 = 0,25 (este sería la cantidad media de

ocurrencias por minuto), entonces:

a. Dado que la pregunta se refiere al periodo 2 minutos, entonces = 0,5:

6065,05,0 eeP

b. Entre 3 y 8 minutos, se usa = 0,75 y = 2, respectivamente:

3370,01353,04724,0)84( 275,0 eexP



163

Ejercicio

de

revisión

Se sabe que la vida útil de cierto tipo de bujías sigue una distribución

exponencial con media de 160.000 km. ¿Cuál es la probabilidad de que

una bujía seleccionada aleatoriamente dure:

a. a lo sumo 180.000 km?

b. entre 150.000 y 200.000 km?

Solución:

a. Se tiene que = 160.000, se aplica la fórmula P(x) = e–x

:

P(x < 180.000) = (1/160000) 6753,0180000)160000/1( e

b. Se tiene que = 160.000, se aplica la fórmula P(x) = e–x

:

P(x < 150.000) = (1/160000) 6084,0180000)150000/1( e

P(x < 200.000) = (1/160000) 7135,0200000)160000/1( e

P(150.000 < x < 200.000) = 0.7135 - 0.6084 = 0.1051

Ejemplo Los clientes de una tienda llegan en promedio de 20 por hora. Utilice

Excel y Minitab para determinar la probabilidad de que transcurran a lo

sumo 6 minutos después de la llegada del último cliente y el próximo.

Solución En Excel: Se tiene que una media = 20 clientes por hora y se pregunta la

probabilidad de que transcurran a lo sumo 6 minutos después de la llegada

del último cliente y el próximo, por lo que x = 0,1, pues equivale a 6

minutos de una hora que tiene 60 minutos, o sea, x = 6/60 = 0,1. Entonces,

en Excel se emplea la función DISTR.EXP, cuya sintaxis es:

= DISTR.EXP(x;lambda;acum)


x: número establecido de la variable (x)

lambda: promedio ()



resultado colocando el valor de x como 0,1, la media de 20 y(se indica al

final 1 para que dé el resultado acumulado):

=DISTR.EXP(0,1;20;1)




164

En Minitab: Se tiene que una media de 1/20, y se pregunta la probabilidad

de que transcurran a lo sumo 6 minutos después de la llegada del último

cliente y el próximo, por lo que x = 0,1, pues equivale a 6 minutos de una

hora que tiene 60 minutos, o sea, x = 6/60 = 0,1. Se da clic en el menú

Calc, luego en Distribuciones de probabilidad, y ahí se elige Exponencial.

Se completa el cuadro de diálogo:

Se selecciona probabilidad acumulada y se completan los datos tal como se

muestra en la imagen. Luego se da clic en Aceptar y se obtiene el resultado

0,8647 en la ventana Sesión.




En el cuadro de diálogo se selecciona en la lista la distribución

exponencial y se introduce el dato de la escala, que es la media, y el dato

del valor umbral se puede dejar en cero:



165


definir el área sombreada por Valor de x, se selecciona Cola izquierda y se

digita el valor de x de 0,1 en el espacio que aparece:


variable x en el eje horizontal:



166

20

15

10

5

0

X

De

nsid

ad

0,1

0,8647

0

Gráfica de distribuciónExponencial. Escala=0,05. Valor umbral=0




1. Si se sabe que b es una variable normal estándar, ¿Cuál es la probabilidad de que b sea

mayor que 2,5?

( a ) 0,0000 ( b ) 0,9938

( c ) 0,0062 ( d ) Falta información

2. Si se sabe que b es una variable normal estándar, ¿Cuál es el valor de que b que se ubica en

el percentil 19? Usando la tabla de la distribución normal estándar acumulada:

( a ) 0,88 ( b ) 0,7910

( c ) –0,88 ( d ) Ninguna de las anteriores

3. Si se sabe que x es una variable normal con media 12 y varianza 9, ¿Cuál es la probabilidad

de que x sea menor que 10? Usando la tabla de la distribución normal estándar acumulada:

( a ) 0,4121 ( b ) 0,7486


4. Si se sabe que x es una variable normal con media 12 y varianza 9, ¿Cuál es la probabilidad

de que x sea como mínimo igual a 8? Usando la tabla de la distribución normal estándar

acumulada:

( a ) 0,6716 ( b ) 0,0918


5. Si se sabe que x es una variable normal, ¿Cuál es la probabilidad de que x tome valores en

un intervalo de 2 veces la desviación estándar con respecto a la media?

( a ) 0,997 ( b ) 0,683

( c ) 0,954 ( d ) Falta información



167

6. Si se sabe que x es una variable normal con media 12 y varianza 9, ¿Cuál es el valor de x

que separa el 15% superior de los valores posibles de x?

( a ) 0,85 ( b ) 8,891


7. La distribución exponencial permite obtener respuesta a preguntas relacionadas con la

probabilidad de que un evento ocurra en determinado plazo, el tiempo entre dos eventos

sucesivos o el tiempo que transcurre desde un determinado punto temporal hasta un primer

evento, se llama:

( a ) Exponencial ( b ) Normal


8. Una empresa ha comprado un equipo para su producción que requiere una pieza especial.

Según el proveedor esa pieza especial posee una vida esperada de 8 meses. Si usted desea

saber la probabilidad de tener que reemplazar esta pieza antes de 6 meses, debería emplear la

distribución:

( a ) Binomial ( b ) Normal ( c ) Multinomial ( d ) Geométrica

9. La tasa media de llegadas de clientes a un restaurante de comida rápida es de 4 por minuto.

Si usted desea saber la probabilidad de que en una hora seleccionada aleatoriamente lleguen

menos de 200 clientes, entonces usaría:



10. La tasa media de llegadas de clientes a un restaurante de comida rápida es de 4 por

minuto. Si usted desea saber la probabilidad de que pasen 30 segundos entre la llegada de dos

clientes en una hora seleccionada aleatoriamente, entonces usaría:



11. Una fábrica de cemento empaca su producto en sacos que tienen una media de 51,9

kilogramos, con una desviación estándar de 350 gramos, de acuerdo con una distribución

normal. La especificación es que cada saco pese exactamente 52 kilogramos. La probabilidad

de que un saco seleccionado al azar tenga un exceso en el peso de un kilogramo o más con

respecto al peso especificado es:

( a ) 0,0008 ( b ) 0,9992


12. Tomando los mismos datos del problema 11, la probabilidad de que un saco seleccionado

al azar tenga un peso en un rango de 2 veces la desviación estándar con respecto al promedio

es:

( a ) 0,9540 ( b ) 0,6830



al azar tenga un peso entre 50 y 52 kilogramos es:

( a ) 0,6125 ( b ) 0,3875




168


al azar tenga un peso inferior a 51,1 kilogramos es:

( a ) 0,4991 ( b ) 0,5009


15. Tomando los mismos datos del problema 11, en un lote de 200 sacos, el número de sacos

que se esperaría que tengan un peso superior a 52,5 kilogramos es:

( a ) 12,5 ( b ) 8,64


16. Tomando los mismos datos del problema 11, si se considera que si un saco tiene un peso

en el 10% inferior debe reprocesarse, entonces el valor que marca el peso en kilogramos a

partir del cual los sacos deben reprocesarse es:

( a ) 51,95 ( b ) 51,45


17. Tomando los mismos datos del problema 11, el valor que marca el percentil 85 de los

pesos, en gramos, es:

( a ) 52,26 ( b ) 52260


18. En una distribución exponencial:

A. La media de la distribución equivale a uno entre lambda

B. La varianza de la distribución equivale a uno entre lambda al cuadrado


( a ) Son verdaderas ambas ( b ) Solo B es verdadera

( c ) Son falsas ambas ( d ) Solo A es verdadera

19. ¿Cuál de las siguientes es falsa acerca de los datos que sigue la distribución normal?

( a ) El promedio es el mismo que el modo

( b ) La desviación estándar es la misma que la media

( c ) La mediana es el mismo que el modo

( d ) La mayoría de los datos está dentro de 3 desviaciones estándar de la mediana

20. ¿Cuál de las siguientes no es cierto acerca de la distribución normal?

( a ) la media, la mediana y la moda son iguales

( b ) la curva es sesgada a la derecha

( c ) la curva nunca toca el eje x

( d ) el área bajo la curva es uno

21. En los problemas binomiales en que n > 20 y p > 5%, es falso que:

( a ) se puede emplear la normal para aproximar la binomial

( b ) los resultados de la binomial y la normal son iguales

( c ) los resultados de la binomial y la normal convergen con forme n tiende a infinito

( d ) efectuar el cálculo usando la distribución binomial lleva más trabajo



169


1. c 2. c 3. c 4. c 5. c

6. c 7. a 8. b 9. c 10. b

11. a 12. a 13. a 14. c 15. b

16. b 17. b 18. a 19. b 20. b

21. b



170

8 .

Estimación por intervalos

OBJETIVOS:


1. Explicar el concepto de inferencia estadística.

2. Explicar el teorema del límite central.

3. Calcular intervalos de confianza para la media poblacional.

4. Calcular intervalos de confianza para la proporción poblacional.



171

Ejemplo El nivel de glucosa en la sangre de una cierta población compuesta por

5000 miembros tiene una desviación estándar de 29 mg/dl. Se toma una

muestra de 40 personas, ¿cuál es el factor de corrección y el error estándar

de la media?

Solución El factor de corrección es:

9922,015000

405000

1

N

nN

Si la desviación estándar σ = 29, entonces el error estándar de la media es:

59,440

29

nx

y aplicando el factor de corrección:

57,415000

405000

40

29

1

N

nN

nx

Ejercicio

de

revisión

La prueba de admisión de una universidad tiene una desviación estándar de

250 puntos. Si se toma una muestra de 60 estudiantes que han aplicado la

prueba, ¿cuál es el error estándar?

¿Cómo cambia el resultado anterior si se sabe que un total de 6000

estudiantes han realizado la prueba?

Solución:

Si la desviación estándar σ = 250, n =60, entonces el error estándar de la

media es:

27.3260

250

nx

y aplicando el factor de corrección:

12.3216000

606000

60

250

1

N

nN

nx



172

Ejemplo Durante una semana se toma una muestra aleatoria de 50 empleados de

una empresa, y se obtiene un salario promedio de $206. Se conoce que la

desviación estándar poblacional de $40.

Determine los intervalos de confianza del 95% para la media de los

salarios de esta empresa.

Solución Se tiene que n = 50, x = $206, σ = 40 y una confianza 1 – α = 0,95.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α = 0,05, o sea, que se

tendría α/2 = 0,025, por lo que 1 – α/2 = 1 – 0,025 = 0,975. Como n 30 y

σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar z

con α/2 equivale a z = 1,96.

Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n 30

y σ conocida:

nZx /

50/4096,1206

Para obtener el límite inferior se resta:

91,19450/4096,1206 iL

Y para obtener el límite superior se suma:

09,21750/4096,1206 sL

En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que la media de los

salarios de esta empresa se encuentra entre $194,91 y $217,09.

Ejercicio

de

revisión

En una muestra de 50 hectáreas tomadas al azar de diferentes fincas

productoras de papa se obtiene un rendimiento promedio de 40 toneladas

por hectárea al emplear un cierto tipo de abono orgánico. Se conoce, por

un estudio previo, que la desviación estándar poblacional es de 8

toneladas/ha. Obtenga un intervalo de confianza del 95% para la media del

rendimiento de papa por hectárea.

Solución:

Se tiene que n = 50, x = 40, σ = 8 y una confianza 1 – α = 0,95.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α = 0,05, o sea, que se

tendría α/2 = 0,025, por lo que 1 – α/2 = 1 – 0,025 = 0,975. Como n 30 y

σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar z

con α/2 equivale a z = 1,96.



173


y σ conocida:

nZx /

50/896,140


78.3750/896,140 iL


22.4250/896,140 sL

En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que la media del

rendimiento de papa por hectárea se encuentra entre 37.78 y 42.22 ton/ha.

Uso de Excel y Minitab para calcular intervalos de confianza

Ejemplo Utilice Excel y Minitab para resolver el problema: Durante una semana se

toma una muestra aleatoria de 50 empleados de una empresa, y se obtiene

un salario promedio de $206. Se conoce que la desviación estándar

poblacional de $40.

Determine los intervalos de confianza del 95% para la media de los

salarios de esta empresa.

Solución Se tiene que n = 50, x = $206, σ = 40 y una confianza: 1 – α = 0,95.

En Excel se emplea la función INTERVALO.CONFIANZA, la cual da el

error máximo de estimación, o sea, el resultado de calcular nz / , por

lo que luego es necesario tomar el promedio obtenido en la muestra y

restar y sumar el valor dado por la función para obtener los límites de

confianza inferior y superior, respectivamente. La función tiene la

siguiente sintaxis:

=INTERVALO.CONFIANZA(alfa;desv_estándar;tamaño)


alfa: es el valor dado

desv_estándar: es la desviación estándar ( o s)

tamaño: es el tamaño de muestra (n)

Luego se sustituyen los valores:



174

=INTERVALO.CONFIANZA(0,05;40;50)

Así se obtiene el valor 11,09. Para obtener el límite inferior se resta:

= 206 11,09 = 194,91


= 206 + 11,09 = 217,09

En conclusión, se tiene una confianza de que la media de los salarios de

esta empresa se encuentra entre $194,91 y $217,09.

En Minitab se da clic en el menú Estadística, se elige Estadística básica y

luego se selecciona Z de 1 muestra. Ahí se completa el cuadro de diálogo

siguiente:

Se marca la opción de datos resumidos y se completan los datos tal como

se muestra en la imagen. En el botón Opciones se indica el nivel de

confianza, que en este caso es 95%. La opción Hipótesis alterna debe

dejarse como "no es igual a". Luego se da clic en Aceptar y el resultado se

obtiene en la ventana Sesión:



175

En la salida en la ventana Sesión se observa IC de 95%, que corresponde al

intervalo de confianza del 95%, y que este es 194,91 a 217,09.

Ejemplo Se sabe que el tiempo que toma completar una prueba psicométrica tiene

una varianza de 225 minutos. Una muestra de 20 estudiantes es sometida a

la prueba obteniéndose una media de 71 minutos. Obtenga los límites de

confianza del 99% para el tiempo medio en que se completa dicha prueba.

Solución Se tiene que n = 20, x = 71 minutos, σ = 15 minutos (la raíz cuadrada de

225, que es la varianza) y una confianza: 1 – α = 0,99.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,99, entonces α/2 = 0,005. Como n < 30

y σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar

z con α/2 equivale a z = 2,58.

Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n < 30

y σ conocida:

nZx /

20/1558,271


36,6220/1558,271 iL


64,7920/1558,271 sL

En conclusión, se tiene una confianza de 99% de que el tiempo de

terminación de la prueba se encuentra entre 62,36 y 79,64 minutos.



176

Ejercicio

de

revisión

Se desea estimar el consumo promedio de leche de los habitantes de un

pueblo rural. En una muestra de 15 pobladores se obtuvo un consumo

medio por día de 288 ml y se conoce que la desviación estándar es de 52

ml. Determine los intervalos de confianza del 90% para el verdadero

promedio del consumo diario de leche de esta población.

Solución:

Se tiene que n = 15, x = 288 ml, σ = 52 ml y una confianza: 1 – α = 0,90.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,90, entonces α/2 = 0,05. Como n < 30

y σ conocida, se debe usar z. De la tabla de la distribución normal estándar

z con α/2 equivale a z = 1,645.

Luego se sustituye en la fórmula del intervalo de confianza cuando n < 30

y σ conocida:

nZx /

15/52645,1288


91.26515/52645,1288 iL


09.31015/52645,1288 sL

En conclusión, se tiene una confianza de 90% de que el promedio del

consumo diario de leche de esta población se encuentra entre 265.91 y

310.09 ml.

Ejemplo En una muestra de 42 personas que se han sometido a un trasplante de

corazón se ha obtenido un tiempo medio de sobrevivencia (en años) de

5,25 años con una desviación estándar muestral de 1,75 años. Hallar un

intervalo de confianza del 95 por ciento para el promedio de vida de todas

las personas que se han sometido a un trasplante de corazón.

Solución Se tiene que n = 42 personas, x = 5,25 años, s = 1,75 años y una

confianza: 1 – α = 0,95.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α/2 = 0,025. Como n 30

y σ desconocida se debe usar z. De la tabla de la distribución normal

estándar z con α/2 equivale a z = 1,96.




177

y σ desconocida:

nszx /

42/75,196,125,5


72,442/75,196,125,5 iL


78,542/75,196,125,5 sL

En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que el promedio de vida

de todas las personas que se han sometido a un trasplante de corazón se

encuentra entre 4,72 y 5,78 años.

Ejercicio

de

revisión

Una empresa productora de harina de trigo empaca paquetes que deben

contener un kilogramo de producto. En una muestra de 60 paquetes se

obtuvo un peso medio de 992 gramos y una desviación estándar muestral

de 44 gramos. Calcule los intervalos de confianza del 98% para el peso

medio de los paquetes de harina.

Solución:

Se tiene que n = 60 paquetes, x = 992 gramos, s = 44 gramos y una

confianza: 1 – α = 0,98.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,98, entonces α/2 = 0,01. Como n 30

y σ desconocida se debe usar z. De la tabla de la distribución normal

estándar z con α/2 equivale a z = 2,33.


y σ desconocida:

nszx /

60/4433,2992


76,97860/4433,2992 iL


26,100560/4433,2992 sL



178

En conclusión, se tiene una confianza de 98% de que el peso medio de los

paquetes de harina se encuentra entre 978,76 y 1005,26 gramos.

Ejemplo El ciclo medio de vida de una muestra aleatoria de 12 focos es de 2000

horas, con una desviación estándar muestral de 200 horas. Se supone que

la vida media de los focos se distribuye normalmente. Determine los

intervalos de confianza del 95% para la vida media de los focos.

Solución Se tiene que n = 10, x = 2000, s = 200 y una confianza: 1 – α = 0,95.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, como n < 30 y σ desconocida, se

debe usar t. Después se busca en la tabla de la distribución t de Student,

con una significancia de 0,05, con dos colas y grados de libertad gl = n 1

= 10 1 = 9, el valor de t equivale a t = 2,262.


y σ desconocida:

nstx /

10/200262,22000


94,18568/200262,22000 iL


06,21438/200262,22000 sL

En conclusión, se tiene una confianza de 95% de que la vida media de los

focos se encuentra entre 1856,94 y 2143,06 horas.

Ejercicio

de

revisión

En una encuesta aplicada a 25 personas residentes de la ciudad capital se

encontró que, por semana, dedicaban un promedio de 4,8 horas a la

lectura, tanto de libros, revistas, periódicos y otros materiales. Se conoce

que la desviación estándar muestral es de 3,5 horas/semana. Determine los

intervalos de confianza del 99% para el número de horas promedio que las

personas dedican a la lectura.



179

Solución:

Se tiene que n = 25, x = 4,8, s = 3,5 y una confianza: 1 – α = 0,99.

Dado que la confianza es: 1 – α = 0,99, n < 30 y σ desconocida, se debe

usar t. Después se busca en la tabla de la distribución t de Student, con una

significancia de 0,01, con dos colas y grados de libertad gl = n 1 = 25 1

= 24, el valor de t equivale a t = 2,797.


y σ desconocida:

nstx /

24/5,3797,28,4


80,224/5,3797,28,4 iL


80,624/5,3797,28,4 sL

En conclusión, se tiene una confianza de 99% de que el número de horas

promedio que las personas dedican a la lectura se encuentra entre 2,80 y

6,80 horas.

Uso de Minitab para calcular intervalos de confianza usando la distribución t

Ejemplo Utilice Minitab para resolver el problema: El ciclo medio de vida de una

muestra aleatoria de 12 focos es de 2000 horas, con una desviación

estándar muestral de 200 horas. Se supone que la vida media de los focos

se distribuye normalmente. Determine los intervalos de confianza del 95%

para la vida media de los focos.

Solución Se tiene que n = 10, x = 2000, s = 200 y una confianza: 1 – α = 0,95.

En Minitab se da clic en el menú Estadística, se elige Estadística básica y

luego se selecciona t de 1 muestra. Ahí se completa el cuadro de diálogo

siguiente:



180

Se marca la opción de datos resumidos y se completan los datos tal como

se muestra en la imagen. En el botón Opciones se indica el nivel de

confianza, que en este caso es 95%. La opción Hipótesis alterna debe

dejarse como "no es igual a". Luego se da clic en Aceptar y el resultado se

obtiene en la ventana Sesión:

En la salida en la ventana Sesión se observa IC de 95%, que corresponde al

intervalo de confianza del 95%, y que este es 1856,9 a 2143,1.

Ejemplo Se sabe que 20 fusibles que fueron sometidos a una sobrecarga del 20% se

fundieron en un tiempo promedio de 10,63 minutos, con desviación

estándar de 2,48 minutos.

a) Si se utiliza x = 10,63 como estimación puntual de la media de tiempo

poblacional, ¿de cuánto es el error máximo si se desea con una confianza

del 95%?

b) Determine un intervalo de confianza del 95% para el promedio

verdadero del tiempo de fusión.



181

Solución Se tiene que n = 20, x = 10,63 minutos, s = 2,48 minutos y una confianza:

1 – α = 0,95.

a) Dado que la confianza es: 1 – α = 0,95, entonces α/2 = 0,025. Como n <

30 y σ desconocida se debe usar t en vez de Z, con gl = 20 – 1 = 19. De la

tabla t con α/2 = 0,025 y gl = 19, se obtiene tα/2 = 2,093.

De ahí el error: E = tα/2s/ n = 2,093 2,48/ 20 = 1,16 minutos. Se

puede afirmar con una confianza del 95% que la media de la muestra se

aparta de la media poblacional a lo sumo en 1,16 minutos.

b) Si se supone que la población de donde se tomó la muestra es normal, el

intervalo de confianza está dado por nstx /2/ porque n < 30 y σ

desconocida.

En la parte (a) ya se obtuvo el valor del error de la estimación por lo que el

intervalo es 1.16, por lo que los intervalos estarán dados por 10,63 ± 1,16,

de donde se obtiene 10,63 – 1.16 = 9,47 y 10,63 + 1,16 = 11,79. Así se

puede concluir que:

P(9,47 < µ < 11,79) = 0,95

Es decir, 95 de cada 100 promedios calculados con muestras de 20

elementos tendrán un valor de entre 9,47 y 11,79 minutos.

¿Qué pasaría si se supiera que la población no es normal? Entonces se

aplican los intervalos dados por nskx / , donde la confianza está

dada por 1 – 1/k2. Es decir:

1 – 1/k2 = 0,95

Despejando k:

1/k2 = 0,05

1/ 0,05 = 20 = k2

k = 4,472

Calculando los límites:

11,13

15,848,263,102048,2472,463,10/ nskx

Entonces:

P(8,15 < µ < 13,11) = 0,95



182

Ejemplo Se toma una muestra de 500 varones adultos y se encuentra que 156 son

fumadores. Encuentre los límites de confianza del 99% para la proporción

de fumadores varones.

Solución Se tiene que x = 156 fumadores de una muestra de n = 500 varones

adultos, así que la proporción muestral p sería:

p = x/n = 156/500 = 0,312

por lo que q = 1 – p = 1 – 0,312 = 0,688.

La confianza del 99%, es decir, 1 – α = 0,99, α = 0,01, α/2 = 0,005, así que

de la tabla se obtiene z = 2,58, según la distribución normal.

Calculando el intervalo con p = 0,312, q = 0,688, z = 2,58 y n = 500:

p z npq = 0,312 2,58 500688,0312,0 =

3653,0

2586,0

Se tiene una confianza del 99% de que la proporción de fumadores está

entre 25,86% y 36,53%.

Ejemplo El departamento de ventas de una empresa sostiene que se entregan en la

fecha fijada con el cliente el 95% de los pedidos. Si al revisar las fechas de

entrega de 200 órdenes se encontró que 184 fueron entregadas a tiempo,

con los datos de la muestra encuéntrese un intervalo del 95% de confianza

para la proporción verdadera de pedidos entregados a tiempo. Debe

señalarse el error de la estimación.

Solución Se pide el intervalo para la proporción poblacional p z npq con una

confianza del 95%, es decir, 1 – α = 0,95, α = 0,05, α/2 = 0,025, así que de

la tabla se obtiene z = 1,96, según la distribución normal.

Además se tiene que x = 184 entregas a tiempo de una muestra de n = 200

entregas, así que la proporción muestral p sería:

p = x/n = 184/200 = 0,92

por lo que q = 1 – p = 1 – 0,92 = 0,08.

Calculando el intervalo con p = 0,92, q = 0,08, z = 1,96 y n = 200:

p z npq = 0,92 1,96 20008,092,0 = 0,92 0,038

El error es 0,038 y el intervalo queda:



183

P(0,882 p 0,958) = 0,95

Es decir, se tiene una confianza de 95% de que la proporción de pedidos

entregados a tiempo se encuentra entre 88,2% y 95,8%.

Ejercicio

de

revisión

Una empresa desea lanzar un nuevo servicio por internet al mercado y para

ello requiere conocer la proporción de hogares de la zona que posee acceso

a internet. En una muestra 120 hogares, 70 indicaron que poseían algún

tipo de conexión a la red. Determine los intervalos de confianza del 99%

para la proporción de hogares de la zona con acceso a internet.

Solución:

Se pide el intervalo para la proporción poblacional p z npq con una

confianza del 99%, es decir, 1 – α = 0,99, α = 0,01, α/2 = 0,005, así que de

la tabla se obtiene z = 2,58, según la distribución normal.

Además se tiene que x = 70, n = 120, entonces la proporción muestral p

sería:

p = x/n = 70/120 = 0,5833

por lo que q = 1 – p = 1 – 0,5833 = 0,4167.

Calculando el intervalo:

p z npq = 0,5833 2,58 1204167,05833,0

Los límites son Li = 0,4672 y Ls = 69,94.

Es decir, se tiene una confianza de 99% de que la proporción de hogares de

la zona con acceso a internet se encuentra entre 46,72% y 69,94%.



184

Uso de Minitab para calcular intervalos de confianza para proporciones

Ejemplo En una muestra de 1000 adultos y se encuentra que 198 estarán de acuerdo

con la despenalización de la marihuana. Encuentre los límites de confianza

del 99% para la proporción de adultos que apoyarían la despenalización de

la marihuana.

Solución Se tiene que x = 198 eventos de una muestra de n = 1000 adultos, así que

en el menú Estadísticas / Estadística básica / 1 Proporción se completa el

cuadro, seleccionando la opción Datos resumidos con 198 eventos y 1000

ensayos:

Luego en el botón Opciones se indica el nivel de confianza del 99% y se

debe marcar la opción que dice Utilice la prueba y el intervalo basado en la

distribución normal:

El resultado se obtiene en la ventana Sesión. Se concluye que se tiene una

confianza del 99% de que la proporción de adultos que está de acuerdo con

la despenalización de la marihuana está entre 16,55% y 23,05%.



185




1. Un ejemplo de inferencia estadística es:

(a) Elaborar gráficas para un conjunto de datos muestrales

(b) Calcular la media de la muestra

(c) Estimar un parámetro poblacional a partir de datos muestrales

(d) Calcular la media de una variable a partir de datos poblacionales

2. Un valor que describe una población se denomina:

(a) Parámetro (b) Estadístico

(c) Estimador (c) Observación

3. Luis está tratando de estimar el gasto promedio en alimentación de las familias de su país.

Para resolver este problema se puede:

(a) Entrevistar a todas y cada una de las familias del país

(b) Seleccionar algunas familias "modelo" según el criterio de Luis

(c) Seleccionar una muestra aleatoria de familias de todo el país

(d) Seleccionar una muestra de familias cercanas al lugar donde Luis vive

4. De los siguientes, no es un ejemplo de un parámetro:

(a) Media (c) Desviación estándar s

(b) Proporción P (d) Varianza 2

5. Un buen estimador debe ser insesgado, lo cual consiste en:

(a) El valor esperado del estadístico es igual al valor del parámetro que se estima

(b) Se utiliza toda la información proporcionada por la muestra en lo que se refiere al

parámetro

(c) La distribución del estimador está concentrada alrededor del parámetro

(d) La precisión del estimador será mayor para tamaños de muestra grandes

6. Un buen estimador debe ser consistente, lo cual consiste en:



parámetro



7. Un buen estimador debe ser de varianza mínima, lo cual consiste en:



parámetro





186

8. Si se toman muestras aleatorias de n elementos de una población y se calculan los

promedios es de esperar que:

(a) El valor en cada caso sea igual a valor poblacional

(b) Los valores de las medias no sean todos iguales

(c) Los valores de las medias sean todos iguales

(d) La diferencia entre una media y otra no se atribuya al azar

9. Si se toman muestras aleatorias de n elementos de una población, se calculan los

promedios, se ponen los promedios muestrales en una tabla de frecuencia y se hace un

histograma es de esperar que el gráfico:

(a) Se parezca a una curva normal solo si la población original es normal

(b) Se parezca a una curva normal aun cuando la población original no sea normal

(c) No se parezca a una curva normal, excepto por casualidad

(d) Se parezca a la distribución original de los datos de la población

10. El error estándar consiste en:

(a) La media de los errores muestrales

(b) La desviación estándar de los errores de muestreo

(c) La media de los datos estandarizados

(d) La desviación estándar de las medias muestrales

11. Se sabe que una variable x tiene una desviación estándar de 10. Si se toma una muestra de

16 unidades, entonces el error estándar equivale a:

(a) 2,5 (b) 4 (c) 0,625 (d) Ninguna de las anteriores

12. Se sabe que una variable x tiene una desviación estándar de 10. Si se toma una muestra de

16 unidades de una población de 70, entonces el error estándar equivale a:

(a) 2,5 (b) 2,21 (c) 0,5529 (d) Ninguna de las anteriores

13. La diferencia en, valor absoluto, entre el valor de la media muestral y la media

poblacional se conoce como:

(a) Error estándar (b) Error de la estimación

(c) Error absoluto medio (d) Ninguna de las anteriores

14. Cuando se utiliza la media muestral como estimación de la media poblacional µ, la

probabilidad de que esta estimación no falle es:

(a) La media poblacional

(b) El error estándar

(c) El error estimado

(d) El nivel de confianza

15. Se desea estimar la media poblacional de una variable x cuya desviación estándar

poblacional es de 5 unidades. En una muestra de tamaño 45 se obtiene una media de 63

unidades, entonces el valor de z necesario para obtener los intervalos de confianza del 95%

es:

(a) 1,645 (b) 0,95 (c) 1,96 (d) 2,58



187



unidades, entonces el al obtener los intervalos de confianza del 95%, el límite inferior es:




unidades, entonces el al obtener los intervalos de confianza del 95%, se concluye que:

(a) Con una confianza del 95% la media poblacional es 63 unidades

(b) Con una confianza del 95% la media poblacional está entre 61,77 y 64,23 unidades

(c) Con una confianza del 95% la media poblacional es mayor que 61,77 unidades

(d) Con una confianza del 95% la media poblacional está entre 61,54 y 64,46 unidades



unidades, entonces al obtener los intervalos de confianza del 90%, el límite superior es:

(a) 87 (b) 85,26 (c) 88,74 (d) Ninguna de las anteriores

19. Se desea estimar la media poblacional de una variable x distribuida normalmente cuya

desviación estándar poblacional es de 20 unidades. En una muestra de tamaño 12 se obtiene

una media de 125 unidades, al obtener los intervalos de confianza del 99%, un investigador

realizó las siguientes dos afirmaciones:

A. Se debe usar un valor de z de 2,58.

B. El límite inferior es 107,07.


(a) Ambas son verdaderas (b) Solo A es verdadera

(c) Ambas son falsas (d) Solo B es verdadera

20. Se desea estimar la media poblacional de una variable x distribuida normalmente. En una

muestra de tamaño 12 se obtiene una media de 125 unidades y una desviación estándar de 20

unidades, al obtener los intervalos de confianza del 99%, un investigador realizó las siguientes

dos afirmaciones:

A. Se debe usar un valor de t de 3,11.

B. El límite superior es 142,93.






188

21. Se desea estimar la media poblacional de una variable x distribuida normalmente. En una

muestra de tamaño 20 se obtiene una media de 3200 unidades y una desviación estándar de

450 unidades, al obtener los intervalos de confianza del 95%, un investigador realizó las

siguientes dos afirmaciones:

A. Se debe obtener el valor de t con 21 grados de libertad.

B. Los límites de confianza son 2989,39 y 3410,61 unidades.




22. Se desea estimar la media poblacional de una variable x. En una muestra de tamaño 80 se

obtiene una media de 30 unidades y una desviación estándar de 4,5 unidades, al obtener los

intervalos de confianza del 99%, un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:


B. El valor de la media poblacional es superior a 28,70.




23. Al estimar la media poblacional de una variable x, en una muestra de tamaño 50 se obtiene

una media de 1500 unidades y una desviación estándar de 250 unidades. Al obtener los

intervalos de confianza del 95%, es verdadero que:

(a) Con certeza la media está entre 1430,70 y 1569,30

(b) Con una confianza del 95% la media poblacional es mayor que 1430,70 unidades

(c) Con una confianza del 95% la media poblacional está alrededor de 1500 unidades

(d) Con una confianza del 95% la media poblacional está entre 1430,70 y 1569,30 unidades

24. Al estimar la media poblacional de una variable x, en una muestra de tamaño 500 se

obtiene una media de 2150 unidades y una desviación estándar de 600 unidades. Al obtener

los intervalos de confianza del 90% se obtuvo como límite inferior 2105,86 y como límite

superior 2194,14, entonces es verdadero que:

(a) La media está entre 2105,86 y 2194,14

(b) Con una confianza del 90% la media poblacional es menor que 2194,14 unidades

(c) La media poblacional será mayor que 2194,14 con una probabilidad de 5%

(d) La media poblacional estará entre 2105,86 y 2194,14 unidades en 90 de cada 100 muestras

25. Si x es el número de veces que ha ocurrido un evento en una muestra n pruebas, entonces

el cociente x/n representa:

(a) La proporción poblacional (b) La proporción muestral

(c) La probabilidad de fracaso (d) Ninguna de las anteriores



189

26. Se desea estimar una proporción poblacional de una cierta variable. En una muestra de

tamaño 120 se obtiene un conteo de 90 eventos. Al obtener los intervalos de confianza del

99%, un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:


B. No se pueden calcular los intervalos porque no se tiene la desviación estándar.







A. La proporción muestral es 0,75.

B. Los intervalos de confianza del 99% son 0,6482 y 0,8518.





tamaño 12 se obtiene un conteo de 5 eventos. Al obtener los intervalos de confianza del 90%,

un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:

A. Se emplea un valor de t con 11 grados de libertad.

B. El límite superior es de 65,08.







A. La proporción poblacional es 62,5%.

B. El límite inferior es de 59,76%.

Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es incorrecto que:





190

30. Se desea estimar el peso promedio de las galletas que se elaboran en una fábrica. En una

muestra de tamaño 1100 paquetes de galletas se obtiene una media de 195 gramos con una

desviación estándar de 45 gramos. La empresa ha especificado que el peso de cada paquete de

galletas debe ser 200 gramos. Al obtener los intervalos de confianza del 95%, el encargado

del control del proceso realizó las siguientes dos afirmaciones:

A. No hay problema con el peso de las galletas, el 95% de las galletas tiene un peso de 195

grs.

B. El peso especificado de 200 gramos está fuera del intervalo de confianza del 95%.




31. Se desea estimar el peso promedio de las galletas que se elaboran en una fábrica. En una

muestra de tamaño 10 paquetes de galletas se obtienen los siguientes pesos (en gramos):

190 210 201 196 197 185 176 208 200 191

La empresa ha especificado que el peso de cada paquete de galletas debe ser 200 gramos. Al

obtener los intervalos de confianza del 95%, el encargado del control del proceso realizó las


A. El 95% de las galletas tiene un peso entre 188,01 y 202,79 gramos.

B. El peso especificado de 200 gramos está dentro del intervalo de confianza del 95%.




32. Se desea estimar el peso promedio de las galletas que se elaboran en una fábrica. Se sabe

que el peso medio de los paquetes de galletas se distribuye normalmente y que tiene una

desviación estándar de 15 gramos. En una muestra de tamaño 10 paquetes de galletas se

obtienen los siguientes pesos (en gramos):

190 210 201 196 197 185 176 208 200 191




A. El 95% de las galletas tiene un peso entre 186,10 y 204,70 gramos.

B. El peso especificado de 200 gramos está fuera del intervalo de confianza del 95%.






191

33. Se desea estimar proporción de las galletas que se elaboran en una fábrica cuyo peso está

por debajo de la especificación. En una muestra de tamaño 10 paquetes de galletas se obtienen

los siguientes pesos (en gramos):

190 210 201 196 197 185 176 208 200 191




A. El límite superior del 95% es un peso de 90,36 gramos.

B. Con una confianza del 95% entre 29,6% y 90,4% de las galletas pesan menos de 200

grs.




34. En un periódico se presentan los resultados de una encuesta aplicada a una muestra

aleatoria de 1200 adultos, de los cuales 610 indicaron que la labor del gobierno es buena o

muy buena. El estudio se hizo con una confianza del 95%. Según el autor del artículo la

mayoría de los ciudadanos consideran que la labor del gobierno es buena o muy buena. Con

respecto a esa afirmación del autor del artículo un crítico realizó la siguiente aseveración: "El

autor se ha equivocado, ya que, 1. Con una confianza del 95% la proporción de ciudadanos de

ciudadanos que aprueban la gestión del gobierno podría estar entre 48% y 53,6%, con lo cual

es muy probable que el porcentaje de ciudadanos que están de acuerdo con la gestión del

gobierno sea inferior al 50%". Con respecto a esta situación es correcto que:

(a) El autor está en lo correcto y el crítico está equivocado

(b) El autor está equivocado y el crítico también

(c) El autor está equivocado y el crítico está en lo correcto

(d) Falta información para indicar quién está equivocado y quién no

Respuestas a los ejercicios de selección única:

1. c 2. a 3. c 4. c 5. a

6. d 7. c 8. b 9. b 10. d

11. a 12. b 13. b 14. d 15. c

16. b 17. d 18. c 19. b 20. a

21. d 22. b 23. d 24. d 25. b

26. b 27. a 28. d 29. b 30. c

31. a 32. b 33. d 34. c



192

9 .

Muestreo

OBJETIVOS:


1. Explicar la importancia y necesidad de trabajar con muestras para conocer información

sobre la población

2. Describir algunas aplicaciones empresariales del muestreo

3. Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar la media poblacional y proporción

poblacional

4. Describir las principales técnicas de muestreo probabilístico



193

Ejemplo Suponga que se desea estimar el gasto promedio diario que realizan los

turistas estadounidenses cuando visitan el país. Por un estudio anterior se

sabe que esta variable tiene una desviación estándar de $46,6. Además, se

desea que la estimación tenga un error máximo de $10 y con una confianza

del 95%. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?

Solución Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del

95% corresponde un valor de z de 1,96. Así que se plantea:

Desviación estándar de la población: σ = $46,6

Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = $10

Valor de z correspondiente al nivel de confianza del 95%: z = 1,96

Sustituyendo los valores en la fórmula:

8442,8310

96,16,4622

E

zn

Generalmente cuando se determine el tamaño de muestra se va a redondear

hacia arriba.

De acuerdo con el resultado anterior, se requiere una muestra de 84 turistas

estadounidenses para efectuar una estimación del gasto promedio diario en

el país con una confianza del 95% y con una discrepancia máxima entre el

valor estimado y el valor real de $10.

Ejercicio

de

revisión

Se desea estimar el salario promedio de los operarios industriales del país.

Se conoce que la desviación estándar de estos salarios es de $236. Se

requiere una estimación con un error máximo de $50 y una confianza del

99%. ¿De qué tamaño debe ser la muestra?

Solución:

Se plantea:

Desviación estándar de la población: σ = $236

Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = $50



14929,14850

58,223622

E

zn

Se requiere una muestra de 149 operarios.



194

Ejemplo Una empresa posee un total de 800 camiones que se emplean para repartir

sus productos a nivel nacional. Se desea estimar mediante una muestra

aleatoria de los camiones para determinar la cantidad de kilómetros

recorridos mensualmente. Por otro estudio realizado hace un tiempo, se

conoce que esta variable tiene una desviación estándar de 380 kilómetros.

La estimación debe tener un error máximo de 30 kilómetros y una

confianza del 95%. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?

Solución Dado que la población es finita, entonces la determinación del tamaño de

muestra se efectuará en dos etapas. Primero se calculará el tamaño de

muestra como si la población fuera infinita. Luego se aplicará el factor de

corrección para poblaciones finitas.

Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del

95% corresponde un valor de z de 1,96. Así que se plantea:

Desviación estándar de la población: σ = 380 km.

Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 30 km.


Tamaño de la población: 800 camiones


61736,61630

96,138022

E

zn

Ahora se aplica el factor de corrección tomando n0 = 617 y N = 800:

34934,348

800

6171

617

1 0

0

N

n

nn

De acuerdo con el resultado anterior, se requiere una muestra de 349

camiones para estimar la cantidad de kilómetros recorridos mensualmente

con una confianza del 95% y con un error máximo de 30 km.

Ejercicio

de

revisión

El departamento de compras de una empresa grande desea estimar qué

porcentaje de sus 600 proveedores ha actualizado su información, pues el

mes pasado se envió una solicitud a todos los proveedores enviando un

formulario para mantener actualizados todos los datos. ¿De qué tamaño

debe ser la muestra si se quiere una confianza en la estimación del 95% y

que el error no exceda el 5%?



195

Solución:

Los datos del problema son:

Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 0,05


Aproximación de la proporción poblacional: p = 0,5

Tamaño de la población: 600 proveedores


38516,38405,0

96,1)5,01(5,0)1(

22

E

zppn

Ahora se aplica el factor de corrección tomando n = 385 y N = 600:

23520,234

600

3851

385

1

N

n

nn

Ejemplo Un fabricante de impresoras desea estimar la cantidad promedio semanal

de hojas de papel que se imprimen en distintas oficinas públicas del país.

Por un estudio anterior se sabe que esta variable tiene una desviación

estándar de 200 hojas. Además, se desea que la estimación tenga un error

máximo de 100 hojas y con una confianza del 95%. ¿Qué tamaño de

muestra se necesita?

Solución Con base en los datos anteriores, se plantea:

Desviación estándar de la población: σ = 200 hojas

Precisión deseada o nivel máximo de error permitido: E = 100 hojas

Nivel de confianza: 95%

Aplicando los valores en Minitab:



196

El software genera en resultado en Sesión:

De acuerdo con el resultado anterior, se requiere una muestra de 16

oficinas para efectuar la estimación con una confianza del 95% y con una

discrepancia máxima entre el valor estimado y el valor real de 100 hojas.

Ejemplo Una compañía desea conocer el porcentaje de consumidores de ingresos

medios y altos que estarían dispuestos a efectuar compras por internet en el

transcurso de los próximos 6 meses. No se conoce ninguna estimación

previa de este valor y se desea que la estimación tenga un error máximo de

3% y una confianza del 99%. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?

Solución Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del

99% corresponde un valor de z de 2,58. Además, como no se tiene una

estimación de p, se empleará el valor de 0,5. Entonces se plantea:




197




849.103,0

58,2)5,01(5,0)1(

22

E

zppn

Es decir, es necesaria una muestra de 1.849 personas de ingresos medios y

altos para efectuar una estimación del porcentaje de consumidores que

estarían dispuestos a efectuar compras por internet en el transcurso de los

próximos 6 meses, estimación que se realizará con una confianza del 99%

y con un error máximo de 3%.

Ejercicio

de

revisión

Un candidato político requiere una estimación del porcentaje de electores

que votaría por él en las próximas elecciones presidenciales. Desea que el

error no exceda el 2,8% y una confianza del 95%. ¿Cuál debe ser el

tamaño de la muestra?

Solución:

Se plantea:



Aproximación de la proporción poblacional: P = 0,5


1225028,0

96,1)5,01(5,0)1(

22

E

zppn

Ejemplo Una empresa desea conocer la proporción de sus empleados que estarían

de acuerdo en un nuevo programa de beneficios. La compañía tiene un

total de 350 colaboradores y quiere hacer la estimación con un error

máximo de 5% y una confianza del 95%. Se estima, por un estudio piloto,

que esta proporción podría ser del 40%. ¿Qué tamaño de muestra se

necesita?

Solución Dado que la población es finita, entonces la determinación del tamaño de

muestra se efectuará en dos etapas. Primero se calculará el tamaño de

muestra como si la población fuera infinita. Luego se aplicará el factor de

corrección para poblaciones finitas.



198

Con base en los datos anteriores, se tiene que para el nivel de confianza del

95% corresponde un valor de z de 1,96. Los datos del problema son:




Tamaño de la población: 350 empleados


36979,36805,0

96,1)4,01(4,0)1(

22

E

zppn

Ahora se aplica el factor de corrección tomando n0 = 369 y N = 350:

18058,179

350

3691

369

1 0

0

N

n

nn

Es necesaria una muestra de 180 empleados para tener una estimación de

la proporción de empleados que estarían de acuerdo en un nuevo programa

de beneficios con una confianza del 95% y con un error máximo del 5%.

Ejercicio

de

revisión

Un investigador está investigando la prevalencia de diabetes en adultos

mayores de 30 años en una población de 2000 personas. Desea un nivel de

confianza de 95% y un error máximo de 3,5% en su estimación. ¿De qué

tamaño debe ser su muestra?

Solución:

Los datos del problema son:




Tamaño de la población: 2000 personas


784035,0

96,1)5,01(5,0)1(

22

E

zppn

Ahora se aplica el factor de corrección tomando n = 784 y N = 2000:



199

56421,563

2000

7841

784

1

N

n

nn

Ejemplo Un auditor desea verificar si todos los cheques emitidos en una compañía

satisfacían los requerimientos de control establecidos por la gerencia.

Durante el mes pasado se emitieron 81 cheques y la muestra debe contener

10 cheques. ¿Cuáles cheques se seleccionarían si se aplica un muestreo

simple al azar y usando la tabla de números aleatorios anterior (tome como

punto inicial la primera columna y segundo renglón de la tabla)?

Solución Para seleccionar la muestra de 10 cheques de acuerdo con un muestreo

simple al azar, se toman 10 números aleatorios. De acuerdo con lo

establecido en el ejercicio, el punto inicial sería el número 37273. Como

solo se extendieron 98 cheques, que es un número de 2 dígitos, entonces se

requieren 10 números de 2 cifras entre 1 y 81. En la tabla dada estos

número serían 37, 14, 01, 25, 50, 23, 52, 53, 55 y 36 (note que el 93 está

fuera del rango requerido).

Ahora se buscan los cheques con los 10 números seleccionados y el

auditor realiza su verificación.

Ejemplo Utilice Excel para generar una muestra simple al azar de 5 unidades de una

población total de 20 unidades.

Solución Tal como se ha mencionado en el muestreo es necesario generar números

aleatorios. Las funciones ALEATORIO y ALEATORIO.ENTRE se

pueden emplear para generar números aleatorios para realizar el muestreo.

Utilice Excel para generar números aleatorios para seleccionar una muestra

de tamaño 5 de una población total de tamaño 20.

Para resolver este ejercicio se va a emplear la función

ALEATORIO.ENTRE la cual genera números aleatorios entre dos valores,

un límite inferior y otro superior, que en este caso serían 1 y 20,

respectivamente, pues se desea obtener números al azar entre 1 y 20,

porque la población es de tamaño 20.

En una celda de la hoja de Excel, por ejemplo, la celda A1 introduce la

función:

= ALEATORIO.ENTRE(1;20)



200

Y presiona la tecla Intro (Enter). Como se quiere una muestra de tamaño 5,

entonces se copia la fórmula 5 veces:

En este caso se seleccionarían, según la imagen, los elementos 2, 16, 6, 3 y

5 de la población para conformar la muestra.

Ejemplo Una empresa tiene 700 empleados y se desea tomar una muestra de 20 de

ellos para aplicar un cuestionario sobre la opinión de los colaboradores

sobre los resultados obtenidos luego de la implementación de un nuevo

sistema informático. ¿Cómo se seleccionarían los miembros de la muestra

si se emplea el muestreo aleatorio sistemático?

Solución Para poder seleccionar la muestra es necesario que previamente se haya

preparado una lista con los nombres de los 700 empleados, la cual servirá

de marco muestral.

Como la población es de 700 personas, N = 700, y se tomará una muestra

de 20 empleados, n = 20, entonces:

3520

700

n

Nk

Luego se busca el punto de inicio. Para esto se busca un número aleatorio

entre 1 y 35. Suponga que se ha empleado una tabla de números aleatorios

y que se ha obtenido el 8. Entonces, se selecciona al octavo empleado de la

lista. Ese sería el primer integrante de la muestra.

Para obtener el segundo elemento en la muestra, al 8 se le suma la

constante k, es decir, se le suma 35, por lo que el segundo miembro de la

muestra será el número 43 de la lista, pues 8 + 35 = 43.



201

De manera similar se obtendrá el tercer elemento en la muestra. A 43 se le

suma la constante k, de modo que se seleccionará al empleado número 78

de la lista, ya que 43 + 35 = 78.

Del mismo modo se seleccionarán los siguientes miembros de la muestra:

Elemento

de la

muestra

Elemento

seleccionado de

la población

Elemento

de la

muestra

Elemento

seleccionado de

la población

1 8 11 323 + 35 = 358

2 8 + 35 = 43 12 358 + 35 = 393

3 43 + 35 = 78 13 393 + 35 =428

4 78 + 35 = 113 14 428 + 35 = 463

5 113 + 35 = 148 15 463 + 35 = 498

6 148 + 35 = 183 16 498 + 35 = 533

7 183 + 35 = 218 17 533 + 35 = 568

8 218 + 35 = 253 18 568 + 35 = 603

9 253 + 35 = 288 19 603 + 35 = 638

10 288 + 35 = 323 20 638 + 35 = 673

De ese modo vemos como se ha seleccionado a los 20 miembros de la

muestra. Luego se buscan los nombres respectivos en la lista y se aplica el

cuestionario a cada uno de ellos.

Ejemplo Los empleados de una empresa se pueden dividir en estratos por su

antigüedad de laborar en la compañía. Del total de 1.000 empleados, hay

200 empleados con menos de 5 años de trabajar para la compañía, hay 500

con una antigüedad de 5 años o más pero menos de 10 años en la empresa,

y 300 con una antigüedad de 10 o más años. Se va a seleccionar una

muestra de 50 empleados para conocer la opinión de los empleados sobre

la posibilidad de implementar la modalidad del teletrabajo en la empresa.

¿Cuántos empleados deben seleccionarse de cada estrato?

Solución Para establecer cuántos empleados deben seleccionarse de cada uno de los

estratos establecidos, si se emplea la afijación proporcional, primero se

debe determinar la frecuencia relativa de cada uno de los estratos en la

población:

Estrato Antigüedad

Número de

empleados

Frecuencia

relativa

Muestra

por estrato

1 Menos de 5 años 200 0,20 10

2 De 5 a 10 años 500 0,50 25

3 10 años o más 300 0,30 15

Total 1.000 1,00 50



202

Tal como se observa en la tabla, para obtener la frecuencia relativa de cada

estrato se divide el número de elementos del estrato entre el total de la

población:

Estrato 1: 200/1.000 = 0,20

Estrato 2: 500/1.000 = 0,50

Estrato 3: 300/1.000 = 0,30

Observe que la suma de las frecuencias relativas debe ser exactamente

uno.

Luego para determinar el número de empleados que se incluirán en la

muestra por cada estrato se multiplica cada frecuencia relativa por el

tamaño de muestra, que en este caso es 50:

Estrato 1: 0,20 x 50 = 10

Estrato 2: 0,50 x 50 = 25

Estrato 3: 0,30 x 50 = 15

La suma de los tamaños de muestra por estrato debe ser igual al tamaño de

la muestra total, que en este caso es 50.

Podemos decir que se requiere incluir en la muestra a 10 empleados con

una antigüedad de menos de 5 años, a 25 con una antigüedad de más de 5

años pero menos de 10 años en la empresa, y a 15 con una antigüedad de

10 o más años de laborar para la empresa.

Ejemplo En un proyecto de investigación se desea conocer el grado de satisfacción

laboral de los profesores universitarios del país. Se requiere una muestra

total de 300 profesores, pero no se posee una lista de todos los profesores

de las universidades del país. ¿Cómo podría obtenerse la muestra en este

estudio?

Solución Dado que ya está establecido el tamaño de la muestra, el problema consiste

en seleccionar los 300 miembros de la muestra. Como no se cuenta con un

marco muestral, podría emplearse el muestreo por conglomerados. Para

ello se toma una lista de las universidades del país. Cada universidad será

una unidad primaria, es decir, se seleccionará una muestra aleatoria de

varias universidades, para luego tomar una muestra de profesores de cada

una de ellas. Cada muestra de profesores se puede obtener por muestreo

simple al azar o muestreo sistemático.



203




1. La unidad estadística es:

(a) Una porción o parte de la población de interés

(b) La unidad de interés en un estudio estadístico

(c) La unidad básica en términos de la cual se aplica una técnica de muestreo

(d) La unidad que proporciona los datos relacionados con la unidad de estudio

2. La unidad de información en un estudio es:





3. La unidad de muestreo es:





4. Un banco está estudiando el nivel de satisfacción de los clientes con sus servicios y para tal

fin realizará un estudio por muestreo. Al respecto el investigador a cargo expresó que:

A. La unidad de estudio y la unidad de información son las mismas en este caso.

B. La unidad de muestreo es un cliente del banco.




5. Una trabajadora social desea investigar algunos aspectos relacionados con la calidad de

vida de los adultos mayores que residen en hogares de ancianos. Para tal fin selecciona una

muestra aleatoria y visita varios hogares de ancianos para valorar si dichas organizaciones

poseen planes e infraestructura adecuados. Al respecto la trabajadora social considera que:

A. La unidad de información corresponde a los ancianos que residen en el hogar visitado.

B. La unidad de muestreo corresponde al director del hogar visitado.




6. Una nutricionista está investigando la calidad de la nutrición que reciben los niños de una

escuela. Para este fin selecciona una muestra aleatoria y visita los hogares de los niños y

entrevista a sus padres. Con relación a esta situación la nutricionista considera que:

A. La unidad de información corresponde a los niños de la escuela.

B. La unidad de muestreo corresponde a los padres de cada uno de los niños seleccionados.



204






entrevista a sus padres. Con relación a esta situación la nutricionista considera que:

A. El marco muestra es una lista de todos los niños de la escuela.

B. La unidad de estudio corresponde a los padres de cada uno de los niños seleccionados.






entrevista a sus padres. Con relación a esta situación la nutricionista considera que es

necesario emplear una muestra porque:

A. Visitar todos los hogares de todos los niños de la escuela requiere demasiado tiempo.

B. El estudio de la variable en cuestión implica la destrucción de la unidad de interés.

Con respecto a las dos afirmaciones anteriores, es incorrecto que:



9. De las siguientes, no es una razón para trabajar con muestras:

(a) Se mejora la calidad de la información recopilada

(b) Se reducen los costos

(c) En ocasiones la población se destruye al ser observada

(d) Se eliminan el riesgo de definir mal la población

10. Una fábrica de fusibles prueba la calidad de su producto terminado. El ingeniero a cargo

afirma que es estrictamente necesario emplear un muestreo porque:

(a) Estudiar la población requeriría demasiado tiempo

(b) Estudiar la muestra es más barato

(c) La prueba del producto es destructiva

(d) La población es infinita

11. Una ___________ es una colección de todos los elementos de un grupo. Una colección de

algunos de esos elementos es una ___________. Las opciones que mejor completan la frase

anterior son:

(a) muestra, población

(b) población, muestra por conveniencia

(c) población, muestra aleatoria

(d) población, muestra



205

12. Con respecto al tamaño de la muestra es verdadero que:

(a) Depende del tamaño de la población

(b) El nivel de confianza en la estimación no es importante

(c) La variabilidad de la característica que se estima influye fuertemente

(d) Ninguna de las anteriores

13. Con respecto al tamaño de muestra un investigador realizó las siguientes dos

afirmaciones:

A. El costo es determinante del tamaño de muestra, aunque no esté en la fórmula.

B. El nivel de precisión se refiere al nivel de error permitido en la estimación.




14. Con respecto al uso de muestras un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:

A. Toda investigación estadística requiere la utilización del muestreo.

B. Cuando se estudia la población completa, se dice que se realiza un censo.


(a) Ambas son verdaderas (d) Solo A es verdadera


15. Se desea estimar la media poblacional de una variable x. Se conoce que la desviación

estándar es de 87 unidades. Se requiere una confianza en la estimación del 90% y que el error

no sea mayor que 20 unidades. Entonces, el tamaño de muestra requerido es:

(a) 520 (b) 73 (c) 52 (d) Ninguna de las anteriores

16. Se desea estimar la media poblacional de una variable x. Se conoce que la desviación

estándar es de 87 unidades y que la población está compuesta por 200 unidades. Se requiere

una confianza en la estimación del 95% y que el error no sea mayor que 15 unidades.

Entonces, el tamaño de muestra requerido es:


17. Se desea estimar una proporción poblacional para una cierta variable. Se cuenta con una

estimación previa del 20%. Se requiere una confianza en la estimación del 95% y que el error

no sea mayor que 5%. Entonces, el tamaño de muestra requerido es:


18. Se desea estimar una proporción poblacional para una cierta variable. Se requiere una

confianza en la estimación del 99% y que el error no sea mayor que 3,5%. Entonces, el

tamaño de muestra requerido es:

(a) 1105 (b) 1355 (d) 867 (d) Ninguna de las anteriores

19. Se desea estimar una proporción poblacional para una cierta variable. La población tiene

un tamaño de 220 individuos. Se requiere una confianza en la estimación del 90% y que el

error no sea mayor que 3%. Entonces, el tamaño de muestra requerido es:

(a) 171 (b) 752 (c) 457 (d) 149



206

20. En un estudio por muestreo se desea estimar la talla promedio de las 400 mujeres que

laboran en una empresa. Por un estudio previo se sabe que la desviación estándar es de 22 cm

y se ha establecido una precisión de 5 cm con una confianza del 99%. Entonces, el tamaño de

muestra requerido es, en número de mujeres:

(a) 98 (b) 129 (c) 105 (d) 84

21. En un estudio por muestreo se desea estimar la proporción de las 400 mujeres que laboran

en una empresa que poseen hijos menores de 10 años. Se ha establecido una precisión de 5%

con una confianza del 95%. Entonces, el tamaño de muestra requerido es, en número de

mujeres:

(a) 385 (b) 271 (c) 162 (d) 197

22. Un noticiero en la televisión decide realizar una encuesta sobre la calidad de la educación

en el país. Los televidentes que desean participar llaman a un número telefónico y votan por la

opción que consideran más apropiada. Durante el noticiero votaron 5.500 personas, y el 75%

considera que la educación del país debe mejorarse. El tipo de muestreo empleado por este

noticiero es:

(a) Aleatorio

(b) Por conveniencia

(c) Voluntario

(d) De juicio

23. Un noticiero en la televisión decide realizar una encuesta sobre la calidad de la educación

en el país. Los televidentes que desean participar llaman a un número telefónico y votan por la

opción que consideran más apropiada. Durante el noticiero votaron 5.500 personas, y el 75%

considera que la educación del país debe mejorarse. Con respecto a este muestreo es falso

que:

(a) Es una muestra representativa por ser muy grande

(b) Se presenta un posible sesgo de selección

(c) Es un muestreo no aleatorio

(d) La muestra no es representativa a pesar de su tamaño

24. La principal ventaja de un muestreo aleatorio es que:

(a) Elimina los sesgos de selección

(b) Permite la cuantificación y control del error de muestreo

(c) Reduce los costos del estudio

(d) Emplea muestras de menor tamaño

25. La discrepancia, debida al azar, entre la estimación de una característica obtenida a través

de una muestra y su verdadero valor en la población corresponde al concepto de:

(a) Sesgo de selección

(b) Error de muestreo

(c) Sesgo de medición

(d) Aleatoriedad



207

26. El error sistemático, no debido al azar, y que ocasiona que diferencias entre el valor

estimado a través de la muestra y el valor verdadero corresponde al concepto de:

(a) Sesgo

(b) Error de muestreo

(c) Variabilidad

(d) No aleatoriedad

27. Un gerente está haciendo un estudio de mercado. Ha seleccionado una muestra aleatoria

de 385 consumidores, pero hubo 50 de ellos que no contestaron el cuestionario. Esta

situación:

(a) No es problema porque la mayoría sí lo contestaron

(b) Es un problema porque el tamaño de la muestra efectivamente tomada es menor

(c) Es un problema, pero se resuelve sustituyendo los valores faltantes por sus valores

esperados

(d) No es un problema porque no fue causado intencionalmente por el investigador

28. Con respecto al muestreo un investigador realizó las siguientes dos afirmaciones:

A. La selección de la técnica apropiada no es tan importante como la determinación del

tamaño de la muestra para lograr una muestra representativa.

B. La existencia de un marco muestral bien definido es clave para seleccionar la técnica de

muestreo.




29. El departamento de recursos humanos de una empresa va a efectuar un estudio por

muestreo sobre la satisfacción de los empleados. La empresa tiene 2500 empleados y el

tamaño de la muestra es de 250 empleados. El encargado tomó una lista de todos los

funcionarios de la empresa y con ayuda de un software obtuvo 250 números aleatorios, los

cuales empleó para seleccionar a los empleados que conformarían la muestra. En esta

situación el tiempo de muestreo empleado es:

(a) Muestreo sistemático

(b) Muestreo simple al azar

(c) Muestreo estratificado

(d) Muestreo por conglomerados



tamaño de la muestra es de 250 empleados. El encargado calculo un valor k = 2500/250 = 10,

entonces tomó una lista de todos los funcionarios de la empresa, con ayuda de un software

obtuvo un número aleatorio entre uno y diez, y a ese número empezó a sumar 10 una y otra

vez hasta completar 250 números, los cuales empleó para seleccionar a los empleados que

conformarían la muestra. En esta situación el tiempo de muestreo empleado es:







208



tamaño de la muestra es de 250 empleados. El encargado dividió la empresa en sus distintos

departamentos, por considerar que los empleados en cada uno de ellos tienden a ser más

homogéneos entre sí con respecto a la variable estudiada. Luego tomó una muestra de cada

uno de estos subgrupos, de modo que la muestra total resultante refleje en forma proporcional

la cantidad de empleados que hay en cada departamento. En esta situación el tiempo de

muestreo empleado es:





32. Con respecto a una muestra sea representativa de una población es correcto que:

(a) Basta con que sea del tamaño apropiado

(b) Debe ser obtenida al azar sin importar su tamaño

(c) Debe al menos el 20% de la población


Respuesta a ejercicios de selección única:

1. b 2. d 3. c 4. a 5. c

6. c 7. b 8. d 9. d 10. c

11. d 12. c 13. a 14. d 15. c

16. c 17. b 18. b 19. a 20. a

21. d 22. c 23. a 24. b 25. b

26. a 27. b 28. d 29. b 30. a

31. c 32. d



209

10 .

Pruebas de hipótesis

OBJETIVOS:


1. Plantear las hipótesis nula y alternativa en problemas de decisión con respecto a la media o

la proporción poblacional

2. Identificar los posibles errores que se pueden cometer al tomar decisiones con base en

muestras

3. Describir los pasos del procedimiento de prueba de hipótesis

4. Calcular los estadísticos de prueba adecuados según el tipo de problema

5. Tomar decisiones con base en el procedimiento de prueba de hipótesis



210

Ejemplo Se sabe por estudios previos que los recién nacidos de cierta población

tienen una talla promedio de 49,5 cm. Una enfermera estudió un grupo de

40 recién nacidos, y obtuvo una media de 53,4 cm.

La enfermera desea saber si estos resultados apoyan los estudios previos.

¿Cuáles serían sus hipótesis nula y alternativa?

Solución En esta situación la enfermera tiene un valor poblacional establecido, que

es que los recién nacidos miden, en promedio, una talla de 49,5 cm. Por

tanto, su hipótesis nula será:

H0: La talla media de los recién nacidos es 49,5 cm.

Pero los datos recopilados sugieren que este promedio podría ser mayor

que 49,5 cm, por lo que, de descartar la hipótesis nula anterior, se aceptaría

la hipótesis alternativa:

H1: La talla media de los recién nacidos es mayor que 49,5 cm.

Generalmente las hipótesis se expresan en términos de símbolos:

H0: = 49,5

H1: > 49,5

Ejemplo En cada uno de los siguientes casos plantee la hipótesis nula y la

alternativa:

1. Un cierto material viene en cajas de peso promedio 17 libras y

desviación estándar 0,4 libras. Se recibe un cargamento grande y se tiene

la sospecha de que el peso promedio de las cajas es inferior al usual. Para

verificar la sospecha se toma una muestra al azar de 86 cajas y se pesan,

obteniéndose un promedio de 16,5 libras. ¿Se puede afirmar que

efectivamente el peso de las cajas es inferior al acostumbrado?

2. En una granja bastante grande se producen pollos. Según los estándares

establecidos, el peso medio de los pollos debe ser de 4,2 Kg. con varianza

1,96. Se desea determinar si es cierta la queja de un grupo de clientes de

que el peso medio ha disminuido durante las últimas semanas. Para

verificar tal afirmación se contrata un ingeniero avícola, el cual toma una

muestra de 65 pollos, y encuentra un peso medio de 3,86 Kg. ¿Significa

esto que efectivamente el peso medio es inferior al usual?

3. De acuerdo con datos de un estudio realizado en un país europeo la edad

promedio de diagnóstico del cáncer de próstata es 75 años. Un

investigador nacional considera que en nuestro país esa edad de

diagnóstico es menor. Se tomó una muestra de 80 casos diagnosticados y

encontró una edad promedio de 69 años con una desviación estándar



211

muestral de 9 años. ¿Qué puede concluirse con base en estos datos?

4. Según un estudio los niños de los estratos socio económicos medios y

altos inician alguna práctica de cuidado de su salud buco dental a los 15,6

meses. En una muestra de 35 niños de familias de estratos bajos se

encontró una edad media de inicio de la higiene bucal a los 18,2 meses,

con una desviación estándar de 8,5 meses. ¿Puede considerarse que la edad

de los niños de familias de estratos bajos es mayor que 15,6 meses?

Solución 1. En esta situación se indica que el peso promedio de las cajas en que

viene el material es 17 libras, por tanto se querrá verificar que se satisface

esta especificación, de manera que la hipótesis nula será que el peso

promedio es 17 libras. Por otro lado, en la muestra de 86 cajas se obtuvo

un peso promedio inferior, lo cual también sugiere la pregunta, entonces la

hipótesis nula será que la media es inferior a 17 libras. En resumen:

H0: = 17

H1: < 17

2. De acuerdo con este problema existe un estándar de 4,2 Kg. en

promedio por animal, por lo que la hipótesis nula es que el promedio sea

igual a 4,2 Kg. En la muestra se encuentra un peso medio inferior a 4,2

Kg., de modo que la hipótesis nula es que el peso medio es inferior:

H0: = 4,2

H1: < 4,2

3. De acuerdo con los datos la edad promedio de diagnóstico del cáncer de

próstata es 75 años, de manera que se plantea la hipótesis nula de que el

promedio es igual a 75. En la muestra se obtiene una edad promedio menor

que 75, así que la hipótesis alternativa sería que la media es menor que 75

años:

H0: = 75

H1: < 75

4. Según el estudio la media es 15,6 meses, de modo que la hipótesis nula

será que la media es igual a 15,6. En la muestra se obtuvo un valor más

alto, de manera que la hipótesis alternativa será que la media es mayor que

15,6:

H0: = 15,6

H1: > 15,6



212

Ejercicio

de

revisión

Un ingeniero está estudiando la vida útil de distintos proyectos construidos

con cierto tipo de pavimento. Se sabe que los camiones pesados producen

un daño elevado y que reducen la vida útil de las vías. Se realiza un

estudio para saber qué proporción de los camiones llevan una carga

excesiva. En el caso de los camiones de 3 ejes se cuenta con un estudio

previo en el que se indica que el 10% de estos vehículos portaban un peso

superior al permitido. En una muestra de 40 de estos camiones, se encontró

que 6 de ellos portaba una carga excesiva. ¿Cuáles es la hipótesis nula y

cuáles es la hipótesis alternativa de este problema?

Solución:

Con base en el estudio previo se puede plantear la hipótesos nula de que el

10% de estos vehículos portaban un peso superior al permitido, o sea, que

la proporción P = 0,10.

Tomando la muestra de 40, de los cuales 6 portaban una carga excesiva, es

decir una proporción p = 6/40 = 0.15, resultado que es mayor que el 10%

del estudio previo, por tanto, podría plantearse la hipótesis alternativa de

que la proporción de camiones que cargan sobrepeso es mayor que 10%.

En resumen:

H0: P = 0,10

H1: P > 0,10

Ejemplo Un empresario es el único distribuidor de electrodomésticos y productos

tecnológicos de su zona. Leyó en un medio que hasta un 74% de los

internautas ha realizado alguna compra por internet en el transcurso de los

últimos 3 meses. Para comprobar si en su zona esta proporción es similar a

la publicada, aplicó un cuestionario a una muestra de 50 personas que

fueran residentes de la zona y que usaran internet regularmente, y les

preguntó si habían realizado compras en línea en el último trimestre. La

encuesta reveló que 30 internautas de la zona han realizado compras por

internet en ese periodo. O sea, que solo el 60% de los entrevistados

respondió afirmativamente. ¿Cuál sería la hipótesis nula y alternativa en

este caso?

Solución El empresario desea probar que si es cierto que el 74% de los usuarios de

internet han realizado compras por internet en el último trimestre, por

tanto, su hipótesis nula será:

H0: La proporción de usuarios que internet que ha realizado compras

por internet es igual a 74%.

Pero los datos recopilados indican que ese porcentaje podría ser menor,

por lo que, de descartar la hipótesis nula anterior, se aceptaría la hipótesis

alternativa:



213

H1: La proporción de usuarios que internet que ha realizado compras

por internet es menor que 74%.

Generalmente las hipótesis se expresan en términos de símbolos:

H0: P = 0,74

H1: P < 0,74

Ejemplo Una empresa fabrica bombillos. Cada bombillo tiene una vida esperada de

1000 horas, pero algunos clientes se han quejado de que los bombillos se

queman antes de las 1000 horas. La gerencia decide tomar una muestra y

probar la hipótesis nula de que los bombillos tienen una vida media de

1000 horas, contra la hipótesis alterna de que la vida media de los

bombillos es menor que dicha especificación. ¿Cómo podrían darse y qué

significan los errores tipo I y tipo II en esta situación?

Solución En esta situación los errores tipo I y tipo II podrían darse si la muestra no

representa bien a la población. Esto puede darse de los modos siguientes:

1. El proceso de producción de la empresa está bien controlado, y la vida

media de los bombillos es 1000 horas, pero en la muestra usada en la

prueba de hipótesis se seleccionaron, por cuestión del azar, muchos

bombillos con una vida media inferior a 1000 horas, por lo que se

rechazó la hipótesis nula de que la vida media de los bombillos es 1000

horas, a pesar de que era verdadera. Este es el error tipo I. Este error

llevaría a la empresa a tratar de mejorar su producción

innecesariamente, lo cual le generaría costos adicionales.

2. El proceso de producción de la empresa no está bien controlado, por lo

que, efectivamente, la vida media de los bombillos es inferior a 1000

horas, como lo han indicado los clientes que se han quejado, pero en la

muestra, por cuestión del azar, se seleccionaron muchos bombillos con

una media cercana a 1000 horas, por lo que no se rechazó la hipótesis

nula, a pesar de que era falsa. Este es el error tipo II. Este error

llevaría a la empresa a no mejorar una producción que sí requiere

mejoras, por lo cual sus clientes podrían dejar de comprar sus

productos.

Ejercicio

de

revisión

Una empresa realiza un estudio de mercado en una muestra de 150

consumidores y se plantea probar la hipótesis de que al menos el 30% de

ellos compraría su producto. ¿Cuáles serían las hipótesis nula y

alternativa? ¿En qué consistirían los errores tipo I y tipo II?



214

Solución:

La hipótesis nula es el valor límite que se desea probar de 30%, o sea, que

la proporción P = 0,30. Dado que se cree que al menos el 30% compraría

el producto, entonces la hipótesis alternativa sería P > 30%.

En resumen:

H0: P = 0,30

H1: P > 0,30

En esta situación los errores tipo I y tipo II podrían darse de los modos

siguientes:

1. Si la demanda del producto efectivamente fuera 30% de los

consumidores, pero se comete el error tipo I, entonces se rechaza esa

hipótesis siendo verdadera (acepta la hipótesis alternativa), y por tanto

la empresa hace planes agresivos considerando que la demanda es

mayor, pero va a vender menos.

2. Si se comete el error tipo II, la empresa acepta la hipótesis nula de que

la demanda es 30%, pero esto es falso y la demanda es mayor, entonces

hace planes conservadores, lo que no le permitirá aprovechar un

oportunidad de negocio que es mayor.



queman antes de las 1000 horas. La gerencia decide tomar una muestra de

50 bombillos y desea probar que los bombillos tienen una vida media de

1000 horas. La media obtenida a partir de la muestra es de 970 horas. Se

conoce que la desviación estándar es 60 horas. Determine, a un nivel de

significación del 5%, si la media poblacional de estos bombillos es

efectivamente de 1000 horas.

Solución Paso 1. Plantear las hipótesis. Toda prueba inicia planteando las hipótesis.

La hipótesis nula se plantea como H0: μ = μo, donde μo es el valor a probar

(en este caso 1000 horas), y la hipótesis alternativa podría ser como alguna

de las siguientes:

H1: μ > μo

H1: μ < μo

H1: μ ≠ μo

La hipótesis alternativa se formula dependiendo del valor obtenido en la

muestra o de lo que se desee plantear como hipótesis alternativa. Es decir,

si en vez de querer saber si μ > μo o μ < μo, se desea simplemente saber si

μ ≠ μo.

En este ejemplo se desea probar que la media verdadera es de 1000 horas



215

(μo = 1000), por lo tanto la hipótesis nula es:

H0: μ = 1000

Como x (valor muestral que “representa” a μ) es igual a 970, que es un

valor menor que 1000, entonces la hipótesis alternativa lógica sería que la

media es menor que 1000, o sea, H1: μ < 1000. En resumen se tiene que las

hipótesis son:

H0: μ = 1000

H1: μ < 1000

Paso 2. Especificar el nivel de significación α (la probabilidad de cometer

el error tipo I) con que se desea trabajar. Los valores usualmente usados

son 5% y 1%. Si se escoge una probabilidad de error tipo I muy pequeña

esto hace que la probabilidad de error tipo II sería muy grande. En el

ejemplo se especifica un valor de α de 0,05.

Paso 3. Se usa el estadístico de prueba apropiado. En el caso de la media,

dependiendo del tamaño de la muestra y si se conoce o no la desviación

estándar poblacional, se usa:

n

xzc

/

con n 30 con σ conocida o con n < 30 y σ conocida

ns

xzc

/

con n 30 con σ desconocida

ns

xtc

/

con n < 30 y σ desconocida

A este valor se le llamará “z calculada” o “t calculada”, según el caso. En

el ejemplo se tiene n > 30 y σ conocida, pues n = 50 y σ = 60 horas, por lo

que se calcula z (según el problema se tiene que x = 970 y de la hipótesis

nula se obtiene que = 1000):

54,350/60

1000970

/

n

xzc

Paso 4. Se especifica un criterio de aceptación o rechazo de la hipótesis

nula según el estadístico de prueba usado en el paso anterior. En las

hipótesis para la media el criterio es:

Prueba de una cola: Cuando se plantea la hipótesis alternativa como

H1: μ > μ0



216

Prueba de una cola: Cuando se plantea la hipótesis alternativa como

H1: μ < μ0

Prueba de dos colas: Cuando se plantea la hipótesis alternativa como

H1: μ ≠ μ0

Puede observarse que cuando la hipótesis alternativa se ha planteado como

H1: μ < μ0 o como H1: μ < μ0, entonces se dice que la prueba es de una

cola, y la zona de aceptación queda definida por el valor de 1 .

Cuando la hipótesis alternativa se ha planteado como H1: μ ≠ μ0, entonces

se dice que la prueba es de dos colas, y la zona de aceptación queda

definida por el valor de 1 /2.

El valor de Zα o de tα se obtiene de la tabla respectiva con una probabilidad

igual a 1 en el caso de Z y α en el caso de t en las pruebas de una cola

y con una probabilidad igual a 1 /2 en el caso de Z y α/2 en el caso de t

en las pruebas de dos colas. A este valor de z se le llamará “z tabular” o “z

de la tabla” (por ser obtenida de la tabla de la distribución normal), o en el

caso de t, “t de la tabla”.

Puede establecerse la regla siguiente en términos de z:

Si tc zz se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis

alternativa H1.



217

Si tc zz se mantiene la hipótesis nula Ho.

En términos de t sería:

Si tc tt se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis

alternativa H1.

Si tc tt se mantiene la hipótesis nula Ho.

En el ejemplo que se está desarrollando, la prueba es de una cola, porque

H1: μ < 1000, por lo tanto se tiene la cola izquierda (porque la hipótesis

alternativa es de menor). De la tabla normal (Apéndice 6) con α = 0,05, se

obtiene Zt = –1,645.

Como |Zc| = 3,54 > |Zt| = 1,645, entonces Zc cae en zona de rechazo de la

H0.

Paso 5. Se acepta o se rechaza la H0 y se toma la decisión. En este ejemplo

se rechaza la hipótesis nula H0. Es decir, se rechaza que μ = 1000 y se

acepta la H1: μ 1000.

La conclusión es que a un nivel de significación del 5% se rechaza la

hipótesis nula de que la vida media de los bombillos es de 1000 horas y se

considera que existe evidencia estadística para aceptar la hipótesis

alternativa de que la vida útil de los focos es menor de 1000 horas.

Ejercicio

de

revisión

Una institución del gobierno periódicamente verifica que las empresas y

los comercios no realicen prácticas abusivas contra los consumidores.

Recientemente ha verificado una muestra de 200 latas de atún cuya

etiqueta indica que contienen 130 grs. como peso escurrido. El promedio

en la muestra fue 112 grs. como peso escurrido Por un estudio anterior se

conoce que la desviación estándar es 20,5 grs.

¿Constituyen estos datos muestrales evidencia suficiente para considerar

que las latas de atún poseen un peso escurrido inferior al ofrecido?

Use un nivel de significancia de 5%.

Solución:

Paso 1. Plantear las hipótesis. Se quiere verificar el dato que aparece en la

etiqueta:

H0: μ = 130

Como x = 112, que es un valor menor que 130, entonces la hipótesis

alternativa sería H1: μ < 130. En resumen se tiene que las hipótesis son:



218

H0: μ = 130

H1: μ < 130

Paso 2. Especificar el nivel de significación α (la probabilidad de cometer

el error tipo I) con que se desea trabajar. En el ejercicio se especifica un

valor de α de 0,05.

Paso 3. Se usa el estadístico de prueba apropiado. Dado que el tamaño de

la muestra n = 200, que es mayor que 30, y se conoce la desviación

estándar poblacional, se usa:

n

xzc

/

con n 30 y con σ conocida

En este ejercicio se tiene n = 200, σ = 20,5, x = 112 y = 130:

42,12200/5,20

130112

/

n

xzc

Paso 4. Se planteó la hipótesis alternativa H1: μ < 130, entonces se dice

que la prueba es de una cola, y la zona de aceptación queda definida por el

valor de 1 = 1 - 0,05 = 0,95.

El valor de Zα se obtiene de la tabla de la distribución normal estándar:

Zα = 1.645

Entonces, tc zz , se rechaza la hipótesis nula Ho y se acepta la hipótesis

alternativa H1.

Paso 5. Se rechaza la H0, es decir, se rechaza que μ = 130 y se acepta la

H1: μ 130.

La conclusión es que a un nivel de significación del 5% se rechaza la

hipótesis nula de que el contenido medio de las latas es 130 gramos y se

considera que existe evidencia estadística para aceptar la hipótesis

alternativa de que el contenido es menor que 130 gramos.

Ejemplo Una muestra aleatoria de frascos de mantequilla de maní presentaron pesos

de (en gramos):

252, 251, 249, 253, 250, 255, 248, 258

La empresa ha tratado de ajustar el proceso de llenado para que cada frasco

contenga 250 gramos. Verifique, a un nivel de significación del 5% si ese

valor esperado se mantiene sin cambio.



219

Solución Se tiene que hay un peso especificado para los frascos de mantequilla de

maní de 250 gramos, por lo que μ0 = 250 y además n = 8.

De los datos de la muestra se obtiene una media x = 252 y una desviación

estándar s = 3,3. Como la media muestral x que “representa” a la media

poblacional μ es mayor que μ0, entonces se planteará una hipótesis

alternativa de μ > μ0.

Paso 1. Planteamiento de las hipótesis:

H0: μ = 250

H1: μ > 250

Paso 2. Como n < 30 y σ desconocida, se calcula tc:

72,18/3,3

250252

/

ns

xtc

Paso 3. De la tabla, con una cola, para un nivel de significancia α = 0,05 y

grados de libertad gl = n – 1 = 8 – 1 = 7, se obtiene tα = 1,895.

Paso 4. Como tc tt , se acepta H0 con α = 0,05.

Paso 5. Se concluye que no hay evidencia suficiente para considerar que el

peso promedio de los frascos de mantequilla de maní es mayor que 250

gramos.

Ejercicio

de

revisión

Una compañía de tarjetas de crédito desea probar si el saldo promedio de

sus clientes es superior a $500. En una muestra de 15 tarjetahabientes se

obtuvo un saldo promedio de $535 con una desviación estándar de $215.

¿Qué puede concluirse a un nivel de significación del 5%?

Solución:

Se quiere probar si la media es superior a $500, por lo que μ0 = 500 y

además n = 15.

De los datos de la muestra se obtiene una media x = 535 y una desviación

estándar s = 215. Como la media muestral x es mayor que μ0, entonces se

planteará una hipótesis alternativa de μ > μ0.

Paso 1. Planteamiento de las hipótesis:

H0: μ = 500

H1: μ > 500

Paso 2. Como n < 30 y σ desconocida, se calcula tc:

63,015/215

500535

/

ns

xtc



220

Paso 3. De la tabla, con una cola, para un nivel de significancia α = 0,05 y

grados de libertad gl = n – 1 = 15 – 1 = 14, se obtiene tα = 1,761.

Paso 4. Como tc tt , se acepta H0 con α = 0,05.

Paso 5. Se concluye que al nivel de significancia del 5% no hay evidencia

suficiente para considerar que el saldo promedio de sus clientes es superior

a $500.

Ejemplo Pruebe la aseveración de que la proporción de adultos que realizaron algún

tipo de ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es

menor de 20%, si se tomó una muestra de 1.200 personas, de los cuales

215 dicen que realizaron actividad física la semana pasada. Use α = 0.01.

Solución Hay que distinguir claramente que en los problemas de pruebas de

hipótesis relacionados con proporciones no aparece una variable métrica,

es decir, no aparece un promedio que se pueda medir en centímetros,

gramos, dólares, minutos u otra unidad de medida. En este caso el

problema se relaciona con un porcentaje supuesto de adultos que

realizaron ejercicio físico y el conteo de esas personas en la muestra. En

todos los casos de pruebas de hipótesis sobre una proporción se va a

presentar esta situación, no hay una variable medible y se presentan datos

de una variable que se obtiene por conteo y que se relaciona con respecto a

un total poblacional o muestral (una proporción).

Una vez que se tiene bien definida la naturaleza del problema, entonces se

siguen los mismos 5 pasos expuestos para el caso de las pruebas de

hipótesis sobre la media poblacional.

Paso 1. Planteamiento de las hipótesis: El problema señala que se desea

probar si el 20% de los adultos realizaron ejercicio físico al menos una vez

durante la semana pasada, por lo que la hipótesis nula será:

H0: P = 0,20

Por otro lado, los datos muestrales indican que de los 1200 adultos

encuestados, 215 realizaron ejercicio físico la semana pasada, por lo que se

tendría una proporción muestral equivalente a:

p = 215 / 1200 = 0,1792

Este dato muestral sugiere que la proporción de adultos que realizaron

ejercicio físico es menor que 0,20, por lo que las hipótesis se plantearían

como:

H0: P = 0,20



221

H1: P < 0,20

Paso 2. El problema indica que la prueba debe realizar a un nivel de

significancia de un 1%.

Paso 3. Como el problema es una prueba de una proporción se calcula zc:

nPQ

nPxz

80,020,01200

20,01200215

= –1,80

De la tabla de la curva normal, para un nivel de significancia α = 0,01, con

una cola, o sea, una confianza de 0,99, se obtiene zα = –2,33.

Paso 4. Como tc zz , se acepta H0 con α = 0,01.

Paso 5. Se concluye que no se tiene evidencia estadística suficiente para

rechazar la hipótesis de que la proporción de adultos que realizaron

ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es menor que

20%, a un nivel de significación del 1%.

Ejercicio

de

revisión

Un laboratorio farmacéutico considera que uno de sus fármacos alcanza en

el 80% de los casos su máxima absorción en un plazo de 2 horas. En una

muestra de 120 personas se obtuvo el resultado esperado en 80 casos.

¿Puede sostenerse la afirmación de la empresa a un nivel de significancia

del 95%?

Solución:

Paso 1. Planteamiento de las hipótesis: El problema señala que se desea

probar si el 20% de los adultos realizaron ejercicio físico al menos una vez

durante la semana pasada, por lo que la hipótesis nula será:

H0: P = 0,20

Por otro lado, los datos muestrales indican que de los 1200 adultos

encuestados, 215 realizaron ejercicio físico la semana pasada, por lo que se

tendría una proporción muestral equivalente a:

p = 215 / 1200 = 0,1792

Este dato muestral sugiere que la proporción de adultos que realizaron

ejercicio físico es menor que 0,20, por lo que las hipótesis se plantearían

como:

H0: P = 0,20

H1: P < 0,20

Paso 2. El problema indica que la prueba debe realizar a un nivel de



222

significancia de un 1%.

Paso 3. Como el problema es una prueba de una proporción se calcula zc:

nPQ

nPxz

80,020,01200

20,01200215

= –1,80

De la tabla de la curva normal, para un nivel de significancia α = 0,01, con

una cola, o sea, una confianza de 0,99, se obtiene zα = –2,33.

Paso 4. Como tc zz , se acepta H0 con α = 0,01.

Paso 5. Se concluye que no se tiene evidencia estadística suficiente para

rechazar la hipótesis de que la proporción de adultos que realizaron

ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es menor que

20%, a un nivel de significación del 1%.



queman antes de las 1000 horas. La gerencia decide tomar una muestra de

50 bombillos y desea probar que los bombillos tienen una vida media de

1000 horas. La media obtenida a partir de la muestra es de 970 horas. Se

conoce que la desviación estándar es 60 horas. Utilice Minitab para

determinar, a un nivel de significación del 5%, si la media poblacional de

estos bombillos es efectivamente de 1000 horas.

Solución Como en cualquier prueba de hipótesis, se inicia por plantear las hipótesis.

Tal como se expuso anteriormente, las hipótesis son:

H0: μ = 1000

H1: μ < 1000

Luego se especifica el nivel de significación α. En este ejemplo se

especifica un valor de α de 0,05.

Después se selecciona el estadístico de prueba apropiado. En este ejemplo

se tiene n > 30 y σ conocida, pues n = 50 y σ = 60 horas, por lo que se

calcula z. Así, en Minitab se debe dar clic en el menú Estadísticas, luego

en el submenú Estadística básica, y ahí se elige la opción Z de 1

Muestra. Ahora se completa el cuadro de diálogo siguiente:



223

Se selecciona Muestras en columnas cuando se tiene la serie original de

datos muestrales, pero en este caso ya se tiene calculada la media muestral,

por lo que se escoge Datos resumidos, y se digita el tamaño de la muestra

y la media muestral. Debe marcarse la casilla Realizar prueba de

hipótesis, pues de otro modo Minitab solo dará el intervalo de confianza.

En la celda se digita la media poblacional indicada en la hipótesis nula.

Luego debe darse clic en el botón Opciones, pues es ahí donde se indica el

nivel de significancia y se selecciona la hipótesis alternativa:

Dado que el nivel de significancia de este ejercicio es 5%, entonces el

nivel de confianza será de 95%. En la opción de hipótesis alterna se elige

la que dice menor que, pues la hipótesis alternativa indicada

anteriormente fue H1: μ < 1000.

Luego se da clic en Aceptar, y nuevamente clic en Aceptar, y se obtiene la

siguiente salida en la ventana Sesión de Minitab:



224

Puede verse que Minitab indica que el valor del estadístico de prueba Zc es

–3,54, que coincide con el valor calculado anteriormente en este capítulo.

De la tabla de la curva normal, o bien, del mismo Minitab se calcula el

valor Zt, que es –1,645, por lo que Zc cae en zona de rechazo de la H0.

Además, observe que Minitab calculó el valor P, que en este caso es 0,000,

un valor inferior al nivel de significancia del 5%, por lo que se rechazaría

la hipótesis nula.

Por cualquiera de los dos criterios (z o valor P), la conclusión es la misma,

que a un nivel de significación del 5% se rechaza la hipótesis nula de que

la vida media de los bombillos es de 1000 horas y se considera que existe

evidencia estadística para aceptar la hipótesis alternativa de que la vida útil

de los bombillos es menor de 1000 horas.

Ejemplo Pruebe la aseveración de que la proporción de adultos que realizaron algún

tipo de ejercicio físico al menos una vez durante la semana pasada es

menor de 20%, si se tomó una muestra de 1.200 personas, de los cuales

215 dicen que realizaron actividad física la semana pasada. Use α = 0.01.

Solución Las hipótesis se plantearían como (pues este ejemplo ya se explicó

anteriormente en este capítulo):

H0: P = 0,20

H1: P < 0,20

El problema indica que la prueba debe realizar a un nivel de significancia

de un 1%.

Como el problema es una prueba de una proporción, entonces la opción del

menú Estadísticas > Estadística básica que se emplea es 1 Proporción.

Se debe completar el cuadro de diálogo siguiente:



225

Se selecciona Muestras en columnas cuando se tiene la serie original de

datos muestrales, pero en este caso ya se tiene calculada la cantidad de

eventos o éxitos de la muestra, por lo que se escoge Datos resumidos, y se

digita el número de eventos, que en este caso es 215, y el tamaño de la

muestra o número de ensayos, que es 1200 en este caso. Debe marcarse la

casilla Realizar prueba de hipótesis, pues de otro modo Minitab solo

dará el intervalo de confianza. En la celda se digita la proporción

hipotética, que es la proporción indicada en la hipótesis nula.

Luego debe darse clic en el botón Opciones, pues es ahí donde se indica el

nivel de significancia y se selecciona la hipótesis alternativa:

En este caso, como se indicó un nivel de significancia del 1%, entonces se

digita el nivel de confianza del 99%. En la hipótesis alternativa se había

establecido que era H1: P < 0,20, por lo que se elige menor que, y

finalmente se marca la casilla Utilice la prueba y el intervalo basado en

la distribución normal, pues así Minitab va a utilizar la aproximación

normal para la distribución binomial para calcular la prueba de hipótesis y

el intervalo de confianza, tal como se expuso en ese capítulo en la teoría

relacionada con las pruebas de hipótesis sobre la proporción. Finalmente se

da clic en Aceptar, y luego en Aceptar, y en la ventana Sesión de Minitab

se obtiene el resultado siguiente:



226

En esta ventana se observa que Minitab ha calculado el valor del

estadístico de prueba z, que es –1,80, y el valor P, que es 0,071. Por

cualquiera de los dos criterios se acepta la hipótesis nula (ya que de la

tabla de la curva normal, para un nivel de significancia α = 0,01, con una

cola, o sea, una confianza de 0,99, se obtiene zα = –2,33, o bien, el valor P

de 0,071 es mayor que el de significancia α = 0,01. Se concluye que no se

tiene evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis de que la

proporción de adultos que realizaron ejercicio físico durante la semana

pasada es menor que 20%, a un nivel de significación del 1%.

Ejemplo La nueva directora de desarrollo de sistemas de una empresa consideró que

el tiempo medio de 28 días para resolver los requerimientos de sus

usuarios era demasiado. Ante esta situación optó por implementar una

serie de cambios para acelerar el proceso. Seis meses después, en una

muestra de 27 nuevos requerimientos se obtuvo que el tiempo promedio

para resolverlos fue de 26,9 días, con una desviación estándar de 8 días.

Sin embargo, algunos empleados se han quejado, y piensan que los

cambios más bien retrasan el proceso. Utilizando un 1% de significancia,

evalué si el tiempo medio para resolver los requerimientos de los usuarios

ha cambiado.

Solución Se inicia por plantear las hipótesis. Se desea probar que el tiempo medio

para resolver los requerimientos de los usuarios es de 28 días, por lo que

esa será la hipótesis nula. Por otro lado, la evidencia muestral indica que

dicho tiempo se ha disminuido, pero algunos empleados opinan lo

contrario, por lo que se podría plantear la hipótesis alternativa como que el

tiempo medio es diferente de 28 días. En resumen, las hipótesis son:

H0: μ = 28

H1: μ ≠ 28

Luego se especifica el nivel de significación α. En este ejemplo se

especifica un valor de α de 0,01.

Después se selecciona el estadístico de prueba apropiado. Se tiene n < 30 y

que la desviación estándar poblacional σ es desconocida, por lo que se

calculará el intervalo de confianza usando t. Tomando una media muestral



227

9,26x días, n = 27, s = 8 y α = 0,01 (t con dos colas y 26 grados de

libertad es 2,779), por lo que el intervalo de confianza será:

18,31

62,22278779,29,26/ nstx

La media planteada en la hipótesis nula es μ = 28 días, valor que se

encuentra dentro del intervalo de confianza calculado, por lo que no podría

rechazarse la hipótesis nula.

Si se calculara el estadístico t se obtendría:

714,027/8

289,26

/

ns

xtc

Ese valor calculado de t es inferior que el valor crítico de 2,779,

confirmando que la hipótesis nula se acepta.

Usando Minitab se obtendría un valor P = 0,481, mayor que el nivel de

significancia, por lo que se acepta la hipótesis nula.

Por cualquiera de los criterios se llega a la misma conclusión, de que se

acepta la hipótesis nula, por lo que no hay evidencia suficiente para

concluir que los tiempos medios para resolver los requerimientos de los

usuarios haya cambiado.




1. Cuando se debe decidir, con base en evidencia experimental, si una afirmación hecha

acerca de un parámetro es falsa o verdadera, es necesario realizar:

(a) Una estimación por intervalos

(b) Una prueba de hipótesis

(c) Un análisis de correlación

(d) Un estudio por muestreo

2. Una __________ es una afirmación acerca de un __________ de una o más poblaciones y

que está sujeta a verificación. La opción que mejor completa la frase anterior es:

(a) hipótesis; parámetro

(b) prueba de hipótesis; estimador

(c) prueba de hipótesis; parámetro

(d) hipótesis; estimador



228

3. Una prueba de hipótesis es un procedimiento basado en evidencia de la __________ y la

teoría __________ para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable. La opción que

mejor completa la frase anterior es:

(a) población; estadística

(b) muestra; de probabilidades

(c) probabilidad; de muestreo

(d) población; de probabilidades

4. En una prueba de hipótesis:

A. La hipótesis alternativa es cualquier hipótesis que se desea probar.

B. La hipótesis nula es la hipótesis que se acepta cuando la hipótesis nula es rechazada.




5. Un investigador desea probar la hipótesis de que la media de una determinada variable x es

igual a 500. En una muestra obtuvo una media de 350, entonces debe:

(a) rechazar la hipótesis nula porque la diferencia con respecto a la media muestral es muy

grande

(b) rechazar la hipótesis nula porque la media muestral es menor que la media hipotética

(c) aceptar la hipótesis nula porque la diferencia encontrada es muy pequeña

(d) ninguna de las anteriores

6. El nivel de significancia es la probabilidad de:

(a) rechazar la hipótesis nula cuando es falsa

(b) rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera

(c) aceptar la hipótesis nula cuando es falsa

(d) aceptar la hipótesis nula cuando es verdadera

7. El error tipo II se comete cuando se:

(a) rechaza la hipótesis nula cuando es falsa

(b) rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera

(c) acepta la hipótesis nula cuando es falsa

(d) acepta la hipótesis nula cuando es verdadera

8. El error tipo I se comete cuando se:

(a) rechaza la hipótesis nula cuando es falsa

(b) rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera

(c) acepta la hipótesis nula cuando es falsa

(d) acepta la hipótesis nula cuando es verdadera

9. El gerente de una empresa espera que el 60% de sus clientes actuales estén dispuestos a

efectuar compras a través de internet. Para comprobar esta afirmación se efectúa una encuesta

entre una muestra de clientes, en la cual se encuentra que solo el 40% de los clientes

efectuarían compras por internet. Según los estudios financieros de la empresa, se requiere

que al menos el 60% de los clientes actuales realicen compras en línea para que valga la pena

implementar dicha modalidad de negocios. Con respecto a esta situación se han realizado dos

afirmaciones:



229

A. Cometer el error tipo I significaría perder una buena oportunidad de negocios.

B. Cometer el error tipo II significaría enfrentarse a pérdidas económicas en un sistema

que no es rentable.




10. Un candidato de un partido político considera que al menos el 40% de los electores tienen

una opinión favorable acerca de sus planteamientos y, por tanto, votarían por él en las

próximas elecciones. Para comprobar si su expectativa es acertada, decidió efectuar una

encuesta entre un grupo de 200 electores, de los cuales 70 dijeron tener simpatía por este

candidato. Las elecciones se ganan con al menos el 40% de los votos y el candidato

participará solo si posee posibilidades de contar con al menos el 40% de los votos. Con

respecto a esta situación se han realizado dos afirmaciones:

A. Cometer el error tipo II significaría no participar en una elección que pudo haber

ganado.

B. Cometer el error tipo I significaría gastar muchos recursos en propaganda en una

elección que no ganaría.




11. Las autoridades sanitarias consideran que los recién nacidos procedentes de zonas rurales

deberían pesar al menos 2500 gramos al nacer, en promedio. De presentarse una media

inferior, valdría la pena implementar un programa para la mejora de la atención prenatal en

las zonas rurales. Se decide hacer un estudio por muestreo para valorar esta decisión. Con

respecto a esta situación se han realizado dos afirmaciones:

A. Cometer el error tipo II significaría un deterioro de las condiciones de salud de una

población.

B. Cometer el error tipo I significaría destinar recursos a un programa innecesario.




12. Con respecto al nivel de significancia usado en las pruebas de hipótesis se han realizado

dos afirmaciones:

A. Generalmente es de 1% o de 5%.

B. Representa la posibilidad de aceptar una hipótesis incorrecta.






230

13. Un contrato laboral exige los operarios realicen una producción diaria no menor de 50

unidades. Una muestra de 150 días de producción revela una media de 47,3 unidades, con una

desviación estándar de 5,7 unidades, ¿se cumple con la disposición del contrato?

En este problema la hipótesis nula es:

(a) La producción media diaria es de 50 unidades.

(b) La producción media diaria es menor que 50 unidades.

(c) La producción media diaria es de 47,3 unidades.

(d) La producción media diaria es mayor que 50 unidades.

14. Un contrato laboral exige los operarios realicen una producción diaria no menor de 50

unidades. Una muestra de 150 días de producción revela una media de 47,3 unidades, con una

desviación estándar de 5,7 unidades, ¿se cumple con la disposición del contrato?

En este problema la hipótesis alternativa es:

(a) La producción media diaria es de 47,3 unidades.

(b) La producción media diaria es menor que 50 unidades.

(c) La producción media diaria es de 47,3 unidades.

(d) La producción media diaria es mayor que 47,3 unidades.

15. En un colegio se estima que, cuando mucho, 25% de los estudiantes se traslada a clases en

bicicleta. ¿Parecería esta ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 180

estudiantes, se encuentra que 60 utilizan este transporte?

En este problema la hipótesis nula es:

(a) Una proporción de 33,33% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

(b) Una proporción de 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

(c) Una media de 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

(d) Una proporción mayor que 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

16. En un colegio se estima que, cuando mucho, 25% de los estudiantes se traslada a clases en

bicicleta. ¿Parecería esta ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 180

estudiantes, se encuentra que 60 utilizan este transporte?

En este problema la hipótesis alternativa es:

(a) Una proporción de 33,33% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

(b) Una proporción menor que 33,33% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

(c) Una media mayor de 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

(d) Una proporción mayor que 25% de los estudiantes se traslada en bicicleta a clases.

17. Con respecto al procedimiento de prueba de hipótesis se han realizado dos afirmaciones:

A. La prueba de hipótesis solo indica si la hipótesis es apoyada o no por los datos

disponibles.

B. Cuando no se rechaza la hipótesis nula, no se dice que sea verdadera, sino que

probablemente es verdadera.






231

18. Con respecto al valor P (que ofrecen la mayoría de los programas de computación como

parte de la prueba de hipótesis) se han realizado dos afirmaciones:

A. El valor P es la probabilidad de obtener un valor muestral más extremo que el

observado cuando la hipótesis nula es falsa.

B. El valor P es el menor nivel de significación al que se puede rechazar la hipótesis nula

cuando sea verdadera.




19. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se cuenta con

datos de una muestra de 58 observaciones y se conoce el valor de la desviación estándar

poblacional, entonces se emplea como estadístico de prueba:

(a) n

xzc

/

(b)

ns

xzc

/

(c) ns

xtc

/

(d)

nPQ

nPxz


datos de una muestra de 17 observaciones y se conoce el valor de la desviación estándar


(a) n

xzc

/

(b)

ns

xzc

/

(c) ns

xtc

/

(d)

nPQ

nPxz


datos de una muestra de 17 observaciones y no se conoce el valor de la desviación estándar


(a) n

xzc

/

(b)

ns

xzc

/

(c) ns

xtc

/

(d)

nPQ

nPxz


datos de una muestra de 90 observaciones y no se conoce el valor de la desviación estándar


(a) n

xzc

/

(b)

ns

xzc

/

(c) ns

xtc

/

(d)

nPQ

nPxz



232

23. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se dice que la

prueba es de dos colas, entonces es verdadero que la hipótesis alternativa puede ser (donde μ0

es el valor hipotético de la media poblacional):

(a) H1: μ > μ0 (b) H1: μ < μ0

(c) H1: μ ≠ μ0 (d) H1: μ = μ0

24. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se sabe que no se

rechazó la hipótesis nula, entonces puede ser verdadero que:

(a) tc zz (b) tc tt

(c) tc tt (d) Ninguna de las anteriores

25. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se sabe que se


(a) tc zz (b) tc tt

(c) tc zz (d) Ninguna de las anteriores

26. Si al realizar una prueba de hipótesis sobre una media de una población, se sabe que se


(a) tc zz (b) valor P <

(c) tc tt (d) valor P >

27. Si se realiza una prueba de hipótesis de dos colas, con un nivel de significancia del 5%,

entonces el valor z crítico es:

(a) 2,00 (b) 1,645 (c) 1,28 (d) 1,96

28. Si se realiza una prueba de hipótesis de dos colas, con un tamaño de muestra de 10

observaciones y un nivel de significancia del 5%, entonces el valor t crítico es:

(a) 1,96 (b) 2,262 (c) 1,833 (d) 2,228

29. Observe la gráfica:

Con respecto a la gráfica anterior, es falso que:

(a) Si zc es –2,56, se rechaza la hipótesis nula.

(b) Si zc es –1,88, se acepta la hipótesis nula.

(c) Si zc es –3,02, el valor P es menor que el nivel de significancia.

(d) Si |zc| es 2,33, se rechaza la hipótesis nula.



233

30. Observe la gráfica:

Con respecto a la gráfica anterior, es falso que:

(a) La prueba es de una cola.

(b) El nivel de significancia es 1%.

(c) La hipótesis nula puede ser H1: μ < 50.

(d) Ninguna de las anteriores.

31. De acuerdo con el Instituto de Estadística y Censos, un hogar típico en nuestro país tiene

3,13 miembros. Una muestra de 25 hogares del área metropolitana presenta un número medio

de 2,86 miembros. La desviación estándar de esta muestra era de 1,2 residentes. A un nivel de

significancia del 5%, ¿es razonable concluir que el número medio de residentes de esta ciudad

es igual a la media nacional?

Para este problema, la hipótesis nula es:

(a) H0: μ = 2,86 (b) H0: μ = 3,13

(c) H0: μ < 3,13 (d) H0: μ = 1,2






Para este problema, la hipótesis alternativa es:

(a) H1: μ = 2,86 (b) H1: μ = 3,13

(c) H1: μ < 3,13 (d) H1: μ > 2,86






Para este problema, es cierto que:

(a) Debe calcularse z porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se desconoce σ

(b) Debe calcularse z porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se conoce σ

(c) Debe calcularse t porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se desconoce σ

(d) Debe calcularse t porque el tamaño de muestra es menor que 30 y se conoce σ








234

Para este problema, es cierto que:

(a) Es una prueba de una cola porque en la hipótesis nula se emplea el signo <

(b) Es una prueba de una cola porque en la hipótesis alternativa se emplea el signo <

(c) Es una prueba de una cola porque en la hipótesis alternativa se emplea el signo ≠

(d) Es una prueba de dos colas porque en la hipótesis alternativa se emplea el signo <






Para este problema, el valor del estadístico de prueba es:

(a) z = –1,13 (b) t = –1,13

(c) t = 1,711 (d) Ninguna de las anteriores






Para este problema, al calcular el valor tabular crítico para hacer la prueba es cierto que:

(a) Los grados de libertad son 25

(b) Los grados de libertad son 24

(c) Los grados de libertad son 26

(d) No se necesita determinar los grados de libertad






Para este problema, el valor tabular crítico para hacer la prueba es:

(a) z = –1,645 (b) t = 1,711

(c) t = –1,711 (d) t = 2,064






Para este problema, al hacer la prueba es verdadero que:

(a) Se acepta la hipótesis nula porque tc < tt

(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| < |tt|

(c) Se rechaza la hipótesis nula porque tc > tt

(d) Se acepta la hipótesis nula porque |zc|< |zt|



235






Para este problema, al hacer la prueba se puede concluir, con respecto al tamaño medio de los

hogares del área metropolitana, que:

(a) El tamaño medio es 2,86 miembros

(b) El tamaño medio es 3,13 miembros

(c) No hay evidencia suficiente para decir que el tamaño medio es menor que 3,13 miembros

(d) Hay evidencia suficiente para decir que el tamaño medio es menor que 3,13 miembros


1. b 2. a 3. b 4. c 5. d

6. b 7. c 8. a 9. a 10. c

11. a 12. a 13. a 14. b 15. b

16. d 17. a 18. d 19. a 20. a

21. c 22. b 23. c 24. c 25. a

26. b 27. d 28. b 29. d 30. d

31. b 32. c 33. d 34. b 35. b

36. b 37. c 38. b 39. c



236

11 .

Pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias o proporciones poblacionales

OBJETIVOS:


1. Identificar los distintos tipos de problemas para la diferencia de dos medias poblacionales

2. Aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis para problemas de medias de dos

poblaciones independientes con distintos tamaños de muestra

3. Aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis para problemas de medias con datos

apareados

4. Aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis para problemas de diferencia de dos

proporciones



237

Ejemplo Una empresa posee operaciones en dos países distintos y en cada país

posee una planta de producción. En uno de los países se tienen 2000

empleados y en el otro 3000. En ambas plantas se realizan los mismos

procesos, pero se ha observado que, según algunos datos muestrales, la

productividad de los operarios tiende a ser mayor en uno de los países que

en el otro.

Los datos recopilados se muestran en la tabla (la media y la desviación

estándar se expresan en número de unidades producidas correctamente por

hora):

Planta de

producción

Tamaño de

muestra

n

Media x

Desviación

estándar

En el país 1 40 22 3,1

En el país 2 50 31 4,2

Determine, a un nivel de significación del 5%, si se presenta diferencia

entre los dos promedios.

Solución Se tiene que n1 = 40, n2 = 50, 1x = 22, 2x = 31, σ1 = 3,1 y σ2 = 4,2.

El ejercicio busca determinar si existe diferencia, por lo que se tendrá que

probar si δ = 0.

Además, se indica que α = 0,05.

Entonces, se plantea la hipótesis nula como:

H0: μ1 – μ2 = 0

Como 1x = 22 < 2x = 31, entonces se formula la hipótesis alternativa

como:

H1: μ1 – μ2 < 0

Se usa Z porque aunque las desviaciones estándar poblacionales son

desconocidas, se tienen muestras grandes (n ≥ 30):

69,11

50

2,4

40

1,3

0)3122()(

22

2

2

2

1

2

1

21

nn

xxz



238

De la tabla normal con un nivel de significación del 5% se obtiene Zα =

1,645. El valor de Z calculado con la fórmula es menor que el Zα por lo

tanto cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Se concluye que se

rechaza Ho con α = 0,05. Se puede decir que existe evidencia suficiente

para creer que la productividad en el primer país es menor que en el

segundo.

Ejemplo Un vendedor de equipo tecnológico quiere determinar si hay diferencias en

el consumo de este tipo de productos por parte de entre los profesionales

en ciencias económicas y profesionales en ingeniería, pues ha tenido muy

buena experiencia vendiendo equipos para el primer profesional

mencionado.

Seleccionó una muestra al azar de 80 profesionales en ciencias económicas

y 70 ingenieros, encontrando que los primeros gastaron un promedio de

$1.250 en productos tecnológicos durante el último año, con una

desviación estándar de $400. Los ingenieros gastaron en promedio $980,

con una desviación estándar de $620. ¿Existe diferencia significativa, al

1% de significancia entre ambas poblaciones?

Solución En esta situación se tienen los datos para los dos grupos de profesionales,

las cuales se pueden resumir del modo siguiente:

1 2

Grupo Ciencias económicas Ingeniería

Tamaño de muestra 80 70

Promedio $1.250 $980

Desviación estándar $400 $620

Se plantean la hipótesis nula como la igual de las dos medias, o sea, que la

diferencia es cero:

H0: μ1 – μ2 = 0

También podrían plantearse la hipótesis nula como:

H0: μ1 = μ2

De acuerdo con la evidencia de la muestra, el promedio para los

profesionales en ciencias económicas es mayor, por lo que la hipótesis

alternativa podría plantearse como:

H1: μ1 > μ2

Así, las hipótesis serían:

H0: μ1 = μ2



239

H1: μ1 > μ2

Dado que se cuenta con tamaños de muestra superiores a 30 unidades, y se

conocen las desviaciones estándares poblacionales, entonces se aplica el

estadístico de prueba z:

12,3

70

620

80

400

0)9801250()(

22

2

2

2

1

2

1

21

nn

xxz

La prueba se realiza a un nivel de significancia del 1%, por lo que de la

tabla de la curva normal estándar se obtiene zt = 2,33.

Dado que el valor crítico | zc | = 3,12 es mayor que | zt | = 2,33, entonces se

rechaza la hipótesis nula. Se concluye que a un nivel de significancia del

1% existe evidencia suficiente para considerar que el consumo de

productos tecnológicos por parte de entre los profesionales en ciencias

económicas es mayor que el de los profesionales en ingeniería.

Ejercicio

de

revisión

Un analista de inversiones requiere asesorar a un cliente con respecto a los

riesgos de invertir en las acciones de dos compañías distintas llamadas

MuchMoney y VeryRich. Para ello toma una muestra de 40 variaciones

diarias en los precios de MuchMoney y obtiene un promedio de $2,8 con

una desviación estándar de $1,2; y una muestra de 50 variaciones diarias

de los precios de VeryRich, las cuales dan una media de $3,5 con una

desviación estándar de $1,8. ¿Es esta evidencia suficiente para considerar

que el comportamiento de ambas acciones es el mismo o son diferentes?

Solución:

Se tiene que n1 = 40, n2 = 50, 1x = 2,8, 2x = 3,5, σ1 = 1,2 y σ2 = 1,8.

El ejercicio busca determinar si existe diferencia, por lo que se tendrá que

probar si δ = 0.

Se tomará α = 0,05.

Entonces, se plantea la hipótesis nula como:

H0: μ1 – μ2 = 0

Como 1x = 2,8 < 2x = 3,5, entonces se formula la hipótesis alternativa

como:

H1: μ1 – μ2 < 0

Se usa Z porque aunque las desviaciones estándar poblacionales son



240

desconocidas, se tienen muestras grandes (n ≥ 30):

20,2

50

8,1

40

2,1

0)5,38,2()(

22

2

2

2

1

2

1

21

nn

xxz

De la tabla normal con un nivel de significación del 5% se obtiene Zα =

1,645. El valor de Z calculado con la fórmula es, en valor absoluto, mayor

que el Zα por lo tanto cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Se

concluye que se rechaza Ho con α = 0,05. Se puede decir que existe

evidencia suficiente para creer que el comportamiento de ambas acciones

no es el mismo.

Uso de Minitab para realizar la prueba de dos medias

Ejemplo Utilice Minitab para resolver el problema: Un vendedor de equipo

tecnológico quiere determinar si hay diferencias en el consumo de este tipo

de productos por parte de entre los profesionales en ciencias económicas y

profesionales en ingeniería, pues ha tenido muy buena experiencia

vendiendo equipos para el primer profesional mencionado. Seleccionó una

muestra al azar de 80 profesionales en ciencias económicas y 70

ingenieros, encontrando que los primeros gastaron un promedio de $1.250

en productos tecnológicos durante el último año, con una desviación

estándar de $400. Los ingenieros gastaron en promedio $980, con una

desviación estándar de $620. ¿Existe diferencia significativa, al 1% de

significancia entre ambas poblaciones?

Solución En esta situación se tienen los datos para los dos grupos de profesionales,

las cuales se pueden resumir del modo siguiente:

1 2

Grupo Ciencias económicas Ingeniería

Tamaño de muestra 80 70

Promedio $1.250 $980

Desviación estándar $400 $620

Se plantean la hipótesis nula y la hipótesis alternativa:

H0: μ1 = μ2

H1: μ1 > μ2

Dado que se cuenta con tamaños de muestra superiores a 30 unidades, y se

conocen las desviaciones estándares poblacionales, entonces se aplica el

estadístico de prueba z, pero en Minitab no aparece en el menú Estadísticas



241

/ Estadística básica una prueba "z de 2 muestras", sino que solo aparece "t

de 2 muestras". Sin embargo, la distribución normal y la distribución t

convergen conforme se incrementa el tamaño de la muestra, por lo que

usando el menú "t de 2 muestras" se obtendrán resultados bastante

aproximados. Entonces, se da clic al menú Estadísticas, luego Estadística

básica y se selecciona t de 2 muestras, y se completa el cuadro de diálogo

siguiente:

En el cuadro anterior se marcó la opción datos resumidos, pues ya se

cuenta con los cálculos de la media y la desviación estándar en cada caso.

En el botón opciones se indica el nivel de confianza, que en este caso sería

de 99%, pues la significancia es de 1%. La diferencia de la prueba es cero,

ya que se prueba la hipótesis nula de que ambas medias son iguales. Y la

hipótesis alternativa corresponde a que la primera media es mayor que la

segunda, por lo que se indica "mayor que":

Después se da clic en Aceptar, y luego Aceptar en el primer cuadro de

diálogo, y en la ventana Sesión se obtiene:



242

Se observa el valor de T = 3,12, que en este caso es igual al valor calculado

de z, y además se cuenta con el valor P = 0,001. Por cualquiera de los dos

criterios se rechaza la hipótesis nula.

Ejemplo Una empresa desea capacitar en gestión de proyectos a todos sus

profesionales. Una muestra de 15 empleados realizó la capacitación y

efectuaron la prueba para obtener la certificación en dicho tema. De los 15

colaboradores que hicieron, 9 la realizaron en modalidad presencial

(asistiendo a clases) y 6 la efectuaron en línea (a través de internet). La

tabla muestra los resultados obtenidos en la prueba final de cada curso.

Presencial 79 88 54 81 73 56 79 64 58

En línea 70 80 72 52 70 61

El departamento de recursos humanos desea saber si una modalidad de

estudio es más efectiva que la otra. Utilice un nivel de significación del

5%.

Solución Se tienen los datos:

Modalidad presencial: n1 = 9, 1x = 70,2, s1 = 12,5

Modalidad en línea: n2 = 6, 2x = 67,50, s2 = 9,71

Además, α = 0,05.

Como no se especifica el valor de la diferencia, puede suponerse que va a

ser cero, por lo que δ = 0. Además como 1x > 2x , se plantean las hipótesis

como:

H0: μ1 – μ2 = 0

H1: μ1 – μ2 > 0

También, podrían plantearse las hipótesis como:



243

H0: μ1 = μ2

H1: μ1 > μ2

Debido a que las desviaciones estándar poblacionales son desconocidas y

se tienen muestras pequeñas (n < 30) se usa t. Para esto se supone que las

poblaciones son normales y que σ1 = σ2. Se calcula:

42,132269

71,9)16(5,12)19(

2

)1()1(22

21

2

22

2

112

nn

snsn

Luego se calcula t:

45,0

6

42,132

9

42,132

0)5,672,70()(

2

2

1

2

21

nn

xxt

Aplicando la distribución t:

gl = n1 + n2 –2 = 9 + 6 – 2 = 13

Entonces de la tabla con α = 0,05, se obtiene tα = 1,771.

El valor de t calculado con la fórmula es menor que el tα, por lo tanto, cae

en la zona de aceptación de la hipótesis nula. Se acepta Ho con α = 0,05. Se

puede decir que la diferencia entre los promedios de ambas modalidades

de estudio no es estadísticamente significativa.

Ejemplo Los datos corresponden a los tiempos, en minutos, requeridos por una

muestra de empleados de dos departamentos distintos de una empresa en

un simulacro de evacuación de las instalaciones, esto como parte de la

preparación que se realiza ante eventuales situaciones de emergencia,

como terremotos o incendios.

Depto. 1 5 3 4 1 3 4 9 2

Depto. 2 4 2 5 4 6 3 2

Se desea saber a un nivel de significación del 5% si la diferencia de los

tiempos promedio de los dos grupos es significativa.

Solución Se tienen los datos: n1 = 8, 1x = 3,875, s1 = 2,416, n2 = 7, 2x = 3,714, s2 =

1,496, α = 0,05. Como no se especifica el valor de la diferencia, puede

suponerse que va a ser cero, por lo que δ = 0. Además como 1x > 2x , se

plantean las hipótesis como:

H0: μ1 = μ2



244

H1: μ1 > μ2


se tienen muestras pequeñas (n < 30) se usa t. Para esto se supone que las

poblaciones de los tiempos son normales y que σ1 = σ2. Se calcula:

176,4278

496,1)17(416,2)18(

2

)1()1(22

21

2

22

2

112

nn

snsn

Luego se calcula t:

152,0

7

176,4

8

176,4

0)714,3875,3()(

2

2

1

2

21

nn

xxt

Aplicando la distribución t:

gl = n1 + n2 –2 = 8 + 7 – 2 = 13

Entonces tα = 1,771 de la tabla con α = 0,05.

El valor de t calculado con la fórmula es menor que el tα, por lo tanto, cae

en la zona de aceptación de la hipótesis nula. Se acepta Ho con α = 0,05. Se

puede decir que la diferencia entre los promedios de los tiempos de

evacuación de los dos departamentos no es estadísticamente significativa.

Ejercicio

de

revisión

Un investigador desea determinar si la tasa de mortalidad anestésica se ha

incrementado en los hospitales del país durante el último año. Toma una

muestra de 15 casos de pacientes anestesiados durante este último mes, de

los cuales fallecieron por anestesia dos de ellos, y una muestra de 13 casos

de pacientes anestesiados para el mismo mes del año pasado, y los

registros indican que falleció solamente uno. ¿Son estos datos evidencia

suficiente para concluir que la mortalidad anestésica se ha incrementado?

Use un nivel de significancia del 1%.

Solución:

Se cuenta con la siguiente información:

Último mes este año: p1 = 2/15 = 0,1333

Mismo mes año anterior: p2 = 1/13 = 0,0769

Entonces se calcula p:

1071,01315

12

21

21

nn

ppp



245

q = 1 – 0,1071 = 0,8929

Se plantean las hipótesis:

Ho: p1 = p2

H1: p1 > p2

Luego se calcula z:

4814,0

13

1

15

18929,01071,0

0769,01333,0

11

21

21

nnpq

ppzc

De la tabla se obtiene Zα/2 = 2,33. El valor de Zc cae en la zona de

aceptación de H0, por lo tanto se acepta H0 con α = 0,01. La diferencia no

es estadísticamente significativa, es decir, estos datos no apoyan la

afirmación de que la tasa de mortalidad anestésica se ha incrementado en

los hospitales del país durante el último año.

Uso de Minitab para realizar la prueba de dos medias con n pequeña

Ejemplo Utilice Minitab para resolver el problema: Los datos corresponden a los

tiempos, en minutos, requeridos por una muestra de empleados de dos

departamentos distintos de una empresa en un simulacro de evacuación de

las instalaciones, esto como parte de la preparación que se realiza ante

eventuales situaciones de emergencia, como terremotos o incendios.

Depto. 1 5 3 4 1 3 4 9 2

Depto. 2 4 2 5 4 6 3 2


tiempos promedio de los dos grupos es significativa.

Solución Primero que todo se introducen los datos en columnas de la hoja de trabajo

de Minitab:



246

Resulta útil calcular cada una de las medias, para saber que 1x = 3,875 y

que 2x = 3,714, y se plantean las hipótesis como:

H0: μ1 = μ2

H1: μ1 > μ2


se tienen muestras pequeñas (n < 30) se usa t. Para esto se da clic en el

menú Estadísticas / Estadística básica / t de 2 muestras, y se completa el

cuadro de diálogo siguiente:

En el cuadro de diálogo anterior se marca la opción de Muestras en

diferentes columnas, pues los datos de cada departamento se introdujeron

en una columna separada. Además es necesario marcar la casilla Asumir

varianza iguales. Luego en el botón opciones se indica el nivel de

confianza, que sería de 95%, la diferencia de la prueba, que es cero, y el

signo de la hipótesis alternativa, que es mayor que:



247

Al dar clic en Aceptar se obtiene en la ventana Sesión la solución

siguiente:

Se observa que el valor calculado de t es 0,15, menor que el tα, por lo

tanto, cae en la zona de aceptación de la hipótesis nula. O bien, se usa el

valor P = 0,441. Se acepta Ho con α = 0,05. Se puede decir que la

diferencia entre los promedios de los tiempos de evacuación de los dos

departamentos no es estadísticamente significativa.



248

Ejemplo Los empleados de un departamento de una empresa han realizado un

simulacro de evacuación de las instalaciones, esto como parte de la

preparación que se realiza ante eventuales situaciones de emergencia,

como terremotos o incendios, y se obtuvo, en una muestra de 8 empleados

un tiempo medio de evacuación de 5,25 minutos. Se considera que ese

tiempo es muy alto, por lo que se implementa un plan para informar al

personal sobre los planes de emergencias de la empresa. Luego de estas

medidas se vuelve a realizar el simulacro, y los mismos 8 empleados

promedian 4,5 minutos. La tabla muestra los tiempos antes y después de

las medidas implementadas. Aunque se presenta una mejora, existe la duda

de si esa diferencia es significativa estadísticamente.

Antes 7 4 5 3 4 5 10 4

Después 5 3 5 4 6 4 6 3


tiempos promedio es significativa.

Solución Primero se calculan las diferencias, di, entre el "antes" y el "después" para

cada una de las observaciones, o sea, se resta el dato "antes" menos el dato

"después":

Antes 7 4 5 3 4 5 10 4

Después 5 3 5 4 6 4 6 3

Diferencia 2 1 0 -1 -2 1 4 1

Con estas diferencias se calcula la media de las diferencias y su desviación

estándar:

dx = 0,75

sd = 1,832


Ho: μd = 0

H1: μd > 0

Se calcula t:

158,18832,1

75,0

ns

xt

d

d

Se tienen gl = n –1 = 8 – 1 = 7, con α = 0,05, con una cola, por lo que, de

la tabla, tα = 1,895.

El valor de t calculado es menor que el tα, por lo tanto, cae en la zona de

aceptación de la hipótesis nula. Se rechaza Ho con α = 0,05. Se puede decir

que las medidas implementadas no han sido efectivas.



249

Ejemplo La tabla muestra las cantidades producidas por hora elaboradas por 8

operarios antes de recibir un entrenamiento y las cantidades producidas

luego de la misma.

Antes 8 8 9 6 9 7 12 12

Después 6 10 7 11 9 12 14 8

Pruebe la afirmación de que la capacitación ha sido efectiva, al nivel de

significancia de 0,05.

Solución Primero se calculan las diferencias, di: 2, –2, –2, –5, 0, –5, –2, 4.

Con estas diferencias se calcula: dx = –0,75 y sd = 3,33.


Ho: μd = 0

H1: μd < 0

Se calcula t:

637,0833,3

75,0

ns

xt

d

d

Se tienen gl = n –1 = 8 – 1 = 7, con α = 0,05, por lo que, de la tabla de la

distribución t se obtiene tα = 1,895.

El valor de t calculado, en valor absoluto, es menor que el tα, por lo tanto,

cae en la zona de aceptación de la hipótesis nula. Se acepta Ho con α =

0,05. Se puede decir que no hay evidencia estadística suficiente para

concluir que el entrenamiento ha sido efectivo.



250

Ejercicio

de

revisión

Un ingeniero desea probar la hipótesis de que los neumáticos para

automóviles fabricados en el país son de tanta calidad como los

importados. Con este fin toma una muestra de 7 vehículos los cuales serán

acelerados hasta 100 km/h y luego serán frenados en seco y en cada caso

se medirá la distancia de frenado. La prueba será aplicada a los mismos 7

vehículos, primero con los neumáticos nacionales y luego con los

importados. Después de realizar las pruebas se obtuvieron los siguientes

datos (distancias de frenado en metros):

Automóvil 1 2 3 4 5 6 7

Neumático nacional 142 138 144 146 150 137 141

Neumático importado 140 139 142 139 141 137 135

Pruebe la hipótesis al 5% de significancia.

Solución:

Primero se calculan las diferencias, di: 2, –1, 2, 7, 9, 0, 6.

Con estas diferencias se calcula: dx = 3,57 y sd = 3,78.


Ho: μd = 0

H1: μd > 0

Se calcula t:

5,2778,3

57,3

ns

xt

d

d

Se tienen gl = n –1 = 7 – 1 = 6, con α = 0,05, por lo que, de la tabla de la

distribución t se obtiene tα = 1,943.

El valor de t calculado, en valor absoluto, es mayor que el tα, por lo tanto,

cae en la zona de rechazo de la hipótesis nula. Se rechaza Ho con α = 0,05.

Se puede decir que hay evidencia estadística suficiente para concluir que la

distancia de frenado de los neumáticos para automóviles fabricados en el

país es mayor que la de los importados.



251

Uso de Minitab para realizar la prueba con observaciones pareadas

Ejemplo Utilice Minitab para resolver el siguiente problema. La tabla muestra las

cantidades producidas por hora elaboradas por 8 operarios antes de recibir

un entrenamiento y las cantidades producidas luego de la misma.

Antes 8 8 9 6 9 7 12 12

Después 6 10 7 11 9 12 14 8

Pruebe la afirmación al nivel de 0,05, de que la capacitación ha sido

efectiva.

Solución En Minitab lo primero que se realiza es la introducción de los datos en dos

columnas distintas de la hoja de trabajo:


Ho: μd = 0

H1: μd < 0

Para esto se da clic en el menú Estadísticas / Estadística básica / t pareada,

y se completa el cuadro de diálogo siguiente, indicando en Muestras en

columnas las columnas en que se hallan los datos:



252

En el botón Opciones se indica la diferencia de la prueba, que en este caso

es cero, y el signo de la prueba, que es el menor que de la hipótesis

alternativa:

Luego se da clic en Aceptar y Minitab da el resultado en la ventana Sesión:

En esta salida se observa el valor de t calculado de -0,64, que es necesario

comparar con el valor t tabular. También se puede hacer la prueba

empleando el valor P = 0,272. En cualquier caso, se acepta Ho con α =

0,05. Se puede decir que no hay evidencia estadística suficiente para

concluir que el entrenamiento ha sido efectivo.



253

Ejemplo Un investigador en el área de tecnología quiere determinar si hay

diferencias en el uso de las redes sociales en internet entre hombres y

mujeres. Para este fin toma una muestra de 40 hombres y 50 mujeres, y

obtuvo que de ellos 28 hombres empleaban a diario al menos una de estas

redes y 25 mujeres también usaban a diario al menos una de las redes. Con

base en esos datos y a un nivel de significancia de 5%, ¿puede concluirse

que existe diferencia significativa entre hombres y mujeres e n cuanto a su

frecuencia de uso de las redes sociales en internet?

Solución Se cuenta con la siguiente información:

Hombres: p1 = 28/40 = 0,70

Mujeres: p2 = 25/50 = 0,50


Ho: p1 = p2

H1: p1 > p2

Primero se calculan p y q:

59,05040

2528

21

21

nn

ppp

q = 1 – 0,5889 = 0,41

Luego se calcula z:

92,1

50

1

40

141,059,0

50,070,0

11

21

21

nnpq

ppz

De la tabla se obtiene Zα/2 = 1,96. Como puede verse en el gráfico, el valor

de Zc cae en la zona de aceptación de H0, por lo tanto se acepta H0 con α =

0,05. La diferencia no es estadísticamente significativa. La proporción de

hombres que emplea a diario las redes sociales en internet no es

significativamente diferente de la proporción de mujeres que realizan esta

actividad.

Ejemplo En un lote de 500 piezas fabricadas esta semana en una línea de

ensamblado se obtuvieron 18 con defectos. En otro lote de 400 piezas

tomadas de otra línea de ensamblado se obtuvieron 25 defectuosas.

Determine si las líneas producen la misma proporción de piezas con

defectos, al nivel de significación de 5%.



254


p1 = 18/500 = 0,036

p2 = 25/400 = 0,0625


0478,0400500

2518

21

21

nn

ppp

q = 1 – 0,0478 = 0,9522


Ho: p1 = p2

H1: p1 ≠ p2

Luego se calcula z:

852,1

400

1

500

19522,00478,0

0625,0036,0

11

21

21

nnpq

ppzc



es estadísticamente significativa. La proporción de piezas con defectos

mayores es igual en las dos líneas de ensamble.

Ejercicio

de

revisión

Un investigador cree que las mujeres emplean la tarjeta de crédito más que

los hombres. Para probar su hipótesis toma una muestra de 90 mujeres y

encuentra que 64 de ellas emplea regularmente la tarjeta de crédito. Por

otro lado, una muestra de 120 hombres arrojó que 76 empleaban la tarjeta

de crédito con regularidad. ¿Tiene razón el investigador? Utilice un nivel

de significancia del 1%.

Solución:

Se cuenta con la siguiente información:

Mujeres: p1 = 64/90 = 0,7111

Hombres: p2 = 76/120 = 0,6333


6667,012090

7664

21

21

nn

ppp



255

q = 1 – 0,6667 = 0,3333


Ho: p1 = p2

H1: p1 > p2

Luego se calcula z:

18,1

120

1

90

13333,06667,0

6333,07111,0

11

21

21

nnpq

ppzc



es estadísticamente significativa, es decir, no apoya la afirmación de que

las mujeres emplean la tarjeta de crédito más que los hombres.

Uso de Minitab para la prueba de dos proporciones

Ejemplo Utilice Minitab para resolver el problema siguiente: En un lote de 500

piezas fabricadas esta semana en una línea de ensamblado se obtuvieron 18

con defectos. En otro lote de 400 piezas tomadas de otra línea de

ensamblado se obtuvieron 25 defectuosas. Determine si las líneas

producen la misma proporción de piezas con defectos, al nivel de

significación de 5%.


p1 = 18/500 = 0,036

p2 = 25/400 = 0,0625

Entonces, se plantean las hipótesis:

Ho: p1 = p2

H1: p1 ≠ p2

Ahora se da clic en el menú Estadísticas / Estadística básica / 2

proporciones, y se completa el cuadro de diálogo siguiente, indicando en

Datos resumidos los valores correspondientes:



256

Luego en el botón Opciones se indica el nivel de confianza, el signo de la

prueba (mayor, menor o diferente en la hipótesis alternativa) y se debe

marcar la casilla Utilice el cálculo agrupado de p para la prueba:

Después se da clic en Aceptar y la salida se obtiene en la ventana sesión:

Se observa el valor de z de -1,85, que cae en la zona de aceptación de H0, o

bien, se emplear el valor P = 0,064, que es mayor que el nivel de

significancia de 0,05. Por lo tanto, se acepta concluye que la diferencia en

la proporción de piezas con defectos mayores no es estadísticamente

significativa.



257




1. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que los

operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música empleando

algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree que la música

genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de

empleados de la primera empresa, que oyen música, y se midió su productividad. También se

tomó una muestra de empleados de la segunda empresa, que no oyen música, y se midió la

productividad empleando los mismos métodos que en la primera empresa.

En un problema como este, la hipótesis nula se podría expresar como, si μ1 es la

productividad media en la primera empresa y μ2 es la productividad media en la segunda

empresa:

(a) H1: μ1 = μ2 (b) H0: μ1 > μ2

(c) H0: μ1 - μ2 = 0 (d) H0: μ1 μ2








En un problema como este, la hipótesis alternativa se podría expresar como, si μ1 es la

productividad media en la primera empresa y μ2 es la productividad media en la segunda

empresa:

(a) H0: μ1 > μ2 (b) H1: μ1 - μ2 > 0

(c) H1: μ1 = μ2 (d) H1: μ1 μ2








En este problema, si las muestras son grandes y las varianzas poblacionales conocidas, se

emplea el siguiente estadístico de prueba:

(a)

2

2

1

2

21 )(

nn

xxt

(b)

ns

xt

d

d

(c)

21

21

11

nnpq

ppz (d)

2

2

2

1

2

1

21 )(

nn

xxz



258








En este problema, si las muestras son pequeñas y las varianzas poblacionales desconocidas, se

emplea el siguiente estadístico de prueba:

(a)

2

2

1

2

21 )(

nn

xxt

(b)

ns

xt

d

d

(c)

21

21

11

nnpq

ppz (d)

2

2

2

1

2

1

21 )(

nn

xxz




genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una muestra de 50

empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40 unidades

elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 60 empleados de la segunda

empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se conoce

que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la primera y

la segunda empresa, respectivamente.

Con base en estos datos se puede calcular el estadístico de prueba:

(a) z = 2,09 (b) z = 1,96











En este problema, el valor crítico o tabular para hacer la prueba es, al 5% de significancia:

(a) z = 2,09 (b) z = 1,645










259




En este problema, es correcto que, al 5% de significancia:

(a) Se rechaza la hipótesis alternativa porque |zc| > |zt|

(b) Se acepta la hipótesis nula porque |zc| > |zt|

(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |zc| > |zt|










la segunda empresa, respectivamente. Al realizar la prueba de hipótesis el gerente de la

primera empresa indica que "hay evidencia muestral suficiente para considerar que la música

sí tiene efecto positivo sobre la productividad", y el gerente de la segunda empresa expresa

que "la evidencia muestral señala que la diferencia entre las productividades medias entre las

dos empresas es significativa".

Con respecto a estas dos afirmaciones, es correcto que, al 5% de significancia:

(a) Ambas son verdaderas (b) Ambas son falsas

(c) Solo el primer gerente tiene razón (d) Solo el segundo gerente tiene razón










Con base en estos datos se puede calcular el estadístico de prueba:

(a) t = 2,09 (b) z = 2,09


10. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que

los operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música

empleando algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree

que la música genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una

muestra de 10 empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40

unidades elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 15 empleados de la

segunda empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se

conoce que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la



260

primera y la segunda empresa, respectivamente. En este problema, el valor crítico o tabular

para hacer la prueba es, al 5% de significancia:

(a) t = 1,714 (b) z = 1,96


11. Considere la siguiente situación: El gerente de producción de una fábrica considera que

los operarios que realizan tareas repetitivas son más productivos cuando oyen música

empleando algún aparato con audífonos. El gerente de producción de otra empresa no cree

que la música genere ese efecto positivo. Para determinar quién tiene la razón se tomó una

muestra de 10 empleados de la primera empresa y se obtuvo una productividad media de 40

unidades elaboradas por hora por operario. Se tomó una muestra de 15 empleados de la

segunda empresa y se obtuvo una productividad media de 36 unidades elaboradas por hora. Se

conoce que las desviaciones estándar poblacionales son de 8 y 12 unidades por hora para la

primera y la segunda empresa, respectivamente.


(a) Se acepta la hipótesis alternativa porque |tc| < |tt|

(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| < |tt|

(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |tc| < |tt|


12. Con respecto a los problemas cuando n1 o n2, o ambas, son menores de 30 y se

desconocen las varianzas poblacionales, se afirma que:

A. Se usa el estadístico 2

2

2

1

2

121 )(

nnxxz

B. Se usa el estadístico t si se puede suponer que las poblaciones son normales y que

σ1 = σ2 = σ.

Con respecto a estas dos afirmaciones, es correcto que:


(c) Solo la afirmación A es verdadera (d) Solo la afirmación B es verdadera

13. Con respecto a los problemas cuando n1 o n2, o ambas, son menores de 30 y se

desconocen las varianzas poblacionales, se afirma que:

A. Se calcula la varianza como 2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

snsn

B. Los grados de libertad son gl = n1 + n2 – 2.

Con respecto a estas dos afirmaciones, es correcto que:


(c) Solo la afirmación A es verdadera (d) Solo la afirmación B es verdadera

14. Este mes se ha estrenado una nueva película de dibujos animados en los cines del país. Se

desea saber si los adultos y los niños valoran de igual manera la película. Por lo tanto, se pidió

a una muestra de adultos evaluar la película en una escala de 0 a 10, donde 0 es el mínimo y

10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños. Los resultados obtenidos fueron:

Adultos 8 5 6 4 5 6 7 3

Niños 9 10 7 8 9 6 8 6 8



261

En este problema, la hipótesis nula se podría expresar como, si μ1 es la evaluación media de

los adultos y μ2 es la evaluación media de los niños:

(a) H1: μ1 = μ2 (b) H0: μ1 > μ2

(c) H0: μ1 - μ2 = 0 (d) H0: μ1 μ2




10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños.

Los resultados obtenidos fueron:

Adultos 8 5 6 4 5 6 7 3

Niños 9 10 7 8 9 6 8 6 8

En este problema, la hipótesis alternativa se podría expresar como, si μ1 es la evaluación

media de los adultos y μ2 es la evaluación media de los niños:

(a) H1: μ1 < μ2 (b) H1: μ1 = μ2

(c) H0: μ1 - μ2 < 0 (d) H1: μ1 μ2




10 el máximo. Lo mismo se aplicó a una muestra de niños. Los resultados obtenidos fueron:

Adultos 8 5 6 4 5 6 7 3

Niños 9 10 7 8 9 6 8 6 8

En este problema, se puede calcular el estadístico de prueba:

(a) |z| = 3,32 (b) t = 1,771

(c) t = -3,32 (d) Ninguna de las anteriores






Adultos 8 5 6 4 5 6 7 3

Niños 9 10 7 8 9 6 8 6 8

En este problema, se puede calcular el valor crítico o tabular, al 5% de significancia:

(a) z = -1,645 (b) t = -1,753

(c) t = -1,746 (d) Ninguna de las anteriores







262


Adultos 8 5 6 4 5 6 7 3

Niños 9 10 7 8 9 6 8 6 8


(a) Se rechaza la hipótesis alternativa porque |tc| > |tt|

(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| > |tt|

(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |tc| > |tt|


19. Un instituto que trabaja en la investigación de riesgos analizó el tiempo que las personas

duran en cruzar una calle cuando hablan por teléfono celular o envían mensajes de texto y

cuando no lo hacen, pues se considera que distraerse puede incrementar la probabilidad de ser

atropellado. Se seleccionó una calle y una muestra de 10 personas hicieron la prueba de cruzar

la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo. Los

resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):

Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Usando celular 6 8 10 9 7 12 8 9 15 9

Sin usar celular 5 6 7 6 5 8 7 7 12 8

En este problema se puede plantear la hipótesis nula, donde μd es la media de las diferencias

entre los tiempos con y sin uso del celular:

(a) Ho: μd = 0 (b) Ho: μd 0

(c) H1: μd = 0 (d) Ninguna de las anteriores





la calle usando su celular y luego volvieron a hacer la prueba sin emplear ese dispositivo.

Los resultados obtenidos son los siguientes (tiempo en segundos para cruzar la calle):

Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Usando celular 6 8 10 9 7 12 8 9 15 9

Sin usar celular 5 6 7 6 5 8 7 7 12 8

En este problema no se puede plantear la hipótesis alternativa del modo siguiente, donde μd es

la media de las diferencias entre los tiempos con y sin uso del celular:

(a) H1: μd < 0 (b) H1: μd 0

(c) H1: μd > 0 (d) Ninguna de las anteriores








263


Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Usando celular 6 8 10 9 7 12 8 9 15 9

Sin usar celular 5 6 7 6 5 8 7 7 12 8

La desviación estándar de las diferencias es:

(a) 1,033 (b) 1,067

(c) 2,2 (d) Ninguna de las anteriores







Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Usando celular 6 8 10 9 7 12 8 9 15 9

Sin usar celular 5 6 7 6 5 8 7 7 12 8

En este problema se emplea el siguiente estadístico de prueba:

(a) z = 6,74 (b) t = 2,12








Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Usando celular 6 8 10 9 7 12 8 9 15 9

Sin usar celular 5 6 7 6 5 8 7 7 12 8


(a) Se rechaza la hipótesis alternativa porque |tc| > |tt|

(b) Se acepta la hipótesis nula porque |tc| > |tt|

(c) Se rechaza la hipótesis nula porque |tc| > |tt|










264

Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Usando celular 6 8 10 9 7 12 8 9 15 9

Sin usar celular 5 6 7 6 5 8 7 7 12 8

En este problema, se puede concluir que, al 5% de significancia:

(a) No existe diferencia significativa entre los tiempos promedio de los peatones que cruzan la

calle usando el teléfono celular y los que no lo hacen.

(b) Los tiempos promedio de los peatones que cruzan la calle usando el teléfono celular y los

que no lo hacen son iguales.

(c) Los tiempos promedio de los peatones que cruzan la calle usando el teléfono celular son

menores que los tiempos de los que no lo hacen.


25. Un fabricante de teléfonos celulares líder en el mercado ha anunciado que pronto lanzará

un nuevo modelo de su principal producto. La empresa realizó un estudio en el que descubrió

que, en una muestra de 70 usuarios actuales de sus productos, que 20 comprarían el nuevo

modelo en la misma semana del lanzamiento. En una muestra de 50 consumidores que no son

usuarios de sus productos, 10 comprarían el nuevo modelo en la misma semana del

lanzamiento.

¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios actuales tienen

mayor disposición para comprar el nuevo modelo?

En este problema, la hipótesis nula se puede plantear como:

(a) H1: P1 = P2 (b) H0: P1 > P2

(c) H0: P1 - P2 = 0 (d) H0: P1 P2






lanzamiento. ¿Constituyen estos datos evidencia suficiente para considerar que los usuarios

actuales tienen mayor disposición para comprar el nuevo modelo?

En este problema, si P1 es la proporción de usuarios actuales que comprarían el nuevo modelo

en la semana del lanzamiento y P2 es la proporción de no usuarios actuales que comprarían el

nuevo modelo en la semana del lanzamiento, la hipótesis alternativa se puede plantear como:

(a) H1: P1 = P2 (b) H1: P1 > P2

(c) H1: P1 - P2 < 0 (d) H1: P1 P2










265

En este problema, si las muestras son grandes, se emplea el siguiente estadístico de prueba:

(a)

2

2

1

2

21 )(

nn

xxt

(b)

ns

xt

d

d

(c)

21

21

11

nnpq

ppz (d)

2

2

2

1

2

1

21 )(

nn

xxz








En este problema se emplea el siguiente estadístico de prueba:

(a) z = 1,07 (b) z = 1,96

(c) z = 1,10 (d) Ninguna de las anteriores








En este problema el cálculo agrupado de p da por resultado:

(a) 0,25 (b) 0,2429

(c) 0,4857 (d) Ninguna de las anteriores








En este problema, al 1% de significancia, se puede concluir con respecto a la diferencia entre

la proporción de clientes actuales que comprarían el nuevo modelo y la proporción de los que

no son usuarios actuales que también comprarían el nuevo modelo que:

(a) Existe diferencia significativa entre ambas proporciones.

(b) Ambas proporciones son iguales.

(c) La evidencia muestral no indica que haya diferencia significativa.




266


1. c 2. b 3. d 4. a 5. a

6. b 7. c 8. a 9. c 10. a

11. b 12. d 13. a 14. c 15. a

16. c 17. b 18. c 19. a 20. d

21. a 22. c 23. c 24. d 25. c

26. b 27. c 28. a 29. a 30. c



267

12 .

Correlación lineal y regresión lineal simple

OBJETIVOS:


1. Aplicar el concepto de correlación para analizar la relación dos variables

2. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación lineal simple

3. Distinguir los conceptos de correlación y causalidad

4. Calcular e interpretar los coeficientes de la recta de regresión lineal simple

5. Calcular e interpretar el coeficiente de determinación

6. Emplear la ecuación de la recta de regresión para interpolar y extrapolar nuevos valores de

las variables del modelo



268

Ejemplo Un investigador desea analizar la relación entre el número de horas que un

grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen de estadística y la

nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba. ¿Cuáles son las

variables de este problema y cuáles son los datos que el investigador podría

buscar?

Solución En este caso el investigador analiza la relación entre las dos variables

mencionadas, número de horas que un grupo de estudiantes dedica a

prepararse para un examen de estadística (variable x) y la nota que cada uno

de ellos obtiene en dicha prueba (variable y).

El investigador debe tomar una muestra de estudiantes y registrar los valores

de ambas variables. Suponga que los resultados de observar ocho estudiantes

se resumen en la tabla (las notas están expresadas en una escala de 0 a 100):

Número de estudiante Horas de estudio (X) Calificación en el examen (Y)

1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

–

Ejemplo Construya el diagrama de dispersión para los datos recopilados en el caso

del investigador que analiza la relación entre el número de horas que un


nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba.


1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

–

Solución Para construir el diagrama de dispersión se trazan primero los dos ejes

cartesianos, y luego cada par de valores (x, y) se representa como un punto

en el gráfico. En este caso, por ejemplo, el punto que se encuentra más arriba

a la derecha representa al estudiante número 1, que estudió 21 horas para su



269

examen y obtuvo una calificación de 80 puntos. El punto que se encuentra

más a la izquierda representa al estudiante número 7, que estudió solo 6

horas y obtuvo una nota de 50.

Ejercicio

de

revisión

En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso familiar

mensual y los gastos mensuales en esparcimiento de las familias. La tabla

muestra los datos para una muestra de 12 familias:

Número de familia

Ingreso familiar mensual (X, en $)

Gasto mensual en esparcimiento (Y, en $)

1 500 60

2 1200 100

3 1800 150

4 2500 300

5 750 50

6 800 30

7 900 80

8 1000 75

9 400 25

10 650 60

11 825 95

12 750 60

Construya el diagrama de dispersión.

Horas de estudio (X)

Calif

icació

n e

xam

en (

Y)

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

0 5 10 15 20 25



270

Solución:

Ejemplo Construya el diagrama de dispersión, usando Excel y Minitab, para los datos

recopilados en el caso del investigador que analiza la relación entre el

número de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un

examen de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha

prueba.


1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

–

Solución En Excel se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna

separada:

0

50

100

150

200

250

300

350

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Gas

to m

en

sual

en

esp

arci

mie

nto

Ingreso familiar mensual



271

Luego se seleccionan los datos, se da clic en la pestaña Insertar, se

selecciona en la sección Gráficos y se elige la primera opción de Dispersión:

Así, aparecerá en la hoja de Excel el gráfico construido:

En Minitab se introducen los datos de X y Y cada uno en una columna

separada de la hoja de trabajo:

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25



272

Luego se da clic en el menú Gráfica, y se elige Dispersión. En el cuadro de

diálogo se escoge la opción Simple y se completa el cuadro de diálogo

siguiente:

Al dar clic en el botón Aceptar se obtiene el gráfico en una ventana separada

en Minitab:



273

Ejemplo Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson para los datos

recopilados en el caso del investigador que analiza la relación entre el



prueba.


1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

–

Solución Para el cálculo del coeficiente conviene preparar una tabla como la

siguiente, en la cual se han agregado tres columnas más, una para los

productos de cada valor de X por cada valor de Y, otra para calcular los

cuadrados de cada valor de X, y una más para cada calcular los cuadrados de

cada valor de Y. Al final se agregó una línea más para calcular las sumatorias

de cada una de las columnas.

X Y XY X2 Y2 1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

Total

–

Ahora se completan las tres columnas nuevas. La columna XY se completa

multiplicando cada X por cada Y. Por ejemplo, se multiplica 21 por 80, y así

obtiene 1680, después multiplica 15 por 60, que es 900, y así sucesivamente.

La columna X2 se completa elevando al cuadrado cada valor de X. Por

ejemplo, se eleva al cuadrado 21, y así obtiene 441, después eleva al

cuadrado 15, que es 225, y así sucesivamente se completa la columna. La

columna Y se completa elevando al cuadrado cada Y. Por ejemplo, se eleva

80 al cuadrado, y así obtiene 6400, después eleva al cuadrado 60, que es

3600, y así sucesivamente.



274

X Y XY X2 Y2 1 21 80 1680 441 6400

2 15 60 900 225 3600

3 15 70 1050 225 4900

4 9 40 360 81 1600

5 12 60 720 144 3600

6 18 70 1260 324 4900

7 6 50 300 36 2500

8 12 50 600 144 2500

Total

Luego se calculan las sumatorias o totales de cada una de las columnas:

X Y XY X2 Y2 1 21 80 1680 441 6400

2 15 60 900 225 3600

3 15 70 1050 225 4900

4 9 40 360 81 1600

5 12 60 720 144 3600

6 18 70 1260 324 4900

7 6 50 300 36 2500

8 12 50 600 144 2500

Total 108

X

480

Y

6870

XY

1620

X2

30000

Y2

Finalmente se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de

correlación lineal:

))()()((

))((

2222

YYNXXN

YXXYNr

Los valores a sustituir son:

N = 8, X = 108, Y = 480, XY = 6870, X2 = 1620, Y

2 = 30000:

))480(300008)()108(16208(

48010868708

22

r

r = 0,885

–

Ejercicio

de






275

revisión

Número de familia



1 500 60

2 1200 100

3 1800 150

4 2500 300

5 750 50

6 800 30

7 900 80

8 1000 75

9 400 25

10 650 60

11 825 95

12 750 60

Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

Solución:

Se construye la tabla de las sumatorias o totales de cada una de las

columnas:

X Y XY X2 Y2 1 500 60 30000 250000 3600

2 1200 100 120000 1440000 10000

3 1800 150 270000 3240000 22500

4 2500 300 750000 6250000 90000

5 750 50 37500 562500 2500

6 800 30 24000 640000 900

7 900 80 72000 810000 6400

8 1000 75 75000 1000000 5625

9 400 25 10000 160000 625

10 650 60 39000 422500 3600

11 825 95 78375 680625 9025

12 750 60 45000 562500 3600

Total 12075

X

1085

Y

1550875

XY

16018125

X2

158375

Y2

Se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de correlación lineal:

))()()((

))((

2222

YYNXXN

YXXYNr

Los valores a sustituir son:



276

))1085(15837512)()12075(1601812512(

108512075155087512

22

r

r = 0,9509

Ejemplo Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson, usando Excel y

Minitab, para los datos recopilados en el caso del investigador que analiza la

relación entre el número de horas que un grupo de estudiantes dedica a

prepararse para un examen de estadística y la nota que cada uno de ellos

obtiene en dicha prueba.


1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

–


separada:

Luego en una celda separada se introduce la función:

=COEF.DE.CORREL(matriz1;matriz2)

Como los valores de X se encuentran en el rango A2:A9, y los valores de Y

se encuentran en el rango B2:B9, entonces la función se completa del modo

siguiente:

=COEF.DE.CORREL(A2:A9;B2:B9)



277

Al presionar la tecla Enter (o Intro) se obtiene el valor del coeficiente de

correlación r = 0,885.



Luego se da clic en el menú Estadísticas, se selecciona Estadística básica y

ahí se busca la opción Correlación. Se debe completar el siguiente cuadro de

diálogo seleccionando las variables de la lista de la izquierda (debe dar doble

clic sobre cada una):

Al dar clic en el botón Aceptar se obtiene el valor del coeficiente de

correlación r = 0,885 en la ventana Sesión de Minitab:



278

Ejemplo Para el caso del investigador que desea analizar la relación entre el número

de horas que un grupo de estudiantes dedica a prepararse para un examen

de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba.

¿Cuál sería el modelo que se podría plantear?

Solución En este caso el investigador analiza la relación entre las dos variables

mencionadas, número de horas que un grupo de estudiantes dedica a

prepararse para un examen de estadística (variable x) y la nota que cada

uno de ellos obtiene en dicha prueba (variable y).

El investigador tomó una muestra de estudiantes y registró los valores de

ambas variables y obtuvo un coeficiente de correlación lineal de Pearson

de r = 0,885, que indica una correlación lineal directa y fuerte entre las dos

variables. Conceptualmente es razonable considerar que la variable

número de horas que un estudiante dedica a prepararse para un examen de

estadística (variable x) pueda ser determinante de la nota que obtiene en

dicha prueba (variable y), por lo que podría formularse un modelo lineal

del tipo:

y = a + bx

donde y es la nota obtenida en el examen, y x es el número de horas

dedicadas a la preparación para el examen.

La constante a indicaría la nota que se obtendría si no se estudiara para el

examen (cero horas de preparación) y la pendiente b indicaría lo que se

esperaría que aumente la nota en el examen por cada hora adicional

dedicada a la preparación para esta prueba. También podría expresarse:

Nota = a + b * Horas de preparación

Ejemplo Construya el modelo de regresión lineal para los datos recopilados en el caso

del investigador que analiza la relación entre el número de horas que un


nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba.


1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

–



279

Solución Las fórmulas de los coeficientes de la recta de regresión emplean los mismos

datos utilizados en el cálculo del coeficiente de correlación lineal, por lo que

se empleará la misma tabla que se construyó cuando se calculó r. Entonces

los datos disponibles son los siguientes:

X Y XY X2 Y2 1 21 80 1680 441 6400

2 15 60 900 225 3600

3 15 70 1050 225 4900

4 9 40 360 81 1600

5 12 60 720 144 3600

6 18 70 1260 324 4900

7 6 50 300 36 2500

8 12 50 600 144 2500

Total 108

X

480

Y

6870

XY

1620

X2

30000

Y2

Primero se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de pendiente:

22 )(

))((

XXN

YXXYNb

2)108(16208

48010868708

b

b = 2,41

Después se sustituye en la fórmula de la constante a:

N

Xb

N

Ya

8

10841,2

8

480a

a = 27,5

Así, el modelo de regresión es:

y = 27,5 + 2,41x

O bien, Nota= 27,5 + 2,41 * Número de horas de preparación.



280

Ejercicio

de

revisión




Número de familia



1 500 60

2 1200 100

3 1800 150

4 2500 300

5 750 50

6 800 30

7 900 80

8 1000 75

9 400 25

10 650 60

11 825 95

12 750 60

Calcule la ecuación de regresión.

Solución:

Se construye la tabla:

X Y XY X2 Y2 1 500 60 30000 250000 3600

2 1200 100 120000 1440000 10000

3 1800 150 270000 3240000 22500

4 2500 300 750000 6250000 90000

5 750 50 37500 562500 2500

6 800 30 24000 640000 900

7 900 80 72000 810000 6400

8 1000 75 75000 1000000 5625

9 400 25 10000 160000 625

10 650 60 39000 422500 3600

11 825 95 78375 680625 9025

12 750 60 45000 562500 3600

Total 12075

X

1085

Y

1550875

XY

16018125

X2

158375

Y2

Primero se sustituyen los valores en la fórmula del coeficiente de pendiente:



281

22 )(

))((

XXN

YXXYNb

2)12075(1601812512

108512075155087512

b

b = 0,1187

Después se sustituye en la fórmula de la constante a:

N

Xb

N

Ya

12

120751187,0

12

1085a

a = -29,03

Así, el modelo de regresión es:

y = -29,03 + 0,1187x

Ejemplo Construya, usando Excel y Minitab, el modelo de regresión lineal para los

datos recopilados en el caso del investigador que analiza la relación entre el



prueba.


1 21 80

2 15 60

3 15 70

4 9 40

5 12 60

6 18 70

7 6 50

8 12 50

–


separada:



282

Luego en una celda separada se introduce la función:

=INTERSECCION.EJE(conocido_y;conocido_x)

Como los valores de X se encuentran en el rango A2:A9, y los valores de Y

se encuentran en el rango B2:B9, entonces la función se completa del modo

siguiente:

=INTERSECCION.EJE(B2:B9;A2:A9)


intersección a = 27,5.

Después, en otra celda se introduce la función:

=PENDIENTE(conocido_y;conocido_x)

Dado que los valores de X se encuentran en el rango A2:A9, y los valores de

Y se encuentran en el rango B2:B9, entonces la función se completa del

modo siguiente:

=PENDIENTE(B2:B9;A2:A9)


pendiente b = 2,407 2,41.





283

Luego se da clic en el menú Estadísticas, se selecciona Regresión y ahí se

busca la opción Regresión. Se debe completar el siguiente cuadro de diálogo

seleccionando la variable y como Respuesta y la variable x como Predictor:

Luego, en la ventana Sesión de Minitab se obtiene:

En la salida de Minitab aparece claramente la ecuación y otros datos sobre el

análisis de regresión, principalmente en lo relacionado con la significancia

estadística del modelo. A continuación, en este capítulo se expone el valor

que Minitab llama R–cuad.



284



de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba, y

para el cual se conoce que el coeficiente de correlación lineal de Pearson

es r = 0,885. Calcule e interprete el coeficiente de determinación R2.

Solución Dado que ya se conoce que el coeficiente de correlación lineal de Pearson

es r = 0,885, basta con elevar ese número al cuadrado para obtener el

coeficiente de determinación R2:

R2 = r

2 = (0,885)

2 = 0,7832

Este resultado quiere decir que el modelo de regresión planteado explica el

78,32% de la variabilidad de y, o sea, que la relación lineal entre la nota en

el examen de estadística y el número de horas de preparación explica el

78,32% de la variabilidad de las notas.

Este valor de R2 indicaría que es un modelo bastante bueno, pues posee un

poder explicativo alto.

Ejercicio

de

revisión

En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso

familiar mensual (X, en dólares) y los gastos mensuales en esparcimiento

de las familias (Y, en dólares). La ecuación de regresión que se ha obtenido

es Y = -29,0 + 0,119X y se obtuvo el coeficiente de correlación lineal de

Pearson r = 0,951. Calcule el coeficiente de determinación.

Solución:

Dado que ya se conoce que el coeficiente de correlación lineal de Pearson

es r = 0,951, basta con elevar ese número al cuadrado para obtener el

coeficiente de determinación R2:

R2 = r

2 = (0,951)

2 = 0,9044

Este resultado quiere decir que el modelo de regresión planteado explica el

90,44% de la variabilidad de y, o sea, que la relación lineal entre el ingreso


de las familias (Y, en dólares) explica el 90,44% de la variabilidad de los

gastos.



285



de estadística y la nota que cada uno de ellos obtiene en dicha prueba, en el

cual se había obtenido el modelo y = 27,5 + 2,41x, donde y es la nota en el

examen, y x es el número de horas de preparación para la prueba:

a. Interpole la calificación de un estudiante que haya estudiado 13 horas.

b. Extrapole la calificación de un estudiante que haya estudiado 25 horas.

Solución a. En este primer ejercicio se habla de interpolación ya que el rango de

valores observados de X, los cuales, si se observa en la tabla de datos de

las dos variables, el menor valor de x fue 6 y el mayor 21, por lo que 13 se

encuentra dentro del rango observado. Entonces, para hallar y se sustituye

el valor x = 13 en la ecuación:

y = 27,5 + 2,41x

y = 27,5 + 2,41 * 13

y = 58,83

b. En este segundo ejercicio se habla de extrapolación ya que x = 13 se

encuentra dentro del rango observado. Entonces, para hallar y se sustituye

el valor x = 25 en la ecuación:

y = 27,5 + 2,41x

y = 27,5 + 2,41 * 25

y = 87,75

Lo anterior se ilustra en la gráfica siguiente:



286

Ejercicio

de

revisión

En un estudio se desea determinar si existe relación entre el ingreso


de las familias (Y, en dólares). La ecuación de regresión que ha obtenido es

Y = -29,0 + 0,119X. Las familias estudiadas tenían ingresos que varían

entre $400 y $2500.

a. Interpole el gasto mensual en esparcimiento para una familia con un

ingreso mensual de $800.

b. Extrapole el gasto mensual en esparcimiento para una familia con un

ingreso mensual de $3000.

Solución:

a. Se sustituye el valor de X = 800 en la ecuación:

Y = -29,0 + 0,119X

Y = -29,0 + 0,119 ∙ 800

Y = 66,2

El modelo estima que el gasto mensual en esparcimiento para una familia

con un ingreso mensual de $800 será de $66,2.

b. Se sustituye el valor de X = 3000 en la ecuación:

Y = -29,0 + 0,119X

Y = -29,0 + 0,119 ∙ 3000

Y = 328

El modelo estima que el gasto mensual en esparcimiento para una familia

con un ingreso mensual de $3000 será de $328.




1. Si un investigador descubre que conforme aumenta el número de usuarios de Facebook que

son casados, también aumenta el número de divorcios, entonces podría considerar que:

(a) El mayor uso de Facebook podría ser causante del aumento en el número de divorcios.

(b) Existe una relación causa – efecto entre las dos variables.

(c) Estas dos variables podrían correlacionarse.

(d) La relación entre las dos variables es fuerte y directa.



287

2. Con relación a la determinación del grado de asociación estadística entre dos variables, un

investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:

A. Solo se trata de establecer la fuerza o intensidad de la relación.

B. Se determina la naturaleza o dirección de la relación, pero no su intensidad.






A. Una fuerte relación entre dos variables implica que exista causalidad.

B. Una fuerte relación entre dos variables es condición necesaria de la existencia de

causalidad entre ellas.






A. Es posible encontrar un elevado coeficiente de correlación entre dos variables que no

tienen relación alguna.

B. Un alto coeficiente de correlación entre dos variables es espurio si éste se explica por

la presencia de un tercer factor.




5. Con relación a la determinación de la causalidad entre dos variables, sería falso que la

variable x causa a la variable y, si:

(a) El coeficiente de correlación entre x y y es cercano a –1.

(b) Las variaciones en x en un periodo podrían asociarse con las variaciones de y en el periodo

siguiente.

(c) Cambios de mayor magnitud en x no se asocian con cambios mayores en y.

(d) Existe teoría que respalda la relación causal entre x y y.



288

6. Al observar la gráfica, podría afirmarse que es verdadero que:

(a) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a –1.

(b) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 1.

(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 0.

(d) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es mayor que 1.


(a) La relación entre las variables x y y es fuerte e inversa.

(b) La relación entre las variables x y y es débil e inversa.

(c) La relación entre las variables x y y es fuerte y directa.

(d) La relación entre las variables x y y es débil y directa.

X

Y

X

Y



289




(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es positivo y cercano a 0.

(d) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es negativo y cercano a 0.






X

Y

X

Y



290




(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es positivo y cercano a 0.

(d) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es negativo y cercano a 0.


2





X

Y

X

Y



291




(c) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es cercano a 0.






(d) No hay relación entre x y y.

14. Si al correlacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente r = –0,87, puede

afirmarse que:

(a) La correlación entre x y y es directa y fuerte.

(b) La asociación lineal entre x y y es directa y moderada.

(c) Las variables x y y tienen una escasa correlación inversa.

(d) Incrementos en x podrían asociarse sistemáticamente con disminuciones en y.

X

Y

X

Y



292

15. Si al correlacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente r = 0,16, puede

afirmarse que:

(a) La correlación entre x y y es directa y fuerte.

(b) La asociación lineal entre x y y es directa y moderada.

(c) Las variables x y y tienen una escasa correlación inversa.

(d) Un aumento fuerte en x no podría asociarse sistemáticamente con un aumento en y.

16. Si se correlacionan las tasas de interés de los préstamos con la cantidad de viviendas

vendidas por periodo, entonces se esperaría que el coeficiente de correlación entre estas dos

variables sea:

(a) Cercano a cero.

(b) Positivo y cercano a uno.

(c) Negativo.


17. Si se correlaciona el ingreso disponible de un país con el nivel de consumo agregado,

entonces se esperaría que el coeficiente de correlación entre estas dos variables sea:

(a) Cercano a cero.

(b) Positivo y cercano a uno.

(c) Negativo.


18. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables x y y:

X 11 15 18 22 14 18 17 24

Y 61 68 73 78 69 71 74 76

Entonces el coeficiente de correlación lineal de Pearson equivale a:


19. Suponga que se cuenta con los siguientes datos sobre dos variables, la humedad relativa

en distintas zonas, y el número de casos de neumonía que se presentaron en un determinado

periodo:

X 86 88 93 91 90 87 88 90

Y 11 9 15 17 10 13 16 17

Entonces el coeficiente de correlación lineal de Pearson equivale a:




periodo:

Humedad relativa 86 88 93 91 90 87 88 90

Casos de neumonía 11 9 15 17 10 13 16 17



293

Entonces puede concluirse que:

(a) La correlación entre la humedad relativa y el número de casos de neumonía es alta

(b) La humedad relativa es claro determinante del número de casos de neumonía

(c) Los puntos del diagrama de dispersión estarán muy cercanos a una línea recta


21. Al observar la gráfica, donde la línea corresponde a la recta de regresión obtenida por el

método de mínimos cuadrados, podría afirmarse que es falso que:

(a) El coeficiente de correlación de Pearson entre x y y es positivo.

(b) La pendiente de la ecuación de regresión es positiva.

(c) La suma de los cuadrados de los residuos es máxima.

(d) El intercepto de la recta es cercano a 20.

22. Al observar la gráfica, donde la línea corresponde a la recta de regresión obtenida por el

método de mínimos cuadrados, la variable x es el número semanal de unidades producidas en

una fábrica y la variable y corresponde a los costos totales de producción, entonces es falso

que:

(a) La pendiente de la recta es el costo incremental de una unidad producida.

(b) La recta estima los costos totales de la fábrica a distintos niveles de producción.

(c) La pendiente de la recta da el costo unitario de producción.

(d) El intercepto de la recta equivale a los costos fijos de producción.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Y

X

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Y

X



294

23. Se ha establecido que la relación entre el número de años de experiencia de un vendedor

(X) y los montos que logra vender por mes (Y, en miles de $) está dada por Y = 0,3 + 2X,

entonces no es verdadero que:

(a) Por cada año de experiencia se espera que sus ventas aumenten en $2 mil al mes.

(b) Si tuviera cero experiencia, se esperaría que venda $0,3 mil.

(c) Si tuviera dos años de experiencia, se esperaría que venda $4,6 millones.

(d) Si tuviera un año de experiencia, se esperaría que venda $2,3 millones.

24. Se ha establecido que la relación entre el gasto en publicidad de una empresa (X) y los

montos que logra vender por mes (Y, en millones de $), está dada por Y = 4,3 + 1,5X, entonces

es verdadero que:

(a) Si la empresa no gasta en publicidad, entonces sus ventas serían de $1,5 millones.

(b) Si la empresa gasta $1 millón más en publicidad, se esperaría que sus ventas aumenten en

$4,3 millones.

(c) El coeficiente de correlación lineal entre el gasto en publicidad y las ventas de la empresa

es positivo.




periodo:

Humedad relativa 86 88 93 91 90 87 88 90

Casos de neumonía 11 9 15 17 10 13 16 17

Entonces puede concluirse que:

(a) La pendiente de la ecuación de regresión es –43,3.

(b) La pendiente de la ecuación de regresión es 0,637.

(c) La pendiente de la ecuación de regresión es 0,456.



X 11 15 18 22 14 18 17 24

Y 61 68 73 78 69 71 74 76

Entonces la ecuación de regresión lineal, tomando a x como variable independiente, es:

(a) y = 51,2 – 1,16x

(b) y = –33,8 + 0,718x

(c) y = 1,16x + 51,2


27. Si al relacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente R2 = 0,87, entonces

es falso con certeza que:

(a) La correlación entre x y y es fuerte.

(b) El modelo lineal entre x y y explica el 93,3% de la variabilidad de y.

(c) El modelo lineal entre x y y explica el 87% de la variabilidad de y.

(d) El coeficiente de correlación lineal entre las dos variables 0,933.



295

28. Al relacionar la variable x y la variable y, se obtiene un coeficiente R2 = 0,96. Un


A. El modelo lineal entre x y y no es un buen modelo, porque tiene escaso poder

explicativo.

B. El ajuste de la recta es muy bueno.





X 11 15 18 22 14 18 17 24

Y 61 68 73 78 69 71 74 76

Un investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:

A. Al realizar la extrapolación del valor x = 10, se obtiene y = 62,8.

B. Al realizar la interpolación del valor x = 12, se obtiene y = 65,12.





X 14 18 11 20 23 14 17 19 15 16

Y 65 72 60 75 80 63 70 74 66 64

Un investigador efectuó las siguientes dos afirmaciones:

A. Al realizar la extrapolación del valor x = 10, se obtiene y = 57.

B. Al realizar la interpolación del valor x = 12, se obtiene y = 60,54.





1. c 2. c 3. d 4. a 5. c

6. b 7. c 8. c 9. d 10. a

11. b 12. c 13. d 14. d 15. d

16. c 17. b 18. c 19. a 20. d

21. c 22. c 23. c 24. c 25. b

26. c 27. b 28. d 29. c 30. a