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Matrices y Determinantes Matemáticas II

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ECUACIONES MATRICIALES

Ejercicios

1. Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X - B siendo:

𝐴 = (0 0 10 0 0

−1 0 0) y B = (

1 0 10 1 10 −1 −1

)

2. Considera la matriz C = (1 1 1

−1 −1 −10 0 0

). Calcula la matriz X que verifica:

C · X – X = 2I (I es la matriz identidad de orden 3)

3. Sean las matrices:

A = (2 −1 00 2 −1

), B = (2 12 2

) y C = (1 −20 2

−2 0)

Calcule la matriz P que verifica BP - A = Ct (Ct es la traspuesta de C)

4. Halla la matriz X que verifica la igualdad A · X · A-1 + B = C · A-1 sabiendo que:

A = (0 −1 0

−1 −3 01 4 1

), C = (1 −1 20 0 −11 0 −1

) y B·A = (1 1 01 1 −1

−1 −5 −3)

5. Considera las matrices A = (−1 22 −1

), B = (1 0 0

−2 1 03 2 1

) y C = (1 0 0

−1 5 0).

Determina la matriz X para la que At · X · B-1 = C (At es la matriz traspuesta de A)

6. Considera las siguientes matrices: A = (−1 20 1

) y B = (−3 02 −1

). Resuelve la

ecuación matricial A · X · At – B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y

At es la matriz traspuesta de A.



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7. Sea k un número natural y sean las matrices

A = (1 1 10 1 00 0 1

), B = (01

−1) y C = (1 1 2)

a) Calcular Ak

b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación Ak X = B C

8. Sea la matriz A = (3 𝑚

1 − 𝑚 𝑚 + 1)

a) Calcula los valores de m para que A tenga inversa.

b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial A·X·A = I2 donde I2 es la

matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

9. Considera las matrices A = (1 01 1

) y B = (1 20 1

). Determina, si existe, la matriz

X que verifica A · X + B2 = B · X + A2.

10. Dada la matriz A = (−1 12 −1

).

a) Demuestra que A2 + 2A = I y que A-1 = A +2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

b) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: A2 + XA + 5A = 4I (I es la matriz identidad de orden 2).



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SOLUCIONES

1. Determina la matriz X que verifica la ecuación A·X = X - B siendo:

Solución:

Empezamos trabajando con las matrices para despejar X:

Por tanto, si A - I es una matriz inversible podremos determinar la matriz X que verifica la ecuación:

Como A - I es inversible y conocemos su inversa podemos determinar X:



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2. Considera la matriz C = (1 1 1

−1 −1 −10 0 0

). Calcula la matriz X que verifica:

C · X – X = 2I (I es la matriz identidad de orden 3)

Solución:



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3. Sean las matrices:

A = (2 −1 00 2 −1

), B = (2 12 2

) y C = (1 −20 2

−2 0)

Calcule la matriz P que verifica BP - A = Ct (Ct es la traspuesta de C)

Solución:

Empezamos despejando P:

La ecuación tendrá solución si y sólo si B es inversible. Veamos si B tiene inversa y en caso de tenerla calculémosla:

Como B es inversible podemos calcular P:



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4. Halla la matriz X que verifica la igualdad A · X · A-1 + B = C · A-1 sabiendo que:

A = (0 −1 0

−1 −3 01 4 1

), C = (1 −1 20 0 −11 0 −1

) y B·A = (1 1 01 1 −1

−1 −5 −3)

Solución:

Despejamos la matriz X:



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5. Considera las matrices A = (−1 22 −1

), B = (1 0 0

−2 1 03 2 1

) y C = (1 0 0

−1 5 0).

Determina la matriz X para la que At · X · B-1 = C (At es la matriz traspuesta de A)

Solución:

Despejamos la matriz X:



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6. Considera las siguientes matrices: A = (−1 20 1

) y B = (−3 02 −1

). Resuelve la

ecuación matricial A · X · At – B = 2I, donde I es la matriz identidad de orden 2 y

At es la matriz traspuesta de A.



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7. Sea k un número natural y sean las matrices

A = (1 1 10 1 00 0 1

), B = (01

−1) y C = (1 1 2)

a) Calcular Ak

b) Hallar la matriz X que verifica la ecuación Ak X = B C

Solución:

a) Empezamos calculando Ak :

b) Empezamos despejando X en la ecuación:



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La ecuación tendrá solución si Ak es inversible. Veamos si lo es y calculemos su inversa:

Como Ak es inversible, la ecuación tiene solución. Calculémosla:



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8. Sea la matriz A = (3 𝑚

1 − 𝑚 𝑚 + 1)

a) Calcula los valores de m para que A tenga inversa.

b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuación matricial A·X·A = I2 donde I2 es la

matriz unidad de orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

Solución:

a) Empezamos por ver para qué valores de m es A inversible:

b) Para m = 0, tenemos que

Por otra parte, para la ecuación A·X·A = I2 se tiene que:

de manera que la ecuación tendrá solución si y sólo si A es inversible. Como ya hemos visto que A es inversible y conocemos su inversa, podemos calcular X:



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9. Considera las matrices A = (1 01 1

) y B = (1 20 1

). Determina, si existe, la matriz

X que verifica A · X + B2 = B · X + A2

Solución:



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10. Dada la matriz A = (−1 12 −1

).

c) Demuestra que A2 + 2A = I y que A-1 = A +2I, siendo I la matriz identidad de orden 2.

d) Calcula la matriz X que verifica la ecuación: A2 + XA + 5A = 4I (I es la matriz identidad de orden 2).

Solución: